期末复习专题讲义：不等式与不等式组-2024-2025学年人教版数学七年级下册

期末复习专题讲义：不等式与不等式组 资料预览 【核心考点梳理】 2 考点一、不等式的概念与性质 2 考点二、解一元一次不等式（规范步骤） 2 考点三、一元一次不等式组（求公共解集） 2 考点四、不等式（组）的实际应用 3 【例题讲解】 3 一、不等式的概念 3 二、不等式的解及解集 3 三、在数轴上表示不等式的解集 3 四、已知不等式的解（集）求参数 4 五、不等式的性质 4 六、一元一次不等式的概念 4 七、列一元一次不等式 4 八、解一元一次不等式 4 九、一元一次不等式的特殊解 4 十、一元一次不等式的含参问题 4 十一、一元一次不等式的应用 5 十二、一元一次不等式组的概念 5 十三、列一元一次不等式组 5 十四、解一元一次不等式组 6 十五、在数轴上表示不等式组的解集 6 十六、一元一次不等式组的特殊解 6 十七、一元一次不等式组的含参问题 6 十八、一元一次不等式组的应用 6 十九、不等式组和一元一次方程的综合应用 7 二十、不等式组和二元一次方程（组）的综合应用 7 二十一、一元一次不等式组的实际应用-方案问题 8 【强化训练】 8 一、选择题 8 二、填空题 9 三、解答题 9 【核心考点梳理】 考点一、不等式的概念与性质 考点 核心内容 易错点 1. 不等关系 用符号 >, ≥, <, ≤, ≠ 表示大小关系（如：“至少” → ≥，“不超过” → ≤）。 混淆“≥”与“>”的实际意义 2. 不等式性质 性质1：加减同数，不等号方向不变（移项依据） 性质2：乘除正数，方向不变 性质3：乘除负数，方向必须改变 乘负数时忘记翻转不等号（如： -2x > 6 → x < -3） 考点二、解一元一次不等式（规范步骤） 1.解题流程： （1）去分母：若分母为负，不等号方向翻转。 （2）去括号：注意符号（如：-2（ ）= -2x + 2）。 （3）移项：含未知数项移左，常数项移右（变号）。 （4）合并：如 3x - 2x > 5 + 1 → x > 6。 （5）系数化1：系数为负时，不等号方向必须翻转！ 2.解集表示： 解集形式 数轴表示 示例 x > a （空心向右） x > 2 x ≤ b （实心向左） x ≤ -1 考点三、一元一次不等式组（求公共解集） 1.解题步骤： （1）分别求出每个不等式的解集。 （2）将解集画在同一数轴上，取重叠部分。 2.解集类型（重点！）： 类型 数轴图示 解集 口诀 同大取大 x > b（a < b） 大大取较大 同小取小 x < a（a < b） 小小取较小 大小小大中间找 （有重叠） a < x < b 大小小大取中间 大大小小无处找 （无重叠） 无解 矛盾则无解 考点四、不等式（组）的实际应用 1.解题流程： （1）审题：抓关键词（“至少”“最多”“不超过”），找 1~2 个不等关系。 （2）设元：设未知数（如物品数量 x）。 （3）列式：根据不等关系列不等式（组）（如 5x + 8 ≥ 6x - 2）。 （4）求解：求整数解（如人数、物品数）。 （5）验答：解需符合实际意义（非负整数）。 2.典型题型： （1）方案选择：预算内最大购买量（例：A商品40元/件，B商品60元/件，预算500元，至少买1件B，求最多买A件数 → 40x + 60 ≤ 500）。 （2）物资分配：物品剩余与不足（例：每人分5本余8本，分6本缺2本 → 5x + 8 ≥ 6x - 2）。 （3）积分问题：胜/平场次与总分（例：胜得3分，平得1分，总分≥10分 → 3x + y ≥ 10）。 【例题讲解】 一、不等式的概念 例题1：下列式子中，是不等式的是（　　） A． B． C． D． 例题2：请用不等式表示“x的2倍与3的和大于5”：　 　． 二、不等式的解及解集 例题1：下列实数中，不是x+4≥2的解的是（　　） A．﹣3 B．﹣2 C．0 D．3.5 例题2：不等式组的解集为　 　． 三、在数轴上表示不等式的解集 例题1：在数轴上表示不等式x－1≤0的解集，正确的是(　　) A． B． C． D． 例题2：已知关于x的一元一次不等式的解集如图所示，则　 　． 四、已知不等式的解（集）求参数 例题1：如果的解集为，那么的取值范围是（　　） A． B． C． D．是任意实数 五、不等式的性质 例题1：若，则下列不等式成立的是（　　） A． B． C． D． 例题2：若，则4a　 　4b（填“＜”、“＝”或“＞”号）. 六、一元一次不等式的概念 例题1：下列不等式是一元一次不等式的是(　　) A．y+3≥x B．3+4 > 0 C． D．2+x > 4 例题2：已知 是关于 的一元一次不等式，则 的值为　 　． 七、列一元一次不等式 例题1：“的3倍减去5是非负数”用不等式表示为（　　） A． B． C． D． 例题2：苹果的进价是每千克5元，销售中估计有的苹果正常损耗．商家把售价至少定为多少，才能避免亏本？设售价定为每千克元时不亏本，依据题意，可列不等式为　 　． 八、解一元一次不等式 例题1：不等式﹣2x﹣1≥1的解集是（　　） A．x≥﹣1 B．x≤﹣1 C．x≤0 D．x≤1 例题2：不等式的解集在数轴上表示正确的是（　　） A． B． C． D． 例题3：不等式的解集为　 　． 九、一元一次不等式的特殊解 例题1：不等式的正整数解有(　　) A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 例题2：已知关于的不等式有三个负整数解，则的取值范围为　 　． 十、一元一次不等式的含参问题 例题1：不等式的解集是，则应满足(　　) A． B． C． D． 例题2：若不等式 的解集是 ，则m的取值范围是　 　． 十一、一元一次不等式的应用 例题1：商店为了对某种商品促销，将定价为30元的商品，以下列方式优惠销售：若购买不超过5件，按原价付款；若一次性购买5件以上，超过部分打八折，现有270元，最多可以购买该商品的件数是（　　） A．9件 B．10件 C．11件 D．12件 例题2：某试卷共有50道选择愿，每道题选对得4分，选错了或者不选扣2分，至少要选对　 　道题，其得分才能不少于120分． 例题3：“体育承载着国家强盛、民族振兴的梦想，体育强则中国强，国运兴则体育兴．”为引导学生在体育锻炼中享受乐趣、增强体质，学校开展大课间活动，七年级一班拟组织学生参加跳绳活动，需购买A，B两种跳绳若干，已知购买1根A种跳绳和3根B种跳绳共需105元；购买3根A种跳绳和5根B种跳绳共需215元． （1）求A，B两种跳绳的单价； （2）如果班级计划购买A，B两型跳绳共48根，总费用不超过1322元，最多可购买A种跳绳多少根？ 十二、一元一次不等式组的概念 例题1：下列属于一元一次不等式组的是（　　） A． B． C． D． 十三、列一元一次不等式组 例题1： 把一筐梨分给几个学生，若每人分4个，则剩下3个；若每人分6个，则最后一个同学能分到梨，但最多分3个.设有x个学生，依题意可列不等式组为(　　) A． B． C． D． 例题2： 在学校读书节活动中，老师把一些图书分给勤奋小组的同学们．如果每人分5本，那么剩余 12本；如果每人分8本，那么最后一人虽分到书但不足8本，问勤奋小组的人数？ 设勤奋小组有x人，则可列不等式组为　 　． 十四、解一元一次不等式组 例题1：下列各数中，为不等式组解的是（　　） A． B．0 C．2 D．4 例题2：解下列一元一次不等式组： （1） （2） 十五、在数轴上表示不等式组的解集 例题1：在数轴上表示一个不等式组的解集如图所示，则这个不等式组的解集是（　　） A． B． C． D． 例题2：关于的不等式组中的两个不等式的解集如图所示，则该不等式组的解集为　 　． 十六、一元一次不等式组的特殊解 例题1：若关于x的不等式组的所有整数解的和是6，则m的取值范围是（　　） A．3＜m＜4 B．3m＜4 C．3＜m4 D．3m4 例题2：如果关于的不等式组有且只有三个整数解，且关于的方程有整数解，那么符合条件的所有整数的和为（　　） A． B． C． D． 十七、一元一次不等式组的含参问题 例题1：如果不等式组的解集是，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 例题2：若不等式组的解集为，则的取值范围为　 　 ． 十八、一元一次不等式组的应用 例题1：某学校准备购进单价分别为5元和7元的A、B两种笔记本共50本作为奖品发放给学生，要求A种笔记本的数量不多于B种笔记本数量的3倍，不少于B种笔记本数量的2倍，则不同的购买方案种数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 例题2：某班级践行“绿水青山就是金山银山”的理念，开展植树活动．如果每人种2棵，则剩39棵；如果每人种3棵，则最后一人有树种但不足2棵，则该班有　 　名学生． 十九、不等式组和一元一次方程的综合应用 例题1：某服装厂生产一批服装和领带，服装每套定价元，领带每条的定价为元，厂方在开展促销活动期间，向客户提供了如下两种优惠方案： 方案一：购买一套服装赠送一条领带； 方案二：服装和领带均按定价的九折出售． 某商店老板现要到服装厂采购服装套，领带条，请根据的不同情况，帮助商店老板选择最省钱的方案． 二十、不等式组和二元一次方程（组）的综合应用 例题1：某商场购进A，B两种商品，已知购进3件A商品比购进4件B商品费用多60元；购进5件A商品和2件B商品总费用为620元． （1）求A，B两种商品每件进价各为多少元？ （2）该商场计划购进A，B两种商品共60件，且购进B商品的件数不少于A商品件数的2倍．若A商品按每件150元销售，B商品按每件80元销售，为满足销售完A，B两种商品后获得的总利润不低于1770元，则购进A商品的件数最多为多少？ 二十一、一元一次不等式组的实际应用-方案问题 例题1：某中学为了给同学们提供更好的学习环境，计划购买一批桂花树和香樟树来绿化校园，经市场调查发现购买棵桂花树和棵香樟树共需元，购买棵桂花树和棵香樟树共需元． （1）求桂花树和香樟树的单价各是多少元？ （2）根据学校实际情况，需购买两种树苗共棵，总费用不超过元，且购买香樟树的棵数不少于桂花树的倍，请你算算，该校本次购买桂花树和香樟树共有哪几种方案． 【强化训练】 一、选择题 1．若关于的一元一次不等式，则的值（　　） A． B．1或 C．或 D． 2．不等式的解集在数轴上表示正确的是（　　） A． B． C． D． 3．下列说法正确的是（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 4．某公司开发了一个模型，用于实时视频分析．模型的推理时间T（单位：毫秒）与输入数据的大小（单位：）的关系表达式为：，为了保证实时性，公司希望模型的推理时间不超过100毫秒．以下哪个选项正确描述了输入数据大小的取值范围，使得推理时间不超过100毫秒？（　　） A． B． C． D． 5．一元一次不等式的正整数解共有（　　） A．5个 B．6个 C．10个 D．无数个 6．若不等式组 的解集是x＞2，则m的取值范围是（　　） A．m＜2 B．m＞2 C．m≤2 D．m≥2 7．若关于x的不等式的解集为，则关于x的不等式的解集是（　　） A． B． C． D． 8． 2023年2月26日，横琴马拉松在广东珠海横琴金融岛中央公园开跑．小强跑在小海前面，在离终点时，他以的速度向终点冲刺，而此时小海在他身后，请问小海需以多快的速度同时冲刺，才能在小强之前到达终点？设此时小海冲刺的速度为，可列的不等式为（　　） A． B． C． D． 9．已知关于x 的不等式组 的解集是 ，则 的值为（　　） A． B． C． D． 10．已知关于x的不等式组至少有三个整数解，关于y的方程的解为正数，则满足条件的所有整数m的值之和为（　　） A．1 B．0 C． D． 二、填空题 11．不等式的最大整数解为　 　． 12．不等式的解集，则的取值范围为　 　． 13．一罐饮料净重为，灌上注有“蛋白质含量”，其中蛋白质的含量至少为　 　g． 14．定义一种新运算：，例如：．根据上述定义，不等式组的解集是　 　． 15．若不等式组 无解，则实数a的取值范围是　 　． 三、解答题 16．（1）解不等式： （2）解不等式组：．并在数轴上表示其解集． 17．某校举行“学以致用，数你最行”数学知识抢答赛，共有20道题，规定答对一道题得10分，答错或放弃扣4分，在这次抢答赛中，七年级1班代表队被评为优秀（90分或90分以上），求这个队至少要答对多少道题？ 18．“广安盐皮蛋”是小平故里的名优特产，某超市销售两种品牌的盐皮蛋，若购买9箱种盐皮蛋和6箱种盐皮蛋共需390元；若购买5箱种盐皮蛋和8箱种盐皮蛋共需310元． （1）种盐皮蛋、种盐皮蛋每箱价格分别是多少元？ （2）若某公司购买两种盐皮蛋共30箱，且种的数量至少比种的数量多5箱，又不超过种的2倍，怎样购买才能使总费用最少？并求出最少费用． 19．冬奥会吉祥物“冰墩墩”和冬残奥会吉祥物“雪容融”深受广大人民的喜爱．某单位准备购进吉祥物系列商品冰墩墩毛绒玩具和雪容融钥匙扣共个．在某官方旗舰店看到冰墩墩毛绒玩具每个元，雪容融钥匙扣每个元． （1）该单位准备用不超过元的资金购进冰墩墩毛绒玩具和雪容融钥匙扣，问最多可以购进冰墩墩毛绒玩具多少个？ （2）若购进雪容融钥匙扣的数量不超过冰墩墩毛绒玩具数量的倍，求此时所用的最少资金． 20．“恒都生态牛肉”享誉东南亚，不少城市都设有“恒都生态牛肉”专卖店，某专卖店经销精选牛肉和普通牛肉，其中精选牛肉每斤进价比普通牛肉多5元，该专卖店用3800元一次购进普通牛肉50斤和精选牛肉40斤进行销售． （1）求精选牛肉和普通牛肉每斤购进单价各多少元？ （2）本次所购进牛肉该专卖店将普通牛肉以每斤60元价格销售，精选牛肉以每斤80元价格销售，普通牛肉很快售完，精选牛肉销售60%后，为了尽快售完，决定打折促销，要使得本次购进牛肉销售利润不少于2080元，剩余精选牛肉每斤售价最少打几折？ 21．定义：如果一元一次方程的解也是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该不等式组的“相伴方程”．例如：方程2x﹣6＝0的解为x＝3，不等式组的解集为2＜x＜5．因为2＜3＜5．所以称方程2x﹣6＝0为不等式组的相伴方程． （1）若关于x的方程2x﹣k＝2是不等式组的相伴方程，求k的取值范围； （2）若方程2x+4＝0，1都是关于x的不等式组的相伴方程，求m的取值范围； （3）若关于x的不等式组的所有相伴方程的解中，有且只有2个整数解，求n的取值范围． 第 1 页 共 27 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期末复习专题讲义：不等式与不等式组 资料预览 【核心考点梳理】 2 考点一、不等式的概念与性质 2 考点二、解一元一次不等式（规范步骤） 2 考点三、一元一次不等式组（求公共解集） 2 考点四、不等式（组）的实际应用 3 【例题讲解】 3 一、不等式的概念 3 二、不等式的解及解集 4 三、在数轴上表示不等式的解集 4 四、已知不等式的解（集）求参数 5 五、不等式的性质 5 六、一元一次不等式的概念 6 七、列一元一次不等式 6 八、解一元一次不等式 7 九、一元一次不等式的特殊解 8 十、一元一次不等式的含参问题 9 十一、一元一次不等式的应用 9 十二、一元一次不等式组的概念 10 十三、列一元一次不等式组 11 十四、解一元一次不等式组 12 十五、在数轴上表示不等式组的解集 13 十六、一元一次不等式组的特殊解 13 十七、一元一次不等式组的含参问题 14 十八、一元一次不等式组的应用 15 十九、不等式组和一元一次方程的综合应用 16 二十、不等式组和二元一次方程（组）的综合应用 17 二十一、一元一次不等式组的实际应用-方案问题 18 【强化训练】 18 一、选择题 18 二、填空题 22 三、解答题 23 【核心考点梳理】 考点一、不等式的概念与性质 考点 核心内容 易错点 1. 不等关系 用符号 >, ≥, <, ≤, ≠ 表示大小关系（如：“至少” → ≥，“不超过” → ≤）。 混淆“≥”与“>”的实际意义 2. 不等式性质 性质1：加减同数，不等号方向不变（移项依据） 性质2：乘除正数，方向不变 性质3：乘除负数，方向必须改变 乘负数时忘记翻转不等号（如： -2x > 6 → x < -3） 考点二、解一元一次不等式（规范步骤） 1.解题流程： （1）去分母：若分母为负，不等号方向翻转。 （2）去括号：注意符号（如：-2（ ）= -2x + 2）。 （3）移项：含未知数项移左，常数项移右（变号）。 （4）合并：如 3x - 2x > 5 + 1 → x > 6。 （5）系数化1：系数为负时，不等号方向必须翻转！ 2.解集表示： 解集形式 数轴表示 示例 x > a （空心向右） x > 2 x ≤ b （实心向左） x ≤ -1 考点三、一元一次不等式组（求公共解集） 1.解题步骤： （1）分别求出每个不等式的解集。 （2）将解集画在同一数轴上，取重叠部分。 2.解集类型（重点！）： 类型 数轴图示 解集 口诀 同大取大 x > b（a < b） 大大取较大 同小取小 x < a（a < b） 小小取较小 大小小大中间找 （有重叠） a < x < b 大小小大取中间 大大小小无处找 （无重叠） 无解 矛盾则无解 考点四、不等式（组）的实际应用 1.解题流程： （1）审题：抓关键词（“至少”“最多”“不超过”），找 1~2 个不等关系。 （2）设元：设未知数（如物品数量 x）。 （3）列式：根据不等关系列不等式（组）（如 5x + 8 ≥ 6x - 2）。 （4）求解：求整数解（如人数、物品数）。 （5）验答：解需符合实际意义（非负整数）。 2.典型题型： （1）方案选择：预算内最大购买量（例：A商品40元/件，B商品60元/件，预算500元，至少买1件B，求最多买A件数 → 40x + 60 ≤ 500）。 （2）物资分配：物品剩余与不足（例：每人分5本余8本，分6本缺2本 → 5x + 8 ≥ 6x - 2）。 （3）积分问题：胜/平场次与总分（例：胜得3分，平得1分，总分≥10分 → 3x + y ≥ 10）。 【例题讲解】 一、不等式的概念 例题1：下列式子中，是不等式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】【解答】解：根据不等式的定义，可得 A：x+3=0是方程，不是不等式，不符合题意； B：是代数式，不是不等式，不符合题意； C：是方程，不是不等式，不符合题意； D：2x+3>0是不等式，故本选项符合题意； 故答案为：D． 【分析】根据不等式的定义：一用不等号“>”（或“≥”），“<”（或“≤”）连接的式子叫做不等式，然后对各个选项进行分析即可判断。 例题2：请用不等式表示“x的2倍与3的和大于5”：　 　． 【答案】 【解析】【解答】解：根据题意得，2x+3＞5． 故答案为：2x+3＞5． 【分析】x的2倍为2x，2x与3的和为2x+3，这个和大于5即2x+3＞5，将文字语言转化为符号语言. 二、不等式的解及解集 例题1：下列实数中，不是x+4≥2的解的是（　　） A．﹣3 B．﹣2 C．0 D．3.5 【答案】A 【解析】【解答】解：∵x+4≥2， ∴x≥﹣2. ∴﹣2、0、3.5是不等式的解，﹣3不是不等式的解. 故答案为：A. 【分析】根据一元一次不等式的解法求出x+4≥2的解集，然后进行判断. 例题2：不等式组的解集为　 　． 【答案】 【解析】【解答】解：不等式组的解集为． 故答案为：． 【分析】根据“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则找出其公共解集即可． 三、在数轴上表示不等式的解集 例题1：在数轴上表示不等式x－1≤0的解集，正确的是(　　) A． B． C． D． 【答案】D 【解析】【解答】解：∵x－1≤0， ∴x≤1， ∴在数轴上可表示为： 故答案为：D. 【分析】先解出不等式，然后在数轴上表示即可。 例题2：已知关于x的一元一次不等式的解集如图所示，则　 　． 【答案】 【解析】【解答】解：由数轴可得： 关于x的一元一次不等式的解集为x＜2， ∵一元一次不等式， ∴x＜1-a， ∴1-a=2， 解得：a=-1， 故答案为：-1. 【分析】先求出关于x的一元一次不等式的解集为x＜2，再求出1-a=2，最后计算求解即可。 四、已知不等式的解（集）求参数 例题1：如果的解集为，那么的取值范围是（　　） A． B． C． D．是任意实数 【答案】B 【解析】【解答】∵的解集是 ， ∴， 解得， 故选：B. 【分析】根据不等式的基本性质，求出m的取值范围即可. 五、不等式的性质 例题1：若，则下列不等式成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】【解答】解：A：不等式的两边都减1，不等号的方向不变，A选项错误； B：不等式的两边都乘以-3，不等号的方向改变，B选项错误； C：不等式的两边都加16，不等号的方向不变，C选项正确； D：不等式的两边都除以5，不等号的方向不变，D选项错误； 故答案为：C． 【分析】根据不等式的基本性质：不等式两边同时加上或减去同一个数或整式，不等式方向不变；不等式两边同时乘以同一个小于0的数，不等式方向改变；不等式两边同时除以同一个大于0的数，不等式方向不变，据此即可对各个选项进行判断. 例题2：若，则4a　 　4b（填“＜”、“＝”或“＞”号）. 【答案】< 【解析】【解答】解：∵a＜b， ∴4a<4b. 故答案为：<. 【分析】不等式的性质：①不等式两边同时加或减去相同的数，不等号的方向不变；②不等式两边同时乘或除以相同的正数，不等号的方向不变；③不等式两边同时乘或除以相同的负数，不等号的方向改变，由不等式的性质可求解. 六、一元一次不等式的概念 例题1：下列不等式是一元一次不等式的是(　　) A．y+3≥x B．3+4 > 0 C． D．2+x > 4 【答案】D 【解析】【解答】解：A、y+3≥x，含有两个未知数，是二元一次不等式，故此选项不符合题意； B、：3+4 > 0，没有未知数，故此选项不符合题意； C、，未知数的最高次数为2，是一元二次不等式，故此选项不符合题意； D、2+x > 4，含有一个未知数，未知数的次数为1，不等式两边都是整式，是一元一次不等式，故此选项符合题意. 故答案为：D. 【分析】含有一个未知数，未知数的次数为1，不等式两边都是整式的不等式就是一元一次不等式，据此逐一判断得出答案. 例题2：已知 是关于 的一元一次不等式，则 的值为　 　． 【答案】﹣2 【解析】【解答】依题意得：|m|−1＝1且m-2≠0， 解得m＝-2． 故答案为：-2． 【分析】利用一元一次不等式的定义判断即可。 七、列一元一次不等式 例题1：“的3倍减去5是非负数”用不等式表示为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】【解答】解：∵非负数是指≥0的数， ∴“x的3倍减去5是非负数”用不等式表示为，3x-5≥0 故答案为：A． 【分析】先将x的3倍与5的差表示为3x-5，非负数即是大于等于0的数，再用不等号连接起来即可． 例题2：苹果的进价是每千克5元，销售中估计有的苹果正常损耗．商家把售价至少定为多少，才能避免亏本？设售价定为每千克元时不亏本，依据题意，可列不等式为　 　． 【答案】 【解析】【解答】设售价定为每千克x元时不亏本，依题意可列不等式为 故答案为：． 【分析】设售价定为每千克x元时不亏本，根据销售中估计有5%的苹果正常损耗．商家把售价至少定为多少，才能避免亏本可得不等式。 八、解一元一次不等式 例题1：不等式﹣2x﹣1≥1的解集是（　　） A．x≥﹣1 B．x≤﹣1 C．x≤0 D．x≤1 【答案】B 【解析】【解答】解：移项合并同类项得：﹣2x≥2， 系数化为1得：x≤﹣1． 故选B． 【分析】先移项合并同类项，然后系数化为1求解． 例题2：不等式的解集在数轴上表示正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】【解答】解：由 可得：x≤6﹣5， x≤﹣1． 解集在数轴上表示 故答案为：B． 【分析】根据解一元一次不等式基本步骤"移项、合并同类项、系数化为1"可求出不等式的解集，再根据再数轴上表示解集时“≤”实心向左并结合各选项即可求解． 例题3：不等式的解集为　 　． 【答案】 【解析】【解答】解：， ， ， ， ． 故答案为：. 【分析】根据解一元一次不等式基本步骤：去括号、移项、合并同类项、系数化为1，不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变． 九、一元一次不等式的特殊解 例题1：不等式的正整数解有(　　) A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】A 【解析】【解答】解：， ， 故正整数的解为：，，共两个 故答案为：A 【分析】先解不等式，再确定正整数解。 例题2：已知关于的不等式有三个负整数解，则的取值范围为　 　． 【答案】 【解析】【解答】解：解不等式得：， ∵关于的不等式有三个负整数解， ∴这三个负整数解是， ∴， ∴， 故答案为：． 【分析】由题意，先求出不等式的解集，再根据有三个负整数解可得关于的不等式，解不等式即可求解. 十、一元一次不等式的含参问题 例题1：不等式的解集是，则应满足(　　) A． B． C． D． 【答案】B 【解析】【解答】解：先解不等式得， ∵不等式的解集为， ∴ ∴． 故答案为：B． 【分析】先解含参不等式，求出不等式的解集，再与已知解集相比较，建立关于a的方程，解方程即可。 例题2：若不等式 的解集是 ，则m的取值范围是　 　． 【答案】m＜2 【解析】【解答】解：原不等式系数化1得， ， 又∵不等式的解集为x＜1， ∴m-2＜0， 即m＜2， 故答案为：m＜2． 【分析】由不等式的性质先求出原不等式的解集，再根据已知条件即可求得m的取值范围。 十一、一元一次不等式的应用 例题1：商店为了对某种商品促销，将定价为30元的商品，以下列方式优惠销售：若购买不超过5件，按原价付款；若一次性购买5件以上，超过部分打八折，现有270元，最多可以购买该商品的件数是（　　） A．9件 B．10件 C．11件 D．12件 【答案】B 【解析】【解答】解：设可以购买该商品x件， 依题意得：30×5+30×0.8（x-5）≤270， 解得：x≤10. 故答案为：B 【分析】设可以购买该商品x件，根据题意列出不等式，解不等式求出x的取值范围，即可得出答案. 例题2：某试卷共有50道选择愿，每道题选对得4分，选错了或者不选扣2分，至少要选对　 　道题，其得分才能不少于120分． 【答案】37 【解析】【解答】设应选对x道题，则选错或不选的题数有50-x，根据其得分不少于120分得：4x-2（50-x）≥120， 解得：x≥36 在本题中x应为正整数，故至少应选对37道题． 故答案为：37． 【分析】根据选对的题的数目乘以每道题选对的得分可求得其选对题的总分数，同理求出选错或不选的总分数，根据题意可列不等式求解． 例题3：“体育承载着国家强盛、民族振兴的梦想，体育强则中国强，国运兴则体育兴．”为引导学生在体育锻炼中享受乐趣、增强体质，学校开展大课间活动，七年级一班拟组织学生参加跳绳活动，需购买A，B两种跳绳若干，已知购买1根A种跳绳和3根B种跳绳共需105元；购买3根A种跳绳和5根B种跳绳共需215元． （1）求A，B两种跳绳的单价； （2）如果班级计划购买A，B两型跳绳共48根，总费用不超过1322元，最多可购买A种跳绳多少根？ 【答案】（1）解：设A种跳绳的单价为x元，B种跳绳的单价为y元， 根据题意得：， 解得， 答：A种跳绳的单价为30元，B种跳绳的单价为25元； （2）解：设购买A种跳绳a根，则购买B种跳绳根， 根据题意得：， 解得， ∵a为正整数， ∴a得最大值为24， 答：最多可购买A种跳绳24根． 【解析】【分析】（1）设种跳绳的单价为x元，种跳绳的单价为y元，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可得到答案； （2）设购买型跳绳a根，则购买B种跳绳根，根据“总费用不超过1322元”，列出不等式，解不等式即可得到答案． 十二、一元一次不等式组的概念 例题1：下列属于一元一次不等式组的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】【解答】解：A. ，含有两个未知数，且最高为2次，故不符合题意； B. ，是高为二次，故不符合题意； C. ，含有两个未知数，故不符合题意； D. ，是一元一次不等式组，故符合题意。 故答案为：D。 【分析】组成不等式组的几个不等式中，一共含有一个未知数，且未知数的最高次数是一次，不等号的左右两边都是整式，这样的不等式组就是一元一次不等式组，根据定义即可一一判断得出答案。 十三、列一元一次不等式组 例题1： 把一筐梨分给几个学生，若每人分4个，则剩下3个；若每人分6个，则最后一个同学能分到梨，但最多分3个.设有x个学生，依题意可列不等式组为(　　) A． B． C． D． 【答案】A 【解析】【解答】解：∵ 若每人分6个，则最后一个同学能分到梨，但最多分3个. ∴最后一个同学最少分一个，最多分三个， ∴， 故答案为：A. 【分析】 设有x个学生，由每人分4个，则剩下3个可得梨的总个数为(4x+3)，由每人分6个，则最后一个同学分到梨的个数为：4x+3-6(x-1)，由“ 最后一个同学能分到梨，但最多分3个 ”可列出不等式组. 例题2： 在学校读书节活动中，老师把一些图书分给勤奋小组的同学们．如果每人分5本，那么剩余 12本；如果每人分8本，那么最后一人虽分到书但不足8本，问勤奋小组的人数？ 设勤奋小组有x人，则可列不等式组为　 　． 【答案】 【解析】【解答】解：设勤奋小组有x人， 由题意得：. 【分析】设勤奋小组有x人，根据“每人分5本，剩余 12本”可得这些学生的人数为：5x+12，然后由“如果每人分8本，那么最后一人虽分到书但不足8本”可列不等式组. 十四、解一元一次不等式组 例题1：下列各数中，为不等式组解的是（　　） A． B．0 C．2 D．4 【答案】C 【解析】【解答】解：由， 解得，解得， 原不等式组的解集为， A中，由，不在原不等式组的解集内，故不是原不等式组的解，所以A不符合题意； B中，由，不在原不等式组的解集内，故0不是原不等式组的解，所以B不符合题意； C中，由，在原不等式组的解集内，故2是原不等式组的解，所以C符合题意； D中，由4不在原不等式组的解集内，故4不是原不等式组的解，所以D不符合题意； 故选：C． 【分析】本题考查了不等式组的解集与解，先求出每一个不等式的解集，的得出不等式组的解集，再逐项判断是否在原不等式组的解集内，即可得到答案. 例题2：解下列一元一次不等式组： （1） （2） 【答案】（1）解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴原不等式组无解集． （2）解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴原不等式组的解集为． 【解析】【分析】（1）分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可． （2）分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可． 确定不等式组的公共解时，同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到。 十五、在数轴上表示不等式组的解集 例题1：在数轴上表示一个不等式组的解集如图所示，则这个不等式组的解集是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】【解答】解：不等式组的解集是． 故答案为：C． 【分析】根据不等式解集的性质：“小于向左，大于向右，即可求解，然后再根据边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点”即可得． 例题2：关于的不等式组中的两个不等式的解集如图所示，则该不等式组的解集为　 　． 【答案】 【解析】【解答】解：解不等式组得， 故答案为：． 【分析】根据数轴写出不等式组的解集即可． 十六、一元一次不等式组的特殊解 例题1：若关于x的不等式组的所有整数解的和是6，则m的取值范围是（　　） A．3＜m＜4 B．3m＜4 C．3＜m4 D．3m4 【答案】C 【解析】【解答】解：， 解得：， 整理得：， ∵ 该不等式组的所有整数解的和是6 ∴整数解为1，2，3 ∴m的范围是：3＜m4； 故选：C． 【分析】先求出不等式组的解集，由解集中所有整数解的和是6，可知1+2+3=6，即可求出m的范围． 例题2：如果关于的不等式组有且只有三个整数解，且关于的方程有整数解，那么符合条件的所有整数的和为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】【解答】解：关于的不等式组有且只有三个整数解， ∴，解得：， 由，解得：，且解为整数， ∴或， ∴符合条件的所有整数的和为， 故选：C． 【分析】本题考查了一元一次不等式组的解集，解一元一次方程，根据题意，得到，由，求得，再由方程的解为整数，求得或，进而得到符合条件的所有整数的和，得到答案. 十七、一元一次不等式组的含参问题 例题1：如果不等式组的解集是，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】【解答】解：由不等式解得， 即原不等式组的解集为， 由题意，原不等式组的解集为， 则， 故答案为：B． 【分析】 首先求出第一个不等式的解集为，然后根据题意以及求不等式组解集的方法同大取大，即可判断参数，即可解答． 例题2：若不等式组的解集为，则的取值范围为　 　 ． 【答案】 【解析】【解答】解：由， 解不等式得：， 解不等式得：， 不等式组的解集为， ∴， 解得：， 故答案为：． 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，根据一元一次不等式的解法，先求得每个不等式解集，得到不等式组的解集，结合，即可求得的取值范围. 十八、一元一次不等式组的应用 例题1：某学校准备购进单价分别为5元和7元的A、B两种笔记本共50本作为奖品发放给学生，要求A种笔记本的数量不多于B种笔记本数量的3倍，不少于B种笔记本数量的2倍，则不同的购买方案种数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【解析】【解答】解：设购进A种笔记本为x本，则购进B种笔记本为（50﹣x）本， 由题意得：， 解得：33≤x≤37， ∵x为正整数， ∴x的取值为34、35、36、37， 则不同的购买方案种数为4种， 故选：D． 【分析】设购进A种笔记本为x本，则购进B种笔记本为（50-x）本，由题意：A种笔记本的数量不多于B种笔记本数量的3倍，不少于B种笔记本数量的2倍，列出不等式组，解不等式组，取正整数解即可。 例题2：某班级践行“绿水青山就是金山银山”的理念，开展植树活动．如果每人种2棵，则剩39棵；如果每人种3棵，则最后一人有树种但不足2棵，则该班有　 　名学生． 【答案】41 【解析】【解答】解：设共有x名学生， 依题意有：， 解得：， ∵x为整数， ∴， 答：共有41名学生， 故答案为：41． 【分析】设共有x人，根据如果每人种2棵，则剩39棵；如果每人种3棵，则最后一人有树种但不足2棵，可列出不等式组，求解即可解答． 十九、不等式组和一元一次方程的综合应用 例题1：某服装厂生产一批服装和领带，服装每套定价元，领带每条的定价为元，厂方在开展促销活动期间，向客户提供了如下两种优惠方案： 方案一：购买一套服装赠送一条领带； 方案二：服装和领带均按定价的九折出售． 某商店老板现要到服装厂采购服装套，领带条，请根据的不同情况，帮助商店老板选择最省钱的方案． 【答案】解：按优惠方案①购买，应付款：元， 按优惠方案②购买，应付款：元， 设元， 当时，即且为整数时．选方案①比方案②更省钱， 当时，即时．选两个方案一样省钱， 当时，即且为整数时．选方案②比方案①更省钱， 如果同时选择方案①和方案②，那么为了获得厂方赠送领带的数量最多．同时享有折优惠， 可考虑设计别的方案③，就是： 先按①方案购买套西服并获赠条领带，然后余下的条领带按优惠方案②购买， 应付款：元方案③与方案②比较，显然方案③更省钱， 方案③与方案①比较，当时．解得，即当时．方案③比方案①更省钱． 综上所述，当时，按方案最省钱． 【解析】【分析】根据方案①购买，应付款设为A=；根据方案②购买，应付款设为B=；比较A和B得大小即可选出最省钱的方案；设y=A-B=5x-600，则y 的值根据x得变化而变化； 当时，解一元一次不等式，即且为整数时，选方案①比方案②更省钱； 当时，解一元一次方程，即时，选两个方案一样省钱； 当时，解一元一次不等式，即且为整数时，选方案②比方案①更省钱； 为帮助商店老板选择最省钱的方案 ，使商店老板购买时所需费用最少同时获得厂方赠送领带的数量最多； 当时，选择方案①比较省钱，同时可以购买一套服装赠送一条领带； 当x120时，选择方案②比较省钱； 所以可以选择新的方案为③，当时，选择方案①比较省钱，同时可以购买一套服装赠送一条领带；当x120时，选择方案②比较省钱；这样花费的费用最小，同时又能获得最多领带. 二十、不等式组和二元一次方程（组）的综合应用 例题1：某商场购进A，B两种商品，已知购进3件A商品比购进4件B商品费用多60元；购进5件A商品和2件B商品总费用为620元． （1）求A，B两种商品每件进价各为多少元？ （2）该商场计划购进A，B两种商品共60件，且购进B商品的件数不少于A商品件数的2倍．若A商品按每件150元销售，B商品按每件80元销售，为满足销售完A，B两种商品后获得的总利润不低于1770元，则购进A商品的件数最多为多少？ 【答案】（1）解：设A，B两种商品每件进价各为x元，y元， 由题意得，， 解得， 答：A，B两种商品每件进价各为100元，60元. （2）解：设购进A商品的件数为m件，则购进B商品的件数为件， 由题意得，， 解得， ∵m为整数， ∴m的最大值为20， 答：购进A商品的件数最多为20件． 【解析】【分析】（1）设A，B两种商品每件进价各为x元，y元，根据“ 购进3件A商品比购进4件B商品费用多60元；购进5件A商品和2件B商品总费用为620元 ”列出方程组，再求解即可； （2）设购进A商品的件数为m件，则购进B商品的件数为件，根据“ 满足销售完A，B两种商品后获得的总利润不低于1770元 ”列出不等式组，再求解即可. 二十一、一元一次不等式组的实际应用-方案问题 例题1：某中学为了给同学们提供更好的学习环境，计划购买一批桂花树和香樟树来绿化校园，经市场调查发现购买棵桂花树和棵香樟树共需元，购买棵桂花树和棵香樟树共需元． （1）求桂花树和香樟树的单价各是多少元？ （2）根据学校实际情况，需购买两种树苗共棵，总费用不超过元，且购买香樟树的棵数不少于桂花树的倍，请你算算，该校本次购买桂花树和香樟树共有哪几种方案． 【答案】（1）解：设桂花树每棵元，香樟树每棵元． 根据题意得：， 解得， 答：桂花树每棵元，香樟树每棵元； （2）解：设桂花树棵，则香樟树棵． 根据题意得：， 解得：， 取整数， ，，， 所以有三种购买方案： 购买桂花树棵，香樟树棵， 购买桂花树棵，香樟树棵， 购买桂花树棵，香樟树棵． 【解析】【分析】（1）设桂花树每棵元，香樟树每棵元，根据题意列二元一次方程组求解，即可求得； （2）设桂花树棵，则香樟树棵，根据题意列不等式组，求解可得a的取值范围，再分别列出可能的购买方案即可. 【强化训练】 一、选择题 1．若关于的一元一次不等式，则的值（　　） A． B．1或 C．或 D． 【答案】C 【解析】【解答】解： 由条件可知，解得. 故答案为：C. 【分析】 是关于x的一元一次不等式，则必须满足次数为1. 2．不等式的解集在数轴上表示正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】【解答】解：在数轴上表示时，其点应是空心，方向为向右， 因此，综合各选项，只有C选项符合； 故答案为：C． 【分析】利用不等式解集的表示方法（小于向左，大于向右；边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点）分析求解即可. 3．下列说法正确的是（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【解析】【解答】解：A：若a>b，则a-2>b-2，该选项错误，不符合题意； B： 当a=-1，b=-2时，a>b，a2<b2，该选项错误，不符合题意； C： 若a>b，当c≠0时，ac2>bc2，该选项错误，不符合题意； D． 若ac2>bc2，则a>b，该选项正确，符合题意． 故答案为：D 【分析】根据不等式的性质：不等式两边同时加减相同数，符号方向不变；乘除正数符号方向不变，乘除负数方向改变；平方运算不保持不等关系；当系数为平方项时，需考虑其是否为零，然后逐项判断即可． 4．某公司开发了一个模型，用于实时视频分析．模型的推理时间T（单位：毫秒）与输入数据的大小（单位：）的关系表达式为：，为了保证实时性，公司希望模型的推理时间不超过100毫秒．以下哪个选项正确描述了输入数据大小的取值范围，使得推理时间不超过100毫秒？（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】【解答】解：依题意得：， 解得：， ∴输入数据大小的取值范围为：． 故答案为：B． 【分析】根据“ 公司希望模型的推理时间不超过100毫秒 ”列出不等式，再求解即可. 5．一元一次不等式的正整数解共有（　　） A．5个 B．6个 C．10个 D．无数个 【答案】A 【解析】【解答】解：， 移项合并同类项得：， ， 不等式的整数解有：1，2，3，4，5，共5个， 故答案为：A。 【分析】对题干中的不等式进行求解，然后再根据求出的x的值取整数值即可求解. 6．若不等式组 的解集是x＞2，则m的取值范围是（　　） A．m＜2 B．m＞2 C．m≤2 D．m≥2 【答案】C 【解析】【解答】解： ∵解不等式②得：x＞2. 又∵不等式组 的解集是x＞2，∴m≤2. 故答案为：C. 【分析】解不等式②得x＞2，由于不等式组的解集是x＞2，根据同大取大，可得m≤2. 7．若关于x的不等式的解集为，则关于x的不等式的解集是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】【解答】解：由得：， ∵不等式的解集是， 且 设 则 ∴的解集是， 即， 故答案为：A． 【分析】根据一元一次不等式的基本性质“①不等式两边同时加或减去相同的数，不等号的方向不变；②不等式两边同时乘或除以相同的正数，不等号的方向不变；③不等式两边同时乘或除以相同的负数，不等号的方向改变”并结合不等式的解集为x＜可得a与b的比值和a、b的符号，设，代入所求不等式计算可求解． 8． 2023年2月26日，横琴马拉松在广东珠海横琴金融岛中央公园开跑．小强跑在小海前面，在离终点时，他以的速度向终点冲刺，而此时小海在他身后，请问小海需以多快的速度同时冲刺，才能在小强之前到达终点？设此时小海冲刺的速度为，可列的不等式为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】【解答】解：已知小强跑1000m的速度为5m/s，小海距离终点1100m，设小海的速度为xm/s 列出不等式 故答案为：B. 【分析】已知小强跑1000m的速度为5m/s，小海距离终点1100m，设小海的速度为xm/s，结合题意列出不等式即可. 9．已知关于x 的不等式组 的解集是 ，则 的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】【解答】解： 由①得： 由②得： 的解集为： 解得： 故答案为：A. 【分析】先解出不等式组的解集，用含a，b的式子表示，结合不等式组的解集得出关于a，b的方程组进行解答即可. 10．已知关于x的不等式组至少有三个整数解，关于y的方程的解为正数，则满足条件的所有整数m的值之和为（　　） A．1 B．0 C． D． 【答案】D 【解析】【解答】解：∵不等式组至少有三个整数解， ∴， 解方程得，， ∵方程的解y为正数， ∴， ∴， ∴m的取值范围为：， ∴整数m的值为：，，0，1， ∴整数m的值之和为：， 故答案为：D． 【分析】首先根据不等式组至少有三个整数解，可知整数解为4，3，2……，所以确定；再根据方程解的情况确定．从而确定m的取值范围为，再进一步确定整数m的值为-2，-1，0，1，进而求出所有整数m的值之和为-2． 二、填空题 11．不等式的最大整数解为　 　． 【答案】1 【解析】【解答】解：2x<4 解得，x<2， ∴不等式2x<4的最大整数解为x=1， 故答案为：1。 【分析】先对不等式2x<4进行求解，得出x的解集，然后再根据x的解集确定x最大的整数解即可 12．不等式的解集，则的取值范围为　 　． 【答案】 【解析】【解答】解：根据条件，可以判断出m-2为负数，则有m-2＜0，所以m＜2. 故答案为：m＜2. 【分析】判断关键在于，x的系数化为1，两边同时除以m-2，不等号变号，证明m-2必然为负数，据此求解即可. 13．一罐饮料净重为，灌上注有“蛋白质含量”，其中蛋白质的含量至少为　 　g． 【答案】18 【解析】【解答】解：设蛋白质的含量为x克， 根据题意可得， 即蛋白质的含量至少为18克． 故答案为：18． 【分析】设蛋白质的含量为x克，根据“ 蛋白质含量 ”列出不等式求解即可. 14．定义一种新运算：，例如：．根据上述定义，不等式组的解集是　 　． 【答案】 【解析】【解答】解：由题意可得，不等式组可以转化为， 解得：， 故答案为：． 【分析】根据题干中的定义及计算方法列出不等式组，再求解即可. 15．若不等式组 无解，则实数a的取值范围是　 　． 【答案】 【解析】【解答】解：解不等式 ，得 ， 解不等式 ，得 ， ∵不等式组 无解， ∴ ，解得： ． 故答案为： ． 【分析】先利用不等式组的解法求出不等式组的解集，再根据数轴求解即可。 三、解答题 16．（1）解不等式： （2）解不等式组：．并在数轴上表示其解集． 【答案】解：（1）， 去分母，得：1+2x-3≥0， 移项，得：2x≥-1+3， 合并同类项，得2x≥2， 系数化为1，得x≥1． （2）解不等式组：． 解不等式①得，x>-2， 解不等式②得，x>-3， 所以这个不等式组的解集是：x>-2， 将这个不等式组的解集在数轴上表示如下： 【解析】【分析】（1）根据不等式的基本性质：不等式两边同时乘以3，不等式方向不变，将不等式化成：1+2x-3≥0，然后再进行移项，合并同类项，最后再同时除以2，将系数化为1，即可求解 （2）先对每个不等式进行标序号，分别对每个不等式进行求解，然后再将每个不等式的解集在数轴上标示出来，找出两个解集的公共部分即可求解 17．某校举行“学以致用，数你最行”数学知识抢答赛，共有20道题，规定答对一道题得10分，答错或放弃扣4分，在这次抢答赛中，七年级1班代表队被评为优秀（90分或90分以上），求这个队至少要答对多少道题？ 【答案】解：设这个队答对了x道题，则答错或放弃道题，根据题意得：， 解得：， ∴x的最小值为13， ∴这个队至少答对13道题． 【解析】【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，设这个队答对了x道题，则答错或放弃道题，结合得分答对题目数答错或放弃题目数，结合得分不低于90分，列出关于x的一元一次不等式，求得方程的解，进而得到其中的最小值，即可得到答案． 18．“广安盐皮蛋”是小平故里的名优特产，某超市销售两种品牌的盐皮蛋，若购买9箱种盐皮蛋和6箱种盐皮蛋共需390元；若购买5箱种盐皮蛋和8箱种盐皮蛋共需310元． （1）种盐皮蛋、种盐皮蛋每箱价格分别是多少元？ （2）若某公司购买两种盐皮蛋共30箱，且种的数量至少比种的数量多5箱，又不超过种的2倍，怎样购买才能使总费用最少？并求出最少费用． 【答案】（1）解：设种盐皮蛋每箱价格是元，种盐皮蛋每箱价格是元， 可列出方程组为：， 解得， 答：种盐皮蛋每箱价格是30元，种盐皮蛋每箱价格是20元． （2）解： 设购买种盐皮蛋箱，则购买种盐皮蛋箱， 可列不等式组：， 解得， 为正整数， =18，19，20. ①当时，，购买总费用为（元）， ②当时，，购买总费用为（元）， ③当时，，购买总费用为（元）， 所以购买种盐皮蛋18箱，种盐皮蛋12箱才能使总费用最少，最少费用为780元． 【解析】【分析】（1）设种盐皮蛋每箱价格是元，种盐皮蛋每箱价格是元，根据“ 购买9箱种盐皮蛋和6箱种盐皮蛋共需390元”、“购买5箱种盐皮蛋和8箱种盐皮蛋共需310元 ”分别列出方程，联立组成方程组，求出这个解方程组解； （2）设购买种盐皮蛋箱，先用m表示出购买种盐皮蛋箱数，再根据“购买种的数量至少比种的数量多5箱，又不超过种的2倍”列出不等式组求解，并求出正整数解，再分3种方案分别计算得出结论． 19．冬奥会吉祥物“冰墩墩”和冬残奥会吉祥物“雪容融”深受广大人民的喜爱．某单位准备购进吉祥物系列商品冰墩墩毛绒玩具和雪容融钥匙扣共个．在某官方旗舰店看到冰墩墩毛绒玩具每个元，雪容融钥匙扣每个元． （1）该单位准备用不超过元的资金购进冰墩墩毛绒玩具和雪容融钥匙扣，问最多可以购进冰墩墩毛绒玩具多少个？ （2）若购进雪容融钥匙扣的数量不超过冰墩墩毛绒玩具数量的倍，求此时所用的最少资金． 【答案】（1）解：设购进冰墩墩毛绒玩具x个，则购进雪容融钥匙扣个， 根据题意得：， 解得：， 为整数， 最大取， 答：最多可以购进冰墩墩毛绒玩具个； （2）解：设购进冰墩墩毛绒玩具x个，则购进雪容融钥匙扣个，由题意得： ， 解得， ∴所需资金为：， ∵x≥5， ∴， ∴当时，所用的资金最少，为1950元， 答：此时所用的最少资金是1950元． 【解析】【分析】（1）设购进冰墩墩毛绒玩具个，则购进雪容融钥匙扣个，根据题意得不等关系： 购买冰墩墩的费用+购买雪容融的费用≤3000，据此列出不等式并求解，再取最大整数即可； （2）根据“购进雪容融钥匙扣的数量≤3×冰墩墩毛绒玩具数量”可得不等式并解得的范围，再表示出所需资金的代数式，最后根据不等式的性质计算最小值即可． 20．“恒都生态牛肉”享誉东南亚，不少城市都设有“恒都生态牛肉”专卖店，某专卖店经销精选牛肉和普通牛肉，其中精选牛肉每斤进价比普通牛肉多5元，该专卖店用3800元一次购进普通牛肉50斤和精选牛肉40斤进行销售． （1）求精选牛肉和普通牛肉每斤购进单价各多少元？ （2）本次所购进牛肉该专卖店将普通牛肉以每斤60元价格销售，精选牛肉以每斤80元价格销售，普通牛肉很快售完，精选牛肉销售60%后，为了尽快售完，决定打折促销，要使得本次购进牛肉销售利润不少于2080元，剩余精选牛肉每斤售价最少打几折？ 【答案】（1）解：设精选牛肉每斤购进单价为x元，普通牛肉每斤购进单价y元 解得 （2）解：设剩余精选牛肉每斤售价打a折，则 解得 答：剩余精选牛肉每斤售价至少打7.5折． 【解析】【分析】（1）设精选牛肉每斤购进单价为元，普通牛肉每斤购进单价元，根据题意列出二元一次方程组求解即可得解； （2）设剩余精选牛肉每斤售价打折，由题中要使得本次购进牛肉销售利润不少于2080元，列不等式求解即可得解． 21．定义：如果一元一次方程的解也是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该不等式组的“相伴方程”．例如：方程2x﹣6＝0的解为x＝3，不等式组的解集为2＜x＜5．因为2＜3＜5．所以称方程2x﹣6＝0为不等式组的相伴方程． （1）若关于x的方程2x﹣k＝2是不等式组的相伴方程，求k的取值范围； （2）若方程2x+4＝0，1都是关于x的不等式组的相伴方程，求m的取值范围； （3）若关于x的不等式组的所有相伴方程的解中，有且只有2个整数解，求n的取值范围． 【答案】解：（1）∵不等式组为，解得， ∵方程为2x﹣k＝2，解得x， ∴根据题意可得，， ∴解得：3＜k≤4， 故k取值范围为：3＜k≤4． （2）∵方程为2x+4＝0，， 解得：x＝﹣2，x＝﹣1； ∵不等式组为， 当m＜2时，不等式组为， 此时不等式组解集为x＞1，不符合题意，应舍去； ∴当m＞2时不等式组解集为m﹣5≤x＜1， ∴根据题意可得，，解得2＜m≤3； 故m取值范围为：2＜m≤3． （3）∵不等式组为，解得1＜x， 根据题意可得，3，解得4≤n＜6， 故n取值范围为4≤n＜6． 【解析】【分析】（1）先求出不等式组的解集，然后再根据2x-k=2，求出x的值，再将不等式组的解集代入，即可求出k的取值范围 （2）先对2x+4＝0，1进行求解，然后再根据不等式：（m-2）x<m-2，的实际情况，分别按照m＜2和m＞2两种情况讨论，最后再根据“相伴方程”的运算法，即可求出m的取值范围； （3）先对不等式组进行求解，然后再根据“有且只有2个整数解”，列出关于n的不等式组求解即可． 第 1 页 共 27 页 学科网（北京）股份有限公司 $$