精品解析：湖南省益阳市安化县第二中学2025届高三下学期5月模拟数学试题

2025届高三模拟考试试题 数学 考试时量：120分钟 总分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】解出集合，再根据交集的含义即可得到答案. 【详解】由题意得，， 则. 故选：B. 2. 已知i为虚数单位，若是实数，则实数（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】先根据复数的乘法运算化简复数，再根据复数为实数列式计算即可求解. 【详解】因为， 所以，解得. 故选：D. 3. 已知向量，，若，则（ ） A. 2 B. 1 C. -1 D. -2 【答案】A 【解析】 【分析】由垂直可知，进而可求，再根据数量积的运算求解即可. 【详解】因为，，所以， 因为，所以，即，解得， 所以，所以， 故选：A. 4. 已知抛物线的焦点为，点在上．若到直线的距离为5，则（ ） A. 7 B. 6 C. 5 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】利用抛物线的定义求解即可. 【详解】因为抛物线的焦点，准线方程为，点在上， 所以到准线的距离为， 又到直线的距离为， 所以，故. 故选：D. 5. 函数在内的零点之和为（ ） A. B. C. D. 0 【答案】A 【解析】 【分析】由题意有，令，解得或，作出在的图像，利用数形结合即可求解. 【详解】由题意有， 令，有，即， 解得或， 作出在的图像， 则与的交点的横坐标为，， 与的交点横坐标为，， 由图可知，，， 所以， 故选：A. 6. 已知圆锥的母线长为，其外接球体积为，则该圆锥的表面积为（ ） A. 3π B. 6π C. 9π D. 12π 【答案】C 【解析】 【分析】由外接球的体积公式可得其半径，然后作出圆锥及其外接球的轴截面，由勾股定理列出方程，代入计算，即可得到底面圆的半径，再由圆锥的表面积公式代入计算，即可得到结果. 【详解】 圆锥及其外接球的轴截面如图， 该其外接球的半径为，则外接球体积为，则， 即， 设圆锥的高为，圆锥的底面圆半径为，则， 由，解得， 则此圆锥的表面积为. 故选：C 7. 已知圆C：的一条直径的两个端点分别是A，B，则它们到直线l：的距离分别为，，则的最大值为（ ） A. 16 B. 32 C. 48 D. 64 【答案】B 【解析】 【分析】先将圆的方程化为标准方程，利用参数表示点坐标，最后利用三角函数即可求解. 【详解】由有， 设点， 所以点到直线的距离为， 点到直线的距离为， 所以， 所以当，即时，取最大值为. 故选：B. 8. 若函数有两个零点，则a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分类讨论的值，再根据导数分析的单调性，结合函数有两个零点，即可求解范围． 【详解】函数的定义域为. 当时，令，在只有一个零点，不合题意； 当时，， 当时，，则在单调递增，，所以在只有一个零点，不合题意； 当时，令， 当时，，在单调递减， 当时，，在单调递增， 又时，， 若有两个零点，则， 设，令，解得， 当时，，则在上单调递增， 当时，，则在上单调递减， 所以， 所以， 故选：C． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 某团队共有20人，他们的年龄分布如下表所示， 年龄 28 29 30 32 36 40 45 人数 1 3 3 5 4 3 1 有关这20人年龄的众数、极差、百分位数说法正确的有（ ） A. 众数是32 B. 众数是5 C. 极差是17 D. 25%分位数是30 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据人数最多确定众数；最大值减去最小值为极差；利用分位数的定义求解25%分位数. 【详解】年龄为32的有5人，故众数是32，A正确，B错误； 45-28=17，极差为17，C正确； 因为，所以，故25%分位数是30，D正确. 故选：ACD 10. 已知数列的首项为4，且满足，则（ ） A. 为等差数列 B. 为递增数列 C. 的前项和 D. 的前项和 【答案】BD 【解析】 【分析】由数列递推式两边同除以，可得，推得等比数列，排除A项；通过证明和可得B正确；利用错位相减法可求得的前项和为，排除C项；化简得，易求得该数列的前项和推出D项正确. 【详解】由两边同除以，可得：， 因，则，故为等比数列，首项为4，公比为2. 对于A，由上分析，是公比为2的等比数列，故不可能是等差数列，即A错误； 对于B，由上分析，可得，即， 由，因，故为递增数列，故B正确； 对于C，由上已得，则 ①， 则 ②， 由：， 即，即， 故得，故C错误； 对于D，因，则， 故的前项和为，故D正确. 故选：BD. 11. 如图，在直三棱柱中，，，点M是线段上一点，则下列说法正确的是（ ） A. 当M为的中点时，平面 B. 四面体的体积为定值 C. 的最小值为 D. 四面体的外接球半径的取值范围是 【答案】ABD 【解析】 【分析】由线面垂直的判定定理可得A正确；由线面平行的判定定理证明平面得到三棱锥的高，再由棱锥的体积公式可得B正确；将翻折到与矩形共面再结合余弦定理可得C错误；建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量共线得到点的坐标，再由几何关系把外接球半径用球心坐标表示，结合二次函数的性质求出最值即可. 【详解】对于A，在直三棱柱中，平面，平面，所以， 因为，为中点，所以， 又平面， 所以，即平面，故A正确； 对于B，在直三棱柱中，，又平面，平面，所以平面， 即到平面的距离等于到平面的距离， 所以，即四面体的体积为定值，故B正确； 对于C，将翻折到与矩形共面，如图所示， 连接与相交于点，此时取得最小值， 在中，，， 由余弦定理可得，故C错误； 对于D，在直三棱柱中，以为原点，所在直线分别为轴建立如图所示空间直角坐标系， 所以，设， ，， 因为点M是线段上任意一点，由，所以，所以可取，， 设四面体的外接球球心为，半径为， 则，即， 由对称关系可得， 又，所以， 解得， 因为，所以， ，故D正确. 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 二项式的二项展开式中的常数项是________． 【答案】15 【解析】 【分析】 根据二项展开式公式，由的展开式的通项是， 令，即可得解. 【详解】因为的展开式的通项是， 当时，r＝2， 所以展开式中的常数项是． 故答案为：15. 13. 设实数，，使成立，则实数α的取值范围________． 【答案】 【解析】 【分析】将问题转化为不等式在上能成立，利用导数研究函数的单调性求出即可. 【详解】由，得， 即不等式在上能成立. 设，则， 令， 所以在上单调递减，在上单调递增， 则，所以， 即实数a的取值范围为. 故答案为： 14. 已知数列满足，给出定义：使数列的前k项和为正整数的k（）叫做好数，则在内的所有“好数”的和为________． 【答案】2026 【解析】 【分析】先计算出数列的前项和，然后找到使其为正整数的，相加即可得到答案． 【详解】由题， ． 所以，． 因为为正整数，所以，即． 令，则． 因为，所以． 因为为增函数，且， 所以． 所以所有“好数”的和为． 故答案为：2026． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，四棱锥中，底面，，，，平面PAD与平面PBC的交线为l，且． （1）证明； （2）若，求平面ABE与平面PCB夹角的余弦值． 【答案】（1）已知平面PAD与平面PBC的交线为l，且． 平面，平面， ∴平面， ∵平面平面，平面， ∴． 又，，， 由余弦定理得， ∵， ∴， ∴， 又平面，平面， ∴， ∵，平面， ∴平面， ∵平面， ∴ （2） 【解析】 【分析】（1）先得到平面，根据线面平行的性质得到线线平行，由余弦定理和勾股定理逆定理得到，进而，平面，得到； （2）建立空间直角坐标系，写出点的坐标，求出两个平面的法向量，利用法向量夹角余弦公式进行求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由题意，以A点为原点，AB，AD，AP为x，y，z轴建立空间直角坐标系． ，，， 平面PCB中，，， 设为面PCB的一个法向量， 则，令，则， ∴， 平面ABE中，， ，， 设为面ABE的一个法向量， 则，解得，令，则， ∴ 设面PCB与面ABE所成角为θ， 则， 所以面PCB与面ABE所成夹角的余弦值为 16. 在中，角所对的边分别为，已知，且． （1）若，求A； （2）若是锐角三角形，求周长的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据已知条件通过三角函数公式得出角之间的关系，求出角 （2）利用正弦定理将边转化为角的正弦形式，然后化简表达式，最后根据角的范围求出边的和的范围，进而得到三角形周长的范围. 【小问1详解】 由，可得，即， ∴，则或（舍）， ∴， 当，由，可得. 【小问2详解】 由正弦定理可得∴， 易知，可得，因此， 易知在上单调递增，所以， 可得周长范围为. 17. 已知函数，其中． （1）若在点处的切线与两坐标轴所围成三角形的面积为，求a的值； （2）若是的极小值点，试比较与的大小． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义求切线方程，根据切线与两坐标轴所围成三角形的面积列方程求参数即可； （2）由（1）中信息构造函数，利用导数探讨有变号零点的条件，并确定极小值点的情况，结合单调性即可得大小关系. 【小问1详解】 函数，求导得，则， 因此在点处的切线为， 令，则；令，则， 切线与两坐标轴所围成三角形的面积，所以； 【小问2详解】 由（1）知，，，令， 求导得，当时，；当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增，， 当时，，则，函数在上单调递增，无极值； 当时，，而，， 令，求导得，函数在上单调递增， ，因此，存在，使得， 当或时，，即；当时，，即， 函数在上单调递增，在上单调递减，是的极小值点，即， 所以. 18. 已知椭圆C：（）的左顶点为A，离心率为，且过点 （1）求椭圆C的方程； （2）直线l与椭圆C交于M，N两点，点P为的外心． ①若为等边三角形，求PA的长； ②若点P在直线上，求点A到直线l距离的最大值． 【答案】（1） （2）①；②． 【解析】 【分析】（1）根据椭圆的基本性质及离心率求出椭圆各参数，求得标准方程即可. （2）①本题三种方法：方法一：根据等边三角形重心，外心是同一个点，则根据重心的坐标公式，求出重心坐标，带入求得边长.方法二：根据三角形外接圆圆心到三个顶点距离相等，根据弦长公式和两点间距离公式，列出方程，求出边长.方法三：根据三角形外接圆圆心是三边中垂线的交点，写出中垂线的解析式，求出外心坐标，可得边长.②根据直线与圆锥曲线的关系，结合韦达定理，求出点到直线距离的最大值. 【小问1详解】 因为离心率为，所以， 又因为椭圆过点，所以， 又， 解得，，， 所以所求椭圆C的方程为． 【小问2详解】 如图所示： ①易知．根据椭圆的对称性，可知点P在x轴上． 不妨设，，则，联立方程， 解得，． 方法1：由等边三角形的重心与外心重合，可知， 则点P的坐标为，所以． 方法2：由，即，解得， 则点P的坐标为，所以． 方法3：直线AM的斜率为，线段AM的中点为， 则线段AM的中垂线方程为，即． 令，解得，则点P的坐标为，所以． ②如图所示： 当直线l的斜率为0时，线段MN的中垂线为y轴，不合题意． 当直线l的斜率不为0时，设直线l：（）， 联立椭圆方程可得． 由，即，解得； 且，． 令E，F分别为线段AM，AN的中点，则，， 可得线段AM的中垂线方程为， 即①； 同理可得线段AN的中垂线方程为②． 联立①②，解得 ， 由，可得，即， 代入不等式，解得且，则． 点A到直线l的距离． 设函数，，则在单调递减， 在单调递增，可得，进而得到． 综上可知，点A到直线l距离的最大值为． 19. 若数列（，，）满足，则称数列为k项数列，集合是由所有k项数列组成的集合，从集合中任意取出两个不同数列，记变量 （1）当时，求集合； （2）若，求随机变量X的分布列与数学期望； （3）求，其中且． 【答案】（1）{0，0}{0，1}{1，0}{1，1} （2） X 1 2 3 P （3）（）， 【解析】 【分析】（1）直接根据定义求解即可； （2）先求出当时，中的数列有8个，准确得出X的取值有1，2，3，利用组合公式求出，作为分母；分别准确求出，，再利用对立事件求出，然后按照步骤列出分布列和求出期望能； （3）根据数列，是从集合中任意取出的两个数列，所以数列，为k项数列，确定出X的可能取值为：1，2，3，…，k，求出中元素的个数共有个，根据则数列，中有m项取值不同，把问题转化为组合问题，得出（），即可列出分布列． 【小问1详解】 当时，有{0，0}{0，1}{1，0}{1，1}； 【小问2详解】 若，则中的数列有0，0，0；1，0，0；0，1，0；0，0，1；1，1，0；1，0，1：0，1，1；1，1，1； 从集合中任意取出两个不同数列，，， ∴X的取值有1，2，3，从8个数列中任选2个，共有种情况， 其中当时，若选择0，0，0，可从1，0，0；0，1，0；0，0，1任选1个，共有3种情况， 若选择1，1，1，可以从1，1，0；1，0，1；0，1，1任选1个，共有3种情况， 另外1，0，0和1，0，1；1，1，0两者之一满足要求， 0，1，0和1，1，0；0，1，1两者之一满足要求， 0，0，1和1，0，1；0，1，1两者之一满足要求， 共有种情况，故， 当时，0，0，0，和1，1，1满足要求，1，0，0和0，1，1满足要求， 0，1，0和1，0，1满足要求，0，0，1和1，1，0满足要求，共有4种情况， ∴， ∴，随机变量X的分布列： X 1 2 3 P 则随机变量X的数学期望为； 【小问3详解】 ∵数列，是从集合中任意取出的两个数列， ∴数列，为k项数列，∴X的可能取值为：1，2，3，…，k， 根据数列中0的个数可得，集合中元素的个数共有个， 当（）时， 则数列，中有m项取值不同，有项取值相同， 从k项中选择m项，和在m项的某一项数字相同，其余项，两者均在同一位置数字不同， ∵，这个问题是组合问题， ∴所有的情况会重复1次，∴一共有种情况， ∴（）. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025届高三模拟考试试题 数学 考试时量：120分钟 总分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知i为虚数单位，若是实数，则实数（ ） A. B. C. 1 D. 2 3. 已知向量，，若，则（ ） A. 2 B. 1 C. -1 D. -2 4. 已知抛物线的焦点为，点在上．若到直线的距离为5，则（ ） A. 7 B. 6 C. 5 D. 4 5. 函数在内的零点之和为（ ） A. B. C. D. 0 6. 已知圆锥的母线长为，其外接球体积为，则该圆锥的表面积为（ ） A. 3π B. 6π C. 9π D. 12π 7. 已知圆C：的一条直径的两个端点分别是A，B，则它们到直线l：的距离分别为，，则的最大值为（ ） A. 16 B. 32 C. 48 D. 64 8. 若函数有两个零点，则a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 某团队共有20人，他们的年龄分布如下表所示， 年龄 28 29 30 32 36 40 45 人数 1 3 3 5 4 3 1 有关这20人年龄的众数、极差、百分位数说法正确的有（ ） A. 众数是32 B. 众数是5 C. 极差是17 D. 25%分位数是30 10. 已知数列的首项为4，且满足，则（ ） A. 为等差数列 B. 为递增数列 C. 的前项和 D. 的前项和 11. 如图，在直三棱柱中，，，点M是线段上一点，则下列说法正确的是（ ） A. 当M为的中点时，平面 B. 四面体的体积为定值 C. 的最小值为 D. 四面体的外接球半径的取值范围是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 二项式的二项展开式中的常数项是________． 13. 设实数，，使成立，则实数α的取值范围________． 14. 已知数列满足，给出定义：使数列的前k项和为正整数的k（）叫做好数，则在内的所有“好数”的和为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，四棱锥中，底面，，，，平面PAD与平面PBC的交线为l，且． （1）证明； （2）若，求平面ABE与平面PCB夹角的余弦值． 16. 在中，角所对的边分别为，已知，且． （1）若，求A； （2）若是锐角三角形，求周长的取值范围． 17. 已知函数，其中． （1）若在点处的切线与两坐标轴所围成三角形的面积为，求a的值； （2）若是的极小值点，试比较与的大小． 18. 已知椭圆C：（）的左顶点为A，离心率为，且过点 （1）求椭圆C的方程； （2）直线l与椭圆C交于M，N两点，点P为的外心． ①若为等边三角形，求PA的长； ②若点P在直线上，求点A到直线l距离的最大值． 19. 若数列（，，）满足，则称数列为k项数列，集合是由所有k项数列组成的集合，从集合中任意取出两个不同数列，记变量 （1）当时，求集合； （2）若，求随机变量X的分布列与数学期望； （3）求，其中且． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $