2.2 用配方法求解一元二次方程 第1课时课件2024-2025学年北师大版数学九年级上册

北师大版九年级上册 2.2 用配方法求解一元二次方程 第二章 一元二次方程 第1课时 用配方法求解一元二次方程 1.会用直接开平方法解形如(x+m)2=n (n>0)的方程.(重点) 2.理解配方法的基本思路.(难点) 3.会用配方法解二次项系数为1的一元二次方程.(重点) 学习目标 填一填: 如果 x2 = a,那么 x= . 若一个数的平方等于9,则这个数是 ;若一个数的平方等于7,则这个数是 . 完全平方式:式子a2 2ab +b2叫完全平方式,且a2 2ab +b2 = . 导入新课 3 (a b) 例1:用直接开平方法解下面一元二次方程. (1)x2 = 5; (2)2x2 + 3 = 5 . 用直接开平方法解一元二次方程 解:(1) x1 = , x2=- . (2)2x2 + 3 = 5 , 2x2 = 2 , x2 = 1 . x1 = 1 , x2= -1 . (3)x2 + 2x + 1 = 5 (4)(x + 6)2 + 72 = 102 解:(3) x2 + 2x + 1 = 5 (x + 1)2 = 5 x1= 1+ , x2 =1- (4)(x + 6)2 + 72 = 102 (x + 6)2 = 102 - 72 (x + 6)2 = 51 x1=6+ , x2 =6- 配方法的基本思路 填一填: (1)x2 +12x + _ = ( x + 6 )2 ; (2)x2 - 4x + _ = ( x - _ )2 ; (3)x2 + 8 x + _ = ( x + _ )2 . 36 4 2 x2 + ax + ()2 = ( x + )2 4 问题:上面等式的左边常数项和一次项系数有什么关系?对于形如 x2 + ax的式子,如何配成完全平方? 16 例1:解方程 x2 + 8x - 9 = 0 解:可以把常数项移到方程的右边,得 x2 + 8x = 9 , 两边都加42(一次项系数8的一半的平方),得 x2 + 8x + 42 = 9 + 42 , 即 (x+4)2 = 25 . 两边开平方,得 x + 4 = 5 , 即 x + 4 =5 或 x + 4 = -5. 所以 x1 = 1 , x2= -9. 例2:解决梯子底部滑动问题:x2 + 12x -15=0 . 解:可以把常数项移到方程的右边,得 x2 + 12x = 15 , 两边都加62(一次项系数6的一半的平方),得 x2 + 12x + 62 = 15 + 62 , 即 (x+6)2 = 51 . 两边开平方,得 x + 6 = , 即 x + 6 = 或 x + 6 = . 所以 x1 = -6 , x2= -6 . 配方法:通过配成完全平方式的方法得到了一元二次方程的根,这种解一元二次方程的方法称为配方法. 用配方法解形如 x2 + px + q = 0 ①将常数项移到方程的右边. x2 + px = -q ②两边都加上一次项系数一半的平方. x2 + px + ()2 = ()2 - q ③直接用开平方法求出它的解. (x + )2 = ( )2 - q 用配方法解二次项系数为1的一元二次方程 例3:用配方法解 x2 + 2x -1 = 0. 解:移项,得 x2 + 2x =1 , 配方,得 x2 + 2x + 1 = 1 + 1, 即 (x + 1)2 = 2. 开平方, 得 x + 1 = . 解得 x1 = , x2= . 例4:用配方法解 x2 - 4x = 1. 解:配方,得 x2 - 4x + (-2)2 = 1 + (-2)2 , 即 (x - 2)2 = 5. 开平方, 得 x - 2 = . 解得 x1 =2+ , x2=2- . 用配方法解 一元二次方程 直接开平方法: 基本思路: 解二次项系数为1的一元二次方程步骤 形如(x + m)2 = n (n≥0) 将方程转化为(x + m)2 = n (n≥0)的形式,在用直接开平方法, 直接求根. 1.移项 3.直接开平方求解 2.配方 课堂小结 D 当堂练习 D x-1=3 x-1=-3 4 -2 D D C C 1或-3 知识点一:用直接开平方法解一元二次方程 1.方程x2-3=0的根是( ) A.x=3 B.x= eq \r(3) C.x1=3,x2=-3 D.x1= eq \r(3) ,x2=- eq \r(3) 2.下列解方程的过程中,正确的是( ) A.x2=-2,解方程,得x= eq \r(2) B.(x-2)2=4,解方程,得x-2=2,x=4 C.4(x-1)2=9,解方程,得4(x-1)= 3,x1= eq \f(7,4) ,x2= eq \f(1,4) D.(2x+3)2=25,解方程,得2x+3= 5,x1=1,x2=-4 3.解方程:(x-1)2=9. 解:直接开平方,得x-1= 3, 即 _ 或 _. 解得x1=_,x2=_. 4.用直接开平方法解下列方程: (1)(2y-1)2=49; (2)8(x+1)2-50=0. 解:2y-1= 7,∴2y-1=7或2y-1=-7.∴y1=4,y2=-3 解:8(x+1)2=50,(x+1)2= eq \f(25,4) ,∴x+1= eq \f(5,2) .∴x1= eq \f(3,2) ,x2=- eq \f(7,2) 知识点二:用配方法解二次项系数为1的一元二次方程 5.用配方法解一元二次方程x2-6x+8=0,配方后得到的方程是( ) A.(x+6)2=28 B.(x-6)2=28 C.(x+3)2=1 D.(x-3)2=1 6.把一元二次方程y2-5y=2配方,需要在方程两边都加( ) A.25 B. eq \f(5,2) C. eq \f(25,2) D. eq \f(25,4) 7.将方程y2+ eq \f(2,3) y-1=0化为(y+a)2=b的形式后,a=_,b=_. eq \f(1,3) eq \f(10,9) 8.用配方法解下列方程: (1)t2+4t-3=0; (2)x2-3x=7x+7. 解:t2+4t=3,t2+4t+4=3+4,(t+2)2=7,∴t+2= eq \r(7) ,∴t1=-2+ eq \r(7) ,t2=-2- eq \r(7) 解:x2-10x=7,x2-10x+25=7+25,(x-5)2=32,∴x-5= 4 eq \r(2) ,∴x1=5+4 eq \r(2) ,x2=5-4 eq \r(2) 9.若一元二次方程x2+px+q=0配方后的结果为(x-2)2=1,则( ) A.p=4,q=3 B.p=0,q=-5 C.p=-4,q=3 D.p=-4,q=4 10.若(x2+y2-1)2-16=0,则x2+y2等于( ) A.5或-3 B.5 C. 4 D.4 11.(益阳中考)规定:a⊗b=(a+b)b,如:2⊗3=(2+3) 3=15,若2⊗x=3,则x=_. 12.用配方法解一元二次方程:x2+8x-5=0. 解:移项,得x2+8x=5. 配方,得x2+8x+16=5, 即(x+4)2=5. ∴x1=-4+ eq \r(5) ,x2=-4- eq \r(5) . 上面的解题过程正确吗?若不正确,请写出正确的解题过程. 解:不正确.正确的解题过程如下:移项,得x2+8x=5.配方,得x2+8x+16=5+16,即(x+4)2=21.两边开平方,得x+4= eq \r(21) .∴x1=-4+ eq \r(21) ,x2=-4- eq \r(21) 13.解下列方程: (1)(2m+3)2=(3m+2)2; (2)x(x+4)=7x+12. 解:2m+3=3m+2或2m+3=-3m-2,∴m1=1,m2=-1 解:x2+4x=7x+12,x2-3x=12,(x- eq \f(3,2) )2= eq \f(57,4) ,∴x- eq \f(3,2) = eq \f(\r(57),2) .∴x1= eq \f(3,2) + eq \f(\r(57),2) ,x2= eq \f(3,2) - eq \f(\r(57),2) 14.已知代数式x2-1的值与代数式6x+1的值相等,求x的值. 解:根据题意,得x2-1=6x+1,整理,得x2-6x-2=0.配方,得(x-3)2=11,解得x1=3+ eq \r(11) ,x2=3- eq \r(11) 15.(一)阅读: 求x2+6x+11的最小值. 解:x2+6x+11 =x2+6x+9+2 =(x+3)2+2 由于(x+3)2的值必定为非负数,所以(x+3)2+2,即x2+6x+11的最小值为2. 思路总结:等式变形的关键是将“11”拆分成“9+2”,形成完全平方式“x2+6x+9”,再逆用公式变形成为平方形式. (二)解决问题: (1)若m2+2mn+2n2-6n+9=0,求( eq \f(m,n) )-3的值; (2)对于多项式x2+y2-2x+2y+5,当x,y取何值时有最小值. 解:(1)由题意得(m+n)2+(n-3)2=0,即m+n=0且n-3=0,∴m=-3,n=3,∴( eq \f(m,n) )-3=-1 (2)原式=(x-1)2+(y+1)2+3.∵(x-1)2和(y+1)2的值必定为非负数,∴当x=1,y=-1时,多项式x2+y2-2x+2y+5有最小值3 $$