圆柱的体积  圆柱的表面积应用题（专项训练）-2024-2025学年六年级下册数学人教版

圆柱的体积  圆柱的表面积 1．阅读下面材料并解决问题。 党的二十大报告提到：“生态环境保护发生历史性、转折性、全局性变化，我们的祖国天更蓝、山更绿、水更清。”各城市把垃圾分类作为城市整治的一项重要工作来抓，投入人力、物力、财力，完善基础设施，加强宣传引导，增强群众主体意识，有力推进了垃圾分类合理，切实改善人民的环境。为了更好地开展垃圾分类，五好社区计划做20个相同的无盖圆柱形垃圾桶，每个垃圾桶的底面直径是1米，高是6分米。 （1）做这些垃圾桶至少需铁皮多少平方分米？ （2）这20个垃圾桶刚好都装满，一共能装多少立方米垃圾？ 2．羽毛球的羽毛顶端围成的圆形直径为6厘米。3个同样的羽毛球紧紧摞好叠放起来高14厘米，5个这样的羽毛球紧紧摞好叠放起来高19厘米（如图1）。商家要把10个这样的羽毛球摞好装在一个圆柱形的包装盒内（如图2）。 （1）这个包装盒的高度至少是多少厘米？（不计包装盒的厚度） （2）这个包装盒所用的包装材料至少是多少平方厘米？（不计接缝） （3）这个包装盒的体积至少是多少立方厘米？ 3．如图三个长方形的面积相等，用这三个长方形的长做底面周长，围成三个不同的圆柱。（计算时π取3.14，单位：厘米） （1）哪个圆柱的体积最大？哪个圆柱的体积最小？ （2）如果还有一个面积相等的长方形，围成的圆柱比上面三个圆柱的体积都大，这个长方形纸的长和宽可能是多少，画出示意图，标出数据，并计算围出的圆柱的体积。 （3）你有什么发现？ 4．学校有一个圆柱形的水池，从里面量直径是6米，深是1.5米。 （1）如果在水池内壁和底面抹上水泥，抹水泥工人费为每平方米30元，一共需要人工费多少元？ （2）学校要往水池注入1米深的水用来养鱼，求注入的水的体积。 5．青青在学习了圆柱和圆锥的体积知识后，她希望探究下面的问题：两个圆柱同底等高，将它们按照下图分别切割出与圆柱底面相等的圆锥，图①中两个圆锥的体积之和与图②中圆锥的体积相等吗？先判断再想办法说明理由。（可以在图上画一画来帮助说明哦！） 6．一个圆柱的表面积和长方形的面积相等，长方形的长等于圆柱的底面周长。已知长方形的面积是251.2平方厘米，圆柱的底面半径是2厘米，求圆柱的高是多少厘米。 7．如图，一块长方形铁皮，剪下阴影部分制成圆柱，这个圆柱的表面积是多少平方厘米？体积是多少立方厘米？ 8．下面这个长方形的长是10cm，宽是2cm，分别以长和宽为轴旋转一周，得到两个圆柱体。 （1）以宽为轴旋转一周后得到的圆柱的占地面积是多少cm2？ （2）以长为轴旋转一周后得到的圆柱的表面积是多少cm2？ （3）两个圆柱的体积相差多少cm3？ 9．一个圆柱，在直径位置沿高切开分成完全相同的两部分，两部分的表面积之和比圆柱的表面积增加了40平方分米。这个圆柱的体积是多少？ 10．为践行绿色文明，提高环保意识，城东小学举办“变废为宝”手工创意大赛，某同学制作了运载火箭整流罩的模型（如图所示）。 （1）这个整流罩模型的体积是多少？ （2）张老师打算装饰一下模型，在圆柱部分的侧面包上一层彩纸并写上文字介绍。需要多少平方分米的彩纸？（粘合处忽略不计） 11．木器厂有一块棱长6分米的正方体木料。 （1）第一次先将这块木料加工成一个最大的圆柱，圆柱的表面积是多少平方分米？ （2）第二次再将这个圆柱削成一个最大的圆锥，第二次又削去多少立方分米？ 12．如图，O是圆柱上底面的圆心，一个红点速度为1厘米/秒，在相同时间内这个点可以从A点到B点或从A点到O点再到D点，如果红点从A点沿着A—B—C—D—E在圆柱表面运动，用时分钟。（π取3） （1）圆柱的表面积是多少平方厘米？ （2）圆柱的体积是多少立方分米？ 13．陈爷爷家的老屋要翻建，从老屋上拆下一根圆柱形的木料（如图）。 （1）这根木料的侧面有一层斑驳的红漆，原来刷红漆的部分有多少平方厘米？ （2）现在要把这根木料加工成方木（横截面为正方形），这根方木的体积最大是多少立方厘米？合多少立方分米？ 14．有一个长方形容器，里面装有水，测得水面高度为4.4厘米（如图1），为了得到冰水（冰水可用于水果保鲜），妈妈把一根圆柱形的冰柱垂直放入其中，水面升高至5.5厘米，这时刚好有冰柱浸没在水中（如图2）． （1）求冰柱的体积？ （2）求该冰柱完全融化时容器内的水面高度？（已知：冰融化成水后体积会减少原来的） 15．如图 ，O是圆柱上底面的圆心，一个红点速度为1cm/s，在相同时间内这个点可以从A点到B点或从A点到O点再到D点，如果红点从A沿着箭头方向由A-B-C-D-E，在圆柱表面运动，用时分钟．（本题中π取3） （1）OE长度是多少厘米？ （2）圆柱的表面积是多少平方厘米 （3）圆柱的体积是多少立方分米？ 参考答案 1．（1）5338平方分米； （2）9.42立方米 （1）已知圆柱形垃圾桶无盖，根据圆柱的侧面积公式：S＝πdh，圆的面积公式：S＝πr2，把数据代入公式求出做一个这样的垃圾桶需要铁皮的面积，然后再乘20即可。 （2）根据圆柱的体积（容积）公式：V＝πr2h，把数据代入公式解答。 （1）1米＝10分米 （3.14×10×6＋3.14×（10÷2）2）×20 ＝（31.4×6＋3.14×25）×20 ＝（188.4＋78.5）×20 ＝266.9×20 ＝5338（平方分米） 答：做这些垃圾桶至少需铁皮5338平方分米。 （2）6分米＝0.6米 3.14×（1÷2）2×0.6 ＝3.14×0.25×0.6 ＝0.785×0.6 ＝0.471（立方米） 0.471×20＝9.42（立方米） 答：一共能装9.42立方米垃圾。 此题主要考查圆柱的表面积公式、体积（容积）公式的灵活运用，关键是熟记公式。 2．（1）31.5厘米 （2）649.98平方厘米 （3）890.19立方厘米 （1）因为3个羽毛球叠起来高14厘米，5个羽毛球叠起来高19厘米，即5－3＝2个羽毛球叠起的高度是19－14＝5厘米，那么一个叠起的羽毛球的高度为5÷2＝2.5厘米； 用3个羽毛球叠起来的高度减去2个叠起的羽毛球的高度，求出一个羽毛球的高度。 把10个这样的羽毛球摞好装在一个圆柱形的包装盒内，那么10个这样的羽毛球的高度等于一个羽毛球的高度加上（10－1）个叠起的羽毛球的高度，据此求出包装盒的高度。 （2）求这个包装盒所用的包装材料至少的面积，就是求圆柱的表面积，根据圆柱的表面积＝侧面积＋底面积×2，其中S侧＝πdh，S底＝πr2，代入数据计算即可。 （3）根据圆柱的体积公式：V＝πr2h，代入数据计算求出这个包装盒的体积。 （1）（19－14）÷2 ＝5÷2 ＝2.5（厘米） 14－2×2.5 ＝14－5 ＝9（厘米） 9＋（10－1）×2.5 ＝9＋9×2.5 ＝9＋22.5 ＝31.5（厘米） 答：这个包装盒的高度至少是31.5厘米。 （2）3.14×6×31.5＋3.14×（6÷2）2×2 ＝18.84×31.5＋3.14×32×2 ＝593.46＋3.14×9×2 ＝593.46＋56.52 ＝649.98（平方厘米） 答：这个包装盒所用的包装材料至少是649.98平方厘米。 （3）3.14×（6÷2）2×31.5 ＝3.14×32×31.5 ＝3.14×9×31.5 ＝28.26×31.5 ＝890.19（立方厘米） 答：这个包装盒的体积至少是890.19立方厘米。 3．（1）①；③ （2）113.04立方厘米 （3）见详解 （1）根据r＝C÷π÷2，求出底面半径，再根据圆柱的体积公式：V＝πr2h，把数据代入公式分别求出各圆柱的体积，然后进行比较即可。 （2）如果还有一个面积相等的长方形，围成的圆柱比上面三个圆柱的体积都大，这个长方形纸的长和宽可能是37.68厘米和1厘米。根据圆柱的体积公式解答。 （3）根据以上计算结果，结合圆柱体积公式，可以发现：圆柱侧面积相等时，底面周长越大，圆柱的体积就越大。 （1）①3.14×（18.84÷3.14÷2）2×2 ＝3.14×32×2 ＝3.14×9×2 ＝56.52（立方厘米） ②3.14×（12.56÷3.14÷2）2×3 ＝3.14×22×3 ＝3.14×4×3 ＝37.68（立方厘米） ③3.14×（6.28÷3.14÷2）2×6 ＝3.14×12×6 ＝3.14×1×6 ＝18.84（立方厘米） 56.52＞37.68＞18.84 答：①圆柱的体积最大，③圆柱的体积最小。 （2）如果还有一个面积相等的长方形，围成的圆柱比上面三个圆柱的体积都大，这个长方形纸的长和宽可能是37.68厘米和1厘米。 如图： 3.14×（37.68÷3.14÷2）2×1 ＝3.14×62×1 ＝3.14×36×1 ＝113.04（立方厘米） 答：这个圆柱的体积是113.04立方厘米。 （3）我发现：当圆柱的侧面积相等时，圆柱的底面周长越大，圆柱的体积就越大。（答案不唯一） 4．（1）1695.6元 （2）28.26立方米 （1）求人工费需要多少钱，需要先求抹水泥的面积，实际上是求圆柱的底面积与侧面积的和，依据圆的面积公式S＝πr2，圆柱侧面积公式S＝Ch，即可求出抹水泥的面积，然后再乘每平方米的费用，求出一共需要的人工费。 （2）求需要的水的体积，实际上是求底面直径为6米，高为1米的圆柱的体积，利用圆柱的体积公式V＝πr2h，即可求注入的水的体积。 （1）3.14×（6÷2）2＋3.14×6×1.5 ＝3.14×32＋3.14×6×1.5 ＝3.14×9＋3.14×6×1.5 ＝28.26＋28.26 ＝56.52（平方米） 56.52×30＝1695.6（元） 答：一共需要人工费1695.6元。 （2）3.14×（6÷2）2×1 ＝3.14×32×1 ＝3.14×9×1 ＝28.26（立方米） 答：需要注水28.26立方米。 5．相等 分析题目，可以假设圆柱的底面直径是4，高是9，图①中上面的圆锥的高是6，则下面圆锥的高是（9－6），根据圆锥的体积＝π（d÷2）2h分别算出图①和图②中的圆锥的体积，再比较大小即可。 假设圆柱的底面直径是4，高是9，图①中上面的圆锥的高是6。 3.14×（4÷2）2×6×＋3.14×（4÷2）2×（9－6）× ＝3.14×22×6×＋3.14×22×3× ＝3.14×4×6×＋3.14×4×3× ＝12.56×6×＋12.56×3× ＝75.36×＋37.68× ＝25.12＋12.56 ＝37.68 3.14×（4÷2）2×9× ＝3.14×22×9× ＝3.14×4×9× ＝12.56×9× ＝113.04× ＝37.68 因为37.68＝37.68，所以图①中两个圆锥的体积之和与图②中圆锥的体积相等。 答：图①中两个圆锥的体积之和与图②中圆锥的体积相等。 6．18厘米 根据圆柱的底面半径是2厘米，可以求出圆柱的底面积，用长方形的面积减去圆柱的2个底面积，即可得出圆柱的侧面积，据此利用侧面积除以圆柱的底面周长，即可求出圆柱的高。 251.2－3.14×2×2×2 ＝251.2－3.14×8 ＝251.2－25.12 ＝226.08（平方厘米） 226.08÷（3.14×2×2） ＝226.08÷12.56 ＝18（厘米） 答：圆柱的高是18厘米。 解答此题的关键是根据圆柱体的表面积与底面积，明确出这个圆柱体的侧面积，再利用侧面积公式求出圆柱的高即可解答。 7．282.6平方厘米；339.12立方厘米 观察图形可知，长方形的长就是圆柱的底面圆的周长，底面圆的周长＋圆的直径＝24.84厘米，底面圆的周长＝π×直径，直径＋π×直径＝24.84厘米，求出直径，圆柱的高就是直径的2倍，根据圆柱的表面积公式和圆柱的体积公式求出这个圆柱的表面积和体积。 直径：24.84÷（3.14＋1） ＝24.84÷4.14 ＝6（厘米） 高：6×2＝12（厘米） 表面积：（24.84－6）×12＋3.14×（6÷2）2×2 ＝18.84×12＋3.14×9×2 ＝226.08＋28.26×2 ＝226.08＋56.52 ＝282.6（平方厘米） 体积：3.14×（6÷2）2×12 ＝3.14×9×12 ＝28.26×12 ＝339.12（立方厘米） 本题考查圆柱的表面积公式、体积公式的运用，求出圆柱底面的直径是本题的关键。 8．（1）314cm2 （2）150.72cm2 （3）502.4cm3 （1）一个长方形长是10cm，以2cm宽的边为轴旋转一周，会得到一个底面半径是10cm，高是2cm的圆柱，圆柱的表面积由两底面积和侧面积组成，求圆柱的占地面积相当于求圆柱的底面积，利用圆的面积即可求出； （2）一个长方形宽是2cm，以10cm长的边为轴旋转一周，会得到一个底面半径是2cm，高是10cm的圆柱，圆柱的表面积由两底面积和侧面积组成，根据圆柱的表面积公式：，求出这个圆柱的表面积； （3）根据上述已知的条件，以宽为轴旋转一周后得到的圆柱，底面半径是10cm，高是2cm，利用圆柱的体积公式求出此圆柱的体积；以长为轴旋转一周后得到的圆柱，底面半径是2cm，高是10cm，利用圆柱的体积公式求出此圆柱的体积；两个圆柱的体积相减即可。 （1）3.14×10×10＝314（cm2） 答：以宽为轴旋转一周后得到的圆柱的占地面积是314cm2。 （2）2×3.14×2×2＋2×3.14×2×10 ＝6.28×4＋6.28×20 ＝25.12＋125.6 ＝150.72（cm2） 答：以长为轴旋转一周后得到的圆柱的表面积是150.72cm2。 （3）3.14×10×10×2－3.14×2×2×10 ＝314×2－12.56×10 ＝628－125.6 ＝502.4（cm3） 答：两个圆柱的体积相差502.4cm3。 点动成线，线动成面，面动成体，一个长方形绕长或宽旋转一周，会得到一个圆柱体，要求这两个圆柱的表面积、体积，关键是弄清这两个圆柱的底面半径和高。 9．62.8立方分米 通过观察图形可知，把圆柱纵切成两半，表面积增加的是两个截面的面积，每个截面的长等于圆柱的高，每个截面的宽等于圆柱的底面直径，据此可以求出圆柱的底面直径，再根据圆柱的体积公式：V＝πr2h，把数据代入公式解答。 40÷2÷5 ＝20÷5 ＝4（分米） 3.14×（4÷2）2×5 ＝3.14×4×5 ＝12.56×5 ＝62.8（立方分米） 答：这个圆柱的体积是62.8立方分米。 此题主要考查圆柱体积公式的灵活运用，关键是熟记公式，重点是求出圆柱的底面直径。 10．（1）18.84立方分米 （2）31.4平方分米 （1）模型由圆柱和圆锥组成，根据圆柱的体积＝底面积×高，圆锥的体积＝底面积×高×，再相加，即可解答； （2）求彩纸的面积，就是求这个圆柱的侧面积，根据圆柱的侧面积＝底面周长×高，列式解答即可。 （1）3.14×（2÷2）2×5＋3.14×（2÷2）2×（8－5）× ＝3.14×1×5＋3.14×1×3× ＝15.7＋9.42× ＝15.7＋3.14 ＝18.84（立方分米） 答：这个整流罩模型的体积是18.84立方分米。 （2）3.14×2×5 ＝6.28×5 ＝31.4（平方分米） 答：需要31.4平方分米的彩纸。 11．（1）54π平方分米 （2）36π立方分米 （1）π×6×6＋π×（6÷2）²×2          ＝36π＋18π                 ＝54π（平方分米）          答：圆柱的表面积是54π平方分米。 （2）π×（6÷2）²×6×（1－）    ＝9π×6×          ＝36π（立方分米）          答：第二次又削去36π立方分米。 12．（1）72平方厘米 （2）0.048立方分米 根据题意，红点在相同时间内可以从A点到B点或从A点到O点再到D点，说明OA＋OD＝AB，即圆柱的底面直径和高相等； 如果红点从A点沿着A—B—C—D—E在圆柱表面运动，用时分钟，根据“路程＝速度×时间”可计算出运动的路程，注意单位的换算：1分钟＝60秒； 设OE长度是r厘米，也就是圆柱的底面半径是r厘米；那么AB长2r厘米，BC弧长等于底面周长的一半即（2×3r÷2）厘米，CD长2r厘米，DE长为圆心角为30°扇形的弧长即（2×3r×）厘米，据此列出方程，求出圆柱的底面半径。 （1）根据圆柱的表面积公式S表＝S侧＋2S底，其中S侧＝2πrh，S底＝πr2，代入数据计算，求出圆柱的表面积。 （2）根据圆柱的体积公式V＝πr2h，代入数据计算，求出圆柱的体积。注意单位的换算：1立方分米＝1000立方厘米。 分钟＝15秒 解：设OE的长度是r厘米。 2r＋2×3r÷2＋2r＋2×3r×＝1×15 2r＋3r＋2r＋0.5r＝15 7.5r＝15 r＝15÷7.5 r＝2 圆柱的底面半径是2厘米； 圆柱的高是：2×2＝4（厘米） （1）2×3×2×4＋3×22×2 ＝2×3×2×4＋3×4×2 ＝48＋24 ＝72（平方厘米） 答：圆柱的表面积是72平方厘米。 （2）3×22×4 ＝3×4×4 ＝48（立方厘米） 48立方厘米＝0.048立方分米 答：圆柱的体积是0.048立方分米。 解答本题的关键是根据路程＝速度×时间，求出红点从A点沿着A—B—C—D—E在圆柱表面运动的路程，再列方程计算出圆柱的底面半径，最后根据圆柱的表面积和体积公式进行解答。 13．（1）17584平方厘米；（2）78400立方厘米；78.4立方分米 （1）刷红漆部分的面积就是圆柱的侧面积，圆柱侧面积＝底面周长×高，据此计算即可解答； （2）根据题意，把圆柱形木材加工成最大的方木，方木底面正方形的对角线等于圆的直径，把这个正方形看作完全相同的两个三角形，每个三角形的底等于直径，高等于半径，根据三角形的面积公式：S＝ah÷2，求出方木的底面积，然后根据长方体的体积公式：V＝Sh，把数据代入公式解答。 （1）3.14×28×200 ＝87.92×200 ＝17584（平方厘米） 答：原来刷红漆的部分有17584平方厘米。 （2）28×（28÷2）÷2×2×200 ＝28×14÷2×2×200 ＝392÷2×2×200 ＝196×2×200 ＝392×200 ＝78400（立方厘米） 78400立方厘米＝78.4立方分米 答：这根方木的体积最大是78400立方厘米，合78.4立方分米。 此题主要考查长方体的体积公式的灵活运用，关键是明白：方木底面正方形的对角线等于圆的直径，把这个正方形看作完全相同的两个三角形。 14．（1）330立方厘米； （2）7.4厘米 （1）10×10×（5.5﹣4.4）÷ ＝100×1.1×3 ＝110×3 ＝330（立方厘米） 答：整根冰柱的体积是330立方厘米； （2）330×（1﹣） ＝330× ＝300（立方厘米） 300÷（10×10）＋4.4 ＝300÷100＋4.4 ＝3＋4.4 ＝7.4（厘米） 答：冰柱完全融化时容器内的水面高度是7.4厘米． 15．（1）2cm，（2）72（3）0.048 （1）设OE长度为r，在相同时间内这个点可以从A点到B点或从A点到O点再到D点，则AB=AD=2r 根据圆的周长可知弧BC的长为×3×2r=3r 弧DE的长为×3×2r= 因此A-B-C-D-E的总路程为2r+3r+2r+= 分钟=×60秒=15秒 根据路程÷速度=时间得，÷1=15，解得r=2（cm） 答：OE长度是2厘米. （2）2×π×r2+π×2r×2r =2×3×22+3×2×2×2×2 =24+48 =72平方厘米 答：圆柱表面积为72平方厘米． （3）π×r2×2r =3×22×4 =48立方厘米 48立方厘米=0.048立方分米 答：圆柱体积为0.048立方分米． 学科网（北京）股份有限公司 $$