2026届高三数学一轮总复习专题讲义13：平面向量的概念及运算

2026数学高考一轮总复习专题讲义13： 平面向量的概念及运算 （共6页） 目录 【链接高考】 1 【考向分析】 2 考向一：平面向量的概念与表示 2 考向二：向量的几何表示 2 考向三：相等向量与共线向量 3 考向四：向量的加减运算 3 考向五：向量的数乘运算 3 考向六：向量的数量积 4 【解题速通】 4 【链接高考】 1．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知向量满足，且，则（    ） A． B． C． D．1 2．（2024·北京·高考真题）设 ，是向量，则“”是“或”的（    ）． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（2023·全国甲卷·高考真题）已知向量满足，且，则（    ） A． B． C． D． 4．（2023·全国乙卷·高考真题）已知的半径为1，直线PA与相切于点A，直线PB与交于B，C两点，D为BC的中点，若，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【考向分析】 考向一：平面向量的概念与表示 1．（2024·北京东城·二模）已知平面内点集，A中任意两个不同点之间的距离都不相等. 设集合，. 给出以下四个结论： ①若，则； ②若为奇数，则； ③若为偶数，则； ④若，则. 其中所有正确结论的序号是 . 考向二：向量的几何表示 1．（2023·福建南平·模拟预测）已知正方形ABCD的边长为1，点M满足，则（    ） A． B．1 C． D． 2．（2020·广东茂名·二模）已知向量（3，4），则与反向的单位向量为 3．（2023·北京大兴·三模）设，是非零向量，“”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 考向三：相等向量与共线向量 1．（2025·云南临沧·模拟预测）关于非零向量， ，下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则，不是共线向量 考向四：向量的加减运算 1．已知等边三角形中，是线段的中点，，垂足为是线段的中点，则 A． B． C． D． 2．在△中，为边上的中线，为的中点，则 A． B． C． D． 考向五：向量的数乘运算 1．（2025·湖南·模拟预测）如图，在中，点是线段上靠近点的三等分点，过点的直线分别交直线、于点、.设，，则的值为（   ） A． B． C． D． 考向六：向量的数量积 1．（2024·全国·模拟预测）已知非零且不垂直的平面向量满足，若在方向上的投影与在方向上的投影之和等于，则夹角的余弦值的最小值为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·安徽·一模）已知，若与的夹角为，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 3．（2025·云南昭通·一模）已知向量，是单位向量，且，则为（    ） A． B． C．3 D．5 4．（2023·广东深圳·一模）已知，为单位向量，且，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 5．（2024·河南·一模）平面向量，满足，，，则在方向上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 6．（2024·广东肇庆·模拟预测）已知是单位向量，且它们的夹角是.若，且，则（    ） A．2 B． C．2或 D．3或 【解题速通】 1．（2023·北京海淀·二模）已知是平面内两个非零向量，那么“”是“存在，使得”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 2．如下图，是线段的中点，设向量，，那么能够表示为（    ） A． B． C． D． 3．（2024·陕西西安·一模）已知点是的重心，则（    ） A． B． C． D． 4．（2025·吉林·二模）在中，点D为的中点，点O为的重心，则（    ） A． B． C． D． 5．（2024·陕西安康·模拟预测）已知平面向量与不共线，向量，若，则实数的值为（    ） A．1 B． C．1或 D．或 6．（2025·安徽·模拟预测）已知单位圆上有两点，，设向量，，若，则实数的值为（   ） A． B． C．1 D．2 7．（2024·广东深圳·一模）已知是夹角为的两个单位向量，若向量在向量上的投影向量为，则（    ） A． B．2 C． D． 8．（2024·浙江杭州·二模）已知是两个单位向量，若向量在向量上的投影向量为，则向量与向量的夹角为（    ） A．30° B．60° C．90° D．120° 9．（2024·浙江·模拟预测）（多选）已知向量，的夹角为 ，且，，则（    ） A． B． C． D．在的方向上的投影向量为 10．（2024·广东广州·一模）（多选）已知向量，不共线，向量平分与的夹角，则下列结论一定正确的是（    ） A． B． C．向量，在上的投影向量相等 D． 11．（2023·全国·二模）已知向量，满足，，，的夹角为150°，则与的夹角为 . 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2026数学高考一轮总复习专题讲义13： 平面向量的概念及运算 （共20页） 目录 【链接高考】 1 【考向分析】 5 考向一：平面向量的概念与表示 5 考向二：向量的几何表示 7 考向三：相等向量与共线向量 8 考向四：向量的加减运算 9 考向五：向量的数乘运算 10 考向六：向量的数量积 11 【解题速通】 14 【链接高考】 1．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知向量满足，且，则（    ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】由得，结合，得，由此即可得解. 【详解】因为，所以，即， 又因为， 所以， 2．（2024·北京·高考真题）设 ，是向量，则“”是“或”的（    ）． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据向量数量积分析可知等价于，结合充分、必要条件分析判断. 【详解】因为，可得，即， 可知等价于， 若或，可得，即，可知必要性成立； 若，即，无法得出或， 例如，满足，但且，可知充分性不成立； 综上所述，“”是“或”的必要不充分条件. 故选：B. 3．（2023·全国甲卷·高考真题）已知向量满足，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】作出图形,根据几何意义求解. 【详解】因为,所以, 即,即,所以. 如图,设, 由题知,是等腰直角三角形, AB边上的高, 所以, , . 故选:D. 4．（2023·全国乙卷·高考真题）已知的半径为1，直线PA与相切于点A，直线PB与交于B，C两点，D为BC的中点，若，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意作出示意图，然后分类讨论，利用平面向量的数量积定义可得，或然后结合三角函数的性质即可确定的最大值. 【详解】如图所示，，则由题意可知:， 由勾股定理可得    当点位于直线异侧时或PB为直径时，设， 则： ，则 当时，有最大值.    当点位于直线同侧时，设， 则： ， ，则 当时，有最大值. 综上可得，的最大值为. 故选：A. 【点睛】本题的核心在于能够正确作出示意图，然后将数量积的问题转化为三角函数求最值的问题，考查了学生对于知识的综合掌握程度和灵活处理问题的能力. 【考向分析】 考向一：平面向量的概念与表示 1．（2024·北京东城·二模）已知平面内点集，A中任意两个不同点之间的距离都不相等. 设集合，. 给出以下四个结论： ①若，则； ②若为奇数，则； ③若为偶数，则； ④若，则. 其中所有正确结论的序号是 . 【答案】①②④ 【分析】根据新定义先得到①②正确，③错误，然后在和的情况下推导出矛盾，从而得到，即④正确. 【详解】由于A中任意两个不同点之间的距离都不相等，故所有个向量两两不相等. 这表明对任意的，当且仅当，有. 将其转换为更通俗的语言就是：对于点，当且仅当是集合里除了以外的点中到的距离最短的点. 因为A中任意两个不同点之间的距离都不相等，设是最小的距离，则， 若或为第二小的距离，则余下的个点至多只能对应个元素， 则至多个元素，； 当是第二小的距离时，则， 若n为奇数时，与上面推导相同，至少会存在一个点不属于M,所以； 所以①②正确，③错误； 对于④，假设，. 由于， 故两两不同，且对每个，点都是中除外到距离最短的点. 特别地，都是到各自的距离最短（不包括其本身）的点. 不妨设，并记为点， 则是到各自的距离最短（不包括其本身）的点. 对两个不同点，记直线的倾斜角为. 假设存在使得，不妨设， 则，这与是到的距离最短（不包括本身）的点矛盾. 所以两两不相等，不妨设. 由于，，故，， 所以. 故，同理. 而对，有或， 故. 所以，这意味着，矛盾. 这表明假设不成立，所以，④正确. 故答案为：①②④ 【点睛】关键点点睛：本题的关键点在于对集合新定义的理解，以及三角形中边长的大小关系与角度的大小关系之间的对应，即所谓的“大边对大角”. 考向二：向量的几何表示 1．（2023·福建南平·模拟预测）已知正方形ABCD的边长为1，点M满足，则（    ） A． B．1 C． D． 【答案】C 【分析】根据几何关系求解. 【详解】 如图，，所以M是AC的中点，； 故选：C. 2．（2020·广东茂名·二模）已知向量（3，4），则与反向的单位向量为 【答案】 【分析】根据向量共线的定义进行求解即可. 【详解】解：设与反向的单位向量为， 则， 即， 则， 则， 即； 故答案为：. 【点睛】本题主要考查向量坐标的计算，根据向量共线的条件，利用共线定理建立方程关系是解决本题的关键. 3．（2023·北京大兴·三模）设，是非零向量，“”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据向量相等、单位向量判断条件间的推出关系，结合充分、必要性定义即知答案. 【详解】由表示单位向量相等，则同向，但不能确定它们模是否相等，即不能推出， 由表示同向且模相等，则， 所以“”是“”的必要而不充分条件. 故选：B 考向三：相等向量与共线向量 1．（2025·云南临沧·模拟预测）关于非零向量， ，下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则，不是共线向量 【答案】C 【分析】由向量的模长，共线，相等的性质逐项判断即可. 【详解】对于A，向量不能比较大小，故A错； 对于B，向量的模相等，但是向量的方向可能不同，故B错； 对于C，若，由向量相等的条件可得，故C正确； 对于D，不相等的向量也可能是共线向量，故D错. 故选：C． 考向四：向量的加减运算 1．已知等边三角形中，是线段的中点，，垂足为是线段的中点，则 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先由中线向量定理得到=，=，再将，，都用基底表示，利用向量相等，求得关系. 【详解】∵是线段的中点，∴==； ∵是线段的中点，∴=； 又=； 令， 则-=（， ∴，，解得，，∴， 故选C. 【点睛】本题考查了平面向量基本定理的应用，考查了中线向量定理、向量相等的概念及应用，属于中档题. 2．在△中，为边上的中线，为的中点，则 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分析：首先将图画出来，接着应用三角形中线向量的特征，求得，之后应用向量的加法运算法则-------三角形法则，得到，之后将其合并，得到，下一步应用相反向量，求得，从而求得结果. 【详解】根据向量的运算法则，可得 ， 所以，故选A. 【点睛】该题考查的是有关平面向量基本定理的有关问题，涉及到的知识点有三角形的中线向量、向量加法的三角形法则、共线向量的表示以及相反向量的问题，在解题的过程中，需要认真对待每一步运算. 考向五：向量的数乘运算 1．（2025·湖南·模拟预测）如图，在中，点是线段上靠近点的三等分点，过点的直线分别交直线、于点、.设，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据，结合平面向量的减法可得出，结合，，可得出，利用、、三点共线，可求出的值. 【详解】连接，因为点是线段上靠近点的三等分点，则， 即，所以，， 又因为，，则， 因为、、三点共线，设，则， 所以，，且、不共线， 所以，，，故，因此，. 故选：C. 考向六：向量的数量积 1．（2024·全国·模拟预测）已知非零且不垂直的平面向量满足，若在方向上的投影与在方向上的投影之和等于，则夹角的余弦值的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用基本不等式得到，再利用投影的定义，结合数量积的运算法则得到夹角的余弦值关于的表达式，从而得解. 【详解】因为，所以， 当且仅当时，取等号， 设的夹角为，由题意得， 因为向量非零且不垂直，所以且， 所以， 所以夹角的余弦值的最小值为. 故选：A. 2．（2024·安徽·一模）已知，若与的夹角为，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】应用向量的数量积及运算律，结合投影向量公式计算即可得解. 【详解】因为，与的夹角为， 所以， 则， 所以在上的投影向量为． 故选：B. 3．（2025·云南昭通·一模）已知向量，是单位向量，且，则为（    ） A． B． C．3 D．5 【答案】B 【分析】由，两边平方可得，再将平方即可得答案. 【详解】因为向量，是单位向量，所以 由则， 所以， 故选：B. 4．（2023·广东深圳·一模）已知，为单位向量，且，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设与夹角为，利用求出，在利用夹角公式计算即可. 【详解】因为，为单位向量， 由， 所以， 即， 设与夹角为， 则， 又，所以， 故选：C. 5．（2024·河南·一模）平面向量，满足，，，则在方向上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题设条件，利用向量的模长公式求得，再利用在方向上的投影向量的公式即可求得. 【详解】由可得， 而在方向上的投影向量为. 故选：C. 6．（2024·广东肇庆·模拟预测）已知是单位向量，且它们的夹角是.若，且，则（    ） A．2 B． C．2或 D．3或 【答案】D 【分析】根据条件将两边平方，然后利用数量积的运算律计算即可. 【详解】，即， 解得或. 故选：D. 【解题速通】 1．（2023·北京海淀·二模）已知是平面内两个非零向量，那么“”是“存在，使得”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据向量的模长关系以及共线，即可结合必要不充分条件进行判断. 【详解】若，则存在唯一的实数，使得， 故， 而， 存在使得成立， 所以“”是“存在，使得’的充分条件， 若且，则与方向相同， 故此时，所以“”是“存在存在，使得”的必要条件， 故“”是“存在，使得”的充分必要条件. 故选：C. 2．如下图，是线段的中点，设向量，，那么能够表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由向量的线性运算，可得解 【详解】由题意，． 故选：B 3．（2024·陕西西安·一模）已知点是的重心，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用三角形重心的性质，结合平面向量的线性运算，即可求得答案. 【详解】设的中点为D，连接，点是的重心，则P在上， 且 ， 由此可知A，B，C错误，D正确， 故选：D 4．（2025·吉林·二模）在中，点D为的中点，点O为的重心，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】向量加法的法则、向量的线性运算的几何应用、三角形的心的向量表示 【分析】结合重心性质与向量运算化简可得. 【详解】 如图，连接，因为点O为的重心， 则为的三等分点，且， 所以， 故选：A. 5．（2024·陕西安康·模拟预测）已知平面向量与不共线，向量，若，则实数的值为（    ） A．1 B． C．1或 D．或 【答案】C 【分析】根据平面共线定理，由向量平行，求得满足满足的方程，求解即可. 【详解】由，且均不为零向量，则， 可得，则， 整理得，解得或． 故选：C． 从而. 故选：B. 6．（2025·安徽·模拟预测）已知单位圆上有两点，，设向量，，若，则实数的值为（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【分析】由题意，，由得，进而可得. 【详解】由题可得，，， 因为，，且， 所以， ，解得. 故选：B 7．（2024·广东深圳·一模）已知是夹角为的两个单位向量，若向量在向量上的投影向量为，则（    ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【分析】由投影向量计算公式可得答案. 【详解】在向量上的投影向量为. . 故选：A 8．（2024·浙江杭州·二模）已知是两个单位向量，若向量在向量上的投影向量为，则向量与向量的夹角为（    ） A．30° B．60° C．90° D．120° 【答案】B 【分析】由条件结合投影向量的定义可求，再根据向量夹角余弦公式求结论. 【详解】因为向量在向量上的投影向量为，是两个单位向量， 所以， 所以，又， 所以， 所以， 又， 所以，又， 所以向量与向量的夹角为，即. 故选：B. 9．（2024·浙江·模拟预测）（多选）已知向量，的夹角为 ，且，，则（    ） A． B． C． D．在的方向上的投影向量为 【答案】AB 【分析】根据向量的数量积、向量的模、向量的垂直和投影向量的运算性质，对各个选项逐一判定即可． 【详解】，，故A正确； ，所以，故B正确； ，所以， 又因为，所以，故C错误； 在上的投影向量为，故D错误； 故选：AB． 10．（2024·广东广州·一模）（多选）已知向量，不共线，向量平分与的夹角，则下列结论一定正确的是（    ） A． B． C．向量，在上的投影向量相等 D． 【答案】BC 【分析】根据给定条件，结合向量加法的几何意义可得，再借助数量积的运算律逐项分析判断即得. 【详解】作向量，在中，，， 由向量平分与的夹角，得是菱形，即， 对于A，与不一定垂直，A错误； 对于B，，即，B正确； 对于C，在上的投影向量， 在上的投影向量，C正确； 对于D，由选项A知，不一定为0，则与不一定相等，D错误. 故选：BC 11．（2023·全国·二模）已知向量，满足，，，的夹角为150°，则与的夹角为 . 【答案】 【分析】根据向量数量积的定义，求得的值，利用平面向量的几何意义和数量积的运算律求得、，结合夹角公式计算即可求解. 【详解】因为，与的夹角为， 所以， 所以， 得，又， 所以， 又因为，所以. 故答案为：. 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$