专题4 图形与实践-2025年五升六数学暑假专项提升（人教版）

专题4 图形与实践-2025年五升六数学暑假专项提升 【要点一】观察物体 1.由几个大小相同的小正方体摆成的立体图形，从同一个方向观察，看到的图形可能是 ，也可能是 。根据一个方向看到的图形摆立体图形，有多种摆法。 2.从同一个方向观察物体最多只能看到 。 3.根据两个方向观察到的形状能确定所用小正方体的个数。根据三个方向观察到的形状摆小正方体结果只有一种。 【要点二】旋转的含义及三要素 1.旋转的含义：物体绕着某一点或某条轴运动的现象称为旋转 2.旋转的三要素： 。常用描述语言：绕某点顺(逆)时针方向旋转多少度。 【要点三】旋转的特征 图形旋转时，旋转中心的位置不变，过旋转中心的所有边旋转的方向相同，旋转角度也都相同。旋转后的图形的 都没有发生变化，只是 发生了变化。 【要点四】旋转的性质 图形绕某一点旋转一定的度数，图形中的对应点、对应线段都旋转相同的度数，对应点到旋转中心的距离相等，对应线段、对应角都分别相等。 【要点五】折线统计图 1.实际问题中，如果需要了解数量的增减变化，那么选用 比较合适。 2.绘制折线统计图的方法： ①先写统计图的标题。 ②建立横轴和纵轴：横轴一般用来表示时间，纵轴一般表示数量，横轴要用等距离的点表示，纵轴要根据已知数据中最大的数和最小的数考虑单位长度应代表的数量 ③描点连线：找准数据，看清横轴、纵轴，进行描点，并把相邻的点顺次用线段连接起来。④标注数据：在所描点的上方和下方标上数据。 ⑤标注好日期和名称。 【要点六】找次品的基本思路 1.已知次品比正品重(或轻),可以通过天平称量快速找出次品。 2.基本的推理过程：找次品时，物品的分法通常采用三分法，即把物品分成尽可能相等的 。例如，3个物品分成3份，每份1个：5个物品分成3份，通常是2,2,1;10个物品分成3份，通常是3,3,4。 【易错点一】旋转角度测量错误 绕图形的一个顶点旋转，旋转前后对应线段之间的夹角才是旋转角度。不要错把旋转前后两图形相邻边的夹角当成旋转角度。例如，图中三角形AOB绕点0逆时针旋得到三角形COD,旋转角度应是∠AOC或∠BOD的度数，而不是∠AOD的度数。 【易错点二】将图形旋转后，对应线段长度不同 将一些特殊形状的图形旋转后，不仅要保证图形形状相同，而且要保证对应线段的长度相同例如，图中将三角形AOB逆时针旋转后，画出的三角形A'OB’虽然与原三角形形状相同，但对应线段的长度却不同，画图错误。 【易错点三】易错点找次品时，对“至少”理解错误 一般找次品的题目中，都会有“至少称几次才能保证找出次品”。“至少”与“最少不同，"至少"在保证找出次品的情况下所用的最少次数，而“最少”的次数存在运气成分，无法保证一定能找出次品。例如，4个零件中有1个重一些的次品，如果分成1,1,2这样的3份，可能称1次就能找到次品，但称2次才能保证找到次品。 拓展：解决3类实际问题 第一类：在方格纸上画一个图形旋转90°后的图形 第一步：确定旋转图形的关键点。 第二步：确定旋转中心、旋转方向和旋转角度。 第三步：由关键点到旋转中心的距离确定旋转后的对应点。 第四步：顺次连接各对应点，画出旋转后的图形。 第二类：运用平移和旋转的知识解决问题 (1)设计图案时，先明确基本图形，然后运用旋转或平移进行图形变换，得到想要的图案。 (2)根据图案判断基本图形的变换方式时，如果形状、大小、自身方向都相同理有错误，就是通过平移变换的；如果形状、大小相同，但位置和自身方向不同，就是通过旋转变换的。 第三类：找次品问题(只含1个次品，已知次品重或轻) (1)基本方法：采用三分法，然后用天平称，根据每次称的结果推断次品在哪一份中。 (2)用天平找次品时，所测物品数目与至少需要测试的次数有以下关系： 一、填空题 1．用同样的小正方体搭一个立体图形，从上面看到的图形是，从前面看到的图形是，从左面看到的图形是，则这个立体图形是由( )个小正方体组成的。 2．一个立体图形，从上面看到的形状是，从左面看到的形状是，摆这样的立体图形，最少需要( )个小立方块，最多需要( )个小立方块。 3．如图的立体图形，要想从上面看形状不变，最多可以拿掉( )个小正方体。 4．有26个零件，其中有一个零件是次品（次品轻一些）。用天平称，至少称 次能保证找出次品零件。 5．用尽可能少的次数找出次品，你会对待测物品进行分组吗？ 待测物品个数 首次分成 6 （2，2，2） 14 （ ， ， ） 25 （ ， ， ） 二、判断题 6．从前面、左面看到的形状都相同。( ) 7．用5个同样大的正方体摆出的物体，从上面看是，一共有3种不同的摆法。( ) 8．复式条形统计图不仅反映数量的变化趋势，而且便于对两组数据的变化趋势进行比较。( ) 9．从10个零件中找1个次品，用天平称，至少称2次一定能找出来。( ) 10．要统计欢欢和乐乐5次数学成绩的变化情况，应该选用单式折线统计图。( ) 三、选择题 11．花花用5个同样的小正方体摆一个几何体，从上面看是，从左面看是。一共有（    ）种不同的摆法。 A．4 B．3 C．2 D．1 12．如图是用小正方体拼成的立体图形，要从左面可以看到，需要移走的小正方体是（    ）号。 A．① B．② C．③ D．都可以 13．由若干个小正方体搭成的几何体，从左面看和从正面看，看到的形状如下图所示，要搭成这样的几何体最多需要（    ）个小正方体。 A．7 B．8 C．10 D．12 14．小军从家出发去书店买书，当他走了大约一半路程时。想起忘了带钱。于是他回家取钱，然后再去书店，买了几本书后回家。下面（    ）幅图比较准确地反映了小军的行为。 A．B．C． 四、作图题 15．下面立体图形从上面、正面和左面看到的形状分别是什么？画一画。 16．（1）画出图形A绕点O逆时针旋转90°后得到的图形B。 （2）画出图形B先向右平移5格，再向上平移3格后得到的图形C。 17．根据下表，画出与之对应的折线统计图。 18．下面是某地区2018年~2023年燃油汽车和新能源汽车的销售量情况统计表。 年份 2018年 2019年 2020年 2021年 2022年 2023年 燃油汽车/万辆 新能源汽车/万辆 35 63 60 74 121 180 某地区2018年~2023年燃油汽车和新能源汽车的销售量情况统计图 （1）将上面的统计表和折线统计图填、画完整。 （2）该地区（    ）年燃油汽车和新能源汽车的销售量相差最少，（    ）年相差最多。 （3）结合以上信息，请你预测2024年该地区燃油汽车的销售量可能是（    ）万辆，新能源汽车的销售量可能是（    ）万辆。将你预测的理由写在下面的横线上： 19．计算一下，下面堆起的立体图形中一共用了多少个小正方体积木？ 20．有六个零件，其中一个是次品，用天平称了三次（如下图），则几号零件是次品？次品的质量比正品的质量轻还是重？为什么？请写出你的推导过程。 21．为了做好第14届全运会的志愿者工作，小明在某周末上午9时骑自行车离开家去北陵公园锻炼，15时回到家。已知自行车离开家的距离s（千米）与时间t（时）之间的关系如图所示，根据图象回答下列问题： （1）小明骑自行车离家最远的距离是（    ）千米。 （2）小明骑自行车行驶过程中，最快的车速是（    ）千米/时，最慢的车速是（    ）千米/时。 （3）去的途中小明休息了（    ）次，共休息了（    ）小时。 （4）小明由离家最远的地方返回家时的平均速度是多少？ 1．一个几何体从上面看如图，上面的数字表示这个位置所用的小正体个数，从正面看这个几何体，看到的是图形（    ）。 A． B． C． 2．某时刻钟表时针在10点到11点之间，此时刻再过6分钟后分针和此时刻3分钟前的时针正好方向相反且在一条直线上，则此时刻为（    ）。 A．10点15分 B．10点19分 C．10点20分 D．10点25分 3．“龟兔赛跑”讲述了这样的故事：领先的兔子看着慢慢爬行的乌龟，骄傲起来，就睡了一觉。当它醒来时发现乌龟快到终点了，于是急忙追赶，但为时已晚，乌龟还是先到达了终点。用S1、S2分别表示乌龟和兔子所行的路程，t为时间，下面图（    ）与故事情节相吻合。 A．B．C． D． 4．8个球编号是1~8，其中6个球一样重，另外两个球都轻1克。为了找出这两个轻球，用天平称了3次，3次情况如图所示，两个轻球编号分别是（    ）。 A．③⑦ B．④⑦ C．③⑧ D．④⑧ 参考答案 【要点梳理】 【要点一】相同的 不同的 三个面 【要点二】旋转中心、旋转方向和旋转角度 【要点三】形状、大小 位置和方向 【要点四】 【要点五】折线统计图 【要点六】3份 【温故知新】 1．4 【分析】 根据题意，从上面看到的图形是，可知底层分左右两列，有2个小正方体，结合从前面看到的图形是，从左面看到的图形是，可知左列有3个小正方体，右列有1个小正方体，据此解答即可。 【详解】3＋1＝4（个） 则这个立体图形是由4个小正方体组成的。 2． 5 6 【分析】根据从上面看到的形状可知，这个立体图形分前后两排，每排两个；根据从左面看到的形状可知，这个立体图形有上下两层，底层有前后两排，上层只有前面一排，据此画图解答即可。    【详解】一个立体图形，从上面看到的形状是，从左面看到的形状是，摆这样的立体图形，最少需要5个小立方块，最多需要6个小立方块。 【点睛】本题主要考查了空间想象能力，也可以利用实物摆一摆。 3．2 【分析】 题中图形从上面看到的正方形有两行，共3个小正方形，上面1个，下面2个，右对齐，并且每个小正方形叠加的数量如图： 据此分析解答即可。 【详解】由分析可得： 要使从上面的形状不变，最多可以将做左边叠加3个的正方体，拿走2个。 综上所述：如图的立体图形，要想从上面看形状不变，最多可以拿掉2个小正方体。 【点睛】本题主要考查从不同方向观察物体，需要学生有空间想象能力，可以动手画图协助分析。 4．3 【分析】找次品时尽量把总数平均分成3份，如果不能平均分，也要使多或少的那份比其它的少1或多1；这样称1次就能把次品所在的范围缩小到最少。找出次品称的次数也会最少。 【详解】26（9，9，8），把两个9个一组的放在天平上称，可找出有次品的一组里，再把9（3，3，3），可找出有次品的一组，再把3分成（1，1，1），可找出次品，需3次。 如次品在8个一组里，则把8分成（3，3，2）把两个3个一组的放在天平上称，可找出次品一组，再把3成（1，1，1），可找出次品。需3次。 如在2个一组里，可再把2分成（1，1），可找出次品。需3次。 所以用天平称，至少称3次能保证找出次品零件。 【点睛】本题主要考查了学生根据天平平衡的原理解答问题的能力。 5． 5 5 4 8 8 9 【分析】根据找次品的方法，一般把零件分成3份，尽量平均分，不平均时可以让第三份少一些，然后进行称量，这样可以尽量少的次数找到次品。 【详解】由分析可知，要把待测物品尽量平均分成三份，若不能平均分，则个数相差1即可。 待测物品个数14个，首次可分为5、5、4； 待测物品个数25个，首次可分为8、8、9。 【点睛】本题考查找次品问题，明确分成三份的方法是解题的关键。 6．√ 【分析】观察图形可知，该立体图形从前面和左面看到的形状都是有两层，第一层有2个小正方形，第二层有1个小正方形，左齐。据此进行判断即可。 【详解】由分析可知： 从前面、左面看到的形状都相同。原题干说法正确。 故答案为：√ 【点睛】本题考查观察物体，明确从不同方向观察到的形状是解题的关键。 7．× 【分析】首先将4个正方体摆成一排，再将最后1个正方体放在已摆出的立体图形上方，一共有4种不同的放法。据此判断。 【详解】用5个同样大的正方体摆出的物体，从上面看是，一共有4种不同的摆法。 所以判断错误。 【点睛】本题考查了观察物体，有一定空间观念是解题的关键。 8．× 【详解】复式条形统计图可以同时表示多个项目的数据，用不同的颜色分别表示；复式折线统计图是用不同颜色和线型区别表示两个或多个项目的数量及变化趋势，复式折线统计图用于对同类数量或相关数量进行比较，有利于对事物的发展变化趋势进行更准确地把握。 故答案为：× 【点睛】不能把复式折线统计图的特点和复式条形统计图的特点相混淆。 9．× 【分析】找次品时可以依据：2～3个物品，称1次；4～9个物品，称2次；10～27个物品，称3次；28～81个物品，称4次……据此解答。 【详解】从10个零件中找1个次品，用天平称，至少称3次一定能找出来，原题说法错误。 故答案为：× 10．× 【分析】条形统计图能很容易看出数量的多少；折线统计图不仅容易看出数量的多少，而且能反映数量的增减变化情况；若有两个及两个以上的量，则应用复式统计图。由此根据情况解答即可。 【详解】由分析可知： 要统计欢欢和乐乐5次数学成绩的变化情况，应该选用复式折线统计图。原说法错误。 故答案为：× 11．B 【分析】根据从上面看到的形状，可以确定底层有4个小正方体，以及这4个小正方体的摆放位置；根据从左面看到的形状，可以确定第二层的1个小正方体只能摆到并排的3个小正方体的上面，据此分析。 【详解】 如图，一共有3种不同的摆法。 故答案为：B 12．C 【分析】从左面看到的图形有两层，第一层有3个正方形，第二层有1个正方形靠最左边，据此解答即可。 【详解】 根据分析可知，要从左面可以看到，需要移走的小正方体是③号。 故答案为：C 13．C 【分析】根据从左面看的图形，可知立体图形有三行两层；根据从正面看的图形，可知立体图形有三列两层；综合以上，则第二行第二列处必须上下重叠摆放2个小正方体，据此试着拼摆这个立体图形，并数出最多需要几个小正方体即可。 【详解】符合从左面、正面看到的图形，最少需要的小正方体块数如图1所示，最多需要的小正方体块数如图2所示，所以要搭成这样的几何体最多需要10个小正方体。 故答案为：C 14．C 【分析】离家的距离是随时间是这样变化的： （1）先离家越来越远，到了最远距离一半的时候；（2）然后越来越近直到为0；（3）到家拿钱有一段时间，所以有一段时间离家的距离为0；（4）然后再离家越来越远，直到书店；（5）在书店买书还要一段时间，所以离家最远的时候也是一条水平线段；（6）然后回家直到离家的距离为0。 【详解】符合小军这段时间离家距离变化的是C。 故选： C 【点睛】本题需要考虑到在家和在书店都有一段时间离家的距离不会变化。 15．见详解 【分析】观察图形可知，从上面可以看到的图形有两排，第一排有2个正方形靠左边，第二排有3个正方形；从正面看到的图形有两层，第一层有3个正方形，第二层有2个正方形靠最左边；从左面看到的图形有两层，第一层有2个正方形，第二层有1个正方形靠最左边。据此作图即可。 【详解】由分析可知，如图所示： 【点睛】本题考查从不同方向观察物体，明确从各个方向看到图形的形状是解题的关键。 16．见详解 【分析】（1）把图形A绕点O逆时针旋转90°后，点O的位置不动，其余各部分均绕点O按相同方向旋转相同的度数即可得到图形B； （2）将图形B的各点先向右平移5格，再向上平移3格后，然后顺次连接各点即可得到图形C。 【详解】如图所示： 17．答案见详解。 【分析】折线统计图用不同位置的点表示数量的多少，根据数量的多少描出各点，然后把各点用线段顺次连接起来。观察人数最多有40人，依据行数，每一行代表5个人比较合适。 【详解】作图如下： 。 【点睛】此题考查折线统计图的绘制，明确每一行代表的具体数值是解题的关键。 18．（1）见详解 （2）2023；2018 （3）270；220；理由见详解 【分析】（1）根据统计图和统计表提供的数据，把燃油车对应的数据填在统计表中，折线统计图中新能源汽车销售量找到对应年份和数量，在统计图中描点，再连线即可。 （2）分别计算出燃油汽车和新能源汽车销量差，再进行比较，即可解答； （3）根据折线统计图燃油汽车销量和新能源汽车的销量走势，预测燃油汽车的销量和新能源汽车的销量，围绕节能减排，提高环保意思，营造低碳生活环境回答理由（答案不唯一）。 【详解】（1）如图： 某地区2018年~2023年燃油汽车和新能源汽车的销售量情况统计表。 年份 2018年 2019年 2020年 2021年 2022年 2023年 燃油汽车/万辆 490 460 450 410 325 300 新能源汽车/万辆 35 63 60 74 121 180 某地区2018年~2023年燃油汽车和新能源汽车的销售量情况统计图。 （2）2018年：490－35＝455（万辆） 2019年：460－63＝397（万辆） 2020年：450－60＝390（万辆） 2021年：410－74＝336（万辆） 2022年：325－121＝204（万辆） 2023年：300－180＝120（万辆） 455＞397＞390＞336＞204＞120； 该地区2023年燃油汽车和新能源汽车的销售量相差最少，2018年相差最多。 （3）预测2024燃油汽车270万辆，新能源汽车销量可能是220万辆； 理由：根据折线统计图可知，低碳减排的新时代，人们环保意识增强，购买汽车时，放弃购买燃油汽车的人越来越多，使燃油汽车的销量逐年下降，新能源汽车的销量逐年上升。 19．76个 【分析】观察图形，每个图形的每层个数加起来即可算出答案。 【详解】第一个图形：第一层9个，第二层6个，第三层4个，所以第一个图形有9＋6＋4＝19个小正方体积木。 第二个图形：第一层9个，第二层6个，第三层3个，所以第二个图形有9＋6＋3＝18个小正方体积木。 第三个图形：第一层11个，第二层6个，第三层3个，所以第三个图形有11＋6＋3＝20个小正方体积木。 第四个图形：第一层9个，第二层7个，第三层3个，所以第四个图形有9＋7＋3＝19个小正方体积木。 即：19＋18＋20＋19 ＝37＋20＋19 ＝57＋19 ＝76（个） 答：下面堆起的立体图形中一共用了76个小正方体积木。 【点睛】本题主要考查学生的观察能力，看清每层的数量。 20．5号是次品，次品比正品质量轻；见详解 【分析】图1，把1、2号和3、4号零件分别放在天平的左右两边，天平平衡，说明这4个零件的质量相等，它们都是正品，那么次品在5号和6号零件中； 图3，把4号、6号零件放在天平的左右两边，天平平衡，说明6号是正品，那么5号零件是次品； 图2，把5号、6号零件放在天平的左右两边，天平不平衡，5号轻，6号重，说明次品的质量比正品的质量轻。 【详解】因1、2号和3、4号的质量相等，说明1、2号和3、4号都是正品； 6号和4号的质量相等，说明6号是正品，那么次品是5号； 5号比6号轻，所以次品比正品质量轻。 【点睛】理解掌握用天平找次品的方法是解题的关键。 21．（1）35 （2）20；10 （3）1；0.5 （4）17.5千米/时 【分析】（1）观察图象可知，小明骑自行车离家最远的距离对应的是最上面的一段，即在12时～13时，距离为35千米。 （2）观察图象可知，小明骑自行车行驶过程中，行驶最快时对应的线段最陡，行驶最慢时对应的线段最平缓； 即小明在10时～10.5时对应的速度最快，在11时～12时的速度最慢；根据“速度＝路程÷时间”，分别求出最快的车速度和最慢的车速。 （3）在10.5时～11时，线段水平，表示这段时间的路程不变，此时小明在休息，据此解答。 （4）小明离家最远的地方是35千米，返回家一共用时（15－13）时，根据“速度＝路程÷时间”，即可求出返回家时的平均速度。 【详解】（1）小明骑自行车离家最远的距离是35千米。 （2）小明在10时～10.5时骑车速度最快： （25－15）÷（10.5－10） ＝10÷0.5 ＝20（千米/时） 在11时～12时骑车速度最慢： （35－25）÷（12－11） ＝10÷1 ＝10（千米/时） 小明骑自行车行驶过程中，最快的车速是20千米/时，最慢的车速是10千米/时。 （3）11－10.5＝0.5（小时） 去的途中小明休息了1次，共休息了0.5小时。 （4）35÷（15－13） ＝35÷2 ＝17.5（千米/时） 答：小明由离家最远的地方返回家时的平均速度是17.5千米/时。 【点睛】结合距离和时间的关系图象，考查对不同时间段运动状态的分析，并根据速度、时间、路程之间的关系解答。 【暑期培优】 1．B 【分析】根据从上面看的图及小正方形内的数字，可知从正面看的列数与从.上面看的列数相同，从正面看到的是三层，第一层有三个小正方形，第二层两个小正方形分别在中部和右边的位置上，第三层有一个小正方形，在中间的位置上。由此画出这个几何体从正面看到的图形。 【详解】根据从上面看到的图，可以确定正面看到的图形如下： 故答案为：B 【点睛】本题解题的关键是根据从上面看到的图形及每一层小正方体的数量，想象出立体图形。 2．A 【分析】在钟面上，分针每分钟走360°÷60＝6°，时针走360°÷（60×12） ＝0.5°。由于过6分钟后分针和此时刻3分钟前的时针正好方向相反且在一条直线上，此时针与分针的夹角为180°－6°×6－0.5°×3＝142.5°。10时整时，时针与分针相差60°。时针与分针每分钟夹角相差6°－0.5°＝5.5°，根据追及问题，用（142.5°－60°）除以5.5°就是10时后经过的分钟数，再加10时就是此题的时刻。 【详解】360°÷60＝6° 360°÷（60×12） ＝360°÷720 ＝0.5° 180°－6°×6－0.5°×3 ＝180°－36°－1.5° ＝142.5° 6°－0.5°＝5.5° （142.5°－60°）÷5.5° ＝82.5°÷5.5° ＝15（分） 所以此时是10时15分。 故答案为：A 【点睛】本题考查时间与钟面的应用，解题的关键是：分针每分针走的度数、时针每分钟走的度数、时针与分针在方向相反一条直线上，相差180°。 3．C 【分析】对于乌龟，其运动过程为：从起点到终点乌龟没有停歇，其路程不断增加； 对于兔子，其运动过程分为三段： 开始跑得快，所以路程增加快； 中间睡觉时路程不变； 醒来时追赶乌龟时路程增加快。 据此逐一分析判断4个选项里的统计图，找出正确的答案。 【详解】A．S2第二段的路程一直不变，说明兔子还在睡觉，与故事情节不吻合； B．兔子和乌龟同时到达终点，与故事情节不吻合； C．兔子在中间一段时间内路程是不变的，且当乌龟到达终点时兔子还差一点，与故事情节相吻合； D．S2第二段的路程一直不变，说明兔子还在睡觉，与故事情节不吻合； 故答案为：C 【点睛】此题考查的目的是理解掌握折线统计图的特点及作用，并且能够根据统计图提供的信息，解决有关的实际问题。 4．B 【分析】从第一次情况中可知，③和④里面有一个是轻的；如果③和④都是轻的，就不会出现第二种情况。 从第二次情况中可知，⑦和⑧里面有一个是轻的； 结合两种情况，①、②、⑤、⑥肯定是一样重的，①＋③＋⑦＝②＋④＋⑥，假设④是标准的重量，则③是轻的，这个等式就不成立；假设③是标准的重量，则④是轻的，这个等式就不成立；为了保持等式成立，则⑦是轻的。 【详解】①＋②比③＋④重，说明③和④有一瓶矿泉水是次品（不能都是次品，因为若都是次品，那么不会出现：⑤＋⑥比⑦＋⑧重）； ⑤＋⑥比⑦＋⑧重，说明：⑦和⑧有一瓶是次品（同理，不能都是次品）； 根据：①＋③＋⑦与②＋④＋⑥一样重， ④和⑦是轻球。 故答案为：B 【点睛】推理就是由一个或几个已知的判断（前提），推导出一个未知的结论的思维过程。 解答简单推理题时，认真分析题目中的数量关系，寻找解题的突破口，然后再利用等量代换、消去等方法来进行解答。 7 学科网（北京）股份有限公司 $$