1.2 矩形的性质与判定 第2课时 课件 2024—2025学年北师大版数学九年级上册

北师大版九年级上册 1.2 矩形的性质与判定 第一章 特殊平行四边形 第2课时 矩形的判定 1．理解并掌握矩形的判定方法．（重点） 2．能应用矩形判定解决简单的证明题和计算题.(难点) 学习目标 问题: 什么是矩形？矩形有哪些性质？ A B C D O 矩形：有一个角是直角的平行四边形. 矩形性质：①是轴对称图形; ②四个角都是直角; ③对角线相等且平分. 导入新课 矩形判定的定理及其证明 活动1: 利用一个活动的平行四边形教具演示,拉动一对不相邻的顶点时, 注意观察两条对角线的长度. 问题1:我们会看到对角线会随着∠α变化而变化,当两条对角线长度相等时,平行四边形有什么特征？ α 讲授新课 已知：如图,在□ABCD中,AC , DB是它的两条对角线, AC=DB.求证：□ABCD是矩形. 证明：∵AB = DC,BC = CB,AC = DB, ∴ △ABC≌△DCB , ∴∠ABC = ∠DCB. ∵AB∥CD, ∴∠ABC + ∠DCB = 180°, ∴ ∠ABC = 90°, ∴ □ ABCD是矩形（矩形的定义）. 猜想:当对角线相等时，该平行四边形可能是矩形. A B C D 对角线相等的平行四边形是矩形. 定理 活动2: 李芳同学通过画“边－直角、边－直角、边－直角、边”这样四步画出一个四边形. ① ② ③ ④ 问题2:李芳觉得按照以上步骤可以得到一个矩形？你认为她的判断正确吗？如果正确,你能证明吗？ 已知：如图,在四边形ABCD中,∠A=∠B=∠C=90°.求证：四边形ABCD是矩形. 猜想:当三个角都是直角,该四边形可能是矩形. 证明:∵ ∠A=∠B=∠C=90°, ∴∠A+∠B=180°,∠B+∠C=180°. ∴AD∥BC,AB∥CD. ∴四边形ABCD是平行四边形. ∴四边形ABCD是矩形. A B C D 有三个角是直角的四边形是矩形. 定理 例1：如图,在□ABCD中,对角线AC与BD相交于点O , △ABO是等边三角形, AB=4,求□ABCD的面积. 解：∵四边形ABCD是平行四边形, ∴OA= OC,OB = OD. 又∵△ABO是等边三角形, ∴OA= OB=AB= 4,∠BAC=60°. ∴AC= BD= 2OA = 2×4 = 8. 定理的应用 典例精析 A B C D O ∴□ABCD是矩形 （对角线相等的平行四边形是矩形）. ∴∠ABC=90°（矩形的四个角都是直角） . 在Rt△ABC中,由勾股定理,得 AB2 + BC2 =AC2 , ∴BC= = = . ∴S□ABCD=AB·BC=4× = A B C D O 例2：如图，在△ABC中, AB=AC,D为BC上一点，以AB,BD为邻边作平行四边形ABDE,连接AD , EC. （1）求证：△ADC≌△ECD; （2）若BD=CD,求证：四边形ADCE是矩形. 证明：（1）∵△ABC是等腰三角形, ∴∠B=∠ACB. 又∵四边形ABDE是平行四边形, ∴∠B=∠EDC,AB=DE, ∴∠ACB=∠EDC, ∴△ADC≌△ECD. A D C E B (2)∵AB=AC,BD=CD, ∴AD⊥BC,∴∠ADC=90°. ∵四边形ABDE是平行四边形, ∴AE平行且等于BD,即AE平行且等于DC, ∴四边形ADCE是平行四边形. 而∠ADC=90°, ∴四边形ADCE是矩形. A D C E B 有一个角是直角的平行四边形是矩形. 定理1：对角线相等的平行四边形是矩形. 定理2：有三个角是直角的四边形是矩形. 运用定理进行计算和证明. 矩形的判定 定义 定理 课堂小结 知识点一：有一个角是直角的平行四边形是矩形 1．如图，要使▱ABCD成为矩形，需要添加的条件是( ) A.AB＝BC B．AO＝CO C．∠ABC＝90° D．∠1＝∠2 C 课堂练习 2．(教材P16“随堂练习”变式)如图，在▱ABCD中，M是边AB的中点，且∠AMD＝∠BMC，求证：四边形ABCD是矩形． 证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝CB，AD∥CB，AB∥CD，∴∠A＋∠B＝180°，∠AMD＝∠CDM，∠BMC＝∠DCM.又∵∠AMD＝∠BMC，∴∠CDM＝∠DCM，∴MD＝MC.又∵M是AB的中点，∴MA＝MB，∴△AMD≌△BMC(SAS)，∴∠A＝∠B＝90°，∴▱ABCD是矩形 知识点二：对角线相等的平行四边形是矩形 3．在下列条件中，能够判定▱ABCD为矩形的是( ) A．AB＝AC B．AC⊥BD C．AB＝AD D．AC＝BD D 4．如图，在▱ABCD中，点E，F分别在BC，AD上，BE＝DF，AC＝EF. (1)求证：四边形AECF是矩形； 解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AD∥BC，∵BE＝DF，∴AD－DF＝BC－BE，即AF＝EC，∴四边形AECF是平行四边形，∵AC＝EF，∴平行四边形AECF是矩形 知识点三：有三个角是直角的四边形是矩形 5．要检验一个四边形的桌面是否为矩形，可行的测量方案是( ) A．测量两条对角线是否相等 B．度量三个角是否是90° C．测量两条对角线的交点到四条边的距离是否相等 D．测量两组对边是否分别相等 B 6．如图，在▱ABCD中，AE⊥BC，CF⊥AD，E，F分别为垂足． (1)求证：△ABE≌△CDF； (2)求证：四边形AECF是矩形． 7．如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，OA＝OC，OB＝OD，添加下列条件，不能判定四边形ABCD是矩形的是( ) A．AB＝AD B．OA＝OB C．AB⊥AD D．∠ABO＝∠BAO A 8．如图，顺次连接四边形ABCD各边的中点，得到四边形EFGH，在下列条件中，能使四边形EFGH为矩形的是( ) A．AB＝CD B．AC＝BD C．AC⊥BD D．AD∥BC C 9．如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝8，BC＝10，P为边BC上一动点(且点P不与点B，C重合)，PE⊥AB于点E，PF⊥AC于点F，则EF的最小值为______． 4.8 10．如图，在△ABC中，AC的垂直平分线分别交AC，AB于点D，F，BE⊥DF交DF的延长线于点E，已知∠A＝30°，BC＝2，AF＝BF，则四边形BCDE的面积是 ________． 11．如图，点C是BE的中点，四边形ABCD是平行四边形． (1)求证：四边形ACED是平行四边形； 证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，且AD＝BC.∵点C是BE的中点，∴BC＝CE，∴AD＝CE，∵AD∥CE，∴四边形ACED是平行四边形 (2)如果AB＝AE，求证：四边形ACED是矩形. 证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝DC，∵AB＝AE，∴DC＝AE，∵四边形ACED是平行四边形，∴四边形ACED是矩形 (2)若AE＝BE，AB＝2， eq \f(AE,EC) ＝ eq \f(1,2) ，求BC的长． 解：∵四边形AECF是矩形，∴∠AEC＝∠AEB＝90°，∵AE＝BE，AB＝2，∴△ABE是等腰直角三角形，∴AE＝BE＝ eq \f(\r(2),2) AB＝ eq \r(2) ，在Rt△AEC中， eq \f(AE,EC) ＝ eq \f(1,2) ，∴EC＝2AE＝2 eq \r(2) ，∴BC＝BE＋EC＝ eq \r(2) ＋2 eq \r(2) ＝3 eq \r(2) 证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠B＝∠D，AB＝CD，AD∥BC，∵AE⊥BC，CF⊥AD，∴∠AEB＝∠CFD＝90°，在△ABE和△CDF中， eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠B＝∠D，,∠AEB＝∠CFD，,AB＝CD，)) ∴△ABE≌△CDF(AAS) (2)∵AE⊥BC，CF⊥AD，∴∠AEC＝∠AFC＝90°.∵AD∥BC，∴∠EAF＝∠AEC＝90°，∴∠EAF＝∠AEC＝∠AFC＝90°，∴四边形AECF是矩形 2 eq \r(3) 12．如图，在▱ABCD中，AC，BD相交于点O，E，F分别是OA，OC的中点. (1)求证：BE＝DF； (2)设 eq \f(AC,BD) ＝k，当k为何值时，四边形DEBF是矩形？请说明理由． 解：(1)连接DE，BF，∵四边形ABCD是平行四边形，∴BO＝OD，AO＝OC，∵E，F分别为AO，OC的中点，∴EO＝ eq \f(1,2) OA，OF＝ eq \f(1,2) OC，∴EO＝FO，∵BO＝OD，EO＝FO，∴四边形BFDE是平行四边形，∴BE＝DF (2)当k＝2时，四边形DEBF是矩形．理由如下：当BD＝EF时，四边形DEBF是矩形，∴当OD＝OE时，四边形DEBF是矩形，∵AE＝OE，∴AC＝2BD，∴当k＝2时，四边形DEBF是矩形 $$