2024-2025学年重庆八年级下学期数学期末考前模拟卷02（北师大版）

2024-2025学年八年级数学下学期期末模拟卷 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：北师大版2012八年级下册+九上特殊平行四边形。 5．难度系数：0.65。 （全卷共24题，满分150分，考试时间120分钟） 第Ⅰ卷（选择题） 1、 选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分） 1．窗棂是我国传统房屋建筑的重要组成部分，具有较高的艺术与观赏价值，下列窗棂纹样中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的概念，轴对称图形的定义：将一个图形沿某条直线对折，直线两旁的部分能够完全重合，这个图形叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：将一个图形绕某个点旋转180度后能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形；熟知两者的概念是关键． 【详解】解：A．是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项符合题意； B．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； C．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； D．既不是轴对称图形，又不是中心对称图形，故本选项不符合题意； 故选：A． 2．下列变形属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查因式分解的意义，把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式，据此进行判断即可．熟练掌握其定义是解题的关键． 【详解】解：符合因式分解的定义，则A符合题意， 中等号右边不是积的形式，则B不符合题意， 中等号左边是单项式，则C不符合题意， 中等号右边不是积的形式，则D不符合题意， 故选：A． 3．下列判断正确的是（   ） A．若，则 B．若为任意实数，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】本题考查了不等式的性质，不等式两边同时加或减去同一个整式，不等号方向不变；不等式两边同时乘以（或除以）同一个大于0的数，不等号方向不变；不等式两边同时乘以（或除以）同一个小于 0 的数，不等号方向改变，由此逐项判断即可． 【详解】解：A. 若，则，故该选项不正确，不符合题意；     B. 若为任意实数，则，故该选项不正确，不符合题意； C. 若，则，故该选项不正确，不符合题意；     D. 若，则，故该选项正确，符合题意； 故选：D． 4．如图，已知在中，对角线相交于点，若，，，则的周长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的性质，由平行四边形的性质可得，，，进而即可求解，掌握平行四边形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴的周长， 故选：． 5．下列分式变形正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了分式的性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键．根据分式的基本性质，进行计算逐一判断即可解答． 【详解】解：A. ，故该选项不正确，不符合题意； B. ，故该选项不正确，不符合题意；    C. ，故该选项正确，符合题意； D. ，故该选项不正确，不符合题意； 故选：C． 6．小鹿两次购买相同药物的费用均为元，第二次购买时每盒降价元，他多买了盒．设第一次购买时该药品的单价为（元／盒），则可列方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了分式方程的应用，设第一次购买时该药品的单价为每盒元，则第二次购买时该药品的单价为每盒元，由题意列出方程即可，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 【详解】解：设第一次购买时该药品的单价为每盒元，则第二次购买时该药品的单价为每盒元， 由题意得，， 故选：． 7．在平面直角坐标系中，已知线段的两个端点分别是，将线段平移后得到线段，若点的坐标为，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查直角坐标系中点的平移规律，熟练掌握点在平移过程中的规律：横坐标右加左减，纵坐标上加下减，是解题的关键． 先由平移后的坐标为得到平移的过程为：向右平移了2个单位长度，向上平移了3个单位长度，从而即可得到的坐标． 【详解】解：∵平移后的坐标为， ∴线段的平移过程为：向右平移了2个单位长度，向上平移了3个单位长度， ∴点的坐标为，即， 故选：D． 8．定义新运算，若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次不等式的解法，观察题目当⊕时，，解这个一元一次不等式即可求得答案．熟练掌握一元一次不等式的解法是解题的关键． 【详解】解：由题意可得，当时，， 解得． 故选：A． 9．如图，正方形的面积为50，以为腰作等腰平分交DC于点，交的延长线于点，连接．若，则的长为（   ） A． B． C．4 D． 【答案】B 【分析】过点作于点，连接，交于点，先根据等腰三角形的性质和勾股定理求出的长，再求出，从而可得，，然后根据等腰三角形的性质求出的长，最后在和中，利用勾股定理求解即可得． 【详解】解：如图，过点作于点，连接，交于点， ∵正方形的面积为50， ∴，， ∵，， ∴，平分，， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形，， ∴， ∴， 又∵，平分， ∴垂直平分， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， 设，则， 在和中，， 即， 解得， 即， 则， 故选：B． 10．使方程（组）和不等式（组）同时成立的未知数的值称为此方程（组）与不等式（组）的“同频解”．如是方程与不等式的“同频解”；则以下说法正确的是（   ） 方程与不等式有且仅有一个负整数“同频解”； 是与的“同频解”，则； 存在整数使得方程的所有解均是其与的“同频解”； A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】本题考查了方程与不等式或不等式组的关系，根据方程与不等式或不等式组的关系逐一判断即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：由方程得：， 则不等式， ∴， ∵，且负整数， ∴此时无解，原选项错误，不符合题意； 由得：，代入得， ， 解得：， 由， ∴∵是与的“同频解”， ∴， ∴， ∴，原选项正确，符合题意； 由得，， 代入与得，， 整理得：， 若不等式对所有成立，则系数必须为， ∴，解得：，与题意矛盾，则原选项错误，不符合题意； 综上可得正确，共个， 故选：． 第Ⅱ卷（非选择题） 2、 填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分） 11．要使有意义，则实数x的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件及解不等式，熟知二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0是解题的关键．根据二次根式有意义的条件进行求解即可． 【详解】解：∵二次根式要有意义， ∴， ∴， 故答案为；． 12．计算： ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了分式的乘除法，熟练掌握运算法则是正确解答此题的关键． 原式利用分式除法法则变形成乘法，约分即可得到结果． 【详解】解：， 故答案为：． 13．一个多边形的一个内角和是，则它是 边形． 【答案】五 【分析】本题考查了多边形的内角和公式，解题关键是牢记n边形内角和为，据此求解即可． 【详解】解：设这个多边形边数为n， 故答案为：五 ． 14．如图，在四边形 中，，，连接，，过 A 作 交 于 D．若，则 ． 【答案】/ 【详解】解：如图所示，过点D分别作的垂线，垂足分别为H、M，过点E作于N， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， 故答案为；． 15．若关于x的不等式组有解且至多有4个偶数解，且关于y的分式方程的解是整数，则所有满足条件的整数加的值之和为 ． 【答案】3 【详解】解： 移项可得：， 通分可得：， 两边同时乘以6可得： 解得：； 因为不等式组有解， 所以，即， 又因为不等式组至多有4个偶数解，大于的偶数有，，，， 所以，即， ∴ 对分式方程，方程两边同时乘以， 得到， 解得：． ∵， ∴， ∴， 因为分式方程的解是整数，所以是6的因数， ，，，． 当时，； 当时，； 当时，（舍去）； 当时，； 当时，（舍去）； 当时，； 当时，（舍去）； 当时，（舍去）； 所以满足条件的整数为3，1，0，， 所有满足条件的整数加的值之和为． 故答案为：3． 16．如果一个四位正整数A与另一个四位正整数B相加得到四位正整数C，且C的四个数位上的数字相同，我们就称A与B互为“如影随形数”．一个四位正整数M的千位数字为a，百位数字为b，十位数字为c，个位数字为d，将M的千位数字与个位数字交换，百位数字与十位数字交换，得到一个新的四位正整数，当M与互为“如影随形数”时，记 ．若为整数，是5的倍数，则 ；满足条件的M的最大值与最小值的和为 ． 【答案】 7 【详解】解：∵一个四位正整数M的千位数字为a，百位数字为b，十位数字为c，个位数字为d，将M的千位数字与个位数字交换，百位数字与十位数字交换，得到一个新的四位正整数， ∴ ∵一个四位正整数A与另一个四位正整数B相加得到四位正整数C，且C的四个数位上的数字相同，我们就称A与B互为“如影随形数”．且M与互为“如影随形数”， ∴， ∵仍是一个四位正整数， ∴， ∵ ∴， ∵为整数， ∴为整数， ∵为正整数，且， ∴， 即， ∴， ∵ ∴ ， ∵是5的倍数， ∴是5的倍数， ∵要取M的最大值，即要求千位数最大，且， ∴当时， ， 若要满足是5的倍数，则或，即或， ∵要取M的最大值，， ∴（舍去） 则M的最大值为， ∵要取M的最小值，即要求千位数最小，且， ∴当时， ， 若要满足是5的倍数，则或，即或或或， 则M的最小值为， ∴ 故答案为：7，． 三、解答题：（本大题共9个小题，17和18题每小题8分，19-25题每小题10分，共86分） 17．解一元一次不等式（组）： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元一次不等式以及解一元一次不等式组，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． （1）根据解一元一次不等式的步骤解答即可； （2）根据解一元一次不等式组的步骤解答即可． 【详解】（1）解：， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得； （2）解：， 解不等式，得， 解不等式，得， 原不等式组的解集为． 18．先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查了分式的化简求值. 先通分，再去括号，约分，最后将代入即可. 【详解】 ， 当时，原式 19．如图，已知是平行四边形对角线上的点，连接．过点在平行四边形内部作射线交于点，且使，连接、，证明四边形是平行四边形． 解答思路：利用平行四边形的性质得到线段和角相等，再通过和全等得边角关系，然后利用一组对边平行且相等使问题得到解决．请根据解答思路完成下面的作图与填空． (1)尺规作图：过点在平行四边形内部作射线交于点，且使，连接、；(只保留作图痕迹) (2)证明： 四边形是平行四边形 ①______， ②______ 在和中 ③______， ④______ 四边形是平行四边形(⑤______) 【答案】(1)见详解 (2)①；②；③；④；⑤一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 【分析】本题考查了作图-复杂作图，平行四边形的性质和全等三角形的判定的知识，三角形全等的判定是中考的热点，一般以考查三角形全等的方法为主，判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件． （1）作 ，其中交于F即可； （2）由于，根据全等三角形的性质得到， ，根据等角的补角相等可得，则，根据平行四边形的判定即可得到结论． 【详解】（1）解：如图作，其中交于F （2）证明：∵在四边形是平行四边形， ∴，； ∴ 在与中， ∴， ∴ ，， ∴ ∴四边形是平行四边形(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形) 故答案为：①；②；③；④；⑤一组对边平行且相等的四边形是平行四边形． 20．阅读材料：要将多项式分解因式，可以先把它的前两项分成一组，再把它的后两项分成一组，从而得到，这时 中又有公因式，于是可以提出，即 ，我们称这种方法为分组法．请你利用分组法解答下列问题： (1)解决问题：分解因式． (2)拓展运用：已知是的三边，且满足，请判断的形状并说明理由． 【答案】(1) (2)是等腰三角形，理由见解析 【分析】本题主要考查了因式分解及其应用，等腰三角形的定义，解题关键是熟练掌握分解因式的几种方法． （1）把多项式的前两项分成一组，后两项分成一组，利用提公因式法和公式法分解因式； （2）把所给等式分组为，再分解因式，可得，再进一步即可得到答案． 【详解】（1）解： ． （2）解： 是等腰三角形，理由如下： ， ， ∴， ∴， ∴， 或 ， 或 ， 为等腰三角形． 21．如图，平面直角坐标系中，小正方形网格的边长为1个单位长度，的三个顶点的坐标分别为，，． (1)画出将向上平移1个单位长度，再向右平移5个单位长度后得到的，并直接写出点的坐标； (2)画出将绕原点逆时针方向旋转得到的； (3)在轴上求作一点，使得的值最小，请求出的最小值及此时点坐标． 【答案】(1)，图见解析 (2)见解析 (3)，，图见解析 【分析】本题考查作图-平移变换，旋转变换，轴对称最短问题等知识，解题的关键是掌握轴对称变换的性质． （1）分别将点A、B、C向上平移1个单位，再向右平移5个单位，然后顺次连接； （2）根据网格结构找出点A、B、C以点O为旋转中心逆时针旋转后的对应点，然后顺次连接即可； （3）利用最短路径问题解决，首先作点关于x轴的对称点，再连接与x轴的交点即为所求． 【详解】（1）解：如图，即为所求，； （2）解：如图，即为所求； （3）解：如图，点P即为所求， 根据两点之间，线段最短可得，的最小值为，即的长， 由坐标系可得，， ∴， 即的最小值为； 设直线的解析式为， 把，代入解析式得， ， 解得， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴点P的坐标为． 22．某学校去年通过采购平台在某体育用品店购买A品牌足球共花费2880元，B品牌足球共花费3000元，且购买A品牌足球数量是B品牌数量的1.2倍，每个足球的售价A品牌比B品牌便宜12元． (1)求去年A品牌足球和B品牌足球的单价； (2)今年需要从该店再购买A、B两种足球共60个，已知今年该店对每个足球的售价进行了调整，A品牌比去年降低了2元，B品牌比去年提高了，如果今年购买A、B两种足球的总费用不超过去年总费用的一半，那么学校至少要购买多少个A品牌足球？ 【答案】(1)去年品牌足球的单价为元，则去年品牌足球的单价为元 (2)学校至少要购买个品牌足球 【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，解题的关键是理解题意，正确找出数量关系． （1）设去年品牌足球的单价为元，则去年品牌足球的单价为元，根据题意列方程即可求解； （2）先求出今年、两种品牌的单价，再设学校今年购买个品牌足球，根据题意列不等式即可求解． 【详解】（1）解：设去年品牌足球的单价为元，则去年品牌足球的单价为元， 根据题意可得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，符合题意， ， 答：去年品牌足球的单价为元，则去年品牌足球的单价为元； （2）解：∵A品牌比去年降低了2元， ∴今年品牌足球的单价为（元）， 今年品牌足球的单价为（元）， 设学校今年购买个品牌足球， 根据题意可得：， 解得：， 答：学校至少要购买个品牌足球． 23．如图1，在四边形中，，，，，，动点P从点A出发，沿折线A→B→C运动，到达C点时停止运动．点P在线段上的运动速度为每秒个单位长度，在线段上的运动速度为每秒3个单位长度．设点P的运动时间为x秒（），的面积为y： (1)请直接写出y与x的函数关系式； (2)在如图2所示的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质 (3)结合函数图象，若直线与该函数图象有1个交点，请直接写出m的取值范围． 【答案】(1) (2)图象见详解，当时，y随x的增大而增大 (3)或 【分析】本题主要考查一次函数的图象与性质、等腰直角三角形的性质与判定及二次根式的运算，熟练掌握一次函数的图象与性质、等腰直角三角形的性质与判定及二次根式的运算是解题的关键； （1）过点A作于点E，由题意易得，然后分当点P在线段上时，当点P在线段上时，进而分类求解即可； （2）根据（1）中函数解析式可进行画函数图象，然后问题可求解； （3）根据（2）中函数图象可进行求解． 【详解】（1）解：过点A作于点E，如图所示： ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， 当点P在线段上时，由题意得：，则，过点P作于点F，延长交的延长线于点G，如图所示， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴ ； 当点P在线段上时，如图， 由题意得：， ∴； 综上所述：； （2）解：所作函数图象如下所示： ∴该函数的一条性质是当时，y随x的增大而增大； （3）解：当经过点时，则，即， 当经过点时，则， 当经过点时，则，即， ∴要使与该函数图象有1个交点，则需满足或． 24．已知，等腰中，，，的边经过点，点是线段上一动点，连接． (1)如图1，若点是的中点，，求的长； (2)如图2，连接，当时，求证：； (3)如图3，等腰中，，连接，若，，当点在运动过程中，请直接写出周长的最小值． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据点是的中点，得出，在中，，根据勾股定理建立方程，解方程，即可求解； （2）延长、，交于，延长交于，先证明，证明，进而证明，得出，进而即可得证； （3）过点作于，作，且，连接，作点关于的对称点，交于，连接交于，勾股定理求得，，证明得出点在与成的直线上运动，当、、三点共线时，的周长最小，此时点与点重合，最小值为，进而证明，得出，进而勾股定理求得，即可求解． 【详解】（1）解：∵在等腰中，，， ∴， 点是的中点， ， 在中，， ， ； （2）证明：延长、，交于点，延长交于， 四边形是平行四边形， ，， ， ， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， 在和中， ， ， ， ， ；． （3）解：如图3，过点作于，作，且，连接，作点关于的对称点，交于，连接交于， 则， ， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， 点在与成的直线上运动， ， 当、、三点共线时，的周长最小，此时点与点重合，最小值为， 在和中， ， ， ，， ，， ， 周长的最小值为：． 【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的性质、平行四边形的性质、矩形的判定与性质、含30度角的直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、轴对称的性质等知识，综合性强，难度较大，正确作出辅助线，熟练运用相关知识是解题关键． 25．如图，在中，点D，F分别为边上的点，连接，线段交于点G，且．点E为边上一点，连接使得． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了等边对等角，三角形内角和定理，三角形外角的性质，全等三角形的性质与判定，熟知等边对等角是解题的关键． （1）根据等边对等角得到，再证明，即可证明，得到； （2）由等边对等角可得，设，则，，再根据建立方程求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； （2）解；∵， ∴， ∴， 设， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年八年级数学下学期期末模拟卷 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：北师大版2012八年级下册+九上特殊平行四边形。 5．难度系数：0.65。 （全卷共24题，满分150分，考试时间120分钟） 第Ⅰ卷（选择题） 1、 选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分） 1．窗棂是我国传统房屋建筑的重要组成部分，具有较高的艺术与观赏价值，下列窗棂纹样中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 2．下列变形属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 3．下列判断正确的是（   ） A．若，则 B．若为任意实数，则 C．若，则 D．若，则 4．如图，已知在中，对角线相交于点，若，，，则的周长为（   ） A． B． C． D． 5．下列分式变形正确的是（   ） A． B． C． D． 6．小鹿两次购买相同药物的费用均为元，第二次购买时每盒降价元，他多买了盒．设第一次购买时该药品的单价为（元／盒），则可列方程为（　　） A． B． C． D． 7．在平面直角坐标系中，已知线段的两个端点分别是，将线段平移后得到线段，若点的坐标为，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 8．定义新运算，若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 9．如图，正方形的面积为50，以为腰作等腰平分交DC于点，交的延长线于点，连接．若，则的长为（   ） A． B． C．4 D． 10．使方程（组）和不等式（组）同时成立的未知数的值称为此方程（组）与不等式（组）的“同频解”．如是方程与不等式的“同频解”；则以下说法正确的是（   ） 方程与不等式有且仅有一个负整数“同频解”； 是与的“同频解”，则； 存在整数使得方程的所有解均是其与的“同频解”； A．个 B．个 C．个 D．个 第Ⅱ卷（非选择题） 2、 填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分） 11．要使有意义，则实数x的取值范围是 ． 12．计算： ． 13．一个多边形的一个内角和是，则它是 边形． 14．如图，在四边形 中，，，连接，，过 A 作 交 于 D．若，则 ． 15．若关于x的不等式组有解且至多有4个偶数解，且关于y的分式方程的解是整数，则所有满足条件的整数加的值之和为 ． 16．如果一个四位正整数A与另一个四位正整数B相加得到四位正整数C，且C的四个数位上的数字相同，我们就称A与B互为“如影随形数”．一个四位正整数M的千位数字为a，百位数字为b，十位数字为c，个位数字为d，将M的千位数字与个位数字交换，百位数字与十位数字交换，得到一个新的四位正整数，当M与互为“如影随形数”时，记 ．若为整数，是5的倍数，则 ；满足条件的M的最大值与最小值的和为 ． 三、解答题：（本大题共9个小题，17和18题每小题8分，19-25题每小题10分，共86分） 17．解一元一次不等式（组）： (1)； (2) 18．先化简，再求值：，其中． 19．如图，已知是平行四边形对角线上的点，连接．过点在平行四边形内部作射线交于点，且使，连接、，证明四边形是平行四边形． 解答思路：利用平行四边形的性质得到线段和角相等，再通过和全等得边角关系，然后利用一组对边平行且相等使问题得到解决．请根据解答思路完成下面的作图与填空． (1)尺规作图：过点在平行四边形内部作射线交于点，且使，连接、；(只保留作图痕迹) (2)证明： 四边形是平行四边形 ①______， ②______ 在和中 ③______， ④______ 四边形是平行四边形(⑤______) 20．阅读材料：要将多项式分解因式，可以先把它的前两项分成一组，再把它的后两项分成一组，从而得到，这时 中又有公因式，于是可以提出，即 ，我们称这种方法为分组法．请你利用分组法解答下列问题： (1)解决问题：分解因式． (2)拓展运用：已知是的三边，且满足，请判断的形状并说明理由． 21．如图，平面直角坐标系中，小正方形网格的边长为1个单位长度，的三个顶点的坐标分别为，，． (1)画出将向上平移1个单位长度，再向右平移5个单位长度后得到的，并直接写出点的坐标； (2)画出将绕原点逆时针方向旋转得到的； (3)在轴上求作一点，使得的值最小，请求出的最小值及此时点坐标． 22．某学校去年通过采购平台在某体育用品店购买A品牌足球共花费2880元，B品牌足球共花费3000元，且购买A品牌足球数量是B品牌数量的1.2倍，每个足球的售价A品牌比B品牌便宜12元． (1)求去年A品牌足球和B品牌足球的单价； (2)今年需要从该店再购买A、B两种足球共60个，已知今年该店对每个足球的售价进行了调整，A品牌比去年降低了2元，B品牌比去年提高了，如果今年购买A、B两种足球的总费用不超过去年总费用的一半，那么学校至少要购买多少个A品牌足球？ 23．如图1，在四边形中，，，，，，动点P从点A出发，沿折线A→B→C运动，到达C点时停止运动．点P在线段上的运动速度为每秒个单位长度，在线段上的运动速度为每秒3个单位长度．设点P的运动时间为x秒（），的面积为y： (1)请直接写出y与x的函数关系式； (2)在如图2所示的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质 (3)结合函数图象，若直线与该函数图象有1个交点，请直接写出m的取值范围． 24．已知，等腰中，，，的边经过点，点是线段上一动点，连接． (1)如图1，若点是的中点，，求的长； (2)如图2，连接，当时，求证：； (3)如图3，等腰中，，连接，若，，当点在运动过程中，请直接写出周长的最小值． 25．如图，在中，点D，F分别为边上的点，连接，线段交于点G，且．点E为边上一点，连接使得． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$