1.1.2 空间向量的数量积运算（培优教学课件）数学人教A版2019选择性必修第一册

第一章 空间向量与立体几何 人教A版2019选择性必修第一册· 高二 1.1 空间向量及其运算 1.1.2 空间向量的数量积运算 章节导读 空间向量的概念及其运算 空间向量基本定理与空间向量的坐标表示 用空间向量解决立体几何问题 空间向量的定义及其表示 空间向量的线性运算和数量积运算 空间向量运算的定义及其几何意义 空间向量运算的运算律 空间向量基本定理 空间直角坐标系 空间向量运算的坐标表示 用空间向量表示点、直线、平面等元素 用空间向量研究立体几何中的直线、平面的位置关系、距离和夹角问题 把向量运算的结果“翻译”成相应的几何结论 学 习 目 标 1 2 3 掌握空间向量的夹角、数量积及其运算律,培养逻辑推理的核心素养 了解投影向量的概念,培养直观想象和逻辑推理的核心素养 能用空间向量的数量积解决立体几何中的垂直、夹角、长度等问题,提升逻辑推理、数学运算的核心素养 新知导入 平面向量及其线性运算 空间向量及线性运算 推广 类比与转化 平面向量数量积运算 空间向量数量积运算 推广 你能类比平面向量，给出空间向量的数量积运算的定义吗？ 回忆平面向量的知识，我们当时是如何研究它的数量积运算？ 夹角 数量积的定义 运算律 应用 新知探究 问题1 什么是平面向量的夹角？你能类比平面向量的夹角得出空间向量的夹角定义？ 由于任意两个空间向量都可以通过平移转化为同一平面内的向量，因此，两个空间向量的夹角和数量积就可以像平面向量那样来定义. . O B α A 空间向量的夹角 新知探究 问题2 平面向量的数量积是什么？类比平面向量数量积 你能给出空间向量的数量积运算的定义吗？ 空间向量的数量积 已知两个非零向量 ，把数量 叫做向量 的数量积(或内积)，记作 ，即 特别地，零向量与任何向量的数量积等于0. ①“·”不能省略不写，也不能写成“×”. 注意: ②数量积的结果为实数，不是向量. （数量积运算是非线性运算） 新知探究 问题3 如果空间向量 是两个非零向量,它们的数量积有哪些性质呢？ 设 是非零向量，它们的夹角是 ， 是与 方向相同的单位向量，则 求向量的长度(模)的依据. 证明两向量垂直的依据； 求两向量夹角的依据. 新知探究 问题4 在平面向量的学习中,我们学习了向量的投影. 类似地,向量 在向量 上的投影有什么意义？ 向量 向直线l的投影呢？ 向量 向平面β的投影呢？ (1) (2) 如图(1)所示,在空间,向量 向向量 投影,由于它们是自由向量,因此可以先将它们平移到同一个平面α内,进而利用平面上向量的投影,得到与向量 共线的向量 . 且 新知探究 A B (3) 问题5 空间向量数量积的运算律有哪些？ 新知探究 平面向量数量积的运算律 数乘向量与向量 数量积的结合律 交换律 分配律 空间向量 新知探究 问题6.1 不能 问题6.2 不 能 向量没有除法运算，向量的除法没有意义 新知探究 问题6.3 不 能 证明: 结论: 数量积①不可约分、 ②不可作商、 ③不满足结合律。 典例分析 方法技巧 空间向量数量积的应用 ①求数量积； ②求线段长度：即求向量的模. 例1 如图所示, 在平行六面体ABCD-A′B′C′D′中, AB=5, AD=3, AA′=7, ∠BAD=60°, ∠BAA′=∠DAA′=45°. 求: (1) (2) AC'的长(精确到0.1). A B C D 解: 课后练习 课本练习 方法技巧 空间向量数量积的应用: ③证线线垂直：证明两向量的数量积为0 1. 如图,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,若 ，则AB1与BC1所成角的大小为( ). (A) 60° (B) 90° (C) 105° (D) 75° A C B A1 C1 B1 ∴AB1与BC1所成角为90°. B 课后练习 方法技巧 空间向量数量积的应用: ④求异面直线所成角：即求两向量的夹角或其补角(先求数量积,再除以模之积) 变式 典例分析 例2 如图所示, 已知直线m, n是平面α内的两条相交直线, 如果直线l⊥m, l⊥n，求证：l⊥α. 分析： 要证明l⟂α，就是要证明l垂直于α内的任意一条直线g(直线与平面垂直的定义)．如果我们能在g和m，n之间建立某种联系，并由l⟂m，l⟂n，得到l⟂g，那么就能解决此问题． l m n g 典例分析 方法技巧 空间向量数量积的应用 ⑤证线面垂直：证两次线线垂直 例2 如图所示, 已知直线m, n是平面α内的两条相交直线, 如果直线l⊥m, l⊥n，求证：l⊥α. 证明： 在α内作任意一条直线g，分别在直线l,m,n,g上取非零向量 m n 因为直线m与n相交，所以向量 不平行，由向量共面的充要条件可知，存在唯一的有序实数对(x,y)，使 将上式两边分别与向量 作数量积运算，得 g 应用归纳 空间向量数量积的应用 ①求两向量的数量积 ②求线段长度(即求向量的模) ③证线线垂直(即证两向量数量积为0) ④求异面直线所成角(即求向量的夹角或其补角) ⑤证线面垂直(即证两次线线垂直，同③) 【方法】目标向量用已知模和夹角的(同起点)向量表示 课后练习 课本练习 B D A C 课后练习 课本练习 3. 如图, 在平行六面体ABCD-A′B′C′D′中, AB=4, AD=3, AA′=5, ∠BAD=90°, ∠BAA′=∠DAA′=60°. 求: (1) (2) AB′的长； (3) AC′的长. A C D B C′ D′ B′ A′ 课后练习 课本练习 4. 如图，线段AB，BD在平面α内，BD⊥AB，AC⊥α，且AB=a，BD=b，AC=c，求C，D两点间的距离. 空间向量数量积的运算 题型一 题型探究 【例1】已知正四面体OABC的棱长为1,如图所示,若分别是 的中点,求: （1） ;（2） ;（3） ;（4） . [解析](1) . (2) . (3) ·. (4) , . 空间向量数量积的运算 题型一 题型探究 提分笔记 求空间向量数量积的解题步骤 （1）将各个向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式; （2）利用向量的运算律将数量积展开,转化为已知模和夹角的向量的数量积; （3）代入 求解. 利用数量积证明空间中的垂直关系 题型二 题型探究 【例2】如图，在四棱锥<m></m>中，底面<m></m>为平行四边形，<m></m>， <m></m>，<m></m> 底面<m></m> .证明：<</m> . 证明 由题意知， <m></m> ，则 <m></m> . 由 <m></m> 底面 <m></m> 知， <m></m> ，则 <m></m> . 又 <m></m> ， <m></m> ， <m></m> . 题型二 题型探究 解题感悟 利用数量积证明空间中的垂直关系 用向量法证明垂直关系的步骤 （1）把几何问题转化为向量问题； （2）用已知向量表示直线的方向向量； （3）结合数量积公式和运算律证明数量积为0； （4）将向量问题回归到几何问题. 利用数量积解决空间中的夹角问题 题型三 题型探究 【例3】如图，在空间四边形中，，，，， ， ，则异面直线 与 所成角的余弦值为_ _______. <m></m> [解析] <m></m> ， <m> </m>，<m></m>，<m> </m> ， <m></m>，<m></m> ， ∴异面直线 <m></m> 与 <m></m> 所成角的余弦值为 <m></m> . 题型探究 解题感悟 利用数量积解决空间中的夹角问题 题型三 求两条异面直线所成角的步骤 （1）根据题设条件在所求的异面直线上取两个向量（即直线的方向向量）； （2）将异面直线所成角的问题转化为向量的夹角问题； （3）利用数量积求向量夹角的余弦值或角的大小； （4）异面直线所成的角为锐角或直角，利用向量的数量积求向量夹角的余弦值时应将余弦值加上绝对值，从而求出异面直线所成角的余弦值或角大小. 利用数量积求距离（长度） 题型四 题型探究 【例4】 如图，已知 <m></m> 平面 <m></m> ， <m></m> 平面 <m></m> , <m></m> , <m></m> 平面 <m></m> ，且 <m></m> ，点 <m></m> 与点 <m></m> 在平面 <m></m> 的同侧，若 <m></m> ，求 <m></m> ， <m></m> 两点间的距离. [解析] 因为 <m></m> 平面 <m></m> ， <m></m> 平面 <m></m> ， 所以 <m></m> ，又 <m></m> ， 所以 <m></m> 与 <m></m> 的夹角为 <m></m> . 因为 <m></m> ， <m></m> ， 所以 <m></m> <m> </m> ， 所以 <m></m> ， 即 <m></m> ， <m></m> 两点间的距离为 <m></m> . 利用数量积求距离（长度） 题型四 题型探究 解题感悟 求两点间的距离或线段长的方法： 将几何问题转化为向量问题，通过向量运算来求对应向量的模.因为<m></m> ，所以 <m></m> ，这是利用向量解决距离问题的基本公式.另外，该公式还可以推广为 <m></m> . 投影向量 题型五 题型探究 【例5】(1)如图，已知 平面 , , ,则向量 在 上的投影向量等于_ ______. [解析] 因为 <m> </m> , 所以向量 <m></m> 在 <m></m> 上的投影向量为 <m></m> . (2)已知向量<m>,<m>满足,且向量<m>在向量<m> 上的投影向量为<m>,求<m>的模. [解析] 因为向量在向量上的投影向量为 , 所以, 即,解得 负值舍去 <m></m> 共线向量与共面向量 题型三 题型探究 解题感悟 求空间向量的投影向量的方法 （1）利用公式 求解. （2）向量向直线、平面投影可以类似地由向量向向量投影得到. 课堂小结 空间向量的数量积 空间两个向量的夹角 定义 几何意义 运算律 性质 利用向量解决立体几何问题的应用 感谢聆听! $$