1.2 矩形的性质与判定 第3课时 课件 2024—2025学年北师大版数学九年级上册

北师大版九年级上册 1.2 矩形的性质与判定 第一章 特殊平行四边形 第3课时 矩形的性质、判定与其他知识的综合 1．回顾矩形的性质及判定方法． 2．矩形的性质和判定方法与其他有关知识的综合运用.(难点) 学习目标 问题1: 矩形有哪些性质？ A B C D O ①是轴对称图形; ②四个角都是直角; ③对角线相等且平分. ①定义：一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形 ②有一组邻边相等的矩形 ③有一个角是直角的菱形 问题2: 矩形有判定方法有哪些？ 导入新课 例1：如图，在矩形ABCD中，AD=6，对角线AC与BD相交于点O，AE⊥BD，垂足为E，ED=3BE，求AE的长. 分析：由在矩形ABCD中，AE⊥BD于E，BE：ED=1：3，易证得△OAB是等边三角形，继而求得∠BAE的度数，由△OAB是等边三角形，求出∠ADE的度数，又由AD=6，即可求得AE的长. 矩形的性质与判定综合运用 典例精析 讲授新课 解：∵四边形ABCD是矩形， ∴OB=OD，OA=OC，AC=BD， ∴OA=OB， ∵BE：ED=1：3， ∴BE：OB=1：2， ∵AE⊥BD， ∴AB=OA，∴OA=AB=OB， 即△OAB是等边三角形， ∴∠ABD=60°， ∴∠ADE=90°-∠ABD=30°， ∴AE= AD=3. 【点评】此题考查了矩形的性质、等边三角形的判定与性质以及含30°角的直角三角形的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用. 例2：已知：如图，在△ABC中，AB=AC，AD是△ABC的一条角平分线，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为点E． （1）求证：四边形ADCE为矩形； （2）连接DE，交AC于点F，请判断 四边形ABDE的形状，并证明； （3）线段DF与AB有怎样的关系？请直接写出你的结论. （1）求证：四边形ADCE为矩形； 分析：由在△ABC中，AB=AC，AD是BC边的中线，可得AD⊥BC，∠BAD=∠CAD，又由AN为△ABC的外角∠CAM的平分线，可得∠DAE=90°，又由CE⊥AN，即可证得：四边形ADCE为矩形； （1）证明：∵在△ABC中，AB=AC，AD是BC边的中线， ∴AD⊥BC，∠BAD=∠CAD， ∴∠ADC=90°， ∵AN为△ABC的外角∠CAM的平分线， ∴∠MAN=∠CAN， ∴∠DAE=90°， ∵CE⊥AN， ∴∠AEC=90°， ∴四边形ADCE为矩形； 解：四边形ABDE是平行四边形，理由如下： 由（1）知，四边形ADCE为矩形， 则AE=CD，AC=DE． 又∵AB=AC，BD=CD， ∴AB=DE，AE=BD， ∴四边形ABDE是平行四边形； （2）连接DE，交AC于点F，请判断四边形ABDE的形状， 并证明； 分析：利用（1）中矩形的对角线相等推知：AC=DE；结合已知条件可以推知AB∥DE，又AE=BD，则易判定四边形ABDE是平行四边形； 解：DF∥AB，DF= AB．理由如下： ∵四边形ADCE为矩形， ∴AF=CF， ∵BD=CD， ∴DF是△ABC的中位线， ∴DF∥AB，DF= AB （3）线段DF与AB有怎样的关系？请直接写出你的结论. 分析：由四边形ADCE为矩形，可得AF=CF，又由AD是BC边的中线，即可得DF是△ABC的中位线，则可得DF∥AB，DF= AB. 例3：如图，在△ABC中, AB=AC,D为BC上一点，以AB,BD为邻边作平行四边形ABDE,连接AD , EC. （1）求证：△ADC≌△ECD; （2）若BD=CD,求证：四边形ADCE是矩形. 证明：（1）∵△ABC是等腰三角形, ∴∠B=∠ACB. 又∵四边形ABDE是平行四边形, ∴∠B=∠EDC,AB=DE, ∴∠ACB=∠EDC, ∴△ADC≌△ECD. A D C E B (2)∵AB=AC,BD=CD, ∴AD⊥BC,∴∠ADC=90°. ∵四边形ABDE是平行四边形, ∴AE平行且等于BD,即AE平行且等于DC, ∴四边形ADCE是平行四边形. 而∠ADC=90°, ∴四边形ADCE是矩形. A D C E B 例4：如图所示，在△ABC中，D为BC边上的一点，E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F，且AF＝BD.连接BF. (1)BD与DC有什么数量关系？请说明理由； (2)当△ABC满足什么条件时，四边形AFBD是矩形？并说明理由． 分析：根据“两直线平行，内错角相等”得出∠AFE＝∠DCE，然后利用“AAS”证明△AEF和△DEC全等，根据“全等三角形对应边相等”可得AF＝CD，再利用等量代换即可得BD＝CD； 解：(1)BD＝CD.理由如下： ∵AF∥BC， ∴∠AFE＝∠DCE. ∵E是AD的中点， ∴AE＝DE. 在△AEF和△DEC中， ∴△AEF≌△DEC(AAS)， ∴AF＝DC. ∵AF＝BD， ∴BD＝DC； 分析：先利用“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”证明四边形AFBD是平行四边形，再根据“有一个角是直角的平行四边形是矩形”可知∠ADB＝90°.由等腰三角形三线合一的性质可知△ABC满足的条件必须是AB＝AC. (2)当△ABC满足AB＝AC时，四边形AFBD是矩形．理由如下： ∵AF∥BD，AF＝BD， ∴四边形AFBD是平行四边形． ∴AB＝AC，BD＝DC， ∴∠ADB＝90°. ∴四边形AFBD是矩形． 【方法总结】本题综合考查了矩形和全等三角形的判定方法，明确有一个角是直角的平行四边形是矩形是解本题的关键． 例5：如图，将一张矩形纸片ABCD沿直线MN折叠，使点C落在点A处，点D落在点E处，直线MN交BC于点M，交AD于点N. (1)求证：CM＝CN； (2)若△CMN的面积与△CDN的面积比 为3∶1，求 的值． 典例精析 (1)求证：CM＝CN； 解：∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC， ∴∠ANM＝∠CMN， 由折叠知∠CNM＝∠ANM， ∴∠CNM＝∠CMN， ∴CN＝CM　 (2)若△CMN的面积与△CDN的面积比为3∶1，求 的值． 解：∵AD∥BC，S△CMN∶S△CDN＝3∶1，∴CM∶DN＝3∶1， 设DN＝x，则CM＝3x， 过点N作NK⊥BC于点K， ∵DC⊥BC，∴NK∥DC， 又∵AD∥BC，∴CK＝DN＝x，MK＝2x， 由(1)知CN＝CM＝3x， ∴NK2＝CN2－CK2＝(3x)2－x2＝8x2， 　 与全等三角形的结合 矩形的性质与判定 与平面直角坐标系的结合 折叠问题 课堂小结 1.如图，四边形ABCD和四边形AEFC是两个矩形，点B在EF边上，若矩形ABCD和矩形AEFC的面积分别是S1，S2，则S1，S2的大小关系是(　 　) A．S1>S2　　　　　　　B．S1＝S2 C．S1<S2 D．3S1＝2S2 B 当堂练习 知识点：矩形性质与判定的应用 1．下列结论中，矩形具有而菱形不一定具有的性质是( ) A．内角和为360° B．对角线互相平分 C．对角线相等 D．对角线互相垂直 2．如图，将矩形纸片ABCD对折，使边AB与DC，BC与AD分别重合，展开后得到四边形EFGH.若AB＝2，BC＝4，则四边形EFGH的面积为( ) A．2 B．4 C．5 D．6 C B 3．如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O.点E，F分别是AB，AO的中点，且AC＝8.则EF的长度为( ) A．2 B．4 C．6 D．8 A 4．在矩形纸片ABCD中，AD＝4 cm，AB＝10 cm，按如图所示方式折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则DE＝______ cm. 5.8 5．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且∠CDF＝∠BDC，∠DCF＝∠ACD. (1)求证：DF＝CF； (2)若∠CDF＝60°，DF＝6，求矩形ABCD的面积. 6．如图，AD和BC相交于点O，∠ABO＝∠DCO＝90°，OB＝OC，点E，F分别是AO，DO的中点． (1)求证：OE＝OF； (2)当∠A＝30°时，求证：四边形BECF是矩形． 7．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝5，点E在AD上，且EB平分∠AEC，则△ABE的面积为( ) A．2.4 B．2 C．1.8 D．1.5 D 8．如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，AD＝10 cm，BC＝8 cm，点P从点D出发，以1 cm/s的速度向点A运动，点M从点B同时出发，以相同的速度向点C运动，当其中一个动点到达端点时，两个动点同时停止运动．设点P的运动时间为t(单位：s)，下列结论正确的是( ) A．当t＝4 s时，四边形ABMP为矩形 B．当t＝5 s时，四边形CDPM为平行四边形 C．当CD＝PM时，t＝4 s D．当CD＝PM时，t＝4 s或6 s D 9．如图，矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点O的直线分别交AD，BC于点E，F，已知AD＝4 cm，图中阴影部分的面积总和为6 cm2，则对角线AC的长为____ cm. 5 10．如图，矩形ABCD的边AD长为4，将△ADC沿对角线AC翻折得到△AD′C，CD′与AB交于点E，再以CD′为折痕，将△BCE进行翻折，得到△B′CE.若两次折叠后，点B′恰好落在△ADC的边上，则AB的长为________________． 11．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E是CD的中点，连接OE，过点C作CF∥BD交OE的延长线于点F，连接DF. (1)求证：△ODE≌△FCE； (2)试判断四边形ODFC的形状，并写出证明过程． 12．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，延长CB至D，使得BD＝CB，过点A，D分别作AE∥BD，DE∥BA，AE与DE相交于点E.下面是两位同学的对话： 小星：由题目的已知条件，若连接BE，则可证明BE⊥CD. 小红：由题目的已知条件，若连接CE，则可证明CE＝DE. 解：(1)∵四边形ABCD是矩形，∴OC＝ eq \f(1,2) AC，OD＝ eq \f(1,2) BD，AC＝BD，∴OC＝OD，∴∠ACD＝∠BDC，∵∠CDF＝∠BDC，∠DCF＝∠ACD，∴∠CDF＝∠DCF，∴DF＝CF 由(1)可知，DF＝CF，∵∠CDF＝60°，∴△CDF是等边三角形，∴CD＝DF＝6，∵∠CDF＝∠BDC＝60°，OC＝OD，∴△OCD是等边三角形，∴OC＝OD＝6，∴BD＝2OD＝12，∵四边形ABCD是矩形，∴∠BCD＝90°，∴BC＝ eq \r(BD2－CD2) ＝ eq \r(122－62) ＝6 eq \r(3) ，∴S矩形ABCD＝BC·CD＝6 eq \r(3) ×6＝36 eq \r(3) 证明：(1)∠ABO＝∠DCO＝90°，∴AB∥CD，∴∠A＝∠D，在△AOB与△DOC中， eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠A＝∠D，,∠ABO＝∠DCO，,OB＝OC，)) ∴△AOB≌△DOC(AAS)，∴AO＝DO，∵点E，F分别是AO，DO的中点，∴OE＝ eq \f(1,2) OA，OF＝ eq \f(1,2) OD，∴OE＝OF　(2)连接BE，FC，∵OB＝OC，OE＝OF，∴四边形BECF是平行四边形，∵∠A＝30°，∴OB＝ eq \f(1,2) OA＝OE，∵OE＝OF，∴OB＝ eq \f(1,2) EF，∴∠EBF＝90°，∴四边形BECF是矩形 4 eq \r(3) 或4＋4 eq \r(2) 解：(1)∵点E是CD的中点，∴CE＝DE，又∵CF∥BD，∴∠ODE＝∠FCE，在△ODE和△FCE中， eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠ODE＝∠FCE，,DE＝CE，,∠DEO＝∠CEF，)) ∴△ODE≌△FCE(ASA) (2)四边形ODFC为矩形，证明如下：∵△ODE≌△FCE，∴OE＝FE，又∵CE＝DE，∴四边形ODFC为平行四边形，又∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD，即∠DOC＝90°，∴四边形ODFC为矩形 (1)请你选择一位同学的说法，并进行证明； (2)连接AD，若AD＝5 eq \r(2) ， eq \f(CB,AC) ＝ eq \f(2,3) ，求AC的长． 解：(1)小星：连接BE，∵AE∥BD，DE∥BA，∴四边形ABDE是平行四边形，∴AE＝BD，∵BD＝BC，∴AE＝BC，∵AE∥BC，∴四边形AEBC是平行四边形，∵∠C＝90°，∴四边形AEBC是矩形，∴∠EBC＝90°，∴BE⊥CD；小红：连接BE，CE，∵AE∥BD，DE∥BA，∴四边形ABDE是平行四边形，∴AE＝BD，AB＝DE，∵BD＝BC，∴AE＝BC，∵AE∥BC，∴四边形AEBC是平行四边形，∵∠C＝90°，∴四边形AEBC是矩形，∴AB＝CE，∴DE＝CE　 (2)∵ eq \f(CB,AC) ＝ eq \f(2,3) ，∴设CB＝2k，AC＝3k，∴CD＝4k，∵AC2＋DC2＝AD2，∴(3k)2＋(4k)2＝(5 eq \r(2) )2，∴k＝ eq \r(2) ，∴AC＝3 eq \r(2) $$