精品解析：云南省保山市2024-2025学年高二下学期期中数学试题

【考试时间：2025年4月26日08：00-10：00】 保山市2024~2025学年春季学期期中质量监测 高二数学试题卷 本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择題）两部分.第I卷第1页至第3页，第II卷第4页至第6页.考试结束后，请将答题卡交回.满分150分，考试用时120分钟. 第I卷（选择题，共58分） 注意事项： 1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、学校、班级、考场号、座位号、准考证号在答题卡上填写清楚. 2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效. 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知，则（ ） A. 2 B. 6 C. 2或5 D. 2或6 （人教A版必修二80页练习第3题改编） 2. 已知复数满足，则复数（ ） A. 2i B. C. D. （人教A版必修二23页第7题改编） 3. 已知向量，，且，则的面积为（ ） A. B. C. D. （人教A版选择性必修第三册31页第5题改编） 4. 在的展开式中，含的项的系数是（ ） A. 69 B. 65 C. D. 5. 为了激发同学们学习数学的热情，某学校开展利用数学知识设计LOGO的比赛，其中某位同学利用函数图象的一部分设计了如图的LOGO，那么该同学所选的函数最有可能是（ ） A. B. C. D. 6. 2025年春节期间，国产电影《哪吒之魔童闹海》凭借其震撼的特效、生动的情节与深刻的思想票房一路攀升，如图截至2025年3月15日，《哪吒之魔童闹海》全球总票房已达150.75亿元人民币，正式超越《星球大战：原力觉醒》（150.19亿元），跃居全球影史票房榜第五位.下表为某平台向公众征集该电影的评分结果（满分5分），根据表格可以估计其得分的上四分位数约为（ ） 评分/分 人数占比/% 1.0 3.2 13.8 34.0 48.0 A. 3.21 B. 3.94 C. 4.17 D. 4.48 （人教A版选择性必修第二册40页习题第1题改编） 7. 已知等比数列满足，，记为其前项和，则（ ） A. B. 9 C. 13 D. 27 8. 已知函数是定义在上的偶函数，，且，都有，，，，则（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） （人教A版选择性必修第二册92页第2题改编） 9. 已知函数，则（ ） A. B. 有两个极值点 C. 点是曲线的对称中心 D. 有3个零点 （人教A版选择性必修第一册145页第7题改编） 10. 已知椭圆的焦点分别为、，设直线l与椭圆C交于M，N两点，且点为线段MN的中点，则下列说法正确的是（ ） A. 椭圆的离心率为 B. 椭圆上不存在点使得 C. 直线的方程为 D. 的周长为 11. 如图，在棱长为2的正方体中，点为底面的中心，点在侧面内运动（包含边界）.若，则（ ） A. 点的运动轨迹长度为 B. 面积的最大值为2 C. 存在点，使得 D. 与平面所成角的正弦值的取值范围是 第II卷（非选择题，共92分） 注意事项： 第II卷用黑色碳素笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知函数，则__________. 13. 安排甲、乙、丙共3名志愿者完成5项服务工作，每人至少完成1项工作，每项工作由1人完成，则不同的安排方式有__________种（用数字作答）. 14. 杨辉三角在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中被记载，它的开头几行如图4所示，它包含了很多有趣的组合数性质，如果将杨辉三角从第1行开始的每一个数都换成分数，得到的三角形称为“莱布尼茨三角形”，莱布尼茨由它得到了很多定理，甚至影响到了微积分的创立，则“莱布尼茨三角形”第5行第3个数是__________；若，是的前项和，则__________.（用含的代数式作答） 四、解答题（共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知函数，函数在处的切线方程为. （1）求的值； （2）求函数的极值. （2024年高考新课标Ⅰ卷15题改编） 16. 从①；②；③.这三个条件中选一个补充到下面的横线并作答.（注：若选择多个条件同时作答，则只按第一个解答计分） 问题：在中，内角、、所对的边分别为、、，且__________. （1）求角； （2）若，且面积为，求. （人教A版选择性必修第一册39页例10题改编） 17. 如图，在四棱锥中，平面，，，，直线与平面所成角为60°，为线段的中点. （1）证明：平面； （2）求平面与平面所成角的正弦值. 18. 设为数列的前项和，已知，. （1）求和的值； （2）求数列的通项公式； （3）记表示不超过的最大整数，设，求数列的前2025项和. 19. 法国著名数学家加斯帕尔·蒙日在研究圆锥曲线时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，该圆的圆心为椭圆的中心，半径等于椭圆的长半轴与短半轴平方和的算术平方根，这个圆被称为“蒙日圆”．如图，已知椭圆的蒙日圆方程为，离心率为. （1）求椭圆的标准方程； （2）点是第一象限内椭圆上一点，，的延长线分别交于，两点，设，分别是，的内切圆半径. （i）若点的横坐标为2，求内切圆的方程； （ii）求的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 【考试时间：2025年4月26日08：00-10：00】 保山市2024~2025学年春季学期期中质量监测 高二数学试题卷 本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择題）两部分.第I卷第1页至第3页，第II卷第4页至第6页.考试结束后，请将答题卡交回.满分150分，考试用时120分钟. 第I卷（选择题，共58分） 注意事项： 1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、学校、班级、考场号、座位号、准考证号在答题卡上填写清楚. 2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效. 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知，则（ ） A. 2 B. 6 C. 2或5 D. 2或6 【答案】D 【解析】 【分析】由，利用组合公式,列方程进行求解. 【详解】由，可得或，解得或. 故选：D. （人教A版必修二80页练习第3题改编） 2. 已知复数满足，则复数（ ） A. 2i B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数除法先求出，再根据共轭复数的定义求解. 【详解】因为，所以. 故选：A （人教A版必修二23页第7题改编） 3. 已知向量，，且，则的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据条件，利用数量积的运算律可得，再利用向量垂直的坐标运算，可得，进而可得解. 【详解】由，两边平方得， 所以，所以，，， 所以， 所以的面积为. 故选：B. （人教A版选择性必修第三册31页第5题改编） 4. 在的展开式中，含的项的系数是（ ） A. 69 B. 65 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由二项展开式的性质结合组合数计算可得. 【详解】含的项为：， 所以含的项的系数是的系数是. 故选：C. 5. 为了激发同学们学习数学的热情，某学校开展利用数学知识设计LOGO的比赛，其中某位同学利用函数图象的一部分设计了如图的LOGO，那么该同学所选的函数最有可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先由图形的对称性和函数奇偶性排除选项AC；由函数奇偶性和导数工具研究两函数单调性情况即可求解. 【详解】对于AC，由图可知该图形为中心对称图形，不妨设对称中心为原点， 对于函数，定义域为R关于原点对称，且， 所以函数为非奇非偶函数， 对于函数，定义域为R关于原点对称，且， 所以函数为偶函数，故可排除A，C； 对于BD，两函数定义域均为R关于原点对称， 且，， 故两函数均为奇函数，研究其上性质， 对于B，，在上，在上， 所以在上单调递增，上单调递减，符合； 对于D，，在上，在上， 故在单调递增，所以在R上单调递增，不符合. 故选：B. 6. 2025年春节期间，国产电影《哪吒之魔童闹海》凭借其震撼的特效、生动的情节与深刻的思想票房一路攀升，如图截至2025年3月15日，《哪吒之魔童闹海》全球总票房已达150.75亿元人民币，正式超越《星球大战：原力觉醒》（150.19亿元），跃居全球影史票房榜第五位.下表为某平台向公众征集该电影的评分结果（满分5分），根据表格可以估计其得分的上四分位数约为（ ） 评分/分 人数占比/% 1.0 3.2 13.8 34.0 48.0 A. 3.21 B. 3.94 C. 4.17 D. 4.48 【答案】D 【解析】 【分析】由百分位数的定义即可求解. 【详解】因为， 设得分的75%分位数为，则， 解得，所以得分的75%分位数约为. 故选：D. （人教A版选择性必修第二册40页习题第1题改编） 7. 已知等比数列满足，，记为其前项和，则（ ） A. B. 9 C. 13 D. 27 【答案】C 【解析】 【分析】据题意等比数列公式列方程求出公比，然后可解. 【详解】由，，得，即或， 该数列为1，3，9或9，3，1.所以， 故选：C. 8. 已知函数是定义在上的偶函数，，且，都有，，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意可知的奇偶性及单调性，构造函数，利用导数研究其单调性进而可比较自变量的大小，再由的单调性可比较. 【详解】因为函数是定义在上的偶函数，且，都有， 所以在上单调递增，单调递减， 所以，， 设，则，当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 因为，所以，即，故， 又在上单调递减，，即， 故选：A 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） （人教A版选择性必修第二册92页第2题改编） 9. 已知函数，则（ ） A. B. 有两个极值点 C. 点是曲线的对称中心 D. 有3个零点 【答案】AB 【解析】 【分析】根据求导法则求出导函数判断A选项；根据导数的正负判断函数的单调性从而求出极值点个数，判断B；由得函数对称中心为，C错误；根据极值点的正负判断函数零点的个数判断D. 【详解】对于A，，故A正确； 令，解得，当或时，，当时，， 所以函数在和上单调递增，在上单调递减， 故函数在处取得极小值，在处取得极大值，即，，有2个零点，故B正确，D错误； 对于C，，关于对称，故C错误. 故选：AB. （人教A版选择性必修第一册145页第7题改编） 10. 已知椭圆的焦点分别为、，设直线l与椭圆C交于M，N两点，且点为线段MN的中点，则下列说法正确的是（ ） A. 椭圆的离心率为 B. 椭圆上不存在点使得 C. 直线的方程为 D. 的周长为 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据离心率公式计算可判断A的正误，根据无解可判断B的正误，利用点差法可判断C的正误，根据椭圆的定义计算周长后可判断D的正误. 【详解】椭圆的焦点分别为，，则，，，可得，故， 对于A，椭圆的离心率为，A错误； 对于B，假设在椭圆上存在点，使得，且，，， ，在实数范围内无解， 椭圆上不存在点使得，B对； 对于C，设点，，由题意可得 若直线的斜率不存在，则线段的中点在轴上，不合乎题意， 所以直线的斜率存在，则由 可得， 即，所以直线的斜率为，因此直线的方程为，即，C对； 对于D，因为，所以，直线过椭圆的上焦点， 所以的周长为： ， D对， 故选：BCD. 11. 如图，在棱长为2的正方体中，点为底面的中心，点在侧面内运动（包含边界）.若，则（ ） A. 点的运动轨迹长度为 B. 面积的最大值为2 C. 存在点，使得 D. 与平面所成角的正弦值的取值范围是 【答案】ACD 【解析】 【分析】取的中点E，可证平面AEC，所以点P的轨迹为线段AE.对于A选项,求出AE长度即可;对于B选项, 由于是直角三角形,只需求出线段的最大值即可;对于C选项, 当点P是与AE交点时，，对于D选项, 为与平面所成的角,即与平面所成角,从而求出取值范围即可. 【详解】连接AC，BD，如图，易知O为AC与BD的交点，，，，所以平面，所以. 取的中点E，连接AE，CE，，OE，，易知，，，，则，，， 所以，得，又，所以平面AEC， 所以点P的轨迹为线段AE. 对于A，，故A正确； 对于B，连接，易知，所以线段的最大值为，所以面积的最大值为，故B错误； 对于C，因为几何体为正方体，易得，点P的轨迹为线段AE，当点P是与AE交点时，，故C正确； 对于D，与平面所成的角等于与平面所成的角，在平面上的射影为，则为与平面所成的角.在中，，在中，，，，由余弦定理得，所以，所以点到线段AE的距离为，，又，所以与平面所成角的正弦值的取值范围是，故D正确， 故选:ACD. 第II卷（非选择题，共92分） 注意事项： 第II卷用黑色碳素笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知函数，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】求导，再把代入得，即可得到所求. 【详解】因为，所以， 所以，即， 所以，所以. 故答案为： 13. 安排甲、乙、丙共3名志愿者完成5项服务工作，每人至少完成1项工作，每项工作由1人完成，则不同的安排方式有__________种（用数字作答）. 【答案】 【解析】 【分析】先将5项工作分为1，1，3或1，2，2各3组，再将3组工作分配给甲、乙、丙3人，结合分步计数原理，即可求解. 【详解】先将5项工作分为1，1，3或1，2，2各3组，共有种不同的分组方法； 再将3组工作分配给甲、乙、丙3人，有种情况， 由分步计数原理得，共计有不种的安排方式. 故答案为： 14. 杨辉三角在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中被记载，它的开头几行如图4所示，它包含了很多有趣的组合数性质，如果将杨辉三角从第1行开始的每一个数都换成分数，得到的三角形称为“莱布尼茨三角形”，莱布尼茨由它得到了很多定理，甚至影响到了微积分的创立，则“莱布尼茨三角形”第5行第3个数是__________；若，是的前项和，则__________.（用含的代数式作答） 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】由题意将杨辉三角从第1行开始的每一个数都换成分数，得到的三角形为“莱布尼茨三角形”，观察表中数字，题中要求第5行第3个数，当，即可求解；由莱布尼茨三角形的特点可知，每个数均等于其“脚下”两个数之和，由可得：，即，利用列相消法即可求解. 【详解】由题意知，将杨辉三角从第1行开始的每一个数都换成分数，得到的三角形为“莱布尼茨三角形”， 观察表中数字，题中要求第5行第3个数，所以，，所以第5行第3个数为. 由莱布尼茨三角形的特点可知，每个数均等于其“脚下”两个数之和， 由可得：， 所以， 所以 ， 所以. 故答案为：；. 四、解答题（共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知函数，函数在处的切线方程为. （1）求的值； （2）求函数的极值. 【答案】（1） （2）极大值为，极小值为 【解析】 【分析】（1）先求导，由已知根据即可求解； （2）利用导数判断函数的单调性即可求解极值. 【小问1详解】 函数的定义域为，， 在处的切线方程为， ，解得. 【小问2详解】 由（1）知， ，， 令，得或；令，得， 所以在和上单调递增，在上单调递减， 因此在处取得极大值，且， 在处取得极小值，且， 故的极大值为，极小值为. （2024年高考新课标Ⅰ卷15题改编） 16. 从①；②；③.这三个条件中选一个补充到下面的横线并作答.（注：若选择多个条件同时作答，则只按第一个解答计分） 问题：在中，内角、、所对的边分别为、、，且__________. （1）求角； （2）若，且面积为，求. 【答案】（1）选①②③均有 （2） 【解析】 【分析】（1）选①，利用正弦定理、诱导公式结合两角和的正弦公式化简得出的值，结合角的取值范围可得出角的值； 选②，利用正弦定理、诱导公式以及二倍角的正弦公式化简得出的值，结合角的取值范围可得出角的值； 选③，利用正弦定理、两角和的正弦公式化简得出的值，结合角的取值范围可得出角的值； （2）由结合角的取值范围可得出角的值，利用正弦定理得出，利用两角和的正弦公式求出的值，结合三角形的面积公式可求出的值. 【小问1详解】 若选①，由题意得，即， ，， ， ，即，， 又，； 若选②，因为，由正弦定理得， 故， 在中，，，所以，，则， 可得，所以，所以； 若选③，因为，即， 由正弦定理可得， ， 即， 可得 且，即，可得， 又因为，所以. 【小问2详解】 由且，得，又，， 由正弦定理得，， ， 又由， ，. （人教A版选择性必修第一册39页例10题改编） 17. 如图，在四棱锥中，平面，，，，直线与平面所成角为60°，为线段的中点. （1）证明：平面； （2）求平面与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明：取的中点，连， 则，， 因为，， 所以平行且等于，四边形为平行四边形， 所以 又因为平面，且平面，所以平面. （2） 【解析】 【分析】(1)取的中点构造一个平行四边形然后利用线面平行的判定定理即可. (2) 以为原点建立空间直角坐标系，计算出法向量的坐标，进而求出二面角的余弦值再根据同角关系求其正弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 以为原点，，，所在直线为轴，轴，轴建立如图2所示的空间直角坐标系，则，，，，， 设平面的法向量为， 则得， 易知为平面的一个法向量 设平面与平面所成的角为， 则， 又，， 18. 设为数列的前项和，已知，. （1）求和的值； （2）求数列的通项公式； （3）记表示不超过的最大整数，设，求数列的前2025项和. 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据给定的递推公式求出. （2）利用前项和与第项的关系建立等式，再利用等差数列求出通项. （3）由（2）求出，再按是否为10的非负整数次幂分类化简，进而求出. 【小问1详解】 数列，，，当时，，解得， 当时，，即，所以. 【小问2详解】 数列，，当时，， 两式相减得，即，而，则， 即，因此数列是以1为首项，1为公差的等差数列， 所以. 【小问3详解】 由（2）得， ①当时，，即，， 则； ②当且时，不是整数， 设，则， 则，，得， 因此， 在上，，， 所以. 19. 法国著名数学家加斯帕尔·蒙日在研究圆锥曲线时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，该圆的圆心为椭圆的中心，半径等于椭圆的长半轴与短半轴平方和的算术平方根，这个圆被称为“蒙日圆”．如图，已知椭圆的蒙日圆方程为，离心率为. （1）求椭圆的标准方程； （2）点是第一象限内椭圆上一点，，的延长线分别交于，两点，设，分别是，的内切圆半径. （i）若点的横坐标为2，求内切圆的方程； （ii）求的最大值. 【答案】（1） （2）（i）；（ii） 【解析】 【分析】（1）根据椭圆的离心率及蒙日圆方程列出的方程，即可求解； （2）（i）求得，可知轴，由对称性知，内切圆圆心在轴正半轴上，且是切点，利用等面积法求出，得内切圆的圆心坐标，进而可得内切圆的方程； （ii）设，，，点在椭圆上，得，利用等面积法可求得，，从而，联立直线与椭圆的方程，结合韦达定理可求得，，从而，结合基本不等式可求得答案. 【小问1详解】 由题意得，，且， 因为椭圆的蒙日圆方程为，所以， 解得，，. 故椭圆的标准方程为. 【小问2详解】 （i）点的横坐标为2，， 又，轴， 由对称性知，内切圆圆心在轴正半轴上，且是切点， ， 且的周长为， 又， ，内切圆的圆心为， 内切圆的方程为. （ii）设，，，， 因为点在椭圆上，所以，即 由， 即，解得， 同理可得，，， ，直线的方程为， 由，化简得， ，得， 同理可得，， ， 由， ， 当且仅当，时，等号成立， 所以的最大值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $