重难点02 绝对值贯穿有理数的十大经典问题-2025年小升初数学无忧衔接（通用版）

重难点02 绝对值贯穿有理数的十大经典问题 考点一： 根据绝对值的非负性求解 1．（24-25七年级上·广东珠海·期中）已知满足，则式子的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值和平方数的非负性，代数式的求值，乘方运算，解题的关键是两个非负数和为0的条件是它们都是0．由出来，再代入求解即可． 【详解】解：由题意，得 解，得， ， 故答案为：． 2．（24-25七年级上·福建漳州·阶段练习）已知a是最大的负整数，，且，则 ． 【答案】9或13 【分析】本题主要考查了代数式求值，解绝对值方程，非负性的性质，最大的负整数为，则，解绝对值方程可求出b，由非负数的性质可求出c、d，据此代值计算即可得到答案． 【详解】解：∵a是最大的负整数， ∴， ∵， ∴， ∴或， ∵， ∴， ∴， ∴或， 故答案为：9或13． 3．（24-25七年级上·河南驻马店·期中）若与b互为相反数，则a b（用“”“”“”“”填空）． 【答案】 【分析】本题考查绝对值的意义，根据绝对值的非负性，得到，即可得出结果． 【详解】解：∵与b互为相反数， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 4．（24-25七年级上·江西鹰潭·阶段练习）在五个有理数，，0，，中任意取出两个相乘，则最大的积为a，最小的积为b． (1)求a、b的值； (2)，求代数式的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查有理数的乘法、绝对值的性质、整式的化简求值等知识点，熟练掌握有理数的乘法法则和绝对值的性质是解题的关键． （1）根据有理数的乘法法则得出a、b的值即可； （2）将a、b的值代入，再根据非负数的性质得出x、y的值，然后根据整式的混合运算法则化简，最后代入计算即可． 【详解】（1）解：由题意得：，． （2）解：∵，即 ∴，， ∴，， ∴． 5．（24-25七年级上·吉林松原·期中）请根据图示的对话解答下列问题： (1)分别求出a和b的值； (2)已知，求的值． 【答案】(1)，； (2)． 【分析】本题主要考查了相反数的定义，绝对值的意义以及非负性质，一元一次方程的应用，以及代数式求值等知识，掌握这些定义以及性质是解题的关键． （1）根据相反数的定义得出，解一元一次方程即可得出a的值，根据绝对值的意义可求出b的值． （2）根据绝对值非负性质得出m，n的值，再代入代数式计算即可． 【详解】（1）解：∵和互为相反数， ∴， ∴， ∵，， ∴． （2）解：， ∴，，， ∴，， ∴． 考点二： 已知数轴上点的位置/字母的取值范围化简绝对值 6．（24-25七年级上·河南郑州·期中）已知两数在数轴上的位置如图所示，则化简代数式的结果是(   ) A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查数轴，绝对值以及整式的加减，理解数轴表示数的意义以及绝对值、合并同类项的法则是正确解答的关键．根据，两数在数轴上的位置，判断代数式，，的符号，再根据绝对值的意义计算即可． 【详解】解：由，两数在数轴上的位置，可知，，，且， ，，， ， 故选：B． 7．（24-25七年级上·河南郑州·期中）数a，b，c在数轴上的位置如图所示．化简等于（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了有理数与数轴，化简绝对值，整式的加减计算，根据数轴上点的位置，可推出，据此化简绝对值，再根据整式的加减计算法则求解即可． 【详解】解：由数轴可知，， ∴， ∴ ， 故选：A． 8．（24-25七年级上·黑龙江大庆·期中）当 时，化简的结果是（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据，判断，，化简计算即可． 本题考查了绝对值的计算，有理数的加法，熟练掌握绝对值的化简，有理数的加法是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴，， ∴ ， ， 故选：A． 9．（24-25七年级上·江苏泰州·期中）当时，代数式的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了化简绝对值，整式的加减，由已知可得，，进而根据绝对值的性质化简运算即可，掌握绝对值的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， 故答案为：． 10．（24-25七年级上·湖南怀化·期中）若，，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数加减法的符号问题、化简绝对值、整式的加减，熟练掌握各运算法则是解题关键．先确定和的符号，从而可得到和的符号，再化简绝对值，然后计算整式的加减法即可得． 【详解】解：， ， ， 则， ， ． 故答案为： 11．（2024七年级上·全国·专题练习）已知：是最小的正整数，且满足，请回答问题： (1)请直接写出的值．　　，　　，　　； (2)所对应的点分别为，点P为一动点，其对应的数为x，点P在B、C之间运动时，请化简式子： 【答案】(1)；1；6 (2)8 【分析】本题主要考查了非负数的性质，化简绝对值，整式的加减计算： （1）根据最小的正整数是1，推出，再利用非负数的性质可得，，求解即可； （2 ）首先确定x的取值范围，再化简绝对值即可得到答案． 【详解】（1）解：∵b是最小的正整数， ∴， ∵，，， ∴ ∴，， ∴，． 故答案为：，1，6； （2）解：∵所对应的点分别为A、B、C，由（1 ）可知，，，， ∴点A表示的数是，点B表示的数是1，点表示的数是6， ∵点P在B、C间运动， ∴， ∴． 12．（24-25七年级上·湖南永州·期中）已知有理数、、在数轴上的位置， (1)___________0；___________0；___________0；___________0；（用“”“”“”填空）； (2)试化简：． 【答案】(1)；；； (2) 【分析】本题考查了用数轴比较大小及绝对值的运算，整式的加减运算，数形结合是解题的关键； （1）根据数轴确定a，b，c的范围，即可解答； （2）根据绝对值的性质化简，合并同类项，即可解答． 【详解】（1）由题意可得：，， 故答案为：；；；； （2） ． 考点三： 利用绝对值的意义求字母的取值范围 13．（24-25七年级下·安徽蚌埠·阶段练习）若，则a的取值范围在数轴上表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了绝对值的性质以及在数轴上表示不等式的解集，解题的关键是根据绝对值的性质得出关于的不等式，进而求解的取值范围，并正确在数轴上表示出来． 根据绝对值的性质，当时，．由此得到关于的不等式，解出的取值范围后，再判断在数轴上的正确表示． 【详解】根据绝对值的性质：正数和0的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数． 已知，即， 所以， 解得：， 在数轴上表示时，应在数轴上1这个点处用实心圆点（表示包含1这个值），然后向右画一条线， 所以选项B的表示是正确的． 故选：B． 14．（2024·宁夏·中考真题）已知，则的取值范围在数轴上表示正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了绝对值的性质，解一元一次不等式．根据绝对值的性质，可得，从而得到，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 解得：， 则的取值范围在数轴上表示正确的是： 故选：A． 15．（24-25七年级下·湖南怀化·阶段练习）若不等式无解，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了绝对值的几何意义和绝对值不等式，由对值的几何意义得表示数轴上对应点到和对应点的距离之和，最小值为，即可求解；理解绝对值的几何意义是解题的关键． 【详解】解：表示数轴上对应点到和对应点的距离之和，最小值为， 无解， ， 故选：D． 16．（24-25七年级上·山东德州·阶段练习）若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查绝对值的非负性，根据绝对值的意义，得到即可． 【详解】解：∵， ∴； 故选C． 17．（2024七年级·全国·竞赛）若，则的取值范围是（    ）． A． B． C． D．非以上答案 【答案】D 【分析】本题主要考查了绝对值的性质，掌握绝对值的性质是关键．根据绝对值的性质进行判断可以得解． 【详解】若， ， ， 故选：D． 18．（23-24七年级上·四川绵阳·期中）若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了绝对值的性质：正数的绝对值是正数，零的绝对值是零，负数的绝对值是它的相反数，熟记绝对值的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴，， ∴． 故选：B． 19．（24-25七年级上·北京·期中）若成立，那么x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】此题考查了绝对值的性质，根据题意得出，得到或，然后分情况验证即可． 【详解】∵成立， ∴ ∴或 ∴当时，，，等式成立； 当时，，，等式不成立； 综上所述，x的取值范围是． 故答案为：． 20．（24-25七年级上·贵州黔东南·期中）已知式子有最小值，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值的性质，熟练掌握绝对值的几何意义是解题的关键． 由表示到得距离，表示到的距离，表示到的距离，表示到的距离，设点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为， 所以，画数轴分类讨论点的位置即可得解． 【详解】解：表示到得距离，表示到的距离，表示到的距离，表示到的距离， 设点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为， ， ①当点位于点左侧时，此时， ； ②当点位于上时，此时， ； ③当点位于上时，此时， ； ④当点位于上时，此时， ； ⑤当点位于点右侧时，此时， ； 综上，当时，，有最小值， 故答案为：． 考点四： 解绝对值方程 21．（24-25七年级上·甘肃武威·阶段练习）阅读下列信息，方程的解法如下： （I）当时，，解得：． （II）当时，，解得：． 请你解决下列问题： (1)，则______； (2)求方程的解． 【答案】(1)3或 (2)或 【分析】本题考查了含绝对值符号的一元一次方程，利用绝对值的性质化简方程是解题关键，要分类讨论，以防遗漏． （1）根据绝对值的性质化简方程，解方程可得答案； （2）根据绝对值的性质化简方程，解方程可得答案． 【详解】（1）∵ ∴（I）当时，，解得：； （II）当时，，解得：． 综上所述，或； （2）∵ ∴ ∴ ∴（I）当时，，解得：； （II）当时，，解得：． 综上所述，或． 22．（24-25七年级上·山东滨州·期末）解方程：． 解：①当时，解得；②当时，解得． 所以原方程的解是或． (1)解方程：； (2)解方程：； (3)探究：当b分别为何值时？方程， ①无解；    ②只有一个解；    ③有两个解． 【答案】(1)或 (2)或 (3)当时，方程无解；当时，方程只有一个解；当时，方程有两个解 【分析】本题考查了含绝对值符号的一元一次方程：解含绝对值符号的一元一次方程要根据绝对值的性质和绝对值符号内代数式的值分情况讨论，即去掉绝对值符号得到一般形式的一元一次方程，再求解． （1）先移项得到，利用绝对值的意义得到或，然后分别解两个一次方程； （2）先利用绝对值的意义得到或，然后分别解两个一次方程； （3）利用绝对值的意义讨论：当或或时确定方程的解的个数即可． 【详解】（1）解：， ， 或， 解得或； （2）解：， 或， 解方程，得， 解方程，得， ∴原方程的解为或； （3）解：∵， ∴当时，方程无解； 当时，方程只有一个解； 当时，方程有两个解． 23．（24-25七年级下·河南南阳·阶段练习）阅读下列解题过程，并解答类似的题目． 解方程：． 解：由，得． 若，得；若，得， 所以原方程的解是或． (1)解方程：． (2)若方程的解也是方程的解，求m的值． 【答案】(1)或 (2)2或 【分析】本题主要考查了解绝对值方程，解一元一次方程，解题的关键是熟练掌握解一元一次的方法和绝对值的意义． （1）根据绝对值的意义得出，然后再解一元一次方程即可； （2）先解绝对值方程，得出或，再把或，分别代入，求出m的值即可． 【详解】（1）解：∵ ∴， ∴， 若，解得， 若，解得， ∴原方程的解是或． （2）解：由，得． 若，解得； 若，解得， ∴的解是或． 当时，方程化为， 解得：； 当时，化为， 解得：， ∴的值是2或． 24．（2025七年级下·全国·专题练习）已知． (1)求a，b的值； (2)若a，b同号，求的值． 【答案】(1)或， (2)或2 【分析】本题考查有理数的乘方，绝对值，有理数的减法． （1）利用绝对值和平方根的定义确定a，b的值； （2）根据a，b同号，可得a，b的值，再代值计算即可． 【详解】（1）解：∵，， ，， ∴或，； （2）解：由，同号可知， 当，时，； 当时，， 的值为或2． 考点五： 绝对值中的最值问题 25．（24-25七年级上·重庆·期中）若的最小值与的最小值分别为（    ） A．2，4 B．2，1 C．3，5 D．3，1 【答案】D 【分析】本题考查了绝对值的非负性，数轴上两点间的距离，由绝对值的非负性可求出M的最小值，由数轴上两点间的距离可求出N的最小值． 【详解】解：∵， ∴，即M的最小值为3； ∵表示数轴上数x对应的点到数4和5对应点的距离之和，这个和的最小值是， ∴的最小值为1． 故选D． 26．（24-25七年级上·江苏南京·阶段练习）已知是一个有理数，则关于的值的说法，正确的是（    ） A．有最小值2 B．有最大值2 C．有最小值3 D．有最大值3 【答案】D 【分析】本题考查了绝对值的性质．根据绝对值的非负数的性质解答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴有最大值3， 故选：D． 27．（24-25七年级下·浙江嘉兴·阶段练习）如图，四个相邻的整数对应数轴上的点，数对应数轴上的点，则的最小值为 ． 【答案】4 【分析】本题考查绝对值的几何意义以及数轴的应用，解题的关键是理解表示数轴上点到点A，B，C，D的距离之和，并通过分析点的位置来求最小值． 根据绝对值的几何意义，将原式转化为点到四个点的距离之和，然后通过分析点在数轴上不同位置时距离之和的大小，找出最小值的情况． 【详解】由绝对值的几何意义可知，表示数轴上点到点的距离，表示数轴上点到点的距离，表示数轴上点到点的距离，表示数轴上点到点的距离． 所以表示点到A，B，C，D四个点的距离之和． 因为a，b，c，d是四个相邻的整数，当点在线段上（包括端点B，C）时，距离之和最小． 不妨设（为整数)，当在与之间时， 所以的最小值为4． 故答案为：4． 28．（24-25七年级上·辽宁鞍山·阶段练习）已知，．则的最大值是 ． 【答案】9 【分析】本题考查了有理数的减法，绝对值，分类讨论是解题的关键．根据绝对值的意义，得出，的值，再分别代入代数式，最后进行大小比较，即可求解． 【详解】解：，． 或，， 当，时，； 当，时，； 当，时，； 当，时，， 的最大值是9． 故答案为：9 29．（24-25七年级上·浙江绍兴·期中）已知，则的最大值是 ． 【答案】7 【分析】本题主要考查了数轴上两点间距离计算、绝对值的意义等知识点，掌握绝对值的意义是解题的关键． 表示数轴上表示x的点到表示和2的两个点的距离之和，可得．同理：，，结合题意可得：、，，于是，然后代入即可解答． 【详解】解：∵表示数轴上表示x的点到表示和2的两个点的距离之和， ∴． 同理：，， ∵， ∴、，． ∴． ∴的最大值为． 故答案为：7． 考点六： 利用绝对值的性质化简求值 30．（24-25七年级上·山东德州·期中）若，，为整数，且，则的值为（   ） A．0 B．1 C．2 D．2024 【答案】B 【分析】本题考查绝对值的意义．根据题意，得到，或，，整体代入法求值即可． 【详解】解：∵、、都为整数，且满足， ∴，或，； 当，时，； 当，时，； 综上：的值为1， 故选：B． 31．（23-24七年级上·江苏南通·阶段练习）a，b，c满足等式，且c是整数，则的值为（    ） A．0 B． C． D．2 【答案】C 【分析】本题主要考查了绝对值的应用，代数式求值，解题的关键是根据，得出，根据，得出，再根据c为整数，得出，求出，，代入求出结果即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵c为整数， ∴， ∴，， ∴，， ∴或， ∴的值为； 故选：C． 32．（2024七年级上·江苏·专题练习）若、、均为整数，且，则的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】先根据、、均为整数，且，可得，或，，然后分两种情况分别求出的值即可． 此题主要考查了绝对值的意义，分类讨论是解答此题的关键． 【详解】解：，，均为整数，且， ，或，， ①当，时，，， ； ②当，时，， ； 综上，的值为2． 故选：B． 33．（24-25七年级上·福建泉州·期中）若，，是整数，且，则的值为 ． 【答案】或/或 【分析】本题考查了绝对值，解题的关键是熟练掌握绝对值的非负性，以及采用分类讨论的思想．根据绝对值的非负性以及题意，①当时，；②当时，；③当时，，分类讨论计算即可． 【详解】解：∵，，是整数 ∴，是整数 ∵且， ∴①当时， ∴， 当，， ∴，， ∴； 当，， ∴，， ∴； ②当时，， ∴， 当，， ∴，， ∴ 当，， ∴，， ∴； ③当时，， ∴，， 当，， ∴，， ∴； 当，， ∴，， ∴ 当，， ∴，， ∴； 当，， ∴，， ∴； 综上所述，的值为或． 故答案为：或． 34．（24-25七年级上·四川成都·期中）已知整数，，，满足，且，那么 ． 【答案】 【分析】本题主要考查有理数的混合运算，根据整除的知识将25分解，从而利用、、、的大小关系确定出各字母的值，继而将各值代入即可得出答案． 【详解】解：∵整数，，，满足，且， ， ∴、、、， ∴ ． 故答案为：． 35．（22-23九年级下·重庆渝中·自主招生）若a、b、c均为整数，且满足，则 ． 【答案】2 【分析】本题考查的是有理数的乘方及绝对值的性质，能根据有理数的乘方及绝对值的性质得出、、之间的关系式解答此题的关键． 先根据，，均为整数，得出和均为整数，根据有理数乘方的法则得出关于、、的方程组，求出、、之间的关系，用表示出、，代入原式进行计算． 【详解】解：因为，，均为整数，所以和均为整数， 从而由可得或， 若，则， 从而． 若，则， 从而． 因此，． 故答案为：2． 考点七： 与绝对值有关的多结论问题 36．（24-25七年级上·黑龙江大庆·期末）下列说法中，正确的是（   ） ①若，则 ②若，则是正数 ③如果2025个有理数相乘所得的积为0，那么这2025个数中恰有一个数为0 ④、、三点在数轴上对应的数分别是、6、，若相邻两点的距离相等，则 ⑤的最小值为2015 A．①③④ B．② C．②④ D．③⑤ 【答案】B 【分析】本题考查了绝对值、整式的加减、有理数的乘法、一元一次方程的应用、数轴，熟练掌握数轴的性质是解题关键．根据绝对值的性质即可判断①错误；分五种情况：、、、和，根据有理数的加减法与乘法法则即可判断②正确；根据有理数的乘法即可判断③错误；分三种情况：当点在点的左侧时、当点在点的中间时、当点在点的右侧时，利用数轴的性质建立方程，解方程即可判断④错误；分三种情况：、、，化简绝对值，计算整式的加减，由此即可判断⑤错误． 【详解】解：若，则，则说法①错误； 若， 当，且时，则，所以， 当时，则，所以， 当时，则，所以， 当时，则，所以， 当时，所以， 综上，若，则是正数，则说法②正确； 如果2025个有理数相乘所得的积为0，那么这2025个数中至少有一个数为0，则说法③错误； ∵、、三点在数轴上对应的数分别是、6、，且相邻两点的距离相等， ∴当点在点的左侧时，则，解得， 当点在点的中间时，则，解得， 当点在点的右侧时，，解得， 综上，或或，则说法④错误； 当时，则， 当时，则， 当时，则， 所以的最小值为2013，则说法⑤错误； 综上，说法正确的是②， 故选：B． 37．（24-25七年级上·海南儋州·期中）规定，，例如，，下列结论中，正确的是（    ） ①若，则； ②若，则； ③能使成立的的值不存在； ④式子的最小值是． A．①② B．①②④ C．①④ D．①②③④ 【答案】C 【分析】本题考查定义新运算，化简绝对值，整式的加减运算，根据新运算的法则，结合绝对值的意义，逐一进行判断即可． 【详解】解：∵，， ∴当时，则：， ∴， ∴；故①正确； 当时，则；故②错误； 当时，则：，解得：，故③错误； ， ∴当在和之间时，有最小值为：；故④正确； 故选C． 38．（24-25七年级上·四川德阳·期末）下列说法中，正确的是 ．（请填写正确的序号） 若，则； 的最大值为2025； 若，则是负数； ，，三点在数轴上对应的数分别是、、6，若相邻两点的距离相等，则； 若代数式的值与的取值无关，则该代数式值为2025； 若，，则的值为1． 【答案】①②⑤⑥ 【分析】本题考查化简绝对值，一元一次方程的应用，整式加减横纵的无关型问题以及数轴上两点之间的距离等知识，解答本题的关键是对于错误的结论，要说明理由或者举出反例．根据各个小题中的说法，可以判断是否正确，尤其是对于错误的结论，我们只要说明理由或者举出反例即可． 【详解】解：①若，则，故①正确； ②的最小值为0，则的最大值为2025，故②正确； ③因为，分类讨论如下： 当，时，，则，，此时； 当，时，，则，，此时； 当，时，，则，，此时； 当，时，，则，，此时； 当时，此时； ，故③错误； ④、、三点在数轴上对应的数分别是、、6，若相邻两点的距离相等， 分类讨论如下： 当三点在数轴上的位置为、、时，此时，解得； 当三点在数轴上的位置为、、时，此时，解得； 当三点在数轴上的位置为、、时，此时，解得； 故或或14，故④错误； ⑤若代数式的值与无关， 则，故⑤正确； ⑥由条件可知、、中一定是一正两负，，，， 不妨设，，， 原式 ，故⑥正确． 故答案为：①②⑤⑥ 39．（22-23七年级上·福建福州·阶段练习）已知、、是有理数，且，以下结论：①，， ② ③ ④，其中结论一定正确的是 （填序号） 【答案】④ 【分析】根据题意可得、、中有2个正数，1个负数，进而逐个判断即可． 【详解】∵ ∴、、中有2个正数，1个负数， ∴①，，错误， ∴，②错误， 若a和c是正数，b是负数， ∴不一定正确， ∵、、中有2个正数，1个负数， ∴ 综上所述，其中结论一定正确的是④． 故答案为：④． 【点睛】此题考查了绝对值的意义，有理数的加法和乘法，解题的关键是熟练掌握绝对值的意义． 40．（24-25七年级上·四川成都·期中）下列说法正确的序号是 ． ①已知a，b，c是有理数，且，时，则的值为1或； ②四个数w、x、y、z满足，则最小的数是w，最大的数是z； ③适合的整数x的值有7个 ④如果定义，当，，时，的值为． 【答案】②③④ 【分析】本题考查绝对值的意义、等式的性质等知识点，理解绝对值的意义成为解题的关键． 根据绝对值的意义以及题中条件逐个分析判断即可． 【详解】解：①∵， ∴， ∵， ∴a、b、c两个为正一个为负， 当a、b、c两个为正一个为负时，不防设， ∴； 综上，则的值为，即①错误； ②∵， ∴都加2023得：，即， ∴最小的数是w，最大的数是z，即②正确； ③适合的整数x，为范围内的整数，即，共7个，即③正确； ④当时， ∴a、b异号， 又∵，     ∴负数的绝对值大于正数得绝对值， 又∵， ∴， ∴， 根据， ∴，故④正确． 故答案为：②③④． 考点八： 利用分类讨论思想解决绝对值问题 41．（24-25七年级下·黑龙江绥化·期中）已知，且，则的值为 ． 【答案】或 【分析】此题主要考查了绝对值的性质，求解代数式的值，能够根据已知条件正确地判断出，的值是解答此题的关键．根据已知条件判断出，的值，代入，从而得出答案． 【详解】解：，， ∴，， ∵， 必小于，． 当或时，均大于． 所以当时，，代入． 当时，，代入． 故答案为：或． 42．（24-25七年级上·江西抚州·期中）在学习绝对值后，我们知道，在数轴上分别表示有理数、的、两点之间的距离等于．现请根据绝对值的意义并结合数轴解答以下问题：满足的的值为 ． 【答案】4或 【分析】此题综合考查了数轴、绝对值及一元一次方程的有关内容，用几何方法借助数轴来求解，非常直观，且不容易遗漏，体现了数形结合的优点．表示数对应的点与表示数2，对应的两点的距离之和，分三种情况：当数对应的点在2，对应点的左侧，当数对应的点在2，对应点的之间，当数对应的点在2，对应点的右侧，进行求解即可． 【详解】解：表示数对应的点与表示数2，对应的两点的距离之和， ， 当数对应的点在2，对应点的左侧，即时， ，解得， 当数对应的点在2，对应点的之间，即时， ，不存在． 当数对应的点在2，对应点的右侧，即时， ，． 故满足的的值为4或， 故答案为：4或． 43．（23-24七年级上·重庆北碚·期末）如图，已知数轴上点所对应的数都不为0，且是的中点，如果，则原点的大致位置在（    ） A．的左边 B．与之间 C．与之间 D．的右边 【答案】B 【分析】本题考查了数轴与绝对值结合．数轴与绝对值结合，先根据绝对值的性质，判断出，，的大致取值，再根据图形和已知等式确定原点位置． 【详解】解：是的中点，则， 因而①，则， ②，则， ③，则， 所以原式，则， 因为，则、异号，并且， 就是， 因而点在，之间． 故选：B． 44．（23-24七年级上·江苏泰州·期中）如果x、y表示有理数，且x、y满足条件，那么的值（　　） A． B． C．或 D．1或9 【答案】C 【分析】本题考查代数式求值，根据，得到，再代入代数式求值即可．熟练掌握绝对值的意义，是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴或； 故选C． 45．（24-25七年级上·山东临沂·阶段练习）分类讨论是一种重要的数学方法，如在化简时，可以这样分类：当时，；当时，；当时，．用这种方法解决下列问题： (1)当时，求的值． (2)当时，求的值． (3)已知，是有理数，当时，试求的值． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题主要考查了化简绝对值，代数式求值等知识点，熟练掌握分类讨论思想是解题的关键． （1）由可得，将代入原式即可得解； （2）由可得，将代入原式即可得解； （3）当时，可分为，同为正数或，同为负数两种情况，即可得解． 【详解】（1）解：当时，； （2）解：当时，； （3）解：， ，同为正数或，同为负数， 当，同为正数，即，时， ，， ； 当，同为负数，即，时， ，， ； 当时，的值为或． 考点九： 利用分类讨论思想解决绝对值化简问题（a/|a|型） 46．（24-25七年级上·山西晋中·期末）我们知道，所以当时，；当时，．下列结论序号正确的是（   ） ①已知，是有理数，当时，的值为或； ②已知，是不为0的有理数，当时，则的值为； ③已知，，是有理数，，，则或； ④已知，，是非零的有理数，且，则的值为或； ⑤已知，，是非零的有理数，，则的所有可能的值为； A．①③④⑤ B．②③④⑤ C．①②④⑤ D．①②③⑤ 【答案】C 【分析】本题主要考查了绝对值的意义，有理数的乘除法符号问题，根据，分三种情况分别求得的值，即可判断①；根据，可得，得出，或，，然后根据绝对值的意义化简绝对值进而判断②，根据，得出，，，求出，根据，，得出、、中一负两正，再化简绝对值即可判断③，根据，可得，得出a、b、c中有3个负数或一负两正，分类讨论化简绝对值，根据③的方法即可判断④和⑤． 【详解】解：①∵， 当同号时，即或，时， 或， 当异号，即，或，， ∴或 ∴当时，的值为或；故①正确； 当时，即， ∴a、b异号，即，或，， ∴或； ∴当时，的值为；故②正确； ∵， ∴，，， ∴， ∵，， ∴a、b、c中一负两正， 不妨设, ∴． ∴的值为．故③不正确； ∵，则 ∴， ∴a、b、c中有3个负数或一负两正， 当a、b、c都是负数时，； 当a、b、c中有一负两正时，； ∴的值为或；故④正确； ∵， ∴a、b、c中一负两正或一正两负， 当a、b、c中一负两正， 不妨设, ∴ 当a、b、c中一正两负， 不妨设, ∴ ∴的所有可能的值为，故⑤正确， 故正确的有①②④⑤， 故选：C． 47．（2024七年级上·全国·专题练习）在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想，下面是运用分类讨论的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答问题． 【提出问题】三个有理数，，满足，求的值． 【解决问题】解：由题意，得，，三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数． ①，，都是正数，即，，时， 则 ②当，，中有一个为正数，另两个为负数时，不妨设，，， 则． 综上所述，值为3或． 【探究】请根据上面的解题思路解答下面的问题： (1)三个有理数，，满足，求的值； (2)若，，为三个不为0的有理数，且，求的值． 【答案】(1)或1 (2)1 【分析】本题考查了绝对值的意义，有理数的乘法与除法中的符号问题； （1）由，可得，，中有一个为负，两个为正或三个都为负，分类讨论可得的值时1或； （2）由，可得，，中有两个为负，一个为正，即可得的值是1． 【详解】（1）解：∵， ∴，，都是负数或其中一个为负数，另两个为正数， ①当，，都是负数，即，，时， 则：； ②，，有一个为负数，另两个为正数时，不妨设，，， 则 综上所述，值为或1． （2）∵，，为三个不为0的有理数，且， ∴，，中负数有2个，正数有1个， ∴， ∴． 48．（23-24七年级上·重庆秀山·期末）在解决数学问题的过程中，我们常用“分类讨论”的数学思想，下面是运用分类讨论的数学思想解决问题的过程： 【提出问题】两个不为0的有理数，满足同号，求的值． 【解决问题】解：由同号且都不为0可知，有两种可能，即都是正数或都是负数． ①若都是正数，即，有，，则 ②若都是负数，即，有，， 综上，的值为2或． 【探究】请根据上面的解题思路解答下面的问题： (1)两个不为0的有理数，满足异号，求的值． (2)已知，且，求的值． 【答案】(1)2或 (2)或 【分析】本题考查了绝对值、有理数的混合运算，熟练掌握相关知识并运用分类讨论思想解答是解题的关键． （1）由异号且都不为0可知，一正一负，即或，仿照题干求解即可； （2利用绝对值的代数意义，以及，求出m和n值，再代入代数式计算即可求解； 【详解】（1）解：由异号且都不为0可知，一正一负，有两种可能，即或． ①若，有，，则， ②若，有，，则， 综上，的值为2或． （2）解：因为， 所以，， 又因为， 所以，，或，， 当，时， ； 当，时， ； 综上可知，的值为或． 49．（24-25七年级上·云南昆明·期中）在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想，下面是运用分类讨论的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答题目后提出的【探究】 【提出问题】 两个不为0的有理数满足同号，求的值． 【解决问题】 解：由同号且都不为0可知有两种可能：①都是正数：②都是负数． ①若都是正数，即，，有及，则； ②若都是负数，即，，及，则； 所以的值为2或． 【探究】 请根据上面的解题思路解答下面的问题： (1)已知且，且，求的值． (2)两个不为0的有理数满足异号，求的值． 【答案】(1)10或4 (2) 【分析】本题主要考查了代数式求值，绝对值的意义，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． （1）由且，且得到a和b的值，代入求解即可； （2）由a、b异号分2种情况讨论：①，；②，，分别求解即可； 【详解】（1）解：∵，， ∴，， ∵， ∴，或，， 当，时， 当，时， 综上，的值10或4； （2）解：由a、b异号，可知有两种可能：①，；②，， 当，时，； 当，时，， 综上，的值为． 50．（24-25七年级上·山东德州·期中）在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想，下面是运用分类讨论的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答题目后提出的【探究】． 【提出问题】 两个不为0的有理数a、b满足a、b同号，求的值． 【解决问题】 解：由a、b同号且都不为0可知a、b有两种可能；①a，b都是正数；②a，b都是负数． ①若a、b都是正数，即，，有，，则 ②若a、b都是负数，即，，有，，则，所以的值为2或． 【探究】 请根据上面的解题思路解答下面的问题： (1)已知，求的值； (2)已知，求的值； (3)已知，，求的值． 【答案】(1)0； (2)1或； (3)． 【分析】本题考查了阅读理解问题，涉及了绝对值、有理数的混合运算、分类讨论等，熟练掌握相关知识并能运用分类讨论思想是解题的关键． （1）由分2种情况讨论：①，；②，，分别求解即可； （2）由题意得：a，b，c三个有理数都为负数或其中一个为负数，另两个为正数．然后分情况讨论计算即可； （3）由，得，，，再根据得：a，b，c三个有理数中必然是一个为负数，另两个为正数．据此计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴①，；②，， 当，时，，，则； 当，时，，，则， 综上，的值为0； （2）∵，且a，b，c是有理数， ∴a，b，c三个有理数均为负数或其中一个为负数，另两个为正数， ①当a，b，c三个有理数均为负数时，即，，， ∴原式， ②当a，b，c中一个为负数，另两个为正数时，不妨设，，， ∴原式， 综上，的值为1或； （3）∵， ∴，，， ∴， ∵，，且a，b，c是有理数， ∴a，b，c中一个为负数，另两个为正数，不妨设，，， ∴原式， ∴的值为． 考点十： 绝对值与数轴综合 51．（24-25七年级上·福建漳州·期中）观察下列几组数在数轴上体现的距离，并回答问题： （1）探究： 你能发现：3与5在数轴上的对应点间的距离可以表示为：；4与在数轴上的对应点间的距离可以表示为：；根据以上规律填空． ①数轴上表示6和3的两点之间的距离是 ． ②数轴上表示和的两点之间的距离是 ． ③数轴上表示和2的两点之间的距离是 ． （2）归纳： 一般的，数轴上表示数a和数b的两点之间的距离等于． （3）应用： ①如果数m和4两点之间的距离是6，则可记为：，求m的值． ②若数轴上表示数m的点位于与4之间，求的值． ③当m取何值时，的值最小，最小值是多少？请说明理由． 【答案】（1）①；②；③；（3）①；②；③当时，的值最小，最小值为． 【分析】本题考查了绝对值，数轴上两点间的距离，掌握相关知识是解题的关键． （1）①根据两点间的距离公式即可求解； ②根据两点间的距离公式即可求解； ③根据两点间的距离公式即可求解； （3）①根据两点间的距离公式和绝对值的意义即可求解； ②根据两点间的距离公式和绝对值的意义即可求解； ③根据线段上的点到线段两端点的距离和最小即可求解． 【详解】解：（1）①数轴上表示6和3的两点之间的距离是， 故答案为：； ②数轴上表示和的两点之间的距离是， 故答案为：； ③数轴上表示和2的两点之间的距离是， 故答案为：； （3）①， 解得：； ②∵数轴上表示数m的点位于与4之间， ∴， ∴ ； ③，表示点到三点的距离和， ∴当时，点到三点的距离和最小，即的值最小， ∴， ∴当时，的值最小，最小值为． 52．（24-25七年级上·河南南阳·期中）“数轴”是一个非常重要的数学工具，它使数轴上数和点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．下面就让我们利用学习过的“数轴”来进行探索活动吧． 已知点A在数轴上对应的数为a，点B在数轴上对应的数为b，A、B两点之间的距离记为或，且，，请回答下列问题： (1)求________． (2)设点P在数轴上对应的数为x，若，则________． (3)若点M，N，P是数轴上的三点，点M表示的数为4，点N表示的数为，动点P表示的数为x． ①当点P在点M、N之间（含M、N两点），请化简； ②若点P表示的数是1，现在有一蚂蚁从点P出发，以每秒1个单位长度的速度向右运动，设运动时间为t秒，当t为________秒时，蚂蚁所在的点到点M、点N的距离之和是7． 【答案】(1)5 (2)或8 (3)①5；② 【分析】本题主要考查了两点间的距离、化简绝对值、解绝对值方程等知识点，掌握化简绝对值的方法是解题的关键． （1）直接运用求解即可； （2）分或两种情况解答即可； （3）①由点P在点M、N之间（含M、N两点），即，然后化简绝对值、合并同类项即可解答；②设运动时间为t秒，则运动后P表示的数为，则，然后根据，蚂蚁所在的点到点M、点N的距离之和是7列绝对值方程求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴． 故答案为5． （2）解：当时，可化为，解得：； 当时，可化为，解得：． 综上，或． （3）解：①∵点P在点M、N之间（含M、N两点）， ∴， ∴； ②设运动时间为t秒，则运动后P表示的数为， ∴， ∵蚂蚁所在的点到点M、点N的距离之和是7， ∴， 当时，，解得：； 当时，，此方程无解． 综上，． 故答案为4． 53．（24-25七年级上·河北张家口·期末）【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点、点表示的数分别为、，则，两点之间的距离，线段的中点表示的数为． 【问题情境】如图，数轴上点表示的数为，点表示的数为，点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点从点出发，以每秒个单位长度的速度向左匀速运动．设运动时间为秒． 【综合运用】 (1)填空： 两点间的距离_____，线段的中点表示的数为_____； 用含的代数式表示：秒后，_____；_____． (2)求当为何值时，、两点相遇，并写出相遇点所表示的数； (3)求当为何值时，． 【答案】(1)，    ， (2)当时，、两点相遇，相遇点所表示的数为 (3)当或时， 【分析】（1）利用数轴上两点间的距离公式可求出的长，利用中点公式即可求出线段的中点表示的数； 根据点，的出发点、运动方向、运动速度以及运动时间，即可用含的代数式表示出、； （2）根据、两点相遇时，、两点表示的数相同，可列出关于的一元一次方程，解之可得出的值，再将其代入中，即可求出相遇点所表示的数； （3）当运动时间为秒时，点表示的数为，点表示的数为，可得，又，所以，解绝对值方程即可求解． 【详解】（1）解：两点间的距离，线段的中点表示的数为， 故答案为：，； 点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，点从点出发，以每秒个单位长度的速度向左匀速运动， ，， 故答案为：，； （2）解：当、两点相遇时，、两点表示的数相等， ， 解得：， 当时，、两点相遇，相遇点所表示的数为； （3）解：秒后，点表示的数为，点表示的数为， ， 又， ， 解得：或， 当或时，． 【点睛】本题考查了数轴上两点间的距离计算、中点坐标公式、列代数式、一元一次方程的应用、解绝对值方程，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 54．（24-25七年级上·福建泉州·阶段练习）信息：点、在数轴上分别表示有理数、，、两点之间的距离表示为，在数轴上、两点之间的距离． 信息：数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．结合上面的信息回答下列问题：已知数轴上点、两点分别对应有理数，，且，满足， (1)填空：______，______，、两点之间的距离为______； (2)式子的最小值是______，此时符合条件的整数的值是______； (3)若，则______； (4)数轴上的动点对应有理数； 式子的最小值是______，此时______． 式子有最小值为，则有理数______． 【答案】(1)，，； (2)，或或或或或或或； (3)或； (4)，；或． 【分析】（）利用绝对值非负性和偶次幂非负性求出的值，再用数轴表示两点间的距离公式即可； （）进行当位于点左侧时，即时，当位于点与点之间时，即时，当位于点右侧时，即时分类，用数轴表示两点间的距离公式即可； （）进行当位于点左侧时，即时，当位于点与点之间时，即时，当位于点右侧时，即时分类，用数轴表示两点间的距离公式即可； （）分当位于点左侧时，即时，当位于点与点之间时，即时，当位于点与点之间时，即时，当位于点右侧时即时四种情况分析即可； 分当时，即有时可取最小值和当时，即有时可取最小值两种情况分析即可； 本题考查了绝对值的意义，两点间的距离，一元一次方程，读懂并理解题目材料，会利用绝对值的几何意义是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴， ， 、两点之间的距离为， 故答案为：，，； （2）解：当位于点左侧时，即时， ， 当位于点与点之间时，即时， ， 当位于点右侧时，即时 ， 综上可知：当位于点与点之间时，的值最小，最小值为，符合条件的整数为或或或或或或或， 故答案为：；或或或或或或或； （3）解：当位于点左侧时，即时， ，解得：； 当位于点与点之间时，即时， ， 当位于点右侧时，即时 ，解得：； 故答案为：或； （4）解：当位于点左侧时，即时， ， 当位于点与点之间时，即时， ， ∴， 当位于点与点之间时，即时， ， ∴， 当位于点右侧时，即时， ， 综上可知：当位于点与点之间时，即时，有最小值，当，最小值为， 故答案为：，； 当时，即有时可取最小值， ， ，解得：； 当时，即有时可取最小值， ， ，解得：； 故答案为：或． 55．（24-25七年级上·陕西西安·阶段练习）阅读理解：数轴是一个非常重要的数学工具，使数和数轴上的点建立起对应关系，这样能够用“数形结合”的方法解决一些问题．数轴上，若A，B两点分别表示数a、b，那么A，B两点之间的距离与a，b两数的差有如下关系：或、如表示5、3在数轴上对应的两点之间的距离． 问题（1）：当x的值取在______的范围时，的最小值是______； 问题（2）：当______时，的最小值是______； 问题（3）：若的最小值是5，求a的值． 问题（4）：已知，则求出的最大值和最小值． 【答案】问题（1）：；4；问题（2）：2；5；问题（3）：4或；问题（4）：最大值为7，最小值为 【分析】本题主要查了绝对值的意义，数轴上两点间的距离： 问题（1）：根据题意可得表示数x在数轴上对应的点到数1和表示的点的距离之和，即可求解； 问题（2）：根据题意可得表示数x在数轴上对应的点到数，2，4表示的点的距离之和，即可求解； 问题（3）：根据题意可得表示数x在数轴上对应的点到数和a表示的点的距离之和，即可求解； 问题（4）：根据题意可得 ，再由，可得，，，从而得到，，，即可求解． 【详解】解：问题（1）：表示数x在数轴上对应的点到数1和表示的点的距离之和，则当x在数1和之间时，数x在数轴上对应的点到数1和的距离之和最小， 即当时，的最小值是； 故答案为：；4 问题（2）：表示数x在数轴上对应的点到数，2，4表示的点的距离之和，则当x与数2重合时，表示数x在数轴上对应的点到数，2，4表示的点的距离之和最小， 即当时，的最小值是； 故答案为：2；5 问题（3）：表示数x在数轴上对应的点到数和a表示的点的距离之和，则当x在数和a之间时，数x在数轴上对应的点到数和a的距离之和最小，最小值为， ∵的最小值是5， ∴， 解得：或； 问题（4）：根据题意得：的最小值为， 的最小值为， 的最小值为， ∴， ∵， ∴，，， ∴，，， ∴， 即的最大值为7，最小值为． 56．（24-25七年级上·江苏扬州·阶段练习）数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．我们知道，可以理解为，它表示：数轴上表示数的点到原点的距离，这是绝对值的几何意义．进一步地，数轴上的两个点，分别用数表示，那么两点之间的距离为，反过来，式子的几何意义是：数轴上表示数的点和表示数的点之间的距离． 若数轴上点表示数，请回答下列问题： (1)如果，那么的值是______； (2)如果，那么的值是______； (3)满足的整数有______个； (4)如果，那么的值是______； (5)则的最小值是______． 【答案】(1) (2)或 (3)6 (4)或 (5)7 【分析】本题考查了绝对值的性质，解绝对值方程，熟练掌握知识点，并运用分类讨论和数形结合的思想是解题的关键． （1）直接利用绝对值的性质求解即可； （2）根据绝对值的性质分类讨论可得或，进而求解即可； （3）根据绝对值的几何意义可知，式子的值为5，求解即可； （4）根据绝对值的几何意义，分三种情况讨论，求解即可； （5）根据绝对值的几何意义，分五种情况讨论，求解即可． 【详解】（1）解：∵，即表示数轴上表示数5的点到原点的距离， ∴， 故答案为：； （2）解：∵， ∴或， 解得或， 故答案为：或； （3）解：∵，且， ∴， ∴整数a的值有， ∴整数有6个， 故答案为：6； （4）解：∵，即数轴上表示数的点与和3之间的距离之和为8， ∴当时，，与题意不符； 当时，，解得； 当时，，解得； ∴的值是或， 故答案为：或； （5）解：当时， ， ∴； 当时， ， ∴； 当时， ， ∴； 当时， ， ∴； 当时， ， ∴； 综上，最小值为7， 故答案为：7． 57．（24-25七年级上·安徽亳州·阶段练习）数轴是数学学习的一个很重要的工具，是数与形的完美结合，研究数轴我们可以发现许多重要的结论：①绝对值的几何意义：可理解为数轴上表示数a所对应的点与数b所对应的点之间的距离；如可理解为数轴上表示数8所对应的点与数4所对应的点之间的距离； ②若数轴上的点A、点B表示的数分别为a、b，那么线段的中点M表示的数为请利用数轴及以上结论解决下列问题：如图，已知数轴上有A、B两点，分别表示的数为，3．点P以每秒3个单位长度的速度从点A出发沿着数轴向右匀速运动，点Q以每秒1个单位长度的速度从点B出发沿数轴向右匀速运动，两点同时出发同时停止运动，设运动时间为、t秒 (1)两点之间的距离是_______个单位长度，线段的中点M表示的数为_______． (2)点P运动t秒后所在位置的点表示的数为_______；点Q运动t秒后所在位置的点表示的数为_______．（用含t的式子表示） (3)在点P、Q运动过程中，点P、B、Q三点有一点恰好是其他两点形成的线段的中点，求此时t的值． 【答案】(1)4，1 (2)， (3)或或 【分析】本题主要考查了数轴动点问题，绝对值的意义，一元一次方程的应用，熟练掌握用代数式表示点运动后所表示的数是解答本题的关键． （1）根据数轴上两点间的距离的定义及数轴的定义即可； （2）数轴上点向右移动终点对应的数等于起点对应的数加上移动距离，数轴上点向左移动终点对应的数等于起点对应的数减去移动距离，从而可得答案； （3）点为线段的中点时， 点为线段的中点时， 点为线段的中点时， 再利用中点对应的数的计算方法构建方程，再解方程即可． 【详解】（1）解：由数轴可得，A、B两点的距离为，线段的中点M所表示数为， 故答案为：4，1； （2）解：∵点P以每秒3个单位长度的速度从点A出发沿着数轴向右匀速运动，点Q以每秒1个单位长度的速度从点B出发沿数轴向右匀速运动， ∴点P运动t秒后，所在位置的点表示的数为， 点Q运动t秒后，所在位置的点表示的数为 ， 故答案为：， ； （3）解：①当点为线段的中点时， ， 解得； ②当点为线段的中点时，得 ， 解得； ③当点为线段的中点时，得 ， 解得 综上所述：或或． 58．（24-25七年级上·广东珠海·期中）【背景知识】 数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美结合．通过研究数轴，我们发现了许多重要的规律，比如：数轴上点A和点B表示的数为a，b，则A，B两点之间的距离，若，则可化简为．若，则可化简为， 【解决问题】 （1）如图1，已知点P为数轴上任一动点，点P对应的数记为m，若点P与表示有理数的点的距离是个单位长度，则m的值为 ； （2）已知点P为数轴上任一动点，点P对应的数记为m，若数轴上点P位于表示的点与表示2的点之间，则 ； （3）已知点A，B，C，D在数轴上分别表示数a，b，c，d，四个点在数轴上的位置如图2所示，若，，，则 ． 【拓展探究】 （4）已知点A，B，C，D，E在数轴上表示的数分别为：，，9，，25，一动点Q从原点O出发，沿数轴以每秒钟2个单位长度的速度来回移动，其移动方式是先向右移动1个单位长度，再向左移动2个单位长度，又向右移动3个单位长度，再向左移动4个单位长度，又向右移动5个单位长度…… ①求Q点运动多少秒钟后所处的位置到点A、B、C、D、E各点距离之和最短？ ②动点Q能不能在运动过程中同时经过这5个点A、B、C、D、E，若能，请直接写出从出发到都经过这5个点的最短时间，若不能，请说明理由． 【答案】（1）或；（2）8；（3）5；（4）①秒；②动点Q能在运动过程中同时经过这5个点A、B、C、D、E，从出发到都经过这5个点的最短时间为秒． 【分析】本题主要考查了数轴上两点距离计算，一元一次方程的应用，解绝对值方程： （1）由题意可知，，再解方程即可； （2）由点P位于表示的点与表示2的点之间，据此直接化简绝对值求解即可； （3）由题意得到，，则，进而根据线段的和差关系得到，则； （4）①先确定点Q运动到时，到点A、B、C、D、E各点距离之和最短，然后求出运动的路程，然后求出时间即可； ②先求出同时都经过这5个点需要运动的次数，然后求出运动的总路程，最后求出时间即可． 【详解】解：（1）∵点P对应的数记为m，点P与表示有理数的点的距离是个单位长度， ∴， ∴或， 解得或， 故答案为：或； （2）∵点P位于表示的点与表示2的点之间， ∴； 故答案为：8； （3）∵，，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：5． （4）①设点Q表示的数为x， ∵点A，B，C，D，E在数轴上分别表示数分别为：，，9，，25， ∴,,, ∴， 当时，则， 当时，则， 当时，则， ∴当时，有最小值， 同理可得当时，有最小值13， ∵， ∴当时，有最小值0， 综上所述，当时，，，三者能同时取得最小值， ∴当时，取得最小值， ∴当点Q运动到时，到点A、B、C、D、E各点距离之和最短， 根据题意可知，从第一次运动开始，点Q每运动两次向左移动一个单位长度， ∴点Q从原点出发需要运动次才能到， ∴点Q运动的距离为：， ∴运动时间为：（秒）， 即Q点运动秒钟后所处的位置到点A、B、C、D、E各点距离之和最短； ②∵从第一次运动开始，点Q每运动两次向左移动一个单位长度， ∴数轴负半轴的每一个整数点Q都可以经过， ∵从第二次运动开始，每两次运动，点Q相当于向右移动1个单位长度， ∴数轴坐标轴上的所有整数点Q都可以经过， ∴动点Q能在运动过程中同时经过这5个点A、B、C、D、E，且需要运动的次数为： （次）， ∴需要运动的路程为：， ∴运动时间为：（秒）， 即从出发到都经过这5个点的最短时间为秒． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 重难点02 绝对值贯穿有理数的十大经典问题 考点一： 根据绝对值的非负性求解 1．（24-25七年级上·广东珠海·期中）已知满足，则式子的值是 ． 2．（24-25七年级上·福建漳州·阶段练习）已知a是最大的负整数，，且，则 ． 3．（24-25七年级上·河南驻马店·期中）若与b互为相反数，则a b（用“”“”“”“”填空）． 4．（24-25七年级上·江西鹰潭·阶段练习）在五个有理数，，0，，中任意取出两个相乘，则最大的积为a，最小的积为b． (1)求a、b的值； (2)，求代数式的值． 5．（24-25七年级上·吉林松原·期中）请根据图示的对话解答下列问题： (1)分别求出a和b的值； (2)已知，求的值． 考点二： 已知数轴上点的位置/字母的取值范围化简绝对值 6．（24-25七年级上·河南郑州·期中）已知两数在数轴上的位置如图所示，则化简代数式的结果是(   ) A．1 B． C． D． 7．（24-25七年级上·河南郑州·期中）数a，b，c在数轴上的位置如图所示．化简等于（　　） A． B． C． D． 8．（24-25七年级上·黑龙江大庆·期中）当 时，化简的结果是（       ） A． B． C． D． 9．（24-25七年级上·江苏泰州·期中）当时，代数式的值是 ． 10．（24-25七年级上·湖南怀化·期中）若，，则的值为 ． 11．（2024七年级上·全国·专题练习）已知：是最小的正整数，且满足，请回答问题： (1)请直接写出的值．　　，　　，　　； (2)所对应的点分别为，点P为一动点，其对应的数为x，点P在B、C之间运动时，请化简式子： 12．（24-25七年级上·湖南永州·期中）已知有理数、、在数轴上的位置， (1)___________0；___________0；___________0；___________0；（用“”“”“”填空）； (2)试化简：． 考点三： 利用绝对值的意义求字母的取值范围 13．（24-25七年级下·安徽蚌埠·阶段练习）若，则a的取值范围在数轴上表示正确的是（    ） A． B． C． D． 14．（2024·宁夏·中考真题）已知，则的取值范围在数轴上表示正确的是（　　） A． B． C． D． 15．（24-25七年级下·湖南怀化·阶段练习）若不等式无解，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 16．（24-25七年级上·山东德州·阶段练习）若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 17．（2024七年级·全国·竞赛）若，则的取值范围是（    ）． A． B． C． D．非以上答案 18．（23-24七年级上·四川绵阳·期中）若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 19．（24-25七年级上·北京·期中）若成立，那么x的取值范围是 ． 20．（24-25七年级上·贵州黔东南·期中）已知式子有最小值，则的取值范围是 ． 考点四： 解绝对值方程 21．（24-25七年级上·甘肃武威·阶段练习）阅读下列信息，方程的解法如下： （I）当时，，解得：． （II）当时，，解得：． 请你解决下列问题： (1)，则______； (2)求方程的解． 22．（24-25七年级上·山东滨州·期末）解方程：． 解：①当时，解得；②当时，解得． 所以原方程的解是或． (1)解方程：； (2)解方程：； (3)探究：当b分别为何值时？方程， ①无解；    ②只有一个解；    ③有两个解． 23．（24-25七年级下·河南南阳·阶段练习）阅读下列解题过程，并解答类似的题目． 解方程：． 解：由，得． 若，得；若，得， 所以原方程的解是或． (1)解方程：． (2)若方程的解也是方程的解，求m的值． 24．（2025七年级下·全国·专题练习）已知． (1)求a，b的值； (2)若a，b同号，求的值． 考点五： 绝对值中的最值问题 25．（24-25七年级上·重庆·期中）若的最小值与的最小值分别为（    ） A．2，4 B．2，1 C．3，5 D．3，1 26．（24-25七年级上·江苏南京·阶段练习）已知是一个有理数，则关于的值的说法，正确的是（    ） A．有最小值2 B．有最大值2 C．有最小值3 D．有最大值3 27．（24-25七年级下·浙江嘉兴·阶段练习）如图，四个相邻的整数对应数轴上的点，数对应数轴上的点，则的最小值为 ． 28．（24-25七年级上·辽宁鞍山·阶段练习）已知，．则的最大值是 ． 29．（24-25七年级上·浙江绍兴·期中）已知，则的最大值是 ． 考点六： 利用绝对值的性质化简求值 30．（24-25七年级上·山东德州·期中）若，，为整数，且，则的值为（   ） A．0 B．1 C．2 D．2024 31．（23-24七年级上·江苏南通·阶段练习）a，b，c满足等式，且c是整数，则的值为（    ） A．0 B． C． D．2 32．（2024七年级上·江苏·专题练习）若、、均为整数，且，则的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 33．（24-25七年级上·福建泉州·期中）若，，是整数，且，则的值为 ． 34．（24-25七年级上·四川成都·期中）已知整数，，，满足，且，那么 ． 35．（22-23九年级下·重庆渝中·自主招生）若a、b、c均为整数，且满足，则 ． 考点七： 与绝对值有关的多结论问题 36．（24-25七年级上·黑龙江大庆·期末）下列说法中，正确的是（   ） ①若，则 ②若，则是正数 ③如果2025个有理数相乘所得的积为0，那么这2025个数中恰有一个数为0 ④、、三点在数轴上对应的数分别是、6、，若相邻两点的距离相等，则 ⑤的最小值为2015 A．①③④ B．② C．②④ D．③⑤ 37．（24-25七年级上·海南儋州·期中）规定，，例如，，下列结论中，正确的是（    ） ①若，则； ②若，则； ③能使成立的的值不存在； ④式子的最小值是． A．①② B．①②④ C．①④ D．①②③④ 38．（24-25七年级上·四川德阳·期末）下列说法中，正确的是 ．（请填写正确的序号） 若，则； 的最大值为2025； 若，则是负数； ，，三点在数轴上对应的数分别是、、6，若相邻两点的距离相等，则； 若代数式的值与的取值无关，则该代数式值为2025； 若，，则的值为1． 39．（22-23七年级上·福建福州·阶段练习）已知、、是有理数，且，以下结论：①，， ② ③ ④，其中结论一定正确的是 （填序号） 40．（24-25七年级上·四川成都·期中）下列说法正确的序号是 ． ①已知a，b，c是有理数，且，时，则的值为1或； ②四个数w、x、y、z满足，则最小的数是w，最大的数是z； ③适合的整数x的值有7个 ④如果定义，当，，时，的值为． 考点八： 利用分类讨论思想解决绝对值问题 41．（24-25七年级下·黑龙江绥化·期中）已知，且，则的值为 ． 42．（24-25七年级上·江西抚州·期中）在学习绝对值后，我们知道，在数轴上分别表示有理数、的、两点之间的距离等于．现请根据绝对值的意义并结合数轴解答以下问题：满足的的值为 ． 43．（23-24七年级上·重庆北碚·期末）如图，已知数轴上点所对应的数都不为0，且是的中点，如果，则原点的大致位置在（    ） A．的左边 B．与之间 C．与之间 D．的右边 44．（23-24七年级上·江苏泰州·期中）如果x、y表示有理数，且x、y满足条件，那么的值（　　） A． B． C．或 D．1或9 45．（24-25七年级上·山东临沂·阶段练习）分类讨论是一种重要的数学方法，如在化简时，可以这样分类：当时，；当时，；当时，．用这种方法解决下列问题： (1)当时，求的值． (2)当时，求的值． (3)已知，是有理数，当时，试求的值． 考点九： 利用分类讨论思想解决绝对值化简问题（a/|a|型） 46．（24-25七年级上·山西晋中·期末）我们知道，所以当时，；当时，．下列结论序号正确的是（   ） ①已知，是有理数，当时，的值为或； ②已知，是不为0的有理数，当时，则的值为； ③已知，，是有理数，，，则或； ④已知，，是非零的有理数，且，则的值为或； ⑤已知，，是非零的有理数，，则的所有可能的值为； A．①③④⑤ B．②③④⑤ C．①②④⑤ D．①②③⑤ 47．（2024七年级上·全国·专题练习）在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想，下面是运用分类讨论的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答问题． 【提出问题】三个有理数，，满足，求的值． 【解决问题】解：由题意，得，，三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数． ①，，都是正数，即，，时， 则 ②当，，中有一个为正数，另两个为负数时，不妨设，，， 则． 综上所述，值为3或． 【探究】请根据上面的解题思路解答下面的问题： (1)三个有理数，，满足，求的值； (2)若，，为三个不为0的有理数，且，求的值． 48．（23-24七年级上·重庆秀山·期末）在解决数学问题的过程中，我们常用“分类讨论”的数学思想，下面是运用分类讨论的数学思想解决问题的过程： 【提出问题】两个不为0的有理数，满足同号，求的值． 【解决问题】解：由同号且都不为0可知，有两种可能，即都是正数或都是负数． ①若都是正数，即，有，，则 ②若都是负数，即，有，， 综上，的值为2或． 【探究】请根据上面的解题思路解答下面的问题： (1)两个不为0的有理数，满足异号，求的值． (2)已知，且，求的值． 49．（24-25七年级上·云南昆明·期中）在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想，下面是运用分类讨论的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答题目后提出的【探究】 【提出问题】 两个不为0的有理数满足同号，求的值． 【解决问题】 解：由同号且都不为0可知有两种可能：①都是正数：②都是负数． ①若都是正数，即，，有及，则； ②若都是负数，即，，及，则； 所以的值为2或． 【探究】 请根据上面的解题思路解答下面的问题： (1)已知且，且，求的值． (2)两个不为0的有理数满足异号，求的值． 50．（24-25七年级上·山东德州·期中）在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想，下面是运用分类讨论的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答题目后提出的【探究】． 【提出问题】 两个不为0的有理数a、b满足a、b同号，求的值． 【解决问题】 解：由a、b同号且都不为0可知a、b有两种可能；①a，b都是正数；②a，b都是负数． ①若a、b都是正数，即，，有，，则 ②若a、b都是负数，即，，有，，则，所以的值为2或． 【探究】 请根据上面的解题思路解答下面的问题： (1)已知，求的值； (2)已知，求的值； (3)已知，，求的值． 考点十： 绝对值与数轴综合 51．（24-25七年级上·福建漳州·期中）观察下列几组数在数轴上体现的距离，并回答问题： （1）探究： 你能发现：3与5在数轴上的对应点间的距离可以表示为：；4与在数轴上的对应点间的距离可以表示为：；根据以上规律填空． ①数轴上表示6和3的两点之间的距离是 ． ②数轴上表示和的两点之间的距离是 ． ③数轴上表示和2的两点之间的距离是 ． （2）归纳： 一般的，数轴上表示数a和数b的两点之间的距离等于． （3）应用： ①如果数m和4两点之间的距离是6，则可记为：，求m的值． ②若数轴上表示数m的点位于与4之间，求的值． ③当m取何值时，的值最小，最小值是多少？请说明理由． 52．（24-25七年级上·河南南阳·期中）“数轴”是一个非常重要的数学工具，它使数轴上数和点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．下面就让我们利用学习过的“数轴”来进行探索活动吧． 已知点A在数轴上对应的数为a，点B在数轴上对应的数为b，A、B两点之间的距离记为或，且，，请回答下列问题： (1)求________． (2)设点P在数轴上对应的数为x，若，则________． (3)若点M，N，P是数轴上的三点，点M表示的数为4，点N表示的数为，动点P表示的数为x． ①当点P在点M、N之间（含M、N两点），请化简； ②若点P表示的数是1，现在有一蚂蚁从点P出发，以每秒1个单位长度的速度向右运动，设运动时间为t秒，当t为________秒时，蚂蚁所在的点到点M、点N的距离之和是7． 53．（24-25七年级上·河北张家口·期末）【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点、点表示的数分别为、，则，两点之间的距离，线段的中点表示的数为． 【问题情境】如图，数轴上点表示的数为，点表示的数为，点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点从点出发，以每秒个单位长度的速度向左匀速运动．设运动时间为秒． 【综合运用】 (1)填空： 两点间的距离_____，线段的中点表示的数为_____； 用含的代数式表示：秒后，_____；_____． (2)求当为何值时，、两点相遇，并写出相遇点所表示的数； (3)求当为何值时，． 54．（24-25七年级上·福建泉州·阶段练习）信息：点、在数轴上分别表示有理数、，、两点之间的距离表示为，在数轴上、两点之间的距离． 信息：数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．结合上面的信息回答下列问题：已知数轴上点、两点分别对应有理数，，且，满足， (1)填空：______，______，、两点之间的距离为______； (2)式子的最小值是______，此时符合条件的整数的值是______； (3)若，则______； (4)数轴上的动点对应有理数； 式子的最小值是______，此时______． 式子有最小值为，则有理数______． 55．（24-25七年级上·陕西西安·阶段练习）阅读理解：数轴是一个非常重要的数学工具，使数和数轴上的点建立起对应关系，这样能够用“数形结合”的方法解决一些问题．数轴上，若A，B两点分别表示数a、b，那么A，B两点之间的距离与a，b两数的差有如下关系：或、如表示5、3在数轴上对应的两点之间的距离． 问题（1）：当x的值取在______的范围时，的最小值是______； 问题（2）：当______时，的最小值是______； 问题（3）：若的最小值是5，求a的值． 问题（4）：已知，则求出的最大值和最小值． 56．（24-25七年级上·江苏扬州·阶段练习）数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．我们知道，可以理解为，它表示：数轴上表示数的点到原点的距离，这是绝对值的几何意义．进一步地，数轴上的两个点，分别用数表示，那么两点之间的距离为，反过来，式子的几何意义是：数轴上表示数的点和表示数的点之间的距离． 若数轴上点表示数，请回答下列问题： (1)如果，那么的值是______； (2)如果，那么的值是______； (3)满足的整数有______个； (4)如果，那么的值是______； (5)则的最小值是______． 57．（24-25七年级上·安徽亳州·阶段练习）数轴是数学学习的一个很重要的工具，是数与形的完美结合，研究数轴我们可以发现许多重要的结论：①绝对值的几何意义：可理解为数轴上表示数a所对应的点与数b所对应的点之间的距离；如可理解为数轴上表示数8所对应的点与数4所对应的点之间的距离； ②若数轴上的点A、点B表示的数分别为a、b，那么线段的中点M表示的数为请利用数轴及以上结论解决下列问题：如图，已知数轴上有A、B两点，分别表示的数为，3．点P以每秒3个单位长度的速度从点A出发沿着数轴向右匀速运动，点Q以每秒1个单位长度的速度从点B出发沿数轴向右匀速运动，两点同时出发同时停止运动，设运动时间为、t秒 (1)两点之间的距离是_______个单位长度，线段的中点M表示的数为_______． (2)点P运动t秒后所在位置的点表示的数为_______；点Q运动t秒后所在位置的点表示的数为_______．（用含t的式子表示） (3)在点P、Q运动过程中，点P、B、Q三点有一点恰好是其他两点形成的线段的中点，求此时t的值． 58．（24-25七年级上·广东珠海·期中）【背景知识】 数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美结合．通过研究数轴，我们发现了许多重要的规律，比如：数轴上点A和点B表示的数为a，b，则A，B两点之间的距离，若，则可化简为．若，则可化简为， 【解决问题】 （1）如图1，已知点P为数轴上任一动点，点P对应的数记为m，若点P与表示有理数的点的距离是个单位长度，则m的值为 ； （2）已知点P为数轴上任一动点，点P对应的数记为m，若数轴上点P位于表示的点与表示2的点之间，则 ； （3）已知点A，B，C，D在数轴上分别表示数a，b，c，d，四个点在数轴上的位置如图2所示，若，，，则 ． 【拓展探究】 （4）已知点A，B，C，D，E在数轴上表示的数分别为：，，9，，25，一动点Q从原点O出发，沿数轴以每秒钟2个单位长度的速度来回移动，其移动方式是先向右移动1个单位长度，再向左移动2个单位长度，又向右移动3个单位长度，再向左移动4个单位长度，又向右移动5个单位长度…… ①求Q点运动多少秒钟后所处的位置到点A、B、C、D、E各点距离之和最短？ ②动点Q能不能在运动过程中同时经过这5个点A、B、C、D、E，若能，请直接写出从出发到都经过这5个点的最短时间，若不能，请说明理由． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$