2025年九年级数学中考复习反比例函数中K的几何意义小专题

2025年九年级数学中考复习反比例函数中K的几何意义小专题 1．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点．已知反比例函数的图象经过点，过点A作轴于点B，且的面积为6． (1)求m和k的值； (2)当时，求函数值y的取值范围． 2．如图，正比例函数与反比例函数的图象相交于A，C两点，过点A 作x轴的垂线，交x轴于点B，连接，交y轴于点D，的面积为6． (1)求k的值； (2)若点A的纵坐标为2，求D的坐标． 3．如图，正比例函数与反比例函数的图象相交于点和，轴于点，且． (1)求正比例函数与反比例函数的解析式； (2)结合图象，指出当时的取值范围． 4．在平面直角坐标系中，，两点在函数的图象上，其中，轴于点，轴于点，且． (1)若，则的长为________，的面积为________； (2)若点的横坐标为，且，当时，求的值． 5．如图所示：已知直线 与双曲线交于A、B两点，且点A的横坐标为4． (1)求k的值； (2)若双曲线上的一点C的纵坐标为8，求的面积？ (3)在坐标轴上是否存在一点M使得的值最小，若存在，请求出M点坐标．不存在，请说明理由． 6．如图，在平面直角坐标系中，已知点，，将线段绕点B顺时针旋转一定角度，使得点O落在第一象限的点C处，作直线，已知，点C在反比例函数的图象上． (1)求k的值． (2)求图中阴影部分的面积． 7．如图所示，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第二、四象限的点和点，过点A作x轴的垂线，垂足为点C，的面积为4． (1)分别求出a和b的值； (2)结合图象直接写出中x的取值范围； (3)求的面积． 8．如图，在平面直角坐标系中，已知直线与坐标轴交于，两点，反比例函数的图象与直线交于，两点，连结，，分别过点，作轴的垂线和，交于点．    (1)若点的横坐标为12，求的面积； (2)若阴影部分的面积为12， ①记的面积为，的面积为，求证：； ②求的值． 9．如图，正方的边在x轴的正半轴上，点，反比例函数的图象分别交于点E，F，已知 (1)求反比例函数的解析式． (2)连接 求的面积． 10．如图，平行于轴的直尺（部分）与反比例函数的图象交于两点，与轴交于两点，连接，点对应直尺上的刻度分别为5、2，直尺的宽度，的面积为． (1)请你求出反比例函数的表达式； (2)若经过两点的直线的关系式为，请根据图象直接写出不等式的解集． 11．如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数（其中）的图象相交于，两点，    (1)求一次函数与反比例函数的表达式； (2)过点B作轴，交y轴于点P，过点P作交x轴于点Q，连接，求四边形的面积． 12．如图，一次函数与反比例函数的图象交于D、E两点，轴，垂足为C，过C作交y轴于B，已知四边形的面积为12，E点纵坐标为． (1)求反比例函数的解析式； (2)当时，求一次函数的解析式； (3)在（2）的条件下，直接写出的自变量x的取值范围． 13．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，轴于点，，反比例函数图象的一支经过的中点，且与交于点．    (1)求点的坐标； (2)求反比例函数的解析式： (3)四边形的面积为________． 14．如图1，直线与反比例函数图像交于点两点，过点作矩形，点在点左侧，点在轴上，点在轴上，连接、，已知.      (1)填空： ； (2)当平分时，连接，求的值； (3)如图2，连接、，并延长线段交轴于点，证明：四边形是平行四边形. 15．如图，点，分别位于反比例函数图像的两分支上，且轴于点C，轴于点D，连接，延长，交于点P，连接，分别与x轴，y轴相交于点E，F．的直角顶点P落在第二象限． (1)求k的值． (2)求证：． (3)当四边形的面积为6时，直接写出点P的坐标． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《2025年九年级数学中考复习反比例函数中K的几何意义小专题》参考答案 1．(1)， (2) 【分析】本题主要考查了反比例函数系数k的几何意义、反比例函数的性质及反比例函数图象上点的坐标特征，熟知反比例函数系数k的几何意义及反比例函数的图象与性质是解题的关键． （1）先根据的面积求出k的值，再将点A坐标代入所得反比例函数解析式求出m即可． （2）根据反比例函数的性质即可解决问题． 【详解】（1）解：∵点A在反比例函数的图象上，轴，且的面积为6， ∴， 解得或． 又∵， ∴， ∴反比例函数解析式为， 将点代入反比例函数解析式得， ， 所以m的值为，k的值为13． （2）解：将代得， ， 所以当时，y的取值范围是：． 2．(1) (2)点D 的坐标为 【分析】本题考查了反比例函数的的几何意义，求一次函数的解析式，反比例函数与一次函数的交点． （1）得到的面积为3，则可得； （2）求得点坐标，再求、坐标，利用待定系数法求得直线的解析式，即可解答． 【详解】（1）解：正比例函数与反比例函数的图象相交于A，C两点， ， 的面积为6， ， 根据反比例函数的几何意义可得， 反比例函数图象为第一、三象限， ∴； （2）解：反比例函数解析式为， 把代入，可得， ∴点A的坐标为， ∴点C的坐标为，点B的坐标为， 设直线的解析式为， 把，代入可得， 解得， 直线的解析式， 当时，， ∴点D的坐标为． 3．(1)， (2)或 【分析】（1）根据反比例函数k的几何意义得到，即可求得，把点代入反比例函数的解析式即可求得t，然后根据待定系数法即可求得正比例函数的解析式； （2）根据反比例函数与正比例函数的对称性，可得B点的坐标，然后根据图象即可求得当时x的取值范围． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ， ∴， ∴反比例函数的解析式为， ∵反比例函数经过点， ∴， ∴， 把代入得， ∴， ∴正比例函数的解析式为； （2）解：∵， 且两个函数的图象均关于原点对称， ∴， 由图象可知当时x的取值范围是或． 【点睛】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了待定系数法求正比例函数与反比例函数的解析式，正比例函数与反比例函数的对称性，函数与不等式的关系，数形结合是解题的关键． 4．(1)；1 (2) 【分析】本题考查了反比例函数图像上点的坐标特征、反比例函数系数k的几何意义以及两点间的距离公式， （1）由和的值可得出点A的坐标，利用勾股定理即可求出的长度，由点B在反比例函数图像上，利用反比例函数系数k的几何意义即可得出的面积； （2）根据反比例函数图像上点的坐标特征可找出点A、B的坐标，利用两点间的距离公式即可求出、的长度，由即可得出关于的方程，解之即可求出值，再根据即可确定值． 【详解】（1）解：∵，， ∴点， ∴， ． ∵点B在反比例函数的图像上， ∴． 故答案为；1． （2）解：∵A，B两点在函数的图像上， ∴，， ∴，． ∵， ∴， 解得：或． ∵， ∴． 5．(1) (2) (3)存在，M点坐标为，理由见解析 【分析】（1）利用一次函数求出点坐标，再将其代入双曲线中求解，即可解题； （2）利用反比例函数求出点C，过点C作轴于点，过点A作轴于点，，的延长线相加于点，连接，，结合的几何意义根据求解，即可解题； （3）根据点M在坐标轴上使得的值最小分以下两种情况讨论，①当M点在轴上时，②当M点在轴上时，根据以上两种情况结合轴对称性质，两点之间线段最短，待定系数法求一次函数解析式，以及一次函数与坐标轴交点情况分析求解，即可解题． 【详解】（1）解：直线 与双曲线交于A、B两点，且点A的横坐标为4， 将点A的横坐标代入得， 点A的坐标为， 将点A的坐标代入得：， 解得：， 故的值为； （2）解：由（1）可知：双曲线解析式为， 点C在双曲线上，点C的纵坐标为8， 将点C的纵坐标代入得：， 解得：，点C的坐标为， 如图，过点C作轴于点，过点A作轴于点，，的延长线相加于点，连接，， ； （3）解：存在，理由如下： ①当M点在轴上时， 如图，作点关于轴的对称点，连接，交轴于点M，连接， 根据轴对称性质可知，， ， 根据两点之间线段最短可知即为的最小值，与轴的交点即为M点， 点C的坐标为， 点的坐标为， 设直线的解析式为， 将、坐标代入得：，解得：， 直线的解析式为， 令，代入得：， 解得：， 点坐标为． 此时最小值为. ②当M点在轴上时， 如图，作点关于轴的对称点，连接，交轴于点M，连接， 根据轴对称性质可知，， ， 根据两点之间线段最短可知即为的最小值，与轴的交点即为M点， 点C的坐标为， 点的坐标为， 设直线的解析式为， 将、坐标代入得：，解得：， 直线的解析式为， 令，代入得：， 点坐标为， 此时最小值为，且. 综上所述，M点坐标为． 【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，轴对称性质，两点之间线段最短，割补法求面积，的几何意义，以及一次函数与坐标轴交点情况，解题的关键在于熟练掌握一次函数与反比例函数的图象与性质． 6．(1) (2) 【分析】（1）连接，过点C作轴于点D，证明是等边三角形，求出的面积，然后利用反比例函数k值的几何意义解得即可； （2）先求出点C坐标，再求出直线解析式，根据解析式得到直线与y轴的交点坐标，据此求出阴影部分面积即可． 【详解】（1）连接，过点C作轴于点D，如解图所示． ∵点，， ∴，即点O是的中点． ∵， ∴， ∴． 由旋转的性质，可得， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴． ∴． （2）由（1），知为等边三角形． ∴， ∴． ∵， ∴． ∴ 【点睛】本题考查了反比例函数k值的几何意义，解直角三角形，等边三角形的判定与性质，扇形面积公式，熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特征是关键． 7．(1) (2)或 (3)15 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的综合，正确理解交点坐标的意义，运用数形结合思想确定不等式的解集是解题的关键． （1）根据的面积为4．得到，结合图象分布在第二、第四象限，确定，得到解析式，代入计算即可． （2）利用数形结合思想，结合交点的横坐标计算即可． （3）设直线与y轴的交点为D，利用直线解析式计算，结合计算即可． 【详解】（1）∵的面积为4． ∴， 解得， ∵图象分布在第二、第四象限， ∴， ∴解析式， ∵点和点是图象上的两点， ∴． （2）∵，，且， 故或． （3）设直线与y轴的交点为D， ∵经过，， ∴ 解得， 故直线解析式为 ∴， ∴， ∵，, ∴． 8．(1) (2)①见解析；② 【分析】（1）由反比例函数解析式，求出点的坐标，代入直线解析式，进而求得点坐标，利用三角形面积公式，即可求解， （2）①根据反比例函数系数的几何意义，求出，得出 ，即：，即可求解， ②设点，点，求得，在中，，即，求出，即，由，可得，进而得出，将代入，即可求解， 本题考查了，反比例函数与一次函数交点，求一次函数解析式，反比例函数系数的几何意义，解直角三角形，解题的关键是：熟练掌握反比例函数系数的几何意义． 【详解】（1）解：当时，，得点的坐标为， 把代入，即：，解得：， ∴直线的函数表达式为， 令，得：，解得：，得点的坐标为， ∴, 故答案为：的面积为， （2）解：①∵点，在反比例函数的图象上， ∴，， ∵， ∴，即：， ∵阴影部分的面积为12， ∴，即， ∴． ②设点，点， 由直线，得：，， 在中，， ∴在中，， 如图，过点作轴于点，则，    ∴在中，， 在中，，即， ∵，整理得， ∴，即， ∴， 由①可知，， 即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴点的坐标为， 把代入，得，解得：， 故答案为：①；②． 9．(1) (2) 【分析】题考查了待定系数法求反比例函数的解析式，反比例函数系数k的几何意义，正方形的性质，求得点的坐标是解题的关键． （1）根据正方形的性质得到，，而，则，可得到E点坐标为，从而确定； （2）首先求得F的坐标，然后根据，利用梯形的面积公式即可求得． 【详解】（1）解：∵正方的边在x轴的正半轴上，点， ∴，， ∵ ∴， ∴E点坐标为， ∵的图象经过点， ∴ ∴反比例函数的解析式为； （2）解：连接，作于P， ∵， 把代入，求得， ∴ ∵， ∴． 10．(1)； (2)． 【分析】本题考查反比例函数的性质，解题关键是掌握反比例函数与方程的关系． （1）由点对应直尺上的刻度分别为5、2，，，即可求得点的坐标为，点的坐标为，关键是根据面积列出关于的方程，求出即可得出答案； （2）观察图像，根据点，点的横坐标求解． 【详解】（1）解：∵直尺平行于轴，点对应直尺上的刻度分别为5、2， ∴， ∵，在函数上， ∴点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为， ∴则点的坐标为， ∵， ∵， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴反比例函数的表达式为． （2）解：由（1）可知，点的坐标为， ∴， 又∵ ∴点横坐标为， 的解集是． 11．(1)， (2) 【分析】（1）将点A的坐标代入反比例函数中可得到系数的值，再把点B代入即可求得点B的坐标，进而将两点坐标代入一次函数求解即可； （2）四边形的面积可看做是一个四边形和一个直角三角形的面积和，经证明可得四边形为平行四边形，进而根据面积公式求得． 【详解】（1）解：∵一次函数与反比例函数（其中）的图象相交于，两点， ， ∴反比例函数表达式为，， ， 将、两点的坐标代入， 得，解得， ∴一次函数表达式为； （2）解：令一次函数的图象与轴交于点，   轴，， ∴四边形为平行四边形， ， ． 【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，解答的关键是结合图形分析问题与条件之间的关系． 12．(1)反比例函数的解析式为； (2)一次函数的解析式为； (3)或． 【分析】（1）设点的坐标为，证明四边形是平行四边形，利用面积公式列式计算即可求解； （2）求得点的坐标为，点E的坐标为，利用待定系数法即可求解； （3）观察函数图象即可求解． 【详解】（1）解：设点的坐标为，， ∵轴，， ∴四边形是平行四边形， ∴四边形的面积为， ∴， ∴反比例函数的解析式为； （2）解：∵四边形是平行四边形，且， ∴， 令， 解得：， ∴点的坐标为， ∵E点纵坐标为，则， 解得， ∴点E的坐标为， 将点，E ∴，解得， ∴一次函数的解析式为； （3）解：∵点的坐标为，点E的坐标为， ∴观察函数图象知的自变量x的取值范围为或． 【点睛】本题考查的是反比例函数与一次函数的交点问题主要考查了待定系数法，解本题的关键是用待定系数法求出函数的解析式． 13．(1) (2) (3)75 【分析】（1）先利用正弦的定义求出，则可利用勾股定理计算出，即可求解； （2）利用线段的中点坐标公式得到点坐标为，从而可确定反比例解析式； （3）先利用反比例函数图象上点的坐标特征确定然后利用四边形的面积 进行计算. 【详解】（1）∵点的坐标为, ∴, ∵轴于点, ， ∴, ∴， ∴； （2）∵点为的中点, ∴点坐标为, ∵反比例函数图象的一支经过的中点, ∴, ∴反比例函数解析式为 （3）当时,则 ∴四边形的面积 . 故答案为：. 【点睛】本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式：设出含有待定系数的反比例函数解析式 (为常数, ), 然后把一组对应值代入求出k得到反比例函数解析式.也考查了反比例函数的性质和反比例函数图象上点的坐标特征. 14．(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）设，，根据矩形的性质及锐角三角函数可知点，再根据点在反比例函数和一次函数的图象上即可解答； （2）根据反比例函数与一次函数的交点列方程解方程可得点，再根据角平分线的定义及平行线的性质可知，最后利用锐角三角函数即可解答； （3）设点的坐标为，根据题意列方程解方程可知，最后利用平行线的性质即可解答． 【详解】（1）解：∵在矩形中， ∴， ∵， ∴设，， ∴点， ∵点在直线的图象上， ∴， 解得：， ∴， ∵点在反比例函数的图象上， ∴， 故答案为； （2）解：∵反比例函数的解析式为，直线的解析式为， ∴， 解得：或， ∴点， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴点， ∴点的横坐标为，点在反比例函数的图象上， ∴点的纵坐标为， ∴点， ∵点， ∴； （3）证明：设点的坐标为，则点的坐标为， ∵点，点， ∴设直线的函数解析式为， ∴， 解得， ∴直线的函数解析式为， 同理得：直线的函数解析式为， ∴直线和直线的值都为：， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形． 【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的综合应用，利用待定系数法求一次函数解析式，角平分线的定义，平行四边形的判定，矩形的性质，掌握一次函数的性质及反比例函数的性质是解题的关键． 15．(1)3 (2)见解析 (3) 【分析】(1) 把代入反比例函数中，计算即可． (2) 设，则，证明即可证明． (3) 设，则，，，根据列式计算即可． 【详解】（1）把代入反比例函数中， 得． 解得， 故k的值为3． （2）∵， 设， 则，，， ∴， ∴， ∴． （3）设， 则，，， ∵， ∴， 解得， ∴． ∴． 【点睛】本题考查了反比例函数的解析式，平行线分线段成比例定理，直角三角形的性质，熟练掌握反比例函数的解析式，平行线分线段成比例定理是解题的关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$