第十四讲 二次函数y=a(x-h)²+k的图象和性质（2个知识点6大典例）暑假预习讲义2025-2026学年人教版数学九年级上册

2025年新九年级数学人教版暑假预习讲义（2个知识点6大典例） 第十四讲 二次函数y=a（x-h）2+k的图象和性质（解析版） 知识点梳理 知识点1二次函数y=a(x-h)²+k的图像 1.二次函数y=a(x-h)²+k的图像特征： （1） a>0,开口向上，a<0,开口向下； （2） 对称轴直线x=h; （3） 顶点坐标:（h,k） 2.要点诠释： 函数y = a(x-h)2 + k 是由 y = ax2 的图象向右( h > 0 ) 或向左( h < 0 )平移 |h| 个单位，再向上 ( k > 0 )或向下 ( k < 0 )平移 |k| 个单位得到的。 ★简记为：上下平移，常数项上加下减；左右平移，自变量左加右减.二次项系数 a 不变. 知识点2二次函数y=a(x-h)²+k的性质 y＝a(x﹣h)2+k a > 0 a < 0 图象 h＞0，k＜0 h＜0，k＞0 开口方向 开口向上 开口向下 对称轴 直线x=h 直线x=h 顶点坐标 (h，k)，抛物线最低点 (h，k)，抛物线最高点 最值 当x=h 时，y最小值=k 当x=h时，y最大值=k 增减性 当x＜h时，y随x增大而减小； 当x＞h 时，y随x增大而增大. 当x＞h时，y随x增大而增大； 当x＜h 时，y随x增大而减小. 要点诠释： 1. 二次函数y=a（x-h）2+k的图象核心性质的要点是由其系数a、h、决定的，a>0开口向上，a<0开口向下,对称轴直线x=h；a>0,x>h时，y随x增大而增大，x<h时，y随x增大而减小；a<0,x>h时，y随x增大而减小，x<0时，y随x增大而增大。 2. 二次函数y=a（x-h）2+k的图象常与直线、三角形、面积等问题结合在一起，借助它的图象性质，运用数形结合、函数、方程思想解决问题。 典例精讲 1 题型1 二次函数y=a（x-h）2+k的图象性质 【例1】．已知函数． (1)写出此函数图象的开口方向、对称轴、顶点坐标； (2)当取何值时，随的增大而增大？ (3)当取何值时，函数取得最值？求出这个最值． 【答案】(1)开口方向向上，对称轴，顶点坐标为； (2)当时，随的增大而增大； (3)当时，有最小值为． 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （）依据题意，根据所给解析式可以得解； （）依据题意，根据二次函数的增减性可以判断得解； （）依据题意，由开口向上，函数有最小值，进而可以得解． 【详解】（1）解：由抛物线的解析式为， ∴开口方向向上，对称轴，顶点坐标为； （2）解：∵抛物线开口向上， ∴当时，随的增大而增大； （3）解：∵抛物线开口向上， ∴当时，有最小值为． 变式训练1 1．二次函数的顶点坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据顶点式的顶点坐标为求解即可． 【详解】解：二次函数的顶点坐标是， 故选：D． 2．对于抛物线，下列判断正确的是（   ） A．抛物线的开口向上 B．抛物线的顶点坐标是 C．对称轴为直线 D．当时， 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握的图象与性质是解题的关键． 根据的图象与性质判断即可． 【详解】解：由解析式可得，抛物线的顶点坐标是，对称轴为直线， 故B错误，不符合题意；C正确，符合题意； ∵， ∴抛物线开口向下，故A错误，不符合题意； 当时，，故D错误，不符合题意， 故选：C． 3．若二次函数的图象如图所示，则点所在的象限是（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】本题主要考查二次函数图象的性质，掌握图象的开口，顶点坐标的位置是关键． 根据图象可得顶点的坐标为，由此得到，，结合象限的特点即可求解． 【详解】解：二次函数为， 顶点的坐标为， 又顶点在第三象限， ，， ，， 在第四象限． 故选：D． 4．已知抛物线的顶点为，、、、是抛物线上的四点，且线段、都垂直于抛物线的对称轴．如果，，那么的值等于 ． 【答案】 【分析】本题主要考查抛物线的顶点式、对称轴性质，以及几何图形中三角形面积的计算，解题的关键在于理解线段与对称轴垂直的几何意义，进而确定点的坐标，计算面积比． 先根据抛物线的顶点式确定顶点坐标为和对称轴为直线，再根据对称轴性质设点坐标为，点坐标为，点坐标为，点坐标为，进而求得的纵坐标为：，的纵坐标为：，再利用底和高的关系，求出面积比． 【详解】解：∵抛物线方程为， ∴顶点为，对称轴为直线， ∵线段、都垂直于抛物线的对称轴，，， ∴线段、为水平方向，中点在对称轴上， ∴设点坐标为，点坐标为，点坐标为，点坐标为， ∴的纵坐标：， 的纵坐标为：， ∴的面积：底为，高为顶点到的垂直距离，面积为， 的面积：底为，高为顶点到的垂直距离，面积为， ∴面积比为， 故答案为：． 5．通过配方变形，将二次函数化为的形式，并指出顶点坐标及取何值时，随的增大而减小． 【答案】；顶点坐标为；当时，随的增大而减小． 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，利用配方法将二次函数化成顶点式，根据顶点式可得出顶点坐标，再根据二次函数的增减性质即可解答，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解： ， ∴顶点坐标为， ∵， ∴当时，随的增大而减小． 典例精讲2 题型2 比较y=a（x-h）2+k函数值的大小 【例2】．已知抛物线 ． (1)若此抛物线的顶点在直线 上，求的值； (2)若点 与点在此抛物线上，且直接写出的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（）根据抛物线的解析式可得抛物线的顶点坐标为，再代入一次函数解析式解答即可求解； （）根据抛物线的对称性可得点关于抛物线对称轴的对称点为，进而根据二次函数的性质解答即可求解； 本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数的顶点式，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 【详解】（1）解：∵抛物线 ， ∴抛物线的顶点坐标为， ∵此抛物线的顶点在直线 上， ∴， 解得； （2）解：∵抛物线的顶点坐标为， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴点关于抛物线对称轴的对称点为， ∵抛物线开口向上， ∴当时，． 变式训练2 1．已知点在抛物线上，且，则 ．（填“”或“”或“”） 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质，依据题意，求出抛物线的对称轴，根据抛物线开口向上，故当时，y随x的增大而减小，进而判断得解． 【详解】解：由题意得抛物线的对称轴， 又∵， ∴抛物线开口向上． ∴当时y随x的增大而减小． ∴对于A、B当时，． 故答案为：． 2．已知二次函数的图象上有三点，，则的大小关系为 ． 【答案】 【分析】本题考查了函数图象上的点的坐标与函数解析式的关系，同时考查了函数的对称性及增减性．根据函数顶点式的特点，确定其对称轴为，图象开口向上；利用二次函数的对称性和增减性即可判断． 【详解】解：∵二次函数， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴距离对称轴越近，函数值越小， 而， ∴， 故答案为：． 3．已知点，是抛物线上的两点，则，的大小关系为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． 依据题意，由抛物线为，从而抛物线开口向上，对称轴是直线，故抛物线上的点离对称轴越近函数值越小，结合，即可判断得解． 【详解】解：由题意，∵抛物线为， ∴抛物线开口向上，对称轴是直线． ∴抛物线上的点离对称轴越近函数值越小． ， ， 故答案为：． 4．1.已知抛物线经过，两点．若，是抛物线上的两点，且，则的值可以是 ．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，利用抛物线的对称性质及开口方向，确定点，到对称轴的距离关系，从而比较大小即可，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 【详解】解：∵抛物线经过，两点， ∴该抛物线的对称轴为直线，函数图象开口向上， ∴点关于直线，的对称点为， ∵， ∴或， ∴的值可以是， 故答案为：（答案不唯一）． 5．已知二次函数（h为常数），当自变量x的值满足时，与其对应的函数值y的最大值为，则h的值为 ． 【答案】7或0 【分析】由解析式可知该函数在时取得最大值1；时，y随x的增大而增大、当时，y随x的增大而减小，根据时，函数的最大值为，可分如下两种情况：①若，时，y取得最大值；②若，当时，y取得最大值，分别列出关于h的方程求解即可． 【详解】解：∵， 则当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小， ∴①若，，时，y取得最大值， 可得：， 解得：0或4（舍）； ②若，，当时，y取得最大值， 可得：， 解得：7或3（舍）； ③当，时，最大值为1，不符合题意， 综上，h的值为7或0， 故答案为：7或0． 【点睛】本题主要考查了二次函数的性质和最值，根据二次函数的性质和最值分类讨论是解题的关键． 典例精讲 题型3 确定函数y=a（x-h）2+k经过的象限 【例3】．已知抛物线，请确定此抛物线的顶点在第几象限． 【答案】第二象限 【分析】将抛物线化成顶点式：，判断顶点所在象限，即可求解． 【详解】解： ， 抛物线的顶点坐标为， ，， 此抛物线的顶点在第二象限． 【点睛】本题考查了抛物线的顶点式，求顶点，点的象限判断，掌握将抛物线的一般式化为顶点式的方法是解题的关键． 变式训练 1．若抛物线（m是常数）的图象只经过第一、二、四象限，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质； 将抛物线解析式化成顶点式，可得抛物线开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为，然后根据题意得出关于m的不等式组，求解即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为， ∵抛物线（m是常数）的图象只经过第一、二、四象限， ∴， ∴， 故选：C． 2．若直线经过一、二、四象限，则抛物线顶点必在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数和二次函数的性质，直线经过一、二、四象限可判断的符号，再由抛物线求顶点坐标，判断象限，即可求解；熟练掌握一次函数和二次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：直线经过一、二、四象限， ∴， ∴抛物线的顶点必在第二象限， 故选：． 3．若直线经过第一、三、四象限，则二次函数的图象顶点必在第 象限． 【答案】二 【分析】先根据一次函数经过的象限得到，再由二次函数的图象顶点坐标为（m，1）即可得到答案． 【详解】解：∵直线经过第一、三、四象限， ∴， ∵二次函数的图象顶点坐标为（m，1）， ∴二次函数的图象顶点在第二象限， 故答案为：二． 【点睛】本题主要考查了根据一次函数经过的象限求参数范围，二次函数的性质，每个象限内点的坐标特点，正确得到是解题的关键． 4．已知二次函数y＝﹣8（x+m）2+n的图象的顶点坐标是(﹣5，﹣4)，那么一次函数y＝mx+n的图象经过第 象限． 【答案】一、三、四 【分析】由二次函数y=-8(x+m)2+n的图象的顶点坐标是(-5，-4)，得出m=5，n=-4，进一步利用一次函数的性质得出答案即可． 【详解】解：∵y＝﹣8(x+m)2+n的图象的顶点坐标是(﹣5，﹣4)， ∴m＝5，n＝﹣4， ∴一次函数y＝5x﹣4， ∴图象经过一、三、四象限． 故答案为：一、三、四． 【点睛】此题考查二次函数的图象与性质、一次函数的图象与性质，关键是根据抛物线的顶点坐标求得m、n的数值． 5．已知，则的顶点在第 象限． 【答案】二 【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质，非负数的性质，判断点所在的象限，先由非负数的性质得到，则，再由二次函数的性质得到顶点坐标为，即，据此可得答案． 【详解】解；∵，， ∴， ∴， ∴， ∴的顶点坐标为，即， ∴的顶点在第二象限， 故答案为：二． 典例精讲3 题型4 二次函数y=a（x-h）2+k的平移、对称问题 【例4】．已知二次函数y=－x2＋2mx－2m2－3（m为常数）． （1）求证：不论m为何值，该二次函数图像与x轴没有公共点； （2）如果把该函数图像沿y轴向上平移4个单位后，得到的函数图像与x轴只有一个公共点，试求m的值． 【答案】（1）证明见解析；（2）m ＝±1 【详解】（1）令y＝0，－x2＋2mx－2m2－3＝0，………………1分 则a＝－1，b＝2m，c＝－2m2－3． ∴b 2－4ac＝（2m）2－4（－1）（－2m2－3）＝－4m2－12且，…2分 ∵－4m2≤0，∴－4m2－12＜0，即b 2－4ac＜0 ∴一元二次方程－x2＋2mx－2m2－3＝0没有实数根，   ………3分 ∴不论m为何值，该二次函数图像与x轴没有公共点．…………4分 （2）将二次函数y＝－x2＋2mx－2m2－3配方得： y ＝－（x－ m）2－m 2－3，………………5分 ∴该二次函数图像的顶点坐标为（ m，－m 2－3），………………6分 ∵将函数图像沿y轴向上平移4个单位后，得到的函数图像与x轴只有一个公共点， ∴－m 2－3＋4＝0，   …………7分 解得m ＝±1 变式训练3 1．将二次函数的图象先向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度得到的抛物线的顶点坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移问题，先把原二次函数解析式化为顶点式得到原二次函数的顶点坐标，再根据“上加下减，左减右加”的平移规律求解即可． 【详解】解：∵平移前二次函数解析式为， ∴平移前的二次函数的顶点坐标为， ∴将二次函数的图象先向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度得到的抛物线的顶点坐标为，即， 故选：B． 2．将二次函数图象水平向左平移2个单位长度后的图象顶点坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查二次函数图象平移后所得函数图象的顶点坐标，二次函数图象水平向左平移2个单位长度后的函数解析式为即，即可得出答案． 【详解】解：二次函数图象水平向左平移2个单位长度后的函数解析式为即， 故顶点坐标为， 故选：C． 3．若点在抛物线（）上，则下列各点在抛物线上的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查函数图象与点的平移，通过函数解析式得到平移方式是解题的关键．观察抛物线和抛物线可以发现，它们通过平移得到，故点通过相同的平移落在抛物线上，从而得到结论． 【详解】∵抛物线是抛物线（）向右平移2个单位长度，再向上平移3个长度单位得到， ∴抛物线上点向右平移2个单位长度，再向上平移3个长度单位，会落在抛物线上， ∴点在抛物线上， 故选：D 4．抛物线过两点，将抛物线L向左或向右平移后得到抛物线M，设抛物线M的顶点为C．若是以为斜边的直角三角形，则点C的坐标为 ． 【答案】或 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数图象的平移，勾股定理等．由抛物线的对称性求出点B的坐标，由抛物线的平移表示出点C的坐标，再根据勾股定理列方程即可求解． 【详解】解：抛物线L的解析式为， 抛物线L的对称轴为直线，顶点坐标为， 抛物线L过两点， ， ， ，， 抛物线L向左或向右平移后得到抛物线M， 设抛物线M的顶点， ，， 是以为斜边的直角三角形， ， ， 整理得， 解得，， 点C的坐标为或 故答案为：或． 5．已知函数y=﹣（x+1）2﹣2 （1）指出函数图象的开口方向是　 　，对称轴是　 　，顶点坐标为　 　 （2）当x　 　时，y随x的增大而增大 （3）怎样移动抛物线y=﹣x2就可以得到抛物线y=﹣（x+1）2﹣2 【答案】（1）开口方向向下、对称轴为x=-1、顶点坐标为（-1，-2）；（2） ；（3）向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度. 【分析】（1）利用二次根式的性质确定出开口方向，顶点坐标以及对称轴即可； （2）由对称轴和开口方向得出增减性； （3）根据平移规律回答问题． 【详解】（1）∵a=- ＜0， ∴抛物线开口向下， 顶点坐标为（-1，-2），对称轴为直线x=-1； 故答案是：开口方向向下、对称轴为x=-1、顶点坐标为（-1，-2）； （2）∵对称轴x=-1， ∴当x<-1时，y随x的增大而减大． 故答案是： ； （3）向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度移动抛物线y=-x2就可以得到抛物线y=-（x+1）2-2． 【点睛】本题考查了顶点式的开口方向、对称轴、顶点坐标以及增减性以及平移规律，掌握顶点式的性质是解题的关键. 典例精讲5 题型5 求二次函数y=a（x-h）2+k最值问题 【例5】．设二次函数，当时，函数有最小值，则的值为 ． 【答案】 【分析】先将二次函数化成顶点式，于是可得其对称轴为直线，由可得抛物线开口向上，然后分三种情况讨论：①当时；②当时；③当时；分别求解并验证结果是否符合题意即可． 【详解】解：， 二次函数的对称轴为直线， ， 抛物线开口向上， 分三种情况讨论： ①当时， 即时，此时时，函数有最小值， 将代入，得： ， 解得：， 与相矛盾，不符合题意，故舍去； ②当时， 即时，顶点处取最小值， ， 解得：或（不符合题意，故舍去）， ； ③当时， 即时，此时时，函数有最小值， 将代入，得： ， 解得：， 与相矛盾，不符合题意，故舍去； 综上，的值为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了二次函数的最值，把化成顶点式，的图象与性质，二次函数的图象与系数的关系，因式分解法解一元二次方程，解一元一次方程等知识点，熟练掌握二次函数的图象与性质并运用分类讨论思想是解题的关键． 变式训练5 1．已知抛物线，当时，函数的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，首先把二次函数的解析式整理成顶点坐标式，从而可得抛物线开口向上，对称轴是，根据二次函数的性质可知当时，函数的最大值为. 【详解】解：整理：， 可得：， 抛物线开口向上，对称轴是， 当时，随的增大而减小， 当时，随的增大而增大， 当时，， 当时，， 当时，函数的最大值为. 故选：A． 2．已知二次函数，当时，函数取得最大值；当时，函数取得最小值，则的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 根据题意，结合二次函数的对称性和增减性建立关于的不等式组即可解决问题． 【详解】解：∵， ∴对称轴为直线，对称轴上的点离对称轴越远，函数值越大， ∵，当时，函数取得最大值，当时，函数取得最小值， ∴， ∴， 故选：A． 3．已知二次函数的图象与x轴交于点和点，其中a为常数，则该二次函数的最大值为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查二次函数的性质；根据题意得到展开整理成顶点式即可求出． 【详解】解：根据题意得， 当时，有最大值； 故选：C． 4．已知二次函数，当时，函数y的最小值是（    ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．根据题意得二次函数的对称轴为直线，进而可根据二次函数的性质进行求解即可． 【详解】解：由题意得：二次函数的对称轴为直线， ∵， ∴当时，y随x的增大而减小， ∵， ∴当时，二次函数有最小值，即为：． 故选：D． 5．二次函数，当且时，y的最小值为，最大值为，则的值为（   ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的最值，结合二次函数图象的开口方向、对称轴以及增减性进行解答即可． 【详解】二次函数 的大致图象如下： ①当时, 当时，取最小值，即， 解得：（正数舍去）， 当时，取最大值，即， 解得：或(均不合题意，舍去)； ②当时, 当时，取最小值，即， 解得：（正数舍去）， 当时，取最大值，即, 解得： 或时，取最小值， 时取最大值， ， ， ， ∴此种情形不合题意， 所以， 故选：D． 典例精讲6 题型6 二次函数y=a（x-h）2+k与几何问题 【例6】．如图，直线与轴、轴分别交于点、．抛物线经过、，并与轴交于另一点，其顶点为， (1)求，的值； (2)抛物线的对称轴上是否存在一点，使的周长最小？若存在，求的周长；若不存在，请说明理由； (3)抛物线的对称轴是上是否存在一点，使是以为斜边的直角三角形？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)存在，的周长最小为 (3)或 【分析】（1）根据直线与轴、轴分别交于点、，进行计算得，，根据抛物线经过点、得，计算求出，的值即可； （2）由、关于对称轴对称，连接交对称轴于点，连接，，根据两点之间线段最短，即为使的周长最小的点，计算、，求出的最小周长即可； （3）设，根据，，得，，，当是以为斜边的直角三角形时，由勾股定理得，，代入计算即可得出点的坐标． 【详解】（1）∵直线与轴、轴分别交于点、， ∴， ，解得：， ∴，． ∵抛物线经过、， ∴把，代入抛物线，得：， 解得：； （2）∵抛物线， ∴对称轴为， ∴， ∴． 如下图，连接交对称轴于点，连接， ∵、两点关于对称轴对称， ∴， ∴． ∵两点之间线段最短， ∴最小， ∴周长最小， ∵，， ∴设直线解析式为，把代入得：， 解得：， ∴直线解析式为，当时，， ∴； ∴存在满足条件的点，此时，且， ∴的周长最小为； （3）设， ∵，， ∴， ， ， 当是以为斜边的直角三角形时，由勾股定理得：， ， ， ， ， ，， ∴或． 【点睛】本题考查了一次函数的图象与性质、二次函数的图象与性质、勾股定理、最短路径问题，熟练掌握勾股定理和二次函数的性质是解题的关键． 变式训练6 1．如图，在中，点 D 为边上一个动点，以为边在的上方作正方形，当取得最小值时，的长为 ．      【答案】 【分析】过点作于，由四边形是正方形，得，，可证明，即有，，从而，而，根据二次函数性质可得取得最小值时，，即可得到答案． 【详解】解：过点作于，如图所示：   四边形是正方形， ，， ，， ，且，， ， ，， ， ， ， 当时，最小，则也最小， 此时， 故答案为：． 【点睛】本题考查正方形中的动点问题，涉及正方形性质、三角形全等的判定与性质、勾股定理及二次函数图像与性质等知识，熟记二次函数表图像与性质，用含的代数式表示是解决问题的关键．. 2．如图，抛物线向右平移1个单位得到的抛物线．回答下列问题： （1）抛物线的解析式是 ，顶点坐标为 ； （2）阴影部分的面积 ； （3）若再将抛物线绕原点O旋转得到抛物线，则抛物线的解析式为 ，开口方向 ，顶点坐标为 ． 【答案】 2 向上 【分析】此题考查了二次函数的图像与几何变化，用到的知识点是二次函数的图像和性质、顶点坐标，关键是掌握二次函数的移动规律和几何变换． （1）根据抛物线的移动规律左加右减可直接得出抛物线的解析式，再根据的解析式求出顶点坐标即可； （2）根据平移的性质知，阴影部分的面积等于底高，列式计算即可； （3）先求出二次函数旋转后的开口方向和顶点坐标，从而得出抛物线的解析式． 【详解】解：（1）∵抛物线向右平移1个单位得到的抛物线， ∴抛物线的解析式是，顶点坐标为． 故答案为：，； （2）阴影部分的面积是：． 故答案为：2； （3）∵将抛物线绕原点O旋转后，得到抛物线的顶点坐标为：， ∴抛物线的解析式为，开口方向向上． 故答案为：，向上，． 3．已知关于的二次函数的图象与轴交于两点两点，且图象过点． (1)求这个二次函数的解析式； (2)求出该函数的最值，并说明是最大值还是最小值？ 【答案】(1) (2)最值为4，为最大值 【分析】本题考查二次函数的知识，解题的关键是掌握待定系数法求解二次函数解析式，二次函数的图象和性质，二次函数交点式，顶点式的性质，进行解答，即可． （1）根据二次函数与轴的两个交点的坐标，设出二次函数交点式解析式，然后把点的坐标代入计算，求出的值，即可得到二次函数解析式； （2）把（1）中的解析式配成顶点式得到，然后根据二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象交轴于， ∴设该二次函数的解析式为： ∵二次函数图象过点 ∴将代入，得， 解得， ∴抛物线的解析式为， 即． （2）解：∵， ∴这个函数的图象的开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为， ∴最值为4，为最大值． 4．如图，点C为二次函数的顶点，直线与该二次函数图象交于、B两点（点B在y轴上），与二次函数图象的对称轴交于点D． (1)求m的值及点C坐标； (2)在该二次函数的对称轴上是否存在点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请求出符合条件的Q点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)存在，或或或． 【分析】（1）将点坐标代入解析式可求的值，利用待定系数法可求抛物线解析式； （2）分三种情况讨论，由等腰三角形的性质求解． 本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，等腰三角形的性质，两点距离公式，勾股定理等知识，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键． 【详解】（1）解： 直线过点， ， ， ， ， 二次函数解析式为， 顶点坐标为； （2）解：存在点，使得以，，为顶点的三角形是等腰三角形． 顶点坐标为， 对称轴为直线， 过点作于点， 在中，． ①当时，设， 在中， 解之得 ； ②当时，根据等腰三角形三线合一得：， ， ； ③当时，， ，． 综上所述：点的坐标为或或或． 5．如图，已知抛物线的顶点坐标为，且与轴交于点和点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式和点的坐标； (2)若点是抛物线对称轴上的一个动点，当周长最小时，求点的坐标； (3)如图，若点是抛物线第二象限内一点，连接，过点作交轴于点，连接，是否存在点，使得的面积存在最大值？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)存在， 【分析】（1）已知抛物线的顶点坐标为，因此可设抛物线的解析式为，由于抛物线与轴交于点，因而可利用待定系数法求出该二次函数的解析式，进而可求出该抛物线与轴的交点坐标，即点的坐标； （2）连接，作点关于对称轴的对称点，连接交对称轴于点，则点即为所求，由于已知点和点的坐标，根据轴对称的性质可求得点和点的坐标，设直线的解析式为，将点和点的坐标代入，利用待定系数法即可求出直线的解析式，进而可求出当周长最小时点的坐标； （3）连接、，过点作轴交轴于点，交直线于点，由且平行线之间的距离处处相等可得，然后利用待定系数法可求出直线的解析式，设点的坐标为，则点的坐标为，于是可得，进而可推出，据此即可求出取得最大值时的值以及此时点的坐标． 【详解】（1）解：抛物线的顶点坐标为， 可设抛物线的解析式为， 抛物线与轴交于点， , 解得：， 抛物线的解析式为， 令， 则， 点的坐标为； （2）解：如图，连接，作点关于对称轴的对称点，连接交对称轴于点，则点即为所求， 由（1）可知：， 由轴对称的性质可得：， ， ， 由轴对称的性质可得：， ， 设直线的解析式为， 将，代入，得： ， 解得：， 直线的解析式为， 当时，， 当周长最小时，点的坐标为； （3）解：存在，点的坐标为， 理由如下： 如图，连接、，过点作轴交轴于点，交直线于点， 由（1）可得：抛物线解析式为， 平行线与之间的距离， 平行线与之间的距离， 又，且平行线之间的距离处处相等， ， 设直线的解析式为， 将，代入，得： ， 解得：， 直线的解析式为， 设点的坐标为， 则点的坐标为， ， ， ， 当时，取得最大值，即取得最大值， 此时，点的纵坐标为， 点的坐标为． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质，待定系数法求二次函数解析式，解一元一次方程，求抛物线与轴的交点坐标，轴对称的性质，待定系数法求一次函数解析式，解二元一次方程组，轴对称中的光线反射问题，求一次函数的函数值，三角形的面积公式，利用平行线间距离解决问题，已知两点坐标求两点距离，把化成顶点式，求二次函数的函数值等知识点，熟练掌握上述知识点并能加以综合运用是解题的关键． 能力提升 创新拓展 1．已知二次函数的图象与直线y＝x+m交于x轴上一点A（﹣1，0），二次函数图象的顶点C（1，﹣4），若二次函数的图象与x轴交于另一点B，与直线y＝x+m交于另一点D，求点B与点D之间的距离． 【答案】 【分析】将二次函数的解析式设为顶点式，再把点A的坐标代入可求得二次函数的解析式，令，解方程求出B点的坐标，把A的坐标代入求出直线的解析式，联立二次函数与直线的解析式求出D点坐标，最后根据勾股定理求得点B与点D之间的距离. 【详解】如图，因二次函数的顶点为，故设二次函数的解析式为 把代入上式得： 解得： 则这个二次函数的解析式为：，即； 令，即 解得： 则点B的坐标为 把代入得： 解得： 则直线的解析式为： 将直线与二次函数的解析式联立得方程组： 解得：或 则点D的坐标为 由勾股定理得： 故点B与点D之间的距离为. 【点睛】本题考查了一次函数与二次函数图象的结合，利用待定系数法求出两个函数的解析式是解题关键. 2．已知二次函数y=﹣(x+1)2+2． （1）填空：此函数图象的顶点坐标是　 　； （2）当x　 　时，函数y的值随x的增大而减小； （3）设此函数图象与x轴的交于点A、B，与y轴交于点C，连接AC及BC，试求△ABC的面积． 【答案】（1）（﹣1，2）；（2）x＞﹣1（或x≥﹣1）；（3）3. 【分析】（1）根据二次函数顶点式的形式解答即可；（2）根据二次函数的性质，图像的开口方向及对称轴解答即可；（3）先求出A、B、C三点坐标，再求出AB的距离，即可求出△ABC的面积； 【详解】（1）二次函数y=﹣ +2的顶点坐标是（﹣1，2）． 故答案是：（﹣1，2）； （2）因为二次函数y=﹣+2的开口方向向下，且对称轴是直线x=﹣1， 所以当x＞﹣1（或x≥﹣1）时，函数y的值随x的增大而减小． 故答案是：x＞﹣1（或x≥﹣1）； （3）令x=0时，易求： y=， ∴点C的坐标为（0，）即：OC= 令y=0时，易求：x1=1，x2=﹣3 易求：AB=4． ∴=3． 【点睛】本题考查二次函数的性质，熟练掌握二次函数的开口方向、对称轴、函数的增减性是解题关键. 3．已知抛物线 （1）填空：抛物线的顶点坐标是（ ， ），对称轴是 ； （2）已知y轴上一点A（0，-2），点P在抛物线上，过点P作PB⊥x轴，垂足为B．若△PAB是等边三角形，求点P的坐标； （3）在（2）的条件下，点M在直线AP上．在平面内是否存在点 N，使以点O、点A、点M、点N为顶点的四边形为菱形？若存在，直接写出所有满足条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由．   【答案】(1)、顶点(0，－1)，对称轴：y轴；(2)、P1（） P2（）；(3)、当点P的坐标为（） 时：N1（） N2（－），N3（）；当点P的坐标为（）时，N4()， N5() , N6（） 【详解】试题分析：（1）根据解析式可求得顶点坐标和对称轴；（2）根据等边三角形的性质来进行求解，本题可以首先设出点P的坐标，然后求出PA、PB、AB的长度，然后根据等边三角形的性质进行计算；（3）分两种情况根据菱形的性质求出点N的坐标． 试题解析：（1）顶点（0，－1），对称轴： y轴（或直线 x = 0） （2）P1（） P2（） （3）当点P的坐标为（） 时：N1（） N2（－），N3（）；当点P的坐标为（）时，N4（），N5（） ， N6（）． 考点：二次函数的应用、等边三角形的性质． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年新九年级数学人教版暑假预习讲义（2个知识点6大典例） 第十四讲 二次函数y=a（x-h）2+k的图象和性质 知识点梳理 知识点1二次函数y=a(x-h)²+k的图像 1.二次函数y=a(x-h)²+k的图像特征： （1） a>0,开口向上，a<0,开口向下； （2） 对称轴直线x=h; （3） 顶点坐标:（h,k） 2.要点诠释： 函数y = a(x-h)2 + k 是由 y = ax2 的图象向右( h > 0 ) 或向左( h < 0 )平移 |h| 个单位，再向上 ( k > 0 )或向下 ( k < 0 )平移 |k| 个单位得到的。 ★简记为：上下平移，常数项上加下减；左右平移，自变量左加右减.二次项系数 a 不变. 知识点2二次函数y=a(x-h)²+k的性质 y＝a(x﹣h)2+k a > 0 a < 0 图象 h＞0，k＜0 h＜0，k＞0 开口方向 开口向上 开口向下 对称轴 直线x=h 直线x=h 顶点坐标 (h，k)，抛物线最低点 (h，k)，抛物线最高点 最值 当x=h 时，y最小值=k 当x=h时，y最大值=k 增减性 当x＜h时，y随x增大而减小； 当x＞h 时，y随x增大而增大. 当x＞h时，y随x增大而增大； 当x＜h 时，y随x增大而减小. 要点诠释： 1. 二次函数y=a（x-h）2+k的图象核心性质的要点是由其系数a、h、决定的，a>0开口向上，a<0开口向下,对称轴直线x=h；a>0,x>h时，y随x增大而增大，x<h时，y随x增大而减小；a<0,x>h时，y随x增大而减小，x<0时，y随x增大而增大。 2. 二次函数y=a（x-h）2+k的图象常与直线、三角形、面积等问题结合在一起，借助它的图象性质，运用数形结合、函数、方程思想解决问题。 典例精讲 1 题型1 二次函数y=a（x-h）2+k的图象性质 【例1】．已知函数． (1)写出此函数图象的开口方向、对称轴、顶点坐标； (2)当取何值时，随的增大而增大？ (3)当取何值时，函数取得最值？求出这个最值． 变式训练1 1．二次函数的顶点坐标是（   ） A． B． C． D． 2．对于抛物线，下列判断正确的是（   ） A．抛物线的开口向上 B．抛物线的顶点坐标是 C．对称轴为直线 D．当时， 3．若二次函数的图象如图所示，则点所在的象限是（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 4．已知抛物线的顶点为，、、、是抛物线上的四点，且线段、都垂直于抛物线的对称轴．如果，，那么的值等于 ． 5．通过配方变形，将二次函数化为的形式，并指出顶点坐标及取何值时，随的增大而减小． 典例精讲2 题型2 比较y=a（x-h）2+k函数值的大小 【例2】．已知抛物线 ． (1)若此抛物线的顶点在直线 上，求的值； (2)若点 与点在此抛物线上，且直接写出的取值范围. 变式训练2 1．已知点在抛物线上，且，则 ．（填“”或“”或“”） 2．已知二次函数的图象上有三点，，则的大小关系为 ． 3．已知点，是抛物线上的两点，则，的大小关系为 ． 4．1.已知抛物线经过，两点．若，是抛物线上的两点，且，则的值可以是 ．（写出一个即可） 5．已知二次函数（h为常数），当自变量x的值满足时，与其对应的函数值y的最大值为，则h的值为 ． 典例精讲 题型3 确定函数y=a（x-h）2+k经过的象限 【例3】．已知抛物线，请确定此抛物线的顶点在第几象限． 变式训练 1．若抛物线（m是常数）的图象只经过第一、二、四象限，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．若直线经过一、二、四象限，则抛物线顶点必在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．若直线经过第一、三、四象限，则二次函数的图象顶点必在第 象限． 4．已知二次函数y＝﹣8（x+m）2+n的图象的顶点坐标是(﹣5，﹣4)，那么一次函数y＝mx+n的图象经过第 象限． 5．已知，则的顶点在第 象限． 典例精讲3 题型4 二次函数y=a（x-h）2+k的平移、对称问题 【例4】．已知二次函数y=－x2＋2mx－2m2－3（m为常数）． （1）求证：不论m为何值，该二次函数图像与x轴没有公共点； （2）如果把该函数图像沿y轴向上平移4个单位后，得到的函数图像与x轴只有一个公共点，试求m的值． 变式训练3 1．将二次函数的图象先向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度得到的抛物线的顶点坐标为（   ） A． B． C． D． 2．将二次函数图象水平向左平移2个单位长度后的图象顶点坐标是（   ） A． B． C． D． 3．若点在抛物线（）上，则下列各点在抛物线上的是（   ） A． B． C． D． 4．抛物线过两点，将抛物线L向左或向右平移后得到抛物线M，设抛物线M的顶点为C．若是以为斜边的直角三角形，则点C的坐标为 ． 5．已知函数y=﹣（x+1）2﹣2 （1）指出函数图象的开口方向是　 　，对称轴是　 　，顶点坐标为　 　 （2）当x　 　时，y随x的增大而增大 （3）怎样移动抛物线y=﹣x2就可以得到抛物线y=﹣（x+1）2﹣2 典例精讲5 题型5 求二次函数y=a（x-h）2+k最值问题 【例5】．设二次函数，当时，函数有最小值，则的值为 ． 变式训练5 1．已知抛物线，当时，函数的最大值为（    ） A． B． C． D． 2．已知二次函数，当时，函数取得最大值；当时，函数取得最小值，则的取值范围是（  ） A． B． C． D． 3．已知二次函数的图象与x轴交于点和点，其中a为常数，则该二次函数的最大值为（   ） A．1 B． C． D． 4．已知二次函数，当时，函数y的最小值是（    ） A．1 B． C． D． 5．二次函数，当且时，y的最小值为，最大值为，则的值为（   ） A． B．2 C． D． 典例精讲6 题型6 二次函数y=a（x-h）2+k与几何问题 【例6】．如图，直线与轴、轴分别交于点、．抛物线经过、，并与轴交于另一点，其顶点为， (1)求，的值； (2)抛物线的对称轴上是否存在一点，使的周长最小？若存在，求的周长；若不存在，请说明理由； (3)抛物线的对称轴是上是否存在一点，使是以为斜边的直角三角形？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 变式训练6 1．如图，在中，点 D 为边上一个动点，以为边在的上方作正方形，当取得最小值时，的长为 ．      2．如图，抛物线向右平移1个单位得到的抛物线．回答下列问题： （1）抛物线的解析式是 ，顶点坐标为 ； （2）阴影部分的面积 ； （3）若再将抛物线绕原点O旋转得到抛物线，则抛物线的解析式为 ，开口方向 ，顶点坐标为 ． 3．已知关于的二次函数的图象与轴交于两点两点，且图象过点． (1)求这个二次函数的解析式； (2)求出该函数的最值，并说明是最大值还是最小值？ 4．如图，点C为二次函数的顶点，直线与该二次函数图象交于、B两点（点B在y轴上），与二次函数图象的对称轴交于点D． (1)求m的值及点C坐标； (2)在该二次函数的对称轴上是否存在点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请求出符合条件的Q点的坐标；若不存在，请说明理由． 5．如图，已知抛物线的顶点坐标为，且与轴交于点和点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式和点的坐标； (2)若点是抛物线对称轴上的一个动点，当周长最小时，求点的坐标； (3)如图，若点是抛物线第二象限内一点，连接，过点作交轴于点，连接，是否存在点，使得的面积存在最大值？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 能力提升 创新拓展 1．已知二次函数的图象与直线y＝x+m交于x轴上一点A（﹣1，0），二次函数图象的顶点C（1，﹣4），若二次函数的图象与x轴交于另一点B，与直线y＝x+m交于另一点D，求点B与点D之间的距离． 2．已知二次函数y=﹣(x+1)2+2． （1）填空：此函数图象的顶点坐标是　 　； （2）当x　 　时，函数y的值随x的增大而减小； （3）设此函数图象与x轴的交于点A、B，与y轴交于点C，连接AC及BC，试求△ABC的面积． 3．已知抛物线 （1）填空：抛物线的顶点坐标是（ ， ），对称轴是 ； （2）已知y轴上一点A（0，-2），点P在抛物线上，过点P作PB⊥x轴，垂足为B．若△PAB是等边三角形，求点P的坐标； （3）在（2）的条件下，点M在直线AP上．在平面内是否存在点 N，使以点O、点A、点M、点N为顶点的四边形为菱形？若存在，直接写出所有满足条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由．   学科网（北京）股份有限公司 $$