预习06 直线的方程（5知识点+7题型+思维导图+过关检测）-【暑假自学课】2025年新高二数学暑假提升精品讲义（人教B版2019）

预习06 直线的方程 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型 强知识：7大核心考点精准练 第二步：记 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点 1 ：直线的点斜式方程 1．点斜式方程的推导 如图,直线l经过点,且斜率为k.设为直线l上不同于点P0的任意一点,因为直线l的斜率为k,由斜率公式得,即． 2．直线的点斜式方程 方程由直线上一定点及该直线的斜率k确定,我们把它叫做直线的点斜式方程,简称点斜式． （1）当直线l的倾斜角为0°时,,即k=0,这时直线l与x轴平行或重合,直线l的方程是,即 （2）当直线l的倾斜角为90°时,由于无意义,直线没有斜率,这时直线l与y轴平行或重合,它的方程不能用点斜式表示．又因为这时直线l上每一点的横坐标都等于x0,所以它的方程是或. 知识点 2 ：直线的斜截式方程 1．斜截式方程的推导 如图,如果斜率为k的直线l过点,这时P0是直线l与y轴的交点,代入直线的点斜式方程,得,即. 2．直线的斜截式方程 我们把直线l与y轴的交点(0,b)的纵坐标b叫做直线l在y轴上的截距．这样,方程y=kx+b由直线的斜率k与它在y轴上的截距b确定,我们把方程叫做直线的斜截式方程,简称斜截式．其中,k和b均有明显的几何意义：k是直线的斜率,b是直线在y轴上的截距． 知识点 3 ：直线的两点式方程 当时,经过两点的直线的斜率. 任取中的一点,例如,取点,由直线的点斜式方程,得, 当时,上式可写为，这就是经过两点 (其中 )的直线的方程,我们把它叫做直线的两点式方程,简称两点式． 知识点 4 ：直线的截距式方程 已知直线l与x轴的交点为,与y轴的交点为,其中,则由直线的两点式方程可以得到直线l的方程为 我们把直线l与x轴的交点的横坐标a叫做直线在x轴上的截距,此时直线在y轴上的截距是b.方程由直线l在两条坐标轴上的截距a与b确定,我们把方程叫做直线的截距式方程,简称截距式． 知识点 5 ：直线的一般式方程 关于的二元一次方程都表示一条直线．我们把关于的二元一次方程 (其中不同时为0)叫做直线的一般式方程,简称一般式． 直线方程的一般式与斜截式、截距式的互化 一般式 斜截式 截距式 (其中不同时为0) 【题型1 点斜式方程】 1．写出满足下列条件的直线的点斜式方程： (1)经过点，斜率为； (2)经过点，倾斜角是； (3)经过点且与轴垂直． 2．若过点的直线的倾斜角为，且，则的方程为（    ） A． B． C． D． 3．已知直线过点，将直线绕点逆时针旋转与轴重合，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 4．将直线绕点顺时针旋转得到的直线方程是 ． 5．直线l的倾斜角为，且，若l过点，则直线l的方程为 . 【题型2 斜截式方程】 6．已知，，则下列直线的方程不可能是的是（    ） A． B． C． D． 7．（多选）已知两条不同的直线与，则与的位置关系可以是图中的（    ） A．   B．   C．   D．   8．根据条件写出下列直线的斜截式方程： (1)写出斜率为，在y轴上截距为的直线的斜截式方程； (2)求过点，斜率为的直线的斜截式方程； (3)已知直线方程为，求直线的斜率，在y轴上的截距，以及与y轴交点的坐标． 9．已知的三个顶点分别为、、，求边上的中线所在直线的斜截式方程． 【题型3 两点式方程】 10．已知直线的两点式为，则（    ） A．直线经过点 B．直线的斜截式为 C．直线的倾斜角为锐角 D．直线的点斜式为 11．经过与两点的直线方程为 ． 12．已知直线及与函数图像的交点分别为A，B，则直线方程为 ． 13．已知入射光线经过点被轴反射后，反射光线经过点，则反射光线所在直线方程为 . 14．若三点，，在同一条直线上，则的值为 . 【题型4 截距式方程】 15．直线的纵截距为（   ） A． B． C．2 D．3 16．在平面直角坐标系中，直线，则直线过（   ） A．一、二、三象限 B．一、二、四象限 C．二、三、四象限 D．一、三、四象限 17．过点且在坐标轴上的截距相等的直线的斜率是 . 18．直线l过点且在两坐标轴上的截距相等，则直线l的方程为 ． 19．已知直线过点，且分别与轴的正半轴交于点、轴的正半轴交于点. (1)若为的中点，求直线的方程； (2)求的最小值. 【题型5 一般式方程】 20．已知直线l：的倾斜角为，则实数（    ） A． B． C． D． 21．若直线的截距式方程化为斜截式方程为，化为一般式方程为，则（    ） A． B． C． D． 22．直线在两坐标轴上的截距之和为，则实数（   ） A． B． C． D．2 23．经过点，且倾斜角是直线的倾斜角的2倍的直线方程为（   ） A． B． C． D． 24．直线 经过平面直角坐标系的第一、第二与第四象限，则实数 的取值范围是 . 25．将直线绕点逆时针旋转得到的直线方程为 ． 【题型6 直线方程与方向向量、法向量】 26．直线的方向向量可以是（   ） A． B． C． D． 27．已知是直线上一点，是直线的一个法向量，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 28．若直线过点，且其一个方向向量为，则直线的方程为 . 29．直线l经过点且一个法向量为，则直线l的一般式方程为 ． 30．已知定点，若直线过定点且方向向量是，直线过定点且方向向量是，直线在轴上的截距是，直线在轴上的截距是，则（   ） A．2 B． C．1 D． 【题型7 直线的定点问题】 31．直线必过定点（    ） A． B． C． D． 32．设点，，若直线与线段没有公共点，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 33．已知直线在轴上的截距的取值范围是，则其斜率的取值范围是（    ） A． B．或 C．或 D．或 34．在直线方程中，当k变化时，可得无数条直线，这些直线恒过的定点是 . 35．直线过定点 ，倾斜角的最小值是 . 【题型8 直线与坐标轴形成三角形问题】 36．已知直线过点，且与坐标轴分别相交于点A､B，若的面积为24，其中O为坐标原点，则这样的直线有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 37．已知直线的斜率小于，且经过点，并与坐标轴交于两点，，当的面积取得最小值时，直线的斜率为 . 38．过点的直线分别与轴、轴交于不同的A，B两点，为坐标原点，若存在4条直线使得的面积均为，则的取值范围是 . 39．直线的方程为，. (1)若直线在两坐标轴上的截距相等，求的方程； (2)若直线分别交轴、轴的正半轴于点、，点是坐标原点．若的面积为，求的值. 40．在平面直角坐标系中，点，，直线． (1)当点A到直线l的距离最大时，求k的值： (2)在（1）的条件下，若过点的直线与直线和轴正半轴分别交于点M，N，其中M在第一象限，当的面积最小时，求直线的方程． 一、单选题 1．已知直线的一个方向向量为，则实数的值为（    ） A． B． C．2 D． 2．直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 3．若直线经过第一、二、四象限，则（    ） A．且 B．且 C．且 D．且 4．已知直线l与直线夹角为45°，则l的倾斜角为（    ） A．°或75° B．15°或105° C．75°或165° D．30°或60° 5．过点且斜率小于0的直线与轴，轴围成的封闭图形面积的最小值为（    ） A．2 B． C．4 D． 6．已知直线绕点逆时针旋转，得到直线，则不过第（   ）象限． A．四 B．三 C．二 D．一 7．已知直线的方程为，则直线的倾斜角范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 8．下列说法错误的是（    ） A．平面直角坐标系内的任意一条直线都存在倾斜角和斜率 B．经过点且斜率为的直线方程为 C．直线与两坐标轴围成的三角形的面积是2 D．直线x=1的斜率为0 9．已知直线在轴和轴上的截距相等，则的值可能是（    ） A．1 B． C．2 D． 三、填空题 10．直线的一个方向向量为 ． 11．一条光线从点射出，与轴相交于点 ，经轴反射，求反射光线所在的直线方程 . 12．在平面直角坐标系中过点作直线，分别与轴的正半轴、y轴的正半轴交于点.当直线的斜率为 时，的面积最小，最小面积是 . 四、解答题 13．求符合下列条件的直线方程． (1)直线过点，且斜率为； (2)斜率为，且与两坐标轴围成的面积为6； (3)直线过点，且横截距为纵截距的两倍． 14．直线过点且与轴、轴的正半轴分别交于两点，为坐标原点，求分别满足下列条件的直线方程： (1)的周长为12； (2)的面积为6． 15．已知直线过点，且的一个法向量是. (1)求直线的方程； (2)若直线与轴交于点，将直线绕着点逆时针旋转，点所对应的点为，求直线的方程； (3)在（2）的条件下，求的角平分线所在的直线方程. 16．已知直线与坐标轴形成的三角形的面积为. (1)当时，求直线的方程； (2)针对的不同取值，直线构成集合，讨论集合中的元素个数. 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 预习06 直线的方程 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型 强知识：7大核心考点精准练 第二步：记 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点 1 ：直线的点斜式方程 1．点斜式方程的推导 如图,直线l经过点,且斜率为k.设为直线l上不同于点P0的任意一点,因为直线l的斜率为k,由斜率公式得,即． 2．直线的点斜式方程 方程由直线上一定点及该直线的斜率k确定,我们把它叫做直线的点斜式方程,简称点斜式． （1）当直线l的倾斜角为0°时,,即k=0,这时直线l与x轴平行或重合,直线l的方程是,即 （2）当直线l的倾斜角为90°时,由于无意义,直线没有斜率,这时直线l与y轴平行或重合,它的方程不能用点斜式表示．又因为这时直线l上每一点的横坐标都等于x0,所以它的方程是或. 知识点 2 ：直线的斜截式方程 1．斜截式方程的推导 如图,如果斜率为k的直线l过点,这时P0是直线l与y轴的交点,代入直线的点斜式方程,得,即. 2．直线的斜截式方程 我们把直线l与y轴的交点(0,b)的纵坐标b叫做直线l在y轴上的截距．这样,方程y=kx+b由直线的斜率k与它在y轴上的截距b确定,我们把方程叫做直线的斜截式方程,简称斜截式．其中,k和b均有明显的几何意义：k是直线的斜率,b是直线在y轴上的截距． 知识点 3 ：直线的两点式方程 当时,经过两点的直线的斜率. 任取中的一点,例如,取点,由直线的点斜式方程,得, 当时,上式可写为，这就是经过两点 (其中 )的直线的方程,我们把它叫做直线的两点式方程,简称两点式． 知识点 4 ：直线的截距式方程 已知直线l与x轴的交点为,与y轴的交点为,其中,则由直线的两点式方程可以得到直线l的方程为 我们把直线l与x轴的交点的横坐标a叫做直线在x轴上的截距,此时直线在y轴上的截距是b.方程由直线l在两条坐标轴上的截距a与b确定,我们把方程叫做直线的截距式方程,简称截距式． 知识点 5 ：直线的一般式方程 关于的二元一次方程都表示一条直线．我们把关于的二元一次方程 (其中不同时为0)叫做直线的一般式方程,简称一般式． 直线方程的一般式与斜截式、截距式的互化 一般式 斜截式 截距式 (其中不同时为0) 【题型1 点斜式方程】 1．写出满足下列条件的直线的点斜式方程： (1)经过点，斜率为； (2)经过点，倾斜角是； (3)经过点且与轴垂直． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）直线的点斜式方程为：. （2）由倾斜角是，则直线的斜率为， 所以直线的点斜式方程为：. （3）由于直线与轴垂直，斜率不存在， 所以该直线的方程为． 2．若过点的直线的倾斜角为，且，则的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由及，可得， 所以的斜率， 所以由点斜式方程得的方程为: ，即. 故选：C. 3．已知直线过点，将直线绕点逆时针旋转与轴重合，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】直线过点，将直线绕点逆时针旋转与轴重合， 所以直线的倾斜角为，所以， 直线的方程为：. 故选：D. 4．将直线绕点顺时针旋转得到的直线方程是 ． 【答案】 【详解】因为直线的斜率为1，所以其倾斜角为. 将其顺时针旋转，所得直线的倾斜角为，所以所求直线的斜率为：. 所以所求直线方程为：即. 故答案为： 5．直线l的倾斜角为，且，若l过点，则直线l的方程为 . 【答案】或 【详解】由直线l的倾斜角为，且，得，则， 因此直线l的斜率，直线l的方程为或， 所以直线l的方程为或. 故答案为：或 【题型2 斜截式方程】 6．已知，，则下列直线的方程不可能是的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】， 直线的方程在轴上的截距不小于2，且当时，轴上的截距为2， 故D正确，当时，, 故B不正确，当时，或，由图象知AC正确. 故选：B 7．（多选）已知两条不同的直线与，则与的位置关系可以是图中的（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】AC 【详解】对于A：由图像判断，符合，正确； 对于B：，在轴上的截距为1，图像不符合；错误； 对于C：由于，在轴上的截距为1，在轴上的截距为，结合图像可得：，图像符合；正确； 对于D: 由于，在轴上的截距为1，在轴上的截距为， 结合图像可知：，即，此时的图像矛盾，错误； 故选：AC 8．根据条件写出下列直线的斜截式方程： (1)写出斜率为，在y轴上截距为的直线的斜截式方程； (2)求过点，斜率为的直线的斜截式方程； (3)已知直线方程为，求直线的斜率，在y轴上的截距，以及与y轴交点的坐标． 【答案】(1)； (2)； (3)斜率，在y轴上的截距1，直线与y轴交点的坐标为． 【详解】（1）直线的斜率，纵截距， 所以该直线的斜截式方程为. （2）过点，斜率为的直线的点斜式方程为， 所以该直线的斜截式方程为. （3）直线方程化为， 所以该直线的斜率为，在y轴上的截距为1，直线与y轴交点的坐标为． 9．已知的三个顶点分别为、、，求边上的中线所在直线的斜截式方程． 【答案】 【详解】因为、，所以边上的中点， 而，所以，所以所在直线的斜截式方程为． 【题型3 两点式方程】 10．已知直线的两点式为，则（    ） A．直线经过点 B．直线的斜截式为 C．直线的倾斜角为锐角 D．直线的点斜式为 【答案】C 【详解】由题意，直线经过两点，，故AD错误， 将两点式化为斜截式：，故B错误， 直线的斜率为，所以直线的倾斜角为锐角，故C正确. 故选：C. 11．经过与两点的直线方程为 ． 【答案】 【详解】由题意可知，经过与两点的直线方程为，即. 故答案为：. 12．已知直线及与函数图像的交点分别为A，B，则直线方程为 ． 【答案】 【详解】由，得，，得， 所以直线AB的方程为，即. 故答案为：. 13．已知入射光线经过点被轴反射后，反射光线经过点，则反射光线所在直线方程为 . 【答案】 【详解】由题意利用反射定律可得，点关于轴的对称点在反射光线所在的直线上，故反射光线所在直线的方程为，化简可得. 故答案为：． 14．若三点，，在同一条直线上，则的值为 . 【答案】 【详解】由题意得直线的方程为，即， 将代入直线中，则，解得. 故答案为： 【题型4 截距式方程】 15．直线的纵截距为（   ） A． B． C．2 D．3 【答案】A 【详解】直线即，所以纵截距为-2. 故选：A. 16．在平面直角坐标系中，直线，则直线过（   ） A．一、二、三象限 B．一、二、四象限 C．二、三、四象限 D．一、三、四象限 【答案】D 【详解】解：直线在x轴上截距为2，y轴上截距为－3， 所以直线l过一、三、四象限． 故选：D. 17．过点且在坐标轴上的截距相等的直线的斜率是 . 【答案】或 【详解】当直线过原点时，在坐标轴上的截距都为0， 此时直线的斜率为：； 当直线不过原点时，设直线的方程为， 则，即， 则直线的方程为，斜率为. 故答案为：或. 18．直线l过点且在两坐标轴上的截距相等，则直线l的方程为 ． 【答案】或 【详解】当截距均为0时，即过，此时直线l的方程为； 当截距不为0时，设直线l的方程为， 满足，解得，此时直线l的方程为； 综上可得直线l的方程为或. 故答案为：或 19．已知直线过点，且分别与轴的正半轴交于点、轴的正半轴交于点. (1)若为的中点，求直线的方程； (2)求的最小值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题意可设的方程为， 由为的中点可知：，， 故的方程为，即； （2）将代入方程，得， 故 当且仅当时，取等号，此时 故的最小值为. 【题型5 一般式方程】 20．已知直线l：的倾斜角为，则实数（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由直线l：的倾斜角为，得斜率， 所以. 故选：D 21．若直线的截距式方程化为斜截式方程为，化为一般式方程为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】易知，由，得到， 由已知一般式方程为，所以有， 则，解得， 又，， 所以，则， 故选：A. 22．直线在两坐标轴上的截距之和为，则实数（   ） A． B． C． D．2 【答案】B 【详解】直线， 令，解得，令，解得， 由题意得：，解得． 故选：B 23．经过点，且倾斜角是直线的倾斜角的2倍的直线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设所求直线的倾斜角为，直线的倾斜角为， 所以， 所以直线的方程为，即为， 故选：B. 24．直线 经过平面直角坐标系的第一、第二与第四象限，则实数 的取值范围是 . 【答案】 【详解】直线的斜率，，直线与轴的交点为，， 由题意可知，，解得：或. 故答案为： 25．将直线绕点逆时针旋转得到的直线方程为 ． 【答案】 【详解】直线的斜率为，则倾斜角为， 又点在直线，将直线绕点逆时针旋转， 得到的直线的倾斜角为，则斜率为， 所以得到的直线方程为，即. 故答案为：. 【题型6 直线方程与方向向量、法向量】 26．直线的方向向量可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】的方向向量是与向量共线的向量，故D符合, 故选：D 27．已知是直线上一点，是直线的一个法向量，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由是直线的一个法向量，可知直线的斜率为， 又直线过点，所以直线的方程为，即. 故选：C 28．若直线过点，且其一个方向向量为，则直线的方程为 . 【答案】 【详解】由题意可知，直线的斜率为. 而直线过点，所以直线方程为， 即：. 故答案为：. 29．直线l经过点且一个法向量为，则直线l的一般式方程为 ． 【答案】 【详解】由直线方程一个法向量为，所以直线的斜率为，点斜式得l的方程，即 故答案为： 30．已知定点，若直线过定点且方向向量是，直线过定点且方向向量是，直线在轴上的截距是，直线在轴上的截距是，则（   ） A．2 B． C．1 D． 【答案】A 【详解】因为，即，所以， 因为，即，所以， 所以. 故选：A. 【题型7 直线的定点问题】 31．直线必过定点（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】根据题意，直线， 即， 令，得， 故直线必过定点. 故选：B 32．设点，，若直线与线段没有公共点，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由可知直线的斜率为，且经过定点， 由点，可得直线的斜率分别为：， 作图如下，由图知，要使直线与线段没有公共点， 需使，解得. 故选：C. 33．已知直线在轴上的截距的取值范围是，则其斜率的取值范围是（    ） A． B．或 C．或 D．或 【答案】D 【详解】已知直线，所以 所以直线过点， 由题知，在轴上的截距取值范围是， 所以直线过点时的斜率分别为，如图：    所以或. 故选：D 34．在直线方程中，当k变化时，可得无数条直线，这些直线恒过的定点是 . 【答案】 【详解】将直线方程变形为， 由直线方程的点斜式可知直线恒过的定点是. 故答案为： 35．直线过定点 ，倾斜角的最小值是 . 【答案】 【详解】直线可以化为， 则令，解得， 即直线过定点， 又直线可化为，， 则倾斜角的最小值是. 故答案为：； 【题型8 直线与坐标轴形成三角形问题】 36．已知直线过点，且与坐标轴分别相交于点A､B，若的面积为24，其中O为坐标原点，则这样的直线有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【答案】C 【详解】解：由题知直线的斜率存在，且不过原点， 所以设直线方程为，， 所以直线与轴交点坐标为，直线与轴交点坐标为 所以面积为，即， 所以或, 解方程，即，解得， 解方程，即，解得 所以这样的直线有3条. 故选：C 37．已知直线的斜率小于，且经过点，并与坐标轴交于两点，，当的面积取得最小值时，直线的斜率为 . 【答案】 【详解】设直线l的方程为，令，得，令，得. 则和坐标轴的交点为，. 所以， 可得的面积为，当且仅当，即等号成立； 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：解题的关键点是设出直线的方程并求出两点坐标. 38．过点的直线分别与轴、轴交于不同的A，B两点，为坐标原点，若存在4条直线使得的面积均为，则的取值范围是 . 【答案】． 【详解】显然直线的斜率存在且不为0，设直线的方程为， 令得，令得， 则， 由题意关于的方程有四个不同的实数解， ， 所以有两个不等实根且有两个不等实根， ，解得或． 又，所以． 故答案为：． 39．直线的方程为，. (1)若直线在两坐标轴上的截距相等，求的方程； (2)若直线分别交轴、轴的正半轴于点、，点是坐标原点．若的面积为，求的值. 【答案】(1)或 (2)或 【详解】（1）当即时，直线的方程为，不满足题意； 当，即时，令得，令，得， 由截距相等得，解得或， 当时，直线的方程为，当时，直线的方程为， 故综上所述，所求直线的方程为或． （2）由题意知，，，且在轴、轴上的截距分别为、， 所以，解得， 所以的面积，    由题意知，化简得，解得或，均满足条件， 所以或． 40．在平面直角坐标系中，点，，直线． (1)当点A到直线l的距离最大时，求k的值： (2)在（1）的条件下，若过点的直线与直线和轴正半轴分别交于点M，N，其中M在第一象限，当的面积最小时，求直线的方程． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）当直线时，点到直线的距离最大， 因为直线OA的斜率为，所以． （2）当直线轴时，易得，，此时的面积为． 当直线的斜率存在时，设，，，则， 联立解得，． 所以的面积； 当时，等号成立． 综上，的面积的最小值为24，此时直线． 一、单选题 1．已知直线的一个方向向量为，则实数的值为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】C 【详解】因为直线的一个方向向量为，可得直线的斜率为，即. 故选：C. 2．直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由直线，则斜率为，即为倾斜角的正切值， 结合倾斜角的范围，知倾斜角的大小为. 故选：C 3．若直线经过第一、二、四象限，则（    ） A．且 B．且 C．且 D．且 【答案】B 【详解】由题意直线经过第一、二、四象限， 所以直线的斜率为负值，纵截距为正值. 直线方程化为斜截式：， 所以斜率且纵截距， 所以且， 故选：B. 4．已知直线l与直线夹角为45°，则l的倾斜角为（    ） A．°或75° B．15°或105° C．75°或165° D．30°或60° 【答案】C 【详解】直线的斜率，则其倾斜角为， 由直线与直线夹角为，得的倾斜角为或. 故选：C 5．过点且斜率小于0的直线与轴，轴围成的封闭图形面积的最小值为（    ） A．2 B． C．4 D． 【答案】C 【详解】设直线为，代入得， 即，， 设直线与x轴交点，与y轴交点， 则所围成封闭图形面积为 ， 当且仅当，即时等号成立， 所以所围成封闭图形面积的最小值为4. 故选：C. 6．已知直线绕点逆时针旋转，得到直线，则不过第（   ）象限． A．四 B．三 C．二 D．一 【答案】D 【详解】对于直线（为斜率），直线，其斜率，设其倾斜角为，根据，可得，又因为倾斜角，所以. 直线绕点逆时针旋转，则直线的倾斜角. 直线的斜率. 因为直线过点，根据直线的点斜式方程（为直线上一点，为斜率），可得直线的方程为，即. 直线的斜率为负，截距为负，所以直线不过第一象限. 故选：D. 7．已知直线的方程为，则直线的倾斜角范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为直线的方程为，所以， 即直线的斜率，又， 所以，又直线的倾斜角的取值范围为， 由正切函数的性质可得，直线的倾斜角范围为， 故选：B. 二、多选题 8．下列说法错误的是（    ） A．平面直角坐标系内的任意一条直线都存在倾斜角和斜率 B．经过点且斜率为的直线方程为 C．直线与两坐标轴围成的三角形的面积是2 D．直线x=1的斜率为0 【答案】ABD 【详解】当直线与轴垂直时，直线的倾斜角为，斜率不存在， 所以直线的斜率不存在，所以AD错误； 对于B，过点且斜率为的直线的方程为即，错误； 对于C，对于直线，令，则，令则， 则在轴上的截距为，在轴上的截距为， 所以与坐标轴围成的三角形的面积为，正确. 故选：ABD 9．已知直线在轴和轴上的截距相等，则的值可能是（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】AC 【详解】当时，不满足题设，故， 令，则；令，则， 所以，可得或. 故选：AC 三、填空题 10．直线的一个方向向量为 ． 【答案】答案不唯一 【详解】斜率，所以直线的方向向量可以为. 故答案为：答案不唯一. 11．一条光线从点射出，与轴相交于点 ，经轴反射，求反射光线所在的直线方程 . 【答案】 【详解】由条可知入射光线和反射光线所在直线的斜率互为相反数， 入射光线的斜率，所以反射光线所在直线的斜率为，且过点， 所以反射光线所在的直线方程为，即. 故答案为： 12．在平面直角坐标系中过点作直线，分别与轴的正半轴、y轴的正半轴交于点.当直线的斜率为 时，的面积最小，最小面积是 . 【答案】 2 【详解】设，， 则，将代入得， 由基本不等式得， 当且仅当，即时，等号成立， ∴， ， 所以直线的斜率为，的面积最小值为. 故答案为：①；②. 四、解答题 13．求符合下列条件的直线方程． (1)直线过点，且斜率为； (2)斜率为，且与两坐标轴围成的面积为6； (3)直线过点，且横截距为纵截距的两倍． 【答案】(1) (2) (3)或 【详解】（1）所求直线过点 ，且斜率为， 直线方程为， 即． （2）设直线方程为， 令，得， 令，得， ，解得， 直线方程为， 即． （3）当横截距与纵截距都为0时，可设直线方程为， 又直线过点， ，解得， 直线方程为，即； 当横截距与纵截距都不为0时，可设直线方程为， 由题意可得解得 直线方程为，即； 综上，所求直线方程为或． 14．直线过点且与轴、轴的正半轴分别交于两点，为坐标原点，求分别满足下列条件的直线方程： (1)的周长为12； (2)的面积为6． 【答案】(1)或 (2)或 【详解】（1）设直线方程为， 由题意可知，．① 又因为直线过点， 所以，② 由①②可得， 解得或 所以所求直线的方程为或， 即或． （2）设直线方程为， 由题意可知解得或 所以所求直线的方程为或， 即或． 15．已知直线过点，且的一个法向量是. (1)求直线的方程； (2)若直线与轴交于点，将直线绕着点逆时针旋转，点所对应的点为，求直线的方程； (3)在（2）的条件下，求的角平分线所在的直线方程. 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）因为直线的一个法向量是， 又过点所以可得直线的方程为， 化简得，所以所求直线的方程为. （2）因为直线与轴交于点，由（1）知的方程为，所以， 因为，所以， 将直线绕着点逆时针旋转，点所对应的点为， 则，所以. 由点可知直线方程为，即. （3）设直线的倾斜角为，因为， 所以，，则， 所以，的角平分线所在直线的倾斜角为， 则的角平分线所在直线的斜率为 ， 因此，的角平分线所在直线的方程为，即. 16．已知直线与坐标轴形成的三角形的面积为. (1)当时，求直线的方程； (2)针对的不同取值，直线构成集合，讨论集合中的元素个数. 【答案】(1)或 (2)答案见解析 【详解】（1）解：由题意知，直线的斜率存在，且， 则直线与轴的交点为，与轴的交点为， 所以的面积为； 因为，可得， ①当时，方程化为，解得或1， 此时直线的方程为：或； ②当时，方程化为，此时，方程无解（舍去）， 综上可得，当时，直线的方程为或. （2）解：由，可得方程， ①若时，方程化为，此时， 可得，方程有两正解，即有两条直线； ②若时，方程化为， 当时，，方程无实数根，此时无直线； 当时，，方程有一负根，此时有一条直线； 当时，，方程有两负根，即有两条直线； 综上知，当时有两条直线；当时有三条直线；当时有四条直线； 所以，当时，集中的元素有2个；当时，集合中的元素有3个；当时，集合中的元素有4个. 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$