“综合与实践”压轴题专题训练2024-2025学年人教版数学八年级下册

2024-2025学年“综合与实践”压轴题专题训练 人教版数学八年级（下） 1.综合与实践 【背景介绍】 勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力，勾股定理是用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，它不但因证明方法层出不穷吸引着人们，更因为应用广泛而使人着迷． 【证明方法】 如图是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即，从而得到等式，化简便得结论：，这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”． 【方法应用】 请利用“双求法”解决下面的问题： 如图，小正方形边长为，连接小正方形的三个顶点，可得，则边上的高为______． 【方法迁移】 如图，在中，，，，是边上的高，求的值． 【定理应用】 如图，在长方形中，，，在数轴上，若以点为圆心，对角线的长为半径作弧交数轴的正半轴于点，则点表示的数为______． 【数学思想】 在解决以上问题的过程中，让我们感悟的数学思想是______填序号． 数形结合思想分类讨论思想函数思想 2.综合与实践： 实践操作： 第一步：如图，对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平； 第二步：如图，再一次折叠纸片，使点落在的点上，并使折痕经过点，得到折痕，同时，得到线段，，把纸片展平，连接． 第三步：如图，延长交边于点，以为折痕折叠矩形纸片，已知点恰好落在边上的点处，同时，得到线段，，把纸片展平． 问题解决： 在图中，则四边形的形状是______； 请根据图，证明是等边三角形； 请根据图，证明四边形是菱形． 3.综合与实践 【问题情境】综合与实践课上，王老师提出了一个有关正方形中“十字型”的问题： 如图，在正方形中，边长为，，分别是边，上的点，． 【独立思考】 试判断与的数量关系，并说明理由． 【问题解决】 阳光小组在王老师的问题上继续思考如图，记与的交点为，若阴影部分的面积之和为，求的面积． 【实践探究】 缤纷小组进一步探究，如图，连接并延长，交的延长线于点已知，，请直接写出的长． 4.建立模型： 如图，已知，，，顶点在直线上． 操作： 过点作于点，过点作于点求证：≌． 模型应用： 如图，在直角坐标系中，直线：与轴交于点，与轴交于点，将直线绕着点顺时针旋转得到求的函数表达式． 如图，在直角坐标系中，点，作轴于点，作轴于点，是线段上的一个动点，点位于第一象限内．问点、、能否构成以点为直角顶点的等腰直角三角形，若能，请求出此时的值，若不能，请说明理由． 5.实践与探究 【问题情境】 数学课活动课上，老师提出了一个问题：图是华东师大版八年级下册教材中我们研究过的图形，正方形的对角线相交于点，点又是另一个正方形的一个顶点，如果两个正方形的边长相等，那么正方形绕点无论怎样旋转，两个正方形重叠部分的面积总等于一个正方形面积的四分之一理由如下： 证明：如图，分别作，于点、， ， 又， ， 又， 且， ≌， ， 【初步感知】 请你补全以上证明过程； 我们知道正方形是中心对称图形，受图启发，成功小组画出了图，直线、经过正方形的对称中心，直线分别与、交于点、，直线分别与、交于点、，且，若正方形的面积是，则四边形的面积为______； 【深入探究】 受图的启发，探究组做了图，若，，，求四边形的面积； 【拓展应用】 如图，请写出线段、与之间的数量关系，并说明理由． 6.综合与实践 已知，平行四边形中，一动点在边上，以每秒的速度从点向点运动． 如图，运动过程中，若平分，且满足，求的度数； 如图，在问的条件下，连接并延长，与的延长线交于点，连接，若，请直接写出的面积为______； 如图，另一动点在边上，以每秒的速度从点出发，在间往返运动，两个点同时出发，当点到达点时停止运动同时点也停止，若，则为何值时，以，，，四点组成的四边形是平行四边形请直接写出答案 7.综合与实践 同学们还记得教科书中的这个问题吗？如图，四边形是正方形，点是边的中点，，且交正方形外角的平分线于点求证：书中的提示是：取的中点，连接，这样易证≌后得到在此基础上，请同学们探究以下问题： 如图，点是边上除点、外的任意一点，其它条件不变，的结论还成立吗？如果成立，写出证明过程；如果不成立，请说明理由； 如图，点是的延长线上除点外的任意一点，其他条件不变，的结论仍然成立吗？如果成立，写出证明过程；如果不成立，请说明理由． 8.综合与实践 经典与拓展 图是汉代数学家赵爽在注解周髀算经时给出的图形，后人称之为赵爽弦图赵爽弦图在世界数学史上具有独特的贡献和地位，尤其是其中体现出的数形结合思想具有非常重要的意义弦图之美，美在简约赵爽弦图被誉为“中国数学界的图腾”年北京国际数学家大会依据赵爽弦图制作了会标，该图是由个全等的直角三角形围成个大正方形和个小正方形构成的． 【经典解读】 如图，若直角三角形的直角边，斜边，则小正方形的面积为______；连接，则的面积为______． 【经典迁移】 如图，是正方形内的一点，连接，，当；时，求的面积． 【经典拓展】 如图，，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交射线，于点，为线段上一个动点，连接，过点作于点在上取一点，使，过点作，交于点试判断，，三条线段之间的数量关系，并说明理由． 9. 综合与探究 【问题情境】如图，已知是等边三角形，，是边的中点，以为边，在外部作等边三角形． 【操作探究】将从图的位置开始，沿射线方向平移，点，，的对应点分别为点，，． 如图，善思小组的同学画出了时的情形，求此时平移的距离； 如图，是的中点，在线段上不与点重合，连接交于点，敏学小组的同学发现始终成立，请你证明这一结论； 【拓展延伸】 在平移的过程中，当以，，为顶点的三角形成为直角三角形时，直接写出平移的距离． 10.综合与实践 问题解决： 如图，在中，是边上的中线，是的中点，过点作，交的延长线于点，连接求证：四边形是平行四边形． 类比迁移： 如图，在的条件下，当时，试判断四边形的形状，并说明理由． 拓展应用： 当满足什么条件时，四边形是正方形？请直接写出结论，不必证明． 11.综合与实践 问题情境： 如图、在正方形中，点是对角线上一点，将直角三角形的直角顶点放在点处，使直角边经过点，另一条直角边与交于点． 问题解决： 如图，求证：； 如图，连接，交于点，当时，连接求证四边形是菱形； 如图，当与的延长线交于点时，若正方形边长，，请直接写出的长． 12.综合与实践 初步感知： 在数学活动课上老师出示了如下的问题：如图，已知正方形和等腰直角，且点在正方形边上，点在边的延长线上，连结、，延长交于点，求证：． 请你解决老师提出的问题； 深入探究： 勤学小组的同学将等腰直角绕着点旋转到图的位置，此时，连接，若，猜想线段与的数量关系并加以证明； 拓展应用： 在等腰直角绕着点旋转过程中，当、、三点共线时，如图，若，，请直接写出的长度． 13.综合与实践 问题情境：综合与实践课上，老师让同学们以平行四边形纸片的折叠为主题开展数学活动已知平行四边形纸片，如图，将平行四边形纸片沿过点的直线折叠，使点的对应点落在边上，展开后，折痕交于点，在此基础上，继续沿过点的直线折叠，使点的对应点落在上，展开后折痕交于点，延长交于点． 初步探究：求证：四边形是平行四边形． 深入探究：如图，当平行四边形纸片是矩形，且，时，直接写出此时的长． 14.综合与实践 阅读与思考 请阅读下列材料，并完成相应的任务． 小明在学习了平行四边形的相关知识后，查阅相关资料，发现平行四边形还有如下的性质：平行四边形的四条边的边长的平方和等于对角线长的平方和，即：如图，在▱中，． 小明在老师的提示下，对该性质进行了证明． 证明：如图，过点，作的垂线，分别与交于点，与的延长线交于点． 四边形是平行四边形， 依据，，． 设，，，则． ． 在中，，即． 在中，． 任务： 证明过程中的“依据”是指：______． 请你补全小明的证明过程． 如图，在▱中，，，，则▱的周长为______． 15.综合与实践 数学课上，小组同学对含角的菱形进行了探究． 【背景】在菱形中，，作，、分别交边、于点、． 【感知】 如图，若点是边的中点，小智经过探索发现了线段与之间的数量关系，请你直接写出这个关系为______． 【探究】 如图，说“点为上任意一点时，中的结论是否仍然成立”，你同意吗？请说明理由． 如图，若点为射线上任意一点时，作，交边所在射线于则中结论是否仍然成立？回答并说明理由． 【应用】 取出如图所示的菱形纸片，测得，，在边上取一点，连接，在菱形内部作，交于点，当时，请直接写出线段的长． 16.综合与实践 问题情境： 在矩形纸片中，点是边上一动点，连接，将沿折叠得到，并展开铺平． 操作探究： 如图，若点落在边上，则四边形的形状是______． 若点落在矩形内部． 如图，过点作，垂足为，交于点连接请判断四边形的形状，并说明理由． 如图，，为边的三等分点，且点在点的左侧连接并延长，交边于点试判断线段与的数量关系，并说明理由． 如图，，，若以点，，为顶点的三角形是等腰三角形，请直接写出的长． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$第 1页，共 16页 2024-2025 学年“综合与实践”压轴题专题训练 人教版数学八年级（下） 1.综合与实践 【背景介绍】 勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力，勾股定理是用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，它 不但因证明方法层出不穷吸引着人们，更因为应用广泛而使人着迷． 【证明方法】 如图 1 是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是大正方形的面 积有两种求法，一种是等于�2，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即12�� × 4 + (� − �)2，从而得到等式�2 = 12 �� × 4 + (� − �) 2，化简便得结论：�2 + �2 = �2，这里用两种求法来表示同一个 量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”． 【方法应用】 请利用“双求法”解决下面的问题： (1)如图 2，小正方形边长为 1，连接小正方形的三个顶点，可得△ ���，则��边上的高为______． 【方法迁移】 (2)如图 3，在△ ���中，�� = 14，�� = 16，�� = 6，��是��边上的高，求��的值． 【定理应用】 (3)如图 4，在长方形����中，�� = 3，�� = 2，��在数轴上，若以点�为圆心，对角线��的长为半径作 弧交数轴的正半轴于点�，则点�表示的数为______． 【数学思想】 (4)在解决以上问题的过程中，让我们感悟的数学思想是______(填序号)． ①数形结合思想②分类讨论思想③函数思想 第 2页，共 16页 2.综合与实践： 实践操作： 第一步：如图 1，对折矩形纸片����，使��与��重合，得到折痕��，把纸片展平； 第二步：如图 2，再一次折叠纸片，使点�落在��的点�上，并使折痕经过点�，得到折痕��，同时，得到 线段��，��，把纸片展平，连接��． 第三步：如图 3，延长��交��边于点�，以��为折痕折叠矩形纸片����，已知点�恰好落在��边上的点� 处，同时，得到线段��，��，把纸片展平． 问题解决： (1)在图 1 中，则四边形����的形状是______； (2)请根据图 2，证明△ ���是等边三角形； (3)请根据图 3，证明四边形����是菱形． 第 3页，共 16页 3.综合与实践 【问题情境】综合与实践课上，王老师提出了一个有关正方形中“十字型”的问题： 如图 1，在正方形����中，边长为 6，�，�分别是边��，��上的点，�� ⊥ ��． 【独立思考】 (1)试判断��与��的数量关系，并说明理由． 【问题解决】 (2)阳光小组在王老师的问题上继续思考.如图 2，记��与��的交点为�，若阴影部分的面积之和为 24，求 △ ���的面积． 【实践探究】 (3)缤纷小组进一步探究，如图 5，连接��并延长，交��的延长线于点�.已知�� = 2，�� = 4 1313 ��，请直 接写出��的长． 第 4页，共 16页 4.建立模型： 如图 1，已知△ ���，�� = ��，∠� = 90°，顶点�在直线�上． 操作： 过点�作�� ⊥ �于点�，过点�作�� ⊥ �于点�.求证：△ ���≌△���． 模型应用： (1)如图 2，在直角坐标系中，直线�1：� = 4 3 � + 4 与�轴交于点�，与�轴交于点�，将直线�1绕着点�顺时针 旋转 45°得到�2.求�2的函数表达式． (2)如图 3，在直角坐标系中，点�(8,6)，作�� ⊥ �轴于点�，作�� ⊥ �轴于点�，�是线段��上的一个动点， 点�(�, 2� − 6)位于第一象限内．问点�、�、�能否构成以点�为直角顶点的等腰直角三角形，若能，请求 出此时�的值，若不能，请说明理由． 第 5页，共 16页 5.实践与探究 【问题情境】 数学课活动课上，老师提出了一个问题：图①是华东师大版八年级下册教材中我们研究过的图形，正方形 ����的对角线相交于点�，点�又是另一个正方形. �′�′�′�的一个顶点，如果两个正方形的边长相等， 那么正方形�′�′�′�绕点�无论怎样旋转，两个正方形重叠部分的面积总等于一个正方形面积的四分之 一.理由如下： 证明：如图②，分别作�� ⊥ ��，�� ⊥ ��于点�、�， ∴ ∠��� = ∠��� = 90°， 又∵ ∠��� = 90°， ∴ ∠��� = 90°， 又∵ ∠�′��′ = ∠��� = 90°， ∴ ∠��� = ∠���且�� = ��， ∴△ ���≌△ ���， ⋯， 【初步感知】 (1)请你补全以上证明过程； (2)我们知道正方形是中心对称图形，受图①启发，成功小组画出了图③，直线�、�经过正方形����的对 称中心�，直线�分别与��、��交于点�、�，直线�分别与��、��交于点�、�，且� ⊥ �，若正方形���� 的面积是 36，则四边形����的面积为______； 【深入探究】 (3)受图③的启发，探究组做了图④，若�� = ��，∠��� = ∠��� = 90°，�� = 20，求四边形����的面积； 【拓展应用】 (4)如图④，请写出线段��、��与��之间的数量关系，并说明理由． 第 6页，共 16页 6.综合与实践 已知，平行四边形����中，一动点�在��边上，以每秒 1��的速度从点�向点�运动． (1)如图①，运动过程中，若��平分∠���，且满足�� = ��，求∠���的度数； (2)如图②，在(1)问的条件下，连接��并延长，与��的延长线交于点�，连接��，若�� = 2��，请直接写 出△ ���的面积为______��2； (3)如图③，另一动点�在��边上，以每秒 4��的速度从点�出发，在��间往返运动，两个点同时出发，当 点�到达点�时停止运动(同时�点也停止)，若�� = 12��，则�(� ≠ 0)为何值时，以�，�，�，�四点组成 的四边形是平行四边形. (请直接写出答案) 第 7页，共 16页 7.综合与实践 同学们还记得教科书中的这个问题吗？如图(1)，四边形����是正方形，点�是边��的中点，∠��� = 90°， 且��交正方形外角∠���的平分线��于点�.求证：�� = ��.书中的提示是：取��的中点�，连接��，这样 易证△ ���≌△ ���后得到�� = ��.在此基础上，请同学们探究以下问题： (1)如图(2)，点�是边��上(除点�、�外)的任意一点，其它条件不变，�� = ��的结论还成立吗？如果成立， 写出证明过程；如果不成立，请说明理由； (2)如图(3)，点�是��的延长线上(除点�外)的任意一点，其他条件不变，�� = ��的结论仍然成立吗？如果 成立，写出证明过程；如果不成立，请说明理由． 第 8页，共 16页 8.综合与实践 经典与拓展 图 1 是汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的图形，后人称之为赵爽弦图.赵爽弦图在世界数学史上 具有独特的贡献和地位，尤其是其中体现出的数形结合思想具有非常重要的意义.弦图之美，美在简约.赵爽 弦图被誉为“中国数学界的图腾”. 2002 年北京国际数学家大会依据赵爽弦图制作了会标，该图是由 4 个 全等的直角三角形围成 1 个大正方形和 1 个小正方形构成的． 【经典解读】 (1)如图 1，若直角三角形的直角边�� = 4，斜边�� = 2 13，则小正方形����的面积为______；连接��， 则△ ���的面积为______． 【经典迁移】 (2)如图 2，�是正方形����内的一点，连接��，��，��.当∠��� = 90°；�� = 3 时，求△ ���的面积． 【经典拓展】 (3)如图 3，∠��� = 90°，以点�为圆心，适当长为半径画弧，分别交射线��，��于点�，�. �为线段�� 上一个动点，连接��，过点�作�� ⊥ ��于点�.在��上取一点�，使�� = ��，过点�作�� ⊥ ��，交��于点 �.试判断��，��，��三条线段之间的数量关系，并说明理由． 第 9页，共 16页 9. 综合与探究 【问题情境】如图①，已知△ ���是等边三角形，�� = 6，�是��边的中点，以��为边，在△ ���外部作 等边三角形���． 【操作探究】将△ ���从图①的位置开始，沿射线��方向平移，点�，�，�的对应点分别为点�′，�′， �′． (1)如图②，善思小组的同学画出了��′ = ��′时的情形，求此时△ ���平移的距离； (2)如图③，�是��的中点，�′在线段��上(不与点�重合)，连接�′�交��于点�，敏学小组的同学发现 ��′ = ��始终成立，请你证明这一结论； 【拓展延伸】 (3)在△ ���平移的过程中，当以�，�′，�′为顶点的三角形成为直角三角形时，直接写出△ ���平移的 距离． 第 10页，共 16页 10.综合与实践 问题解决： (1)如图 1，在△ ���中，��是��边上的中线，�是��的中点，过点�作��/ ​ /��，交��的延长线于点�， 连接��.求证：四边形����是平行四边形． 类比迁移： (2)如图 2，在(1)的条件下，当�� = ��时，试判断四边形����的形状，并说明理由． 拓展应用： (3)当△ ���满足什么条件时，四边形����是正方形？请直接写出结论，不必证明． 第 11页，共 16页 11.综合与实践 问题情境： 如图 1、在正方形����中，点�是对角线��上一点，将直角三角形���的直角顶点放在点�处，使直角边�� 经过点�，另一条直角边��与��交于点�． 问题解决： (1)如图 1，求证：∠��� = ∠���； (2)如图 2，连接��，交��于点�，当��//��时，连接��.求证四边形����是菱形； (3)如图 3，当��与��的延长线交于点�时，若正方形����边长 4，�� = 2，请直接写出��的长． 第 12页，共 16页 12.综合与实践 初步感知： 在数学活动课上老师出示了如下的问题：如图 1，已知正方形����和等腰直角△ ���，∠��� = 90°且点� 在正方形��边上，点�在��边的延长线上，连结��、��，延长��交��于点�，求证：�� ⊥ ��． (1)请你解决老师提出的问题； 深入探究： (2)勤学小组的同学将等腰直角△ ���绕着点�旋转到图 2 的位置，此时∠��� = 90°，连接��，若�� = ��， 猜想线段��与��的数量关系并加以证明； 拓展应用： (3)在等腰直角△ ���绕着点�旋转过程中，当�、�、�三点共线时，如图 3，若�� = 17，�� = 2，请 直接写出��的长度． 第 13页，共 16页 13.综合与实践 问题情境：综合与实践课上，老师让同学们以平行四边形纸片的折叠为主题开展数学活动.已知平行四边形 纸片����，�� > ��.如图 1，将平行四边形纸片����沿过点�的直线折叠，使点�的对应点�落在边��上， 展开后，折痕��交��于点�，在此基础上，继续沿过点�的直线折叠，使点�的对应点�落在��上，展开后 折痕��交��于点�，延长��交��于点�． 初步探究：(1)求证：四边形����是平行四边形． 深入探究：(2)如图 2，当平行四边形纸片����是矩形，且�� = 10，�� = 6 时，直接写出此时��的长． 第 14页，共 16页 14.综合与实践 阅读与思考 请阅读下列材料，并完成相应的任务． 小明在学习了平行四边形的相关知识后，查阅相关资料，发现平行四边形还有如下的性质：平行四边 形的四条边的边长的平方和等于对角线长的平方和，即：如图 1，在▱����中，��2 + ��2 + ��2 + ��2 = ��2 + ��2． 小明在老师的提示下，对该性质进行了证明． 证明：如图 1，过点�，�作��的垂线，分别与��交于点�，与��的延长线交于点�． ∵四边形����是平行四边形， ∴ �� = ��(依据)，��//��，�� = ��． 设�� = �� = �，�� = �� = �，�� = �，则�� = � − �． ∴ ��2 + ��2 + ��2 + ��2 = 2�2 + 2�2． 在�� △ ���中，��2 + ��2 = ��2，即��2 = �2 − �2． 在�� △ ���中，��2 = ��2 + ��2 = �2 − �2 + (� − �)2 = �2 + �2 − 2��． …… 任务： (1)证明过程中的“依据”是指：______． (2)请你补全小明的证明过程． (3)如图 2，在▱����中，�� = 43��，�� = 12，�� = 16，则▱����的周长为______． 第 15页，共 16页 15.综合与实践 数学课上，小组同学对含 60°角的菱形进行了探究． 【背景】在菱形����中，∠� = 60°，作∠��� = ∠�，��、��分别交边��、��于点�、�． (1)【感知】 如图 1，若点�是边��的中点，小智经过探索发现了线段��与��之间的数量关系，请你直接写出这个关系 为______． (2)【探究】 如图 2，说“点�为��上任意一点时，(1)中的结论是否仍然成立”，你同意吗？请说明理由． 如图 3，若点�为射线��上任意一点时，作∠��� = ∠�，��交边��所在射线于�.则(1)中结论是否仍然成立？ 回答并说明理由． (3)【应用】 取出如图 2 所示的菱形纸片����，测得∠��� = 60°，�� = 8，在��边上取一点�，连接��，在菱形内部 作∠��� = 60°，��交��于点�，当�� = 7 时，请直接写出线段��的长． 第 16页，共 16页 16.综合与实践 问题情境： 在矩形纸片����中，点�是��边上一动点，连接��，将△ ���沿��折叠得到△ ���，并展开铺平． 操作探究： (1)如图 1，若点�落在��边上，则四边形����的形状是______． (2)若点�落在矩形内部． ①如图 2，过点�作�� ⊥ ��，垂足为�，交��于点�.连接��.请判断四边形����的形状，并说明理由． ②如图 3，�，�为��边的三等分点，且点�在点�的左侧.连接��并延长，交��边于点�.试判断线段��与�� 的数量关系，并说明理由． (3)如图 4，�� = 5，�� = 10，若以点�，�，�为顶点的三角形是等腰三角形，请直接写出��的长． 答案和解析 1.【答案】；  ；  ；   ．  【解析】根据勾股定理可得，， 设边上的高为， ， 如图，取格点、、，并连接、、、， ， ， ， 故答案为：； 设，则， 是边上的高， ， 在中，由勾股定理得：， 在中，由勾股定理得：， ， ， 解得，， ， ； 如图，连接， 四边形是长方形， ， 在中，，， 由勾股定理得：， 以点为圆心，对角线的长为半径作弧交数轴的正半轴于点， ， 数轴上点表示的数是， 点表示的数为， 故答案为：； 根据以上解析过程可得，运用的数学思想是“数形结合”， 故答案为：． 2.【答案】矩形；   见解析；   见解析．  【解析】解：四边形是矩形， 理由：四边形是矩形， ，，， 对折矩形纸片，使与重合， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形， 故答案为：矩形； 证明：对折矩形纸片，使与重合， 垂直平分， ，，， 再一次折叠矩形纸片，使点落在上的点处， 是的垂直平分线，，， ， 是等边三角形； 证明：由折叠的性质得：， ， ， ， 由折叠的性质得：； 四边形是矩形， ， ，， 是等边三角形， ， 由折叠得，， ， 四边形是菱形． 根据矩形的性质得到，，，根据折叠的性质得到，根据矩形的判定定理得到结论； 根据线段垂直平分线的性质得到，，，根据折叠的性质得到是的垂直平分线，，，求得，得到是等边三角形； 由折叠的性质得到，求得，由折叠的性质得到；根据矩形的性质得到，得到，由折叠得到，，根据菱形的判定定理得到结论． 本题考查四边形综合题、折叠的性质，直角三角形的性质、矩形的性质、菱形的判定等知识，正确的理解题意是解题的关键，题目具有一定的综合性，比较新颖． 3.【答案】；   ；   ．  【解析】，理由如下： 四边形是正方形， ，， ， ， ， ， ≌， ； 由知，≌， ， ， 四边形， ，， ， ； 如图， 连接，作，交的延长线于， ， 设， ，， ， ， 四边形是正方形， ， ， ， ， ， ， ， 设，则， ， 在中，由勾股定理得，， ， 或舍去， ，， 四边形是正方形， ， 四边形是矩形， ，， ， ． 可证得≌，从而； 可推出，根据，进而求得结果； 连接，作，交的延长线于，设，可推出，从而，进而得出，从而，进而得出，从而得出，设，则，在中，根据勾股定理列出方程，进一步得出结果． 本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，勾股定理，面积法等知识，解决问题的关键是运用面积法寻求线段之间的关系． 4.【答案】解：操作：如图：， ，， ． 在和中， ≌； 直线与轴交于点，与轴交于点， 、． 如图：， 过点做交直线于点，过点作轴 在和中， ， ≌， ，， 点坐标为． 设的解析式为，将，点坐标代入，得 ， 解得 的函数表达式为； 由题意可知，点是直线上一点． 如图：， 过点作轴，分别交轴和直线于点、． 在和中， ， ≌， ，即， 解得 如图：， 过点作轴，分别交轴和直线于点、， ，． 在和中， ， ≌， ，即， 解得； 综上所述：、、可以构成以点为直角顶点的等腰直角三角形，的值为或．  【解析】操作：根据余角的性质，可得，根据全等三角形的判定，可得答案； 应用根据自变量与函数值的对应关系，可得、点坐标，根据全等三角形的判定与性质，可得，的长，根据待定系数法，可得的解析式； 根据全等三角形的性质，可得关于的方程，根据解方程，可得答案． 本题考查了一次函数综合题，利用余角的性质得出是解题关键，又利用了全等三角形的判定；利用了全等三角形的性质得出，的长是解题关键，又利用了待定系数法求函数解析式；利用全等三角形的性质得出关于的方程是解题关键，要分类讨论，以防遗漏． 5.【答案】证明见解析；   ；   ；  ，理由见解析．  【解析】证明：如图，分别作，于点、， ， 又， ， 又， 且， ≌， ， ， 即正方形绕点无论怎样旋转，两个正方形重叠部分的面积总等于一个正方形面积的四分之一； 解：由的结论可得，， 故答案为：； 解：如图，构造正方形，点为正方形对角线的交点， 则， ， ， ， 由可得，； 解：，理由如下： 四边形是正方形， ，，， ， ， ， ， ， ≌， ， ， 在中，， ， ． 根据题意补全证明过程即可； 根据的结论即可求解； 如图，构造正方形，点为正方形对角线的交点，可得，即得，由即可根据的结论求解； 证明≌可得，即得，在中利用勾股定理即可求解． 本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，余角性质，勾股定理，掌握正方形的性质是解题的关键． 6.【答案】；  ；   或或．  【解析】如图中， 四边形是平行四边形， ， ， 平分， ， ， ， ， ， 是等边三角形， ． 如图中， 四边形是平行四边形， ，， ， ， ， 故答案为：． 如图中， ， 当时，四边形是平行四边形， 舍或或或， 解得或或， 或或时，以，，，四点组成的四边形是平行四边形． 如图中，只要证明是等边三角形即可． 如图中，由四边形是平行四边形，推出，，推出，推出，推出，可得由此即可解决问题． 如图中，分四种情形列出方程解方程即可． 本题考查四边形综合题、平行四边形的性质、等边三角形的判定和性质、平行线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，第二个问题的关键是灵活应用同底等高的两个三角形面积相等，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题． 7.【答案】解：的结论还成立，理由如下． 如图，在上取一点，使，连接， ， ，， 是正方形外角的平分线， ，， ， ，， ， ≌， ； 的结论还成立，理由如下． 理由如下：如图，延长到，使， ， ． ， ， ． ， ， 即． ， ． 在与中， ， ≌， ．  【解析】如图，在上取一点，使，连接，利用判定≌，从而得到； 延长到，使，根据已知及正方形的性质利用判定≌，从而得到． 本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 8.【答案】；；  ；   ，理由见解析．  【解析】解：如图，连接， ，，， ， 图中的四个直角三角形全等， ， ， ， ， ． 如图，过点作，交的延长线于点． 四边形是正方形， ，． ， ， ． ， ， ≌， ， ． ． 如图，过点作于点． ，， ， 四边形是矩形， ，． ， ． ，， ， ． ， ， ， ≌， ， ． 先由，，，根据勾股定理求得，再由图中的四个直角三角形全等得，则，再根据正方形面积公式，三角形面积公式即可解答； 过点作，交的延长线于点，根据正方形的性质得到，再证明≌，根据全等三角形的性质求出，再根据三角形的面积公式即可解答； 过点作于点先证明四边形是矩形，则，，而，于是得；再证明≌，得，于是得． 本题考查了勾股定理，正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，一元二次方程的解法以及分类讨论数学思想的运用，正确的作出所需要的辅助线是解题的关键． 9.【答案】；   见解析；   或．  【解析】解：连接，如图： 是等边三角形，，点是边的中点， ，， 将从图的位置开始，沿射线方向平移，点、、的对应点分别为点；；； ； ，， ， 平移的距离为； 证明：是等边三角形，， ，， 将从图的位置开始，沿射线方向平移，点，，的对应点分别为点，，； ，； 是等边三角形，，点是边的中点， ，， ，， ， ≌， ； 解：当与重合时，如图： 是等边三角形， ， ， ， ，即以，，为顶点的三角形成为直角三角形， 此时， 平移的距离是； 当时，如图： ， ， ， ， ， 由知≌， ， ， 平移的距离是； 综上所述，以，，为顶点的三角形成为直角三角形时，平移的距离是或． 故答案为：或． 连接，由是等边三角形，，点是边的中点，得，，根据平移可得，即可得，故平移的距离为； 证明≌，即可得； 分两种情况：当与重合时，可得，即以，，为顶点的三角形成为直角三角形，此时，即平移的距离是；当时，可得，故平移的距离是． 本题属于几何变换综合题，主要考查了等边三角形的性质及应用，全等三角形的判定与性质，平移变换，解答本题的关键是熟练运用分类讨论的思想解决问题． 10.【答案】证明：， ， 是的中点， ， 在和中， ， ≌， ，是边上的中线， ， ， 又， 四边形是平行四边形； 解：四边形是矩形，理由如下： ，是边上的中线， ， 即， 又四边形是平行四边形， 四边形是矩形； 解：当满足，时，四边形是正方形． 由可知，当时，四边形是矩形， 在中，是边上的中线， ， 四边形是正方形．  【解析】先证明≌，得到，再结合，即可得出结论； 根据等腰三角形三线合一的性质，得出，即可证明四边形是矩形； 由可知，当时，四边形是矩形，再结合直角三角形斜边中线等于斜边一半得到，即可得出结论． 本题考查了四边形的综合应用，主要考查全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，矩形的判定定理，正方形的判定定理，掌握特殊四边形的判定定理是解题关键． 11.【答案】证明：四边形是正方形， ，平分， ， 在和中，  ， ≌， ， 在四边形中，， ， 又， ， ； 证明：在正方形中，是对角线， ，， 在和中， ， ≌， ， 同理≌， ， ， ， ， ， 在和中， ， ≌， ， ， 四边形是菱形； 解：如图，过点作于点，设，交于点， 四边形是正方形， ，，， 在和中， ， ≌， ， ，， ， ， ， ， ，是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， 在中， ， 的长为．  【解析】证明≌，可得，再由四边形内角和定理，可得，从而得到，即可求证； 由可得≌，从而得到，，再由，可得，从而得到，可证得四边形是平行四边形，即可求证； 过点作于点，设，交于点，证明≌，可得，再由三角形内角和定理，可得，从而得到，进而得到，由，可得，是等腰直角三角形，从而得到，，在中，根据勾股定理，即可求解． 本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定和性质． 12.【答案】证明：正方形和等腰直角， ，，， ≌， ， ， ， 即； 解：，证明如下： ， ， 由可知， ， 又， 四边形是矩形， 又， 四边形是正方形， ， 如图，连接， 正方形， ，， ， ， ， ， ， ， ； 解：如图，连接， 由勾股定理得，， 同理可得≌，，即， 设，则， 由勾股定理得， 即， 整理得， 解得或舍去， ， 过作于，于，则四边是矩形， ，， 设，，则，， 由勾股定理得， 即， 整理得； 由勾股定理得， 即， 整理得； 式代入式得， 解得， 或舍去， ，， 由勾股定理得， 的长度为．  【解析】证明≌，则，，，即可得证； 证明四边形是正方形，则，连接，由，，可得，则，，，由，可得，即可得证； 连接，利用勾股定理求出，，同理可得≌，，即，设，则，由勾股定理得，即，整理得，可求满足要求的解为，则，过作于，于，证得四边是矩形，设，，利用勾股定理计算求解即可． 本题考查了四边形的综合应用，主要考查正方形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理，勾股定理，矩形的判定与性质，旋转的性质等知识，熟练掌握正方形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理，勾股定理，矩形的判定与性质，旋转的性质是解题的关键． 13.【答案】证明：在平行四边形中，，， ， ， 由折叠知，，，，，，，， ， ， ， 四边形为平行四边形； 解：由得四边形为平行四边形， ， 由折叠知，， 在中，， ， 设，则， 在中，由勾股定理得， 解得， ．  【解析】根据平行四边形的性质、折叠的性质得出，，进而证明，，可得四边形为平行四边形； 在中，利用勾股定理求得，设，在中，由勾股定理列式计算可得结论． 本题考查四边形的综合应用，主要考查矩形的折叠问题，涉及矩形的性质，折叠的性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理等，掌握折叠前后对应角相等、对应边相等是解题的关键． 14.【答案】平行四边形的对边相等；   见解答；   ．  【解析】解：证明过程中的“依据”是指：平行四边形的对边相等， 故答案为：平行四边形的对边相等； 证明：如图，过点，作的垂线，分别与交于点，与的延长线交于点． 四边形是平行四边形， ，，． 设，，，则． ． 在中，，即． 在中，， 由辅助线得：，，，四边形为矩形，，， 在中，， ． 设，则， 由得：， 解得：或不合题意，舍去， ▱的周长为：， 故答案为：． 根据平行四边形的性质求解； 根据平行四边形的性质及勾股定理证明； 根据的结论及平行四边形的周长公式求解． 本题考查了平行四边形的性质，掌握平行四边形的性质及勾股定理是解题的关键． 15.【答案】；   当点为上任意一点时，  中的结论仍然成立，理由见解析；点为射线上任意一点时，  中的结论仍然成立，理由见解析；   或．  【解析】解：线段与之间的数量关系：理由如下： 如图，连接， 四边形是菱形，， ，， 和都是等边三角形， ，， 点是边的中点， ，， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ≌， ， 故答案为：； 当点为上任意一点时，仍然成立．理由如下： 如图，连接， 四边形是菱形，， ，， 和都是等边三角形， ，，， ， ， ， ， 在和中， ， ≌， ； 当点为射线上任意一点时，仍然成立．理由如下： 如图，连接， 四边形是菱形，， ，， 和都是等边三角形， ，，， ， ， ， ， 在和中， ， ≌， ； 如图，过点作于，连接， 四边形是菱形，，， ， 是等边三角形， ， ， 在中，，， ， 当点在点的左侧时，， 当点在点的右侧图中处时，， 或， 由知：≌， ， 或， 线段的长为或． 连接，利用菱形的性质和等边三角形的三线合一性质证明≌即可； 利用菱形的性质和等边三角形的性质证明≌即可； 利用菱形的性质和等边三角形的性质可得，利用勾股定理求，，分当点在点的左侧和点在点的右侧两种情况，分别讨论即可． 本题是四边形综合题，考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，运用了分类讨论的思想．解题的关键是添加适当的辅助线构造全等三角形． 16.【答案】正方形； 四边形为菱形； 理由如下： 根据折叠可知：，，，， ， ， ， ， ， ， ， ， 四边形为菱形； ； 理由如下： ，为边的三等分点， ， 根据折叠可知：，， ， ， ， ， ， 矩形中，，， 四边形为平行四边形， ， ， ； 四边形为矩形，，， ，，， 根据折叠可知：，，， 当时，过点作，如图所示： 则， ， 四边形为矩形， ，，， ， ， ， ， 即， ≌， ， ， 设， 则， 根据勾股定理得：， 即， 解得：， 即， 当时，如图所示： ，， ， ， 此时点在上， 根据可知，此时四边形为正方形， ； 连接，如图所示： 根据勾股定理得：， 两点之间线段最短， ， ， 即， ， ， ， 与相等不存在； 综上分析可知：或．  【解析】解：四边形为矩形， ， 根据折叠可知：，， ， 四边形为矩形， ， 四边形为正方形， 故答案为：正方形； 四边形为菱形； 理由如下： 根据折叠可知：，，，， ， ， ， ， ， ， ， ， 四边形为菱形； ； 理由如下： ，为边的三等分点， ， 根据折叠可知：，， ， ， ， ， ， 矩形中，，， 四边形为平行四边形， ， ， ； 四边形为矩形，，， ，，， 根据折叠可知：，，， 当时，过点作，如图所示： 则， ， 四边形为矩形， ，，， ， ， ， ， 即， ≌， ， ， 设， 则， 根据勾股定理得：， 即， 解得：， 即， 当时，如图所示： ，， ， ， 此时点在上， 根据可知，此时四边形为正方形， ； 连接，如图所示： 根据勾股定理得：， 两点之间线段最短， ， ， 即， ， ， ， 与相等不存在； 综上分析可知：或． 根据折叠得出，，根据，证明四边形为矩形，根据，即可证明四边形为正方形； 根据折叠得出，，，，证明，得出，证明，即可证明结论； 先证明，根据矩形中，，，证明四边形为平行四边形，得出，求出，即可得出结论； 分三种情况进行讨论：当时，当时，当时，分别画出图形进行求解即可． 本题主要考查了四边形的综合应用，菱形，矩形，正方形和平行四边形的证明，勾股定理，等腰三角形的性质，折叠性质，解题的关键是数形结合，注意进行分类讨论． 学科网（北京）股份有限公司 $$