1.2 矩形的性质与判定 第1课时 课件 2024—2025学年北师大版数学九年级上册

北师大版九年级上册 1.2 矩形的性质与判定 第一章 特殊平行四边形 第1课时 矩形的性质 1.了解矩形的概念及其与平行四边形的关系； 2.探索并证明矩形的性质定理.（重点） 3.应用矩形的性质定理解决相关问题.（难点） 学习目标 问题1:观察下面的图形,它们都是一种特殊的平行四边形,请你说一说他们的特殊之处. 问题2：你能举出生活中的一些此种图形的实例吗？ 导入新课 矩形的定义 活动：利用一个活动的平行四边形教具演示,使平行四边形的一个内角变化,请同学们注意观察. 矩形：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形. 矩形 讲授新课 矩形是特殊的平行四边形,它具有平行四边形的所有性质,但平行四边形不一定是矩形. 归纳 平行四边形 菱形集合 平行四边形集合 矩形集合 做一做：请同学们拿出准备好的矩形纸片,折一折,观察并思考.  （1）矩形是不是中心对称图形? 如果是,那么对称中心是什么？（2）矩形是不是轴对称图形?如果是,那么对称轴有几条? 矩形的性质： 对称性： . 对称轴： . 轴对称图形 2条 矩形的性质 活动探究： 准备素材：直尺、量角器、橡皮擦、课本、铅笔盒等. （1）请同学们以小组为单位,测量身边的矩形（如书本,课桌,铅笔盒等）的四条边长度、四个角度数和对角线的长度及夹角度数,并记录测量结果. （2）根据测量的结果,猜想结论.当矩形的大小不断变化时, 发现的结论是否仍然成立？ （3）通过测量、观察和讨论,你能得到矩形的特殊性质吗？ A B C D O AB AD AC BD ∠BAD ∠ADC ∠AOD ∠AOB 橡皮擦 课本 桌子 物体 测量 （实物） （形象图） 填一填 根据上面探究，猜想矩形的特殊性质，并把结果填在下面横线上. 角： . 对角线： . A B C D 四个角为90° 相等 O 求证:矩形的四个角都是直角，且对角线相等. 已知：如图，四边形ABCD是矩形,∠ABC=90°，对角线AC与DB相较于点O. 求证：（1）∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90°; （2）AC=DB. 证明猜想 证明：（1）∵四边形ABCD是矩形. ∴∠ABC=∠CDA,∠BCD=∠DAB(矩形的对角线) AB∥DC(矩形的对边平行). ∴∠ABC+∠BCD=180°. 又∵∠ABC = 90°, ∴∠BCD = 90°. ∴∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB =90°. A B C D O (2)∵四边形ABCD是矩形, ∴AB=DC(矩形的对边相等). 在△ABC和△DCB中, ∵AB=DC,∠ABC=∠DCB,BC= CB, ∴△ABC≌△DCB. ∴AC=DB. 1.矩形的四个角都是直角. 2.矩形的对角线相等. 定理 A B C D O 归纳结论 矩形是特殊的平行四边形,它除具有平行四边形的所有性质外,还有平行四边形所没有的特殊性质. 对称性：是轴对称图形. 角：四条角都是90°. 对角线：相等. 角：对角相等. 边：对边平行且相等. 对角线：相交并相互平分. 矩形的特殊性质 平行四边形的性质 例1：如图,在矩形ABCD中,两条对角线相交于点O,∠AOD=120° AB=2.5 ,求矩形对角线的长. 解：∵四边形ABCD是矩形. ∴AC = BD(矩形的对角线相等). OA= OC= AC,OB = OD = BD , (矩形对角线相互平分) ∴OA = OD. A B C D O 典例精析 A B C D O ∵∠AOD=120°, ∴∠ODA=∠OAD= (180°- 120°)=30°. 又∵∠DAB=90° , （矩形的四个角都是直角） ∴BD = 2AB = 2 ×2.5 = 5. 提示：∠AOD=120° → ∠AOB=60°→ OA=OB=AB → AC=2OA=2×2.5=5. 你还有其他解法吗？ 例2：如图,在矩形ABCD中,E是BC上一点,AE=AD,DF⊥AE ,垂足为F. 求证：DF=DC. A B C D E F 证明：连接DE. ∵AD =AE,∴∠AED =∠ADE. ∵四边形ABCD是矩形, ∴AD∥BC,∠C=90°. ∴∠ADE=∠DEC, ∴∠DEC=∠AED. 又∵DF⊥AE, ∴∠DFE=∠C=90°. 又∵DE= DE, ∴△DFE≌△DCE, ∴DF=DC. A B C D E 证明：∵四边形ABCD是矩形. ∴AC = BD(矩形的对角线相等). BE= DE= BD,AE=CE= AC (矩形对角线相互平分), ∴BE= AC. 直角三角形斜边上的中线上的性质 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 定理 例3：如图，已知BD，CE是△ABC不同边上的高，点G，F分别是BC，DE的中点，试说明GF⊥DE. 解：连接EG，DG. ∵BD，CE是△ABC的高， ∴∠BDC＝∠BEC＝90°. ∵点G是BC的中点， ∴EG＝2(1)BC，DG＝2(1)BC. 解析：本题的已知条件中已经有直角三角形，有斜边上的中点，由此可联想到应用“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”这一定理． ∴EG＝DG. 又∵点F是DE的中点， ∴GF⊥DE. 练一练：根据右图填空 已知△ABC中,∠ABC = 90°,BD是斜边AC上的中线. (1)若BD=3cm,则AC =_____cm; (2)若∠C = 30° ,AB = 5cm,则 AC =_____cm, BD = _____cm. A B C D 6 10 5 归纳总结 直角三角形斜边上的中线上的性质常见类型 平行四边形 1.矩形是轴对称图形和中心对称图形 2.矩形四个角都是直角 3.矩形的对角线相等且相互平分 矩形 性质 有一个角是直角 转换 直角三角形 等腰三角形 课堂小结 知识点一：矩形边、角的性质 1．如图，在矩形ABCD中，E是BC边的中点，且AE平分∠BAD，CE＝2，则CD的长是____． 2 当堂练习 2．如图，将矩形纸片ABCD沿BE折叠，使点A落在对角线BD上的点A′处．若∠DBC＝24°，则∠A′EB等于____°. 57 知识点二：矩形对角线的性质 3．如图，在矩形ABCD中，对角线AC＝8，∠AOB＝120°，则AD的长为____． 4 4．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AE⊥BD于点E，∠AOB＝110°，则∠DAE的度数为________． 35° 5．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是AO，AD的中点，若AB＝6 cm，BC＝8 cm，则EF＝_______cm. 2.5 6．如图，在矩形ABCO中，点B的坐标是(3，6)，则AC的长是 ________． 7．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F. (1)求证：AE＝CF； (2)若AB＝6，∠COD＝60°，求BC的长． 知识点三：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 8．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，点M是AB的中点，则CM＝____． 5 9．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D，E，F分别是AB，CA，BC的中点，若CD＝2，则线段EF的长是____． 2 10．如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，若∠A＝20°，则∠BDC＝________． 40° 11．如图，在△ABC中，D，E分别是AB，BC的中点，F是DE上一点，连接BF，CF.若AC＝12，DF＝2，∠BFC＝90°，则BC＝____． 8 12．如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，在边AD上取一点E，使BE＝BC，过点C作CF⊥BE，垂足为点F，则BF的长为________． 13．如图，在矩形ABCD中，E是边AD上一点，F，G分别是BE，CE的中点，连接AF，DG，FG，若AF＝3，DG＝4，FG＝5，矩形ABCD的面积为_______． 48 14．如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为点D，CE是边AB上的中线，如果CD＝BE，∠B＝40°，那么∠BCE＝____度． 20 15．如图，在矩形ABCD中，AB＝10，BC＝12.若点E是边CD的中点，连接AE，过点B作BF⊥AE交AE于点F，则BF的长为 _____． 16．如图，在矩形ABCD中，点M在DC上，AM＝AB，且BN⊥AM，垂足为N. (1)求证：△ABN≌△MAD； (2)若AD＝2，AN＝4，求四边形BCMN的面积. 17．点P是矩形ABCD对角线AC所在直线上的一个动点(点P不与点A，C重合)，分别过点A，C向直线BP作垂线，垂足分别为点E，F，点O为AC的中点． (1)如图①，当点P与点O重合时，请你判断OE与OF之间的数量关系； (2)当点P运动到如图②所示的位置时，请你在图②中补全图形并通过证明判断(1)中的结论是否仍然成立． 3 eq \r(5) 解：(1)∵四边形ABCD是矩形，∴OA＝OC，OB＝OD，AC＝BD，∠ABC＝90°.又∵AE⊥BD，CF⊥BD，∴∠AEO＝∠CFO＝90°.又∵∠AOE＝∠COF，OA＝OC，∴△AOE≌△COF(AAS)，∴AE＝CF　 (2)∵OA＝OC，OB＝OD，AC＝BD，∴OA＝OB.∵∠AOB＝∠COD＝60°，∴△AOB是等边三角形，∴OA＝AB＝6，∴AC＝2OA＝12，在Rt△ABC中，BC＝ eq \r(AC2－AB2) ＝ eq \r(144－36) ＝6 eq \r(3) 2 eq \r(5) eq \f(120,13) 解：(1)在矩形ABCD中，∠D＝90°，DC∥AB，∴∠BAN＝∠AMD，∵BN⊥AM，∴∠BNA＝90°，在△ABN和△MAD中， eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠BAN＝∠AMD，,∠BNA＝∠D＝90°，,AB＝MA，)) ∴△ABN≌△MAD(AAS) (2)∵△ABN≌△MAD，∴BN＝AD，∵AD＝2，∴BN＝2，又∵AN＝4，在Rt△ABN中，AB＝ eq \r(AN2＋BN2) ＝ eq \r(42＋22) ＝2 eq \r(5) ，∴S矩形ABCD＝2×2 eq \r(5) ＝4 eq \r(5) ，S△ABN＝S△MAD＝ eq \f(1,2) ×2×4＝4，∴S四边形BCMN＝S矩形ABCD－S△ABN－S△MAD＝4 eq \r(5) －8 解：(1)OE＝OF，理由：∵四边形ABCD是矩形，∴OA＝OC.又∵AE⊥BP，CF⊥BP，∴∠AEO＝∠CFO＝90°.又∵∠AOE＝∠COF，∴△AOE≌△COF(AAS)，∴OE＝OF　(2)补图略，OE＝OF仍然成立，证明：延长EO交CF于点G，∵AE⊥BP，CF⊥BP，∴AE∥CF，∴∠EAO＝∠GCO.又∵AO＝CO，∠AOE＝∠COG，∴△AOE≌△COG(ASA)，∴OG＝OE，∴在Rt△EFG中，OF＝ eq \f(1,2) EG，∴OE＝OF $$