专题3 分数的意义及加减法-2025年五升六数学暑假专项提升（人教版）

专题3 分数的意义及加减法-2025年五升六数学暑假专项提升 【要点一】分数、单位“1”、分数单位的意义 (1)一个物体、一个计量单位或是一些物体等都可以看作一个整体，这个整体可以用自然数1表示，我们通常把它叫做 (2)把单位"1"平均分成若干份，表示其中一份的数叫 【要点二】分数与除法的关系 被除数÷除数=被数(除数不为0),用字母表示： 【要点三】真分数、假分数、带分数 (1)真分数：分子比分母小的分数。真分数 1。 (2)假分数：分子比分母大或分子和分母相等的分数。假分数 1。 (3)带分数：由整数(不包括0)和真分数合成的数。带分数 1。读带分数时,先读整数部分，再读真分数部分，中间加一个“又”字。 【要点四】假分数化成整数或带分数 假分数化成整数或带分数的一般方法和两种情况： (1)一般方法：用假分数的分子除以分母。 (2)两种情况： ①分子是分母倍数的，化成整数，商就是这个整数。 ②分子不是分母倍数的，化成带分数，商是带分数的整数部分，余数是真分数部分的分子，分母不变。 【要点五】质因数和分解质因数 (1)质因数：每个合数都可以写成几个质数相乘的形式，其中合数的因数，叫作这个合数的质因数。 (2)分解质因数：把一个合数用质因数相乘的形式表示出来。 (3)分解质因数常用 ，用这个数的质因数开始除(一般从最小的质因数开始),除到商是质数为止，最后写成所有除数和商相乘的形式。 【要点六】分数的基本性质 分数的基本性质： 【要点七】公因数和最大公因数 (1)几个数公有的因数叫作它们的公因数，其中最大的一个叫作它们的最大公因数。 (2)求两个数的公因数和最大公因数的方法:列举法、筛选法和分解质因数法。 (3)具有特殊关系的两个数的最大公因数 ①倍数关系： 就是两个数的最大公因数。 ②互质关系：两个数的最大公因数是 【要点八】约分 (1)最简分数：分子和分母只有公因数1的分数。 (2)约分：把一个分数化成和它相等，但分子和分母都比较小的分数。注意：约分的依据是分数的基本性质，约分的结果通常是 【要点九】公倍数和最小公倍数 (1)几个数公有的倍数叫作它们的公倍数，其中最小的一个叫作它们的最小公倍数。 (2)求两个数的最小公倍数的方法：列举法、筛选法和分解质因数法。 例如，20=2×2×5,30=2×3×5,20和30公有的质因数是2和5,各自特有的质因数分别是2,3,则20和30的最小公倍数为2×5×2×3=60。 (3)具有特殊关系的两个数的最小公倍数： ①倍数关系： 就是两个数的最小公倍数。 ②互质关系：两个数的 就是它们的最小公倍数 【要点十】分数和小数的互化 （1）小数化分数：将小数化成分母是10、100、1000…的分数，几位小数就在1后边写几个0做分母，把小数点去掉的部分叫做分子，能约分就要约分。 （2）分数化小数：用分子除以分母，除不尽的按要求保留几位小数；带分数化成小数时，先把整数后的分数化成小数，再加上整数。 (3)分数和小数比大小：一般把分数变成小数后比，更简便。 【要点十一】分数的加法和减法 (1)同分母分数加、减法：同分母分数相加、减， 。计算结果，能约分的要约成最简分数。 (2)异分母分数加、减法：异分母分数相加、减，要先 ，再按照同分母分数的加减法的方法进行计算；或者先根据需要进行部分通分，根据算式特点来选择方法。 (3)分数加减混和运算的运算顺序和整数加减混和运算的运算顺序 。在计算过程，整数的运算律对分数同样适用。 【易错点一】有关约分的错误 (1)误认为只有把分数化成最简分数才是约分。实际上只要把分数化成和它相等,且分子和分母都比较小的分数，就是约分。例如，26-最。但实际约分时，通常要约成最简分数。 (2)误认为约分时把分数变小了。实际上约分的过程不改变分数的大小，只是把分子和分母同时变小了。 (3)约分时，结果没有化成最简分数。 【易错点二】有关通分的错误 (1)误认为把分子不同的分数化成同分子分数也是通分。实际上通分只是把异分母分数化成同分母分数，而把分子不同的分数化成同分子分数并不是通分，只是比较分数大小的一种方法。 (2)误认为通分时只能用分母的最小公倍数作公分母。实际上通分时可以用分母的任意公倍数作公分母，只是用最小公倍数作公分母更简便。 (3)通分时，只变了分母，而忘记变分子。通分时，要注意分母和分子同时乘相同的数。 拓展：解决3类实际问题 第一类：求一个数是另一个数的几分之几 求一个数是另一个数的几分之几，直接用这个数除以另一个数，然后再化简成最简分数。 第二类：应用公因数、最大公因数知识解决问题 (1)类似用整块的正方形方砖铺满长方形地面，求方砖边长及最大值的问题，符合要求的方砖的边长是长和宽的公因数。 (2)类似将不同长度的材料裁剪成长度相等的几段，求每段的长度及最大值的问题，符合要求的每段的长度是几种材料长度的公因数。 (3)类似将几种物品平均分成相同的份数且都没有剩余，求能分成的份数及最大值的问题，符合要求的份数是几种物品数量的公因数。 第三类：应用公倍数、最小公倍数知识解决问题 (1)类似用长方形地砖铺一个正方形，求能铺成的正方形的边长及最小值的问题,符合要求的正方形边长是长方形地砖长和宽的公倍数。 (2)类似求间隔时间的公倍数的问题，要明确“每多长时间一次”。例如，每3天休息一天，每10分钟发一班车，每3分钟跑一圈.…… (3)类似把若干物品按“每几个一组”的不同方式分，都正好分完，求这些物品的总数的问题，这些物品的总数就是不同分组方式中每组个数的公倍数。 一、填空题 1．的分数单位是( )，再添( )个这样的分数单位是最小的质数。 2．下图中的阴影部分占整个图形的。 3．根据a－b＝1（a、b是不为0的自然数），可知a和b的最大公因数是( )，最小公倍数是( )。 4．把3升果汁倒满8个同样的杯子后，正好倒完。每杯正好占3升的，是升，相当于1升的。 5．在括号填上“＞”“＜”或“＝”。 ( )    ( )     ( )      ( ) 6．m比m长( )m；kg比kg轻( )kg。 7．一杯纯果汁，小花喝了半杯后，觉得有点甜，就兑满了水。接着她又喝了半杯，小花一共喝了( )杯纯果汁。 二、选择题 8．两根同样长的绳子，第一根用去了，第二根用去了米，这两根绳子（    ）剩下的多。 A．第一根 B．第二根 C．两根一样 D．无法判断 9．把一根绳子剪成两段，第一段长米，第二段占全长的，两段绳子相比较（    ）。 A．第一段长 B．第二段长 C．一样长 D．无法比较 10．甲数是乙数的倍数，甲、乙两数的最大公因数是（    ）。 A．1 B．乙数 C．甲数 D．甲、乙两数的积 11．要使是假分数，同时是真分数，a的值应是（    ）。 A．5 B．6 C．7 D．8 12．一个班的人数在30～50人之间，上体育课时，其中的人跳绳，的人打篮球，的人在踢毽子，这个班没有参加体育运动的人数是（    ）。 A．1 B．2 C．3 D．1或2 三、判断题 13．一堆煤的与一堆煤重吨的意义相同。( ) 14．一个分数约分后，它的大小不变，但分数单位却变小了。( ) 15．大于而小于的分数只有。( ) 16．10千克水加入1千克盐后，盐占盐水的。( ) 17．做同样的作业，笑笑用了时，淘气用了时，淘气的速度快些。( ) 四、计算题 18．计算下面各题，能简算的要简算。 5－－                   ＋＋＋                8.1－＋1.9－ －（＋）                 －＋                     －（－） 五、解答题 19．小明30分钟走了4千米路，平均每分钟走多少千米？平均1千米要用多少时间？ 20．篮子里的萝卜无论是分给12只小兔子，还是分给15只小兔子，都能正好分完。篮子里至少有多少根萝卜？ 21．有一堆糖，2颗2颗地数、3颗3颗地数、5颗5颗地数，最后都剩下1颗，而且这些糖的总数在50－70颗之间，你知道有多少颗糖吗？ 22．化简一个分数时，用7约了一次，用4约了一次，用5约了一次，最后结果是。原来的分数是多少？ 23．有三根铁丝，它们的长度分别是15米、18米和27米。如果要把它们剪成同样长的小段，且不能有剩余，每段最长可以剪多少米？一共能剪多少段？ 1．A和B都是自然数，且＋＝，那么A＋B＝（    ）。 A．14 B．3 C．13 2．计算： 3．计算： 参考答案 【要点梳理】 【要点一】单位“1” 分数单位 【要点二】a÷b=(b≠0) 【要点三】小于 大于1或等于 大于 【要点四】 【要点五】短除法 【要点六】分数的分子和分母同时乘或者除以相同的数(0除外),分数的大小不变。 【要点七】较小数 1 【要点八】最简分数 【要点九】较大数 积 【要点十一】分母不变，只把分子相加减 通分 相同 【温故知新】 1． 17 【分析】表示把单位“1”平均分成12份，每份是，根据分数单位的意义，它的分数单位就是，它有7个这样的分数单位；最小的质数是2，分数的分子是分母的2倍时，分数值是2，即＝2，它有24个这样的分数单位，因此，再加上24－7＝17（个）这样的分数单位就是最小的质数。 【详解】＝2 －＝ 的分数单位是，再添17个这样的分数单位是最小的质数。 【点睛】此题主要是考查分数的意义、分数单位的意义。把单位“1”平均分成若干份，用分数表示，分母是分成的份数，分子是要表示的份数。 2． 【分析】根据分数的意义，把整个图形看作一个整体，把它平均分成8份，阴影部分占5份，用分数即可表示阴影部分占整个图形的分率。 【详解】根据分析得，阴影部分占整个图形的。 【点睛】本题是考查分数的意义，属于基础知识。 3． 1 ab 【分析】如果a－b＝1（a和b都是不为0的自然数），则说明这两个数是相邻的自然数，如5、6，那么这两个数是互质数，那么a和b的最大公因数是 1，最小公倍数是它们的积，据此解答。 【详解】如果a－b＝1（a和b都是不为0的自然数），则a和b互质，所以a和b的最大公因数是1，最小公倍数是ab。 【点睛】解答本题的关键是掌握相邻的两个自然数是互质数。 4．；； 【分析】根据分数的意义，把这3升果汁看作单位“1”，倒满8个相同的杯子后正好倒完，即平均分成8份，每份就是3升的；根据除法的意义，用3升除以8杯就是每杯的升数；将1升看作单位“1”，升是将1升平均分成8份，取其中的3份，即是1升的。 【详解】1÷8＝ 3÷8＝（升） ÷1＝ 即每杯正好占3升的，是升，相当于1升的。 【点睛】本题是考查分数的意义以及除法的意义，要判断清楚单位“1”。 5． ＜ ＞ ＜ ＜ 【分析】分数比较大小：分母相同，分子较大的分数比较大，分子较小的分数比较小；分子相同，分母较大的分数比较小，分母较小的分数比较大；分子和分母不同，先通分，再比较分子，分子大的数较大，分子小的数较小；真分数比带分数要小，据此解答。 【详解】因为＝ ＜ 所以＜ ＞   因为＝ ＝ ＜ 所以＜ ＜ 【点睛】本题考查了分数比较大小的方法。 6． 【分析】求m比m长多少，用－即可求出答案；求kg比kg轻多少，用－即可求出答案。 【详解】－ ＝ ＝（m） － ＝ ＝（kg） 【点睛】本题的关键是求异分母的减法计算，先通分再计算。 7． 【分析】把这杯果汁的量看作单位“1”，喝了半杯，即喝了杯纯果汁；兑满水，接着又喝了半杯，这时喝了纯果汁的杯的，即相当于把一杯果汁平均分成4份，喝了其中的1份，也就是杯，把两次喝的纯果汁杯数相加即可解答。 【详解】＋ ＝＋ ＝（杯） 所以小花一共喝了杯纯果汁。 8．D 【分析】两个含义不同，第一个是把绳长看作单位“1”，是分率；第二个是具体的量。分两根绳子长度小于1米，等于1米，大于1米三种情况讨论。 【详解】①两根绳子的长度小于1米时，第一根用去＜第二根用去米； ②两根绳子的长度等于1米时，第一根用去＝第二根用去米； ③两根绳子的长度大于1米时，第一根用去＞第二根用去米； 由于不知道这两根绳子的具体长度，所以无法确定两根绳子哪根剪去的长，也就无法确定哪根绳子剩下部分长. 故答案为：D 9．B 【分析】通过对应分率进行比较，将绳子长度看作单位“1”，1－第二段占全长的几分之几＝第一段占全长的几分之几，比较即可。 【详解】1－＝ ＞，两段绳子相比较第二段长。 故答案为：B 10．B 【分析】当两个数成倍数关系时，较小数就是它们的最大公因数。例如：6是3的倍数，3是较小数，6是较大数，6和3的最大公因数是3。根据求两个数的最大公因数的特殊情况解答即可。 【详解】甲数是乙数的倍数，说明乙数是较小数，所以甲、乙两数的最大公因数是乙数。 故答案为：B 【点睛】明确求两个数的最大公因数的特殊情况是解决此题的关键。 11．B 【分析】假分数分子大于等于分母，真分数分子小于分母，据此分析解题。 【详解】要使是假分数，那么a大于等于6，又要使得是真分数，那么a还需要小于7，那么a只能是6。 故答案为：B 【点睛】本题考查了真分数和假分数，掌握真分数和假分数的概念是解题的关键。 12．B 【分析】把全班总人数看作单位“1”，根据减法的意义，用“1”减去跳绳、打篮球、踢毽子的人数占总人数的分率之和，就是这个班没有参加体育运动的人数占总人数的几分之几； 经过计算，得出这个班没有参加体育运动的人数占总人数的，已知一个班的人数在30～50人之间，能平均分成20份，说明这个班的总人数是20的整数倍，确定这个班的总人数是40人； 把40平均分成20份，取其中的一份，据此求出这个班没有参加体育运动的人数。 【详解】1－（＋＋） ＝1－（＋＋） ＝1－ ＝ 已知一个班的人数在30～50人之间，且总人数是20的整数倍，所以全班总人数是40人。 40÷20×1＝2（人） 这个班没有参加体育运动的人数是2人。 故答案为：B 【点睛】本题考查分数加减混合运算的应用以及分数的意义；掌握异分母分数加减法的计算法则，得出没有参加体育运动的人数占总人数的分率，据此确定全班总人数是解题的关键。 13．× 【分析】一堆煤的，是表示把一堆煤的质量看作单位“1”，把平均分成4份，取其1份，这堆煤的的质量与这堆煤原来的重量有关，这堆重，它的就重，反之，它的就轻，也就是说这堆煤的重不是一个定量；而一堆煤重吨，是表示这堆煤的质量是一个定量，因此，二者的意义完全不同。 【详解】由分析可得：一堆煤的是把一堆煤的质量看作单位“1”，把它平均分成4份，取其1份；而一堆煤重吨，是表示这堆煤的质量吨，二者意义不同，原题说法错误； 故答案为：× 【点睛】本题是考查分数的意义，一堆煤的是表示一个分率，不是一个具体的量，吨是表示一个具体的量。 14．× 【分析】分数的基本性质：分数的分子和分母同时乘或除以相同的数（0除外），分数大小不变；根据分数的基本性质，将分数约分成最简分数，约分：分子和分母同时除以它们的最大公因数即可得到最简分数，最简分数的分子和分母互质。根据分数单位的意义，把单位“1”平均分成若干份，表示其中1份的数叫分数单位。同分子分数比较，分母越大，对应的分数值越小。据此解答。 【详解】假设一个分数为， 约分后，＝ 的分数单位是， 的分数单位是， ＜ 一个分数约分后，它的大小不变，但分数单位会变大。所以原题干说法错误。 故答案为：× 【点睛】本题考查了约分的应用以及分数单位的认识。 15．× 【分析】分数的基本性质：分数的分子和分母同时乘或除以相同的数（0除外），分数的大小不变。 根据分数的基本性质，把两个分数的分子、分母同时乘2、3、4……可以得到无数个大于而小于的分数；据此判断。 【详解】大于而小于的分母是5的分数只有； ＝，＝； 大于而小于的分母是10的分数有：，，； ＝，＝； 大于而小于的分母是15的分数有：，，，，； …… 所以大于而小于的分数有无数个。 原题说法错误。 故答案为：× 16．× 【分析】10千克水加入1千克盐后，则盐水总重是10＋1千克，根据分数的意义，用盐重除以盐水总重，即得盐占盐水的几分之几。 【详解】由分析得： 1÷（10＋1） ＝1÷11 ＝ 故答案为：× 【点睛】完成本题要注意是求盐占盐水的分率，而不是盐占水的分率。 17．× 【分析】做同样的作业，谁用的时间少谁做得快，据此解答。 【详解】＝，＜，所以＜，笑笑用时少，做的快，原说法错误。 故答案为：× 【点睛】本题主要考查异分母分数大小的比较方法。 18．4；2；9；；； 【分析】（1）根据减法的性质a－b－c＝a－（b＋c）进行简算； （2）根据加法的交换律a＋b＝b＋a，加法结合律（a＋b）＋c＝a＋（b＋c）进行简算； （3）根据加法的交换律a＋b＝b＋a，加法结合律（a＋b）＋c＝a＋（b＋c），减法的性质a－b－c＝a－（b＋c）进行简算； （4）先算括号里面的加法，再算括号外面的减法； （5）从左往右依次计算； （6）根据减法的性质逆运算a－（b＋c）＝a－b－c，加法的交换律a＋b＝b＋a进行简算。 【详解】（1）5－－ ＝5－（＋） ＝5－1 ＝4 （2）＋＋＋ ＝（＋）＋（＋） ＝1＋1 ＝2 （3）8.1－＋1.9－ ＝8.1＋1.9－－ ＝（8.1＋1.9）－（＋） ＝10－1 ＝9 （4）－（＋） ＝－（＋） ＝－ ＝－ ＝ （5）－＋ ＝－＋ ＝＋ ＝ （6）－（－） ＝－＋ ＝＋－ ＝－ ＝－ ＝ 19．千米；7.5分钟 【分析】 根据除法的意义，用4÷30即可求出平均每分钟走多少千米；再用30÷4即可求出平均1千米要用多少时间。 【详解】4÷30＝（千米） 30÷4＝7.5（分钟） 答：平均每分钟走千米；平均1千米要用7.5分钟。 【点睛】解答本题的关键是明确谁做被除数，谁做除数。 20．60根 【分析】已知萝卜无论是分给12只小兔子，还是分给15只小兔子，都能正好分完，求最少有多少根，说明萝卜的个数是12和15的最小公倍数，求两个数的最小公倍数，先将这两个数分别分解质因数，最小公倍数是两个数公有的质因数和各自独有的质因数的乘积。据此解答。 【详解】12＝2×2×3 15＝3×5 2×2×3×5＝60 12和15的最小公倍数是60， 答：篮子里至少有60根萝卜。 【点睛】本题考查了最小公倍数的求法和应用。 21．61颗 【分析】根据题意可知，这些糖果的数量减去1颗后，一定是2、3、5的公倍数，先根据求最小公倍数的方法，用2×3×5即可求出它们的最小公倍数，再根据乘法的意义，推出50－70之间的2、3、5的公倍数，最后加1即可求出糖果的数量。 【详解】2×3×5＝30 30×2＝60 60＋1＝61（颗） 50＜61＜70 答：一共有61颗糖。 【点睛】本题考查了公倍数的应用，解答本题关键是理解：这堆糖果的数量减1颗后是2、3、5的公倍数。 22． 【分析】用7约了一次，用4约了一次，用5约了一次，说明这个分数一共缩小了，现在的分数分子和分母都乘140，就是原来的分数，据此解答。 【详解】由分析得： 7×4×5＝140 【点睛】因为原分数采用的是逐次约分法，即先后用数字7、4、5去除分子和分母，由于乘除法是互逆的，故可采用乘法还原原来的分数。 23．3米；20段 【分析】根据题意，剪成同样长的小段，没有剩余，那么每段的长度是15、18和27的公因数；求每段最长的长度，就是求15、18和27的最大公因数。 先用分解质因数的方法求出15、18和27的最大公因数，再用除法分别求出三根铁丝各可以剪几段，最后相加就是一共能剪的段数。 【详解】15＝3×5 18＝2×3×3 27＝3×3×3 15、18和27的最大公因数是3； 即每段最长可以剪3米。 15÷3＋18÷3＋27÷3 ＝5＋6＋9 ＝20（段） 答：每段最长可以剪3米，一共能剪20段。 【暑期培优】 1．B 【分析】异分母分数相加，先通分成同分母在进行加法运算，最后对A和B分别取值使等式成立即可。 【详解】 A＝2，B＝1 A＋B＝3 故答案为：B。 【点睛】本题关键在于掌握异分母分数相加减时的运算法则。 2． 【分析】本题主要考查应用拆分法简算的能力。算式中的每个加数都可以拆分成两个数的差，即，，，，…其中一部分分数可以互相抵消，使计算简便。 【详解】 ＝1－＋－＋－＋－＋⋯＋－ ＝1－ ＝ 3． 【分析】将带分数拆成整数＋分数，利用加法交换结合律写成，4个整数看成10＋100＋1000＋10000，最后减4，将4个分数的和化成带分数，再与整数和相加即可。 【详解】 7 学科网（北京）股份有限公司 $$