1.1 菱形的性质与判定第2课时课件 2025-2026学年北师大版数学九年级上册

北师大版九年级上册 1.1 菱形的性质与判定 第一章 特殊平行四边形 第2课时 菱形的判定 1.理解并掌握菱形的两个判定方法.（重点） 2.会用这些菱形的判定方法进行有关的证明和计算.（难点） 学习目标 问题：什么是菱形？菱形有哪些性质？ 菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形. 菱形的性质：1. 轴对称图形. 2. 四边相等. 3. 对角线互相垂直平分. A B C D 导入新课 3 动手做一做 思考：剪下来的是什么图形？ 菱形的判定定理 问题：根据菱形的定义,邻边相等的平行四边形是菱形.除此之外,你认为还有什么条件可以判断一个平行四边形是菱形? 1.小明的想法 平行四边形的不少性质定理与判定定理都是互逆命题.受此启发,我猜想:四边相等的四边形是菱形,对角线垂直的平行四边形是菱形. 讲授新课 2.小颖的想法 我觉得,对角线互相垂直的平行四边形有可能是菱形.但“四边相等的平行四边形是菱形”实际上与“邻边相等的平行四边形是菱形”一样. 3.你是怎么想的?你认为小明的想法如何? 猜想1:对角线互相垂直的平行四边形是菱形. 猜想2:四边相等的四边形是菱形. 通过探究，容易得到： 对角线 互相垂直 的平行四边形是菱形 活动1: 用一长一短两根木条，在它们的中点处固定一个小钉，做成一个可转动的十字，四周围上橡皮筋，做成一个四边形．转动木条，木条端点围成的四边形是平行四边形吗？什么时候变成菱形？ 验证活动1 平行四边形 菱形 A B C O D 已知：右图中四边形ABCD是平行四边形，对角线AC与BD相交于点O ，AC⊥BD. 求证：□ABCD是菱形. 证明： ∵四边形ABCD是平行四边形. ∴OA=OC. 又∵AC⊥BD, ∴BD是线段AC的垂直平分线. ∴BA=BC. ∴四边形ABCD是菱形（菱形的定义）. 对角线互相垂直的平行四边形是菱形. 定理 证明猜想1 定理运用格式： ∵四边形ABCD是平行四边形, 又∵AC⊥BD, ∴四边形ABCD是菱形. (对角线互相垂直的平行四边形为菱形) A B C O D 练一练 √ 判断对错： （1）对角线互相垂直的四边形是菱形。 （ ） （2）对角线垂直且平分的四边形是菱形 。 （ ） （3）对角线互相平分的平行四边形是菱形。 （ ） （4）对角线垂直且相等的四边形是菱形。 （ ） （5）有一条对角线平分一组对角的四边形是菱形。 （ ） × × × √ 小刚：分别以A、C为圆心，以大于 AC的长为半径作弧，两条弧分别相较于点B , D,依次连接A、B、C、D四点. 活动2：已知线段AC,你能用尺规作图的方法作一个菱形ABCD,使AB为菱形的一条对角线？ C A B D 思考：1.你是怎么做的,你认为小刚的作法对吗？ 2.怎么验证四边形ABCD是菱形？ 提示：AB = BC=CD =AD 验证活动2 证明：∵AB=BC=CD=AD; ∴AB=CD , BC=AD. ∴四边形ABCD是平行四边形（平行四边形的判定）. 又∵AB=BC, ∴四边形ABCD是菱形 (菱形的定义). A B C D 已知：右图中四边ABCD，AB=BC=CD=AD. 求证：四边形ABCD是菱形. 四边相等的四边形是菱形. 定理 证明猜想2 定理的运用格式 ∵AB=BC=CD=DA， ∴四边形ABCD是菱形 (四边相等的四边形为菱形). A B C D 证明：在△AOB中. ∵AB= , OA=2,OB=1. ∴AB2=AO2+OB2. ∴ △AOB是直角三角形, ∠AOB是直角. ∴AC⊥BD. ∴ □ABCD是菱形 (对角线垂直的平行四边形是菱形). 例1：已知：如右图,在□ABCD中,对角线AC与BD相交于点O, AB= ,OA=2,OB=1. 求证： □ABCD是菱形. A B C O D 典例精析 2 例2：已知：如图,在△ABC, AD是角平分线,点E、F分别在AB、AD上,且AE=AC,EF = ED. 求证：四边形CDEF是菱形. A C B E D F 证明： ∵ ∠1= ∠2, 又∵AE=AC, ∴ △ACD≌ △AED (SAS). 同理△ACF≌△AEF(SAS) . ∴CD=ED, CF=EF. 又∵EF=ED, ∴四边形ABCD是菱形（四边相等的四边形是菱形）. 1 四条边都相等 菱形 一组邻边相等 对角线互相垂直 对角线互相平分 一组对边平行且相等 两组对边分别平行或相等 四边形 平行四边形 两组对角分别相等 归纳总结 知识点一：有一组邻边相等的平行四边形是菱形 1．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝4，BC＝6，将线段AB水平向右平移a个单位长度得到线段EF，要使四边形ECDF成为菱形，则a的值为( ) A．1 B．2 C．3 D．4 B 课堂练习 2．已知：如图，在▱ABCD中，点E，F分别在AD，BC上，且BE平分∠ABC，EF∥AB.求证：四边形ABFE是菱形． 证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，又∵EF∥AB，∴四边形ABFE是平行四边形，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠EBF，∵AD∥BC，∴∠AEB＝∠EBF，∴∠ABE＝∠AEB，∴AB＝AE，∴平行四边形ABFE是菱形 知识点二： 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 3．如图，已知四边形ABCD是平行四边形，从①AC⊥BD；②AC＝BD；③∠ABC＝∠ADC中选择一个作为条件，补充后使四边形ABCD成为菱形，则应选择____(填序号). ① 4．如图，四边形ABCD是对角线互相垂直的四边形，且OB＝OD，请你添加一个适当的条件__________，使四边形ABCD是菱形．(只需添加一个即可) OA＝OC 5．如图，在▱ABCD中，E，F分别是AD，BC上的点，且DE＝BF，AC⊥EF.求证：四边形AECF是菱形． 证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AD∥BC，∵DE＝BF，∴AE＝CF，∵AE∥CF，∴四边形AECF是平行四边形，∵AC⊥EF，∴四边形AECF是菱形 知识点三： 四边相等的四边形是菱形 6．如图，△ABC是等腰三角形，把它沿底边BC翻折后，得到△DBC，则四边形ABDC为_______，理由是________________________． 菱形 四边相等的四边形是菱形 7．如图，AC＝8，分别以A，C为圆心，以长度5为半径作弧，两条弧分别相交于点B和D.依次连接点A，B，C，D，连接BD交AC于点O. (1)判断四边形ABCD的形状并说明理由； (2)求BD的长． 8．如图，四边形ABCD的两条对角线相交于点O，且互相平分．添加下列条件，仍不能判定四边形ABCD为菱形的是( ) A．AC⊥BD B．AB＝AD C．AC＝BD D．∠ABD＝∠CBD C 9．如图，已知点E，F，G，H分别是任意四边形ABCD中AD，BD，BC，AC的中点，当四边形ABCD的边至少满足条件：_______________________时，四边形EFGH是菱形． AB＝CD(答案不唯一) 10．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，点E在DA的延长线上，连接BE，过点C作CF∥BE交AD的延长线于点F，连接BF，CE.求证：四边形BECF是菱形． 证明：∵AB＝AC，AD是BC边上的中线，∴AD垂直平分BC，∴EB＝EC，FB＝FC，∵CF∥BE，∴∠BED＝∠CFD，∠EBD＝∠FCD，∵DB＝CD，∴△EBD≌△FCD(AAS)，∴BE＝FC，∴EB＝BF＝FC＝EC，∴四边形BECF是菱形 11．(教材P9“随堂练习”T2变式)如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D，E分别是边BC，AB的中点，连接DE并延长至点F，使EF＝2DE，连接CE，AF. (1)求证：AF＝CE； (2)当∠B＝30°时，试判断四边形ACEF的形状，并说明理由． 12．如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点O的直线EF与BA，DC的延长线分别交于点E，F. (1)求证：AE＝CF； (2)请再添加一个条件，使四边形BFDE是菱形，并说明理由． (2)当EF⊥BD时，四边形BFDE是菱形．理由如下：如图，连接BF，DE，∵四边形ABCD是平行四边形，∴OB＝OD，∵△AOE≌△COF，∴OE＝OF，∴四边形BFDE是平行四边形，∵EF⊥BD，∴四边形BFDE是菱形 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形. 定理1：对角线互相垂直的平行四边形是菱形. 定理2：四边相等的四边形是菱形. 菱形的判定 定义 定理 课堂小结 解：(1)∵四边形ABCD是菱形，∴AB∥CD，AC⊥BD，∴AE∥CD，∠AOB＝90°，∵DE⊥BD，∴∠EDB＝90°，∴∠AOB＝∠EDB，∴DE∥AC，∴四边形ACDE是平行四边形　 (2)∵四边形ABCD是菱形，∴OA＝ eq \f(1,2) AC＝4，OD＝ eq \f(1,2) BD＝3，AC⊥BD，∴AD＝CD＝ eq \r(OA2＋OD2) ＝5，∵四边形ACDE是平行四边形，∴AE＝CD＝5，DE＝AC＝8，∴△ADE的周长为AD＋AE＋DE＝5＋5＋8＝18 解：(1)∵点D，E分别是边BC，AB的中点，∴DE∥AC，AC＝2DE.又∵EF＝2DE，∴EF∥AC，EF＝AC，∴四边形ACEF是平行四边形，∴AF＝CE (2)当∠B＝30°时，四边形ACEF是菱形．理由如下：∵∠ACB＝90°，∠B＝30°，∴∠BAC＝60°，AC＝ eq \f(1,2) AB＝AE，∴△AEC是等边三角形，∴AC＝CE.又∵四边形ACEF是平行四边形，∴四边形ACEF是菱形 解：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，BE∥DF，∴∠E＝∠F，在△AOE和△COF中， eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠E＝∠F，,∠AOE＝∠COF，,OA＝OC，)) ∴△AOE≌△COF(AAS)，∴AE＝CF $$