2024-2025学年重庆八年级下学期数学期末考前模拟卷01（人教版）

2024-2025学年八年级数学下学期期末模拟卷 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教版2012八年级下册+九上一元二次方程。 5．难度系数：0.65。 （全卷共24题，满分150分，考试时间120分钟） 第Ⅰ卷（选择题） 1、 选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分） 1．下列各组数，能作为直角三角形的三边的是（   ） A．1，2，3 B． C． D． 2．关于x的一元二次方程的常数项为0，则m的值为（   ） A．1 B． C．2 D． 3．估计的值应在（   ） A．到之间 B．到之间 C．到之间 D．到之间 4．如图，矩形中，对角线，交于O点．若，，则的长为（   ） A．4 B． C．3 D．5 5．如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数和一次函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 6．消防安全，重于泰山．某校举行消防知识竞赛，甲、乙、丙、丁四位同学三轮初赛的平均成绩都是95分，方差分别是，，，，那么成绩最稳定的是（　　） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 7．关于的一元二次方程无实数根，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 8．如图，涵涵骑车、轩轩步行分别从甲、乙两地同时出发，沿同一公路相向而行．涵涵出发10分钟后休息，直至与轩轩相遇后，以原速度继续行驶，设两人出发时间为x （单位：），涵涵、轩轩与乙地的距离分别为（单位：m），图中的折线和线段分别表示与x之间的函数关系．下列四个结论正确的是（    ） A．涵涵行驶的速度为 B．轩轩行驶的速度为 C．线段所在直线的解析式为 D．两人只有在出发10分钟后相距 9．如图，正方形中，点E、F分别是和边的点，满足，连接、，过点F作，连接，H是上一点，且．已知正方形边长，则的长度是（    ） A． B． C． D． 10．下列说法： ①已知，，满足，则； ②已知，，是正整数，，且，则，，； ③实数，，满足，，则代数式的值可以是6； 其中正确的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 第Ⅱ卷（非选择题） 2、 填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分） 11．要使二次根式有意义，则x需满足的条件是 ． 12．如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点离点的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点爬到点，需要爬行的最短距离是 ． 13．将直线向右平移3个单位长度，平移后直线的解析式为 ． 14．做实教共体：依托“沙坪坝，老师好！”品牌让优质教育资源更加可感可及，凤中教共体招聘数学教师，其中一名应聘者的笔试成绩90分，试讲成绩85分，结构化成绩85分．若笔试成绩、面试成绩和结构化成绩在综合成绩中的占比分别是．则该应聘者的综合成绩是 分． 15．如图，现有正方形纸片，点，分别在，边上，分别沿，折叠，使得，两点均落在点处，然后还原． （1） ． （2）连接，分别交两条折痕，于点，，已知，，则的长为 ． 16．如果一个四位正整数各数位数字均不为0，满足，且，，则称这样的四位数M为“拆解数”．记，如，因为，所以3265是“拆解数”，．若“拆解数”M的千位数字为8，个位数字为1，则“拆解数”M的最大值为 ．若(x、y、m、n为整数，且，，，) 是“拆解数”，且为整数，则满足条件的P的最小值为 ． 三、解答题：（本大题共9个小题，17和18题每小题8分，19-25题每小题10分，共86分） 17．先化简，再求值：，其中． 18．选择适当的方法解方程 (1) (2) 19．学习了矩形之后，小明进行了拓展性研究，他发现：矩形对角线将矩形分成了四个小三角形，选择其中一组相对的三角形，做一组互为内错角的锐角的角平分线与所对的对角线相交，将这两个交点分别与另一条对角线的端点相连，所形成的四边形是平行四边形．探究过程如下： （1）用直尺和圆规，作的角平分线交于点F，连接、（保留作图痕迹，不写结论）；已知：在矩形中，点O是对角线，的交点，平分，平分． 求证：四边形是平行四边形． 证明：四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵平分， ∴①， ∵平分， ∴ ②   ，， 在与中， ， ∴， ∴ ③ ， ∴四边形是平行四边形，（ ④ ）． 20．为展现川维青少年的活跃思维与良好风貌，进一步培养德智体美劳全面发展的新时代青年，重市川维中学校举办了“新岁序开，蛇全蛇美”，喜迎新年云端海报设计大赛，现从七年级和八年级参与设计大赛的学生中各随机选出20名同学的成绩进行分析，将学生比赛成绩分为A，B，C，D四个等级，分别是：A：，B：，C：，D： 其中，七年级学生的比赛成绩为：68，76，78，78，79，82，83，83，85，86，86，88，88，88，91，92，93，95，95，96； 八年级等级C的学生成绩为：81，82，83，86，87，88，89． 两组数据的平均数、中位数、众数、方差如表所示： 学生 平均数 中位数 众数 方差 七年级 85.5 86 b 50.15 八年级 85.5 a 91 80.56 (1)填空：_______，_______，_______； (2)根据以上数据，你认为在活动一设计大赛中，哪个年级的成绩更好？请说明理由（一条理由即可） (3)若七年级有900名学生参赛，八年级有600名学生参赛，请估计两个年级参赛学生中成绩优秀（大于或等于90分）的学生共有多少人？ 21．如图，在中，，，动点P从点B出发，沿折线B-C-A运动，到达点A时停止运动（点P不与B、A重合），设点P的运动路程为x，的面积为y．请解答下列问题： (1)直接写出y与x之间的函数表达式及x的取值范围； (2)在平面直角坐标系中画出函数y的图象，根据函数图象，写出函数y的一条性质； (3)结合函数图象，直接写出当时x的取值范围（结果保留一位小数，误差范围不超过0.2）． 22．某市规划修建铁路，并将火车始发站定于B处．已知始发站B位于小区A的东北方向，位于商场C 的北偏西方向，且距离为米，小区A位于商场C的南偏西方向．火车在行驶的过程中，以火车头为圆心，半径为米的范围内都会受到噪音干扰．火车从始发站B出发，以米秒的速度沿铁路低速行驶． (1)请问A小区是否会受到噪音干扰？若受到干扰，干扰的时间有多长？(结果保留整数，参考数据： (2)火车从始发站出发时，小明开车从小区沿正南方向以10米／秒的速度出发，小明出发多久后会受到噪音影响？ 23．我区某种植基地种植的葡萄颗粒饱满味道甘甜，深得人们喜爱．种植基地2022年开始种植葡萄150亩，到2024年葡萄的种植面积达到亩． (1)求该基地这两年葡萄种植面积的平均年增长率； (2)市场调查发现，当葡萄的售价为14元/千克时，每天能售出300千克，售价每千克降价1元，每天可多售出60千克．为了推广宣传，基地决定降价促销，同时尽量减少库存，已知该基地葡萄的平均成本价为6元/千克，若每天获利2520元，则售价应为多少元？ 24．如图1，直线：与轴交于点，与轴交于点，直线：与轴交于点，与直线交于点，． (1)求直线的解析式． (2)点为轴正半轴上的一点，若，在轴上存在一点，使最小，求点的坐标和最小值． (3)如图2，将直线向上平移3个单位得到直线，在上存在一动点，使，请直接写出点的坐标． 25．如图，在四边形中，对角线、相交于点，，． (1)如图1，若，，，求四边形的面积． (2)如图2，点、点分别是、上的点，，点、点分别为、的中点，连接，为上一点，为延长线上一点，连接、，若，，，证明：； (3)如图3，过点作于点，是上一点，连接，作于点，交于点，，．当点在直线上运动时，将绕点顺时针旋转得，连接，，，若，当最小时，直接写出的面积． 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年八年级数学下学期期末模拟卷 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教版2012八年级下册+九上一元二次方程。 5．难度系数：0.65。 （全卷共24题，满分150分，考试时间120分钟） 第Ⅰ卷（选择题） 1、 选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分） 1．下列各组数，能作为直角三角形的三边的是（   ） A．1，2，3 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理、三角形的三边关系，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题关键．根据勾股定理的逆定理、三角形的三边关系逐项判断即可得． 【详解】解：A、，不能构成三角形，则此项不符合题意； B、，能作为直角三角形的三边，则此项符合题意； C、，不能作为直角三角形的三边，则此项不符合题意； D、因为，所以，不能构成三角形，则此项不符合题意； 故选：B． 2．关于x的一元二次方程的常数项为0，则m的值为（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，解题的关键是正确计算常数项为0的值，利用一元二次方程的定义判断即可． 【详解】解：由题意得： ， 解得， 故选：B． 3．估计的值应在（   ） A．到之间 B．到之间 C．到之间 D．到之间 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的混合运算、无理数的大小估算，首先根据无理数的运算法则可得：原式，根据，可得，所以可得． 【详解】解： ， ， ， ， ， . 故选：C． 4．如图，矩形中，对角线，交于O点．若，，则的长为（   ） A．4 B． C．3 D．5 【答案】A 【分析】本题考查了矩形的性质，等边三角形的判定及性质；由矩形的性质得，由等边三角形的判定方法得是等边三角形，即可求解；掌握矩形的性质，等边三角形的判定及性质是解题的关键． 【详解】解：四边形是矩形， ， ， 是等边三角形， ， 故选：A． 5．如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数和一次函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数和正比例函数的性质，数形结合是解答本题的关键．分和两种情况分析即可． 【详解】解：当时，图象经过一三四象限，经过一三象限，此时4个选项均不符合题意； 当时，图象经过一二三象限，经过二四象限，此时B选项符合题意． 故选：B． 6．消防安全，重于泰山．某校举行消防知识竞赛，甲、乙、丙、丁四位同学三轮初赛的平均成绩都是95分，方差分别是，，，，那么成绩最稳定的是（　　） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】C 【分析】本题主要考查了方差与稳定性之间的关系，根据方差越小，成绩越稳定进行求解即可． 【详解】解：∵，，，， ∴， ∴成绩最稳定的是丙， 故选：C． 7．关于的一元二次方程无实数根，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了根据一元二次方程根的情况求参数，理解一元二次方程根的判别式是解答关键． 根据一元二次方程无实数根来列出方程求解． 【详解】解：关于的一元二次方程无实数根， ，， ． 故选：D． 8．如图，涵涵骑车、轩轩步行分别从甲、乙两地同时出发，沿同一公路相向而行．涵涵出发10分钟后休息，直至与轩轩相遇后，以原速度继续行驶，设两人出发时间为x （单位：），涵涵、轩轩与乙地的距离分别为（单位：m），图中的折线和线段分别表示与x之间的函数关系．下列四个结论正确的是（    ） A．涵涵行驶的速度为 B．轩轩行驶的速度为 C．线段所在直线的解析式为 D．两人只有在出发10分钟后相距 【答案】C 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，从函数图像获取信息是解题的关键． 根据得到的信息结合图像，用路程除以时间可得轿车的速度计可以判断A， 根据路程除以时间求得货车的速度，可以判断B； 求出直线的解析式，得到点的坐标为，点坐标为：．即可求出线段所在直线的函数表达式，即可判断C； 待定系数法求得段的函数解析式，分两种情况列方程并解方程即可求解判断D． 【详解】解：由图象可得，涵涵骑车行驶（米）， 涵涵行驶的速度为：，故A错误； 由图象可得，轩轩步行的速度为：，故B错误； 由题意可得所在直线为关于x的正比例函数， 设直线的解析式为：， 将代入得：， 解得， ∴； 则时，， ∴点的坐标为， ∵涵涵在休息前行驶，休息后按原速度行驶， ∴涵涵行驶后需． ∴点坐标为：． 设线段所在直线的函数表达式为， 将点代入得： ， 解得， ∴线段所在直线的函数表达式为，故C正确； 设段的函数解析式为， 将代入得： ， 解得， ∴． 当涵涵休息前与轩轩相距时，有， ， 解得； 当涵涵休息后与轩轩相距时，有， ， 解得． 即两人在出发10分钟后和分钟后都是相距，故D错误； 故选：C． 9．如图，正方形中，点E、F分别是和边的点，满足，连接、，过点F作，连接，H是上一点，且．已知正方形边长，则的长度是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查正方形的性质，勾股定理，等面积法,等腰三角形的判定和性质等知识，运用等面积法求是解题的关键．连接，勾股定理求出，利用和得出，从而求出，利用等面积求出，从而得解． 【详解】解：连接， 在正方形中，， ∴，， 又∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ， ∴ ∴， ∴， 故选：C． 10．下列说法： ①已知，，满足，则； ②已知，，是正整数，，且，则，，； ③实数，，满足，，则代数式的值可以是6； 其中正确的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】本题考查了完全平方公式及平方的非负性，二次根式的性质，不定方程的解，①利用完全平方公式及平方的非负性判定即可，②利用平方差公式转化成方程组，判定方程组的整数解即可，③两方程相减得，根据，得取值判断即可． 【详解】解：①， ， ， ， ， ， 故①正确， ② ， ，，是正整数， ，都是整数， ， ， ， 而只能分解成和的乘积， ∴当时， 解得：，，或，，， 当时， 解得：，， ， ，与矛盾，不符合题意，舍去， 故②错误， ③实数，，满足，， 两方程相减得：， 当，均大于或等于时， 即， ， 则，故不成立， 当，有一个大于有一个小于时， ，故不成立， 当，都小于时，，不符合题意， 故③错误． 故正确的为：①，共个， 故选：B． 第Ⅱ卷（非选择题） 2、 填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分） 11．要使二次根式有意义，则x需满足的条件是 ． 【答案】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义需被开方式大于等于0是解题的关键． 根据二次根式有意义的条件求解即可． 【详解】根据题意得：， 解得：， 故答案为：． 12．如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点离点的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点爬到点，需要爬行的最短距离是 ． 【答案】25 【分析】本题主要考查两点之间线段最短，勾股定理，关键是将长方体侧面展开，然后利用两点之间线段最短解答．要求长方体中两点之间的最短路径，最直接的作法，就是将长方体侧面展开，然后利用两点之间线段最短解答． 【详解】解：只要把长方体的右侧表面剪开与前面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如第1个图： 长方体的宽为10，高为20，点离点的距离是5， ，， 在直角三角形中，根据勾股定理得： ； 只要把长方体的右侧表面剪开与上面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如第2个图： 长方体的宽为10，高为20，点离点的距离是5， ，， 在直角三角形中，根据勾股定理得： ； 只要把长方体的上表面剪开与后面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如第3个图： 长方体的宽为10，高为20，点离点的距离是5， ， 在直角三角形中，根据勾股定理得： ； ， 蚂蚁爬行的最短距离是25， 故答案为：25. 13．将直线向右平移3个单位长度，平移后直线的解析式为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查的知识点是一次函数图象的平移规律．根据一次函数象平移的规律可得解，一次函数平移的规律为：左加右减，上加下减． 【详解】解：由题意得，． 故答案为：． 14．做实教共体：依托“沙坪坝，老师好！”品牌让优质教育资源更加可感可及，凤中教共体招聘数学教师，其中一名应聘者的笔试成绩90分，试讲成绩85分，结构化成绩85分．若笔试成绩、面试成绩和结构化成绩在综合成绩中的占比分别是．则该应聘者的综合成绩是 分． 【答案】 【分析】本题主要考查了求加权平均数，用笔试成绩和面试成绩分别乘以其对应的权重，然后求和即可得到答案． 【详解】解：分， ∴该应聘者的综合成绩是分， 故答案为：． 15．如图，现有正方形纸片，点，分别在，边上，分别沿，折叠，使得，两点均落在点处，然后还原． （1） ． （2）连接，分别交两条折痕，于点，，已知，，则的长为 ． 【答案】 45度/ 【分析】该题考查了折叠的性质，勾股定理，正方形的性质等知识点，解题的关键是正确做出辅助线． （1）由折叠得，结合，即可求解； （2）连接．由折叠可得，得出，即可得，．又根据在正方形中，，从而得出，求出．在中，根据勾股定理即可求解． 【详解】解：（1）由折叠得， ， ， ． （2）连接． 由折叠可得， ∴， ，． 又在正方形中，， ， ． 在中，． 故答案为：；． 16．如果一个四位正整数各数位数字均不为0，满足，且，，则称这样的四位数M为“拆解数”．记，如，因为，所以3265是“拆解数”，．若“拆解数”M的千位数字为8，个位数字为1，则“拆解数”M的最大值为 ．若(x、y、m、n为整数，且，，，) 是“拆解数”，且为整数，则满足条件的P的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了新定义，整式的混合运算，解一元二次方程，分类讨论，根据题意可得，，，利用上述关系进行解答即可，熟读题意，找到题中的数量关系，熟练利用分类讨论的思想解题是关键． 【详解】解：∵若“拆解数”M的千位数字为8，个位数字为1， ， ， ，， 即，， ∵， ∴，即， 要使“拆解数”M最大，则取， ， “拆解数”M的最大值为； ∵， ∴千位数字,百位数字,十位数字,个位数字， 要求P的最小值，， 可假设取最小值为，即， ∴，， ∴， ， ， ， ∴， ， ， 为整数 为的倍数， 要求P的最小值，， 尽可能小， ①当时，为的倍数，， ， 只能等于3，， ∵为拆解数， ∴， 可得， 可得， ， 该方程无实数根， 不成立； ②当时，为的倍数， ， 只能取， 此时，， ∵为拆解数， ∴， 可得， 可得， ， 解得， 则或， 综上所述，当时，可取最小值为， 故答案为：；． 三、解答题：（本大题共9个小题，17和18题每小题8分，19-25题每小题10分，共86分） 17．先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【分析】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式的加减运算法则是解答本题的关键．先把括号里通分，再把除法转化为乘法，并把分子分母分解因式约分化简，最后把所给数值代入计算． 【详解】解： ； 当时，原式． 18．选择适当的方法解方程 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法等． （1）利用因式分解法解一元二次方程即可； （2）利用配方法解一元二次方程即可． 【详解】（1）解： 或 解得：； （2）解： 解得：． 19．学习了矩形之后，小明进行了拓展性研究，他发现：矩形对角线将矩形分成了四个小三角形，选择其中一组相对的三角形，做一组互为内错角的锐角的角平分线与所对的对角线相交，将这两个交点分别与另一条对角线的端点相连，所形成的四边形是平行四边形．探究过程如下： （1）用直尺和圆规，作的角平分线交于点F，连接、（保留作图痕迹，不写结论）；已知：在矩形中，点O是对角线，的交点，平分，平分． 求证：四边形是平行四边形． 证明：四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵平分， ∴①， ∵平分， ∴ ②   ，， 在与中， ， ∴， ∴ ③ ， ∴四边形是平行四边形，（ ④ ）． 【答案】；；；对角线互相平分的四边形是平行四边形 【分析】本题考查了角平分线的尺规作图，矩形的性质，平行四边形的判定，全等三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先作出作的角平分线交于点F，再结合平行四边形的性质得，，根据角平分线的定义得，，证明，运用对角线互相平分的四边形是平行四边形 【详解】解：依题意，点F如图所示： 证明：四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ∵平分， ∴，， 在与中， ， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形，（对角线互相平分的四边形是平行四边形）． 20．为展现川维青少年的活跃思维与良好风貌，进一步培养德智体美劳全面发展的新时代青年，重市川维中学校举办了“新岁序开，蛇全蛇美”，喜迎新年云端海报设计大赛，现从七年级和八年级参与设计大赛的学生中各随机选出20名同学的成绩进行分析，将学生比赛成绩分为A，B，C，D四个等级，分别是：A：，B：，C：，D： 其中，七年级学生的比赛成绩为：68，76，78，78，79，82，83，83，85，86，86，88，88，88，91，92，93，95，95，96； 八年级等级C的学生成绩为：81，82，83，86，87，88，89． 两组数据的平均数、中位数、众数、方差如表所示： 学生 平均数 中位数 众数 方差 七年级 85.5 86 b 50.15 八年级 85.5 a 91 80.56 (1)填空：_______，_______，_______； (2)根据以上数据，你认为在活动一设计大赛中，哪个年级的成绩更好？请说明理由（一条理由即可） (3)若七年级有900名学生参赛，八年级有600名学生参赛，请估计两个年级参赛学生中成绩优秀（大于或等于90分）的学生共有多少人？ 【答案】(1)87.5，88，40 (2)八年级的中位数为88分大于七年级的中位数87.5分，八年级成绩更好 (3)510人 【分析】本题考查的是扇形统计图，平均数，中位数，众数，利用样本估计总体，掌握以上统计基础知识是解本题的关键． （1）由众数，中位数的含义可求解的值，由D级所占的百分比可得m的值， （2）从中位数的角度出发进行分析可得答案； （3）由各年级的总人数乘以各自的优秀率，再求解代数和即可． 【详解】（1）解：由七年级的成绩当中88分出现的次数最多，所以众数（分）， 由题意可得：八年级学生当中A等级人，B等级人，C等级7人，D等级人， 所以中位数落在C等级，第10个，第11个数据分别为87分，88分， 所以中位数为：（分）， 所以即， 故答案为：87.5，88，40； （2）解：八年级的中位数为88分大于七年级的中位数87.5分，八年级成绩更好； （3）解： 答：两个年级参赛学生中成绩优秀的学生共有510人． 21．如图，在中，，，动点P从点B出发，沿折线B-C-A运动，到达点A时停止运动（点P不与B、A重合），设点P的运动路程为x，的面积为y．请解答下列问题： (1)直接写出y与x之间的函数表达式及x的取值范围； (2)在平面直角坐标系中画出函数y的图象，根据函数图象，写出函数y的一条性质； (3)结合函数图象，直接写出当时x的取值范围（结果保留一位小数，误差范围不超过0.2）． 【答案】(1)，图象见解析 (2)当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小（答案不唯一） (3)（答案不唯一，误差范围不超过） 【分析】本题考查一次函数的应用，熟练掌握一次函数的图象和性质是解题的关键． （1）分两种情况分别求出函数解析式，再画出函数图象即可； （2）根据图象进行解答即可； （3）根据函数解析式，求出当时的值，可以帮助结合图象判断． 【详解】（1）解：当时，点在上，， 当时，点在上，， 综上，， 函数的图象如图所示， （2）当时，随的增大而增大（答案不唯一）； （3）令，得，令，得， 当时，结合图象观察可知x的取值范围为（答案不唯一，误差范围不超过）． 22．某市规划修建铁路，并将火车始发站定于B处．已知始发站B位于小区A的东北方向，位于商场C 的北偏西方向，且距离为米，小区A位于商场C的南偏西方向．火车在行驶的过程中，以火车头为圆心，半径为米的范围内都会受到噪音干扰．火车从始发站B出发，以米秒的速度沿铁路低速行驶． (1)请问A小区是否会受到噪音干扰？若受到干扰，干扰的时间有多长？(结果保留整数，参考数据： (2)火车从始发站出发时，小明开车从小区沿正南方向以10米／秒的速度出发，小明出发多久后会受到噪音影响？ 【答案】(1)A小区会受到噪音干扰，干扰的时间有10秒 (2)小明出发4秒后会受到噪音影响 【分析】（1）过作于，过点B作于H，根据题意得，，根据含30度和45度直角三角形的性质求出米，得到，于是得到小区会受到噪音干扰，设火车到点小区开始受到噪音干扰，到点小区受到噪音干扰结束，连接，，根据勾股定理即可得到结论． （2）假设当小明开始受影响时行到E处，此时行到F处，则此时米， 又设小明出发t秒后会受到噪音影响，则，，则，，利用勾股定理得到，从而得到得到关于t的方程，即可得解． 【详解】（1）解：过作于，过点B作于H， 由题意得，，， ， ，米， (米， ∴米， ， ， 小区会受到噪音干扰， 设火车到点小区开始受到噪音干扰，到点小区受到噪音干扰结束， 连接，， 则米， 米， (米， (米， 干扰的时间(秒， 答：A小区会受到噪音干扰，干扰的时间有10秒． （2）假设当小明开始受影响时行到E处，火车行到F处，则此时米， 又设小明出发t秒后会受到噪音影响，则， 又∵ ∴， ∵， ∴，即， 解得：， 答：小明出发4秒后会受到噪音影响． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，正确地找出辅助线构造直角三角形是解题的关键． 23．我区某种植基地种植的葡萄颗粒饱满味道甘甜，深得人们喜爱．种植基地2022年开始种植葡萄150亩，到2024年葡萄的种植面积达到亩． (1)求该基地这两年葡萄种植面积的平均年增长率； (2)市场调查发现，当葡萄的售价为14元/千克时，每天能售出300千克，售价每千克降价1元，每天可多售出60千克．为了推广宣传，基地决定降价促销，同时尽量减少库存，已知该基地葡萄的平均成本价为6元/千克，若每天获利2520元，则售价应为多少元？ 【答案】(1)该基地这两年葡萄种植面积的平均增长率为 (2)售价应为12元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设该基地这两年葡萄种植面积的平均年增长率为x，利用该种植基地2024年的种植面积=该种植基地2022年的种植面积×（1+该基地这两年葡萄种植面积的平均年增长率）2，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论； （2）设售价应降低y元，则每天可售出千克，利用总利润=每千克的销售利润×日销售量，可列出关于y的一元二次方程，解之可得出y的值，再结合要尽量减少库存，即可确定结论． 【详解】（1）解：设该基地这两年葡萄种植面积的平均年增长率x， 根据题意，得， 解得：或（舍去）， ， 答：该基地这两年葡萄种植面积的平均增长率为； （2）解：设售价应降低y元，则每天可售出千克， ∵当葡萄的售价为14元/千克时，每天能售出300千克，售价每降价1元，每天可多售出60千克， ， 整理，得：，解得：或， ∵要尽量减少库存， ∴（元）， 答：售价应为12元． 24．如图1，直线：与轴交于点，与轴交于点，直线：与轴交于点，与直线交于点，． (1)求直线的解析式． (2)点为轴正半轴上的一点，若，在轴上存在一点，使最小，求点的坐标和最小值． (3)如图2，将直线向上平移3个单位得到直线，在上存在一动点，使，请直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2)； (3)或 【分析】本题主要考查了一次函数与几何综合，两点距离计算公式，勾股定理的逆定理，等腰直角三角形的性质与判定等等，利用数形结合和分类讨论的思想求解是解题的关键． （1）先求出点A的坐标得到的长，则可求出的长得到点C的坐标，再利用待定系数法求解即可； （2）联立直线和直线解析式求出点D坐标，则可求出，进而可得，再根据三角形面积计算公式求出的长，从而得到点P的坐标；作点D关于x轴的对称点，连接交x轴于E，此时有最小值，最小值为的长，据此利用两点距离计算公式求出的长，再求出直线的解析式，进而求出点E坐标即可； （3）先求出直线的解析式；如图所示，取，连接，可证明，即是等腰直角三角形，则，即点M即为直线与直线的交点，求出直线解析式为，联立，解得，则点M的坐标为；如图所示，取，同理可证明是等腰直角三角形，且，则，则点M为直线与直线的交点，同理求出此时点M的坐标即可． 【详解】（1）解：在中，当时，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 把代入中得，解得， ∴直线的解析式为； （2）解：联立，解得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，当时，， ∴， ∵点P在y轴正半轴上， ∴点P的坐标为； 如图所示，作点D关于x轴的对称点，连接交x轴于E，此时有最小值，最小值为的长， ∵， ∴， ∴， ∴的最小值为； 设直线解析式为，则， 解得， ∴直线解析式为， 在中，当时，， ∴； （3）解：∵将直线向上平移3个单位得到直线， ∴直线的解析式； 如图所示，取，连接， ∵， ∴，． ， ∴， ∴，即是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴点M即为直线与直线的交点， 设直线解析式为， ∴， ∴， ∴直线解析式为， 联立，解得， ∴点M的坐标为； 如图所示，取，同理可证明是等腰直角三角形，且， ∴， ∴点M为直线与直线的交点， 同理可得直线解析式为， 联立，解得， ∴点M的坐标为； 综上所述，点M的坐标为或． 25．如图，在四边形中，对角线、相交于点，，． (1)如图1，若，，，求四边形的面积． (2)如图2，点、点分别是、上的点，，点、点分别为、的中点，连接，为上一点，为延长线上一点，连接、，若，，，证明：； (3)如图3，过点作于点，是上一点，连接，作于点，交于点，，．当点在直线上运动时，将绕点顺时针旋转得，连接，，，若，当最小时，直接写出的面积． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）先证明，再证四边形是平行四边形，结合得出，再在中利用勾股定理求出，再计算面积即可； （2）连接，取中点，连接，，同（1）可得四边形是平行四边形，通过导角得出，再证明，由点、点分别为、的中点，为中点，利用中位线得出，，，，可得，再进行导角可得，是等腰直角三角形，得，再利用线段的和差即可证明； （3）先证明，推导出、是等腰直角三角形，再求出，，，过点作于点，连接，通过证明推导出，推出点，，共线，可知点的轨迹为直线，过点作直线的对称点，连接，则，当且仅当，，依次共线时取最小值，证明四边形是平行四边形，可知，最后求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵，， ∴， ∵， ∴在中，， 即， 解得：， ∴， ∴； （2）解：如图，连接，取中点，连接，， 同（1）可得四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵点、点分别为、的中点，为中点， ∴，，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， 即， ∵， ，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， 即； （3）解：∵，， ∴，，， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∴是等腰直角三角形， 同（1）可得四边形是平行四边形， ∴，，，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴，， ∴在中，， 即， 解得：， ∴， ∴，， 如图，过点作于点，连接， 由旋转知，， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点，，共线， ∴点的轨迹为直线， 如图，过点作直线的对称点，连接， 则，当且仅当，，依次共线时取最小值， 此时如图， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$