精品解析：贵州省贵阳市七校2024-2025学年高二下学期联考(二)数学试题

贵州省贵阳市七校2024-2025学年高二下学期联考(二)数学试题 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分别求出集合，然后利用交集运算概念求解即可． 【详解】由题意知：，， ， 故选：C． 2. 已知函数在处可导，且，则（ ） A. 8 B. C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】根据导数的定义，对式子变形，求出答案. 【详解】由题意知：，即， 故选：A． 3. 某位射箭运动员命中目标箭靶的环数的分布列为 则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据分布列的性质求出后可求. 【详解】由分布列可得，解得， 则， 故选：C 4. 正八边形的对角线的条数是（ ） A. 16 B. 20 C. 28 D. 40 【答案】B 【解析】 【分析】正八边形中，任取2个顶点可以得到一条线段，利用组合数计算可得得到线段的数目，再排除其中正八边形的8条边即可得对角线条数． 【详解】正八边形中，任取2个顶点可以得到一条线段，则可以得到条线段，其中包括了正八边形的8条边，则正八边形对角线的条数为条. 故选：B． 5. 函数处取得极值10，则（ ） A. B. C. 0 D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】求出函数的导数，根据极值点和极值可求参数的值，代入检验后可得，故可得它们的差. 【详解】函数，求导得， 由在处取得极值10，得， 解得或， 当，时，， 函数在R上递增，无极值，不符合题意； 当，时，得， 当或时，； 当时，，因此是函数的极小值点，符合题意， 所以， 故选：B． 6. 甲、乙两人独立地在三分线外对同一篮筐各投篮一次，命中率分别为0.8和0.6，现已知有球投进篮筐情况下，甲投进的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先算得，，然后结合条件概率公式即可求解. 【详解】根据题意，设甲投进为事件A，乙投进为事件B，有球投进篮筐为事件C， 则， ， 则有球投进篮筐情况下，甲投进的概率为， 故选：D． 7. 若随机变量，且，其中m，，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据正态分布性质得出，再应用基本不等式计算求解最小值即可. 【详解】由随机变量，且，得， 则， 当且仅当时取等号，所以的最小值为， 故选:C 8. 已知函数，对任意的，关于x的方程有两个不同实根，则a取最小整数值时，为（ ） A. B. C. 0 D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】构造函数，根据导函数的正负得出函数的单调性进而得出最小值，结合对勾函数的值域计算求参. 【详解】由，即，得， 设，则，显然是上的增函数． 因为，，所以存在，使得，即； 当时，，单调递减；当时，，单调递增； 则； 令，则，当时，，在上单调递减， 因为，所以，则，所以，又a为最小整数，则，则 故选：A． 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 下列说法中正确的是（ ） A. 已知随机变量X服从二项分布，则 B. 已知随机变量X服从正态分布且，则 C. ； D. 已知随机变量X的方差，期望，则随机变量的期望 【答案】BD 【解析】 【分析】根据二项分布、正态分布的性质，求得概率；根据期望和方差的性质，计算新的随机变量的期望和方差. 【详解】已知随机变量X服从二项分布，则，所以A错误； 已知随机变量X服从正态分布且，则，，所以B正确； ；，所以C错误； 已知随机变量X的方差，期望，由，随机变量的期望为，所以D正确， 故选：BD． 10. 已知函数，下列说法正确的是（ ） A. 函数有2个极值点 B. 函数有3个零点 C. 函数的图象有条切线方程为 D. 点是曲线的对称中心 【答案】AD 【解析】 【分析】根据函数导数得零点和函数极值点的关系，求出函数极值点的个数；再根据函数单调性和极值，判断函数的零点个数；根据函数导数的几何意义，求出函数切线方程得通式，判断是否存在给出的切线；根据函数中心对称性，证明函数是否关于点中心对称. 【详解】对于A．由，由， 且可分析得在区间上单调递增，在区间上单调递减，在区间上单调递增， 则函数有2个极值点，故A正确； 对于B．有，，故函数有1个零点，故B错误； 对于C．当，解得，则所有斜率为2的切线：，，故C错误； 对于D．由，得， ，可知曲线关于点中心对称，故D正确. 故选：AD． 11. 南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》一书中画了一张表示二项式系数构成的三角形数阵（如图所示）称做“开方做法本源”，简称为“杨辉三角”，根据如图所示“杨辉三角”，则下列选项正确的是（ ） A. 第8行所有数字的和为256 B. C. 第6行所有数字的平方和等于 D. 若第n行第i个数记为，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据第行数学特征确定二项式，结合二项式系数和公式、组合数公式、二项式定理逐一判断即可. 【详解】对于A．第8行所有数字是的二项式系数，因此第8行所有数字的和为，故A正确； 对于B． ，故B不正确； 对于C，所求的和表达式为：， 因为， 所以展开式中的系数为， 即， 而， 因此有， 于是有，故C正确； 对于D，因为，故D正确， 故选：ACD． 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 在中，已知，，，则________． 【答案】 【解析】 【分析】由正弦定理结合同角三角函数的基本关系得，由余弦定理求出后可得. 【详解】因为，结合正弦定理得， 而，故即， 而为三角形内角，故． 由余弦定理及，，得出， 解出（负根舍去），所以． 故答案为：. 13. 已知的展开式中各项系数和是96，则展开式中的系数为________． 【答案】10 【解析】 【分析】根据二项式的系数和求出参数，根据二项式展开式的通式求出指定项的系数. 【详解】令，的展开式中各项系数和，则． ，化简得， 当时，，当时，（舍）， 当时，可得出展开式中的系数． 故答案为：10. 14. 甲，乙，丙三人相互做传球训练，第一次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，经过次传球后，球在乙手中的概率为________；经过次传球后，球在甲手中的概率为________（用含有的式子表示）． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据概率的乘法公式直接得解；设事件：球经过次传递后，球在甲手中，则可知，结合构造法求数列通项公式可得解. 【详解】根据题意得第一次只能甲传给丙，第二次再由丙传给乙，故概率为； 设事件：球经过次传递后，球在甲手中，，，，，则， 设，则，， 又，， 是首项为，公比为的等比数列，，， 即经过次传球后球在甲手中的概率为， 故答案为：，. 四、解答题（共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 人工智能是新一轮科技革命和产业变革的重要驱动力量，是研究、开发用于模拟、延伸和扩展人的智能的理论、方法、技术及应用系统的一门新的技术科学，很多学校已经推出基于的人工智能通识课程，帮助学生深入了解人工智能的历史、关键技术及其在科学研究、社会发展中的高效应用，培养跨学科思维，推动人工智能技术在多领域的深度融合与创新，某探究小组利用解答了50份高考模拟试卷，收集其准确率，整理得到如图所示的频率分布直方图． （1）求直方图中a值； （2）估计该50份高考模拟卷的平均准确率（同一组中的数据用该组区间的中点值作为代表）； （3）为进一步调查，采用分层抽样从准确率在，，内的试卷中抽取9份，再从中任选3份进行调查，求抽到准确率在内的试卷份数X的分布列和数学期望． 【答案】（1）． （2）92% （3）分布列见解析， 【解析】 【分析】（1）利用频率分布直方图中所有矩形的面积和为1计算； （2）利用平均数公式计算； （3）先算出各层数量，确定X可取0，1，2，3．求出对应概率，得到分布列，求出期望即可. 【小问1详解】 由频率分布直方图可得， 解得． 【小问2详解】 由已知可得估计准确率的平均数为 ． 【小问3详解】 由题意，准确率在，，内的试卷分别有2份，4份，3份， 则X可取0，1，2，3． ， ， ， ， 则X的分布列为 X 0 1 2 3 P 数学期望． 16. 如图，四边形是边长为4的正方形，半圆面平面，点P为半圆弧上一动点（点P与点A、D不重合）． （1）求证：； （2）当点P为半圆弧上中点时，求二面角正弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）利用面面垂直的性质可得出平面，可得出，由圆的几何性质可得出，利用线面垂直的判定定理可得出平面，再由线面垂直的性质可证得结论成立； （2）建立空间直角坐标系，求出两平面的法向量，利用夹角余弦公式可求得两法向量夹角的余弦值，进而求出二面角的正弦值. 【小问1详解】 因为点为半圆弧上一动点（点与点、不重合），为直径，所以， 因为四边形为正方形，则， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 因为平面，则， 因为，，，平面， 所以平面， 因为平面，所以. 【小问2详解】 因为平面，，则平面， 以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴， 平面内过点且垂直于的直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 当点为半圆弧上中点时，， 由于四边形是边长为4的正方形 ，则、、、，所以，， 设平面的一个法向量为，则， 取，可得， 易知平面的一个法向量为， 所以， 故， 因此，二面角的正弦值为. 17. 已知函数，． （1）若在处的切线方程与直线垂直，求a的值并求函数在区间的最值； （2）若，试讨论的单调性． 【答案】（1），最小值为，最大值为． （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）求出函数的导数，根据垂直关系求出参数，讨论导数的符号后可得函数的单调性，故可求最值； （2）就、、分类讨论后可得函数的单调性. 【小问1详解】 由题意可知：， 所以，则， 所以此时，， 令，或（舍）． 令，，令，． 可知在上单调递减；在上单调递增； 所以，又因为， 所以． 综上，函数在区间的最小值为，最大值为． 【小问2详解】 由题可得：，，， 令，则或． ①当时，，令，得，令，得，或； ②当时，，令，得，令，得，或； ③当时，，则在区间单调递增． 综上所述：当时，在和上单调递增，在区间单调递减； 当时，在上单调递增； 当时，在和上单调递增，在区间单调递减． 18. 把若干个红球和白球（除颜色外没有其他差异）放进甲、乙、丙三个空盒子中，且其中的红球占比依次为、、．现随机选取一个盒子，每个盒子被选取的概率均为，然后从选取的盒子中随机摸出一个球． （1）求摸出的球是红球的概率； （2）若摸出的球是红球，记该红球为“”． （ⅰ）求“”是从乙盒摸出的概率； （ⅱ）将“”放回原盒，再从该盒中随机摸出一个球，求此球为红球的概率． 【答案】（1） （2）（ⅰ）；（ⅱ） 【解析】 【分析】（1）根据全概率公式可求摸出的球是红球的概率； （2）（ⅰ）利用贝叶斯公式可求“”是从乙盒摸出的概率；（ⅱ）求出摸出的球为红球的条件下红球来自各盒的概率，再利用全概率公式可求此球为红球的概率． 【小问1详解】 设“随机选取一个盒子，选中甲盒子”为事件， “随机选取一个盒子，选中乙盒子”为事件， “随机选取一个盒子，选中丙盒子”为事件， “从选取的盒子中随机摸出一个球，该球为红球”为事件， 则 ． 【小问2详解】 （ⅰ）； （ⅱ）设“将“R”放回原盒，再从该盒中随机摸出一个球，此球为红球”为事件E， ， ， 分别记、、为， 则 ． 19. 从函数的观点看，方程的根就是函数的零点，设函数的零点为r．牛顿在《流数法》一书中，给出了高次代数方程的根一种数值解法——牛顿法．具体做法如下：如图所示，先在x轴找初始点，然后作函数在点处切线，切线与轴交于点，再作在点处切线（轴，以下同），切线与轴交于点，再作在点处切线，一直重复，可得到一列数：，，，…，．显然，它们会越来越逼近．于是，求r近似解的过程转化为求，当n很大时，很小，我们就可以把的值作为r的近似值，即把作为函数的近似零点．我们知道，在点处的切线方程为，如果，那么切线与x轴的交点的横坐标为，继续这个过程就可以推导出如下求方程根的牛顿法公式：如果，那么，请根据以上材料解答下列问题． （1）设函数，当时，求的近似解，； （2）在（1）的条件下，求数列的通项公式和前项和； （3）函数若设初始点为，类比上述算法，求所得前个，，……，的面积和． 【答案】（1），； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意求解切线方程，分别计算出，取得值；（2）已知设，，在处的切线方程为；可得，进而求解；（3）设，则，求解在处的切线方程为，进而求解面积的和. 小问1详解】 根据材料得：在处的切线方程为， 令，得， 同理可得在处的切线方程为， 令，得， 所以对于函数，． 当时， 则， ； 【小问2详解】 由已知设，， 则在处的切线方程为， 令，得， 代入， 可得：， 即：， 设，则，所以， 因此，又， 则成等比数列，首项为，公比为的等比数列． 则，即：， 所以． 【小问3详解】 由已知设，则， 故在处的切线方程为， 令，所以，又因，所以， 所以成等差数列，公差，首项， 所以， 所以， ， 故所得前n个，，…，的面积和为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 贵州省贵阳市七校2024-2025学年高二下学期联考(二)数学试题 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知函数在处可导，且，则（ ） A. 8 B. C. D. 2 3. 某位射箭运动员命中目标箭靶的环数的分布列为 则（ ） A. B. C. D. 4. 正八边形的对角线的条数是（ ） A. 16 B. 20 C. 28 D. 40 5. 函数在处取得极值10，则（ ） A. B. C. 0 D. 或 6. 甲、乙两人独立地在三分线外对同一篮筐各投篮一次，命中率分别为0.8和0.6，现已知有球投进篮筐情况下，甲投进的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 若随机变量，且，其中m，，则的最小值为（ ） A B. C. D. 8. 已知函数，对任意的，关于x的方程有两个不同实根，则a取最小整数值时，为（ ） A. B. C. 0 D. 1 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 下列说法中正确是（ ） A. 已知随机变量X服从二项分布，则 B. 已知随机变量X服从正态分布且，则 C. ； D. 已知随机变量X的方差，期望，则随机变量的期望 10. 已知函数，下列说法正确的是（ ） A. 函数有2个极值点 B. 函数有3个零点 C. 函数的图象有条切线方程为 D. 点是曲线的对称中心 11. 南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》一书中画了一张表示二项式系数构成的三角形数阵（如图所示）称做“开方做法本源”，简称为“杨辉三角”，根据如图所示“杨辉三角”，则下列选项正确的是（ ） A. 第8行所有数字的和为256 B. C. 第6行所有数字平方和等于 D. 若第n行第i个数记为，则 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 在中，已知，，，则________． 13. 已知的展开式中各项系数和是96，则展开式中的系数为________． 14. 甲，乙，丙三人相互做传球训练，第一次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，经过次传球后，球在乙手中的概率为________；经过次传球后，球在甲手中的概率为________（用含有的式子表示）． 四、解答题（共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 人工智能是新一轮科技革命和产业变革的重要驱动力量，是研究、开发用于模拟、延伸和扩展人的智能的理论、方法、技术及应用系统的一门新的技术科学，很多学校已经推出基于的人工智能通识课程，帮助学生深入了解人工智能的历史、关键技术及其在科学研究、社会发展中的高效应用，培养跨学科思维，推动人工智能技术在多领域的深度融合与创新，某探究小组利用解答了50份高考模拟试卷，收集其准确率，整理得到如图所示的频率分布直方图． （1）求直方图中a值； （2）估计该50份高考模拟卷的平均准确率（同一组中的数据用该组区间的中点值作为代表）； （3）为进一步调查，采用分层抽样从准确率在，，内的试卷中抽取9份，再从中任选3份进行调查，求抽到准确率在内的试卷份数X的分布列和数学期望． 16. 如图，四边形是边长为4的正方形，半圆面平面，点P为半圆弧上一动点（点P与点A、D不重合）． （1）求证：； （2）当点P为半圆弧上中点时，求二面角的正弦值． 17. 已知函数，． （1）若在处的切线方程与直线垂直，求a的值并求函数在区间的最值； （2）若，试讨论的单调性． 18. 把若干个红球和白球（除颜色外没有其他差异）放进甲、乙、丙三个空盒子中，且其中的红球占比依次为、、．现随机选取一个盒子，每个盒子被选取的概率均为，然后从选取的盒子中随机摸出一个球． （1）求摸出的球是红球的概率； （2）若摸出的球是红球，记该红球为“”． （ⅰ）求“”是从乙盒摸出的概率； （ⅱ）将“”放回原盒，再从该盒中随机摸出一个球，求此球为红球的概率． 19. 从函数的观点看，方程的根就是函数的零点，设函数的零点为r．牛顿在《流数法》一书中，给出了高次代数方程的根一种数值解法——牛顿法．具体做法如下：如图所示，先在x轴找初始点，然后作函数在点处切线，切线与轴交于点，再作在点处切线（轴，以下同），切线与轴交于点，再作在点处切线，一直重复，可得到一列数：，，，…，．显然，它们会越来越逼近．于是，求r近似解的过程转化为求，当n很大时，很小，我们就可以把的值作为r的近似值，即把作为函数的近似零点．我们知道，在点处的切线方程为，如果，那么切线与x轴的交点的横坐标为，继续这个过程就可以推导出如下求方程根的牛顿法公式：如果，那么，请根据以上材料解答下列问题． （1）设函数，当时，求的近似解，； （2）在（1）的条件下，求数列的通项公式和前项和； （3）函数若设初始点为，类比上述算法，求所得前个，，……，面积和． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $