19.2 一次函数 题型解读2024-2025学年人教版数学八年级下册

19.2 一次函数 题型目录 【题型1】正比例函数、一次函数的定义 4 【题型2】正比例函数的图象和性质 5 【题型3】一次函数的图象和性质 6 【题型4】待定系数法 8 【题型5】函数图象共存问题 9 【题型6】一次函数的平移 12 【题型7】一次函数与方程、不等式的关系 13 【小试牛刀】 15 知识梳理 1．正比例函数 （1）正比例函数的定义 一般地，形如y=kx（k是常数，k≠0）的函数，叫做正比例函数，其中k叫做比例系数，一般情况下，正比例函数自变量的取值范围是全体实数． （2）正比例函数的图象和性质 正比例函数y=kx（k≠0）的图象是一条经过原点（0，0）的直线，我们称它为直线y=kx（k≠0）．正比例函数图象的位置和函数值y的增减性完全由比例系数k的符号决定． ①当k>0时，图象经过第一、三象限，y随x的增大而增大； ②当k<0时，图象经过第二、四象限，y随x的增大而减小． 2．一次函数 （1）一次函数的定义 一般地，形如y=kx+b（k，b是常数，k≠0）的函数，叫做一次函数． （2）一次函数的图象和性质 对于y=kx+b（k≠0 ，b≠0）． 当k>0，b>0，y=kx+b的图象在第一、二、三象限，y随x的增大而增大； 当k>0，b<0，y=kx+b的图象在第一、三、四象限，y随x的增大而增大； 当k<0，b>0，y=kx+b的图象在第一、二、四象限，y随x的增大而减小； 当k<0，b<0，y=kx+b的图象在第二、三、四象限，y随x的增大而减小． 3．一次函数的平移 （1）一次函数y=kx+b（k≠0）的图象是过点（0，b）且和直线y=kx重合或平行的一条直线． （2）直线y=kx+b可以看作由直线y=kx向上或向下平移|b|个单位长度得到． （3）一次函数图象的平移遵照“左加右减，上加下减”的原则进行，要注意平移后k值不变，只有b发生变化． （4）由两个函数解析式中的k的值相等，可判断两个函数的图象平行，即其中一条直线是由另一条直线平移得到的． 4．用待定系数法确定一次函数的解析式 求一次函数y=kx+b（k≠0）的解析式，关键是求出k，b的值，一般可根据条件列出关于k，b的二元一次方程组，求出k，b的值，从而求出函数的解析式．这种求函数解析式的方法叫做待定系数法． 5．一次函数与方程、不等式的关系 （1）一次函数与一元一次方程的关系：任何一元一次方程都可以转化为ax+b=0（a，b为常数，a≠0）的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值．从图象上看，相当于已知直线y=ax+b确定它与x轴的交点的横坐标的值． （2）①任何一个以x为未知数的一元一次不等式都可以变形为ax+b>0或ax+b<0（a≠0）的形式，所以解一元一次不等式相当于在某个一次函数y=ax+b的值大于0或小于0时，求自变量x的取值范围． ②一次函数y=ax+b（a≠0）与一元一次不等式ax+b>0（或ax+b<0）的关系： ax+b>0的解集y=ax+b中，y>0时x的取值范围，即直线y=ax+b在x轴上方部分图象对应的x的取值范围． ax+b<0的解集y=ax+b中，y<0时x的取值范围，即直线y=ax+b在x轴下方部分图象对应的x的取值范围． （3）用图象法求二元一次方程组的近似解的一般方法：①先把方程组中的两个二元一次方程化成一次函数的形式：y=k1x+b1和y=k2x+b2；②建立平面直角坐标系，画出这两个一次函数的图象；③写出这两条直线的交点的横、纵坐标，这两个数值就是二元一次方程组的解中的两个数值，横坐标为x，纵坐标为y． 方法归纳 1．正比例函数与一次函数的关系 正比例函数y=kx（k≠0）是一次函数y=kx+b（k≠0）当b=0时的特例，所以正比例函数一定是一次函数，但一次函数不一定是正比例函数． 2． 正比例函数与一次函数的增减性只与k有关 3．直线与y轴交点的位置只与b有关． 4．同一平面直角坐标系中两条直线的位置关系 在同一平面直角坐标系中，两条直线l1：y=k1x+b1，l2：y=k2x+b2（k1k2≠0）的位置关系与k1，k2，b1，b2有关． （1）当k1≠k2，b1，b2为任意值时，两直线相交． （2）当k1=k2且b1≠b2时，两直线平行． （3）当k1=k2且b1=b2时，两直线重合． 5．平移规律 上加下减常数项，左加右减自变量． 6．一次函数解析式的确定条件 一次函数y=kx+b（k≠0）有两个待定的系数k和b，需要建立两个关于k，b的等量关系式，即需要两组对应的x，y的值．在图象中，则是需要两个点的坐标． 7．正比例函数y=kx（k≠0）为特殊的一次函数，只有一个待定系数k，因而只需要一组除（0，0）外的x，y的对应值就可以求出其系数，从而确定解析式． 8．对于一次函数y=ax+b，当y=0时，一次函数就变成方程ax+b=0，此时自变量x的值就是方程ax+b=0的解，即这个一次函数的图象与x轴交点的横坐标就是方程ax+b=0的解． 9．二元一次方程组的解可以看成方程组中两个方程对应的一次函数图象的交点坐标；反之，两个一次函数图象的交点坐标可以看成由这两个一次函数解析式组成的方程组的解． 10．数形结合法求不等式解集的步骤 ①找交点，即找两直线的交点． ②画直线，即过两直线的交点画与y轴平行的直线． ③定左右，根据所求目标，确定自变量的取值范围． 题型1 题型 【题型1】正比例函数、一次函数的定义 1．正比例函数必须符合下列两个条件：一是两个变量的次数都是1；二是比例系数k≠0． 2．判断函数是一次函数的方法： 先看函数解析式能否通过变形转化为y=kx+b（k，b为常数，且k≠0）的形式，若能，则是一次函数，当b=0时，该函数是正比例函数，即先化简后判断． 典型例题 例1： （2025春•巴彦县月考）下列函数中，是的正比例函数的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据正比例函数的一般形式：为常数且，逐一判断即可解答． 【解答】解：、是反比例函数，故不符合题意； 、是二次函数，故不符合题意； 、是一次函数，不是正比例函数，故不符合题意； 、是正比例函数，故符合题意； 故选：． 变式训练 例1： 【变式练1】　（2025春•南安市期中）下列函数关系式中，是的正比例函数的是　　 A． B． C． D． 【变式练2】　（2025春•鲤城区校级月考）若函数是一次函数，则的值为　　 A． B． C．1 D．2 【变式练3】　（2025春•新华区校级月考）下列函数（1）；（2）；（3）；（4）；（5）为常数）中，正比例函数的个数是　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型2 题型 【题型2】正比例函数的图象和性质 正比例函数y=kx（k≠0）中，|k|越大，直线y=kx越靠近y轴，即直线与x轴正半轴的夹角越大；|k|越小，直线y=kx越靠近x轴，即直线与x轴正半轴的夹角越小． 典型例题 例1： （2024•德阳）正比例函数的图象如图所示，则的值可能是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据正比例函数的性质即可得到结论． 【解答】解：由图象知，函数值随的增大而增大， ， 的值可能是， 故选：． 变式训练 例1： 【变式练1】　（2022秋•会宁县校级期末）三个正比例函数的表达式分别为①；②；③，其在平面直角坐标系中的图象如图所示，则，，的大小关系为　　 A． B． C． D． 【变式练2】　（2023春•南开区期末）函数的图象经过　　 A．第一、三象限 B．第二、四象限 C．第一、二象限 D．第三、四象限 【变式练3】　（2024春•南昌县月考）如图，这是正比例函数和的图象，则　　．（填“”“ ”或“” 【答案】． 题型3 题型 【题型3】一次函数的图象和性质 直线y=kx+b的位置是由k和b的符号决定的．k决定直线的倾斜程度，|k|越大，直线越陡，|k|越小，直线越缓；b决定直线与y轴交点的位置，b>0，直线交y轴上方，b<0，直线交y轴下方．若两直线的k相同，则两直线互相平行． 典型例题 例1： （2025•六盘水模拟）一次函数的图象经过　　 A．第一、二、三象限 B．第一、三、四象限 C．第一、二、四象限 D．第二、三、四象限 【分析】由于，，根据一次函数图象与系数的关系可判断一次函数的图象经过第一、二、三象限． 【解答】解：， 图象经过第一、三象限， ， 图象与轴的交点在轴上方， 一次函数的图象经过第一、二、三象限． 故选：． 变式训练 例1： 【变式练1】　（2025•谯城区模拟）若一次函数的函数值随的增大而减小，则的值可以是　　 A． B． C．0 D．3 【答案】 【变式练2】　（2025•湘西州模拟）一次函数为常数）的图象不经过　　 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式练3】　（2025•鼓楼区校级模拟）已知直线过点和点，则和的大小关系是　　 A． B． C． D．不能确定 题型4 题型 【题型4】待定系数法 运用待定系数法求一次函数解析式的步骤： （1）设：设出一次函数的解析式y=kx+b（k≠0）； （2）代：把已知条件（自变量与函数的对应值）代人解析式得到关于k，b的二元一次方程组； （3）解：解方程组，求出k，b的值； （4）回代：将求出的k，b的值回代到所设的函数解析式，即可得到所求的一次函数解析式． 典型例题 例1： （2025春•立山区期中）在平面直角坐标系中，已知点和在直线上，则直线必经过点　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据点的坐标特征和待定系数法确定一次函数关系式，再进行判断． 【解答】解：设直线的方程为：， 将点与代入可得：， 解得：， 直线的方程为：， 将四个选项代入，可知符合要求． 故选：． 变式训练 例1： 【变式练1】　（2024秋•钱塘区期末）在平面直角坐标系中，已知点与在直线上，则直线必经过　　 A． B． C． D． 【变式练2】　（2024秋•青浦区校级期末）如果一次函数的图象经过点和，那么它的解析式是 　　 ． 【变式练3】　（2025春•海门区期中）若与成正比例，且当时，． （1）求与的函数解析式． （2）求当时，的值． 题型5 题型 【题型5】函数图象共存问题 这类题目多以选择题的形式出现，一种较好的方法是选定其中一条直线确定k，b的符号，再由此看另一条直线的k，b是否满足相应特征，便可以判断． 典型例题 例1： （2024秋•静安区校级期末）如图，在同一平面直角坐标系中，直线和直线的图象可能是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据正比例函数图象的位置确定的取值范围，再利用的取值范围确定一次函数的位置，则可对、、选项进行判断；根据一次函数的位置可对进行判断． 【解答】解：、由正比例函数图象得，则直线与轴的交点在轴下方，所以选项错误； 、由正比例函数图象得，则直线与轴的交点在轴上方，所以选项正确； 、由正比例函数图象得，则直线与轴的交点在轴上方，所以选项错误； 、由一次函数经过第一、三象限，所以选项错误． 故选：． 变式训练 例1： 【变式练1】　（2024秋•新泰市期末）同一平面直角坐标系中，一次函数与，为常数）的图象可能是　　 A． B． C． D． 【变式练2】　（2024秋•杭州期末）一次函数和，为常数且在同一直角坐标系中的图象可能是　　 A． B． C． D． 【变式练3】　（2024秋•安庆期末）一次函数与在同一坐标系中的图象可能是　　 A． B． C． D． 题型6 题型 【题型6】一次函数的平移 一次函数y=kx+b（k≠0）的图象是过点（0，b）且和直线y=kx重合或平行的一条直线． 直线y=kx+b可以看作由直线y=kx向上或向下平移|b|个单位长度得到． 典型例题 例1： （2024秋•东坡区期末）若把一次函数的图象向上平移3个单位长度，得到图象解析式是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】求直线平移后的解析式时要注意平移时的值不变，只有发生变化． 【解答】解：原直线的，；向上平移3个单位长度得到了新直线， 那么新直线的，． 新直线的解析式为． 故选：． 变式训练 例1： 【变式练1】　（2024春•交口县期末）将正比例函数的图象向下平移2个单位长度，所得图象对应的函数解析式是　　 A． B． C． D． 【变式练2】　（2025春•重庆校级月考）将直线向上平移4个单位长度，得到的新直线的解析式为　　 A． B． C． D． 【变式练3】　（2025春•杨浦区校级月考）已知直线经过和，把直线沿轴向左平移2个单位，再向下平移一个单位得到直线，则直线的解析式为 　　． 题型7 题型 【题型7】一次函数与方程、不等式的关系 方程ax+b=0（a≠0）的解函数y=ax+b（a≠0）中，y=0时x的值； 方程ax+b=0（a≠0）的解函数y=ax+b（a≠0）的图象与x轴交点的横坐标． 一元一次不等式的图象解法就是把解不等式转化为比较直线上点的位置的高低，能直观地看到怎样用图形来表示不等式的解集，体现了数形结合和转化思想的应用． 典型例题 例1： （2025春•兴隆县期中）如图，是一次函数的图象，从图象上可以观察到，方程的解是　　 A．1 B．1.5 C．2 D．0 【答案】 【分析】从图象上得到与坐标轴的交点的坐标后，解答即可． 【解答】解：由图象可知：一次函数的图象与直线的交点坐标为， 则方程的解为； 故选：． 变式训练 例1： 【变式练1】　（2025春•天山区校级期末）如图，一次函数与的图象相交于点，则关于的方程的解是　　 A． B． C． D． 【变式练2】　（2025春•修水县期中）如图，直线交坐标轴于，两点，则不等式的解集是　　 A． B． C． D． 【变式练3】　（2025•徐州模拟）若函数的图象如图所示，则关于的不等式的解集为　　 A． B． C． D． 小试牛刀 19.2 一次函数 一、选择题（共10小题） 1．（2025春•临泽县校级期中）函数的图象如图所示，当时，的值是　　 A． B． C． D． 2．（2025•台江区校级模拟）一次函数，随的增大而减小，且，则在直角坐标系内它的大致图象是　　 A． B． C． D． 3．（2025•天心区校级一模）一次函数的图象大致是　　 A． B． C． D． 4．（2025•雁塔区校级模拟）关于正比例函数，下列结论中正确的是　　 A．函数图象经过点 B．随的增大而减小 C．函数图象经过第一、三象限 D．不论取何值，总有 5．（2025•台江区校级模拟）在同一平面直角坐标系内，正比例函数与一次函数的图象可能为　　 A． B． C． D． 6．（2023秋•贵池区期末）如图，直线、的交点坐标可以看作下列方程组　　的解． A． B． C． D． 7．（2024秋•昆都仑区校级期中）已知一次函数，当时，函数的最大值是　　 A．10 B．3 C． D．无法确定 8．（2023秋•单县期末）油箱中有油20升，油从管道中匀速流出，100分钟流完．油箱中剩油量（升与流出的时间（分间的函数关系式是　　 A． B． C． D． 9．（2024•崆峒区校级一模）直线经过一、三、四象限，那么点第　　象限． A．四 B．三 C．二 D．一 10．（2024春•正定县期末）关于函数，下列结论中正确的是　　 A．函数的图象必经过点 B．函数的图象经过第二、四象限 C．随的增大而增大 D．不论取何值，总有 二、填空题（共10小题） 11．（2024春•都昌县期中）直线和直线在同一坐标系中的图象如图所示，则关于的不等式的解集是 　　． 12．（2023秋•宁国市期末）如图，直线与直线相交于点，则关于，的方程组的解为 　　． 13．（2024春•项城市期末）若是正比例函数，则　　． 14．（2024秋•安宁区校级期末）一次函数的图象不经过第 　　 象限． 15．（2024秋•金凤区校级月考）李老师开车从甲地到相距240千米的乙地，如果油箱剩余油量（升与行驶里程（千米）之间是一次函数关系，其图象如图所示，那么到达乙地时油箱剩余油量是 　　升． 16．（2024春•鹤山市期末）一个弹簧不挂重物时长，挂上重物后伸长的长度与所挂重物的质量成正比．如果挂重物后，弹簧伸长，弹簧总长为（单位：随所挂重物（单位：变化的函数解析式为 　　． 17．（2024春•南关区校级期末）某地海拔高度与温度的关系可用来表示，则该地区某海拔高度为的山顶上的温度为 　　． 18．（2024春•鲤城区校级期中）如果函数的自变量的取值范围是，相应的函数值的范围是，求此函数的解析式是　　． 19．（2024春•清苑区期末）已知不等式的解集是，则直线与的交点坐标是　 　． 20．（2024春•章贡区期末）若函数是正比例函数，则的值是　 　． 三、解答题（共4小题） 21．（2024秋•界首市期末）如图，直线是一次函数的图象． （1）求出这个一次函数的解析式； （2）根据函数图象，直接写出时的取值范围． 22．（2024•工业园区一模）一个高为的圆柱形玻璃杯中存有一定量的水，将大小相同的棋子轻轻投入该玻璃杯中，玻璃杯中水面的高度会随着投入的棋子数（枚的变化而变化．根据表格中的信息，解答下列问题： （枚 3 12 12 15 （1）求与的函数表达式； （2）要使水不溢出玻璃杯，最多可以投入多少枚棋子？ 23．（2025•碑林区校级一模）某玩具批发市场、玩具的批发价分别为每件30元和50元，张阿姨花1200元购进、两种玩具若干件，并分别以每件35元与60元价格出售．设购入玩具为件，玩具为件． （1）若张阿姨将玩具全部出售赚了220元，那么张阿姨购进、型玩具各多少件？ （2）若要求购进玩具的数量不得少于玩具的数量，则怎样分配购进玩具、的数量并全部售出才能获得最大利润，此时最大利润为多少？ 24．（2024秋•金凤区校级期中）已知函数． （1）当为何值时，这个函数是关于的一次函数？ （2）当为何值时，这个函数是关于的正比例函数？ 第1页 共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 19.2 一次函数 题型目录 【题型1】正比例函数、一次函数的定义 4 【题型2】正比例函数的图象和性质 6 【题型3】一次函数的图象和性质 8 【题型4】待定系数法 10 【题型5】函数图象共存问题 13 【题型6】一次函数的平移 18 【题型7】一次函数与方程、不等式的关系 20 【小试牛刀】 23 知识梳理 1．正比例函数 （1）正比例函数的定义 一般地，形如y=kx（k是常数，k≠0）的函数，叫做正比例函数，其中k叫做比例系数，一般情况下，正比例函数自变量的取值范围是全体实数． （2）正比例函数的图象和性质 正比例函数y=kx（k≠0）的图象是一条经过原点（0，0）的直线，我们称它为直线y=kx（k≠0）．正比例函数图象的位置和函数值y的增减性完全由比例系数k的符号决定． ①当k>0时，图象经过第一、三象限，y随x的增大而增大； ②当k<0时，图象经过第二、四象限，y随x的增大而减小． 2．一次函数 （1）一次函数的定义 一般地，形如y=kx+b（k，b是常数，k≠0）的函数，叫做一次函数． （2）一次函数的图象和性质 对于y=kx+b（k≠0 ，b≠0）． 当k>0，b>0，y=kx+b的图象在第一、二、三象限，y随x的增大而增大； 当k>0，b<0，y=kx+b的图象在第一、三、四象限，y随x的增大而增大； 当k<0，b>0，y=kx+b的图象在第一、二、四象限，y随x的增大而减小； 当k<0，b<0，y=kx+b的图象在第二、三、四象限，y随x的增大而减小． 3．一次函数的平移 （1）一次函数y=kx+b（k≠0）的图象是过点（0，b）且和直线y=kx重合或平行的一条直线． （2）直线y=kx+b可以看作由直线y=kx向上或向下平移|b|个单位长度得到． （3）一次函数图象的平移遵照“左加右减，上加下减”的原则进行，要注意平移后k值不变，只有b发生变化． （4）由两个函数解析式中的k的值相等，可判断两个函数的图象平行，即其中一条直线是由另一条直线平移得到的． 4．用待定系数法确定一次函数的解析式 求一次函数y=kx+b（k≠0）的解析式，关键是求出k，b的值，一般可根据条件列出关于k，b的二元一次方程组，求出k，b的值，从而求出函数的解析式．这种求函数解析式的方法叫做待定系数法． 5．一次函数与方程、不等式的关系 （1）一次函数与一元一次方程的关系：任何一元一次方程都可以转化为ax+b=0（a，b为常数，a≠0）的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值．从图象上看，相当于已知直线y=ax+b确定它与x轴的交点的横坐标的值． （2）①任何一个以x为未知数的一元一次不等式都可以变形为ax+b>0或ax+b<0（a≠0）的形式，所以解一元一次不等式相当于在某个一次函数y=ax+b的值大于0或小于0时，求自变量x的取值范围． ②一次函数y=ax+b（a≠0）与一元一次不等式ax+b>0（或ax+b<0）的关系： ax+b>0的解集y=ax+b中，y>0时x的取值范围，即直线y=ax+b在x轴上方部分图象对应的x的取值范围． ax+b<0的解集y=ax+b中，y<0时x的取值范围，即直线y=ax+b在x轴下方部分图象对应的x的取值范围． （3）用图象法求二元一次方程组的近似解的一般方法：①先把方程组中的两个二元一次方程化成一次函数的形式：y=k1x+b1和y=k2x+b2；②建立平面直角坐标系，画出这两个一次函数的图象；③写出这两条直线的交点的横、纵坐标，这两个数值就是二元一次方程组的解中的两个数值，横坐标为x，纵坐标为y． 方法归纳 1．正比例函数与一次函数的关系 正比例函数y=kx（k≠0）是一次函数y=kx+b（k≠0）当b=0时的特例，所以正比例函数一定是一次函数，但一次函数不一定是正比例函数． 2． 正比例函数与一次函数的增减性只与k有关 3．直线与y轴交点的位置只与b有关． 4．同一平面直角坐标系中两条直线的位置关系 在同一平面直角坐标系中，两条直线l1：y=k1x+b1，l2：y=k2x+b2（k1k2≠0）的位置关系与k1，k2，b1，b2有关． （1）当k1≠k2，b1，b2为任意值时，两直线相交． （2）当k1=k2且b1≠b2时，两直线平行． （3）当k1=k2且b1=b2时，两直线重合． 5．平移规律 上加下减常数项，左加右减自变量． 6．一次函数解析式的确定条件 一次函数y=kx+b（k≠0）有两个待定的系数k和b，需要建立两个关于k，b的等量关系式，即需要两组对应的x，y的值．在图象中，则是需要两个点的坐标． 7．正比例函数y=kx（k≠0）为特殊的一次函数，只有一个待定系数k，因而只需要一组除（0，0）外的x，y的对应值就可以求出其系数，从而确定解析式． 8．对于一次函数y=ax+b，当y=0时，一次函数就变成方程ax+b=0，此时自变量x的值就是方程ax+b=0的解，即这个一次函数的图象与x轴交点的横坐标就是方程ax+b=0的解． 9．二元一次方程组的解可以看成方程组中两个方程对应的一次函数图象的交点坐标；反之，两个一次函数图象的交点坐标可以看成由这两个一次函数解析式组成的方程组的解． 10．数形结合法求不等式解集的步骤 ①找交点，即找两直线的交点． ②画直线，即过两直线的交点画与y轴平行的直线． ③定左右，根据所求目标，确定自变量的取值范围． 题型1 题型 【题型1】正比例函数、一次函数的定义 1．正比例函数必须符合下列两个条件：一是两个变量的次数都是1；二是比例系数k≠0． 2．判断函数是一次函数的方法： 先看函数解析式能否通过变形转化为y=kx+b（k，b为常数，且k≠0）的形式，若能，则是一次函数，当b=0时，该函数是正比例函数，即先化简后判断． 典型例题 例1： （2025春•巴彦县月考）下列函数中，是的正比例函数的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据正比例函数的一般形式：为常数且，逐一判断即可解答． 【解答】解：、是反比例函数，故不符合题意； 、是二次函数，故不符合题意； 、是一次函数，不是正比例函数，故不符合题意； 、是正比例函数，故符合题意； 故选：． 变式训练 例1： 【变式练1】　（2025春•南安市期中）下列函数关系式中，是的正比例函数的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】理解“形如的函数，叫做正比例函数．据此解答即可． 【解答】解：．是正比例函数，符合题意； ．是一次函数，不符合题意； ．是反比例函数，不符合题意； ．是二次函数，不符合题意； 故选：． 【变式练2】　（2025春•鲤城区校级月考）若函数是一次函数，则的值为　　 A． B． C．1 D．2 【答案】 【分析】根据一次函数的定义列式计算即可得解． 【解答】解：根据题意得，且， 解得且， 所以，． 故选：． 【变式练3】　（2025春•新华区校级月考）下列函数（1）；（2）；（3）；（4）；（5）为常数）中，正比例函数的个数是　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】 【分析】根据正比例函数的定义解答即可． 【解答】解：（1）是正比例函数，符合题意； （2），是一次函数，不是正比例函数，不符合题意； （3）不是正比例函数，不符合题意； （4）不是正比例函数，不符合题意； （5）是常数），当时，不是函数，不符合题意； 所以是正比例函数的个数有1个， 故选：． 题型2 题型 【题型2】正比例函数的图象和性质 正比例函数y=kx（k≠0）中，|k|越大，直线y=kx越靠近y轴，即直线与x轴正半轴的夹角越大；|k|越小，直线y=kx越靠近x轴，即直线与x轴正半轴的夹角越小． 典型例题 例1： （2024•德阳）正比例函数的图象如图所示，则的值可能是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据正比例函数的性质即可得到结论． 【解答】解：由图象知，函数值随的增大而增大， ， 的值可能是， 故选：． 变式训练 例1： 【变式练1】　（2022秋•会宁县校级期末）三个正比例函数的表达式分别为①；②；③，其在平面直角坐标系中的图象如图所示，则，，的大小关系为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据所在象限判断出、、的符号，再根据直线越陡，则越大可得答案． 【解答】解：，的图象都在第一三象限，在第二四象限， ，，， 直线越陡，则越大， ， 故选：． 【变式练2】　（2023春•南开区期末）函数的图象经过　　 A．第一、三象限 B．第二、四象限 C．第一、二象限 D．第三、四象限 【分析】根据正比例函数的性质，可以得到函数经过哪几个象限． 【解答】解：，， 函数经过第一、三象限且经过原点， 故选：． 【变式练3】　（2024春•南昌县月考）如图，这是正比例函数和的图象，则　　．（填“”“ ”或“” 【答案】． 【分析】根据图象结合性质直接解决即可． 【解答】解：如图： 当时，，，， ， 故答案为：． 题型3 题型 【题型3】一次函数的图象和性质 直线y=kx+b的位置是由k和b的符号决定的．k决定直线的倾斜程度，|k|越大，直线越陡，|k|越小，直线越缓；b决定直线与y轴交点的位置，b>0，直线交y轴上方，b<0，直线交y轴下方．若两直线的k相同，则两直线互相平行． 典型例题 例1： （2025•六盘水模拟）一次函数的图象经过　　 A．第一、二、三象限 B．第一、三、四象限 C．第一、二、四象限 D．第二、三、四象限 【分析】由于，，根据一次函数图象与系数的关系可判断一次函数的图象经过第一、二、三象限． 【解答】解：， 图象经过第一、三象限， ， 图象与轴的交点在轴上方， 一次函数的图象经过第一、二、三象限． 故选：． 变式训练 例1： 【变式练1】　（2025•谯城区模拟）若一次函数的函数值随的增大而减小，则的值可以是　　 A． B． C．0 D．3 【答案】 【分析】根据一次项系数小于0时，一次函数的函数值随的增大而减小列出不等式求解即可． 【解答】解：根据一次函数性质可知：函数值随着的增大而减小， ，解得，即选项符合题意． 故选：． 【变式练2】　（2025•湘西州模拟）一次函数为常数）的图象不经过　　 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】 【分析】根据，的符号确定一次函数的图象经过的象限． 【解答】解：一次函数为常数）中， ，图象过一三象限，，图象过第二象限， 直线经过一、二、三象限，不经过第四象限． 故选：． 【变式练3】　（2025•鼓楼区校级模拟）已知直线过点和点，则和的大小关系是　　 A． B． C． D．不能确定 【答案】 【分析】根据一次函数图象的性质进行判断． 【解答】解：， 的图象随着的增大而减小． ， ． 故选：． 题型4 题型 【题型4】待定系数法 运用待定系数法求一次函数解析式的步骤： （1）设：设出一次函数的解析式y=kx+b（k≠0）； （2）代：把已知条件（自变量与函数的对应值）代人解析式得到关于k，b的二元一次方程组； （3）解：解方程组，求出k，b的值； （4）回代：将求出的k，b的值回代到所设的函数解析式，即可得到所求的一次函数解析式． 典型例题 例1： （2025春•立山区期中）在平面直角坐标系中，已知点和在直线上，则直线必经过点　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据点的坐标特征和待定系数法确定一次函数关系式，再进行判断． 【解答】解：设直线的方程为：， 将点与代入可得：， 解得：， 直线的方程为：， 将四个选项代入，可知符合要求． 故选：． 变式训练 例1： 【变式练1】　（2024秋•钱塘区期末）在平面直角坐标系中，已知点与在直线上，则直线必经过　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据点的坐标特征和待定系数法确定一次函数关系式，再进行判断． 【解答】解：设直线的方程为：， 将点与代入可得：， 解得：， 直线的方程为：， 将四个选项代入，可知符合要求． 故选：． 【变式练2】　（2024秋•青浦区校级期末）如果一次函数的图象经过点和，那么它的解析式是 　　 ． 【答案】． 【分析】利用待定系数法求一次函数解析式． 【解答】解：根据题意得， 解得， 所以一次函数解析式为． 故答案为：． 【变式练3】　（2025春•海门区期中）若与成正比例，且当时，． （1）求与的函数解析式． （2）求当时，的值． 【答案】（1）；（2）． 【分析】（1）利用正比例函数的定义，设，然后把已知的对应值代入求出得到与之间的函数关系式； （2）计算对应的自变量为的值即可． 【解答】解：（1）设， 把，代入得，解得， 所以， 所以与之间的函数关系式为； （2）当时， 解答． 题型5 题型 【题型5】函数图象共存问题 这类题目多以选择题的形式出现，一种较好的方法是选定其中一条直线确定k，b的符号，再由此看另一条直线的k，b是否满足相应特征，便可以判断． 典型例题 例1： （2024秋•静安区校级期末）如图，在同一平面直角坐标系中，直线和直线的图象可能是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据正比例函数图象的位置确定的取值范围，再利用的取值范围确定一次函数的位置，则可对、、选项进行判断；根据一次函数的位置可对进行判断． 【解答】解：、由正比例函数图象得，则直线与轴的交点在轴下方，所以选项错误； 、由正比例函数图象得，则直线与轴的交点在轴上方，所以选项正确； 、由正比例函数图象得，则直线与轴的交点在轴上方，所以选项错误； 、由一次函数经过第一、三象限，所以选项错误． 故选：． 变式训练 例1： 【变式练1】　（2024秋•新泰市期末）同一平面直角坐标系中，一次函数与，为常数）的图象可能是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】利用一次函数的性质进行判断． 【解答】解：若，，则一次函数与都经过第一、二、三象限，没有符合条件的选项； 若，，则一次函数与都经过第一、三、四象限，没有符合条件的选项； 若，，则一次函数经过第一、二、三象限，经过第二、三、四象限，没有符合条件的选项； 若，，则一次函数经过第一、三、四象限，经过第一、二、四象限，选项符合条件； 故选：． 【变式练2】　（2024秋•杭州期末）一次函数和，为常数且在同一直角坐标系中的图象可能是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据直线判断出、的符号，然后根据、的符号判断出直线经过的象限即可，做出判断． 【解答】解：、若，，则直线与都经过一、二、三象限，故选项错误； 、若，，则直线经过一、二、四象限，直线经过一、三、四象限，故选项正确； 、若，，则直线经过一、二、四象限，直线经过一、三、四象限，故选项错误； 、若，，则直线与都经过二、三、四象限，故选项错误． 故选：． 【变式练3】　（2024秋•安庆期末）一次函数与在同一坐标系中的图象可能是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据题中选项的图，假定其中一条之间的解析式为，由一次函数图象与性质得到，符号，再判断另一条直线是否满足即可得到答案． 【解答】解：、如图所示： 假设①的表达式为，则，， ， 对于一次函数，图象与轴正半轴相交，图②不能表示一次函数图象，该选项不符合题意； 、如图所示： 假设①的表达式为，则，， ， 对于一次函数，图象与轴负半轴相交，图②不能表示一次函数图象，该选项不符合题意； 、如图所示： 假设①的表达式为，则，， ， 对于一次函数，图象上升、且与轴负半轴相交，图②不能表示一次函数图象，该选项不符合题意； 、如图所示： 假设①的表达式为，则，， ， 对于一次函数，图象下降、且与轴负半轴相交，图②能表示一次函数图象，该选项符合题意； 故选：． 题型6 题型 【题型6】一次函数的平移 一次函数y=kx+b（k≠0）的图象是过点（0，b）且和直线y=kx重合或平行的一条直线． 直线y=kx+b可以看作由直线y=kx向上或向下平移|b|个单位长度得到． 典型例题 例1： （2024秋•东坡区期末）若把一次函数的图象向上平移3个单位长度，得到图象解析式是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】求直线平移后的解析式时要注意平移时的值不变，只有发生变化． 【解答】解：原直线的，；向上平移3个单位长度得到了新直线， 那么新直线的，． 新直线的解析式为． 故选：． 变式训练 例1： 【变式练1】　（2024春•交口县期末）将正比例函数的图象向下平移2个单位长度，所得图象对应的函数解析式是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据“上加下减”的原则求解即可． 【解答】解：将正比例函数的图象向下平移2个单位长度，所得图象对应的函数解析式是． 故选：． 【变式练2】　（2025春•重庆校级月考）将直线向上平移4个单位长度，得到的新直线的解析式为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据上加下减的原则平移求解即可． 【解答】解：由题意得，新直线的解析式为，即． 故选：． 【变式练3】　（2025春•杨浦区校级月考）已知直线经过和，把直线沿轴向左平移2个单位，再向下平移一个单位得到直线，则直线的解析式为 　　． 【答案】． 【分析】设直线的表达式为，将和分别代入中，求出直线的表达式，进而得出答案． 【解答】解：设直线的表达式为， 将和分别代入中， 即， 解得：， 则直线的表达式为， 直线沿轴向左平移2个单位，再向下平移一个单位得到直线， 直线的表达式为， 即直线的表达式为． 故答案为：． 题型7 题型 【题型7】一次函数与方程、不等式的关系 方程ax+b=0（a≠0）的解函数y=ax+b（a≠0）中，y=0时x的值； 方程ax+b=0（a≠0）的解函数y=ax+b（a≠0）的图象与x轴交点的横坐标． 一元一次不等式的图象解法就是把解不等式转化为比较直线上点的位置的高低，能直观地看到怎样用图形来表示不等式的解集，体现了数形结合和转化思想的应用． 典型例题 例1： （2025春•兴隆县期中）如图，是一次函数的图象，从图象上可以观察到，方程的解是　　 A．1 B．1.5 C．2 D．0 【答案】 【分析】从图象上得到与坐标轴的交点的坐标后，解答即可． 【解答】解：由图象可知：一次函数的图象与直线的交点坐标为， 则方程的解为； 故选：． 变式训练 例1： 【变式练1】　（2025春•天山区校级期末）如图，一次函数与的图象相交于点，则关于的方程的解是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】先将点代入一次函数可得，从而可得点的坐标为，再将点代入一次函数可得，由此即可得． 【解答】解：由条件可得：，解得， 点的坐标为， 点在一次函数的图象上， ， 关于的方程的解是， 故选：． 【变式练2】　（2025春•修水县期中）如图，直线交坐标轴于，两点，则不等式的解集是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】看不在轴下方的函数图象所对应的自变量的取值即可． 【解答】解：由图象可以看出，不在轴下方的函数图象所对应的自变量的取值为，不等式的解集是．故选：． 【变式练3】　（2025•徐州模拟）若函数的图象如图所示，则关于的不等式的解集为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据所给函数图象，画出函数的图象，再利用数形结合的数学思想即可解决问题． 【解答】解：因为函数的图象与函数的图象关于轴对称， 则如图所示， 所以当时，函数的图象在轴上方，即， 所以关于的不等式的解集为：． 故选：． 小试牛刀 19.2 一次函数 一、选择题（共10小题） 1．（2025春•临泽县校级期中）函数的图象如图所示，当时，的值是　　 A． B． C． D． 2．（2025•台江区校级模拟）一次函数，随的增大而减小，且，则在直角坐标系内它的大致图象是　　 A． B． C． D． 3．（2025•天心区校级一模）一次函数的图象大致是　　 A． B． C． D． 4．（2025•雁塔区校级模拟）关于正比例函数，下列结论中正确的是　　 A．函数图象经过点 B．随的增大而减小 C．函数图象经过第一、三象限 D．不论取何值，总有 5．（2025•台江区校级模拟）在同一平面直角坐标系内，正比例函数与一次函数的图象可能为　　 A． B． C． D． 6．（2023秋•贵池区期末）如图，直线、的交点坐标可以看作下列方程组　　的解． A． B． C． D． 7．（2024秋•昆都仑区校级期中）已知一次函数，当时，函数的最大值是　　 A．10 B．3 C． D．无法确定 8．（2023秋•单县期末）油箱中有油20升，油从管道中匀速流出，100分钟流完．油箱中剩油量（升与流出的时间（分间的函数关系式是　　 A． B． C． D． 9．（2024•崆峒区校级一模）直线经过一、三、四象限，那么点第　　象限． A．四 B．三 C．二 D．一 10．（2024春•正定县期末）关于函数，下列结论中正确的是　　 A．函数的图象必经过点 B．函数的图象经过第二、四象限 C．随的增大而增大 D．不论取何值，总有 二、填空题（共10小题） 11．（2024春•都昌县期中）直线和直线在同一坐标系中的图象如图所示，则关于的不等式的解集是 　　． 12．（2023秋•宁国市期末）如图，直线与直线相交于点，则关于，的方程组的解为 　　． 13．（2024春•项城市期末）若是正比例函数，则　　． 14．（2024秋•安宁区校级期末）一次函数的图象不经过第 　　 象限． 15．（2024秋•金凤区校级月考）李老师开车从甲地到相距240千米的乙地，如果油箱剩余油量（升与行驶里程（千米）之间是一次函数关系，其图象如图所示，那么到达乙地时油箱剩余油量是 　　升． 16．（2024春•鹤山市期末）一个弹簧不挂重物时长，挂上重物后伸长的长度与所挂重物的质量成正比．如果挂重物后，弹簧伸长，弹簧总长为（单位：随所挂重物（单位：变化的函数解析式为 　　． 17．（2024春•南关区校级期末）某地海拔高度与温度的关系可用来表示，则该地区某海拔高度为的山顶上的温度为 　　． 18．（2024春•鲤城区校级期中）如果函数的自变量的取值范围是，相应的函数值的范围是，求此函数的解析式是　　． 19．（2024春•清苑区期末）已知不等式的解集是，则直线与的交点坐标是　 　． 20．（2024春•章贡区期末）若函数是正比例函数，则的值是　 　． 三、解答题（共4小题） 21．（2024秋•界首市期末）如图，直线是一次函数的图象． （1）求出这个一次函数的解析式； （2）根据函数图象，直接写出时的取值范围． 22．（2024•工业园区一模）一个高为的圆柱形玻璃杯中存有一定量的水，将大小相同的棋子轻轻投入该玻璃杯中，玻璃杯中水面的高度会随着投入的棋子数（枚的变化而变化．根据表格中的信息，解答下列问题： （枚 3 12 12 15 （1）求与的函数表达式； （2）要使水不溢出玻璃杯，最多可以投入多少枚棋子？ 23．（2025•碑林区校级一模）某玩具批发市场、玩具的批发价分别为每件30元和50元，张阿姨花1200元购进、两种玩具若干件，并分别以每件35元与60元价格出售．设购入玩具为件，玩具为件． （1）若张阿姨将玩具全部出售赚了220元，那么张阿姨购进、型玩具各多少件？ （2）若要求购进玩具的数量不得少于玩具的数量，则怎样分配购进玩具、的数量并全部售出才能获得最大利润，此时最大利润为多少？ 24．（2024秋•金凤区校级期中）已知函数． （1）当为何值时，这个函数是关于的一次函数？ （2）当为何值时，这个函数是关于的正比例函数？ 参 考 答 案 一、选择题（共10小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B C D B D A B C C C 一、选择题（共10小题） 1．【分析】直接根据函数的图象进行解答即可． 【解答】解：由函数的图象可知，当时，函数图象在轴上方， 故当时，的值是． 故选：． 2．【分析】先根据函数为减函数判断出，再根据判断出，再根据一次函数图象的特点解答即可． 【解答】解：一次函数，随的增大而减小， ， 又，， 函数的图象经过第二、三、四象限． 故选：． 3．【答案】 【分析】先根据一次函数的系数判断出函数图象所经过的象限，由此即可得出结论． 【解答】解：在中， ，， 此函数的图象经过二、三、四象限， 故选：． 4．【答案】 【分析】根据正比例函数图象上的坐标特征，正比例函数图象的性质对各选项分析判断后利用排除法求解． 【解答】解：、当时，，即图象经过点，不经过点，故本选项错误； 、由于，所以随的增大而减小，故本选项正确； 、由于，所以图象经过二、四象限，故本选项错误； 、时，， 时，， 不论为何值，总有错误，故本选项错误． 故选：． 5．【答案】 【分析】可先根据正比例函数的图象判断的符号，再判断一次函数的图象与实际是否相符，判断正误． 【解答】解：、正比例函数的图象可知，则一次函数图象过第一、二、四象限，故此选项不符合题意； 、正比例函数的图象可知，则一次函数图象过第一、二、四象限，故此选项不符合题意； 、正比例函数的图象可知，则一次函数图象过第一、三、四象限，故此选项不符合题意； 、正比例函数的图象可知，则一次函数图象过第一、三、四象限，故此选项符合题意； 故选：． 6．【答案】 【分析】两个一次函数的交点为两个一次函数解析式所组方程组的解．因此本题需根据图中直线所经过的点的坐标，用待定系数法求出两个一次函数的解析式．然后联立两个函数的解析式，即可得出所求的方程组． 【解答】解：由图可知： 直线过，，因此直线的函数解析式为：； 直线过，，因此直线的函数解析式为：； 因此所求的二元一次方程组为： ． 故选：． 7．【分析】根据一次函数的性质，自变量与函数值的对应关系，可得答案． 【解答】解：，，随的增大而减小， 当时，， 故选：． 8．【分析】应先得到1分钟的流油量；油箱中剩油量原来有的油量分流的油量，把相关数值代入即可求解． 【解答】解：分钟可流完20升油， 分钟可流油升， 分流的油量为， ． 故选：． 9．【答案】 【分析】根据图象在坐标平面内的位置关系确定，的取值范围，从而求解． 【解答】解：直线经过第一、三、四象限， ，， 点在第二象限． 故选：． 10．【答案】 【分析】当时，；由，函数的图象经过第一、三象限，随的增大而增大；当，时，． 【解答】解：、函数的图象必经过点，故错误； 、，函数的图象经过第一、三象限，故错误； 、，随的增大而增大，故正确； 、当时，，故错误； 故选：． 二、填空题（共10小题） 11． 【分析】根据图形得出直线和直线的交点坐标，根据图象的特点和交点坐标即可得出答案． 【解答】解：由图象可知：直线和直线的交点坐标是， 关于的不等式的解集是． 故答案为：． 12． 【分析】首先利用待定系数法求出的值，进而得到点坐标，再根据两函数图象的交点就是两函数组成的二元一次去方程组的解可得答案． 【解答】解：直线经过点， ， 解得， ， 关于的方程组的解为， 故答案为：． 13．【答案】4． 【分析】利用正比例函数定义可得，且，再解方程和不等式可得答案． 【解答】解：由题意得：，且， 解得：， 故答案为：4． 14．【答案】三． 【分析】根据一次函数图象的性质可得出答案． 【解答】解：，， 一次函数的图象经过一、二、四象限，即不经过第三象限． 故答案为：三． 15． 【分析】根据题意得出汽车耗油量，进而得出到达乙地时邮箱剩余油量． 【解答】解：由图象可得出：行驶，耗油（升， 行驶，耗油（升， 到达乙地时邮箱剩余油量是（升． 故答案为：2． 16． 【分析】弹簧总长弹簧原来的长度挂上重物质量时弹簧伸长的长度，把相关数值代入即可． 【解答】解：挂上的物体后，弹簧伸长， 挂上的物体后，弹簧伸长 ， 弹簧总长． 故答案为：． 17．【答案】． 【分析】根据题意，把代入计算即可． 【解答】解：， 把代入，得：， 该地区某海拔高度为的山顶上的温度为， 故答案为：． 18． 【分析】根据自变量的取值范围确定，的值，用待定系数法可求出函数关系式． 【解答】解：一次函数的自变量的取值范围是：， 相应函数值的取值范围是：， 若 函数为递增函数 即当时，，即经过点， 时，．即经过点． 根据题意列出方程组：， 解得：， 则这个函数的解析式是． 若 函数为递减函数，则函数一定经过点和， 设一次函数的解析式是， 则， 解得： 则函数的解析式为， 故答案为：或． 19．【分析】已知不等式的解集为，即当时，的函数值大于的函数值；由此可知，两函数图象的交点横坐标为；代入两函数的解析式中，即可求出交点坐标． 【解答】解：已知不等式的解集是，则当时，； 即当时，函数与的函数值相等； 因而直线与的交点坐标是：． 20．【分析】直接利用正比例函数的定义分析得出即可． 【解答】解：函数是正比例函数， ，解得：， 则的值是：3． 故答案为：3． 三、解答题（共4小题） 21．【答案】（1）； （2）． 【分析】（1）根据图形确定出一次函数图象上两点坐标，代入解析式求出与的值，即可求出解析式； （2）根据图象确定出的范围即可． 【解答】解：（1）根据题意得：点和点在一次函数图象上， 把与代入得：， 解得：， 则一次函数解析式为； （2）根据图象得：当时，． 22． 【分析】（1）由题意可知，每投入一枚棋子，水面高度上升的数量一定，故是的一次函数，利用待定系数法求出与的函数表达式即可； （2）将与的函数表达式代入并求解，求出的最大值即可． 【解答】解：（1）由题意可知，每投入一枚棋子，水面高度上升的数量一定， 是的一次函数． 设与的函数表达式为、为常数，且． 将，和，代入， 得， 解得， 与的函数表达式为． （2）要使水不溢出玻璃杯，则， 解得， 要使水不溢出玻璃杯，最多可以投入57枚棋子． 23．【答案】（1）型玩具20件，型玩具12件；（2）购进玩具、的数量均为15件，最大利润为225元． 【分析】（1）根据总价单价数量列出关于、的二元一次方程组，解方程组即可得出结论； （2）设利润为元，找出利润关于的函数关系式，由购进玩具的数量不得少于玩具的数量找出关于的一元一次不等式，解不等式得出的取值范围，再利用一次函数的性质即可解决最值问题． 【解答】解：（1）由题意可得，， 解得，． 答：张阿姨购进型玩具20件，型玩具12件； （2）设利润为元， ， 购进玩具的数量不得少于玩具的数量， ， 解得：， ， 随的增大而减小， 当时，取最大值，最大值为225， 此时， 故购进玩具、的数量均为15件并全部售出才能获得最大利润，此时最大利润为225元． 24．【答案】（1）为不等于1的值； （2）． 【分析】（1）根据一次函数的定义和题目中的函数解析式，可得，然后即可求得当为何值时，这个函数是关于的一次函数； （2）根据正比例函数的定义和题目中的函数解析式，可得且，然后即可求得当为何值时，这个函数是关于的正比例函数． 【解答】解：（1）函数是关于的一次函数， ， 解得， 即当为不等于1的值时，这个函数是关于的一次函数； （2）函数是关于的正比例函数， 且， 解得， 即当为时，这个函数是关于的正比例函数． 第1页 共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$