2026年中考数学复习-几何模型之旋转模型

**基本信息** 以旋转模型为核心，通过问题探究-拓展应用-综合实践的递进式训练，系统构建"性质应用-模型构造-动态迁移"的解题体系，培养几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础模型|1-3题|旋转构造全等（SAS）、中点中位线转化|从特殊直角/等边三角形到一般图形，建立"旋转角=对应角"关系链| |综合应用|4-8题|手拉手模型、旋转相似、轨迹最值|结合等腰/矩形背景，推导线段关系与位置关系（垂直/倍分）| |创新拓展|9-13题|动态旋转分类讨论、面积最值转化|通过变式训练实现从静态证明到动态探究的思维提升，强化空间观念与创新意识|

2026年九年级中考数学复习-几何模型之旋转模型 1．综合与实践，已知：如图1和图2，四边形ABCD中，，，点E、F分别在BC、CD上，． 问题探究： （1）如图1，若、都是直角，把绕点A逆时针旋转90°至，使AB与AD重合，则______度，线段BE、DF和EF之间的数量关系为______； 问题再探： （2）如图2，若、都不是直角，但满足，线段BE、DF和EF之间的数量关系是否仍然成立，若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由． 拓展应用： （3）如图3，在中，，．点D、E均在边BC边上，且，若，则DE的长为______． 2．如图1，在等腰三角形中，，连接．点M、N、P分别为的中点． (1)当时， ①观察猜想：图1中，点D、E分别在边上，线段的数量关系是 　 　，的大小为 　 　． ②探究证明：把绕点A顺时针方向旋转到如图2所示的位置，连接，求证：． ③在②的条件下，如图2，求证：是等边三角形 (2)拓展延伸：当时，，时，把绕点A在平面内自由旋转，如图3，请直接写出面积的最大值． 3．如图1，在等腰三角形中，，，，连接，点、、分别为、、的中点. (1)当时， ①观察猜想：图1中，点、分别在边、上，线段、的数量关系是___________，的大小为___________； ②探究证明：把绕点顺时针方向旋转到如图2所示的位置，连接、、，判断的形状，并说明理由； (2)拓展延伸：当时，，时，把绕点在平面内自由旋转，如图3，请求出面积的最大值. 4．综合与探究：如图，在中，，，． (1)问题发现：如图，将绕点按顺时针方向旋转得到，连接，，线段与的位置关系是______，与的数量关系是______； (2)类比探究：将绕点按顺时针方向旋转任意角度得到，连接，，线段与的位置关系、数量关系与（1）中结论是否一致？若与交于点，与交于点，请结合图说明理由； (3)拓展延伸：如图，将绕点旋转一定角度得到，当点 落到边上时，连接，求线段的长． 5．在中，点D，E分别是边上的点，． 基础理解： （1）如图1，若，求的值； 证明与拓展： （2）如图2，将绕点A逆时针旋转a度，得到，连接； ①求证：； ②如图3，若在旋转的过程中，点恰好落在上时，连接，则的面积为________． 6．综合与实践 二轮复习中，刘老师以“最值问题”为专题引导同学们进行复习探究． 问题模型：等腰三角形，，， (1)探究：如图，点为等腰三角形底边上一个动点，连接，则的最小值为______，判断依据为______； (2)探究：在探究的结论下，继续探究，作的平分线交于点，点，分别为，上一个动点，求的最小值； (3)探究：在探究的结论下，继续探究，点为线段上一个动点，连接，将顺时针旋转，得到线段，连接，求线段的最小值． 7．通过类比联想，引申拓展研究典型题目，可达到解一题知一类的目的，下面是一个案例，请补充完整．原题：如图1，点分别在正方形的边上，，连接，试猜想之间的数量关系    (1)思路梳理：把绕点逆时针旋转至，可使与重合，由，得，，即点共线，易证________，故之间的数量关系为________． (2)类比引申：如图2，点分别在正方形的边的延长线上，．连接，试猜想之间的数量关系为________，并给出证明． (3)联想拓展：如图3，在中，已知垂足于点D，且．求的长． 8．在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝α，点D为直线BC上一动点，过点D作DF∥AC交直线AB于点F，将AD绕点D顺时针旋转α得到ED，ED交直线AB于点O，连接BE． （1）问题发现： 如图1，α＝90°，点D在边BC上，猜想： ①AF与BE的数量关系是　 　； ②∠ABE＝　 度． （2）拓展探究： 如图2，0°＜α＜90°，点D在边BC上，请判断AF与BE的数量关系及∠ABE的度数，并给予证明． （3）解决问题 如图3，90°＜α＜180°，点D在射线BC上，且BD＝3CD，若AB＝8，请直接写出BE的长． 9．综合与实践 图形的旋转变换是研究数学相关问题的重要手段之一，在研究三角形的旋转过程中，发现下列问题：如图1，在中，，，D，E分别为，边上一点，连接，且，将绕点A在平面内旋转． (1)观察猜想 若，将绕点A旋转到如图2所示的位置，则与的数量关系为　　； (2)类比探究 若，将绕点A旋转到如图3所示的位置，，相交于点O，猜想，满足的位置关系，并说明理由； (3)拓展应用 如图4，在（2）的条件下，连结，分别取，，的中点M，P，N，连结，，，若，，请直接写出在旋转过程中面积的最大值． 10．综合与探究： 如图，矩形绕着点A旋转得到矩形，点B、C、D分别对应点E、F、G． 【问题探究】 （1）如图1，将矩形绕着点A顺时针旋转得到矩形，当点G落在上时，延长交于点H，求证：； （2）在（1）的条件下，连接．若，，求的长； 【拓展延伸】 （3）将矩形绕着点A逆时针旋转得到矩形，若，，当所在直线经过点D时，直接写出的长． 11．知识探究：如图1，点E是正方形对角线AC上任意一点，以点E为直角顶点的直角两边，分别角与，相交于M点，N点．当时，请探究与的数量关系，并说明理由； 拓展探究：当绕点E顺时针旋转到点M与点D重合时，如图2，请探究与的数量关系，并说明理由； 迁移运用：在图2的基础上，过点E作于点H，如图3，证明H是线段的中点．    12．在中，AB＝AC，M是平面内任意一点，将线段AM绕点A按顺时针方向旋转与∠BAC相等的角度，得到线段AN，连结NB． 【感知】如图①，若M是线段BC上的任意一点，易证，可知∠NAB＝∠MAC，BN＝MC． 【探究】（1）如图②，点E是AB延长线上的点，若点M是∠CBE内部射线BD上任意一点，连结MC，【感知】中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明，若不成立，请说明理由． 【拓展】（2）如图③，在中，DE＝8，∠DEF＝60°，∠EDF＝75°，P是EF上的任意点，连结DP，将DP绕点D按顺时针方向旋转75°，得到线段DQ，连结EQ，则EQ的最小值为 ． 13．如图l，在正方形ABCD中，AB=8，点E在AC上，且，过点作于点，交于点，连接，． 【问题发现】 （1）线段与的数量关系是________，直线与所夹锐角的度数是___________； 【拓展探究】 （2）当绕点顺时针旋转时，上述结论是否成立？若成立，请写出结论并结合图2给出证明；若不成立，请说明理由； 【解决问题】 （3）在（2）的条件下，当点到直线的距离为2时，请直接写出的长． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．（1）45，； （2）成立，见解析；（3） 【分析】（1）根据旋转的性质得出AE=AG，∠BAE=∠DAG，BE=DG，∠B=∠ADG=90°，可求出∠EAF=∠GAF=45°，根据SAS推出△AEF≌△AGF，根据全等三角形的性质得出EF=GF，即可求出答案； （2）根据旋转的性质作辅助线，得出，，，求出C、D、G在一条直线上，根据SAS推出△AEF≌△AGF，根据全等三角形的性质得出EF=GF，即可求出答案； （3）如图3，同理作旋转三角形，根据等腰直角三角形性质和勾股定理求出∠ABC=∠C=45°，BC=8，根据旋转的性质得出AF=AE，∠FBA=∠C=45°，∠BAF=∠CAE，求出∠FAD=∠DAE=45°，证明△ADF≌△ADE，根据全等得出DF=DE，设DE=x，则DF=x，BF=CE=3-x，根据勾股定理得出方程，求出x即可． 【详解】解：（1）∵、都是直角，把绕点A逆时针旋转90°至，使AB与AD重合， ∴∠DAG=∠BAE，DG=BE，AE=AG，∠B=∠ADG=90°， ∴∠ADC+∠ADG=180°， ∴点F、D、G三点共线， ∵，， ∴∠BAE+∠DAF=∠BAD-∠EAF=45°， ∴∠DAG+∠DAF=90°，即∠FAG=45°， ∴∠FAG=∠EAF， ∵AF=AF， ∴△AEF≌△AGF， ∴EF=FG=DF+DG=DF+BE； ∴45度，线段BE、DF和EF之间的数量关系为； （2）成立，理由如下： 证明：如图2，把绕A点旋转到，使AB和AD重合， ∴，，， ∵， ∴， ∴C、D、G在一条直线上， ∵，， ∴∠BAE+∠DAF=∠BAD-∠EAF=45°， ∴∠DAG+∠DAF=90°，即∠FAG=45°， ∴， ∵AF=AF， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）如图3，把△AEC绕A点旋转到△AFB，使AB和AC重合，连接DF，则AF=AE，∠FBA=∠C= 45°，∠BAF = ∠CAE， ∵，， ∴∠ABC=∠C=45°， ∴∠FBD=∠FBA+∠ABC=90°， 由勾股定理得： ， ∵， ∴∠BAD+∠CAE=∠BAC-∠DAE=45°， ∴∠BAD+∠FAB=45°， ∵AD=AD，AF=AE， ∴△ADF≌△ADE， ∴DF=DE， 设DE=DF=x， ∵BC=8，BD=2， ∴BF=CE=BC-BD-DE=8-2-x=6-x， 在 中，∠FBD=90°，由勾股定理得： ， ∴ ，解得： ， ∴DE的长为． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，全等三角形的性质和判定，勾股定理的应用，直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题． 2．(1)①；②见解析；③见解析 (2)32 【分析】（1）①易证是的中位线，是的中位线，得出，，，，则，推出，即可得出结果；②先证，得出，；③证是的中位线，是的中位线，得出，，则，推出，即可得出是等边三角形； （2）易证，同（1）得，，则，是等腰直角三角形，当时，面积有最大值，即可得出结果． 【详解】（1）①解：∵， ∴， ∵点M、N、P分别为的中点， ∴是的中位线，是的中位线，， ∴，，，， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：，； ②证明：由旋转的性质得：， ∵， ∴， ∴， ③证明：∵点M、N、P分别为的中点， ∴是的中位线，是的中位线，， ∴，，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形； （2）由题意得：，即， 同（1）得：， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴当时，最大，此时，如图4所示： ， ∴面积的最大值为32． 【点睛】本题是几何变换综合题，考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、三角形中位线定理、平行线的性质、等边三角形的判定、三角形面积的计算得知识；熟练掌握旋转的性质和三角形中位线定理是解题的关键． 3．(1)①MN=NP；；②是等边三角形，理由见解析 (2)32 【分析】（1）①根据点分别为的中点，可得MNBD，NPCE ，根据三角形外角和定理，等量代换求出． ②先求出，得出，根据MNBD，NPCE ，和三角形外角和定理，可知MN=PN，再等量代换求出，即可求解． （3）同理可得是等腰直角三角形，根据，可知BD最大值，继而求出面积的最大值． 【详解】（1）①由题意知：AB=AC，AD=AE，且点分别为的中点， ∴BD=CE，MNBD，NPCE，MN=BD，NP=EC ∴MN=NP 又∵MNBD，NPCE，∠A=，AB=AC， ∴∠MNE=∠DBE，∠NPB=∠C，∠ABC=∠C= 根据三角形外角和定理， 得∠ENP=∠NBP+∠NPB ∵∠MNP=∠MNE+∠ENP，∠ENP=∠NBP+∠NPB， ∠NPB=∠C，∠MNE=∠DBE， ∴∠MNP=∠DBE+∠NBP+∠C =∠ABC+∠C =． ②是等边三角形． 理由如下： 如图，由旋转可得 在ABD和ACE中 ． 点分别为的中点， 是的中位线， 且 同理可证且 ． 在中 ∵∠MNP=，MN=PN 是等边三角形． （2）当时，同理可得，MN=PN ， 则是等腰直角三角形 根据题意得:，，时， 即，从而，当共线时，最大为， 的最大面积为 【点睛】本题主要考查了三角形中点的性质、三角形相似的判定定理、三角形外角和定理以及图形旋转的相关知识；正确掌握三角形相似的判定定理、三角形外角和定理以及图形旋转的相关知识是解题的关键． 4．(1)； (2)线段与的数量关系，位置关系与（1）中结论一致，理由见解析 (3) 【分析】（1）由旋转的性质可得，，，继而得到，，，，可得出与的夹角； （2）证明得，，即可得证； （3）利用勾股定理求出的长，证明，求出，由等腰三角形的性质可求出的长． 【详解】（1）解：如图，延长交于， ∵将绕点按顺时针方向旋转得到，，，， ∴，，， ∴，， ，， ∴，， ∴，， ∴线段与的位置关系是，与的数量关系是， 故答案为：；； （2）线段与的数量关系，位置关系与（1）中结论一致． 理由：如图， ∵将绕点按顺时针方向旋转任意角度得到，，，， ∴，，，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵， 即， ∴， ∴； （3）如图，过点作于， ∵，，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∴， ∵将绕点旋转一定角度得到，点 落到边上，， ∴， ∴， 由（2）可知：． 【点睛】本题是几何变换综合题，考查了旋转的性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，掌握旋转的性质、相似三角形的判定和性质是解题的关键． 5．（1）；（2）①见详解；②13.44 【分析】（1）利用平行线分线段定理，直接求解即可；、 （2）①先推出，从而得，进而即可得到结论；②先推出AE=AE1 =8，DE=D1E1=10，过点A作AM⊥DE于点M，则DM= 3.6，D1E=2.8，再证明∠D1EE1=90°，进而即可求解． 【详解】解：（1）∵，， ∴=； （2）①∵将绕点A逆时针旋转a度，得到， ∴=AD，=AE，∠BAD1=∠CAE1， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴； ②由①可知， ∴， ∵将绕点A逆时针旋转，得到，点恰好落在上， ∴AD1=AD=6，∠D1AE1=∠DAE=90°， ∴AE=AE1=AD1=8，DE=D1E1=， 过点A作AM⊥DE于点M，则DM=D1M=AD×cos∠ADE= AD×=6×=3.6， ∴D1E=10-3.6 ×2=2.8， ∵∠D1AE1=∠DAE=90°， ∴∠DAD1=∠EAE1， 又∵AD1=AD，AE=AE1， ∴∠ADE=， ∴∠AED+=∠AED+∠ADE=90°，即：∠D1EE1=90°， ∴， ∴的面积=D1E∙EE1=×2.8×9.6=13.44． 故答案是：13.44． 【点睛】本题主要考查相似三角形的判定和性质，解直角三角形，勾股定理，平行线分线段成比例定理，旋转的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质，是解题的关键． 6．(1)；点到直线的距离垂线段最短 (2) (3) 【分析】（1）根据点到直线的距离垂线段最短，当时，有最小值，求出即可； （2）作点关于的对称点，则点在边上，连接，过点作，垂足为，由轴对称的性质可得，当和在同一条直线上，且时，有最小值，即为，求出的长即可； （3）延长至使得，连接并延长，交于点，证明，可得，因为始终为，所以可确定点在上运动，当时，有最小值，求出此时的值即可． 【详解】（1）解：如图，当时，有最小值， ∵， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， 故答案为：；点到直线的距离垂线段最短． （2）解：如图，作点关于的对称点，则点在边上，连接，过点作，垂足为， ∵点、关于的对称， ∴， ∴， ∵当和在同一条直线上，且时，有最小值， ∴的最小值为， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴在中，， ∴的最小值为． （3）解：延长至使得，连接并延长，交于点， ∵顺时针旋转，得到线段， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵，始终为， ∴点在上运动，当时，有最小值， ∴， ∴的最小值为． 【点睛】本题考查了点到直线的最短距离、含角的直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质及勾股定理，根据题意正确作出辅助线是解答本题的关键． 7．(1)， (2)，证明见解析 (3) 【分析】（1）先根据旋转得：，计算，即点、、共线，再根据证明，得，可得结论； （2）如图2，同理作辅助线：把绕点逆时针旋转至，证明，得，所以； （3）如图3，将沿翻折得，沿翻折得，延长、相交于G，先证明四边形是正方形，再由勾股定理求AD的长即可． 【详解】（1）解：如图1，把绕点逆时针旋转至，可使与重合，即， 由旋转得：，，，， ， 即点、、共线， 四边形为正方形， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ； 故答案为：，； （2）解：如图2，，    理由是： 把绕点A逆时针旋转至，可使与重合，则在上， 由旋转得：， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ； （3）解：如图3，将沿翻折得，沿翻折得，延长、相交于G，    ∵， ∴， 由翻折可得：，，，，，，， ∴， ∴ ∴四边形是矩形， ∵ ∴四边形是正方形， ∴， 设，则， 在中，， 由勾股定理，得 解得， 即． 【点睛】本题考查了正方形的性质，等腰直角三角形的性质，翻折、旋转的性质，通过类比联想，引申拓展，可达到解一题知一类的目的，本题通过翻折、旋转一三角形的辅助线作法，构建另一三角形全等，得出结论，从而解决问题． 8．（1）①AF＝BE，②90°；（2）AF＝BE，∠ABE＝α．理由见解析；（3）BE的长为2或4． 【分析】（1）①由等腰直角三角形的判定和性质可得：∠ABC＝45°，由平行线的性质可得∠FDB＝∠C＝90°，进而可得由等角对等边可得DF＝DB，由旋转可得：∠ADF＝∠EDB，DA＝DE，继而可知△ADF≌△EDB，继而即可知AF＝BE； ②由全等三角形的性质可知∠DAF＝∠E，继而由三角形内角和定理即可求解； （2）由平行线的性质可得∠ACB＝∠FDB＝α，∠CAB＝∠DFB，由等边对等角可得∠ABC＝∠CAB，进而根据等角对等边可得DB＝DF，再根据全等三角形的判定方法证得△ADF≌△EDB，进而可得求证AF＝BE，∠ABE＝∠FDB＝α； （3）分两种情况考虑：①如图（3）中，当点D在BC上时，②如图（4）中，当点D在BC的延长线上时，由平行线分线段成比例定理可得、，代入数据求解即可； 【详解】（1）问题发现： 如图1中，设AB交DE于O． ∵∠ACB＝90°，AC＝BC， ∴∠ABC＝45°， ∵DF∥AC， ∴∠FDB＝∠C＝90°， ∴∠DFB＝∠DBF＝45°， ∴DF＝DB， ∵∠ADE＝∠FDB＝90°， ∴∠ADF＝∠EDB， ∵DA＝DE，DF＝DB ∴△ADF≌△EDB（SAS）， ∴AF＝BE，∠DAF＝∠E， ∵∠AOD＝∠EOB， ∴∠ABE＝∠ADO＝90° 故答案为：①AF＝BE，②90°． （2）拓展探究： 结论：AF＝BE，∠ABE＝α．理由如下： ∵DF‖AC ∴∠ACB＝∠FDB＝α，∠CAB＝∠DFB， ∵AC＝BC， ∴∠ABC＝∠CAB， ∴∠ABC＝∠DFB， ∴DB＝DF， ∵∠ADF＝∠ADE﹣∠FDE，∠EDB＝∠FDB﹣∠FDE， ∴∠ADF＝∠EDB， ∵AD＝DE，DB＝DF ∴△ADF≌△EDB（SAS）， ∴AF＝BE，∠AFD＝∠EBD ∵∠AFD＝∠ABC+∠FDB，∠DBE＝∠ABD+∠ABE， ∴∠ABE＝∠FDB＝α． （3）解决问题 ①如图（3）中，当点D在BC上时， 由（2）可知：BE＝AF， ∵DF∥AC， ∴， ∵AB＝8， ∴AF＝2， ∴BE＝AF＝2， ②如图（4）中，当点D在BC的延长线上时， ∵AC∥DF， ∴， ∵AB＝8， ∴BE＝AF＝4， 故BE的长为2或4． 【点睛】本题考查等腰直角三角形的判定和性质、平行线的性质、等边对等角的性质和等角对等边的性质、旋转的性质、相似三角形的判定及其性质、三角形内角和定理、平行线分线段成比例定理，涉及到的知识点较多，解题的关键是综合运用所学知识． 9．(1) (2)，见解析 (3) 【分析】（1）由旋转性质和“”可证，即可求解； （2）由旋转性质和“”可证，可得，由外角的性质可得结论； （3）先证明是等腰直角三角形，可得，则当点A，点D，点B三点共线时，有最大值，即可求面积最大值． 【详解】（1）解：如图1，， ， ， ， ， ， ， 由旋转得: , , 在和中 ， ， ， 故答案为：； （2）解：， 理由如下：如图，设与的交点为点P， 绕点A旋转到如图3所示的位置，， ， ， 在和中， ， ， ， 是的外角，也是的外角， ， ， ； （3）解： M，P，N分别是，，的中点， ，， ，， ， ， ， ，，， ， 是等腰直角三角形， ， ，， ∴当点A，点D，点B三点共线时，有最大值，即面积有最大值， 的最大值为， 面积的最大值为． 【点睛】本题是几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，旋转的性质，三角形中位线定理，三角形的外角性质，掌握“手拉手”型的旋转模型、线段和最值问题的解法，灵活运性质解决问题是解题的关键． 10．（1）见详解；（2）；（3）或 【分析】本题为旋转综合题，考查了旋转的性质，等腰三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，勾股定理等知识﹒ （1）根据旋转性质得到，从而证明，，即可证明； （2）作，垂足为P﹒根据旋转性质得到，，，求出，证明，求出，得到，根据勾股定理即可求出； （3）分当点D在线段上和点D在线段延长线上两种情况分别求出，即可求出的长为或﹒ 【详解】解：（1）证明：∵将矩形绕着点A顺时针旋转得到矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）如图，作，垂足为P﹒    ∵将矩形绕着点A顺时针旋转得到矩形， ∴，， ∴在中，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∴ ∴在中，； （3）如图2，当点D在线段上时， ∵矩形绕着点A逆时针旋转得到矩形， ∴，，， ∴在中，， ∴； 如图3，当点D在线段延长线上时， ∵矩形绕着点A逆时针旋转得到矩形， ∴，，， ∴， ∴在中，， ∴﹒ ∴的长为或﹒ 11．知识探究：，理由见解析；拓展探究：EM=EN，理由见解析；迁移运用：见解析 【分析】知识探究：根据正方形的性质可得，平分，再根据垂直定义可得，从而可得四边形是矩形，然后利用矩形的性质可得，从而利用角平分线的性质即可解答． 拓展探究：过点E作，垂足为P，过点E作，垂足为Q，根据垂直定义可得，再根据正方形的性质可得，平分，从而可得四边形是矩形，进而可得，然后利用等式的性质可得，再利用角平分线的性质可得，从而证明，最后利用全等三角形的性质即可解答； 迁移运用：连接，根据正方形的性质可得，平分，从而可得，然后证明，从而可得，进而可得，最后利用等腰三角形的三线合一性质即可解答． 【详解】解：知识探究：， 理由：∵四边形是正方形， ∴，平分， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴； 拓展探究：， 理由：过点E作，垂足为P，过点E作，垂足为Q，    ∴， ∵四边形是正方形， ∴，平分， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分，，， ∴， ∴， ∴； 迁移运用：连接，    ∵四边形是正方形， ∴，平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴H是线段的中点． 【点睛】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 12．（1）成立，见解析；（2） 【分析】（1根据证明即可． （2如图3中，在上截取，连接，作 于，作于．理由全等三角形的性质证明，推出当 的值最小时，的值最小，求出的值即可解决问题． 【详解】(1)结论仍然成立． 理由：， ， ， ，， ， ． （2如图3中，在上截取，连接，作于，作于． ， ， ，， ， ， 当的值最小时，的值最小， 在中， ，， ， ， ， ， 在，， ， 根据垂线段最短可知，当点与重合时，的值最小， 的最小值为． 【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，解直角三角形，垂线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用垂线段最短解决最值问题． 13．（1），；（2）结论仍然成立，证明详见解析；（3）的长为或． 【分析】（1）延长DE交CF的延长线于点N，由正方形的性质可得和均为等腰直角三角形，因此，易证，由相似三角形的性质即可得到，由三角形的内角和即可得到； （2）延长交于点，由旋转的性质可知和均为等腰直角三角形，因此，易证，同（1）易证结论仍成立； （3）由点E到直线AD的距离为2，，可知点F在直线AD或AB上，分两种情况讨论：（i）当点F在DA的延长线或BA延长线上时，由勾股定理可得的长，（ii）当点F在AD或AB上时，过点E作的高，由勾股定理可得的长． 【详解】解：（1）如图①，延长DE交CF的延长线于点N， ∵AC是正方形ABCD的对角线， ∴， ∵是直角三角形， ∴和均为等腰直角三角形， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴； 又∵，，， ∴ 故答案为：， （2）结论仍然成立． 理由如下：如图②，延长交于点． ∵是正方形的对角线，且是由原题中图1的位置旋转得来， ∴，即和均为等腰直角三角形． ∴． 又∵，， ∴． ∴． ∴，． ∴． 又∵，，， ∴． ∴结论成立． （3）的长为或． 理由如下： ∵点E到直线AD的距离为2，， ∴点F在直线AD或AB上 分两种情况讨论： （i）如图③，当点F在DA的延长线上时，过点E作EG⊥AD交延长线于点G, ∵, ∴, ∴， 在中，由勾股定理得； 如图④，当点F在BA延长线上时，过点E作EK⊥AD交DA的延长线于点K，在等腰中，过点E作EH⊥AF于点H, ∵AH=EK=2=AF， ∴BF=AB+AF=12， ∴； （ii）如图⑤，当点F在AD上时，过点E作EI⊥AD于点I， ∵AF=4，AD=8， ∴， 在中，由勾股定理得； 如图⑥，当点F在AB上时，过点E作EM⊥AD交AD于点M，在等腰中，过点E作EN⊥AF于点N， ∵AN=EM=2=AF， ∴， ∴， 综上所述，CF的长为或． 【点睛】本题考查相似三角形和图形旋转的性质，属于综合题，需要分类讨论，熟练掌握等腰直角三角形的性质、相似三角形的性质、勾股定理等知识是解题关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $