1.3 正方形的性质与判定 第2课时 课件 2024—2025学年北师大版数学九年级上册

北师大版九年级上册 1.3 正方形的性质与判定 第一章 特殊平行四边形 第2课时 正方形的判定 1．掌握正方形的判定方法．（重点） 2．会运用正方形的判定条件进行有关的论证和计算 .(难点) 学习目标 问题1：什么是正方形？正方形有哪些性质？ A B C D 正方形：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形. 正方形性质：①四个角都是直角; ②四条边都相等; ③对角线相等且互相垂直平分. O 导入新课 问题2：你是如何判断是矩形、菱形？ 平行四边形 矩形 菱形 四边形 三个角是直角 四条边相等 定义 三个判定定理 定义 对角线相等 定义 对角线垂直 正方形判定的定理 动一动：过点A作射线AM的垂线AN,分别在AM , AN上取点B , D ,使AB=AD ,作DC∥AB , BC∥AD ,得四边形ABCD. A M N B D C 问题1：上面所画四边形ABCD是正方形吗？为什么？ 讲授新课 想一想：将矩形纸片对折两次，怎样裁剪才能使剪下的三角形展开后是个正方形？ （1） （2） （3） （4） 菱形 问题2：满足怎样条件的矩形是正方形？ 矩形 正方形 一组邻边相等 对角线互相垂直 问题3：满足怎样条件的菱形是正方形？ 正方形 一个角是直角 对角线相等 1.对角线相等的菱形是正方形. 2.对角线垂直的矩形是正方形. 3.有一个角是直角的菱形是正方形. 定理 正方形判定的两条途径： 正方形 正方形 + + 先判定菱形 先判定矩形 矩形条件 菱形条件 (1) (2) 一个直角 对角线相等 一组邻边相等 对角线垂直 例1：如图,在矩形ABCD中, BE平分∠ABC , CE平分∠DCB , BF∥CE , CF∥BE. 求证：四边形BECF是正方形. 正方形判定定理的应用 典例精析 F A B E C D 解析：先由两组平行线得出四边形BECF平行四边形；再由一个直角，得出是矩形；最后由一组邻边相等可得正方形； 45° 45° F A B E C D 证明: ∵ BF∥CE,CF∥BE， ∴四边形BECF是平行四边形. ∵四边形ABCD是矩形, ∴ ∠ABC = 90°, ∠DCB = 90°, ∵BE平分∠ABC, CE平分∠ DCB, ∴∠EBC = 45°, ∠ECB = 45°, ∴ ∠ EBC =∠ ECB . ∴ EB=EC,∴□ BECF是菱形 . 在△EBC中 ∵ ∠EBC = 45°,∠ECB = 45°, ∴∠BEC = 90°, ∴菱形BECF是正方形. 例2：已知：如图所示,在Rt△ABC中, ∠C=90° , ∠BAC , ∠ABC的平分线于点D , DE⊥BC于点E , DF⊥AC于点F. 求证：四边形CEDF是正方形. 证明: 如图所示,过点D作DG⊥AB于点G. ∵DF⊥AC , DE⊥BC , ∴∠DFC=∠DEC=90°. 又∠C=90°, ∴四边形CEDF是矩形 （有三个角是直角的四边形是矩形）. ∴AD平分∠BAC , DF⊥AC , DG⊥AB. ∴DF=DG. 同理可得 DE=DG , ∴DE=DF. ∴四边形CEDF是正方形（有一组邻边相等的矩形是正方形）. C E B A F D G 例3：如图，EG,FH过正方形ABCD的对角线的交点O,且EG⊥FH.求证：四边形EFGH是正方形. 证明：∵四边形ABCD为正方形, ∴OB=OC,∠ABO=∠BCO =45°, ∠BOC=90°=∠COH+∠BOH. ∵EG⊥FH, ∴∠BOE+∠BOH=90°, ∴∠COH=∠BOE, ∴△CHO ≌△BEO,∴OE=OH. 同理可证：OE=OF=OG, B A C B O E H G F ∴OE=OF=OG=OH. 又∵EG⊥FH, ∴四边形EFGH为菱形. ∵EO+GO=FO+HO ,即EG=HF, ∴四边形EFGH为正方形. B A C B O E H G F 做一做：顺次连接任意四边形各边中点所得的四边形是平行四边形.顺次连接矩形、正方形各边中点能得到怎样的特殊平行四边形？ A B C D A B C D A B C D 矩形 正方形 任意四边形 平行四边形 菱形 正方形 E F G H E F G H E F G H 中点四边形 总结归纳 常见中点四边形比较 有一个角是90° （或对角线互相垂直） 有一对邻边相等 （或对角线相等） 平行四边形 矩形 菱形 正方形 一组邻边相等且一个内角为直角 （或对角线互相垂直平分且相等） 有一个角是90° （或对角线互相垂直） 有一对邻边相等 （或对角线相等） 课堂小结 1.下列命题正确的是（ ） A.四个角都相等的四边形是正方形 B.四条边都相等的四边形是正方形 C.对角线相等的平行四边形是正方形 D.对角线互相垂直的矩形是正方形 2．四个内角都相等的四边形一定是（ ） A.正方形 B.菱形 C.矩形 D.平行四边形 D C 当堂练习 知识点一：利用定义判定四边形是正方形 1．如果要证明平行四边形ABCD为正方形，我们需要进一步证明( ) A．AB＝BD且AC⊥BD B．∠A＝90°且AB＝AD C．∠A＝90°且AC＝BD D．AC和BD互相垂直平分 B 2．如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点，将△ADE绕点E旋转180°得到△CFE. (1)求证：四边形ADCF是平行四边形； (2)当△ABC满足什么条件时，四边形ADCF是正方形？请说明理由． 知识点二：利用菱形判定四边形是正方形 3．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，添加下列一个条件，能使菱形ABCD成为正方形的是( ) A.BD＝AB B．AC＝AD C．∠ABC＝90° D．OD＝AC C 4．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F在对角线BD上，且BE＝DF，OE＝OA.求证：四边形AECF是正方形． 证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，OA＝OC，OB＝OD.∵BE＝DF，∴OE＝OF.∴四边形AECF是菱形．∵OE＝OA＝OF，∴OE＝OF＝OA＝OC，即EF＝AC.∴四边形AECF是正方形 知识点三：利用矩形判定四边形是正方形 5．已知矩形ABCD，下列条件中不能判定这个矩形是正方形的是( ) A．AC⊥BD B．AC＝BD C．AC平分∠BAD D．∠ADB＝∠ABD 6．矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，请你添加一个适当的条件是______________________，使其成为正方形．(只填一个即可) B AB＝BC(答案不唯一) 7．如图，等边△AEF的顶点E，F在矩形ABCD的边BC，CD上，且∠CEF＝45°.求证：矩形ABCD是正方形． 证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝∠D＝∠C＝90°，∵△AEF是等边三角形，∴AE＝AF，∠AEF＝∠AFE＝60°，∵∠CEF＝45°，∴∠CFE＝45°，∴∠AFD＝∠AEB＝180°－45°－60°＝75°，∴△AEB≌△AFD(AAS)，∴AB＝AD，∴矩形ABCD是正方形 8．下列说法正确的是( ) A．有一个角是直角的平行四边形是正方形 B．对角线互相垂直的矩形是正方形 C．有一组邻边相等的平行四边形是正方形 D．各边都相等的四边形是正方形 B 9．如图，在矩形ABCD中，M，N分别是边AD，BC的中点，E，F分别是边BM，CM的中点．当AB∶AD＝________时，四边形MENF是正方形． 1∶2 10．如图，在四边形ABCD中，AB＝BC，对角线BD平分∠ABC，P是BD上一点，过点P作PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分别为M，N. (1)求证：∠ADB＝∠CDB； (2)若∠ADC＝90°，求证：四边形MPND是正方形． 解：(1)∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD.又∵BA＝BC，BD＝BD，∴△ABD≌△CBD(SAS)，∴∠ADB＝∠CDB (2)∵PM⊥AD，PN⊥CD，∴∠PMD＝∠PND＝90°.又∵∠ADC＝90°，∴四边形MPND是矩形．∵∠ADB＝∠CDB，PM⊥AD，PN⊥CD，∴PM＝PN.∴四边形MPND是正方形 11．如图，在▱ABCD中，E，M分别为AD，AB的中点，DB⊥AD，延长ME交CD的延长线于点N，连接AN，DM. (1)求证：四边形AMDN是菱形； 解：∵E，M分别为AD，AB的中点，∴AE＝DE，ME∥BD.又∵DB⊥AD，∴AD⊥ME.∵四边形ABCD为平行四边形，∴CD∥AB，即ND∥AM，∴∠DNE＝∠AME，∠NDE＝∠MAD.又∵AE＝DE，∴△NDE≌△MAE(AAS)，∴ND＝AM，∴四边形AMDN是平行四边形．又∵AD⊥ME，∴四边形AMDN是菱形 (2)若∠DAB＝45°，判断四边形AMDN的形状，请直接写出答案． 解：四边形AMDN是正方形，理由如下：∵AD⊥MN，∠DAB＝45°，∴∠EMA＝∠DAM＝45°，∴AE＝EM，∴AD＝MN，∴四边形AMDN是正方形 12．(1)如图①，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，过点D作DP∥OC，且DP＝OC，连接CP，判断四边形CODP的形状，并说明理由； (2)如图②，如果题目中的矩形变为菱形，结论应变为什么？请说明理由； (3)如图③，如果题目中的矩形变为正方形，结论又应变为什么？请说明理由． 解：(1)菱形．理由：由题意知，OD＝OC，又∵DP∥AC，DP＝OC，∴四边形CODP为平行四边形，∴▱CODP为菱形　 (2)矩形．理由：由题意知，AC⊥BD，由(1)知，四边形CODP为平行四边形，∴▱CODP为矩形 　(3)正方形．理由：由题意知，OD＝OC，AC⊥BD，由(1)知，四边形CODP为平行四边形，∴▱CODP为正方形 解：(1)∵△CFE是由△ADE绕点E旋转180°得到的，∴A，E，C三点共线，D，E，F三点共线，且AE＝CE，DE＝FE，故四边形ADCF是平行四边形 (2)当∠ACB＝90°，AC＝BC时，四边形ADCF是正方形．理由：在△ABC中，∵AC＝BC，AD＝BD，∴CD⊥AB，即∠ADC＝90°.由(1)知，四边形ADCF是平行四边形，∴四边形ADCF是矩形．又∵∠ACB＝90°，∴CD＝ eq \f(1,2) AB＝AD，∴四边形ADCF是正方形 $$