2.2 用配方法求解一元二次方程 第2课时 课件 2024--2025学年北师大版九年级数学上册

北师大版九年级上册 2.2 用配方法求解一元二次方程 第二章 一元二次方程 第2课时 用配方法求解较复杂的一元二次方程 1.会用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程;.（重点） 2.能够熟练地、灵活地应用配方法解一元二次方程.（难点） 学习目标 问题：用配方法解一元二次方程（二次项系数为1）的步骤是什么？ 步骤：（1）将常数项移到方程的右边,使方程的左边只 含二次项和一次项; （2）两边都加上一次项系数一半的平方. （3）直接用开平方法求出它的解. 导入新课 用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程 问题1：观察下面两个是一元二次方程的联系和区别： ① x2 + 6x + 8 = 0 ; ② 3x2 +18x +24 = 0. 问题2：用配方法来解 x2 + 6x + 8 = 0 . 解：移项，得 x2 + 6x = -8 , 配方，得 （x + 3）2 = 1. 开平方, 得 x + 3 = ±1. 解得 x1 = -2 , x2= -4. 想一想怎么来解3x2 +18x +24 例1：用配方法解方程： 3x2 +18x +24 = 0. 解：方程两边同时除以3,得 x2 + 6x + 8 = 0 . 移项，得 x2 + 6x = -8 , 配方, 得 （x + 3）2 = 1. 开平方, 得 x + 3 = ±1. 解得 x1 = -2 , x2= -4 . 在使用配方法过程中若二次项的系数不为1时，需要将二次项系数化为1后，再根据配方法步骤进行求解. 结论 例2：解方程： 3x2 + 8x -3 = 0. 解：两边同除以3,得 x2 + x - 1=0. 配方,得 x2 + x + ( ) 2 - ( )2 - 1 = 0, （x + ）2 - =0. 移项,得 x +=± , 即 x + = 或 x +=- . 所以 x1= , x2 = -3 . 例3：一个小球从地面上以15m/s的初速度竖直向上弹出，它在空中的高度h (m)与时间 t (s)满足关系： h=15t - 5t2. 小球何时能达到10m高？ 解：将 h = 10代入方程式中. 15t - 5t2 = 10. 两边同时除以-5,得 t2 - 3t = -2, 配方,得 t2 - 3t + ()2= ()2 - 2, （t - ）2 = 移项,得 （t - ）2 = 即 t - = ,或 t - =- . 所以 t1= 2 , t2 = 1 . ①二次项系数要化为1；②在二次项系数化为1时，常数项也要除以二次项系数；③配方时，两边同时加上一次项系数一半的平方. 注意 即在1s或2s时，小球可达10m高. 配方法的应用 典例精析 例4.试用配方法说明：不论k取何实数，多项式k2－4k＋5的值必定大于零. 解：k2－4k＋5=k2－4k＋4＋1 =（k－2）2＋1 因为（k－2）2≥0，所以（k－2）2＋1≥1. 所以k2－4k＋5的值必定大于零. 1. 方程2x2 - 3m - x +m2 +2=0有一根为x = 0，则m的值为（ ） A. 1 B.1 C.1或2 D.1或-2 2.应用配方法求最值. (1) 2x2 - 4x+5的最小值； (2) -3x2 + 5x +1的最大值. 练一练 C 解：（1） 2x2 - 4x +5 = 2(x - 1)2 +3 当x =1时有最小值3 （2） -3x2 + 12x - 16 = -3(x - 2)2 - 4 当x =2时有最大值-4 归纳总结 配方法的应用 类别 解题策略 1.求最值或证明代数式的值为恒正（或负） 对于一个关于x的二次多项式通过配方成a(x+m)2 ＋n的形式后，(x+m)2≥0，n为常数，当a＞0时，可知其最小值；当a＜0时，可知其最大值. 2.完全平方式中的配方 如：已知x2－2mx＋16是一个完全平方式，所以一次项系数一半的平方等于16，即m2=16，m=±4. 3.利用配方构成非负数和的形式 对于含有多个未知数的二次式的等式，求未知数的值，解题突破口往往是配方成多个完全平方式得其和为0，再根据非负数的和为0，各项均为0，从而求解.如：a2＋b2－4b＋4=0,则a2＋(b－2)2=0,即a=0，b=2. 11 配方法 方法 在方程两边都配上 步骤 一移常数项； 二配方[配上 ]； 三写成（x+n)2=p (p ≥0); 四直接开平方法解方程. 特别提醒： 在使用配方法解方程之前先把方程化为x2+px+q=0的形式. 应用 求代数式的最值或证明 课堂小结 1 当堂练习 A B x－1＝± eq \f(\r(10),2) 1＋ eq \f(\r(10),2) 1－ eq \f(\r(10),2) eq \f(3,2) 知识点：用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程 1．用配方法解方程2x2－4x－3＝0. (1)方程两边同时除以2，得________________； (2)移项，得________________； (3)配方，得________________； (4)方程两边开平方，得_______________； (5)解得x1＝_______________，x2＝______________． 2．把方程2x2＋4x－1＝0配方后得(x＋m)2＝k，则m＝____，k＝______． x2－2x－ eq \f(3,2) ＝0 x2－2x＝ eq \f(3,2) (x－1)2＝ eq \f(5,2) 3．用配方法解下列方程： (1)2y2＋1＝2 eq \r(2) y； (2)4x2＋4x－3＝0. 解：y2－ eq \r(2) y＝－ eq \f(1,2) ，y2－ eq \r(2) y＋( eq \f(\r(2),2) )2＝－ eq \f(1,2) ＋( eq \f(\r(2),2) )2，(y－ eq \f(\r(2),2) )2＝0，∴y1＝y2＝ eq \f(\r(2),2) 解：x2＋x＝ eq \f(3,4) ，x2＋x＋( eq \f(1,2) )2＝ eq \f(3,4) ＋( eq \f(1,2) )2，即(x＋ eq \f(1,2) )2＝1，∴x＋ eq \f(1,2) ＝±1，∴x1＝ eq \f(1,2) ，x2＝－ eq \f(3,2) 4．用配方法解一元二次方程2x2－3x－1＝0，配方正确的是( ) A．(x－ eq \f(3,4) )2＝ eq \f(17,16) B．(x－ eq \f(3,4) )2＝ eq \f(1,2) C．(x－ eq \f(3,2) )2＝ eq \f(13,4) D．(x－ eq \f(3,2) )2＝ eq \f(11,4) 5．用配方法解一元二次方程3x2＋6x－1＝0时，将它化为(x＋a)2＝b的形式，则a＋b的值为( ) A． eq \f(10,3) B． eq \f(7,3) C．2 D． eq \f(4,3) 6．先阅读理解下面的例题，再按要求解答问题： 例题：求代数式y2＋4y＋8的最小值． 解：y2＋4y＋8＝y2＋4y＋4＋4＝(y＋2)2＋4， ∵(y＋2)2≥0， ∴(y＋2)2＋4≥4， ∴y2＋4y＋8的最小值是4. (1)求代数式m2＋m＋4的最小值； (2)求代数式4－x2＋2x的最大值； (3)某居民小区要在一块一边靠墙(墙长15 m)的空地上建一个矩形花园ABCD，花园一边靠墙，另三边用总长为20 m的栅栏围成．如图，设AB＝x m，请问：当x取何值时，花园的面积最大？最大面积是多少？ 解：(1)m2＋m＋4＝(m＋ eq \f(1,2) )2＋ eq \f(15,4) ，∵(m＋ eq \f(1,2) )2≥0，∴(m＋ eq \f(1,2) )2＋ eq \f(15,4) ≥ eq \f(15,4) ，则m2＋m＋4的最小值是 eq \f(15,4) 　 (2)4－x2＋2x＝－(x－1)2＋5，∵－(x－1)2≤0，∴－(x－1)2＋5≤5，则4－x2＋2x的最大值为5　 (3)由题意得，花园的面积为x(20－2x)＝－2x2＋20x＝－2(x－5)2＋50，∵－2(x－5)2≤0，∴－2(x－5)2＋50≤50，∴－2x2＋20x的最大值是50，此时x＝5，即当x＝5时，花园的面积最大，最大面积是50 m2 $$