精品解析：2025年吉林省吉林市船营区吉林市第二十三中学中考三模数学试题

2025年吉林省吉林市船营区吉林市第二十三中学中考三模数学试题 本试卷包括六道大题，共26道小题．共6页，全卷满分120分．考试时间为120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码准确粘贴在条形码区域内． 2．答题时，考生务必按照考试要求在答题卡上的指定区域内作答，在草稿纸、试卷上答题无效． 一、单项选择题（每小题3分，共18分） 1. 的绝对值是（ ） A. B. C. 2 D. 2. 2025年1月5日，我国首口超万米科探井——深地塔科1井在地下10910米成功完钻，标志着我国在深地领域的技术跨越．将10910用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 3. 如图所示的几何体是由4个相同的小正方体组成．其主视图为（  ） A. B. C. D. 4. 下列各选项能用“直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短”来解释的现象是（ ） A. 测量跳远成绩 B. 木板上弹墨线 C. 两钉子固定木条 D. 弯曲河道改直 5. 如图，含30°角的直角三角尺DEF放置在△ABC上，30°角的顶点D在边AB上，DE⊥AB．若∠B为锐角，BC∥DF，则∠B的大小为 A. 30° B. 45° C. 60° D. 75° 6. 《九章算术》是我国古代数学代表作．书中记载：今有开门去阃（读kǔn，门槛的意思），一尺，不合二寸，问门广几何？题目大意是：如图1，推开双门，双门间隙的距离为2寸，点和点距离门槛都为1尺（1尺寸），图2为图1放大后的平面示意图，则的长为（ ） A. 寸 B. 寸 C. 99寸 D. 101寸 二、填空题（共5小题） 7. 分解因式：______． 8. 若关于的方程有两个相等的实数根，则的值为________． 9. 已知，．则________． 10. 如图，小丽用卡纸仿制了一个钟表，她用铅笔在卡纸钟面的圆周上确定了三个点，，，其中，两点分别与钟面两个时刻的刻度点重合，连结，，则______． 11. 如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD=110°，将平行四边形ABCD绕点A逆时针旋转到平行四边形的位置，旋转角α（0°＜α＜70°），若恰好经过点D，则α的度数为__． 三、解答题（每小题6分，共18分） 12. 先化简，再求值：，其中． 13. 编织大、小两种中国结共12个，总计用绳．已知编织1个大号中国结需用绳，编织1个小号中国结需用绳．问这两种中国结各编织了多少个． 14. 一个不透明的口袋中装有一个红球、一个白球和一个绿球，这些球除颜色不同外其余均相同．小明先从口袋中随机摸出一个球，记下颜色后放回并搅匀；再从口袋中随机摸出一个球记下颜色．用画树状图（或列表）的方法，求小明两次摸出的球中至少有一个白球的概率． 四、解答题（每小题7分，共21分） 15. 一定质量的二氧化碳，它的体积与它的密度之间成反比例函数关系，其图像如图所示． （1）试确定V与之间的函数表达式； （2）要使密度不高于，求的取值范围． 16. 为了解A，B两款品质相近的智能玩具在一次充满电后运行的最长时间，有关人员分别随机调查了A，B两款智能玩具各10个，记录下它们运行的最长时间（分钟），并对数据进行了整理、描述和分析（运行最长时间用x表示，共分为三组：合格，中等，优等），下面给出了部分信息： A款智能玩具10个一次充满电后运行最长时间是：60，64，67，69，69，72，72，72，73，82 B款智能玩具10个一次充满电后运行最长时间属于中等的数据是：70，74，72，72，73 两款智能玩具运行最长时间统计表： 类别 A B 平均数 70 70 中位数 70.5 b 众数 a 67 方差 31.2 26.6 （1）上述图表中a＝__________，b＝__________，m＝__________； （2）根据以上数据，你认为哪款智能玩具运行性能更好？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）若某玩具仓库有A款智能玩具200个、B款智能玩具120个，估计两款智能玩具运行性能在中等及以上的共有多少个？ 17. 如图所示，在的正方形网格中，选取14个格点，以其中三个格点为顶点画出，请你以选取的格点为顶点再画出一个三角形，且分别满足下列条件： （1）图①中所画的三角形与组成的图形是轴对称图形． （2）图②中所画的三角形与组成的图形是中心对称图形． （3）图③中所画的三角形与的面积相等，但不全等． 五、解答题（每小题8分，共16分） 18. “漏壶”是一种古代计时器，在社会实践活动中，某小组同学根据“漏壶”的原理制作了如图①所示的液体漏壶，漏壶是由一个圆锥和一个圆柱组成的，中间连通，液体可以从圆锥容器中匀速漏到圆柱容器中，实验开始时圆柱容器中已有一部分液体． ​ （1）表是实验记录的圆柱体容器液面高度y（厘米）与时间x（小时）的数据： 时间x（小时） 1 2 3 4 5 圆柱体容器液面高度y（厘米） 6 10 14 18 22 在如图②所示的直角坐标系中描出上表的各点，用光滑的线连接． （2）请根据（1）中的数据确定y与x之间的函数表达式． （3）如果本次实验记录的开始时间是上午8：00，那么当圆柱体容器液面高度达到12厘米时是 ．（填写时间） 19. 【材料阅读】： 光从空气斜射入水中时，传播方向发生了偏折，这种现象叫做光的折射．我们把入射角的正弦值和折射角的正弦值之比称为折射率（n），即，已知光线从空气进入水中时的折射率为． 【问题解答】： 如图，矩形为盛满水的水槽、一束光线从点P射向水面上的点O，折射后照到水槽底部的点Q，MN是法线， 测得折射角，．若P，O，C三点在同一条直线上，请依据相关材料解决下列问题：（参考数据：，，） （1） =______； （2）求的长．（结果精确到cm） 六、解答题（共32分） 20. 如图，在矩形中，，，动点P从点A出发，沿的方向运动到点C停止，运动速度为，若射线，分别是正北方向和正东方向，在点P运动过程中，沿它的南偏东方向画一条射线交矩形的边于点E，过点E作直线交矩形的边于点F．连接．设的面积为，点P运动的时间为． （1）当点F与矩形顶点重合时，______； （2）求当且时，y关于x的函数解析式； 21. 已知正方形，为对角线上一点． 【建立模型】 （1）如图1，连接，．求证：； 【模型应用】 （2）如图2，是延长线上一点，，交于点． ①判断的形状并说明理由； ②若为的中点，且，则______． 【模型迁移】 （3）如图3，是延长线上一点，，交于点，．请直接写出与之间的数量关系． 22. 已知抛物线的对称轴为直线． （1）　　　，抛物线与y轴的交点坐标为　　　； （2）求抛物线的顶点坐标，并在平面直角坐标系中画出该抛物线； （3）若点A在抛物线上，且点A的横坐标为a，当点A到x轴距离是到y轴距离2倍时，求a的值； （4）若直线与x轴的交点为P，直线与y轴的交点为Q，直线与直线的交点为M，当抛物线在矩形内部的点的纵坐标y随x的增大而增大时，直接写出a的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年吉林省吉林市船营区吉林市第二十三中学中考三模数学试题 本试卷包括六道大题，共26道小题．共6页，全卷满分120分．考试时间为120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码准确粘贴在条形码区域内． 2．答题时，考生务必按照考试要求在答题卡上的指定区域内作答，在草稿纸、试卷上答题无效． 一、单项选择题（每小题3分，共18分） 1. 的绝对值是（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查绝对值的概念，解题的关键是理解绝对值的定义，即一个数在数轴上所对应点到原点的距离． 根据绝对值定义判断． 【详解】根据绝对值的定义，正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0． 因为是负数， 所以的绝对值是它的相反数， 的相反数是2， 所以的绝对值是2， 故选：C． 2. 2025年1月5日，我国首口超万米科探井——深地塔科1井在地下10910米成功完钻，标志着我国在深地领域的技术跨越．将10910用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】解：， 故选D． 3. 如图所示的几何体是由4个相同的小正方体组成．其主视图为（  ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据主视图定义，得到从几何体正面看得到的平面图形即可． 【详解】从正面看得到2列正方形的个数依次为2，1， 故选D． 【点睛】此题主要考查了几何体的三视图；掌握主视图是从几何体正面看得到的平面图形是解决本题的关键． 4. 下列各选项能用“直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短”来解释的现象是（ ） A. 测量跳远成绩 B. 木板上弹墨线 C. 两钉子固定木条 D. 弯曲河道改直 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了垂线段最短；两点确定一条直线，两点之间；线段最短，先判断每个选项的现象是分别依据哪些原理，再结合题意，即可作答． 【详解】解：A、测量跳远成绩可以用“垂线段最短”来解释，故本选项符合题意； B、木板上弹墨线可以用“两点确定一条直线”来解释，故本选项不符合题意； C、两钉子固定木条可以用“两点确定一条直线”来解释，故本选项不符合题意； D、弯曲河道改直可以用“两点之间，线段最短”来解释，故本选项不符合题意， 故选：A． 5. 如图，含30°角的直角三角尺DEF放置在△ABC上，30°角的顶点D在边AB上，DE⊥AB．若∠B为锐角，BC∥DF，则∠B的大小为 A. 30° B. 45° C. 60° D. 75° 【答案】C 【解析】 【详解】解：∵DE⊥AB， ∴∠ADE=90°． ∵∠FDE=30°， ∴∠ADF=90°﹣30°=60°． ∵BC∥DF， ∴∠B=∠ADF=60°． 故选C． 6. 《九章算术》是我国古代数学代表作．书中记载：今有开门去阃（读kǔn，门槛的意思），一尺，不合二寸，问门广几何？题目大意是：如图1，推开双门，双门间隙的距离为2寸，点和点距离门槛都为1尺（1尺寸），图2为图1放大后的平面示意图，则的长为（ ） A. 寸 B. 寸 C. 99寸 D. 101寸 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，弄懂题意，构建直角三角形是解题的关键． 取的中点，过作于，根据勾股定理解答即可得到结论． 【详解】解：取的中点，过作于，如下图 由题意得：； 设寸， 则寸，寸，寸， 寸， 在中， ， 即， 解得：, ∴， ∴寸， 故答案为：． 故选：D． 二、填空题（共5小题） 7. 分解因式：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查因式分解，原式提取公因式3后再运用平方差公式进行因式分解即可． 【详解】解： ． 答案为：． 8. 若关于的方程有两个相等的实数根，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了根据一元二次方程根的情况求参数，解题关键是熟悉一元二次方程根的判别式． 根据关于的方程有两个相等的实数根，列出关于的方程求解． 【详解】解：∵关于的方程有两个相等的实数根， ∴，解得：， 故答案为： ． 9. 已知，．则________． 【答案】7 【解析】 【分析】将所求式子利用完全平方公式变形后，把a+b与ab的值代入即可求出值． 【详解】∵a+b=3，ab=1， ∴a2+b2=（a+b）2-2ab=32-2=9-2=7； 故答案为：7. 【点睛】此题考查了完全平方公式的运用，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 10. 如图，小丽用卡纸仿制了一个钟表，她用铅笔在卡纸钟面的圆周上确定了三个点，，，其中，两点分别与钟面两个时刻的刻度点重合，连结，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一条弧所对的圆周角为圆心角的一半的知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据一条弧所对的圆周角为圆心角的一半即可求解． 【详解】解：∵所对的圆心角为， ∴， 故答案为： 11. 如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD=110°，将平行四边形ABCD绕点A逆时针旋转到平行四边形的位置，旋转角α（0°＜α＜70°），若恰好经过点D，则α的度数为__． 【答案】40°##40度 【解析】 【分析】由平行四边形的性质和旋转的性质得出=AD，∠=∠ADC=70°，由等腰三角形的性质得出∠=∠=70°，再由三角形内角和定理即可得出结果． 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴ABCD， ∴∠ADC+∠BAD=180°， ∴∠ADC=180°-110°=70°， 由旋转的性质得：=AD，∠=∠ADC=70°， ∴∠=∠=70°， ∴∠α=180°-2×70°=40°； 故答案为：40°． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、旋转的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理；熟练掌握平行四边形的性质和旋转的性质，由等腰三角形的性质求出∠=∠ADC=70°是解决问题的关键． 三、解答题（每小题6分，共18分） 12. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，特殊角的三角函数值，正确计算是解题的关键．先根据分式的混合计算法则化简，然后代值计算即可． 【详解】解： 原式 ， ． 当 时， 原式 ． 13. 编织大、小两种中国结共12个，总计用绳．已知编织1个大号中国结需用绳，编织1个小号中国结需用绳．问这两种中国结各编织了多少个． 【答案】编织大号中国结4个，编织小号中国结8个 【解析】 【分析】本题考查实际问题与二元一次方程，设编织大号中国结x个，编织小号中国结y个，根据题意列出方程组，找准数量关系，列方程是解题的关键． 【详解】解：设编织大号中国结x个，编织小号中国结y个． 依题意得 解得 答：编织大号中国结4个，编织小号中国结8个． 14. 一个不透明的口袋中装有一个红球、一个白球和一个绿球，这些球除颜色不同外其余均相同．小明先从口袋中随机摸出一个球，记下颜色后放回并搅匀；再从口袋中随机摸出一个球记下颜色．用画树状图（或列表）的方法，求小明两次摸出的球中至少有一个白球的概率． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比，注意区分“放回”与“不放回”． 画出树状图或列表法求出所有可能，找出符合题意的可能结果，进而根据概率公式列式即可得解． 【详解】解：树状图如下： 由树状图可得，两次摸球的等可能结果一共有9种，两次摸出的球中至少有一个白球的有5种 所以，（小明两次摸出的球中至少有一个白球）． 列表如下： 由列表可得，两次摸球的等可能结果一共有9种，两次摸出的球中至少有一个白球的有5种 所以，（小明两次摸出的球中至少有一个白球）． 四、解答题（每小题7分，共21分） 15. 一定质量的二氧化碳，它的体积与它的密度之间成反比例函数关系，其图像如图所示． （1）试确定V与之间的函数表达式； （2）要使密度不高于，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数的应用，关键是正确掌握反比例函数的图像和性质． （1）设，再把代入可求得k的值，进而可得解析式； （2）把代入（1）中的函数解析式可得到V的值，然后结合图象求解即可． 【小问1详解】 设 ∵图像经过点 ∴ 解得 ∴； 【小问2详解】 把代入 ∴由图象可得，要使密度不高于，的取值范围为． 16. 为了解A，B两款品质相近的智能玩具在一次充满电后运行的最长时间，有关人员分别随机调查了A，B两款智能玩具各10个，记录下它们运行的最长时间（分钟），并对数据进行了整理、描述和分析（运行最长时间用x表示，共分为三组：合格，中等，优等），下面给出了部分信息： A款智能玩具10个一次充满电后运行最长时间是：60，64，67，69，69，72，72，72，73，82 B款智能玩具10个一次充满电后运行最长时间属于中等的数据是：70，74，72，72，73 两款智能玩具运行最长时间统计表： 类别 A B 平均数 70 70 中位数 70.5 b 众数 a 67 方差 31.2 26.6 （1）上述图表中a＝__________，b＝__________，m＝__________； （2）根据以上数据，你认为哪款智能玩具运行性能更好？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）若某玩具仓库有A款智能玩具200个、B款智能玩具120个，估计两款智能玩具运行性能在中等及以上的共有多少个？ 【答案】（1）72，71，10； （2）款智能玩具运行性能更好． 理由：虽然两款智能玩具运行最长时间的平均数相同，但款智能玩具运行最长时间的中位数高于款智能玩具，而方差小于款智能玩具，所以款智能玩具运行性能更好（答案不唯一）． （3）172个 【解析】 【分析】本题考查了中位数、众数的计算，根据样本估计总体的方法，熟练掌握相关知识点是解题的估计． （1）根据中位数和众数的定义求解即可 （2）根据中位数和方差作决策即可． （3）根据样本根据总体的方法，计算即可得到答案 【小问1详解】 解：A款智能玩具10个一次充满电后运行时间出现次数最多的是72， 故， B款智能玩具出现在合格中的数量为：个， 则， ， ∴ 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：（个）． 答：估计两款智能玩具运行性能在中等及以上的大约共有172个． 17. 如图所示，在的正方形网格中，选取14个格点，以其中三个格点为顶点画出，请你以选取的格点为顶点再画出一个三角形，且分别满足下列条件： （1）图①中所画的三角形与组成的图形是轴对称图形． （2）图②中所画的三角形与组成的图形是中心对称图形． （3）图③中所画的三角形与的面积相等，但不全等． 【答案】（1） 所画的三角形与组成的图形是轴对称图形，答案不唯一； （2） 如图，所画的三角形与组成的图形是中心对称图形，答案不唯一； （3） 如图，所画的三角形与的面积相等，但不全等，答案不唯一． 【解析】 【分析】本题考查了利用轴对称的性质，中心对称的性质，以及三角形的面积作图，熟练掌握轴对称的性质与中心对称的性质是作图的关键，要注意对称轴与对称中心的确定． (1)先确定出对称轴，再根据轴对称图形的性质作出即可； (2)确定出对称中心，然后根据中心对称图形的性质作出即可； (3)根据格点的特点，作出的底边与这边上的高分别是，或，的三角形即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 五、解答题（每小题8分，共16分） 18. “漏壶”是一种古代计时器，在社会实践活动中，某小组同学根据“漏壶”的原理制作了如图①所示的液体漏壶，漏壶是由一个圆锥和一个圆柱组成的，中间连通，液体可以从圆锥容器中匀速漏到圆柱容器中，实验开始时圆柱容器中已有一部分液体． ​ （1）表是实验记录的圆柱体容器液面高度y（厘米）与时间x（小时）的数据： 时间x（小时） 1 2 3 4 5 圆柱体容器液面高度y（厘米） 6 10 14 18 22 在如图②所示的直角坐标系中描出上表的各点，用光滑的线连接． （2）请根据（1）中的数据确定y与x之间的函数表达式． （3）如果本次实验记录的开始时间是上午8：00，那么当圆柱体容器液面高度达到12厘米时是 ．（填写时间） 【答案】（1） 描出各点，并连接，如图所示： ． （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查的是一次函数的实际应用，理解题意是解本题的关键； （1）先描点，再连线即可； （2）利用待定系数法求解函数解析式即可； （3）把代入函数解析式求解即可得到答案； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）中图象可知该函数为一次函数，设该函数的表达式为， ∵点，在该函数上， ∴， 解得：， ∴y与x的函数表达式为； 【小问3详解】 解：当时，即， 解得：， ， 即圆柱体容器液面高度达到12厘米时是上午． 19. 【材料阅读】： 光从空气斜射入水中时，传播方向发生了偏折，这种现象叫做光的折射．我们把入射角的正弦值和折射角的正弦值之比称为折射率（n），即，已知光线从空气进入水中时的折射率为． 【问题解答】： 如图，矩形为盛满水的水槽、一束光线从点P射向水面上的点O，折射后照到水槽底部的点Q，MN是法线， 测得折射角，．若P，O，C三点在同一条直线上，请依据相关材料解决下列问题：（参考数据：，，） （1） =______； （2）求的长．（结果精确到cm） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，再根据已知易得：，从而根据对顶角相等可得； （2）然后在中，根据锐角三角函数的定义可设，则，从而利用勾股定理进行计算可求出的长，最后利用线段的和差关系进行计算，即可解答． 本题考查了解直角三角形的应用，勾股定理，正确理解题意是解题的关键． 【小问1详解】 解：在中，，， ， ∵我们把入射角的正弦值和折射角的正弦值之比称为折射率，即，已知光线从空气进入水中时的折射率为． ∴， ； ∴ 【小问2详解】 ， ， ∴在中，， 设，则， ， ， 解得：， ， ， 答：的长约为． 六、解答题（共32分） 20. 如图，在矩形中，，，动点P从点A出发，沿的方向运动到点C停止，运动速度为，若射线，分别是正北方向和正东方向，在点P运动过程中，沿它的南偏东方向画一条射线交矩形的边于点E，过点E作直线交矩形的边于点F．连接．设的面积为，点P运动的时间为． （1）当点F与矩形顶点重合时，______； （2）求当且时，y关于x的函数解析式； 【答案】（1）1或4 （2）当时，；当时，；当时，，；当时， 【解析】 【分析】（1）理解题意，先分类讨论，第一种情况，点在上，作图，证明，都是等腰直角三角形，则，，第二种情况，点在上，作图，则，故，，，可得结论； （2）理解题意，结合且，进行分类讨论，且逐个情况进行作图，结合直角三角形的面积公式进行列式化简，即可作答． 【小问1详解】 解：如图1中，点在上， ∵四边形是矩形， ∴， ∵在点P运动过程中，沿它的南偏东方向画一条射线交矩形的边于点E，过点E作直线交矩形的边于点F． ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 则， ∴时，点F与矩形顶点C重合． 如图：当点P运动到上时，此时都与点重合， ∵在点P运动过程中，沿它的南偏东方向画一条射线交矩形的边于点E，过点E作直线交矩形的边于点F． ∴， ∴, 则, ∴ 则 综上：当点F与矩形顶点重合时，或4； 故答案为：1或4 【小问2详解】 解：∵在点P运动过程中，沿它的南偏东方向画一条射线交矩形的边于点E，过点E作直线交矩形的边于点F．连接．设的面积为，点P运动的时间为． 则 ∴当时，如图所示： 过点作， ∵，， ∴，是等腰直角三角形， 则，， ∵， ∴是等腰直角三角形， 则, 故； ∴当时，如图所示： 同理得是等腰直角三角形， 则 ∴， 即， ∴当时，过点作，如图所示： 同理得是等腰直角三角形， 则， ∴， 即， ∴当时，如图所示： 同理得是等腰直角三角形， 则， ∴， 即， 综上：当时，；当时，；当时，，；当时，． 【点睛】本题考查了函数与几何动点，勾股定理，等腰直角三角形的判定与性质，矩形的性质与判定，函数关系式，难度较大，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 21. 已知正方形，为对角线上一点． 【建立模型】 （1）如图1，连接，．求证：； 【模型应用】 （2）如图2，是延长线上一点，，交于点． ①判断的形状并说明理由； ②若为的中点，且，则______． 【模型迁移】 （3）如图3，是延长线上一点，，交于点，．请直接写出与之间的数量关系． 【答案】 （1）证明：∵是正方形的对角线， ，， ， ∴， ； （2）①为等腰三角形，理由： ∵四边形是正方形， ， ， 由（1）知，， ， ， ， ， ， ， ， ， 是等腰三角形； ② （3）． 【解析】 【分析】（1）先判断出，，进而判断出，进而得出结论； （2）①根据（1）证明出；②过点作于，先求出，，进而求出，，最后用勾股定理即可求出答案； （3）先判断出，由（1）知，由（2）知，即可判断出结论． 【详解】解：（1）略 （2）①略 ②如图，过点作于， ∵四边形为正方形，点为的中点，， ，，， 由①知，， ， ， ∵，， ∴， ， ∴， ， ， ， 在中，； （3），理由如下： ， ， 在中，， ， 由（1）知，， 由（2）知，， ． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握正方形的性质、勾股定理和三角函数是解题的关键． 22. 已知抛物线的对称轴为直线． （1）　　　，抛物线与y轴的交点坐标为　　　； （2）求抛物线的顶点坐标，并在平面直角坐标系中画出该抛物线； （3）若点A在抛物线上，且点A的横坐标为a，当点A到x轴距离是到y轴距离2倍时，求a的值； （4）若直线与x轴的交点为P，直线与y轴的交点为Q，直线与直线的交点为M，当抛物线在矩形内部的点的纵坐标y随x的增大而增大时，直接写出a的取值范围． 【答案】（1）， （2）， 如下图所示： （3） （4）或或 【解析】 【分析】本题考查二次函数的综合应用，涉及二次函数的性质，与坐标轴的交点，画函数图象等知识点； （1）根据对称轴求出，再求出抛物线与y轴的交点坐标即可； （2）根据对称轴为，求出顶点纵坐标即可，再根据列表，描点，连线的步骤画出函数图象； （3）根据点A的横坐标为a，点A到x轴距离是到y轴距离2倍，则点A的坐标为或，分别代入抛物线解析式列方程求解即可； （4）由题意得到，，，再求出与轴交点的横坐标，以及当在上时，，最后从左往右平移直线，分别画出图形，根据抛物线在矩形内部的点的纵坐标y随x的增大而增大列不等式求解即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴， 令，则， ∴抛物线与y轴的交点坐标为， 故答案为：4，； 【小问2详解】 解：∵抛物线的对称轴为直线， 当时，， ∴抛物线的顶点坐标为， 部分函数值表格如下： 在平面直角坐标系中找到各个点，并用丝滑的曲线连接得到该抛物线如下图所示： 【小问3详解】 解：∵点A的横坐标为a，点A到x轴距离是到y轴距离2倍， ∴点A的坐标为或， 将代入得，，，无解； 将代入得，，解得：； 故a的值为； 【小问4详解】 解：∵直线与x轴的交点为P， ∴， ∵直线与y轴的交点为Q，直线与直线的交点为M， ∴，， 令，解得， 当在上时，，解得， ①当时，，如图，此时抛物线在矩形内部的点的纵坐标不是y随x的增大而增大，不合题意； ②当时，，如图， ∵抛物线在矩形内部的点的纵坐标y随x的增大而增大， ∴当时，，解得， 此时； ③当，四个点都在x轴上，不合题意； ④当时，，如图， ∵抛物线在矩形内部的点的纵坐标y随x的增大而增大， ∴当时，，解得， 此时； ⑤当时，，如图， ∵抛物线在矩形内部的点的纵坐标y随x的增大而增大， ∴当时，，解得， 此时； ⑥当时，，如图，抛物线没有图形在矩形内部，不合题意； ⑦当时，抛物线只有一个点在矩形内部，不合题意； ⑧当时，，如图， ∵抛物线在矩形内部的点的纵坐标y随x的增大而增大， ∴当时，，解得或， 此时； 综上所述，当抛物线在矩形内部的点的纵坐标y随x的增大而增大时，a的取值范围为或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $