1.1 菱形的性质与判定第1课时课件 2025-2026学年北师大版数学九年级上册

北师大版九年级上册 1.1 菱形的性质与判定 第一章 特殊平行四边形 第1课时 菱形的性质 1.了解菱形的概念及其与平行四边形的关系； 2.探索并证明菱形的性质定理.（重点） 3.应用菱形的性质定理解决相关问题.（难点） 学习目标 问题:什么样的四边形是平行四边形？它有哪些性质呢？ 平行四边形的性质： 边：对边平行且相等. 对角线：相交并相互平分. 角：对角相等,邻角互补. 导入新课 活动: 观察下列图片， 找出你所熟悉的图形. 下面几幅图片中都含有一些平行四边形，观察这些平行四边形，你能发现它们有什么样的共同特征？ 菱形的概念及其与平行四边形的关系 讲授新课 观察平行四边形图形的变化，你有什么发现？ 菱形的定义： 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形. 菱形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的所有性质，但平行四边形不一定是菱形. 菱形与平行四边形有什么关系？ 平行四边形 菱形 菱形集合 平行四边形集合 做一做 请同学们用菱形纸片折一折，回答下列问题： （1）菱形是轴对称图形吗？如果是，它有几条对称轴？对称轴之间有什么位置关系？ （2）菱形中有哪些相等的线段？ 菱形的性质 1.菱形是轴对称图形，有两条对称轴(对称轴直线AC和直线BD). 2.菱形四条边都相等(AB=BC=CD=AD). 3.菱形的对角线互相垂直(AC⊥BD). A B C O D 发现菱形的性质 已知：如图，在菱形ABCD中，AB=AD,对角线AC与BD相交于点O. 求证:（1）AB = BC = CD =AD； （2）AC⊥BD. 证明菱形的性质 证明：（1）∵四边形ABCD是菱形， ∴AB = CD，AD = BC（菱形的对边相等）. 又∵AB=AD; ∴AB = BC = CD =AD. A B C O D 求证：菱形的四条边相等，对角线互相垂直. （2）∵AB=AD, ∴△ABD是等腰三角形. 又∵四边形ABCD是菱形， ∴OB=OD. 在等腰三角形ABD中， ∵OB=OD， ∴AO⊥BD， 即AC⊥BD. A B C O D 思考：菱形的一条对角线所分成的两个内角有什么关系？试证明AC平分∠BAD和∠BCD， BD平分∠ABC和∠ADC. A B C O D 菱形是特殊的平行四边形，它除具有平行四边形的所有性质外，还有平行四边形所没有的特殊性质. 对称性：是轴对称图形. 边：四条边都相等. 对角线：互相垂直. 角：对角相等，邻角互补. 边：对边平行且相等. 对角线：相交并相互平分. 菱形的特殊性质 平行四边形的性质 归纳总结 1.如图，在菱形ABCD中，两条对角线 AC与BD相交于点O，图中的等腰三角 形有______________________________， 直角三角形有_____________________________ ，而且它们是________（“全等”或“不全等”）. 口答： △ABD, △BCD，△ABC,△ADC △ABO，△ADO,△BCO,△CDO 全等 2.菱形具有而平行四边形不一定具有的性质是（ ） A.内角和为360° B.对角线互相垂直 C.对边平行 D.对角线互相平分 B 例1：已知菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AB=5cm,BD=8cm. 则：（1）BO=____________; （2）AC=_____________. B A C D O 4cm 6cm 菱形中已知边长或对角线，求相关长度问题，一般利用菱形的对角线垂直平分，再结合勾股定理解题. 典例精析 例2：如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，∠BAD=60°，BD =6，求菱形的边长AB和对角线AC的长. 解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD(菱形的对角线互相垂直) OB=OD= BD = ×6=3(菱形的对角线互相平分) 在等腰三角形ABC中， ∵∠BAD=60°， ∴△ABD是等边三角形. ∴AB = BD = 6. A B C O D 在RtΔAOB中，由勾股定理，得 OA2+OB2=AB2， ∴OA = = = ∴AC=2OA= （菱形的对角线相互平分）. A B C O D 若菱形有一个内角为60°，那么60°角的两边与较短的对角线可构成等边三角形，且两条对角线把菱形分成四个全等的含30°角的直角三角形. 课堂小结 有一组邻边相等 具有平行四边形的所有性质 特殊性质 对角线 边 知识点一：菱形的对称性 1．如图，在菱形OABC中，点B在x轴上，点A的坐标为(2，3)，则点C的坐标为___________． (2，－3) 当堂练习 2．如图，菱形ABCD对角线交点与坐标原点O重合，点A(－2，5)，则点C的坐标是 __________． (2，－5) 知识点二：菱形的边、角的性质 3．如图，在菱形ABCD中，AB＝10，∠B＝60°，则△ACD的周长是______． 30 4．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点D在y轴上，顶点A，B的坐标分别为(－6，0)，(4，0)，则顶点C的坐标是 _________． (10，8) 知识点三：菱形的对角线的性质 5．如图，菱形ABCD中，连接AC，BD，若∠1＝20°，则∠2的度数为( ) A．20° B．60° C．70° D．80° C D 7．如图，在菱形ABCD中，AC，BD为菱形的对角线，∠DBC＝60°，BD＝10，点F为BC的中点，则EF的长为____． 5 8．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点D作对角线BD的垂线交BA的延长线于点E. (1)求证：四边形ACDE是平行四边形； (2)若AC＝8，BD＝6，求△ADE的周长． 9．如图，在菱形ABCD中，BE⊥AD，BF⊥CD，E，F为垂足，AE＝ED，则∠EBF等于______度． 60 10．如图，在菱形ABCD中，AB＝10，M，N分别为BC，CD的中点，P是对角线BD上的一个动点，则PM＋PN的最小值是______． 10 B 12．如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝80°，AB的垂直平分线交对角线AC于点F，点E为垂足，连接DF，则∠CDF的度数为( ) A．80° B．70° C．65° D．60° D 13．如图，在菱形ABCD中，AE垂直平分BC，垂足为E，AB＝2 cm.求： (1)∠BAD的度数； (2)对角线BD的长． 14．如图，四边形ABCD是菱形，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F. (1)求证：△ABE≌△ADF； (2)若AE＝4，CF＝2，求菱形的边长． 15．如图，在菱形ABCD中，F为边BC的中点，DF与对角线AC交于点M，过M作ME⊥CD于点E，∠1＝∠2. (1)若CE＝1，求BC的长； (2)求证：AM＝DF＋ME. 6．如图，在菱形ABCD中，AB＝1，∠DAB＝60°，则AC的长为( ) A． eq \f(1,2) B．1 C． eq \f(\r(3),2) D． eq \r(3) 解：(1)∵四边形ABCD是菱形，∴AB∥CD，AC⊥BD，∴AE∥CD，∠AOB＝90°，∵DE⊥BD，∴∠EDB＝90°，∴∠AOB＝∠EDB，∴DE∥AC，∴四边形ACDE是平行四边形　 (2)∵四边形ABCD是菱形，∴OA＝ eq \f(1,2) AC＝4，OD＝ eq \f(1,2) BD＝3，AC⊥BD，∴AD＝CD＝ eq \r(OA2＋OD2) ＝5，∵四边形ACDE是平行四边形，∴AE＝CD＝5，DE＝AC＝8，∴△ADE的周长为AD＋AE＋DE＝5＋5＋8＝18 11．如图，在菱形ABCD中，AB＝2，∠BAD＝60°，E是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，则PE＋PB的最小值为( ) A．1 B． eq \r(3) C．2 D． eq \r(5) 解：(1)∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC，AB＝BC＝2 cm.∵AE垂直平分BC，∴AB＝AC.∴△ABC为等边三角形，∴∠ABC＝60°.∵AD∥BC，∴∠BAD＝180°－∠ABC＝120° (2)∵四边形ABCD是菱形，∴BD＝2BO，OC＝ eq \f(1,2) AC＝1 cm，AC⊥BD，∴∠BOC＝90°.由勾股定理得BO＝ eq \r(BC2－OC2) ＝ eq \r(22－12) ＝ eq \r(3) (cm).∴BD＝2BO＝2 eq \r(3) cm 解：(1)∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝CD＝AD，∠B＝∠D.∵AE⊥BC，AF⊥CD，∴∠AEB＝∠AFD＝90°.在△ABE和△ADF中， eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠AEB＝∠AFD，,∠B＝∠D，,AB＝AD，)) ∴△ABE≌△ADF(AAS)　 (2)设菱形的边长为x，∵CF＝2，∴DF＝x－2.∵△ABE≌△ADF，∴BE＝DF＝x－2.在Rt△ABE中，根据勾股定理，得AE2＋BE2＝AB2，即42＋(x－2)2＝x2，解得x＝5.∴菱形的边长是5 解：(1)∵四边形ABCD是菱形，∴AB∥CD，∴∠1＝∠ACD，∵∠1＝∠2，∴∠ACD＝∠2，∴MC＝MD，∵ME⊥CD，∴CD＝2CE＝2，∴BC＝CD＝2　(2)∵F为边BC的中点，∴BF＝CF＝ eq \f(1,2) BC，∴CF＝CE，在菱形ABCD中，AC平分∠BCD，∴∠ACB＝∠ACD，∵CM＝CM，∴△CEM≌△CFM(SAS)，∴ME＝MF，延长AB交DF的延长线于点G，∵AB∥CD，∴∠G＝∠2，∠GBC＝∠DCB，∵BF＝CF，∴△BGF≌△CDF，∴GF＝DF.∵∠1＝∠2，∴∠1＝∠G，∴AM＝MG，由图可知，GM＝GF＋MF，∴AM＝DF＋ME $$