专题01 集合、集合间的关系、集合的运算（八大题型精练）-2025-2026学年高一数学上学期秋季讲义（人教A版2019）

专题1 集合、集合间的关系、集合的运算 题型1 集合的概念的理解（三要素） 1．（24-25高一上·湖南长沙·阶段练习）下列说法正确的是（ ） A．我校很喜欢足球的同学能组成一个集合 B．联合国安理会常任理事国能组成一个集合 C．数组成的集合中有7个元素 D．由不大于4的自然数组成的集合的所有元素为 2．（2024·陕西宝鸡·一模）若集合中只有一个元素，则实数（    ） A．1 B．0 C．2 D．0或1 3．已知集合，，，则集合C中元素的个数为（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 4．（24-25高一下·河北保定·阶段练习）（多选题）下列用描述法表示的集合，正确的是（    ） A．奇数集可以表示为 B．“小于10的整数”构成的集合可以表示为 C．表示大于2的全体实数 D．不等式的解集表示为 5．（23-24高一上·江苏常州·阶段练习）（多选题）下列四个命题中正确的是（    ） A．方程的解集为 B．由所确定的实数集合为 C．集合可以化简为 D．中含有三个元素 6．（25-26高一上·全国·课后作业）已知集合，则中的元素个数为 ． 7．已知集合，，则集合B中元素的个数为 . 8．（25-26高一上·全国·课后作业）已知集合． (1)若，求集合； (2)若集合中各元素之和等于，求实数的值，并用列举法表示集合． 9．（25-26高一上·全国·课后作业）已知集合． (1)若集合中只有一个元素，求实数的值； (2)若集合中至多有一个元素，求实数的取值范围； (3)若集合中有两个元素，求实数的取值范围． 题型2 元素与集合的关系 10．（24-25高二下·宁夏银川·期中）下列说法正确的是（  ） A． B． C． D． 11．（24-25高三下·云南昭通·阶段练习）设集合，若，则（   ） A． B． C． D． 12．（24-25高一下·湖南娄底·阶段练习）集合，则下列表示正确的是（    ） A． B． C． D． 13．（2025·河南·一模）已知集合，若且，则（    ） A． B． C． D． 14．已知集合，且，则（   ） A． B． C． D． 15．（多选题）设集合，且，则x的值可以为（    ） A．3 B． C．5 D． 16．（2025·甘肃庆阳·二模）已知集合，且，则实数的值为 ． 17．（24-25高一上·上海徐汇·期末）设是实数，集合，若，则 . 18．（25-26高一上·全国·课后作业）已知集合，，记且.则 ， . 19．（2025高三·全国·专题练习）已知集合，且，求x的值. 题型3 子集与真子集 20．（24-25高三下·云南昆明·阶段练习）集合，则的子集个数为（    ） A．3 B．4 C．8 D．16 21．（25-26高一上·全国·课后作业）已知集合．若，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 22．（24-25高三下·云南昆明·阶段练习）设集合，，则（   ） A． B． C． D． 23．（24-25高一下·湖北黄石·阶段练习）设集合，，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 24．（2025·江西景德镇·模拟预测）满足的集合的个数为（   ） A．3 B．4 C．7 D．8 25．（24-25高一上·广西柳州·期末）（多选题）下列表述正确的有（    ） A． B． C． D．表示没有任何元素的集合 26．（25-26高一上·全国·课后作业）已知，则实数的取值范围是 ． 27．若集合有且仅有两个子集，则实数 ； 题型4 根据集合间的关系求参数范围 28．（24-25高三上·安徽阜阳·期末）若集合，，且，则（    ） A．0 B．1 C． D．3 29．（24-25高三上·福建泉州·期末）设集合，，若，则（   ） A．2 B．1 C．0 D．-1 30．（2025·江西·模拟预测）（多选题）已知集合，，下列结论正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则可以取3 31．（25-26高一上·全国·课后作业）已知集合，，且，则实数的取值范围是 ． 32．（24-25高三上·广东湛江·期末）已知集合，，且，则实数的值为 ． 33．已知集合，且，则 . 34．（24-25高一上·河南焦作·期末）设集合． (1)当时，求集合的非空真子集的个数； (2)若，求整数的所有可能取值． 35．已知，. (1)若是的子集，求实数的值； (2)若是的子集，求实数的取值范围. 题型5 集合的运算：交、并与补集 36．（2025·全国二卷·高考真题）已知集合则（   ） A． B． C． D． 37．（2025·全国一卷·高考真题）设全集，集合，则中元素个数为（   ） A．0 B．3 C．5 D．8 38．（2025·河南·模拟预测）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 39．（25-26高一上·全国·课后作业）已知全集，集合，则（    ） A． B． C． D． 40．（25-26高一上·全国·课后作业）（多选题）已知集合，，则下列说法正确的是（   ） A．集合 B．集合可能是 C．集合可能是 D．可能属于 41．（2025·上海浦东新·模拟预测）已知集合，则 . 42．（2025·上海松江·三模）已知集合，，且 . 43．（24-25高一下·广西南宁·阶段练习）设集合，. (1)求及； (2)求. 题型6 根据集合的运算求参数范围 44．（2024高三下·四川内江·专题练习） ，，若，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 45．（25-26高一上·全国·课后作业）已知集合，且，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 46．（2025·辽宁本溪·模拟预测）已知集合若，则a的取值构成的集合为（    ） A． B． C． D． 47．（24-25高三上·山东·阶段练习）已知，，若，则实数的取值构成的集合是（   ） A． B． C． D． 48．（25-26高一上·全国·课后作业）已知集合，． （1）若，则 ； （2）若，则实数的取值范围是 ． 49．（24-25高一上·四川绵阳·阶段练习）已知或，，若，则m的取值范围是 . 50．（24-25高一下·湖北黄石·阶段练习）设，，若，则实数a的值为 . 51．（24-25高一上·福建福州·阶段练习）已知集合，集合，若，则实数的取值集合为 . 52．（24-25高一上·江苏·期中）若或，则实数的取值范围为 ． 53．（25-26高一上·全国·课后作业）已知集合，． (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的值； (3)若，求实数的取值范围； (4)若将题干中集合，变为集合， 或．若，求实数的取值范围． 54．（24-25高一上·广东深圳·期末）设集合，集合． (1)若，求和； (2)，求实数的取值范围． 题型7 韦恩图的应用 55．（2025·黑龙江佳木斯·三模）已知全集，集合，，则图中阴影部分所表示的集合为（   ） A． B． C． D． 56．（24-25高一上·广东广州·阶段练习）已知全集，集合，，则图中阴影部分所表示的集合为（    ） A． B． C． D． 57．（24-25高一上·北京·期中）“运动改造大脑”，为了增强身体素质，某班学生积极参加学校组织的体育特色课堂，课堂分为球类项目A､径赛项目B､其他健身项目C.该班有25名同学选择球类项目A，20名同学选择径赛项目B，18名同学选择其他健身项目C；其中有6名同学同时选择A和名同学同时选择A和C，3名同学同时选择B和.若全班同学每人至少选择一类项目且没有同学同时选择三类项目，则这个班同学人数是（    ） A．51 B．50 C．49 D．48 58．（24-25高一上·辽宁·阶段练习）已知某班有50名同学，据统计发现同学们喜爱的第33届巴黎奥运会的比赛项目都集中在乒乓球、跳水、射击这三个比赛项目.13名同学只喜欢乒乓球比赛，10名同学只喜欢跳水比赛，8名同学只喜欢射击比赛，同时喜欢乒乓球与跳水比赛的同学有14名，喜欢乒乓球与射击比赛的同学有11名，喜欢跳水与射击比赛的同学有10名，则该班同时喜欢乒乓球、跳水、射击比赛的同学有（    ） A．8人 B．7人 C．6人 D．5人 59．（24-25高一上·江苏南通·期末）（多选题）下列集合表示图中阴影部分的为（    ） A． B． C． D． 60．设集合，，，则图中阴影部分所表示的集合是 . 61．（24-25高一上·天津滨海新·期末）1学校举办运动会时，高一（1）班共有28名同学参加比赛，有15人参加趣味益智类比赛．有8人参加田径比赛，有14人参加球类比赛，同时参加趣味益智类比赛和田径比赛的有3人，同时参加趣味益智类比赛和球类比赛的有3人，没有人同时参加三项比赛．则只参加趣味益智类一项比赛的人数为 ；同时参加田径和球类比赛的人数为 62．（24-25高一上·全国·课后作业）为弘扬红色文化、传承文化精神，某校在假期来临之际布置了一项红色文化学习的社会实践活动作业，并在开学后随机抽查了100名学生的完成情况（每个同学至少参加一项活动），其中有52人观看了红色电影，43人参观了烈士陵园，49人参观了红色教育基地，既观看红色电影又参观烈士陵园的有24人，既观看红色电影又参观红色教育基地的有20人，既参观烈士陵园又参观红色教育基地的有17人，则三项活动都参加的人数为 ． 题型8 集合的创新定义 63．（24-25高二下·浙江·阶段练习）定义集合的“对称差集”:且.已知集合， 下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．若，则 64．（25-26高一上·全国·课后作业）设P，Q为两个非空实数集合，定义．若，，则中元素的个数为（   ） A．9 B．8 C．7 D．6 65．（2025高三·全国·专题练习）定义集合运算且，则以下集合是的正确结果为（    ） A． B． C． D． 66．（23-24高一上·湖北荆州·期末）（多选题）给定集合P，Q，定义且，若，，则（    ） A． B． C． D． 67．（25-26高一上·全国·课后作业）已知A，B是非空集合，若，且满足，则称a，b是集合A，B的一对“基因元”．若集合，则A，B的“基因元”的对数是 ． 68．（25-26高一上·全国·课后作业）定义集合，若，则中元素的个数是 ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1 集合、集合间的关系、集合的运算 题型1 集合的概念的理解（三要素） 1．（24-25高一上·湖南长沙·阶段练习）下列说法正确的是（ ） A．我校很喜欢足球的同学能组成一个集合 B．联合国安理会常任理事国能组成一个集合 C．数组成的集合中有7个元素 D．由不大于4的自然数组成的集合的所有元素为 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】判断元素能否构成集合 【分析】根据题意，利用集合的定义逐一判断，即可得到结果. 【详解】对于A，因为很喜欢足球的同学没有明确的标准，不符合集合的确定性，所以不能组成一个集合，故A错误； 对于B，因为联合国安理会常任理事国有明确的标准，符合集合的确定性，所以能组成一个集合，故B正确； 对于C，因为存在，所以组成的集合中不可能有7个元素，故C错误； 对于D，由不大于4的自然数组成的集合的所有元素为，故D错误； 故选：B. 2．（2024·陕西宝鸡·一模）若集合中只有一个元素，则实数（    ） A．1 B．0 C．2 D．0或1 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】根据集合中元素的个数求参数 【分析】分类讨论，确定方程有一解时满足的条件求解. 【详解】当时，由可得，满足题意； 当时，由只有一个根需满足， 解得. 综上，实数的取值为0或1. 故选：D 3．已知集合，，，则集合C中元素的个数为（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】列举法求集合中元素的个数 【分析】由列举法列出集合的所有元素，即可得答案. 【详解】因为，，所以或或或， 故，即集合中含有个元素； 故选：C. 4．（24-25高一下·河北保定·阶段练习）（多选题）下列用描述法表示的集合，正确的是（    ） A．奇数集可以表示为 B．“小于10的整数”构成的集合可以表示为 C．表示大于2的全体实数 D．不等式的解集表示为 【答案】ACD 【难度】0.94 【知识点】描述法表示集合 【分析】根据描述法的特点逐项分析即可. 【详解】对A，奇数集可以表示为，故A正确； 对B，“小于10的整数”构成的集合可以表示为，故B错误； 对C，表示大于2的全体实数，故C正确； 对D，不等式的解集表示为，故D正确. 故选：ACD. 5．（23-24高一上·江苏常州·阶段练习）（多选题）下列四个命题中正确的是（    ） A．方程的解集为 B．由所确定的实数集合为 C．集合可以化简为 D．中含有三个元素 【答案】BC 【难度】0.65 【知识点】利用集合中元素的性质求集合元素个数、判断元素与集合的关系 【分析】选项A：由二次根式和绝对值的非负性可得解集；选项B：由，的正负性分类可得；选项C：由得，故为2的倍数，取为2的非负整数倍可得；选项D：取为6的因数可得. 【详解】选项A：方程的解为，解集为，故A错误； 选项B：由知，， 当，同为正数时，； 当，一正一负时，； 当，同为负数时，， 故由所确定的实数集合为，故B正确； 选项C：， ，当时，；当时，；当时，， 故集合可以化简为，故C正确； 选项D：， 当时，；当时，；当时，； 当时，， 故中含有4个元素，故D错误， 故选：BC 6．（25-26高一上·全国·课后作业）已知集合，则中的元素个数为 ． 【答案】4 【难度】0.65 【知识点】列举法求集合中元素的个数、描述法表示集合 【分析】根据集合的描述法写出集合的元素即可得解. 【详解】当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，． 由集合C中元素满足互异性，所以． 故答案为：4 7．已知集合，，则集合B中元素的个数为 . 【答案】6 【难度】0.65 【知识点】集合新定义、列举法求集合中元素的个数、利用集合中元素的性质求集合元素个数 【分析】由已知，根据条件给的集合A，按照集合B给的定义列举即可完成求解. 【详解】因为，，，所以时，；时，或，时，或3或4.，所以集合B中元素的个数为6. 故答案为：6. 8．（25-26高一上·全国·课后作业）已知集合． (1)若，求集合； (2)若集合中各元素之和等于，求实数的值，并用列举法表示集合． 【答案】(1) (2)答案见解析 【难度】0.65 【知识点】列举法表示集合、集合元素互异性的应用 【分析】（1）当时，直接解出集合即可； （2）解方程，对实数的取值进行分类讨论，求出集合，根据集合的元素之和为进行检验或求出的值，即可得解. 【详解】（1）当时，， 解得或或，故． （2）因为， 解该方程可得或或． 根据集合中元素的互异性知当方程有重根时， 重根只能算作集合的一个元素， 当时，可得，不符合题意； 当，即时，可得，符合题意； 当且时，，则， 解得，此时，符合题意． 综上，实数的值为或； 当时，；当时，． 9．（25-26高一上·全国·课后作业）已知集合． (1)若集合中只有一个元素，求实数的值； (2)若集合中至多有一个元素，求实数的取值范围； (3)若集合中有两个元素，求实数的取值范围． 【答案】(1)或 (2)或． (3)且． 【难度】0.65 【知识点】根据集合中元素的个数求参数 【分析】（1）由，两种情况讨论即可； （2）由（1），再结合中没有元素讨论即可； （3）由求解即可. 【详解】（1）当时，原方程变为，此时，符合题意； 当时，原方程为一元二次方程， 故当，即时，原方程的解为，符合题意． 综上，当或时，集合中只有一个元素． （2）集合中至多有一个元素，即集合中只有一个元素或没有元素． 当集合中只有一个元素时，由（1）可知，或． 当中没有元素时，，且，即． 综上，当集合中至多有一个元素时，实数的取值范围是或． （3）由题意得，且， 所以且， 故实数的取值范围是且． 题型2 元素与集合的关系 10．（24-25高二下·宁夏银川·期中）下列说法正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】判断元素与集合的关系 【分析】根据的意义进行判断. 【详解】根据的意义,, 故选：C. 11．（24-25高三下·云南昭通·阶段练习）设集合，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】根据元素与集合的关系求参数 【分析】由元素与集合的关系求出参数，求解方程从而得到集合. 【详解】，所以，时，， 解得或，即． 故选：D． 12．（24-25高一下·湖南娄底·阶段练习）集合，则下列表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】判断元素与集合的关系 【分析】通过列举法表示集合，逐项判断即可 【详解】，所以， 故A，C，D错误，B正确 故选：B. 13．（2025·河南·一模）已知集合，若且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】根据元素与集合的关系求参数 【分析】根据题意列出不等式组即可求出结果. 【详解】由题可知且 解得. 故选：C. 14．已知集合，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】判断元素与集合的关系、描述法表示集合 【分析】A选项，可设，所以，即，A错误；B选项，可设，所以，，B错误；C选项，，C正确；D选项，设，得到，D错误. 【详解】A选项，因为，可设， ， 所以，即，故A错误； B选项，因为， 所以，故B错误； C选项，因为，其中，所以，故C正确； D选项，因为，其中，所以，故D错误． 故选：C 15．（多选题）设集合，且，则x的值可以为（    ） A．3 B． C．5 D． 【答案】BC 【难度】0.85 【知识点】根据元素与集合的关系求参数、集合元素互异性的应用 【分析】根据元素与集合的关系运算求解，注意检验，保证集合的互异性. 【详解】∵，则有： 若，则，此时，不符合题意，故舍去； 若，则或， 当时，，符合题意； 当时，，符合题意； 综上所述：或. 故选：BC. 16．（2025·甘肃庆阳·二模）已知集合，且，则实数的值为 ． 【答案】3 【难度】0.94 【知识点】根据元素与集合的关系求参数、利用集合元素的互异性求参数、集合元素互异性的应用 【分析】因为，则或，由此可解出，再代入集合验证，需要满足集合的互异性，由此可得答案. 【详解】因为，所以分为以下两种情况： ①或，当时，集合满足题意； 当时，集合，违反了集合的互异性，故舍去； ②，此时集合，违反了集合的互异性，故舍去； 综上所述，. 故答案为：3. 17．（24-25高一上·上海徐汇·期末）设是实数，集合，若，则 . 【答案】 【难度】0.85 【知识点】根据元素与集合的关系求参数、利用集合元素的互异性求参数 【分析】根据元素与集合关系及互异性求参数即可. 【详解】若，则，不符合集合元素的互异性； 若，则（正值舍），此时，满足； 综上，. 故答案为： 18．（25-26高一上·全国·课后作业）已知集合，，记且.则 ， . 【答案】 【难度】0.85 【知识点】利用集合中元素的性质求集合元素个数、集合新定义 【详解】由及可得可能的取值有1，2，3，6，即，4，3，0，故.因为且，所以；又且，则. 19．（2025高三·全国·专题练习）已知集合，且，求x的值. 【答案】或 【难度】0.85 【知识点】根据元素与集合的关系求参数、利用集合元素的互异性求参数 【分析】根据元素与集合的关系，建立方程，结合集合元素的互异性，可得答案. 【详解】∵，∴或，∴或. 当时，，满足集合元素的互异性，∴符合题意； 当时，，也满足集合元素的互异性，∴也符合题意. 综上，x的值为或. 题型3 子集与真子集 20．（24-25高三下·云南昆明·阶段练习）集合，则的子集个数为（    ） A．3 B．4 C．8 D．16 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】判断集合的子集（真子集）的个数 【分析】根据中元素的性质可得，从而可求其子集个数. 【详解】因为， 故子集个数为， 故选：C. 21．（25-26高一上·全国·课后作业）已知集合．若，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】根据集合的包含关系求参数 【分析】分和，根据集合的包含关系分别研究参数范围. 【详解】若，则，即当时，满足； 若，则，即当时，由得，所以． 综上，． 故选：D. 22．（24-25高三下·云南昆明·阶段练习）设集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】判断两个集合的包含关系 【分析】先将两个集合的形式统一，即通分后分母都为，问题即转化为讨论分子所构成的两个集合之间的关系. 【详解】， ， 因为奇数集，为整数集， 则，故. 故选：B 23．（24-25高一下·湖北黄石·阶段练习）设集合，，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】根据两个集合相等求参数 【详解】令或分类讨论即可． 【分析】因为集合，， 若，由集合的互异性知，则或． 当时，， ，有，得， 所以； 当时，集合，，有， 又，所以，得，不满足题意． 综上． 故选：C． 24．（2025·江西景德镇·模拟预测）满足的集合的个数为（   ） A．3 B．4 C．7 D．8 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】列举法表示集合、判断集合的子集（真子集）的个数、求集合的子集（真子集） 【分析】用列举法写出满足条件的集合，即可得答案. 【详解】解：由题意可得，共3个. 故选：A 25．（24-25高一上·广西柳州·期末）（多选题）下列表述正确的有（    ） A． B． C． D．表示没有任何元素的集合 【答案】BD 【难度】0.85 【知识点】判断元素与集合的关系、空集的概念以及判断 【分析】根据元素和集合的关系判断AB选项，根据空集的定义判断CD选项. 【详解】A选项，是元素，是集合，之间不能用符号连接，A选项错误； B选项，集合中确实含有元素，即，B选项正确； C，D选项，根据空集的定义，表示没有任何元素的集合，D选项正确， 而是包含一个元素的单元素集合，，C选项错误. 故选：BD 26．（25-26高一上·全国·课后作业）已知，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】根据集合相等关系进行计算 【分析】根据题意，得到方程无实根，结合，即可求解. 【详解】由，可得方程无实根， 则满足，解得，所以实数的取值范围. 故答案为：. 27．若集合有且仅有两个子集，则实数 ； 【答案】0或2或18 【难度】0.65 【知识点】判断集合的子集（真子集）的个数、根据集合中元素的个数求参数 【分析】集合有且仅有两个子集，由于空集是任何集合的子集，所以集合是单元素集合，即方程只有一个根或两个相等的实数根，分和两种情况求出实数即可. 【详解】∵集合有且仅有两个子集, ∴集合中有且仅有一个元素, 即方程有一个根或者两个相等的实数根. 当时, 方程仅有一个实数根, 满足题意; 当时, 令, 解得或. 综上, 或或. 故答案为：0或2或18. 题型4 根据集合间的关系求参数范围 28．（24-25高三上·安徽阜阳·期末）若集合，，且，则（    ） A．0 B．1 C． D．3 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】根据集合的包含关系求参数 【分析】根据子集的定义判断即可. 【详解】因为集合，，且， 所以当时，，此时，符合题意； 当时，，此时不是的子集，不符合题意； 当时，，此时不是的子集，不符合题意， 故选：A. 29．（24-25高三上·福建泉州·期末）设集合，，若，则（   ） A．2 B．1 C．0 D．-1 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】根据集合的包含关系求参数 【分析】由求解并验证即可； 【详解】由题意可得：，解得：或， 当时，，，不符合舍去， 当时，，，符合， 故 ， 故选：D 30．（2025·江西·模拟预测）（多选题）已知集合，，下列结论正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则可以取3 【答案】AC 【难度】0.85 【知识点】根据集合的包含关系求参数 【分析】把代入，求解判断AB；利用集合的包含关系求解判断CD. 【详解】对于AB，若，则任意实数均满足，因此，A正确，B错误； 对于CD，由，得，解得，C正确，D错误. 故选：AC. 31．（25-26高一上·全国·课后作业）已知集合，，且，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】根据集合的包含关系求参数 【分析】根据题意，求得，分，，两种情况讨论，结合二次函数的性质，即可求解. 【详解】由方程，解得或，可得集合， 若，则满足，解得，此时满足； 若，当，即时，，满足，符合题意； 当，即时，中有两个元素，，则满足无解， 综上可得，实数的取值范围是． 故答案为：. 32．（24-25高三上·广东湛江·期末）已知集合，，且，则实数的值为 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】根据集合的包含关系求参数 【分析】根据子集定义分或两种情况计算求参即可. 【详解】因为集合，，且， 所以或， 即时，不合题意； 当时，解得（舍）或， 当时，集合，，满足，所以， 故答案为：. 33．已知集合，且，则 . 【答案】0或 【难度】0.65 【知识点】根据两个集合相等求参数 【分析】根据集合相等可得出关于实数a、b的方程组，利用集合元素满足互异性可求得实数a的值. 【详解】因为集合，且，分以下两种情况讨论： 当时，解得或， 若，集合A、B中的元素均不满足互异性； 若，则，符合题意； 当时，解得或， 若，集合A、B中的元素均不满足互异性； 若，则，符合题意； 综上所述，或， 故答案为：0或 34．（24-25高一上·河南焦作·期末）设集合． (1)当时，求集合的非空真子集的个数； (2)若，求整数的所有可能取值． 【答案】(1)14 (2)1和2． 【难度】0.85 【知识点】判断集合的子集（真子集）的个数、根据集合的包含关系求参数 【分析】（1）根据得到中得元素，然后计算真子集个数即可； （2）解不等式得到，然后根据集合的包含关系列不等式，解不等式即可. 【详解】（1）当时，， 故，其中含有4个元素， 故其非空真子集的个数为． （2）由题意可得， 由， 可得 解得， 故整数的所有可能取值为1和2． 35．已知，. (1)若是的子集，求实数的值； (2)若是的子集，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)或 【难度】0.85 【知识点】根据集合的包含关系求参数 【分析】（1）首先求出集合，依题意可得，则和为方程的两根； （2）分、为单元素集合、为双元素集合三种情况讨论，分别求出参数的取值范围. 【详解】（1）因为， 若是的子集，则， 所以，解得. （2）若是的子集，则. ①若为空集，则，解得； ②若为单元素集合，则，解得. 将代入方程，得，解得，所以，符合要求； ③若为双元素集合，，则. 综上所述，或. 题型5 集合的运算：交、并与补集 36．（2025·全国二卷·高考真题）已知集合则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】交集的概念及运算 【分析】求出集合后结合交集的定义可求. 【详解】，故， 故选：D. 37．（2025·全国一卷·高考真题）设全集，集合，则中元素个数为（   ） A．0 B．3 C．5 D．8 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】补集的概念及运算 【分析】根据补集的定义即可求出． 【详解】因为，所以， 中的元素个数为， 故选：C． 38．（2025·河南·模拟预测）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】并集的概念及运算 【分析】求出集合M，再根据并集概念计算. 【详解】解：由 ， 所以 故选： D 39．（25-26高一上·全国·课后作业）已知全集，集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】补集的概念及运算 【详解】由补集定义可知. 40．（25-26高一上·全国·课后作业）（多选题）已知集合，，则下列说法正确的是（   ） A．集合 B．集合可能是 C．集合可能是 D．可能属于 【答案】ABD 【难度】0.85 【知识点】交集的概念及运算、判断元素与集合的关系、并集的概念及运算 【分析】根据集合的运算可判断A选项；分析可知，集合中一定包含元素、、，结合交集运算可判断B选项；因为不是自然数，结合交集的运算可判断C选项；根据可判断D选项. 【详解】对于A选项，因为，所以，故A正确； 因为集合，所以集合中一定包含元素、、， 又因为，所以集合可能是，故B正确； 因为不是自然数，所以集合不可能是，故C错误； 因为是最小的自然数，所以可能属于集合B，故D正确． 故选：ABD. 41．（2025·上海浦东新·模拟预测）已知集合，则 . 【答案】 【难度】0.85 【知识点】交集的概念及运算 【分析】根据交集运算求解. 【详解】因为集合， 所以， 故答案为： 42．（2025·上海松江·三模）已知集合，，且 . 【答案】 【难度】0.94 【知识点】并集的概念及运算 【分析】根据并集运算的概念直接求解即可. 【详解】因为集合，，所以. 故答案为： 43．（24-25高一下·广西南宁·阶段练习）设集合，. (1)求及； (2)求. 【答案】(1)，； (2). 【难度】0.94 【知识点】交集的概念及运算、补集的概念及运算、并集的概念及运算 【分析】（1）（2）利用交集、并集、补集的定义直接求解. 【详解】（1）集合，， 所以，. （2）集合，，则， 所以. 题型6 根据集合的运算求参数范围 44．（2024高三下·四川内江·专题练习） ，，若，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】根据集合的包含关系求参数 【分析】根据可得，从而可讨论B是否为空集建立不等关系解出的范围即可． 【详解】已知集合，， ，， ①当时，满足，此时，故； ②当时，因，则，解得． 综上，． 故选：A. 45．（25-26高一上·全国·课后作业）已知集合，且，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】根据交并补混合运算确定集合或参数 【详解】由得或．又，所以，故． 46．（2025·辽宁本溪·模拟预测）已知集合若，则a的取值构成的集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】根据集合的包含关系求参数、根据并集结果求集合或参数 【分析】通过和两类情况讨论即可. 【详解】由题得，因为，所以. 当时，，满足； 当时，，因为，所以或，解得1或， 综上的取值构成的集合为. 故选：D. 47．（24-25高三上·山东·阶段练习）已知，，若，则实数的取值构成的集合是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】根据集合的包含关系求参数、根据交集结果求集合或参数 【分析】运用集合与集合之间的关系构造方程计算参数即可. 【详解】由得. 当时，，满足； 当时，因为， 所以或， 解得或. 故选：C. 48．（25-26高一上·全国·课后作业）已知集合，． （1）若，则 ； （2）若，则实数的取值范围是 ． 【答案】 或 【难度】0.85 【知识点】根据集合的包含关系求参数、并集的概念及运算 【详解】（1）当时，，则或． （2）因为，又，所以解得．故实数的取值范围是． 49．（24-25高一上·四川绵阳·阶段练习）已知或，，若，则m的取值范围是 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】根据交并补混合运算确定集合或参数 【分析】求出，由建立不等式即可得解. 【详解】由或，可得， 因为，， 所以且， 解得， 故答案为： 50．（24-25高一下·湖北黄石·阶段练习）设，，若，则实数a的值为 . 【答案】或或 【难度】0.65 【知识点】根据集合的包含关系求参数、根据并集结果求集合或参数 【分析】化简集合，讨论，，两种情况，即可求得a的值． 【详解】集合， 由可得， 若，，满足， 若，，若， 则或 得或． 综上，实数a的取值为或0或1． 故答案为：或0或1． 51．（24-25高一上·福建福州·阶段练习）已知集合，集合，若，则实数的取值集合为 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】根据集合的包含关系求参数、根据并集结果求集合或参数 【分析】求出集合，分析可得，然后分、、、，可得出关于的等式与不等式，综合可得出实数的取值集合. 【详解】因为，， 且，则， 对于方程，， 当时，有，解得， 当时，有，解得； 当时，有，方程组无解； 当时，有，方程组无解. 综上所述，实数的取值集合为. 故答案为：. 52．（24-25高一上·江苏·期中）若或，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】根据并集结果求集合或参数 【分析】根据并集的运算进行求解即可. 【详解】由或， 则，解得， 故答案为：. 53．（25-26高一上·全国·课后作业）已知集合，． (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的值； (3)若，求实数的取值范围； (4)若将题干中集合，变为集合， 或．若，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) (4)． 【难度】0.65 【知识点】根据交集结果求集合或参数、根据并集结果求集合或参数 【分析】（1）由，结合数轴即可求解； （2）结合数轴即可求解； （3）由条件得到或，进而可求解； （4）由和两种情况讨论即可. 【详解】（1）因为，所以，画出数轴如图： 所以，解得，故实数的取值范围是． （2）画出数轴如图，因为， 所以，解得． （3）因为，所以或． 又因为，所以或． 故实数的取值范围是． （4）①若，则，所以． ②若，因为，所以，解得． 综上所述，实数的取值范围是． 54．（24-25高一上·广东深圳·期末）设集合，集合． (1)若，求和； (2)，求实数的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【难度】0.65 【知识点】交集的概念及运算、根据并集结果求集合或参数、并集的概念及运算 【分析】（1）根据交集并集概念计算；在求取值范围时， （2）根据集合间的包含关系构造不等式组，来确定参数的取值范围. 【详解】（1）若，则， 所以， （2）因为，所以， 当时，满足，此时； 当时，要使，则，解得 综上，实数的取值范围为 题型7 韦恩图的应用 55．（2025·黑龙江佳木斯·三模）已知全集，集合，，则图中阴影部分所表示的集合为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】利用Venn图求集合、交集的概念及运算 【分析】由集合的运算即可表示出阴影部分，然后代入计算，即可得到结果. 【详解】，且， 则， 阴影部分表示的集合是在集合中去掉的元素， 则阴影部分表示的集合为. 故选：D 56．（24-25高一上·广东广州·阶段练习）已知全集，集合，，则图中阴影部分所表示的集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】交并补混合运算、利用Venn图求集合 【分析】由图得阴影部分为，即可求解； 【详解】由图可知，阴影部分为， 故选：A 57．（24-25高一上·北京·期中）“运动改造大脑”，为了增强身体素质，某班学生积极参加学校组织的体育特色课堂，课堂分为球类项目A､径赛项目B､其他健身项目C.该班有25名同学选择球类项目A，20名同学选择径赛项目B，18名同学选择其他健身项目C；其中有6名同学同时选择A和名同学同时选择A和C，3名同学同时选择B和.若全班同学每人至少选择一类项目且没有同学同时选择三类项目，则这个班同学人数是（    ） A．51 B．50 C．49 D．48 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】容斥原理的应用 【分析】根据题意，结合venn图，列式运算得解. 【详解】 由题意，，，，， ，， 因为全班同学每人至少选择一类项目且没有同学同时选择三类项目， 所以这个班同学人数是. 故选：B. 58．（24-25高一上·辽宁·阶段练习）已知某班有50名同学，据统计发现同学们喜爱的第33届巴黎奥运会的比赛项目都集中在乒乓球、跳水、射击这三个比赛项目.13名同学只喜欢乒乓球比赛，10名同学只喜欢跳水比赛，8名同学只喜欢射击比赛，同时喜欢乒乓球与跳水比赛的同学有14名，喜欢乒乓球与射击比赛的同学有11名，喜欢跳水与射击比赛的同学有10名，则该班同时喜欢乒乓球、跳水、射击比赛的同学有（    ） A．8人 B．7人 C．6人 D．5人 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】容斥原理的应用、利用Venn图求集合 【分析】根据给定条件，借助韦恩图，结合容斥原理列式计算即得. 【详解】如图，设该班同时喜欢乒乓球、跳水、射击比赛的同学有x人，    由图可知，解得 所以该班同时喜欢乒乓球、跳水、射击比赛的同学有8人. 故选：A 59．（24-25高一上·江苏南通·期末）（多选题）下列集合表示图中阴影部分的为（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【难度】0.94 【知识点】交并补混合运算、利用Venn图求集合 【分析】由集合的图示表示，再根据集合间的基本关系即可得出结论. 【详解】易知图中的阴影部分表示在集合中去除两集合的交集部分，即可表示为，即A正确； 还可表示为集合的补集与集合的交集，即，即D正确； 也可表示为集合的补集与集合的交集，即,B正确. 故选：ABD 60．设集合，，，则图中阴影部分所表示的集合是 . 【答案】 【难度】0.85 【知识点】利用Venn图求集合 【分析】根据阴影部分所表示，然后进行计算即可. 【详解】由题可知：阴影部分所表示 则，故 故答案为： 61．（24-25高一上·天津滨海新·期末）1学校举办运动会时，高一（1）班共有28名同学参加比赛，有15人参加趣味益智类比赛．有8人参加田径比赛，有14人参加球类比赛，同时参加趣味益智类比赛和田径比赛的有3人，同时参加趣味益智类比赛和球类比赛的有3人，没有人同时参加三项比赛．则只参加趣味益智类一项比赛的人数为 ；同时参加田径和球类比赛的人数为 【答案】 9 3 【难度】0.65 【知识点】容斥原理的应用 【分析】因为参加趣味益智类比赛的人数已知，因为没有人同时参加三项比赛，所以从中减去“同时参加趣味益智类比赛和田径比赛”和“同时参加趣味益智类比赛和球类比赛”的人数，就是只参加趣味益智类一项比赛的人数，设同时参加田径和球类比赛的人数为，列出方程计算即可． 【详解】因为参加趣味益智类比赛的总人数为15， 且：同时参加趣味益智类比赛和田径比赛的有3人； 同时参加趣味益智类比赛和球类比赛的有3人． 又因为没有人同时参加三项比赛， 所以只参加趣味益智类一项比赛的人数为：人． 设同时参加田径和球类比赛的人数为，由题意得： ， 解得：， 故同时参加田径和球类比赛的人数为， 故答案为：9；3． 62．（24-25高一上·全国·课后作业）为弘扬红色文化、传承文化精神，某校在假期来临之际布置了一项红色文化学习的社会实践活动作业，并在开学后随机抽查了100名学生的完成情况（每个同学至少参加一项活动），其中有52人观看了红色电影，43人参观了烈士陵园，49人参观了红色教育基地，既观看红色电影又参观烈士陵园的有24人，既观看红色电影又参观红色教育基地的有20人，既参观烈士陵园又参观红色教育基地的有17人，则三项活动都参加的人数为 ． 【答案】17 【难度】0.65 【知识点】容斥原理的应用 【分析】根据集合中元素个数求法以及容斥原理计算可得结果. 【详解】设集合，集合， 集合， 设三项活动都参加的人数为， 则， 则由题意可得， 即， 解得． 故答案为：17 题型8 集合的创新定义 63．（24-25高二下·浙江·阶段练习）定义集合的“对称差集”:且.已知集合， 下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．若，则 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】集合新定义 【分析】根据题设新定义的概念以及集合的基本运算法则计算即可得结果. 【详解】对于A，由，则， 所以，故A正确； 对于B，由，所以，故B错误； 对于C,由，则， 由，，则， 所以，，则， 所以，故C错误； 对于D，当时，结合选项B知，，故D错误. 故选：A. 64．（25-26高一上·全国·课后作业）设P，Q为两个非空实数集合，定义．若，，则中元素的个数为（   ） A．9 B．8 C．7 D．6 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】列举法求集合中元素的个数、集合新定义 【分析】根据给定的定义，按分别求出即可. 【详解】当时，；当时，； 当时，，， 所以，共有8个元素. 故选：B 65．（2025高三·全国·专题练习）定义集合运算且，则以下集合是的正确结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】集合新定义 【分析】直接根据新定义的概念即可得结果. 【详解】因为， 所以，， 所以， 故选：A. 66．（23-24高一上·湖北荆州·期末）（多选题）给定集合P，Q，定义且，若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【难度】0.85 【知识点】并集的概念及运算、集合新定义 【分析】根据并集运算和新定义逐一判断即可. 【详解】， 故，故A正确； 由新定义可知，，故B正确； ，故C错误； ，故D正确. 故选：ABD． 67．（25-26高一上·全国·课后作业）已知A，B是非空集合，若，且满足，则称a，b是集合A，B的一对“基因元”．若集合，则A，B的“基因元”的对数是 ． 【答案】13 【难度】0.85 【知识点】并集的概念及运算、集合新定义 【详解】，当a取2时，分别为1，1，4，6，共3对；当a取3时，分别为2，0，3，5，共3对；当a取5时，分别为4，2，1，3，共3对；当a取9时，分别为8，6，3，1，共4对．． 68．（25-26高一上·全国·课后作业）定义集合，若，则中元素的个数是 ． 【答案】8 【难度】0.94 【知识点】集合新定义 【分析】根据集合定义，利用列举法可得答案. 【详解】因为定义集合， 又， ， 所以集合中的元素为1，2，3，4，5，6，7，8，11，共8个． 故答案为：8. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$