1.1 菱形的性质与判定第3课时课件 2025-2026学年北师大版数学九年级上册

北师大版九年级上册 1.1 菱形的性质与判定 第一章 特殊平行四边形 第3课时 菱形的性质、判定与其他知识的综合 1.能灵活运用菱形的性质定理及判定定理解决一些相关问题,并掌握菱形面积的求法。(重点、难点) 2.经历菱形性质定理及判定定理的应用过程,体会数形结合、转化等思想方法。 学习目标 平行四边形的对边 ，对角 ， 对角线 ． 菱形具有 的一切性质． 菱形是 图形也是 图形． 菱形的四条边都 ． 菱形的两条对角线互相 ． 平行且相等 相等 互相平分 平行四边形 轴对称 中心对称 相等 垂直 且平分 复习引入 6.平行四边形的面积=_________. A B C D F 底×高 7.菱形是特殊的平行四边形，如图菱形ABCD的面积=_________. BC·DF 思考：你能用菱形的对角线表示菱形的面积吗？ A B C O D 菱形的面积 做一做：如图，请用两种方法表示菱形ABCD的面积. 方法一：菱形ABCD的面积=底×高 =CD·BE. A B C O D E 方法二：菱形ABCD的面积 =4S△ABO =4× ×AO×BO = ×AC×BD. 讲授新课 A B D C a h (1)S = a·h. (2)S = AC·DB. O 菱形的面积计算公式： 总结归纳 菱形的面积 = 底×高 = 对角线乘积的一半 练一练 如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC和BD相交于点O，AC=4cm，BD=8cm，则这个菱形的面积是        cm²． 16 例1 如图，菱形花坛ABCD的边长为20m， ∠ABC＝ ，沿着菱形的对角线修建了两条小路AC和BD，求两条小路的长和花坛的面积（结果分别精确到0.01m和0.1m2 ）. B A O C 60° 典例精析 B A O C D 解：∵花坛ABCD是菱形， 例2 如图所示，在菱形ABCD中，点O为对角线AC与BD的交点，且在△AOB中，AB＝13，OA＝5，OB＝12.求菱形ABCD两对边的距离h. 典例精析 解析：先利用菱形的面积等于两条对角线长度乘积的一半求得菱形的面积，又因为菱形是特殊的平行四边形，其面积等于底乘高，也就是一边长与两边之间距离的乘积，从而求得两对边的距离． 解：在Rt△AOB中，AB＝13，OA＝5，OB＝12， 于是 所以， S菱形ABCD＝4S△AOB＝4×30＝120. 又因为菱形两组对边的距离相等， 所以，S菱形ABCD＝AB•h＝13h， 即，13h＝120，得 方法总结：菱形的面积计算有如下方法： (1)一边长与两对边的距离(即菱形的高)的积； (2)四个小直角三角形的面积之和(或一个小直角三角形面积的4倍)； (3)两条对角线长度乘积的一半． 菱形的判定与性质的综合问题 如图两张不等宽的纸条交叉重叠在一起，重叠的部分是什么图形？ 做一做 平行四边形 如图两张等宽的纸条交叉重叠在一起，重叠的部分ABCD是什么图形？为什么？ 菱形 典例精析 例3.如图所示，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，BE＝2DE，延长DE到点F，使得EF＝BE，连接CF. (1)求证：四边形BCFE是菱形； (2)若CE＝4，∠BCF＝120°，求菱形BCFE的面积． (1)证明：∵D、E分别是AB、AC的中点， ∴DE∥BC且2DE＝BC. 又∵BE＝2DE，EF＝BE， ∴EF＝BC，EF∥BC， ∴四边形BCFE是平行四边形． 又∵EF＝BE， ∴四边形BCFE是菱形； (2)解：∵∠BCF＝120°， ∴∠EBC＝60°， ∴△EBC是等边三角形， ∴菱形的边长为4，高为 ， ∴菱形的面积为 . 方法总结：判定一个四边形是菱形时，要结合条件灵活选择方法．如果可以证明四条边相等，可直接证出菱形；如果只能证出一组邻边相等或对角线互相垂直，可以尝试证出这个四边形是平行四边形，然后用定义法或判定定理1来证明菱形． 菱形的性质与判定的综合性问题 菱形的面积 有关计算 面积=底×高=两条对角线乘积的一半 课堂小结 1.已知菱形的周长是24cm，那么它的边长是______. 2.如图，菱形ABCD中∠BAC＝120°，则∠BAC＝_______. 6cm 60° 3.如图，菱形的两条对角线长分别为10cm和24cm，则菱形的边长是（ ） C A.10cm B.24cm C. 13cm D.17cm A B C D O 当堂练习 知识点一：菱形的面积 1．若菱形的两条对角线长分别为6和8，则该菱形的面积为________． 2．如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，且∠ACD＝30°，BD＝4，则菱形ABCD的面积为 _______． 24 当堂练习 4．如图，菱形花坛ABCD的一边长AB为20 m，∠ABC＝60°，沿着该菱形的对角线修建两条小路AC和BD. (1)求AC和BD的长； (2)求菱形花坛ABCD的面积． 知识点二：菱形的性质与判定的应用 5．如图，在▱ABCD中，AC平分∠DAB，AB＝2，则▱ABCD的周长为( ) A．4 B．6 C．8 D．12 C 6．如图，四边形ABCD是菱形，点E，F分别在BC，DC边上，添加以下条件不能判定△ABE≌△ADF的是( ) A．BE＝DF B．∠BAE＝∠DAF C．AE＝AD D．∠AEB＝∠AFD C 7．如图，在菱形ABCD中，∠B＝50°，点E在CD上，若AE＝AC，则∠BAE＝_______°. 115 8．如图，已知四边形ABCD是平行四边形，其对角线相交于点O，OA＝3，BD＝8，AB＝5. (1)△AOB是直角三角形吗？请说明理由； (2)求证：四边形ABCD是菱形． 9．如图，已知点E，F，G，H分别是任意四边形ABCD中AD，BD，BC，AC的中点，当四边形ABCD的边至少满足条件：_______________________时，四边形EFGH是菱形． AB＝CD(答案不唯一) C 11．如图，▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AB＝10，AC＝12，当BD＝____时，▱ABCD是菱形． 16 12．如图，四边形ABCD是平行四边形． (1)尺规作图：作对角线AC的垂直平分线MN(保留作图痕迹)； (2)若直线MN分别交AD，BC于E，F两点，求证：四边形AFCE是菱形． 解：(1)如图，直线MN即为所求 (2)设AC与EF交于点O.由作图可知，EF垂直平分线段AC，∴OA＝OC，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AE∥CF，∴∠OAE＝∠OCF，∵∠AOE＝∠COF，∴△AOE≌△COF(ASA)，∴AE＝CF，∴四边形AFCE是平行四边形，∵AC⊥EF，∴四边形AFCE是菱形 13．(教材“做一做”变式题)明明将两张长为8 cm，宽为2 cm的长方形纸条交叉放，如图①所示，他发现重叠部分是一个菱形． (1)请你帮助明明证明四边形ABCD是菱形； (2)明明又发现：如图②所示，当菱形的一条对角线与长方形纸条的一条对角线重合时，菱形ABCD的周长最大，求此时菱形ABCD的周长． 8 eq \r(3) 3．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点A作AH⊥BC于点H，已知BO＝4，S菱形ABCD＝24，则AH＝_________. eq \f(24,5) 解：(1)∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AO＝CO，BO＝DO，∠ABD＝ eq \f(1,2) ∠ABC＝30°.∴AO＝ eq \f(1,2) AB＝10 m．∴AC＝2AO＝20 m，BO＝ eq \r(AB2－AO2) ＝10 eq \r(3) m．∴BD＝2BO＝20 eq \r(3) m　(2)S菱形ABCD＝ eq \f(1,2) AC·BD＝ eq \f(1,2) ×20×20 eq \r(3) ＝200 eq \r(3) (m2) 解：(1)△AOB是直角三角形．理由如下：∵四边形ABCD是平行四边形，BD＝8，∴OB＝OD＝ eq \f(1,2) BD＝4，∵OA＝3，OB＝4，AB＝5，∴OA2＋OB2＝AB2，∴△AOB是直角三角形，且∠AOB＝90°　(2)由(1)可知，∠AOB＝90°，∴AC⊥BD，∴平行四边形ABCD是菱形 10．如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，对角线AC，BD相交于点O，AM平分∠BAC，若AM＝2，则菱形ABCD的面积为( ) A．6 B．8 C．6 eq \r(3) D．8 eq \r(3) 解：(1)如图①，过点A作AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F.∵两张长方形纸条的宽度相同，∴AB∥CD，AD∥BC，AE＝AF，∴四边形ABCD是平行四边形．∵S▱ABCD＝BC·AE＝CD·AF，AE＝AF，∴BC＝CD，∴四边形ABCD是菱形　(2)如图②，设DC＝BC＝x cm，则CE＝(8－x) cm.在Rt△DCE中，DC2＝DE2＋CE2，即x2＝(8－x)2＋22，解得x＝ eq \f(17,4) .故此时菱形ABCD的周长为4× eq \f(17,4) ＝17(cm) $$