精品解析：广东省卓越教育发展联盟学校2024-2025学年高二下学期第一次联考数学试题

卓越教育发展联盟学校2024~2023学年度第二学期高二年级数学科 第一次联考 （全卷共四页，考试时间：120分钟） 命题人：东莞松山湖未来学校 审题人：佛山南海中学 注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.非选择题将答案写在答题卡上相应位置，写在本试卷上无效. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的. 1. 下列导数运算正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 记为数列的前项和．若，则的值为（ ） A. 5 B. 9 C. 10 D. 25 3. 已知等差数列的首项和公差均不为0，且满足，，成等比数列，则的值为（ ） A B. C. D. 4. “赛龙舟”是端午节重要的民俗活动之一，参加比赛的划手分为划左桨和划右桨.某训练小组有名划手、其中有名只会划左桨，名只会划右桨.现从这名划手中选派名参加比赛，其中名划左桨，名划右桨，则不同的选派方法共有（ ） A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 5. 若函数的导函数为偶函数，且其导函数的图象如图所示，则下列叙述不正确的是（ ） A. 在与处的瞬时增长率相同 B. 可能为奇函数 C. 在上不单调 D. 6. 袋子中有除颜色外完全相同的6个小球，其中红球3个，黄球2个，蓝球1个.现从中随机取球，规定：取出一个红球得1分，取出一个黄球得2分，取出一个蓝球得3分.若从该袋中一次性任取3个球，所得分数之和等于5的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 设，，，则（ ） A. B. C. D. 8. 在探究的展开式的二项式系数性质时，我们把系数列成一张表，借助它发现了一些规律.在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中，出现了这个表，我们称这个表为杨辉三角.杨辉三角是中国古代数学中十分精彩的篇章.杨辉三角如图所示： 如图，杨辉三角第行的个数依次为，，，，，.现将杨辉三角中第行的第个数乘以，第行的一个数为，得到一个新的三角数阵如图：在这个新的三角数阵中，第行的所有数的和为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知等差数列前项和为，且满足，，下列选项正确的是（ ） A. 数列的公差为 B. 取最小值时， C. D. ，，构成等差数列，且公差为 10. 已知函数在处取到极大值1，则以下结论正确的是（ ） A. B. C. D. 极小值点为 11. 设A，B是一个随机试验中的两个事件，且，，，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在的展开式中的系数为2560，则_____． 13. 在数字通信中心信号是由数字0和1组成的序列.由于随机因素的干扰，发送的信号0或1有可能被错误地接收为1或0.已知发送信号0时，接收为0和1的概率分别为0.98和0.02；发送信号1时，接收为1和0的概率分别为0.9和0.1.假设发送信号0和1是等可能的.则接收的信号为1的概率为_____. 14. 若曲线与曲线有三条公切线，则的取值范围是_____. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤. 15 已知函数． （1）若，求在点处的切线方程； （2）讨论的单调性． 16. 如图，在三棱锥中，底面，，若，E为的中点，M，N分别是AE，AB的中点. （1）证明：平面； （2）证明：平面； （3）若，在线段上，且，求二面角的平面角的余弦值. 17. 已知等比数列中，，． （1）求等比数列的通项公式； （2）令． ①求数列前项和； ②令，求最小值． 18. 已知数列满足：，且． （1）求证：数列为等差数列； （2）求数列的通项公式； （3）求下表中前n行所有数的和. …………………………… 19. 已知函数，当时，恒成立 （1）求实数的取值范围； （2）函数，当实数取最大值时，是否存在整数，使得关于的不等式恒成立，若存在，请求出的最大值，若不存在，请说明理由； （3）已知证明： 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 卓越教育发展联盟学校2024~2023学年度第二学期高二年级数学科 第一次联考 （全卷共四页，考试时间：120分钟） 命题人：东莞松山湖未来学校 审题人：佛山南海中学 注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.非选择题将答案写在答题卡上相应位置，写在本试卷上无效. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的. 1. 下列导数运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据求导法则及求导公式判断ABC，再由复合函数的求导判断D. 【详解】因为，，， ， 所以ACD错误，B正确. 故选：B 2. 记为数列的前项和．若，则的值为（ ） A. 5 B. 9 C. 10 D. 25 【答案】A 【解析】 【分析】根据已知得出，再根据即可求解． 【详解】由，则， 故选：A． 3. 已知等差数列的首项和公差均不为0，且满足，，成等比数列，则的值为（ ） A B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据，，成等比数列求解出首项和公差的关系式，然后根据等差数列的通项公式化简，由此即可求解出结果. 【详解】设等差数列的公差为，因为，，成等比数列， 所以， 化简可得 ，所以， 所以， 故选：D. 4. “赛龙舟”是端午节重要民俗活动之一，参加比赛的划手分为划左桨和划右桨.某训练小组有名划手、其中有名只会划左桨，名只会划右桨.现从这名划手中选派名参加比赛，其中名划左桨，名划右桨，则不同的选派方法共有（ ） A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 【答案】C 【解析】 【分析】根据组合数的概念及分步乘法计数公式直接计算. 【详解】从这名划手中选派名参加比赛，其中名划左桨，名划右桨， 则共有种选派方法， 故选：C. 5. 若函数的导函数为偶函数，且其导函数的图象如图所示，则下列叙述不正确的是（ ） A. 在与处的瞬时增长率相同 B. 可能为奇函数 C. 在上不单调 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定的导函数图象及性质判断A；举例说明判断B；根据导数的正负得出函数单调性，判断C；借助导数在上的单调性质确定在上的凹凸性判断D． 【详解】对于A，由函数的导函数为偶函数，得， 因此在与处的瞬时增长率相同，A正确； 对于B，函数的导函数符合给定图象，函数是奇函数，B正确； 对于C，当时，，因此在上单调递减，C错误； 对于D，当时，且函数在上单调递增，则函数在上为凹函数， 如图，在凹函数定义域内，观察图象得， 因此，即，D正确， 故选：C． 6. 袋子中有除颜色外完全相同的6个小球，其中红球3个，黄球2个，蓝球1个.现从中随机取球，规定：取出一个红球得1分，取出一个黄球得2分，取出一个蓝球得3分.若从该袋中一次性任取3个球，所得分数之和等于5的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】若从该袋中一次性任取3个球，所得分数之和等于5包括两种情况：一个红球，两个黄球和两个红球，一个蓝球，根据古典概型概率计算公式求解. 【详解】袋子中红、黄、蓝球的个数分别是3，2，1，共6个球， 从中任取3个，得分之和为5，包括如下两种情况： ①一个红球，两个黄球，所求概率为；②两个红球，一个蓝球，所求概率为， 故从该袋中一次性任取3个球，所得分数之和等于5的概率为. 故选：A. 7. 设，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由三角函数性质判断，由指数性质判断，构造函数，利用导数求出函数单调性，利用单调性判断. 【详解】为锐角时，， 所以，， 令，则，令，则， 当时，，单调递减，当时，，单调递增， 所以，所以在上单调递增， 所以，即，所以. 综上，. 故选：A 8. 在探究的展开式的二项式系数性质时，我们把系数列成一张表，借助它发现了一些规律.在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中，出现了这个表，我们称这个表为杨辉三角.杨辉三角是中国古代数学中十分精彩的篇章.杨辉三角如图所示： 如图，杨辉三角第行的个数依次为，，，，，.现将杨辉三角中第行的第个数乘以，第行的一个数为，得到一个新的三角数阵如图：在这个新的三角数阵中，第行的所有数的和为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据杨辉三角的定义及二项式定理并进行求导可得解. 【详解】由题可得杨辉三角中第行的第个数为， 则新的三角数阵中第行的第个数为， 第行的和为：， 设，， 两边求导得，， 令得，， 所以新的三角数阵中第行的和为， 第行的所有数的和为. 故选：C. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知等差数列的前项和为，且满足，，下列选项正确的是（ ） A. 数列的公差为 B. 取最小值时， C. D. ，，构成等差数列，且公差为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据等差数列性质直接判断各选项. 【详解】A选项，设等差数列的公差为，则由题意知，解得，A选项正确； B选项：，， 则当时，取得最小值为，B选项正确； C选项：，，C选项错误； D选项：，， 即， 同理，D选项正确； 故选：ABD. 10. 已知函数在处取到极大值1，则以下结论正确是（ ） A. B. C. D. 的极小值点为 【答案】ABD 【解析】 【分析】求出函数的导数，利用所给极值点及极值求得，再由极值的定义验证并判断. 【详解】函数，求导得， 由，得，解得， ， 当时，有，有，是的极小值点，不符合题意； 当时，由，得或；由，得， 因此是的极小值点，是的极大值点，符合题意，ABD正确，C错误. 故选：ABD 11. 设A，B是一个随机试验中的两个事件，且，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用和可判断A选项；利用全概率公式可得，，即可判断BCD选项 【详解】， 又， ，故A正确； ，所以B错误； 则，所以C正确； 又， 则，故D正确； 故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在的展开式中的系数为2560，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】由二项式展开式中的系数为2560，列出方程即可求解． 【详解】的展开式通项为， 令，故， 故答案为：． 13. 在数字通信中心信号是由数字0和1组成的序列.由于随机因素的干扰，发送的信号0或1有可能被错误地接收为1或0.已知发送信号0时，接收为0和1的概率分别为0.98和0.02；发送信号1时，接收为1和0的概率分别为0.9和0.1.假设发送信号0和1是等可能的.则接收的信号为1的概率为_____. 【答案】0.46 【解析】 【分析】由条件概率和贝叶斯公式计算． 【详解】设A表示“发送的信号为0”，B表示“接收的信号为0”，则表示“发送的信号为1”，表示“接收的信号为1”. 则 . 故答案为： 14. 若曲线与曲线有三条公切线，则的取值范围是_____. 【答案】 【解析】 【分析】设公切线为，、分别是与、的切点，应用导数的几何意义求切线方程，根据公切线列方程求得，问题化为直线与曲线有三个不同的交点，再应用导数研究交点求参数范围. 【详解】设公切线为， 是与的切点，由，得， 是与的切点，由，得， 所以的方程为，因为，整理得， 同理，因为，整理得. 依题意两条直线重合，可得， 两式相除得，所以，代入①得， 由题意此方程有三个不等实根，设，， 即直线与曲线有三个不同的交点， 因为，令，则或， 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减， 所以有极小值为，有极大值为， 当趋近于0时，趋近于0；当趋近于时，趋近于， 所以当，即时，直线与曲线有三个交点， 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤. 15. 已知函数． （1）若，求在点处的切线方程； （2）讨论的单调性． 【答案】（1） （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义即可求解； （2）求导得，分两种情况讨论导函数的符号，可得出原函数的单调性． 【小问1详解】 若，则，则，，， 所以在点处的切线方程为． 【小问2详解】 ， ①当，令，解得，令，解得， 在单调递增，在单调递减； ②当，令，解得，， 当时，令，解得或，令，解得， 在，单调递增，在单调递减； 当时，，在上单调递增， 当时，令，解得或，令，解得， 在，单调递增，在单调递减， 综上，当时，在单调递增，在单调递减； 当时，在，单调递增，在单调递减； 当时，在上单调递增； 当时，在，单调递增.在单调递减． 16. 如图，在三棱锥中，底面，，若，E为的中点，M，N分别是AE，AB的中点. （1）证明：平面； （2）证明：平面； （3）若，在线段上，且，求二面角的平面角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）先根据线面垂直得出，再应用线面垂直的判定定理得出平面； （2）先得出，再应用线面平行的判定定理证明； （3）根据线面垂直结合二面角定理得出是面角的平面角，再结合边长计算求解. 【小问1详解】 因为底面，底面，所以， 又，，平面，平面， 所以平面 【小问2详解】 连接，如图， 因为M，N分别是AE，EB的中点，所以， 又平面，平面， 所以平面PBC 【小问3详解】 由（1）知，平面，平面，所以， 因为，E为的中点，所以， 又，平面，所以平面， 因为平面，所以. 所以是二面角的平面角. 设角 设，中，，，，， 所以二面角的平面角的余弦值为. 17. 已知等比数列中，，． （1）求等比数列的通项公式； （2）令． ①求数列的前项和； ②令，求最小值． 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】（1）设公比为，由已知结合等比数列的定义即可求解； （2）①由错位相减法即可求解；②首先得出，用作差法得出的单调性，即可求解最小值． 【小问1详解】 设公比为，则， 所以． 小问2详解】 ①，， 则， ， ， 所以． ②， ， 当时，，即为减数列， 当时，，即为增数列， 所以． 18. 已知数列满足：，且． （1）求证：数列为等差数列； （2）求数列的通项公式； （3）求下表中前n行所有数的和. …………………………… 【答案】（1）证明见详解；（2）；（3） . 【解析】 【分析】（1）由已知可得，可得证明； （2）由（1）得，可，可得答案； （3）由，可得第n行所有数的和，可得前n行所有数的和. 【详解】解：（1）由已知，可得 ， 可得数列为等差数列； （2）由（Ⅰ）得， ， ， （3） 可得第n行所有数的和=， 可得前n行所有数的和 . 【点睛】本题主要考查数列的求和，等差数列关系的确定及数列的函数特征等，综合性大，需综合运用所学知识求解. 19. 已知函数，当时，恒成立 （1）求实数的取值范围； （2）函数，当实数取最大值时，是否存在整数，使得关于的不等式恒成立，若存在，请求出的最大值，若不存在，请说明理由； （3）已知证明： 【答案】（1）； （2）存在，最大值为； （3）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）由题设在上恒成立，应用导数研究左侧区间单调性，判断函数值符号求参数范围； （2）由题设及（1）得，利用导数研究函数的性质得到且，根据不等式恒成立确定的最大值，即可得； （3）由（1）知在上恒成立，令且代入不等式，两侧累加并整理即可证. 【小问1详解】 由题设在上恒成立， 令且，则， 令，且， 当，即时，，即， 此时在上单调递增，则，满足题设； 当，即时，，对称轴， 所以使，在时，即， 所以在上单调递减，此时，不满足题设； 综上，； 【小问2详解】 由题设， 由（2）最大，则，故， 令，则，故在上单调递增， 由，即使， 所以上，，上，， 即在上单调递减，在上单调递增，则， 而，即，故， 而在上单调递增，则，故， 所以，又恒成立，即，即整数的最大值为； 【小问3详解】 由（1）知在上恒成立，即， 令且，则， 所以， 则，故， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$