第二十讲 实际问题与二次函数（二）（3个知识点3大典例）暑假预习讲义2025-2026学年人教版数学九年级上册

2025年新九年级数学人教版暑假预习讲义（3个知识点3大典例） 第二十讲 实际问题与二次函数（二） 知识点梳理 知识点1 投球问题 解题关键步骤： （1）设未知数与列方程  根据已知条件建立二次函数方程，代入关键点（出手点、落点、顶点）求解系数。 （2）利用顶点公式求最值  通过顶点坐标公式快速求得最大高度或最远距离，简化计算。 （3）验证实际场景 检查解是否符合实际条件，如距离是否为正数、是否超过边界等。 要点诠释： 坐标系建立需合理，通常以出手点为原点，水平距离为x 轴，竖直距离为y 轴； 遇到实际问题时，需注意单位统一（如米、秒）； 多数题目需结合图像辅助分析，确保函数图像与实际运动轨迹一致 知识点2 线段长度、周长问题 1. 线段的长度： （1）线段的数量关系：此类问题一般是求满足线段数量关系的点的坐标,针对这种情况应先在图中找出对应 线段,弄清已知点和未知点;再联系二次函数和一次函数,设出未知点的坐标,使其只 含一个未知数;最后表示出线段的长度,列出满足线段数量关系的等式,从而求出未知 数的值; (2)线段最值问题：此类问题通常有两类:①设出关键的点的未知数(通 常是一个跟所求线段关系紧密的点的横坐标),通过题目 中的函数和图形关系,用该点的横坐标表示出有关线段的端点坐标，进而表示出线段的长，通过二次函数的性质求出最值。 2.周长的最值 此类问题一般是所求图形中有一动点，对其求周长最值，解决此类问题时，应利用转化思想，即先观察图形，结合题目，分清楚定线段和不定线段，然后将其所求图形的周长的最值不定线段转化为求不定线段的和的最值，进而转化为求线段的最值问题，方法同（2）. 要点诠释： 单线段的最值问题 （1） 垂线段最值：垂直于x轴的线段的最值，首先通过函数关系式设出关键点的坐标，一般设横坐标为x，纵坐标用函数关系式表示，用线段两端的纵坐标表示出线段的长度，通过二次函数性质求最值。 （2） 斜线段的最值;可过线段的端点作x轴、y轴的垂线，构造直角三角形，利用勾股定理或相似转化求解，将斜线段转化为垂线段，再利用二次函数性质求解。 知识点3 面积问题 固定面积问题 通过方程求解单一变量，例如求抛物线与坐标轴围成的三角形面积，需先确定顶点坐标或交点坐标，再利用三角形面积公式求解。 面积比与线段比 通过公共边或高将面积比转化为线段比，例如利用相似三角形或割补法求解复杂图形面积，需结合坐标系中的几何关系建立方程。 动态面积问题 涉及动点运动时面积变化，如平移、旋转等操作，需通过函数解析式推导面积与变量关系，再利用不等式或最值定理求解 要点诠释： 需注意参数取值范围，如抛物线与坐标轴交点需在自变量取值范围内。 动点问题中，要分情况讨论平移方向和速度对面积的影响 典例精讲1 【例1】．2025年某市中招体育考试素质类选考项目之一是掷实心球，满分为15分，小马为了解自己实心球的训练情况，他尝试利用数学模型来研究实心球的运动轨迹，建立了如图所示的平面直角坐标系（轴在地面上）．在一次投掷中，实心球从轴上的点处出手，运动路径可看作抛物线的一部分，实心球在最高点的坐标为，落在轴上的点处． (1)求抛物线的表达式． (2)该市中学生男子实心球的得分标准如下表． 得分 15 14.5 14 13.5 13 12.5 12 11.5 11 10.5 … 掷远/米 9.7~9.9 9.4~9.6 9.0~9.3 8.6~8.9 8.2~8.5 7.8~8.1 7.4~7.7 7.0~7.3 6.7~6.9 … 请你求出小马在这次训练中的成绩，并根据得分标准给小马打分． (3)小马在练习实心球时，他的正前方距离投掷点9.5米处有一个离地面1米的小彩旗，实心球能否飞越小彩旗？请说明理由． 变式训练1 1．如图，一名男生推铅球，铅球行进高度y（单位：）与水平距离x（单位：）之间的关系式为：．有下列结论； ①该男生推铅球出手时，铅球的高度为； ②铅球飞行至水平距离4米时，到达最大高度，最大高度为； ③铅球落地时的水平距离为． 其中，正确结论的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 2．如图①，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交轴于，两点，交轴于点，若点的坐标为，点是该二次函数图象上的一个动点，且在第一象限． (1)求二次函数的表达式； (2)连接，过点作轴于点，交线段于点，当点运动到什么位置时，线段有最大值？请求出点的坐标和的最大值； (3)连接，，若关于轴的对称图形是，是否存在点，使得四边形为菱形？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 3．为迎接学校运动会，综合实践小组的同学研究了每位同学掷实心球的训练情况，下面是对小宇同学某次掷球的研究．根据实心球运动的路线，发现其行进路线是抛物线的一部分．如图，以过点O水平方向的直线为x轴，过点O竖直方向的直线为y轴，建立平面直角坐标系．实心球运动的高度与水平距离的部分数据如表： 1 2 4 6 7 … 2.25 3 2.25 … (1)求实心球运动的高度与水平距离的函数表达式；（不要求写自变量的取值范围） (2)求实心球出手时（即与y轴交点）的高度； (3)当实心球落地点到原点的距离超过时，得分为满分．请通过计算说明小宇此次掷球是否得到满分． 4．某校积极开展阳光体育活动，在一场九年级的篮球比赛中，队员甲正在投篮（如图），已知球出手时离地面高，与篮圈中心的水平距离为，当球出手后水平距离为时到达最大高度，设篮球运行的轨迹为抛物线，篮圈距地面． (1)建立如图的平面直角坐标系，求篮球运行的抛物线解析式； (2)问甲投出的这个球能否准确命中？ (3)此时，若对方队员乙在甲前面附近处准备跳起拦截，已知乙跳起的最大摸高为，如果队员乙要拦截成功，那么他离甲不能超过多少？（参考数据：，，，，） 5．张丽是学校羽毛球社团的成员，某次在训练时使用自助发球机进行训练，如图所示，将发球机放置在点处．羽毛球发射的初始位置的高．若羽毛球从点发射后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，羽毛球在飞行过程中，在与点的水平距离为时达到最高点，在与点的水平距离为时的高度为，落地点为，以所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系． (1)求羽毛球飞行路线所在抛物线的函数表达式； (2)若张丽的身高为，在距离羽毛球发球机的处使用球拍接球（球拍接触到羽毛球的飞行路线即为接到球）时，球拍高出头顶，她能否接到羽毛球，请通过计算说明理由． 典例精讲2 【例2】．如图，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点，连接．D是在第一象限内的抛物线上的一个动点，连接，交线段于点E． (1)求该抛物线的表达式； (2)若点E在该抛物线的对称轴上，求的长； (3)过点D作y轴的平行线，交于点F，求的最大值． 变式训练2 1．如图，抛物线的顶点为，与 x 轴交于 A、B 两点，且 B，与y 轴交于点 C ． (1)求抛物线的函数解析式； (2)对称轴上是否存在点 N ，使的周长最小，若存在，请求出点坐标，若 不存在，请说明理由； (3)在直线的下方抛物线的图象上能否找到一点 P ，使四边形的面积最大？若能，请求出面积的最大值及点 P 的坐标；若不能，请说明理由． 2．如图，点、、在抛物线上． (1)求抛物线的解析式． (2)点是线段上一个动点，过点作轴的垂线交抛物线于点，求线段长度最大时点的坐标． (3)点是抛物线上的动点，在轴上是否存在点，使得以点 ，，， 为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出所有满足条件的点的坐标；如果不存在，请说明理由． 3．在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的函数表达式； (2)点P是直线下方抛物线上一点，过点P作轴于点D，交于点E，作于点F． （i）是否存点P，使得．若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由； （ii）求周长的最大值及此时点P的坐标． 4．如图1，抛物线的图象是一条抛物线，图象与轴交于点和点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图2，连接，点为直线下方抛物线上的点，过点作轴交于点，求的最大值及此时点的坐标． 典例精讲3 【例3】．综合与探究： 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点和点C，与y轴交于点，点P是抛物线上点A与点C之间的动点（不包括点A，点C）． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，动点P在抛物线上，且在直线AB上方，求面积的最大值及此时点P的坐标； (3)如图2，过原点O作直线l交抛物线于M、N两点，点M的横坐标为m，点N的横坐标为n．求的值． 变式训练3 1．探究题 如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过、、三点，其顶点为D，连接，点P是线段上一个动点（不与A、D重合），过点P作y轴的垂线，垂足点为E，连接． (1)求抛物线的函数解析式，并写出顶点D的坐标； (2)如果P点的坐标为，的面积为S，求S与x之间的函数关系式，直接写出自变量x的取值范围，并求出S的最大值； 2．如图，在平面直角坐标系中，直线与抛物线相交于点，与轴相交于点，抛物线与轴的两个交点分别为点，． (1)求，的值； (2)当时，的最大值与最小值的差为，求的取值范围； (3)若为线段的中点，且点在第二象限内，为抛物线的顶点，当的面积最小时，求的值． 3．已知，如图，抛物线与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点，点A在点B左侧．点A的坐标为，点C的坐标为． (1)求抛物线的解析式； (2)若点D是线段下方抛物线上的动点，求四边形面积的最大值； (3)若抛物线上有一点M，使，求M点坐标点． 4．如图1，抛物线与y轴交于点A，与x轴交于点、，点P是直线下方抛物线上一动点，分别连接． (1)求抛物线表达式； (2)当的面积是面积的2倍时，求点P的坐标； (3)将线段沿x轴的负方向平移得到，点A的对应点为点，点C的对应点为点，点Q为点A关于x轴的对称点，连接，在线段平移过程中，求的最小值． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年新九年级数学人教版暑假预习讲义（3个知识点3大典例） 第二十讲 实际问题与二次函数（二）（解析版） 知识点梳理 知识点1 投球问题 解题关键步骤： （1）设未知数与列方程  根据已知条件建立二次函数方程，代入关键点（出手点、落点、顶点）求解系数。 （2）利用顶点公式求最值  通过顶点坐标公式快速求得最大高度或最远距离，简化计算。 （3）验证实际场景 检查解是否符合实际条件，如距离是否为正数、是否超过边界等。 要点诠释： 坐标系建立需合理，通常以出手点为原点，水平距离为x 轴，竖直距离为y 轴； 遇到实际问题时，需注意单位统一（如米、秒）； 多数题目需结合图像辅助分析，确保函数图像与实际运动轨迹一致 知识点2 线段长度、周长问题 1. 线段的长度： （1）线段的数量关系：此类问题一般是求满足线段数量关系的点的坐标,针对这种情况应先在图中找出对应 线段,弄清已知点和未知点;再联系二次函数和一次函数,设出未知点的坐标,使其只 含一个未知数;最后表示出线段的长度,列出满足线段数量关系的等式,从而求出未知 数的值; (2)线段最值问题：此类问题通常有两类:①设出关键的点的未知数(通 常是一个跟所求线段关系紧密的点的横坐标),通过题目 中的函数和图形关系,用该点的横坐标表示出有关线段的端点坐标，进而表示出线段的长，通过二次函数的性质求出最值。 2.周长的最值 此类问题一般是所求图形中有一动点，对其求周长最值，解决此类问题时，应利用转化思想，即先观察图形，结合题目，分清楚定线段和不定线段，然后将其所求图形的周长的最值不定线段转化为求不定线段的和的最值，进而转化为求线段的最值问题，方法同（2）. 要点诠释： 单线段的最值问题 （1） 垂线段最值：垂直于x轴的线段的最值，首先通过函数关系式设出关键点的坐标，一般设横坐标为x，纵坐标用函数关系式表示，用线段两端的纵坐标表示出线段的长度，通过二次函数性质求最值。 （2） 斜线段的最值;可过线段的端点作x轴、y轴的垂线，构造直角三角形，利用勾股定理或相似转化求解，将斜线段转化为垂线段，再利用二次函数性质求解。 知识点3 面积问题 固定面积问题 通过方程求解单一变量，例如求抛物线与坐标轴围成的三角形面积，需先确定顶点坐标或交点坐标，再利用三角形面积公式求解。 面积比与线段比 通过公共边或高将面积比转化为线段比，例如利用相似三角形或割补法求解复杂图形面积，需结合坐标系中的几何关系建立方程。 动态面积问题 涉及动点运动时面积变化，如平移、旋转等操作，需通过函数解析式推导面积与变量关系，再利用不等式或最值定理求解 要点诠释： 需注意参数取值范围，如抛物线与坐标轴交点需在自变量取值范围内。 动点问题中，要分情况讨论平移方向和速度对面积的影响 典例精讲1 【例1】．2025年某市中招体育考试素质类选考项目之一是掷实心球，满分为15分，小马为了解自己实心球的训练情况，他尝试利用数学模型来研究实心球的运动轨迹，建立了如图所示的平面直角坐标系（轴在地面上）．在一次投掷中，实心球从轴上的点处出手，运动路径可看作抛物线的一部分，实心球在最高点的坐标为，落在轴上的点处． (1)求抛物线的表达式． (2)该市中学生男子实心球的得分标准如下表． 得分 15 14.5 14 13.5 13 12.5 12 11.5 11 10.5 … 掷远/米 9.7~9.9 9.4~9.6 9.0~9.3 8.6~8.9 8.2~8.5 7.8~8.1 7.4~7.7 7.0~7.3 6.7~6.9 … 请你求出小马在这次训练中的成绩，并根据得分标准给小马打分． (3)小马在练习实心球时，他的正前方距离投掷点9.5米处有一个离地面1米的小彩旗，实心球能否飞越小彩旗？请说明理由． 【答案】(1) (2)，15分 (3)不能，理由见解析 【分析】本题主要考查了求二次函数关系式，二次函数的应用， 对于（1），先设抛物线的顶点式，再将点代入求出解即可； 对于（2），将代入关系式求出x值，结合点的位置取舍，再根据表格得出答案； 对于（3），将代入关系式求出y值，再比较得出答案． 【详解】（1）解：由题意知，抛物线的顶点的坐标为． 设该抛物线的表达式为． 抛物线经过点， ． ． 抛物线的表达式为； （2）解：当时，． 解得，． 点在轴的正半轴上， 舍去． ． 对照该市中学生男子实心球得分标准表，易知小马的得分是15分； （3）解：不能．理由如下：     当时， ．     ， 实心球不能飞越小彩旗． 变式训练1 1．如图，一名男生推铅球，铅球行进高度y（单位：）与水平距离x（单位：）之间的关系式为：．有下列结论； ①该男生推铅球出手时，铅球的高度为； ②铅球飞行至水平距离4米时，到达最大高度，最大高度为； ③铅球落地时的水平距离为． 其中，正确结论的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的应用，根据题意和题目中的函数解析式，可以分别计算出各个小题中的结论是否正确即可． 【详解】解：将代入， 得， 解得，， ∴这名男生铅球推出的水平距离为， 故③正确，符合题意； ∵， ∴铅球飞行至水平距离4米时，到达最大高度，最大高度为， 故②正确，符合题意； 当时，， 故①错误，不符合题意； 故选：C． 2．如图①，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交轴于，两点，交轴于点，若点的坐标为，点是该二次函数图象上的一个动点，且在第一象限． (1)求二次函数的表达式； (2)连接，过点作轴于点，交线段于点，当点运动到什么位置时，线段有最大值？请求出点的坐标和的最大值； (3)连接，，若关于轴的对称图形是，是否存在点，使得四边形为菱形？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)点的坐标为时，的最大值为4 (3)存在，的坐标是 【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的性质，菱形的性质． （1）将，分别代入，得到二元一次方程组，解方程组即可求解； （2）设，由由，，可得直线的表达式为，设，得，即可求解； （3）由四边形为菱形，得，，进而得，则，即可求解． 【详解】（1）解：将，分别代入， 得， 解这个方程组，得， 所以二次函数的表达式为； （2）解：设， 由，，可得直线的表达式为， 设， ∴ ， 当时，， 故点的坐标为时，的最大值为4； （3）解：存在，理由如下： 如图，连接，交于点， 设点， 若四边形为菱形， 则，， ∴， ∴，即， 解得， ∵点在第一象限， 故当点的坐标是时，四边形为菱形． 3．为迎接学校运动会，综合实践小组的同学研究了每位同学掷实心球的训练情况，下面是对小宇同学某次掷球的研究．根据实心球运动的路线，发现其行进路线是抛物线的一部分．如图，以过点O水平方向的直线为x轴，过点O竖直方向的直线为y轴，建立平面直角坐标系．实心球运动的高度与水平距离的部分数据如表： 1 2 4 6 7 … 2.25 3 2.25 … (1)求实心球运动的高度与水平距离的函数表达式；（不要求写自变量的取值范围） (2)求实心球出手时（即与y轴交点）的高度； (3)当实心球落地点到原点的距离超过时，得分为满分．请通过计算说明小宇此次掷球是否得到满分． 【答案】(1)； (2)米； (3)小宇此次掷球不能得满分． 【分析】本题主要考查二次函数的运用，掌握待定系数法，函数值、自变量的值的计算是关键． （1）根据表格得到顶点为，设函数表达式为，运用待定系数法即可求解； （2）令，根据函数解析式求函数值即可； （3）令，求自变量的取值即可． 【详解】（1）解：由题意，根据表格数据，可得二次函数的对称轴是直线， ∴顶点为， ∴设函数表达式为， 又∵抛物线过， ∴． ∴， ∴实心球运动的高度与水平距离的函数表达式为． （2）解：由题意，结合（1），令， ∴， ∴实心球出手时的坐标为， ∴出手时的高度为米． （3）解：由题意，令， ∴或（不合题意，舍去）， ∴实心球从起点到落地点的水平距离为， ∴小宇此次掷球不能得满分． 4．某校积极开展阳光体育活动，在一场九年级的篮球比赛中，队员甲正在投篮（如图），已知球出手时离地面高，与篮圈中心的水平距离为，当球出手后水平距离为时到达最大高度，设篮球运行的轨迹为抛物线，篮圈距地面． (1)建立如图的平面直角坐标系，求篮球运行的抛物线解析式； (2)问甲投出的这个球能否准确命中？ (3)此时，若对方队员乙在甲前面附近处准备跳起拦截，已知乙跳起的最大摸高为，如果队员乙要拦截成功，那么他离甲不能超过多少？（参考数据：，，，，） 【答案】(1) (2)能投中 (3)他离甲不能超过 【分析】（1）由题意，球出手点的坐标，顶点坐标是，根据题意，不妨设二次函数解析式为，将代入得：，解答即可； （2）计算时的函数值，等于3命中，否则不命中． （3）计算时自变量的值即可． 【详解】（1）解：由题意，球出手点的坐标，顶点坐标是， 设二次函数解析式为， 将代入得：， 解得：， （或）． （2）解：能投中； 理由如下： 将代入抛物线解析式， 篮圈中心的坐标是， 一定能投中． （3）解：当时，， 解得：，（舍去）， ， 他离甲不能超过m． 【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，求函数值，求自变量的值，二次函数的应用，熟练掌握待定系数法，抛物线的性质是解题的关键． 5．张丽是学校羽毛球社团的成员，某次在训练时使用自助发球机进行训练，如图所示，将发球机放置在点处．羽毛球发射的初始位置的高．若羽毛球从点发射后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，羽毛球在飞行过程中，在与点的水平距离为时达到最高点，在与点的水平距离为时的高度为，落地点为，以所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系． (1)求羽毛球飞行路线所在抛物线的函数表达式； (2)若张丽的身高为，在距离羽毛球发球机的处使用球拍接球（球拍接触到羽毛球的飞行路线即为接到球）时，球拍高出头顶，她能否接到羽毛球，请通过计算说明理由． 【答案】(1) (2)不能 【分析】本题考查了二次函数的应用，利用待定系数法求出二次函数的解析式是解题的关键． （1）利用待定系数法求抛物线的解析式即可； （2）代入求出对应的值，再求出球拍的高度，比较两者的大小即可得出结论． 【详解】（1）解：设抛物线的函数表达式为， 由题意得，抛物线经过和，且对称轴为， ， 解得：， 抛物线的函数表达式为． （2）解：当时，， 球拍的高度为， ， 不能接到羽毛球． 典例精讲2 【例2】．如图，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点，连接．D是在第一象限内的抛物线上的一个动点，连接，交线段于点E． (1)求该抛物线的表达式； (2)若点E在该抛物线的对称轴上，求的长； (3)过点D作y轴的平行线，交于点F，求的最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）先求出直线的表达式为，抛物线的对称轴是直线，可得点E的坐标是，再由勾股定理得，即可求解； （3）设点D的坐标为，则点F的坐标为，，可得，最后由二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：分别将点，，代入， 得解得 ∴该抛物线的表达式为； （2）解：设直线的表达式为． 将点代入，得，解得， ∴直线的表达式为． ∵抛物线的对称轴是直线， ∴点E的坐标是， ∴； （3）解：设点D的坐标为， 则点F的坐标为，， ∴ ， ∵，， ∴当时，DF`有最大值，最大值是． 【点睛】本题属于二次函数综合题，主要考查了二次函数的图象与性质，一次函数的图象与性质，勾股定理，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 变式训练2 1．如图，抛物线的顶点为，与 x 轴交于 A、B 两点，且 B，与y 轴交于点 C ． (1)求抛物线的函数解析式； (2)对称轴上是否存在点 N ，使的周长最小，若存在，请求出点坐标，若 不存在，请说明理由； (3)在直线的下方抛物线的图象上能否找到一点 P ，使四边形的面积最大？若能，请求出面积的最大值及点 P 的坐标；若不能，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，点坐标为 (3)存在，面积的最大值为，点P的坐标为． 【分析】本题考查二次函数与一次函数的综合应用，涉及到待定系数法求函数解析式、求平面直角坐标系内三角形面积等，解题的关键是用含x的式子表示出的长度． （1）设函数的解析式为，将B代入求出a值即可； （2）令，求出点A坐标，进而求出直线的解析式，中，的长度固定，点A、点B关于直线对称，当点N是对称轴与直线的交点时，之和最小，即的周长最小，求出点N的坐标即可； （3）过点P作轴于点E，交于点F，设，则，F ，利用求出的最大值，再利用求出答案即可． 【详解】（1）解：抛物线的顶点为， 设函数的解析式为， 又函数图象经过点， ， 解得， ， 即抛物线的函数解析式为； （2）解：存在， 函数的图象与y轴交于点C， ， ， 令，得， 解得，， ， ∵抛物线的解析式为：， ∴抛物线的对称轴为直线：， ∵， ∴设直线的解析式为，可得， 解得， 故直线的解析式为：， ∵中，的长度固定，点A、点B关于直线对称， ∴当点N是对称轴与直线的交点时，之和最小，即的周长最小， 将代入中得：， ∴点N的坐标是； （3）解：如图，过点P作轴于点E，交于点F，设，则， 点F的坐标为． ， ， 当时，有最大值，最大值为， 此时四边形的面积最大，最大值为 时，， 在直线的下方抛物线的图象上能否找到一点 P ，使四边形的面积最大，面积的最大值为，点P的坐标为． 2．如图，点、、在抛物线上． (1)求抛物线的解析式． (2)点是线段上一个动点，过点作轴的垂线交抛物线于点，求线段长度最大时点的坐标． (3)点是抛物线上的动点，在轴上是否存在点，使得以点 ，，， 为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出所有满足条件的点的坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)或或或 【分析】（1）将、的坐标代入抛物线中，易求出抛物线的解析式；将点横坐标代入抛物线的解析式中. （2）的长实际是直线与抛物线的函数值的差，可设点的横坐标为，用分别表示出、的纵坐标，即可得到关于 的长、的函数关系式，根据所得函数的性质即可求得的最大值. （3）存在.如图，设抛物线与的交点为，由题意，可知 轴，分图中四种情形，利用平行四边形的性质以及平移变换的性质求解即可. 【详解】（1）解：将代入，得到，解得， ∴抛物线的解析式为； （2）将点的横坐标代入，得， ∴， 设直线的解析式为， 把分别代入，得，解得：， ∴直线的函数解析式是， 设点的横坐标为，则、的坐标分别为：， ∵点在点的上方， ∴， ∵， ∴当时，最大，最大值为，此时点的坐标为； （3）存在．满足条件的点的坐标为或或或． 理由：如图，设抛物线与轴的交点为，由题意得， ∵， ∴轴，， 当点与点重合时， ①当是平行四边形的边时，即 ，则， 得， ②当是平行四边形的对角线时，即，则得， 当点在轴的上方时，令，解得， ∴， 由平移的性质可知， 综上所述，满足条件的点的坐标为或或或． 【点睛】本题考查二次函数的定义，待定系数法求解二次函数解析式，二次函数与一次函数交点求线段的最值问题，利用平行四边形的性质以及平移变换的性质，解题关键是熟悉各个知识点并综合运用． 3．在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的函数表达式； (2)点P是直线下方抛物线上一点，过点P作轴于点D，交于点E，作于点F． （i）是否存点P，使得．若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由； （ii）求周长的最大值及此时点P的坐标． 【答案】(1) (2)（i）不存在，理由见解析；（ii）周长的最大值为，． 【分析】（1）根据题意设抛物线为，可得，再进一步求解即可； （2）（i）如图，求解，证明，，结合，可得，求解直线为，设，则，可得，，再建立方程求解即可； （ii）由（i）得：，，可得周长，再利用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于点， ∴设抛物线为， ∴， 解得：， ∴抛物线为：． （2）解：（i）如图， ∵抛物线为：， ∴当，则，即， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，， 设直线为， ∴，解得：， ∴直线为， 设，则， ∴，， ∴， 解得：， ∴， 此时重合，不符合题意； ∴不存点P，使得． （ii）由（i）得：，， ∴周长， ∵， ∴当时，周长最大， 最大值为， 此时， ∴． 【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，等腰直角三角形的判定与性质，一元二次方程的解法，二次函数的性质，熟练的利用数形结合的方法解题是关键． 4．如图1，抛物线的图象是一条抛物线，图象与轴交于点和点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图2，连接，点为直线下方抛物线上的点，过点作轴交于点，求的最大值及此时点的坐标． 【答案】(1) (2)最大值为，此时 【分析】本题考查了抛物线与轴的交点，待定系数法求函数的解析式，二次函数的性质，熟知以上性质是解题的关键． （1）用待定系数法求解即可； （2）利用待定系数法即可求得直线的解析式为，设，，则，即可得出，根据二次函数性质可得答案． 【详解】（1）解：把，，代入得： ， 解得， 抛物线的表达式为， （2）解：在二次函数中，令，得， 解得：， ， 设直线的解析式为，将代入得， ，解得， 直线的解析式为， 设，， 轴， ， ， ， 当时，最大值为，此时． 典例精讲3 【例3】．综合与探究： 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点和点C，与y轴交于点，点P是抛物线上点A与点C之间的动点（不包括点A，点C）． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，动点P在抛物线上，且在直线AB上方，求面积的最大值及此时点P的坐标； (3)如图2，过原点O作直线l交抛物线于M、N两点，点M的横坐标为m，点N的横坐标为n．求的值． 【答案】(1)； (2)面积的最大值是，点的坐标为； (3)． 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，待定系数法求解析式，二次函数与一次函数的交点问题等知识，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式，二次函数的图象和性质． （1）利用待定系数法把点和点的坐标代入得到 ，解方程组求出的值，可得抛物线的解析式； （2）过点作轴，交于点，把分成和，可得 的面积为，配方可得，从而可知当 时，的面积有最大值，，此时的坐标为； （3）设直线的解析式为，因为是抛物线与直线的交点，可得方程 ，整理得，根据一元二次方程根与系数的关系即可求解． 【详解】（1）解：把点和点代入，得： ， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：如图所示，过点作轴，交于点， 设直线的解析式为，把点和点代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为， 点是抛物线上点与点之间的动点（不包括点，点）， 设点的横坐标为，则点的纵坐标为， ∴点的横坐标为，点H的纵坐标为， ， ， 整理得：， ∴可知当时，的面积有最大值，最大值是， 当时，， 此时点的坐标为； （3）解：设直线的解析式为， 解方程组， 可得：， 整理得：， 在一元二次方程中， ， ∴一元二次方程：有两个不相等的实数根， 这两个不相等的实数根分别为， ∴． 变式训练3 1．探究题 如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过、、三点，其顶点为D，连接，点P是线段上一个动点（不与A、D重合），过点P作y轴的垂线，垂足点为E，连接． (1)求抛物线的函数解析式，并写出顶点D的坐标； (2)如果P点的坐标为，的面积为S，求S与x之间的函数关系式，直接写出自变量x的取值范围，并求出S的最大值； 【答案】(1)，抛物线顶点坐标D为 (2)，最大值为 【分析】本题考查了待定系数法求抛物线解析式，二次函数的图象和性质，二次函数最值等知识点，熟悉相关性质并能灵活应用是解题的关键． （1）由抛物线经过、、三点，则代入求得，，，进而得解析式与顶点； （2）由在上，则可求解析式表示点，由，可得，利用一元二次方程的性质可得的最值． 【详解】（1）解：抛物线经过、、三点， ， 解得， 解析式为 ， 抛物线顶点坐标为． （2）解：，， 设为解析式为， 有， 解得， 解析式：， 在上， ， ， 即： 当时，取最大值． 2．如图，在平面直角坐标系中，直线与抛物线相交于点，与轴相交于点，抛物线与轴的两个交点分别为点，． (1)求，的值； (2)当时，的最大值与最小值的差为，求的取值范围； (3)若为线段的中点，且点在第二象限内，为抛物线的顶点，当的面积最小时，求的值． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】本题考查了二次函数的性质，待定系数法求解析式，二次函数与面积问题，二次函数最值问题等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． （）利用待定系数法即可求解； （）由抛物线，则当时，；当时，，从而可求出的取值范围； （）联立得，求出点的坐标为，则点，过点作轴于点，过点作轴于点，轴于点，通过面积公式得，然后由二次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：将点，分别代入， 得， 解得； （2）解：由（）知， ∴抛物线， 当时，；当时，， ∵点的坐标是， ∴的取值范围是； （3）解：由（）知，点的坐标为， 联立得， ∴， 解得，， 当时，， ∴点的坐标为， ∵点， ∴点， 如图，过点作轴于点，过点作轴于点，轴于点， 则，，，，， ∴ ， ∴当时，最小， ∴的值为． 3．已知，如图，抛物线与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点，点A在点B左侧．点A的坐标为，点C的坐标为． (1)求抛物线的解析式； (2)若点D是线段下方抛物线上的动点，求四边形面积的最大值； (3)若抛物线上有一点M，使，求M点坐标点． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，与面积的综合问题，全等三角形的构造，待定系数法求函数解析式，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． （1）由待定系数法求解即可； （2）过点D作轴分别交线段和x轴于点M，N．由得到，可求直线的解析式为：．设，则，即可求解得最大值，即面积最大值； （3）过A作交于点K，作轴于点H，则，证明，求出，再求出直线表达式，与抛物线联立即可求解． 【详解】（1）解：把点A，C的坐标代入， 得， 解得， ∴抛物线线的解析式为：； （2）解：∵点C的坐标为， ∴． 如图，过点D作轴分别交线段和x轴于点M，N． ∵抛物线线的解析式为， 当，则， 解得：或， ， ， ， 设直线的解析式为， ， ， 解得， 故直线的解析式为：． 设， 则， 当时，有最大值，此时四边形面积有最大值为； （3）解：如图，过A作交于点K，作轴于点H， ， ， ， ， ， ， 设直线的解析式为 ， ， ∴直线的解析式为， 联立， 解得（舍去），或， ． 4．如图1，抛物线与y轴交于点A，与x轴交于点、，点P是直线下方抛物线上一动点，分别连接． (1)求抛物线表达式； (2)当的面积是面积的2倍时，求点P的坐标； (3)将线段沿x轴的负方向平移得到，点A的对应点为点，点C的对应点为点，点Q为点A关于x轴的对称点，连接，在线段平移过程中，求的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，勾股定理，等腰三角形的定义等知识点，正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键， （1）利用待定系数法求解即可； （2）先求出，进而求出直线的解析式为；设，，则，求出，得到，解方程即可得到答案； （3）先根据题意作图，由平移的性质可知，，，则的值最小就是的最小值， 如图，作出点关于直线对称的对称点，连接交直线于点，连接，则此时取得最小值，即为的长度，据此利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：将，代入，得 ， 解得，   抛物线的解析式为； （2）解：过点作轴于点，交线段于点， 由可知， 设直线的解析式为， 将，代入，得 ， 解得， 直线的解析式为；      设点的横坐标为， 则，， ， ，， 解得， ， ； （3）解：设抛物线沿轴的负方向平移个单位长度得到，将点向右平移个单位长度得到点，作出图形如下： 由平移的性质可知，，， 的值最小就是的最小值， 显然点在直线上运动， 如图，作出点关于直线对称的对称点，连接交直线于点，连接，则此时取得最小值，即为的长度． 点关于直线对称的对称的点是，， ， ． 学科网（北京）股份有限公司 $$