“综合与实践”压轴题专题训练2024-2025学年人教版数学七年级下册

江苏省南通市“综合与实践”压轴题专题训练 1.综合与实践 问题情境：数学活动课上，老师要求同学们以一副三角板为背景探究图形的位置变化将一副三角板按照图所示的方式放置，其中，，， 猜想证明：如图，“笃学”小组发现，请就这一结论说明理由． 操作探究：“勤奋”小组通过分析图提出问题：试判断与之间的数量关系，并说明理由拓展探究：“智慧”小组受到启发：让三角形固定不动，将三角形从图的位置绕点逆时针转动的过程中，当三角形的一边与三角形的边平行时，直接写出的度数． 2.综合与实践：设计制作纸盒方案 素材一：如图，现将张纸板裁剪成材料，张纸板可以裁成个正方形或个长方形，并用这些材料制作两种无盖纸盒如图，横式无盖纸盒需要个正方形和个长方形，竖式无盖纸盒需要个正方形和个长方形． 素材二：所有纸板都要裁剪，且每张纸板只能裁剪一种材料． 制作纸盒后没有剩余材料． 问题解决：为方便解决问题，设制作了横式无盖纸盒个，竖式无盖纸盒个． 问题一：初探材料用量，请完善下表： 纸盒类型 正方形张数 长方形张数 个横式无盖纸盒 ______ 个竖式无盖纸盒 ______ 问题二：再探关系，请完善下表： 需裁成正方形的纸板数张 需裁成长方形的纸板数张 合计 ______ ______ 问题三：写出，之间满足的关系式：______； 方案选择：用这张纸板制作两种纸盒，并且材料没有剩余，得到的横式无盖纸盒的数量能否为竖式无盖纸盒数量的二倍，请你做出判断，写出详细的解答过程． 3.综合与实践 在数学学习过程中，对有些具有特殊结构，且结论又具有一般性的数学问题我们常将其作为一个数学模型加以识记，以积累和丰富自己的问题解决经验． 【结论发现】三角形的一个内角平分线与另一内角的外角平分线的夹角的度数是三角形第三内角度数的一半． 【结论探究】 如图，在中，点是内角平分线与外角的平分线的交点，则有，请给出证明过程； 请直接应用上面的“结论发现”解决下列问题： 【简单应用】 如图，在中，延长至，延长至，已知、的角平分线与的角平分线及其反向延长线交于、，求的度数； 【变式拓展】 如图，四边形的内角与外角的平分线形成如图所示形状已知，，求的度数和是多少？ 4. 综合与实践 折纸中的数学 综合实践课上，老师出示如下问题：如图，在一张正方形纸片的两边上分别有，两点，连接，点是正方形纸片上一点，请同学们用折纸的方法过点作的平行线． 兴趣小组作法如下：如图，过点沿折叠纸片，使于点；在图的基础上，展平纸片，过点沿折叠纸片，使折痕于点，得到图；将图中的纸片展平，得到图，则． 任务一：下列选项中，能作为判定上述材料中的依据的有______多选 A.同位角相等，两直线平行 B.内错角相等，两直线平行 C.同旁内角互补，两直线平行 D.平行于同一条直线的两条直线互相平行 E.经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 任务二：如图，在长方形纸片中，将长方形纸片沿折叠使落在处，再将纸片沿折叠，使得落在，且，，，在同一直线上． 求证：折痕． 5.综合与实践 阅读材料： 我们知道，探索多边形内角和的方法是将其转化为三角形，利用三角形内角和获得结论，这一方法也可以用来解决其他求角度的问题，如图，四边形是凸四边形，探究其内角和的方法是：连接对角线，则四边形内角和就转化为和内角和的和为． 解决问题： 如图，四边形是凹四边形，请探究与，，三个角之间的等量关系． 小明得出的结论是：，他证明如下请你将小明的证明过程补充完整． 证明：连接并延长到点． 联系拓广： 如图的五角星和图的六角星都是一笔画成的即从图形上的某一顶点出发，找出一条路线，用笔不离开纸，连续不断又不重复经过图形上所有部分画成的． 请你根据上述解决问题的思路，解答下列问题： 图中，的度数为______； 图中，的度数为______ 6.【综合与实践】 某数学学习小组在学习了多边形后对几何学习产生了浓厚的兴趣，他们在同一几何图形中进行了不同探究活动如图，直线，垂足为，三角板的直角顶点落在的内部，三角板的另两直角边分别与、交于点和点． 活动：如图，不添加辅助线，由四边形内角和知识容易结论： ______． 活动：如图，连结，若平分，那么平分吗？请直接写出你的结论，不需写理由． 活动：如图，若平分，平分，他们发现与具有特殊位置关系请判断与有怎样的位置关系并证明你的结论． 7.综合与实践 问题情境： 如图，和被直线所截，分别交于点，交于点，，． 探究发现：由已知条件发现，请说明理由； 拓展探究：在图中添加条件，解答相关的问题： 如图，勤奋小组添加的条件是：作直线与交于点，与交于点，且，求的度数； 如图，创意小组添加的条件是：的平分线交于点，求的度数． 8.综合与实践 数学课上，老师提出问题：如图，钓板上存在三条互相平行的直线，，，图中弹性皮筋两端点用钉子固定在点，处，拉住皮筋中部的一点至点处固定，点在直线上，若，求的度数． 数学思考：完成老师提出的问题． 深入探究：老师让同学们在图的基础上，通过移动点的位置或添加皮筋的方式增设条件来提出新的问题． “善思小组”提出问题：如图，在图的基础上，将另一根弹性皮筋的一端固定在点处，另一端用钉子固定在点处若，求的值． “智慧小组”提出问题：如图，在与的交点处用钉子固定点，在与的交点处用钉子固定点，将点移动到点处点在直线上若，请直接写出的值． 9.综合与实践 问题背景：如图，这是我省北部部分地区使用的太阳能烧水器，其原理是凹面镜的聚光技术如图，这是烧水器的截面示意图，平行的太阳光线和经过凹面镜的反射后，反射光线，交于一点． 探索发现： 如图，太阳光线，平行，利用平行线的性质，把分成两部分进行研究，则，和之间存在的数量关系是______． 如图，，点，分别在，上，点是，之间，且位于右侧的任意一点，连接，，试探究，与之间的数量关系，并写出解答过程． 拓展延伸： 如图，在的条件下，在，之间，左侧再取一点，连接，若使，，求与之间的数量关系． 10.如图，将一副直角三角板放在同一条直线上，其中，． 观察猜想：将图中的三角尺沿的方向平移至图的位置，使得点与点重合，与相交于点，则______； 操作探究：将图中的三角尺绕点按顺时针方向旋转，使一边在的内部，如图，且恰好平分，与相交于点，求的度数； 深化拓展：将图中的三角尺绕点按沿顺时针方向旋转一周，在旋转的过程中，当边旋转多少度时，边恰好与边平行？ 答案和解析 1.【答案】证明：， ，即； 解：，理由如下： ， ， ， ； 解：当时，如图，延长到点， ，， ， ， ， ； 当时，如图，作， ， ，， ，，， ， ，， ，， ； 当时，如图，延长到点， ， ， ， ， ， ， ； 综上：的度数为或或．  2.【解析】解：问题一：初探材料用量，请完善下表： 纸盒类型 正方形张数 长方形张数 个横式无盖纸盒 个竖式无盖纸盒 问题二：再探关系，请完善下表： 需裁成正方形的纸板数张 需裁成长方形的纸板数张 合计 问题三：； 解：不能 假设能得到的横式无盖纸盒的数量为竖式无盖纸盒数量的二倍， 则可得方程组：， 解得， ，为纸盒的数量， ，为正整数， 不符合题意， 假设错误． 答：不能得到的横式无盖纸盒的数量为竖式无盖纸盒数量的二倍． 3.【答案】解：如图， 点是内角平分线与外角的平分线的交点， ，， ，，， ， ； 如图， ，、的角平分线与的角平分线及其反向延长线交于、， ， ； ； 延长，交于点，延长、交于点， 如图所示， 、平分，， ， ，， ， ， ， ．  4.【答案】，，  【解析】任务一：解：如图， ， ， 又， ， ， ， 故选项A正确； ， ， 故选项B正确； ， ， 故选项C正确； D.平行于同一条直线的两条直线互相平行，说法错误； E.经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行说法错误； 所以，能作为判定上述材料中的依据的有，，； 故答案为：，，； 任务二：证明：， ， 由折叠的性质得， ， 又 ， 由折叠的性质得， ， ， ． 任务一：根据平行线的判定定理进行判定即可； 任务二：任务二：由平行线的性质与折叠的性质得，，进而得到，由折叠的性质得，进而推导出，得到． 5.【答案】；  ．  【解析】解：证明：连接并延长到点． 则为的外角，为的外角， ， ． ， ． ， ． 如图，由得，， ， ， ． 故答案为：． 如图， 由得，， ， ， ， 故答案为：． 6.【解析】解：，为直角， ， 根据四边形内角和等于得： ， ， 故答案为：． 平分，理由如下： 平分， ， ，为直角， ，， ， 平分； 与的位置关系是：，证明如下： 由可知：， 又， ， 平分，平分， ，， ， 为直角， ， ， 又， ， ， 即． 7.【答案】解：理由如下： ，， ， ． ， ． ， ． ． ，， ． 的平分线交于点， ． ． ， ． ．  8.【答案】解：， ， ， ， ； ，， ， ， ，， ； ， ，， ， ， ，， ， ．  9.【答案】；   ，理由见解析过程；  ，理由见解析过程．  【解析】解：， 过点作平行于， ，， ， ，， ， ． 故答案为：． 过点作平行于， ，， ， ，， ， ． 由知， ． 由知， ． ，， ， ， 即． 所以与之间的数量关系是． 10.【答案】解：； 平分， ， ， ， ； 如图，在上方时，设与相交于， ， ， 在中，， ， ， 当在的下方时，设直线与相交于， ， ， 在中，， 旋转角为， 综上所述，当边旋转或时，边恰好与边平行．  1 学科网（北京）股份有限公司 $$