第一章 特殊平行四边形 小结与复习 课件-2024-2025学年北师大版数学上册

小结与复习 第一章 特殊平行四边形 北师大版九年级上册 对边 角 对角线 对称性 平行且相等 平行 且四边相等 平行 且四边相等 四个角 都是直角 对角相等 邻角互补 四个角 都是直角 互相平分且相等 互相垂直平分且相等，每一条对角线平分一组对角 中心对称图形 轴对称图形 中心对称图形 轴对称图形 中心对称图形 轴对称图形 互相垂直且平分，每一条对角线平分一组对角 一、菱形、矩形、正方形的性质 要点梳理 项目 四边形 四边形 条件 ①定义：有一外角是直角的平行四边形 ②三个角是直角的四边形 ③对角线相等的平行四边形 ①定义：一组邻边相等的平行四边形 ②四条边都相等的四边形 ③对角线互相垂直的平行四边形 ①定义：一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形 ②有一组邻边相等的矩形 ③有一个角是直角的菱形 二、菱形、矩形、正方形的常用判定方法 例1：如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，∠BAD=60°，BD =6，求菱形的边长AB和对角线AC的长. 解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD(菱形的对角线互相垂直) OB=OD= BD = ×6=3(菱形的对角线互相平分) 在等腰三角形ABC中， ∵∠BAD=60°， ∴△ABD是等边三角形. ∴AB = BD = 6. A B C O D 考点一 菱形的性质和判定 考点讲练 证明：在△AOB中. ∵AB= , OA=2,OB=1. ∴AB2=AO2+OB2. ∴ △AOB是直角三角形, ∠AOB是直角. ∴AC⊥BD. ∴ □ABCD是菱形 (对角线垂直的平行四边形是菱形). 1. 已知：如右图,在□ABCD中,对角线AC与BD相交于点O, AB= ,OA=2,OB=1. 求证： □ABCD是菱形. A B C O D 针对训练 2 2.已知：如图,在△ABC, AD是角平分线,点E、F分别在AB、 AD上,且AE=AC,EF = ED. 求证：四边形CDEF是菱形. A C B E D F 证明： ∵ ∠1= ∠2, 又∵AE=AC, ∴ △ACD≌△AED (SAS). 同理△ACF≌ △AEF(SAS) . ∴CD=ED, CF=EF. 又∵EF=ED, ∴四边形ABCD是菱形（四边相等的四边形是菱形）. 1 3.如图，两张等宽的纸条交叉重叠在一起，猜想重叠部分的四边形ABCD是什么形状？说说你的理由. A B C D E F 解：四边形ABCD是菱形. 过点C作AB边的垂线交点E,作AD边上的垂线交点F. S 四边形ABCD=AD · CF =AB ·CE . 由题意可知 CE = CF 且 四边形ABCD是平行四边形. ∴AD = AB . ∴四边形ABCD是菱形. 例2：如图,在矩形ABCD中,两条对角线相交于点O, ∠AOD=120°,AB=2.5 ,求矩形对角线的长. 解：∵四边形ABCD是矩形. ∴AC = BD(矩形的对角线相等). OA= OC= AC,OB = OD = BD , (矩形对角线相互平分) ∴OA = OD. A B C D O 考点二 矩形的性质和判定 A B C D O ∵∠AOD=120°, ∴∠ODA=∠OAD= (180°- 120°)=30°. 又∵∠DAB=90° , （矩形的四个角都是直角） ∴BD = 2AB = 2 ×2.5 = 5. 4.如图,在□ABCD中,对角线AC与BD相交于点O , △ABO是等边三角形, AB=4,求□ABCD的面积. 解：∵四边形ABCD是平行四边形, ∴OA= OC,OB = OD. 又∵△ABO是等边三角形, ∴OA= OB=AB= 4,∠BAC=60°. ∴AC= BD= 2OA = 2×4 = 8. A B C D O 针对训练 ∴□ABCD是矩形 （对角线相等的平行四边形是矩形）. ∴∠ABC=90°（矩形的四个角都是直角） . 在Rt△ABC中,由勾股定理,得 AB2 + BC2 =AC2 , ∴BC= . ∴S□ABCD=AB·BC=4× = A B C D O 5.如图，O是菱形ABCD对角线的交点，作BE∥AC，CE∥BD，BE、CE交于点E，四边形CEBO是矩形吗？说出你的理由. D A B C E O 解：四边形CEBO是矩形. 理由如下：已知四边形ABCD是菱形. ∴AC⊥BD. ∴∠BOC=90°. ∵DE∥AC,CE∥BD， ∴四边形CEBO是平行四边形. ∴四边形CEBO是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）. 例3：如图在正方形ABCD中,E为CD上一点，F为BC边延长线上一点,且CE=CF. BE与DF之间有怎样的关系？请说明理由. 解：BE=DF,且BE⊥DF.理由如下： （1）∵四边形ABCD是正方形. ∴BC=DC,∠BCE =90° . （正方形的四条边都相等,四个角都是直角） ∴∠DCF=180°-∠BCE=180°-90°=90°. A B D C F E 考点三 正方形的性质和判定 ∴∠BCE=∠DCF. 又∵CE=CF. ∴△BCE≌△DCF. ∴BE=DF. (2)延长BE交DE于点M, ∵△BCE≌△DCF , ∴∠CBE =∠CDF. ∵∠DCF =90° , ∴∠CDF +∠F =90°.∴∠CBE+∠F=90° , ∴∠BMF=90°. ∴BE⊥DF. A B D F E C M 6. 如图,在矩形ABCD中, BE平分∠ABC , CE平分∠DCB , BF∥CE , CF∥BE. 求证：四边形BECF是正方形. F A B E C D 解析：先由两组平行线得出四边形BECF平行四边形；再由一个直角，得出是矩形；最后由一组邻边相等可得正方形. 45° 45° 针对训练 F A B E C D 证明: ∵ BF∥CE,CF∥BE， ∴四边形BECF是平行四边形. ∵四边形ABCD是矩形, ∴ ∠ABC = 90°, ∠DCB = 90°, ∵BE平分∠ABC, CE平分∠ DCB, ∴∠EBC = 45°, ∠ECB = 45°, ∴ ∠ EBC =∠ ECB . ∴ EB=EC,∴□ BECF是菱形 . 在△EBC中 ∵ ∠EBC = 45°,∠ECB = 45°, ∴∠BEC = 90°, ∴菱形BECF是正方形.（有一个角是直角的菱形是正方形） 四边形的分类及转化 有一个角是90° （或对角线互相垂直） 有一对邻边相等 （或对角线相等） 平行四边形 矩形 菱形 正方形 一组邻边相等且一个内角为直角 （或对角线互相垂直且相等） 有一个角是90° （或对角线互相垂直） 有一对邻边相等 （或对角线相等） 课堂小结 考点一　菱形的性质和判定 1．下列说法中不正确的是( ) A．四边相等的四边形是菱形 B．对角线垂直的平行四边形是菱形 C．菱形的对角线互相垂直且相等 D．菱形的邻边相等 C 课堂练习 C (2，0) 考点二　矩形的性质和判定 5．已知矩形的两条对角线的夹角为60°，两条对角线的长度的和为24 cm，则这个矩形的一条较短的边长为( ) A．12 cm B．8 cm C．6 cm D．5 cm 6．如图，矩形ABCD中，AB＝3，对角线AC，BD交于点O，DH⊥AC，垂足为点H，若∠ADH＝2∠CDH，则AD的长为_______. C 7．如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，△OAB是等边三角形，AB＝4. (1)求证：▱ABCD是矩形； (2)求AD的长． 考点三　直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 8．如图，公路AC，BC互相垂直，公路AB的中点M与点C被湖隔开，若测得AM的长为1.2 km，则M，C两点间的距离为( ) A．0.5 km B．0.6 km C．0.9 km D．1.2 km D 9．如图，在矩形ABCD中，点E为BA延长线上一点，F为CE的中点，以B为圆心，BF长为半径的圆弧过AD与CE的交点G，连接BG.若AB＝4，CE＝10，则AG＝( ) A．2 B．2.5 C．3 D．3.5 C 10．如图，在△ABC中，延长CA到点D，使BD＝BA，延长BA到点E，使CE＝CA，若点P，M，N分别是BC，AD，AE的中点，求证：△PMN是等腰三角形． C B 13．将正方形ABCD和菱形EFGH按照如图所示摆放，顶点D与顶点H重合，菱形EFGH的对角线HF经过点B，点E，G分别在AB，BC上． (1)求证：△ADE≌△CDG； (2)若AE＝BE＝2，求BF的长． 2．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E是CD中点，连接OE，则下列结论中不一定正确的是( ) A．AB＝AD B．OE＝ eq \f(1,2) AB C．∠DOE＝∠DEO D．∠EOD＝∠EDO 3．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD对角线的交点坐标是O(0，0)，点B的坐标是(0，1)，且BC＝ eq \r(5) ，则点A的坐标是__________． 4．如图，平行四边形ABCD中，AE，CF分别是∠BAD，∠BCD的平分线，且E，F分别在边BC，AD上，AE＝AF. (1)求证：四边形AECF是菱形； (2)若∠ABC＝60°，△ABE的面积等于4 eq \r(3) ，求平行线AB与DC间的距离． 解：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠BAD＝∠BCD，AD∥BC，∵AE，CF分别是∠BAD，∠BCD的平分线，∴∠BAE＝∠DAE＝ eq \f(1,2) ∠BAD，∠BCF＝∠DCF＝ eq \f(1,2) ∠BCD，∴∠DAE＝∠BCF，∵AD∥BC，∴∠DAE＝∠AEB，∴∠BCF＝∠AEB，∴AE∥FC，∴四边形AECF是平行四边形，∵AE＝AF，∴四边形AECF是菱形　 (2)连接AC，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠DAE＝∠AEB，∵AE平分∠BAD，∴∠BAE＝∠DAE，∴∠BAE＝∠AEB，∴AB＝EB，∵∠ABC＝60°，∴△ABE是等边三角形，∴∠BAE＝∠AEB＝∠ABE＝60°，∵△ABE的面积等于4 eq \r(3) ，∴ eq \f(\r(3),4) AB2＝4 eq \r(3) ，∴AB＝4，即AB＝AE＝EB＝4，由(1)知四边形AECF是菱形，∴AE＝CE＝4，∴∠EAC＝∠ECA，∵∠AEB是△AEC的一个外角，∴∠AEB＝∠EAC＋∠ECA＝60°，∴∠EAC＝∠ECA＝30°，∴∠BAC＝∠BAE＋∠EAC＝90°，即AC⊥AB，由勾股定理得AC＝ eq \r(BC2－AB2) ＝ eq \r(（4＋4）2－42) ＝4 eq \r(3) ，即平行线AB与DC间的距离是4 eq \r(3) 3 eq \r(3) 解：(1)∵△OAB为等边三角形，∴OA＝OB，∵四边形ABCD是平行四边形，∴OB＝OD＝ eq \f(1,2) BD，OA＝OC＝ eq \f(1,2) AC，∴BD＝AC，∴▱ABCD是矩形 (2)∵△OAB是等边三角形，AB＝4，∴OB＝AB＝4，∴BD＝8，∵▱ABCD是矩形，∴∠BAD＝90°，在Rt△ABD中，AD2＝BD2－AB2，∴AD＝ eq \r(82－42) ＝4 eq \r(3) 证明：连接BM，CN，∵BA＝BD，DM＝MA，∴BM⊥AD.又∵BP＝PC，∴MP＝ eq \f(1,2) BC.同理可得NP＝ eq \f(1,2) BC，∴MP＝NP，∴△PMN是等腰三角形 考点四　正方形的性质和判定 11．如图，已知F，E分别是正方形ABCD的边AB与BC的中点，AE与DF交于点P，则下列结论成立的是( ) A．BE＝ eq \f(1,2) AE 　　 B．PC＝PD C．∠EAF＋∠AFD＝90° 　　 D．PE＝EC 12．如图，在Rt△ABC中，AB＝4，点M是斜边BC的中点，以AM为边作正方形AMEF.若S正方形AMEF＝16，则S△ABC＝( ) A．4 eq \r(3) B．8 eq \r(3) C．12 D．16 解：(1)∵四边形ABCD是正方形，四边形EFGH是菱形，∴AD＝CD，ED＝GD，∠ADB＝∠CDB，∠EHB＝∠GHB，∴∠ADB－∠EHB＝∠CDB－∠GHB，即∠ADE＝∠CDG，在△ADE和△CDG中， eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AD＝CD，,∠ADE＝∠CDG，,ED＝GD，)) ∴△ADE≌△CDG(SAS) (2)过点E作EQ⊥DF于点Q，则∠EQB＝90°，∵四边形ABCD是正方形，∴∠A＝90°，AD＝AB＝AE＋BE＝2＋2＝4，∠EBQ＝∠CBD＝45°，∴∠QEB＝45°＝∠EBQ，∴EQ＝BQ，∵BE＝2，∴2EQ2＝22，∴EQ＝BQ＝ eq \r(2) (负数已舍去)，在Rt△DAE中，由勾股定理得：DE＝ eq \r(AD2＋AE2) ＝ eq \r(42＋22) ＝2 eq \r(5) ，∵四边形EFGH是菱形，∴EF＝DE＝2 eq \r(5) ，∴QF＝ eq \r(EF2－EQ2) ＝ eq \r(（2\r(5)）2－（\r(2)）2) ＝3 eq \r(2) ，∴BF＝QF－QB＝3 eq \r(2) － eq \r(2) ＝2 eq \r(2) $$