重难点01 数轴上的10种动点问题-2025年小升初数学无忧衔接（通用版）

重难点01 数轴上的10种动点问题 考查知识点：1）数轴上点的移动规律:左一右十; 2）数轴上中点公式:c=. 3）数轴上两点之间距离公式:AB=|a-b|.若a，b大小确定就大减小，不确定用绝对值或分类讨论. 4）数轴上点的平移变化:向左平移用减法，向右平移用加法(左减右加) 解题策略：数轴上的动点问题，以数轴为载体，考察的是数形结合思想. 解决数轴动点问题时，应该遵循“点、线、式”三步策略. 即:先根据题意中动点的出发位置，移动方向和速度，用含t的式子表示动点，然后根据题中要求提炼出线段，用动点的含t表达式表示线段，最后根据线段间的等量关系，列出式子，然后求解. 注意:要检验解是否符合动点的运动时间范围. 解题步骤及方法： 移动过程(思维过程) 解题步骤及方法: 初始位置 一般为已知 移动距离 速度x时间(设时间为 t) 移动后对应的点 向右移动:初始位置+移动距离. 向左移动:初始位置-移动距离. 移动后和其他点的距离 一般位置不确定，用t表示，那么和其他点的大小就不确定，所以表示距离时要带绝对值. 根据线段距离关系列方程 列方程，解方程求t的值. 注意:计算动点移动后和其它点的距离时，如不能确定左右位置关系，需要用绝对值来表示距离. 考点一： 数轴动点中的绝对值最值问题 1．（24-25七年级上·江苏扬州·阶段练习）阅读下面材料：点A、B在数轴上分别表示实数a、b，A、B两点之间的距离表示为．当A、B两点中有一点在原点时，不妨设点A在原点，如图1，． 当A、B两点都不在原点时， ①如图2，点A、B都在原点的右边； ②如图3，点A、B都在原点的左边； ③如图4，点A、B在原点的两边； 综上，数轴上A、B两点之间的距离． (1)回答下列问题： ①数轴上表示1和的两点之间的距离是 ． ②数轴上表示x和的两点A和B之间的距离是 ． (2)探索规律： 式子有最 （填“大”或“小”）值是 ． (3)规律应用 工厂加工车间工作流水线上依次间隔3米排着5个工作台A、B、C、D、E，一只配件箱应该放在工作台 处，能使工作台上的工作人员取配件所走的路程最短，所走的最短路程是 米． (4)知识迁移 式子有最值（最大值或最小值）吗？如果有，写出这个值并指出它是最大值还是最小值；如果没有，请说明你的理由． 2．（24-25七年级上·广东广州·期中）阅读理解：数轴上表示有理数的点到原点O的距离，叫做这个有理数的绝对值．例如：，它表示数轴上有理数2的点到原点O的距离；另外观察数轴，容易发现有理数2表示的点到原点O的距离是2个单位长度，所以（如图1）．同样的，数轴上表示和表示的两个有理数之间的距离可以用来表示．例如：数轴上表示的点到表示2的点的距离用表示；观察数轴，容易发现表示的点到表示2的点的距离是5个单位长度，从而得到：（如图2）． 以上这种借助直观的数轴来解决问题的方法就是研究数学问题常用的“数形结合”的方法．请你根据以上学到的方法完成下列任务解答： (1)填空：数轴上表示3的点和表示的点之间的距离为______； (2)若，求所表示的有理数． (3)设点在数轴上表示的有理数是，借助数轴解答下列问题： ①代数式有最小值吗？有最大值吗？若有，请求出相应的最值． ②若，求的值． 3．（24-25七年级上·江苏宿迁·期中）阅读下列材料，并回答问题．我们知道的几何意义是指数轴上表示数的点与原点的距离，那么的几何意义又是什么呢？我们不妨考虑一下，取特殊值时的情况．比如考虑的几何意义，在数轴上分别标出表示和5的点，（如图所示），两点间的距离是11，而，因此不难看出就是数轴上表示和5两点间的距离，的几何意义是数轴上，两数对应点之间的距离． (1)当时，求出x的值； (2)设，请问是否存在最大值，若没有请说明理由，若有请求出最大值； (3)设，求的最小值，此时的取值范围是多少？ 4．（24-25七年级上·江苏淮安·期中）如图，数轴上的A、B两点所表示的数分别为a、b，，． (1)原点的置在______； A．点A的左边        B．点B的右边 C．点A与点B之间，且靠近点A    D．点A与点B之间，且靠近点B (2)若，，则点A表示的数为 ． (3)若，则 ． (4)拓展：若c，d，e，f分别是一个四位数的千位，百位，十位，个位上的数字，且低位上的数字不小于高位上的数字，当取得最大值时，这个四位数的最小值是 ． 考点二： 数轴动点中的相遇问题 5．（24-25七年级上·吉林长春·期中）如图，已知数轴上点A、B分别表示数a、b，且，O为原点，动点P从点A出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动． (1) ， ； (2)运动3秒时，点P表示的数是 ； (3)动点Q从点B出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、Q同时出发． 求： ①当点P与点Q相遇时，点P运动 秒，此时两动点所对应的数是 ； ②当点P与点Q的距离为8个单位长度时，点P运动 秒． 6．（24-25七年级上·天津滨海新·期末）如图，数轴上两点（点在点的左侧，表示点与点之间的距离），点表示的有理数为．点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点从点出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动的时间为秒（）． (1)点表示的数为___________，线段的中点表示的数为___________； (2)用含的代数式表示：秒后，点表示的数为___________，点表示的数为___________； (3)当为何值时，点与点相遇？ (4)当时，此时点表示的数是多少？ 7．（24-25七年级上·辽宁大连·期末）在数轴上A点在原点的左侧，所表示的数是a；B点在原点的右侧，所表示的数是b，且a，b满足. (1)求a，b的值； (2)点P、Q是数轴上的两个动点，点P从点A出发沿数轴向右运动，同时点Q从点B出发沿数轴向右运动，且点P的速度是点Q速度的2倍，经过6秒钟点P与点Q相遇，求点Q与点P的速度分别为每秒几个单位； (3)若P、Q两点同时以（2）中各自的速度相向而行，点P从点A出发沿数轴向右运动，同时点Q从点B出发沿数轴向左运动，且点P运动到B点后原速返回，当点Q到达点A时，P、Q停止运动，经过几秒钟，P、Q两点相距6个单位长度． 8．（24-25七年级上·广东深圳·期中）对于数轴上的，，三点，给出如下定义：若其中一个点与其它两个点的距离恰好满足2倍的数量关系，则称该点是其它两个点的“联盟点”，例如，如图1，数轴上点，，所表示的数分别为1，3，4，此时点是点，的“联盟点”．若点表示数，点表示数，且，满足，点为数轴上的一个动点，点对应的数为．    (1) ， ，点，点之间的距离是 ，的最小值是 ； (2)若点在点的右侧，且点是点，点的“联盟点”，求出此时点在数轴上对应的数； (3)若动点从点处以2个单位秒的速度向右运动，同时动点从点处以1个单位秒的速度向左运动，在相遇后，点立刻原速返回，且到达点后停止运动．设点运动的时间为秒，在整个运动过程中，当点是点，点的“联盟点”时，则 ． 考点三： 数轴动点中的中点问题 9．（23-24七年级上·四川乐山·期末）如图，数轴上有、、、四点，点是原点，， (1)写出数轴上点表示的数为　　　　　　． (2)动点P、Q分别从A、C同时出发，点P以每秒6个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，点Q以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，M为线段AP的中点，点N在线段CQ上，且CN=CQ．设运动时间为t(t>0)秒． ①直接写出数轴上点表示的数为　　　　　　，点表示的数为　　　　　　用含的式子表示． ②求当是多少秒时，原点恰为线段的中点． ③若动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，若、、三动点同时出发，当点遇到点后，立即返回以原速度向点运动，当点遇到点后，又立即返回以原速度向点运动，并不停地以原速度往返于点与点之间，当点与点重合时，点停止运动．问点从开始运动到停止运动，行驶的总路程是多少个单位长度？ 10．（24-25七年级上·甘肃天水·期末）【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点，点表示的数分别为，，则，两点之间的距离，线段的中点表示的数为． 【问题情境】如图，数轴上点表示的数为，点表示的数为8，点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动．设运动时间为秒． 【综合运用】 (1)填空： ①，两点间的距离________，线段的中点表示的数为________； ②用含的代数式表示：秒后，点表示的数为________，点表示的数为________． (2)当为何值时，，两点相遇？写出相遇点所表示的数． (3)若点为的中点，点为的中点，点在运动过程中．线段的长度是否发生变化？若变化，请说明理由：若不变，请求出线段的长． 11．（24-25七年级上·江苏苏州·期中）阅读材料：点，在数轴上分别表示有理数，，，两点之间的距离可表示为．例如：7与两数在数轴上所对应的两点之间的距离表示为，的几何意义是数轴上表示有理数的点与表示6的点之间的距离．这种数形结合的方法，可以用来解决一些问题．已知数轴上两点、对应的数分别为和2，数轴上另有一个点对应的数为有理数． (1)请根据阅读材料填空：点、之间的距离_____（用含的式子表示）；若该距离为4，则_____． (2)根据几何意义，解决下列问题： ①若，求点表示的有理数． ②的最小值是_____． (3)若将数轴折叠，使得1表示的点与表示的点重合，此时、两点也互相重合．若数轴上、两点之间的距离为2024（在的左侧），则两点表示的数分别是：：_____，：_____． 12．（24-25七年级上·江苏扬州·阶段练习）如图1，数轴上的点表示数，点表示数，点在点的右侧，已知，，若动点、分别从点、处同时向右移动，点的速度为个单位长度秒，点的速度为个单位长度秒，设运动时间为秒．则： (1)当为何值时，、两点重合？ (2)当为何值时，、两点相距个单位长度？ (3)如图2，点是的中点，在点、同时间右移动的过程中，试判断的值是否为定值？并说明理由． 考点四： 数轴动点中的翻折问题 13．（24-25七年级上·陕西西安·期中）已知点A，B在数轴上，A，B对应的数字为a，b，满足，点M从点A开始以2个单位长度/秒的速度向右移动，同时点N从点B开始以3个单位长度/秒的速度向右移动，移动时间为t秒 (1)__________，_________． (2)用含t的代数式表示点M对应的数为__________，点N对应的数__________． (3)数轴上有一点P．若将数轴沿着点A翻折后，点P对应的数为Q，点Q对应的数为．当点N到达点P时，立即向左返回；当点N到达点B时，点M，N同时停止移动．在移动过程中，请用含t的代数式表示点M与点N之间的距离． 14．（24-25七年级上·山东济南·期中）数轴是一个非常重要的数学工具，它把数和数轴上的点建立了对应关系，形象地揭示了数与数轴上的点之间的内在联系，是数形结合的基础．翻折是初中数学重要的图形变化．请借助数轴，结合具体情境解答下列问题． 【问题情境】 如图，若数轴上表示的点与表示的点重合． 则表示的点与表示______的点重合； 若数轴上，两点之间的距离为（点在点的左侧），当，两点经折叠后重合，则点表示的数为______，点表示的数为______； 若点表示数，点经折叠后与点重合，则点表示的数是______； 【问题情境】 如图，一条数轴上有，，三点，其中点，表示的数分别是和，现以为折点，将数轴向右对折．若对折后点对应的点为，且点与点之间的距离为，求点表示的数． 15．（24-25七年级上·重庆石柱·期中）已知，、、三点在数轴上的位置如图所示，这三点对应的数分别、、，点为原点，如果，与是同类项，线段的中点是． (1)直接写出、、的值，则有：_______，_________，_______． (2)动点、分别从点、同时出发，点以每秒3个单位长度向右运动，点以每秒2个单位长度向左运动，运动时间为秒，当和相距5个单位长度时，求的值． (3)点、从各自的位置出发在数轴上运动，若点以每秒2个单位长度的速度向左运动，点以每秒4个单位长度的速度向右运动，在运动过程中，若将线段沿着原点向右翻折，使点落在数轴的正半轴上的点处，若线段和线段的其中一段为另一段的2倍，请求出这时点表示的数． 16．（24-25七年级上·辽宁鞍山·期中）数形结合在数学学习中至关重要．数学课上老师让同学们将数轴对折探究其中的数学问题． (1)如图1，第一小组的同学将数轴对折，使表示2的点与表示的点重合； ①对折后表示5的点与表示________的点重合； ②对折后表示m的点与表示________的点重合；（用含m的代数式表示） (2)如图2，第二小组的同学将数轴对折，使表示3的点与表示的点重合； ①对折后表示7的点与表示________的点重合； ②对折后数轴上的点A与点B重合（点A在点B的左侧），且点A与点B之间的距离为8，则点A表示的数为________，点B表示的数为________； (3)如图3，第三小组的同学将数轴对折，使数a表示的点C与数b表示的点D重合，经对折后数轴上的点E与点F重合（点E在点F的左侧），且点E和点F之间的距离为12，则点E表示的数为________，点F表示的数为________．（用含a，b的代数式表示） 考点五： 数轴动点中的相距问题 17．（24-25七年级上·江苏泰州·阶段练习）如图1，在数轴上有A，B两点，点A表示的数为4，点B在A点的左边，且，若有一动点P从数轴上点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，动点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿着数轴向右匀速运动．若点P，Q分别从A，B两点同时出发，设运动时间为t秒． (1)写出数轴上点B表示的数为________，P所表示的数为________（用含t的代数式表示）． (2)点P运动多少秒与Q相距3个单位长度？ (3)如图2，分别以和为边，在数轴上方作正方形和正方形，如图所示，求当t为何值时，两个正方形的重叠部分面积是正方形面积的一半？ 18．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）【阅读材料】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美的结合，某数学兴趣小组探究数轴发现了一些重要的规律． 规律：如图，数轴上点表示的数为，点表示的数为，则、两点间的距离可表示为： ①（即用右边点表示的数减去左边点表示的数）； ②（即两点表示的数之差的绝对值）． 规律：数轴上、两点的中点表示的数为． 【简单应用】如图，若点在数轴上所对应的数为，点表示的数为． （1）、两点间的距离_____，、两点的中点表示的数为_____； （2）若点是数轴上一点，且、两点间的距离，则点表示的数为_____； 【拓展运用】如图，已知数轴上有、两点，分别表示的数为与，点、分别从点、同时出发，沿数轴正方向运动，点的运动速度为个单位长度秒，点的运动速度为个单位长度秒，设运动时间为秒．请问、两点经过多少秒会相距个单位长度？ 19．（24-25七年级上·辽宁大连·期末）【问题背景】 大美瓦房店，瓦房店滨海路上风景怡人．在滨海路上和两地之间相距大约5千米，大明骑电动车从地出发，以1千米/分钟的速度向地方向匀速行驶：笑笑骑自行车从地出发，以0.5千米/分钟的速度向地方向匀速行驶．两人同时出发，经过几分钟大明、笑笑之间相距1千米？    【问题解决】 小美同学在学习了《有理数》之后，发现运用数形结合的方法建立数轴可以较快地解决上述问题：如图1，将滨海路抽象为一条数轴，将点与数轴的原点重合，点表示数5．大明和笑笑分别用动点、来表示，设运动的时间为分钟． （1）分钟后点在数轴上对应的数是_____，点对应的数是_____；（用含的代数式表示） （2）我们知道，如果数轴上，两点分别对应数，，则．试运用该方法求经过几分钟，之间相距1千米？ 【拓展应用】 （3）如图2，点，，为数轴上三点；若点表示的数是，点表示的数是40，点表示数是25，现有两个动点、分别从点，同时开始在线段上运动，点以每分钟2个单位长度的速度向右运动，点以每分钟1个单位长度的速度向左运动，若点与点之间的距离为，点与点之间的距离为.在运动过程中，是否存在某一时刻，使得？若存在，请求出运动的时间；若不存在，请说明理由． 20．（24-25七年级上·江西吉安·期中）【阅读材料】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美的结合，某数学兴趣小组探究数轴发现了一些重要的规律． 规律1：如图1，数轴上点表示的数为，点表示的数为，则、两点间的距离可表示为： ①（即用右边点表示的数减去左边点表示的数）； ②（即两点表示的数之差的绝对值）． 规律2：数轴上、两点的中点表示的数为． 【简单应用】如图1，点在数轴上所对应的数为，点表示的数为4，是数轴上一动点． （1）则、两点间的距离________，、两点的中点表示的数为________． （2）若、两点间的距离，则点表示的数为________． 【拓展运用】如图2，已知数轴上有、两点，分别表示的数为，8，点以每秒2个单位的速度沿数轴向右匀速运动，同时点以每秒3个单位向左匀速运动，设运动时间秒（）． （3）用含的式子填空： 点运动秒后所在位置的点表示的数为________；（用含的式子填空） 点运动秒后所在位置的点表示的数为________；（用含的式子填空） 此时、两点的中点表示的数为________．（用含的式子填空） （4）按上述方式运动，、两点经过多少秒会相遇？经过多少秒相距5个单位长度？ 考点六： 数轴动点中的和差倍分问题 21．（24-25七年级上·辽宁大连·期末）【新知理解】 我们规定：对于数轴上不同的三个点，若点到点的距离恰好为点到点的距离的（为正整数）倍时，即，则称点是“的阶巧分点”． （1）数轴上点，点表示的数分别为． ①线段的长为______； ②若点是“的3阶巧分点”，则点表示的数为______； 【解决问题】 （2）在（1）的条件下，点在之间运动，且不与两点重合，作“的2阶巧分点”，记为，作“的4阶巧分点”，记为，且满足分别在线段和上．当点运动时，求的值． 【拓展应用】 （3）数轴上两点表示的数分别为，点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右运动，点从点出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左运动，作“的1阶巧分点”，记为，作“的3阶巧分点”，记为．两点同时出发，设运动时间为，若，直接写出的值． 22．（24-25七年级上·广西柳州·期中）点A 、B 在数轴上分别表示有理数a ，b ，A 、B 两点之间的距离表示为，在数轴上A 、B 两点之间的距离．利用数形结合思想回答下列问题： (1)和2之间的距离为 ； (2)若x与2的距离为3，则x的值为 ； (3)若成立，则满足条件的所有整数x为 ； (4)假设，，有一点P由原点O开始以每秒1的速度向右运动，请你求出运动时间t是多少秒时，（点P到点A的距离是点P到点B的距离的2 倍） 23．（24-25七年级上·四川成都·期末）点分别在数轴原点的两侧，，点对应的数是． (1)求点对应的数； (2)若点为数轴上一动点，其对应的数为，是否存在点，使得，若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由； (3)若点分别从点同时出发，沿数轴向右匀速运动，点的速度为每秒4个单位长度，点的速度为每秒1个单位长度，点到达点后立即沿数轴返回，并保持原来速度匀速运动．若运动秒时，点将线段分成的两部分，求的值． 24．（24-25七年级上·重庆江津·期中）若点A在数轴上对应的数为a，点B在数轴上对应的数为b，我们把A、B两点之间的距离表示为，A在原点的右边与原点的距离为1，b为多项式的二次项系数 (1)______；______；线段的长_____； (2)点C在数轴上对应的数是c，且c与b互为相反数，在数轴上是否存在点P，使得？若存在，求出点P对应的数；若不存在，请说明理由； (3)在（1）、（2）的条件下，点A、B、C开始在数轴上运动，若点B以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时点A和点C分别以每秒4个单位长度和9个单位长度的速度向右运动，t秒钟后，若点A和点C之间的距离表示为，点A和点B之间的距离表示为，那么的值是否随着时间t的变化而变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出的值． 25．（24-25七年级上·陕西西安·阶段练习）如图，已知数轴上有两点，点表示的数是，点表示的数是，动点分别从两点同时出发，在数轴上匀速相向而行，它们的速度分别为个单位长度/秒、个单位长度/秒，设运动时间为． (1)当时，点对应的数是______，点对应的数是______； (2)当为何值时，两点之间相距个单位长度； (3)当时，若线段和线段同时以个单位长度/秒的速度同时相向匀速运动，是否存在某一时刻使得？若存在，求出此时的距离和运动时间，若不存在，请说明理由． 考点七： 数轴动点中的定值问题 26．（24-25七年级上·湖北武汉·期末）、为数轴上的两个点，点对应的数记为，点对应的数记为，且，满足．解答下列问题： (1)___________，___________； (2)若数轴上点满足，求点对应的数； (3)点，点，点是数轴上的动点，点从点出发，沿数轴以5个单位/秒的速度向右运动，点从点出发，以3个单位/秒的速度沿数轴向右移动，同时点从点出发，沿数轴以1个单位/秒的速度向左移动，设运动时间为，在三个点移动的过程中，或是否会是定值．若会，请求的取值范围；若不会，请说明理由． 27．（24-25七年级上·江苏扬州·期中）课本P52页习题8，我们曾探究过，如果数轴上点表示数，点表示数，线段的长表示为．当点为线段中点时，即时，点表示的数为．请同学们借助以上结论，解决下面问题： 如图，在数轴上的点表示数，点表示数5．若在原点处放一挡板，一动点从点处以2个单位／秒的速度向左运动；同时另一个动点从点处以3个单位／秒的速度也向左运动，在碰到挡板后以原来的速度向相反的方向运动，回到点后，两动点均停止运动，运动结束．假设运动的时间为（秒）． (1)动点表示的数为______； 当时，动点表示的数为______； 当时，动点表示的数为______；（用含的代数式表示） (2)当是线段中点时，求时间的值； (3)分别取和的中点，； ①当时，求时间的值； ②试判断是否存在常数，使得的值是定值，若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 28．（24-25七年级上·湖北十堰·期末）数轴上点A、B对应的数分别为a、b，多项式的二次项系数为a，常数项为b． (1)求线段的长． (2)如图，点P，Q分别从点A，B同时出发沿数轴向右运动，点P的速度是每秒3个单位长度，点Q的速度是每秒4个单位长度，当时，求此时点P对应的数． (3)在（2）的条件下，点M从原点与点P，Q同时出发沿数轴向右运动，速度是每秒x个单位长度，在运动过程中，是否存在x，使得为定值？若存在，求出此时x的值；若不存在，请说明理由． 29．（24-25七年级上·福建福州·期中）如图，数轴上一个点从原点出发，先向左移动5个单位长度到达A点，再向右移动12单位长度到达B点，点，点在数轴上，把一根木棒放置在数轴上，它的端点分别落在点，点处，将木棒在数轴上移动，当点移动到点处时，点落在点处，当点移动到点处时，点落在点处．    (1)请你直接写出点，，，所表示的数：点表示的数为______，点表示的数为______，点表示的数为______，点表示的数为______； (2)若木棒从处（端点分别落在点，点上）出发以每秒个单位长度向右移动，同时点和点分别从点，点出发，各以每秒1个单位长度和每秒2个单位长度的速度向左和向右移动，设移动的时间为秒． ①点，之间的距离用表示，当为个单位长度，求的值； ②点，之间的距离用表示，点，之间的距离用表示，请问是否存在常数使得的值为定值？若存在，请求出常数和这个定值；若不存在，请说明理由． 30．（24-25七年级上·四川南充·期中）已知：如图数轴上有A、B、C三点，点A和点B间距20个单位长度且点A、B表示的有理数互为相反数，，数轴上有一动点P从点A出发，以2个单位/秒的速度向右沿数轴运动，动点Q从点C 出发，以3个单位/秒的速度向左运动，设运动时间为t秒． (1)点A 表示的有理数是 ，点C 表示的有理数是 ； (2)求经过多少秒，P、Q两点之间相距10个单位长度? (3)若点A、点B 和点C与点P同时在数轴上运动，点A以1个单位/秒的速度向左运动，点B 和点C分别以3个单位/秒和4个单位/秒的速度向右运动，是否存在常数m，使得为一个定值，若存在，请求出m的值以及这个定值； 若不存在，请说明理由． 考点八： 数轴动点中的折返问题 31．（24-25七年级上·福建福州·期中）数轴上点A，B对应的数分别是和10，点P以每秒2个单位的速度从点A出发向右运动，同时，点Q以每秒3个单位的速度从点B出发向左运动，当点Q到达点A后立即折返向右运动，设运动时间为t秒． (1)当点P和点Q第一次相遇时，求t的值； (2)当时，求点P到点Q的距离； (3)在整个运动过程中，当t为多少时，P，Q两点间的距离为2？请直接写出t的值． 32．（24-25七年级上·四川成都·期中）“阳光向上，跑动青春”，为营造阳光运动的校园氛围，培养学生热爱体育、崇尚运动的健康观念和良好习惯，学校利用课间进行趣味跑操活动，其中有两名学生课间在操场上沿着直线进行折返跑，往返一次；将这条直线看成数轴，起点记为M，折返点记为N，主席台记为点O，两位同学分别记为点P，Q；若动点P、Q从M点同时出发向N点运动，到达N点后折返到M点； 已知：数轴上点M、N对应的数分别为m、n，且满足． (1)直接写出m、n的值； (2)设点P在数轴上对应的数为x，那么当x为多少时能使得？ (3)已知点P的速度为3个单位长度/秒，点Q的速度为2个单位长度/秒，当动点P到达点N后，点Q开始改变速度，以a个单位长度/秒继续折返跑，4秒后，P、Q两点相距2个单位长度，求a的值． 33．（24-25七年级上·湖北武汉·阶段练习）数轴上，，所对应的点分别为点，点，点．若点到点的距离表示为，点到点的距离表示为，我们有，． (1)点、点，点在数轴上分别对应的数为，6，．且，直接写出的值____． (2)在（1）的条件下，两只电子蚂蚁甲乙分别从，两点出发向右运动，甲的速度为4个单位每秒，乙的速度为1个单位每秒，求经过几秒，两只电子蚂蚁到原点的距离相等． (3)在（1）（2）的条件下，电子蚂蚁乙运动到点后立即以原速返回，到达自己的出发点后停止运动，电子蚂蚁甲运动到点后也以原速返回，到达自己的出发点后又折返向点运动，当电子蚂蚁乙停止运动时，电子蚂蚁甲随之停止运动，求运动多长时间时，两只蚂蚁相遇． 34．（23-24七年级上·湖北·期末）如图，A点在数轴上对应的有理数是24；动点M从原点O点出发以1单位/秒的速度向右运动，动点N从A点出发以2单位/秒的速度向左运动，两个动点同时出发，设运动时间为t秒． (1)请用含t的式子表示：动点M对应的数为__________，动点N对应的数为__________； (2)如果在运动过程中，M、N两点相距6个单位长，求t的值； (3)M、N在运动过程中，又有一动点p从原点O点开始以3单位/秒的速度向右运动（与M、N同时出发），当相遇点N时立即返回，返回途中遇到M点时又立即折返，如此往返，当M、N相遇时点p停止，此时点p一共运动了__________个单位长度． 35．（24-25七年级上·浙江杭州·阶段练习）已知：数轴上点、、对应的数分别为、、，且满足， (1)求数________，________； (2)若动点、分别从、同时出发向右运动，点的速度为3个单位长度/秒；点的速度为个单位长度/秒，求经过多长时间，两点的距离为； (3)在（2）的条件下，若点运动至点处立刻以原速返回，折返至点后停止运动，点运动到点也以原速返回，当点停止运动点随之停止运动．求在整个运动过程中，两点，相遇时的点在数轴上表示的数． 考点九： 数轴动点中的规律问题 36．（24-25七年级上·河北邢台·阶段练习）如图5，数轴上A，B两点所对应的数分别是a和b，且． (1)___________，___________，A，B两点之间的距离为___________； (2)有一动点M从点A出发，第一次向左运动1个单位长度，然后在新的位置第二次运动，向右运动2个单位长度，在此位置第三次运动，向左运动3个单位长度，在此位置第四次运动，向右运动4个单位长度…，按照如此规律不断地左右运动，当运动到2025次时，求点M所对应的有理数； (3)点P为数轴上一点，若点P到点B的距离是点P到点A的距离的2倍，请求出此时点P对应的有理数． 37．（24-25七年级上·福建漳州·阶段练习）数学实验室：点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为，在数轴上A、B两点之间的距离． 利用数形结合思想回答下列问题： (1)数轴上表示x和的两点之间的距离表示为 ． (2)若x表示一个有理数，则的最小值 ． (3)在有些情况下，不需要计算出结果也能把绝对值符号去掉例如：，，，． 根据上面的规律，把下列各式写成去掉绝对值符号的形式（不要计算出结果）： ； ． ③计算：． 38．（24-25七年级上·福建莆田·期中）【背景知识】 数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合，这种解决问题的思想叫做数形结合思想．研究数轴我们发现了许多重要的规律： ①若数轴上点A，点B表示的数分别为a，b， 若A，B位置不确定时，则A，B两点之间的距离为：； 若点A在B的右侧，即，则A，B两点之间的距离为：； ②线段的中点表示的数为， ③点A向右运动m个单位长度后，点A表示的数为：..， 点A向左运动m个单位长度后，点A表示的数为：． 同学们可以在数轴上取点验证上述规律，并完成下列问题． 【问题情境】 如图：在数轴上点A表示数，点B表示数1，点C表示数9，点A、点B和点C分别以每秒2个单位长度、1个单位长度和4个单位长度的速度在数轴上同时向左运动，设运动时间为t秒， 请利用上述结论，结合数轴，完成下列问题： (1)表示点A到点B之间的距离，运动之前，的距离为_______； (2)A点与C点的中点为D，则点D表示的数为_______；运动t秒后，点A表示的数为_______（用含t的式子表示）； (3)若t秒钟过后，A，B，C三点中恰有一点为另外两点的中点，求t值． 39．（24-25七年级上·安徽滁州·期中）小茹利用计算机软件绘制了一条数轴，数轴上有A，B，C，D四点，其中点A在点B的左侧，点B在原点处，点C，D分别与5和8对应，A，B之间的距离与C，D之间的距离相等．    (1)点A表示的数为________． (2)小茹利用软件制作了一只电子蟋蟀，蟋蟀从点A处开始第一次沿数轴向右跳动1个单位长度，第二次沿数轴向左跳动3个单位长度，第三次沿数轴向右跳动5个单位长度，第四次沿数轴向左跳动7个单位长度，……，且按此规律进行跳动． ①求电子蟋蟀跳动5次后落点所对应的数轴上的数，并直接写出第几次跳动后落在原点处． ②求出电子蟋蟀跳动100次后的落点与点C之间的距离． 40．（24-25七年级上·湖南永州·期中）【背景知识】利用数轴可以将数与形完美地结合，这种解决问题的思想叫做数形结合思想，研究数轴我们发现了很多重要的规律： ①若数轴上点A，点B表示的数分别为a，b，若A，B的位置不确定，则A，B两点间的距离为；若A在B的右侧，即，则A，B两点间的距离为： ②若C是线段的中点，则，中点C表示的数为； ③点A向右移动m个单位后，点A表示的数为：：点A向左移动m个单位后，点A表示的数为：； 如图所示，点A、B、C、D在数轴上对应的数分别为a、b、c、d，其中a是最大的负整数，b、c满足，且． (1) ； ； ； ； (2)若点A以每秒2个单位长度的速度向左运动，同时点C以每秒4个单位长度的速度向左运动，设运动的时间为t秒，当A、C两点之间的距离为9个单位长度时，求运动时间t值； (3)若线段和同时开始向右运动，且线段的速度小于线段的速度．在点A和点C之间有一点M，始终满足，在点B和点D之间有一点N，始终满足，此时线段为定值吗？若是，请求出这个定值，若不是，请说明理由． 考点十： 数轴动点中的新定义问题 41．（24-25七年级上·辽宁沈阳·期末）新定义：数轴上有A，B两点，若点A到原点的距离为点B到原点的距离的两倍，则称点A为点B的2倍原距点．已知互不重合的三点A，M，N在数轴上表示的数分别为2，m，n． (1)若点A是点M的2倍原距点． ①当点M在数轴正半轴上时，则　 　； ②当点M在数轴负半轴上，且点M与点A的距离等于点M与点N的距离，判断点N是否是点A的2倍原距点，并说明理由； (2)若点M，N分别从数轴上表示数10，6的点同时出发向数轴负半轴运动，点M每秒运动速度为2个单位长度，点N每秒运动速度为a个单位长度．若点M为点A的2倍原距点时，点A恰好也是点N的2倍原距点，请求出a所有可能的值． 42．（24-25七年级上·云南昆明·期中）定义：在数轴上，若点到点的距离恰好是3，则称点为点的“幸福点”；若点到点的距离之和为6，则称点为点的“幸福中心”． 【初步应用】 （1）若点表示的数是，则点的“幸福点”点表示的数是______； （2）已知点表示的数是，点表示的数是，且．若点为点的“幸福中心”，则点表示的数可以是______（填一个满足要求的数即可）； 【深入理解】 （3）若点表示的数是，点表示的数是4，点表示的数是8，一个电子蚂蚁从点出发，以2单位/秒的速度沿数轴向左运动，求经过多少时间电子蚂蚁是点的“幸福中心”？ 43．（24-25七年级上·福建龙岩·期中）定义： 若数轴上的点、分别表示数、，简记为、，则、两点之间的距离可表示为． 理解： （1）数轴上表示数和5的两点之间的距离是_____（用含的代数式表示）； （2）若，则的值为_____； （3）若，则的值为_____； （4）当代数式取到最小值时，相应的的取值范围是_____． 应用： 某环形道路上顺次排列有四家快递公司：A、B、C、D，它们分别有快递车16辆，8辆，4辆，12辆．为了使各快递公司的车辆数相同，允许一些快递公司向相邻公司调动若干辆车．请你设计3种不同的调动车辆方案，使得调动车辆的总数最少，并直接写出调动的最少车辆数． 44．（24-25七年级上·四川成都·期中）如图（1），把一条数轴水平放置（向右为正），我们把它称为“横轴”；把一条数轴竖直放置（向上为正），我们把它称为“纵轴”：当它们的原点重合，单位长度相同时，我们定义：在横轴上的点与在纵轴上的点，它们到原点的距离之和称为两点的折线距离，记为：．已知点、在横轴上对应的数分别是和，点、在纵轴上对应的数分别是和． (1) ， ； (2)若点从点出发沿横轴以每秒个单位长度的速度向右移动，同时从点出发沿纵轴以每秒个单位长度的速度向上移动，则当点出发多少秒后； (3)已知点从点出发沿横轴以每秒个单位长度的速度向右移动，到达点后停止移动；点从点出发沿横轴以每秒个单位长度的速度向左移动，到达点后立即调头然后以每秒个单位长度的速度向右移动；点从点出发以每秒个单位长度的速度沿纵轴向下移动到点后，速度变为每秒个单位长度继续向下移动；若、、三个点同时出发，当点停止移动后，、两点也随之停止移动，请问它们出发多少秒后？ 45．（24-25七年级上·广东广州·期末）先阅读两则材料，然后解决问题： 材料一：【数学家故事】高斯7岁时进入学校学习数学，有一天，他的老师布特纳布置了一道题目，要求学生计算从1加到100的总和．这个问题对于当时的孩子们来说相当困难，但高斯很快就给出了正确答案：．他使用了一种巧妙的方法，展示了非凡的数学天赋．这个方法可以这样理解： 令  ①， 则  ②， 得：， 即． 材料二：对有理数a，b，定义的计算方式为：当时，；当时，．例如：；． 【解决问题】 (1)填空：______；______； (2)已知，且，求的值； (3)设代数式，已知A，B是数轴上的两个点，分别表示有理数a和b，且线段的长为4．若数a满足关系式，求M的值． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 重难点01 数轴上的10种动点问题 考查知识点：1）数轴上点的移动规律:左一右十; 2）数轴上中点公式:c=. 3）数轴上两点之间距离公式:AB=|a-b|.若a，b大小确定就大减小，不确定用绝对值或分类讨论. 4）数轴上点的平移变化:向左平移用减法，向右平移用加法(左减右加) 解题策略：数轴上的动点问题，以数轴为载体，考察的是数形结合思想. 解决数轴动点问题时，应该遵循“点、线、式”三步策略. 即:先根据题意中动点的出发位置，移动方向和速度，用含t的式子表示动点，然后根据题中要求提炼出线段，用动点的含t表达式表示线段，最后根据线段间的等量关系，列出式子，然后求解. 注意:要检验解是否符合动点的运动时间范围. 解题步骤及方法： 移动过程(思维过程) 解题步骤及方法: 初始位置 一般为已知 移动距离 速度x时间(设时间为 t) 移动后对应的点 向右移动:初始位置+移动距离. 向左移动:初始位置-移动距离. 移动后和其他点的距离 一般位置不确定，用t表示，那么和其他点的大小就不确定，所以表示距离时要带绝对值. 根据线段距离关系列方程 列方程，解方程求t的值. 注意:计算动点移动后和其它点的距离时，如不能确定左右位置关系，需要用绝对值来表示距离. 考点一： 数轴动点中的绝对值最值问题 1．（24-25七年级上·江苏扬州·阶段练习）阅读下面材料：点A、B在数轴上分别表示实数a、b，A、B两点之间的距离表示为．当A、B两点中有一点在原点时，不妨设点A在原点，如图1，． 当A、B两点都不在原点时， ①如图2，点A、B都在原点的右边； ②如图3，点A、B都在原点的左边； ③如图4，点A、B在原点的两边； 综上，数轴上A、B两点之间的距离． (1)回答下列问题： ①数轴上表示1和的两点之间的距离是 ． ②数轴上表示x和的两点A和B之间的距离是 ． (2)探索规律： 式子有最 （填“大”或“小”）值是 ． (3)规律应用 工厂加工车间工作流水线上依次间隔3米排着5个工作台A、B、C、D、E，一只配件箱应该放在工作台 处，能使工作台上的工作人员取配件所走的路程最短，所走的最短路程是 米． (4)知识迁移 式子有最值（最大值或最小值）吗？如果有，写出这个值并指出它是最大值还是最小值；如果没有，请说明你的理由． 【答案】(1)①6；② (2)小，2 (3)C，18 (4)最小值，最大值9，理由见解析 【分析】本题主要考查了有理数与数轴．熟练掌握数轴上点的特征，两点间距离的求法，绝对值的化简，分类讨论，是解答此题的关键． （1）①根据两点间距离的求法直接求解即可；②根据两点间距离的求法直接写出即可；（2）当时，；当时，；当时，；可判断有最小值2； （3）以C点为原点，3米为一个单位长度，A、B、C、D、E、依次在数轴上排列，根据绝对值的几何意义，数轴上点的特点可知，当时，有最小值18； （4）分，，三种情况，对绝对值进行运算，再求最大值和最小值即可． 【详解】（1）解：①； 故答案为：6； ②； 故答案为：； （2）解：当时， ； 当时， ； 当时， ； ∴有最小值2； 故答案为：小，2； （3）解：以C点为原点，3米为一个单位长度，A、B、C、D、E、依次在数轴上排列， 则A点表示的数为，B点表示的数为，C点表示的数为0，D点表示的数为3，E点表示的数为6， 设配件箱应该放在数轴上表示x的数的位置， 当有最小值时，工作台上的工作人员取配件所走的路程最短， 由（2）知，当时， ，有最小值18， ∴配件箱应该放在工作台C处，最短路程为18米， 故答案为：C，18； （4）解：有最小值，最大值9，理由： 当时， ； 当时， ； ∴； 当时， ； ∴； 故有最小值，最大值9． 2．（24-25七年级上·广东广州·期中）阅读理解：数轴上表示有理数的点到原点O的距离，叫做这个有理数的绝对值．例如：，它表示数轴上有理数2的点到原点O的距离；另外观察数轴，容易发现有理数2表示的点到原点O的距离是2个单位长度，所以（如图1）．同样的，数轴上表示和表示的两个有理数之间的距离可以用来表示．例如：数轴上表示的点到表示2的点的距离用表示；观察数轴，容易发现表示的点到表示2的点的距离是5个单位长度，从而得到：（如图2）． 以上这种借助直观的数轴来解决问题的方法就是研究数学问题常用的“数形结合”的方法．请你根据以上学到的方法完成下列任务解答： (1)填空：数轴上表示3的点和表示的点之间的距离为______； (2)若，求所表示的有理数． (3)设点在数轴上表示的有理数是，借助数轴解答下列问题： ①代数式有最小值吗？有最大值吗？若有，请求出相应的最值． ②若，求的值． 【答案】(1)8 (2)1或5 (3)①5②或 【分析】本题考查数轴上的两点间的距离，绝对值的意义，一元一次方程的应用，熟练掌握两点间的距离公式，是解题的关键： （1）直接根据两点间的距离公式进行计算即可； （2）求出数轴上与3距离为2的点表示的数即可； （3）①根据绝对值的意义，得到表示数轴上数到数和数的距离之和，进而得到当在和4之间时，距离和最小为到4的距离，计算即可； ②分在的左侧和在的右侧，两种情况进行求解即可． 【详解】（1）解：； 故答案为：8； （2）解：所表示的有理数为或； （3）①因为表示数轴上数到数和数的距离之和， 所以当在和4之间时最小为：； 数表示的点在数表示的点的左侧或数表示的点的右侧时，数表示的点到数和数表示的点的距离和大于5， 所以有最小值5； ②当在的左侧时，，解得：； 当在右侧时，，解得：； 综上：或． 3．（24-25七年级上·江苏宿迁·期中）阅读下列材料，并回答问题．我们知道的几何意义是指数轴上表示数的点与原点的距离，那么的几何意义又是什么呢？我们不妨考虑一下，取特殊值时的情况．比如考虑的几何意义，在数轴上分别标出表示和5的点，（如图所示），两点间的距离是11，而，因此不难看出就是数轴上表示和5两点间的距离，的几何意义是数轴上，两数对应点之间的距离． (1)当时，求出x的值； (2)设，请问是否存在最大值，若没有请说明理由，若有请求出最大值； (3)设，求的最小值，此时的取值范围是多少？ 【答案】(1)或 (2)Q有最大值11 (3) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用和数轴上两点间的距离、化简绝对值，掌握分类讨论的数学思想是解题关键． （1）是数轴上表示和两点间的距离，据此即可求解； （2）分类讨论①、②、③即可求解； （3）先求出、的最小值，再求出的最小值即可． 【详解】（1）解：由题意得：是数轴上表示和两点间的距离， ， 或； （2）解：是数轴上表示的点到表示、5两点间的距离之差， ①时，； ②时，； ③时，； 综上所述，当时，有最大值11； （3）解：表示数到2、4、6、、2024的距离之和， 而2、4、6、、2024共有1012个偶数， 要使的值最小，根据已知阅读材料可知： 的最小值为：， 的最小值为：， ， 的最小值为， 的最小值为： ． 此时的取值范围是． 4．（24-25七年级上·江苏淮安·期中）如图，数轴上的A、B两点所表示的数分别为a、b，，． (1)原点的置在______； A．点A的左边        B．点B的右边 C．点A与点B之间，且靠近点A    D．点A与点B之间，且靠近点B (2)若，，则点A表示的数为 ． (3)若，则 ． (4)拓展：若c，d，e，f分别是一个四位数的千位，百位，十位，个位上的数字，且低位上的数字不小于高位上的数字，当取得最大值时，这个四位数的最小值是 ． 【答案】(1)D (2) (3) (4)1119 【分析】本题考查的是数轴与绝对值意义，整式的加减运算，能够根据题干分析出ab异号是解题的关键. （1）先判断a、b异号，a的绝对值大，据此即可确定原点的位置； （2）由题意得，，计算即可求解； （3）先确定A、B两点间的距离为2，得到，，求得，，据此去绝对值符号，计算即可求解； （4）要使取得最大值，则保证两正数之差最大，于是，，再根据低位上的数字不小于高位上的数字解答． 【详解】（1）解：∵， ∴a、b异号， 又∵， ∴a的绝对值大， ∴b靠原点近， ∴故选：D； （2）解：由题意，， 解得，， 则点A表示的数为； 故答案为：； （3）解：∵， ∴，即A、B两点间的距离为2， ∵a的绝对值大， ∴，， ∴，， ∴； 故答案为：； （4）解：若使的值最大， 则最低位数字最大为，最高位数字最小为即可， 同时为使最大，则e应最小，且使低位上的数字不小于高位上的数字， 所以e为1，此时d只能为1，所以此数为1119， 故答案为：1119． 考点二： 数轴动点中的相遇问题 5．（24-25七年级上·吉林长春·期中）如图，已知数轴上点A、B分别表示数a、b，且，O为原点，动点P从点A出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动． (1) ， ； (2)运动3秒时，点P表示的数是 ； (3)动点Q从点B出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、Q同时出发． 求： ①当点P与点Q相遇时，点P运动 秒，此时两动点所对应的数是 ； ②当点P与点Q的距离为8个单位长度时，点P运动 秒． 【答案】(1)6； (2) (3)①5；；②1或9 【分析】本题主要考查了非负数的性质、列式计算、数轴上两点间的距离、一元一次方程的应用等知识点，理解绝对值的意义是解题的关键． （1）根据非负数的性质列式计算即可； （2）根据题意列式计算即可； （3）①设当点P与点Q相遇时，点P运动t秒，再分别表示出相遇时点P、Q表示的数，然后根据相遇时，两点坐标相同列方程计算即可；②设当点P与点Q的距离为8个单位长度时，点P运动m秒，然后根据题意列绝对值方程求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，解得：． 故答案为：6，． （2）解：∵点A表示， ∴由题意可得：运动3秒时，点P表示的数是． 故答案为：． （3）解：①设当点P与点Q相遇时，点P运动t秒，此时点P表示，点Q表示， 由题意可得：，解得：，则， ∴当点P与点Q相遇时，点P运动5秒，此时两动点所对应的数是． 故答案为：5，． ②设当点P与点Q的距离为8个单位长度时，点P运动m秒，此时点P表示，点Q表示， 由题意可得：，即，解得：或9． ∴当点P与点Q的距离为8个单位长度时，点P运动1或9秒． 6．（24-25七年级上·天津滨海新·期末）如图，数轴上两点（点在点的左侧，表示点与点之间的距离），点表示的有理数为．点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点从点出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动的时间为秒（）． (1)点表示的数为___________，线段的中点表示的数为___________； (2)用含的代数式表示：秒后，点表示的数为___________，点表示的数为___________； (3)当为何值时，点与点相遇？ (4)当时，此时点表示的数是多少？ 【答案】(1)16，2 (2)， (3) (4)或 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用，两点间距离和数轴． （1）设点表示的数为x，利用两点之间的距离公式列方程可得点表示的数，再利用线段中点公式可得的中点表示的数； （2）根据在数轴上点的移动规律列代数式； （3）当P、Q两点相遇时，P、Q两点表示的数相等，列方程求解即可； （4）根据，分两种情况：相遇前和相遇后，列方程求解即可． 【详解】（1）解：设点表示的数为x， ∵点表示的有理数为， ∴， 解得：， 即点表示的数为16， 线段的中点表示的数为， 故答案为：16，2； （2）解：∵点表示的有理数为，点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动， ∴秒后，点表示的数为， ∵点表示的数为16，点从点出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动， ∴秒后，点表示的数为， 故答案为：，； （3）解：点与点相遇时，， 解得， 所以当时，点与点相遇； （4）解：，分以下两种情况： 点与点相遇前，，即， 解得， 此时点表示的数是：； 点与点相遇后，，即， 解得， 此时点表示的数是：． 7．（24-25七年级上·辽宁大连·期末）在数轴上A点在原点的左侧，所表示的数是a；B点在原点的右侧，所表示的数是b，且a，b满足. (1)求a，b的值； (2)点P、Q是数轴上的两个动点，点P从点A出发沿数轴向右运动，同时点Q从点B出发沿数轴向右运动，且点P的速度是点Q速度的2倍，经过6秒钟点P与点Q相遇，求点Q与点P的速度分别为每秒几个单位； (3)若P、Q两点同时以（2）中各自的速度相向而行，点P从点A出发沿数轴向右运动，同时点Q从点B出发沿数轴向左运动，且点P运动到B点后原速返回，当点Q到达点A时，P、Q停止运动，经过几秒钟，P、Q两点相距6个单位长度． 【答案】(1) (2)点Q的速度为每秒3个单位，点P的速度为每秒6个单位 (3)经过秒或秒或4秒，P、Q两点相距6个单位长度． 【分析】本题考查了非负数的性质，数轴上两点距离，一元一次方程的应用，根据题意列出方程，分类讨论是解题的关键． （1）由非负数的性质得出，即可得出答案； （2）由题意得出方程组，解方程组即可； （3）分两种情况进行讨论，由题意分别得出方程，解方程即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 解得：； （2）解：∵点的速度是点速度的倍， 设点的速度为每秒个单位，则点的速度为每秒个单位， 依题意，， 解得：， 答：点的速度为每秒个单位，则点的速度为每秒个单位； （3）解：点所表示的数是；点所表示的数是； ， 当点到达点时，需要秒； 设经过秒钟，、两点相距个单位长度， 分情况讨论： ①点没有到达点， 当、没有相遇，、两点相距个单位长度时， 由题意得：， 解得：； 当、相遇后，、两点相距个单位长度时， 由题意得：， 解得：； ②点到达点后原速返回， 当点还没有追上点时， 由题意得：， 解得：； 当点超过点时， 由题意得：， 解得：（不合题意，舍去）； 综上所述，经过秒或秒或秒钟，、两点相距个单位长度． 8．（24-25七年级上·广东深圳·期中）对于数轴上的，，三点，给出如下定义：若其中一个点与其它两个点的距离恰好满足2倍的数量关系，则称该点是其它两个点的“联盟点”，例如，如图1，数轴上点，，所表示的数分别为1，3，4，此时点是点，的“联盟点”．若点表示数，点表示数，且，满足，点为数轴上的一个动点，点对应的数为．    (1) ， ，点，点之间的距离是 ，的最小值是 ； (2)若点在点的右侧，且点是点，点的“联盟点”，求出此时点在数轴上对应的数； (3)若动点从点处以2个单位秒的速度向右运动，同时动点从点处以1个单位秒的速度向左运动，在相遇后，点立刻原速返回，且到达点后停止运动．设点运动的时间为秒，在整个运动过程中，当点是点，点的“联盟点”时，则 ． 【答案】(1)，，，6 (2)2或0或10 (3)，，， 【分析】本题考查了新定义，数轴上两点间的距离，以及一元一次方程的应用， （1）根据非负数的性质可求出m、n的值，点，点之间的距离即为，表示点到点和点的距离之和，当点在点和点之间时，可得最小值； （2）根据点P所处的位置分情况讨论，由不同的线段的倍数关系求出答案即可； （3）当点是点，点的“联盟点”时，则，，再分情况讨论，先分别表示点和点表示的数，再求出，，最后列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵，满足， ∴，， 解得：，， 点，点之间的距离为， 表示点到点和点的距离之和，当点在点和点之间时，有最小值为线段的长，即6， 故答案为：，4，6，6； （2）解：∵点在点的右侧，且点是点，点的“联盟点”， ∴分以下三种情况： 当点在点和点之间时， 若时，则，解得：； 若时，则，解得：； 当点在点的右侧时，则，即，解得：， ∴点在数轴上对应的数为2或0或10； （3）解：当相遇时，秒，此时运动路程， 当到达点时，秒， 点立刻原速返回，且到达点后停止运动时，秒， 当点是点，点的“联盟点”时，则，， 当时，即与相遇之前，点表示的数为，点表示的数为，则，， 各点位置如图：    若时，则，解得：，不合题意； 若时，则，解得：，符合题意； 当时，两点相遇之后，到达点之前， 此时，点立刻原速返回，点表示的数为，点表示的数为，则，， 各点位置如图：    若时，则，解得：，符合题意； 若时，则，解得：，符合题意； 当时，两点相遇之后，到达点之后，点停止之前， 此时，点表示的数为，点表示的数为，则，，， 各点位置如图：    ∴时，则，解得：，符合题意； 当时，到达点之后，点停止，此时点与点是同一个点，，不存在两倍关系， 综上所述，或或或． 故答案为：，，，． 考点三： 数轴动点中的中点问题 9．（23-24七年级上·四川乐山·期末）如图，数轴上有、、、四点，点是原点，， (1)写出数轴上点表示的数为　　　　　　． (2)动点P、Q分别从A、C同时出发，点P以每秒6个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，点Q以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，M为线段AP的中点，点N在线段CQ上，且CN=CQ．设运动时间为t(t>0)秒． ①直接写出数轴上点表示的数为　　　　　　，点表示的数为　　　　　　用含的式子表示． ②求当是多少秒时，原点恰为线段的中点． ③若动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，若、、三动点同时出发，当点遇到点后，立即返回以原速度向点运动，当点遇到点后，又立即返回以原速度向点运动，并不停地以原速度往返于点与点之间，当点与点重合时，点停止运动．问点从开始运动到停止运动，行驶的总路程是多少个单位长度？ 【答案】(1) (2)①，；②当秒时，恰为线段的中点；③点从开始运动到停止运动，行驶的总路程是个单位长度 【分析】此题主要考查了数轴，以及线段的计算，一元一次方程的应用，解决问题的关键是根据题意正确画出图形，要考虑全面各种情况，不要漏解． （1）根据已知条件求得的长度，即可写出点表示的数； （2）①根据题意画出图形，表示出，，再根据线段的中点定义可得，根据线段之间的和差关系进而可得到点M表示的数；根据可得，根据线段的和差关系可得到点表示的数； ②当在原点的左侧，根据题意得方程即可得到结论；当在原点的右侧，根据题意得方程即可得到结论； ③根据，，求得，于是得到点从开始运动到停止运动，行驶的总路程个单位长度． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵在左侧， ∴∴点A表示的数为：． 故答案为：． （2）①由题意得：，， 如图所示： 为中点， ， 在数轴上点表示的数是， 点在上，，， 在数轴上点表示的数是． ②原点恰为线段的中点时，点表示的数与点表示的数互为相反数， 即，解得： 当秒时，恰为线段的中点． ③，， ， 点从开始运动到停止运动，行驶的总路程个单位长度． 答：点从开始运动到停止运动，行驶的总路程是个单位长度． 10．（24-25七年级上·甘肃天水·期末）【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点，点表示的数分别为，，则，两点之间的距离，线段的中点表示的数为． 【问题情境】如图，数轴上点表示的数为，点表示的数为8，点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动．设运动时间为秒． 【综合运用】 (1)填空： ①，两点间的距离________，线段的中点表示的数为________； ②用含的代数式表示：秒后，点表示的数为________，点表示的数为________． (2)当为何值时，，两点相遇？写出相遇点所表示的数． (3)若点为的中点，点为的中点，点在运动过程中．线段的长度是否发生变化？若变化，请说明理由：若不变，请求出线段的长． 【答案】(1)①，；②， (2)当为2时，，两点相遇，相遇点所表示的数为4 (3)点在运动过程中，线段的长度不变，线段的长为5 【分析】本题考查了数轴上的动点问题，一元一次方程的应用，用含的代数式表示出点运动后表示的数是解题的关键． （1）①利用数轴上两点间的距离公式可求出的长，利用线段的中点表示的数，可求出线段的中点表示的数； ②根据点，的出发点、运动方向、运动速度及运动时间，即可用含的代数式表示出点，表示的数； （2）根据，两点相遇时两点表示的数相同，可列出关于的一元一次方程，解之可得出的值，再将其代入中，即可求出相遇点所表示的数； （3）当运动时间为秒时，点表示的数，点表示的数为，结合“点为的中点，点为的中点”，可得出点表示的数为，点表示的数为，再利用数轴上两点间的距离公式，可求出，进而可得出结论． 【详解】（1）解：①根据题意得：， 线段的中点表示的数为． 故答案为：，： ②秒后，点表示的数， 点表示的数为． 故答案为：，； （2）解：根据题意得：， 解得：， ∴． 故当为2时，，两点相遇，相遇点所表示的数为4； （3）解：当运动时间为秒时，点表示的数，点表示的数为， ∵点为的中点，点为的中点， ∴点表示的数为，点表示的数为， ∴， ∴点在运动过程中．线段的长度不变，线段的长为5． 11．（24-25七年级上·江苏苏州·期中）阅读材料：点，在数轴上分别表示有理数，，，两点之间的距离可表示为．例如：7与两数在数轴上所对应的两点之间的距离表示为，的几何意义是数轴上表示有理数的点与表示6的点之间的距离．这种数形结合的方法，可以用来解决一些问题．已知数轴上两点、对应的数分别为和2，数轴上另有一个点对应的数为有理数． (1)请根据阅读材料填空：点、之间的距离_____（用含的式子表示）；若该距离为4，则_____． (2)根据几何意义，解决下列问题： ①若，求点表示的有理数． ②的最小值是_____． (3)若将数轴折叠，使得1表示的点与表示的点重合，此时、两点也互相重合．若数轴上、两点之间的距离为2024（在的左侧），则两点表示的数分别是：：_____，：_____． 【答案】(1)；3或 (2)①或3；②3 (3)， 【分析】本题考查的是数轴上两点之间的距离，绝对值方程的含义，一元一次方程的应用，熟练的利用两点之间的距离公式进行解题是解本题的关键． （1）根据数轴上两点之间的距离求解即可； （2）①根据题意分，，三种情况讨论，然后分别化简求解即可； ②首先求出，然后得到表示x到的距离加上到2的距离，即的值，然后分情况讨论求解即可； （3）首先求出1和的中点是折叠点，设点M表示的数是m，点N表示的数是n，根据题意得到，表示出，然后代入进而求解即可． 【详解】（1）根据题意得，点、之间的距离； 若该距离为4， ∴ ∴或； （2）①由题意知，当时，， 解得，； 当时，，舍去； 当时，， 解得，； 综上所述，点表示的有理数为或3． ②∵数轴上两点、对应的数分别为和2， ∴ ∵表示x到的距离加上到2的距离，即的值 ∴当时， 当时， ∴当时， ∴的最小值是3； （3）数轴折叠，1表示的点与表示的点重合，则1和的中点是折叠点， 设点M表示的数是m，点N表示的数是n， ∴ ∴ ∵数轴上、两点之间的距离为2024 ∴ ∴ ∴ ∴． 12．（24-25七年级上·江苏扬州·阶段练习）如图1，数轴上的点表示数，点表示数，点在点的右侧，已知，，若动点、分别从点、处同时向右移动，点的速度为个单位长度秒，点的速度为个单位长度秒，设运动时间为秒．则： (1)当为何值时，、两点重合？ (2)当为何值时，、两点相距个单位长度？ (3)如图2，点是的中点，在点、同时间右移动的过程中，试判断的值是否为定值？并说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)是定值，理由见解析 【分析】本题考查了两点间的距离，一元一次方程的应用，整式的加减运算．熟练掌握两点间的距离公式，正确的列出方程和代数式，是解题的关键． （1）根据相遇时，点移动的距离等于点移动的距离加上的距离，列出方程即可； （2）表示出的距离，列出方程进行求解即可； （3）表示出，的距离，相减即可． 【详解】（1）∵， ∴， 由题意，得：， 解得：； （2）由题意，点表示的数为，点表示的数为， ∴， ∴或； （3）是定值，理由如下： ∵点表示的数为，为的中点， ∴表示的数为， ∴， ∵， ∴， ∴为定值． 考点四： 数轴动点中的翻折问题 13．（24-25七年级上·陕西西安·期中）已知点A，B在数轴上，A，B对应的数字为a，b，满足，点M从点A开始以2个单位长度/秒的速度向右移动，同时点N从点B开始以3个单位长度/秒的速度向右移动，移动时间为t秒 (1)__________，_________． (2)用含t的代数式表示点M对应的数为__________，点N对应的数__________． (3)数轴上有一点P．若将数轴沿着点A翻折后，点P对应的数为Q，点Q对应的数为．当点N到达点P时，立即向左返回；当点N到达点B时，点M，N同时停止移动．在移动过程中，请用含t的代数式表示点M与点N之间的距离． 【答案】(1)1；7 (2)； (3) 【分析】（1）根据非负数的性质可得，则可求出； （2）用点A表示的数加上点M运动的路程即为点M表示的数，用点B表示的数加上点N运动的路程即可求出点N表示的数； （3）先根据点P和点Q到折叠点A的距离相等求出点P表示的数，进而求出点N运动到点B的时间，以及点N回到点B的时间，然后分点N从B到P的运动过程和点N从P到B的运动过程，两种情况分别表示出点M和点N表示的数，再利用数轴上两点距离计算公式求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：1；7； （2）解：由（1）得，点A表示的数为1，点B表示的数为7， ∵点M从点A开始以2个单位长度/秒的速度向右移动，同时点N从点B开始以3个单位长度/秒的速度向右移动， ∴点M对应的数为，点N对应的数， 故答案为：；； （3）解：∵将数轴沿着点A翻折后，点P对应的数为Q，点Q对应的数为， ∴点P和点Q到点A的距离都为， ∴点P表示的数为， ∴点N运动到点P的时间为秒， ∴当点N运动到点B时的运动时间为秒； 当时，由（1）得点M对应的数为，点N对应的数， ∴； 当时，点M对应的数为，点N对应的数为， ∴； 综上所述，． 【点睛】本题主要考查了列代数式，整式的加减计算，数轴上两点距离计算，非负数的性质，熟知数轴上两点距离计算公式是解题的关键． 14．（24-25七年级上·山东济南·期中）数轴是一个非常重要的数学工具，它把数和数轴上的点建立了对应关系，形象地揭示了数与数轴上的点之间的内在联系，是数形结合的基础．翻折是初中数学重要的图形变化．请借助数轴，结合具体情境解答下列问题． 【问题情境】 如图，若数轴上表示的点与表示的点重合． 则表示的点与表示______的点重合； 若数轴上，两点之间的距离为（点在点的左侧），当，两点经折叠后重合，则点表示的数为______，点表示的数为______； 若点表示数，点经折叠后与点重合，则点表示的数是______； 【问题情境】 如图，一条数轴上有，，三点，其中点，表示的数分别是和，现以为折点，将数轴向右对折．若对折后点对应的点为，且点与点之间的距离为，求点表示的数． 【答案】【问题情境】；，；； 【问题情境】点表示的数为或． 【分析】【问题情境】根据数轴上表示的点与表示的点重合，则点与的距离和点与的距离相等，从而求解； 根据题意，数轴是绕数折叠，则点表示的数为左侧个单位，点表示的数为右侧个单位，然后由有理数加减运算即可； 分当在左侧时和当在右侧时两种情况分析即可； 【问题情境】分当落在点左边时，当落在点右边时两种情况分析即可； 本题考查了数轴及数轴上两点间的距离，有理数加法、减法、除法运算，熟练掌握知识点的应用及分类讨论思想是解题的关键． 【详解】解：1【问题情境】 ∵数轴上表示的点与表示的点重合， ∴表示的点与表示的点重合， 故答案为：； ∵数轴上，两点之间的距离为，数轴上表示的点与表示的点重合， ∴，， ∴点表示的数为，点表示的数为， 故答案为：，； ∵，数轴上表示的点与表示的点重合， ∴， 当在左侧时，则与的距离为， ∴点表示的数是； 当在右侧时，则与的距离为， ∴点表示的数是； 综上可知：点表示的数是， 故答案为：； 【问题情境】 当落在点左边时， ∵点与点之间的距离为， ∴点为表示的数为， ∴点表示的数， 当落在点右边时， ∵点与点之间的距离为， ∴点为表示的数为， ∴点表示的数， 综上可知：点表示的数为或． 15．（24-25七年级上·重庆石柱·期中）已知，、、三点在数轴上的位置如图所示，这三点对应的数分别、、，点为原点，如果，与是同类项，线段的中点是． (1)直接写出、、的值，则有：_______，_________，_______． (2)动点、分别从点、同时出发，点以每秒3个单位长度向右运动，点以每秒2个单位长度向左运动，运动时间为秒，当和相距5个单位长度时，求的值． (3)点、从各自的位置出发在数轴上运动，若点以每秒2个单位长度的速度向左运动，点以每秒4个单位长度的速度向右运动，在运动过程中，若将线段沿着原点向右翻折，使点落在数轴的正半轴上的点处，若线段和线段的其中一段为另一段的2倍，请求出这时点表示的数． 【答案】(1)；1；18 (2)或 (3) 【分析】（1）先根据，结合点A的位置，求出，根据同类项定义求出，根据线段的中点是，求出； （2）分两种情况：分别列出关于t的方程，解方程即可； （3）设运动时间为x秒，则x秒后，点A表示的数为，点表示的数为，点B表示的数为，分两种情况：当时，当时，分别列出方程求出结果即可． 【详解】（1）解：∵， ∴或， ∵点A在原点左侧， ∴， ∴， ∵与是同类项， ∴， ∴， ∵线段的中点是， ∴， ∴； （2）解：∵点以每秒3个单位长度向右运动，点以每秒2个单位长度向左运动，运动时间为秒， ∴点P表示的数为，点Q表示的数为， 根据题意得：或 解得：或， 即当和相距5个单位长度时，的值为或． （3）解：设运动时间为x秒，则x秒后，点A表示的数为，点表示的数为，点B表示的数为， 当时，， 解得：,（负数不符合题意舍去）， 此时点A表示的数为：； 当时，， 解得：，不符合题意舍去； 综上分析可知：线段和线段的其中一段为另一段的2倍时，点表示的数为． 【点睛】本题主要考查了绝对值的意义，数轴上两点间的距离，一元一次方程的应用，数轴上的动点问题，解题关键是熟练掌握数轴上两点间距离公式，注意进行分类讨论． 16．（24-25七年级上·辽宁鞍山·期中）数形结合在数学学习中至关重要．数学课上老师让同学们将数轴对折探究其中的数学问题． (1)如图1，第一小组的同学将数轴对折，使表示2的点与表示的点重合； ①对折后表示5的点与表示________的点重合； ②对折后表示m的点与表示________的点重合；（用含m的代数式表示） (2)如图2，第二小组的同学将数轴对折，使表示3的点与表示的点重合； ①对折后表示7的点与表示________的点重合； ②对折后数轴上的点A与点B重合（点A在点B的左侧），且点A与点B之间的距离为8，则点A表示的数为________，点B表示的数为________； (3)如图3，第三小组的同学将数轴对折，使数a表示的点C与数b表示的点D重合，经对折后数轴上的点E与点F重合（点E在点F的左侧），且点E和点F之间的距离为12，则点E表示的数为________，点F表示的数为________．（用含a，b的代数式表示） 【答案】(1)①，② (2)①，②，5； (3)， 【分析】本题考查了数轴、数轴上两点之间的距离，熟练掌握数轴上两个的点的中点为两点表示的数相加除以2是解题的关键． （1）①先求出对折点所表示的数，再根据数轴的定义即可得；②根据对折点，利用数轴的定义即可得； （2）①先求出对折点所表示的数，再根据数轴的定义建立方程，解方程即可得；②根据对折点，利用数轴的定义即可求得，两点表示的数； （3）利用，表示出对折点，再根据点和点之间的距离为20，利用数轴的定义即可表示出，． 【详解】（1）解：对折点为， ①对折后与表示5的点重合的点表示的数为； ②对折后与表示的点重合的点表示的数为， 故答案为：①，②； （2）对折点为， 对折后与表示7的点重合的点表示的数为； ②点与点之间的距离为8， 点与点到对折点的距离为， 点在点的左侧， 点表示的数为，点表示的数为， 故答案为：①；②；5； （3）使表示的点与表示的点重合， 对折点为， 点和点之间的距离为12， 点与点到对折点的距离为， 点表示的数为，点表示的数为， 故答案为：；． 考点五： 数轴动点中的相距问题 17．（24-25七年级上·江苏泰州·阶段练习）如图1，在数轴上有A，B两点，点A表示的数为4，点B在A点的左边，且，若有一动点P从数轴上点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，动点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿着数轴向右匀速运动．若点P，Q分别从A，B两点同时出发，设运动时间为t秒． (1)写出数轴上点B表示的数为________，P所表示的数为________（用含t的代数式表示）． (2)点P运动多少秒与Q相距3个单位长度？ (3)如图2，分别以和为边，在数轴上方作正方形和正方形，如图所示，求当t为何值时，两个正方形的重叠部分面积是正方形面积的一半？ 【答案】(1)； (2)3或5秒 (3)4.8或24 【分析】（1）根据两点间的距离可确定点表示的数，根据的运动规律可表示出点表示的数； （2）分别根据、两点的运动规律，用变量表示这两点所表示的数，求两点间距离即把右边点表示的数减去左边点表示的数，分情况列一次方程即可求得； （3）由点的运动到边的变化进而到正方形面积的变化，找到符合题意的运动位置画出图形进行分类讨论，由面积之间的关系列方程即可求得． 【详解】（1）解：点在点的左边，，点表示4， 点表示的数为， 动点从数轴上点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，则点表示的数为， 故答案为：；； （2）解：依题意得，点表示的数为，点表示的数为， 若点在点右侧时：， 解得：； 若点在点左侧时：， 解得：； 综上所述，点运动3秒或5秒时与相距3个单位长度； （3）解：如图1，均在线段上， 两正方形有重叠部分， 点在点的左侧， ， ， 重叠部分面积， 重叠部分的面积为正方形面积的一半， ， ∵， ， 解得：； 如图2，均在线段外， ， 重叠部分面积， ， ∵， ， 解得：， 故答案为：4.8或24． 【点睛】本题主要考查了数轴上求点表示的数及动点和由运动产生图形面积变化的题型，重点在于把握清楚运动的规律，善于想象抓住根本，善于运用数形结合思想是解题的关键． 18．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）【阅读材料】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美的结合，某数学兴趣小组探究数轴发现了一些重要的规律． 规律：如图，数轴上点表示的数为，点表示的数为，则、两点间的距离可表示为： ①（即用右边点表示的数减去左边点表示的数）； ②（即两点表示的数之差的绝对值）． 规律：数轴上、两点的中点表示的数为． 【简单应用】如图，若点在数轴上所对应的数为，点表示的数为． （1）、两点间的距离_____，、两点的中点表示的数为_____； （2）若点是数轴上一点，且、两点间的距离，则点表示的数为_____； 【拓展运用】如图，已知数轴上有、两点，分别表示的数为与，点、分别从点、同时出发，沿数轴正方向运动，点的运动速度为个单位长度秒，点的运动速度为个单位长度秒，设运动时间为秒．请问、两点经过多少秒会相距个单位长度？ 【答案】【简单应用】（1）；（2）或；【拓展运用】第秒、第秒时、两点相距个单位长度 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用，并结合题意求得对应点的位置和中点位置， 简单应用： （1）根据题目给定的距离及中点公式即可求得； （2）利用点与点的位置关系或两点表示的数之差的绝对值即可求得答案； 拓展运用:结合运动方式写出点和点在秒后所在位置的点表示的数，结合题目所给中点表示方法即可解得答案；根据相遇前与相遇后的等量关系分类讨论列一元一次方程，解方程即可． 【详解】解：简单应用：（1）∵点在数轴上所对应的数为，点表示的数为， ∴， 、两点的中点表示的数为． 故答案为：， （2）∵若、两点间的距离，点在数轴上所对应的数为， 当点在点左边时，则点的为：， 当点在点右边时，则点的为：， 故答案为：， 拓展运用: 点运动秒后所在位置的点表示的数为：， 点运动秒后所在位置的点表示的数为：， 设它们按上述方式运动，、两点经过秒会相距个单位长度， 当点在点左侧时： 解得； 当点在点右侧时： 解得； 答：它们按上述方式运动，、两点经过秒或秒会相距个单位长度． 19．（24-25七年级上·辽宁大连·期末）【问题背景】 大美瓦房店，瓦房店滨海路上风景怡人．在滨海路上和两地之间相距大约5千米，大明骑电动车从地出发，以1千米/分钟的速度向地方向匀速行驶：笑笑骑自行车从地出发，以0.5千米/分钟的速度向地方向匀速行驶．两人同时出发，经过几分钟大明、笑笑之间相距1千米？    【问题解决】 小美同学在学习了《有理数》之后，发现运用数形结合的方法建立数轴可以较快地解决上述问题：如图1，将滨海路抽象为一条数轴，将点与数轴的原点重合，点表示数5．大明和笑笑分别用动点、来表示，设运动的时间为分钟． （1）分钟后点在数轴上对应的数是_____，点对应的数是_____；（用含的代数式表示） （2）我们知道，如果数轴上，两点分别对应数，，则．试运用该方法求经过几分钟，之间相距1千米？ 【拓展应用】 （3）如图2，点，，为数轴上三点；若点表示的数是，点表示的数是40，点表示数是25，现有两个动点、分别从点，同时开始在线段上运动，点以每分钟2个单位长度的速度向右运动，点以每分钟1个单位长度的速度向左运动，若点与点之间的距离为，点与点之间的距离为.在运动过程中，是否存在某一时刻，使得？若存在，请求出运动的时间；若不存在，请说明理由． 【答案】（1），；（2）当或时，，之间相距1千米；（3）存在，当或时，使得 【分析】本题考查数轴上动点问题，涉及数轴上两点之间距离求法、绝对值意义、解一元一次方程等知识，数形结合列式求解是解决问题的关键． （1）根据题意，列代数式即可得到答案； （2）由题意，数形结合，由数轴上两点之间距离求法，得到，结合绝对值意义，解一元一次方程即可得到答案； （3）由题意，数形结合，由数轴上两点之间距离求法，得到，从而得到，结合绝对值意义，解一元一次方程即可得到答案． 【详解】解：（1）依据题意得，分钟后点对应的数是，点对应的数是， 故答案为：，； （2）由题意得：， 解得：或， 当或时，，之间相距1千米， （3）存在某一时刻，使得， 理由如下： ， ，， 由题意得：， 解得：或， 存在，当或时，． 20．（24-25七年级上·江西吉安·期中）【阅读材料】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美的结合，某数学兴趣小组探究数轴发现了一些重要的规律． 规律1：如图1，数轴上点表示的数为，点表示的数为，则、两点间的距离可表示为： ①（即用右边点表示的数减去左边点表示的数）； ②（即两点表示的数之差的绝对值）． 规律2：数轴上、两点的中点表示的数为． 【简单应用】如图1，点在数轴上所对应的数为，点表示的数为4，是数轴上一动点． （1）则、两点间的距离________，、两点的中点表示的数为________． （2）若、两点间的距离，则点表示的数为________． 【拓展运用】如图2，已知数轴上有、两点，分别表示的数为，8，点以每秒2个单位的速度沿数轴向右匀速运动，同时点以每秒3个单位向左匀速运动，设运动时间秒（）． （3）用含的式子填空： 点运动秒后所在位置的点表示的数为________；（用含的式子填空） 点运动秒后所在位置的点表示的数为________；（用含的式子填空） 此时、两点的中点表示的数为________．（用含的式子填空） （4）按上述方式运动，、两点经过多少秒会相遇？经过多少秒相距5个单位长度？ 【答案】（1）9，；（2）或；（3），，；（4）经过4秒会相遇；A、B两点经过3秒或5秒会相距5个单位长度． 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用，并结合题意求得对应点的位置和中点位置， （1）根据题目给定的距离公式即可求得； （2）利用点P与点A的位置关系或两点表示的数之差的绝对值即可求得答案； （3）点A以每秒2个单位的速度沿数轴向右匀速运动，点B以每秒3个单位向左匀速运动即可写出点A和点B在t秒后所在位置的点表示的数，结合题目所给中点表示方法即可解得答案； （4）根据相遇的时候两个点表示的数一样列出方程求解即可；根据相遇前与相遇后的等量关系分类讨论列一元一次方程，解方程即可． 【详解】解：（1）∵点A在数轴上所对应的数为，点B表示的数为4， ∴， 点M在数轴上所对应的数为． 故答案为：9，； （2）∵若A、P两点间的距离，点A在数轴上所对应的数为， 当P点在A点左边时，则P点的为：， 当P点在A点右边时，则P点的为：， ∴点表示的数为或， 故答案为：或； （3）点A运动t秒后所在位置的点表示的数为：， 点B运动t秒后所在位置的点表示的数为：， 此时A、B两点的中点M表示的数为：． 故答案为：，，； （4）当时， 解得：， ∴经过4秒会相遇； 设它们按上述方式运动，A、B两点经过t秒会相距5个单位长度， 当点A在点B左侧时： 解得； 当点A在点B右侧时： 解得； 答：它们按上述方式运动，A、B两点经过3秒或5秒会相距5个单位长度． 考点六： 数轴动点中的和差倍分问题 21．（24-25七年级上·辽宁大连·期末）【新知理解】 我们规定：对于数轴上不同的三个点，若点到点的距离恰好为点到点的距离的（为正整数）倍时，即，则称点是“的阶巧分点”． （1）数轴上点，点表示的数分别为． ①线段的长为______； ②若点是“的3阶巧分点”，则点表示的数为______； 【解决问题】 （2）在（1）的条件下，点在之间运动，且不与两点重合，作“的2阶巧分点”，记为，作“的4阶巧分点”，记为，且满足分别在线段和上．当点运动时，求的值． 【拓展应用】 （3）数轴上两点表示的数分别为，点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右运动，点从点出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左运动，作“的1阶巧分点”，记为，作“的3阶巧分点”，记为．两点同时出发，设运动时间为，若，直接写出的值． 【答案】（1）①8； ②1 和7； （2）； （3）或或或． 【分析】（1）①利用两点之间的距离公式进行计算即可，计算距离时需注意符号，避免直接相减导致错误； ②设点表示的数为，则：，注意解绝对值方程时需分情况讨论，并验证解的合理性； （2）设点表示的数为，根据巧分点定义表示和，进一步列出即可； （3）设运动时间为秒，点和点分别为：，进一步根据列出方程求解即可． 【详解】解：（1）①已知点和点在数轴上分别表示的数为和，则线段的长度为：   , 故答案为：． ②点 是“的 3 阶巧分点”，即满足， 设点表示的数为，则： ， 分情况讨论：   1.当： 时，，解得， 2.当：时，，解得， 因此点表示的数为：1 和7． 故答案为：1 和7． （2）设点表示的数为，根据巧分点定义： 是的 2 阶巧分点，其表示的数为： ， 是的 4 阶巧分点，其表示的数为：， 所以， 继续化简得：， 分别在线段和上，当时，结果为：， 所以． （3）设运动时间为 秒，点和点分别为：， 当在间，在间时； 是的 1 阶巧分点（中点），其表示的数为：， 是的 3 阶巧分点，需满足，解得表示的数为：， 根据条件，其中，故：，   解得：或， 同理当在间，在外时； ，， 则， 解得：或， 综上，或或或． 【点睛】本题是新定义问题，考查了数轴上两点间的距离，一元一次方程的应用，解题的关键是根据两点间的距离来解决问题，涉及分类讨论，动点问题，线段的关系，难度较大． 22．（24-25七年级上·广西柳州·期中）点A 、B 在数轴上分别表示有理数a ，b ，A 、B 两点之间的距离表示为，在数轴上A 、B 两点之间的距离．利用数形结合思想回答下列问题： (1)和2之间的距离为 ； (2)若x与2的距离为3，则x的值为 ； (3)若成立，则满足条件的所有整数x为 ； (4)假设，，有一点P由原点O开始以每秒1的速度向右运动，请你求出运动时间t是多少秒时，（点P到点A的距离是点P到点B的距离的2 倍） 【答案】(1)3 (2)或5 (3)或0或1或2 (4)或 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离，绝对值的意义，有理数的加减运算，一元一次方程的应用，解题的关键是掌握以上知识点． （1）根据数轴上两点之间的距离公式列式求解即可； （2）分x在2左边和x在2右边两种情况讨论，然后分别列式求解即可； （3）首先得到表示x到2的距离加上x到的距离等于3，然后结合（1）得到x在和2之间，进而求解即可； （4）首先得到点P表示的数为t，然后表示出，，然后根据列方程求解即可． 【详解】（1）解： ∴和2之间的距离为3； （2）解：若x与2的距离为3， ∴当x在2左边时，； 当x在2右边时，； （3）解：表示x到2的距离加上x到的距离等于3 ∵由（1）可得，和2之间的距离为3 ∴当x在和2之间时， ∴满足条件的所有整数x为或0或1或2； （4）解：根据题意得，点P表示的数为t ∵，，有一点P由原点O开始以每秒1的速度向右运动， ∴， ∵ ∴ ∴或 解得或． 23．（24-25七年级上·四川成都·期末）点分别在数轴原点的两侧，，点对应的数是． (1)求点对应的数； (2)若点为数轴上一动点，其对应的数为，是否存在点，使得，若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由； (3)若点分别从点同时出发，沿数轴向右匀速运动，点的速度为每秒4个单位长度，点的速度为每秒1个单位长度，点到达点后立即沿数轴返回，并保持原来速度匀速运动．若运动秒时，点将线段分成的两部分，求的值． 【答案】(1)点B对应的数是16； (2)存在，或 (3)的值为或或或． 【分析】本题考查一元一次方程的应用，数轴上两点的距离，掌握一元一次方程的应用是解题的关键． （1）根据题意知，根据，得到，即可解答； （2）由题意可知，，根据，列式求解即可； （3）由题意可知：，得到点P从点A到点B所用的时间，Ⅰ．当点P由点A向点B运动，即时，动点P对应的数为，动点Q对应的数为t，此时点P将线段分成的两部分应分两种情况，Ⅱ．当点P由点B返回点A运动，即时，动点P对应的数为，动点Q对应的数为t，此时点P将线段分成的两部分应分两种情况，列式求解即可． 【详解】（1）解：∵点A对应的数是， ∴， ∵， ∴， ∴点B对应的数是16； （2）解：存在，或． 由题意可知：，， ∵， ∴， 解得或； （3）解：由题意可知：， ∴点P从点A到点B所用的时间秒， Ⅰ．当点P由点A向点B运动，即时， 动点P对应的数为，动点Q对应的数为t， 此时点P将线段分成的两部分应分两种情况： ①当时，， 解得； ②当时，， 解得； Ⅱ．当点P由点B返回点A运动，即时， 动点P对应的数为，动点Q对应的数为t， 此时点P将线段分成的两部分应分两种情况： ③当时，， 解得； ④当时，， 解得； 综上所述，的值为或或或． 24．（24-25七年级上·重庆江津·期中）若点A在数轴上对应的数为a，点B在数轴上对应的数为b，我们把A、B两点之间的距离表示为，A在原点的右边与原点的距离为1，b为多项式的二次项系数 (1)______；______；线段的长_____； (2)点C在数轴上对应的数是c，且c与b互为相反数，在数轴上是否存在点P，使得？若存在，求出点P对应的数；若不存在，请说明理由； (3)在（1）、（2）的条件下，点A、B、C开始在数轴上运动，若点B以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时点A和点C分别以每秒4个单位长度和9个单位长度的速度向右运动，t秒钟后，若点A和点C之间的距离表示为，点A和点B之间的距离表示为，那么的值是否随着时间t的变化而变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出的值． 【答案】(1)1，，3 (2)存在，或 (3)不变，2 【分析】本题主要考查了数轴上两点之间的距离，数轴上的点表示有理数，多项式， （1）根据点A在数轴上的位置得出a，再根据多项式的系数得出b，然后根据数轴上两点之间的距离得出线段； （2）设点P对应的数为y，再分三种情况根据列出方程，可得答案； （3）根据点A，B，C运动的情况可表示，即可得出的值. 【详解】（1）解：因为点A在原点的右边与原点的距离是1，b为多项式的二次项系数， 所以， 线段的长， 故答案为：1；；3； （2）解：因为， 所以， 设设点P对应的数为y，可得下图： 点P在点A右侧时，不存在P点； 点P在点B的左侧时，， 解得：； 当点P在点A，B之间时， ， 解得. 综上点P对应的数是或； （3）解：的值不随着时间t的变化而变化，理由如下： ∵t秒钟后，若点A和点C之间的距离表示为，点A和点B之间的距离表示为， ∴t秒后，点A的位置是，点B的位置为，点C的位置为， ∴， ∴， ∴的值不随着时间t的变化而变化． 25．（24-25七年级上·陕西西安·阶段练习）如图，已知数轴上有两点，点表示的数是，点表示的数是，动点分别从两点同时出发，在数轴上匀速相向而行，它们的速度分别为个单位长度/秒、个单位长度/秒，设运动时间为． (1)当时，点对应的数是______，点对应的数是______； (2)当为何值时，两点之间相距个单位长度； (3)当时，若线段和线段同时以个单位长度/秒的速度同时相向匀速运动，是否存在某一时刻使得？若存在，求出此时的距离和运动时间，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)当或时，两点之间相距个单位长度 (3)当时，线段和线段同时以个单位长度/秒的速度同时相向匀速运动，第和第时，，此时的距离为和，运动时间为和 【分析】（1）根据运算速度与时间即可得到点表示的数； （2）分别用含的式子表示点的数，根据两点之间距离的计算方法，分类讨论：当点在点的左边时，；当点在点的右边时，；解方程即可求解； （3）分别用含的式子表示点的数，根据两点之间距离的计算方法，分类讨论：第一种情况，如图所示，线段在线段左边；第二种情况，如图所示，线段在线段上；第三种情况，如图所示，线段与线段部分重叠或线段在线段右边时；根据数量关系列出方程求解即可． 【详解】（1）解：点表示的数是，点表示的数是，动点分别从两点同时出发，在数轴上匀速相向而行，速度分别为个单位长度/秒、个单位长度/秒， ∴当时，点对应的数是，点对应的数是， 故答案为：，； （2）解：点表示的数为，点表示的数为， 当点在点的左边时，， 解得，； 当点在点的右边时，， 解得，； 综上所述，当或时，两点之间相距个单位长度； （3）解：当时，点表示的数为，点表示的数为， ∴，， 设线段和线段同时以个单位长度/秒的速度同时相向匀速运动的时间为， ∴ 点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为， 第一种情况，如图所示，线段在线段左边， ∴，， ∴， 解得，， ∴此时点表示的数为，点表示的数为， ∴， ∴运动时间为； 第二种情况，如图所示，线段在线段上， ∴，， ∴，不符合题意； 第三种情况，如图所示，线段与线段部分重叠或线段 在线段右边时， ∴，， ∴， 解得，， ∴此时点表示的数为，点表示的数为， ∴， ∴； 综上所述，当时，线段和线段同时以个单位长度/秒的速度同时相向匀速运动，第和第时，，此时的距离为和，运动时间为和． 【点睛】本题主要考查数轴上的点表示有理数，数轴上两点之间距离的计算，一元一次方程与几何问题，数轴上动点问题的综合，掌握数轴的特点，根据数轴上两点之间距离得到数量关系列方程是解题的关键． 考点七： 数轴动点中的定值问题 26．（24-25七年级上·湖北武汉·期末）、为数轴上的两个点，点对应的数记为，点对应的数记为，且，满足．解答下列问题： (1)___________，___________； (2)若数轴上点满足，求点对应的数； (3)点，点，点是数轴上的动点，点从点出发，沿数轴以5个单位/秒的速度向右运动，点从点出发，以3个单位/秒的速度沿数轴向右移动，同时点从点出发，沿数轴以1个单位/秒的速度向左移动，设运动时间为，在三个点移动的过程中，或是否会是定值．若会，请求的取值范围；若不会，请说明理由． 【答案】(1)，12 (2)7或22 (3)当时，为定值；当时，为定值．理由见解析． 【分析】本题主要考查了非负数的性质，一元一次方程的应用，数轴等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）根据非负数的性质即可得解； （2）分两种情况，点在上或在的延长线上，表示出和，再建立方程求解即可； （3）先用表示出点Q，M，N，进而表示出和，再代入得出关系式，分类讨论求解即可． 【详解】（1）解：由题意可知：，， 解得：， 故答案为：，12； （2）解：法一：设点表示的数为，分两种情况： ①当点在线段上时， ， 解得； ②当点在线段的延长线上时， ， 解得． 综上所述，点表示的数为7或22． 法二：设点表示的数为，由题意得： 或 综上所述，点表示的数为7或22． （3）解：由题意得： 点表示的数为点表示的数为点表示的数为， ， ①当时，， 此时为定值， 不为定值， ②当时，， 此时，为定值， 不为定值， 答：当时，为定值；当时，为定值． 27．（24-25七年级上·江苏扬州·期中）课本P52页习题8，我们曾探究过，如果数轴上点表示数，点表示数，线段的长表示为．当点为线段中点时，即时，点表示的数为．请同学们借助以上结论，解决下面问题： 如图，在数轴上的点表示数，点表示数5．若在原点处放一挡板，一动点从点处以2个单位／秒的速度向左运动；同时另一个动点从点处以3个单位／秒的速度也向左运动，在碰到挡板后以原来的速度向相反的方向运动，回到点后，两动点均停止运动，运动结束．假设运动的时间为（秒）． (1)动点表示的数为______； 当时，动点表示的数为______； 当时，动点表示的数为______；（用含的代数式表示） (2)当是线段中点时，求时间的值； (3)分别取和的中点，； ①当时，求时间的值； ②试判断是否存在常数，使得的值是定值，若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1)，， (2) (3)①或②存在， 【分析】本题考查数轴上的动点问题，一元一次方程的应用，整式加减中的无关型问题： （1）根据两点间的距离公式结合数轴上的动点，左移减，右移加，列出代数式即可； （2）分和两种情况，结合两点间的距离公式，列出方程进行求解即可； （3）分和两种情况，根据的值是定值，得到整式的值与的值无关，进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意，点表示的数为：， 当时，动点表示的数为， 当时，动点表示的数为； 故答案为：，，； （2）①当时，，解得：； ②当时，，解得：（舍去）； 故． （3）①由题意，点表示的数为：， 当时，点表示的数为：， 则：，解得：或（舍去）； 当时，点表示的数为：， 则：，解得：或（舍去）； 综上：或； ②存在： 由题意，得：， 当时，，， ∴， ∴当时，为定值； 当，，， ∴， ∴当时，为定值； 综上：当时，的值是定值． 28．（24-25七年级上·湖北十堰·期末）数轴上点A、B对应的数分别为a、b，多项式的二次项系数为a，常数项为b． (1)求线段的长． (2)如图，点P，Q分别从点A，B同时出发沿数轴向右运动，点P的速度是每秒3个单位长度，点Q的速度是每秒4个单位长度，当时，求此时点P对应的数． (3)在（2）的条件下，点M从原点与点P，Q同时出发沿数轴向右运动，速度是每秒x个单位长度，在运动过程中，是否存在x，使得为定值？若存在，求出此时x的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)40 (2)8或104 (3)存在， 【分析】此题主要考查了一元一次方程的应用，多项式，数轴，找到题目的等量关系是解本题的关键． （1）根据多项式的定义可求a，b，再根据两点间的距离公式即可得出结论； （2）利用两点间的距离公式求得的长度，然后结合题意列出方程并解答； （3）根据题意得到，根据结果与t无关，得到关于x的方程，解方程即可求解． 【详解】（1）解：∵多项式的二次项系数为a，常数项为b ∴， ∴， （2）解：当点P位于点B左边时，． 由，得， 解得， 此时点P对应的数为8， 当点P位于点B右边时，， 由，得， 解得 此时点P对应的数为104． 综上所述，点P对应的数为8或104； （3）由题意得：点P表示的数为，点M表示的数为，点Q表示的数为， ∴， ， ， ， 当时，， 此时解得，且满足． 故当时，为定值8． 29．（24-25七年级上·福建福州·期中）如图，数轴上一个点从原点出发，先向左移动5个单位长度到达A点，再向右移动12单位长度到达B点，点，点在数轴上，把一根木棒放置在数轴上，它的端点分别落在点，点处，将木棒在数轴上移动，当点移动到点处时，点落在点处，当点移动到点处时，点落在点处．    (1)请你直接写出点，，，所表示的数：点表示的数为______，点表示的数为______，点表示的数为______，点表示的数为______； (2)若木棒从处（端点分别落在点，点上）出发以每秒个单位长度向右移动，同时点和点分别从点，点出发，各以每秒1个单位长度和每秒2个单位长度的速度向左和向右移动，设移动的时间为秒． ①点，之间的距离用表示，当为个单位长度，求的值； ②点，之间的距离用表示，点，之间的距离用表示，请问是否存在常数使得的值为定值？若存在，请求出常数和这个定值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，7，，3； (2)①t的值为1，；②存在，，定值为2 【分析】本题考查的是数轴上动点问题，数轴上两点之间的距离，绝对值方程的解法，一元一次方程的应用，掌握数轴上点运动后对应的数的表示规律，两点间的距离，分类讨论是解题的关键． （1）由数轴上的点的移动规律，左减右加，从而可得答案； （2）①用表示点为，根据两点间距离列出等式，即可求得值； ②分别用表示点、和，然后列出等式，即可求解； 【详解】（1）解：，，， ，， ∴点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，故答案为：，，，； （2）点表示的数为：，则：， 解得： 或； ②点表示的数为：，点表示的数为：，点表示的数为：， ， ∴， 要是为定值，需要，解得：， 此时：. 30．（24-25七年级上·四川南充·期中）已知：如图数轴上有A、B、C三点，点A和点B间距20个单位长度且点A、B表示的有理数互为相反数，，数轴上有一动点P从点A出发，以2个单位/秒的速度向右沿数轴运动，动点Q从点C 出发，以3个单位/秒的速度向左运动，设运动时间为t秒． (1)点A 表示的有理数是 ，点C 表示的有理数是 ； (2)求经过多少秒，P、Q两点之间相距10个单位长度? (3)若点A、点B 和点C与点P同时在数轴上运动，点A以1个单位/秒的速度向左运动，点B 和点C分别以3个单位/秒和4个单位/秒的速度向右运动，是否存在常数m，使得为一个定值，若存在，请求出m的值以及这个定值； 若不存在，请说明理由． 【答案】(1)；30 (2)当经过秒或10秒时，P、Q两点之间相距10个单位长度 (3)；这个定值为 【分析】（1）设点B表示的数为x，则点A表示的数为，根据两点之间的距离可得，求出解即可，然后根据，可知点C表示的有理数，最后根据动点P从点A出发，以2个单位长度/秒的速度向右沿数轴运动，运动时间为t秒，可得点P表示的数； （2）分两种情况：当点P在点Q左边时和当点P在点Q右边时，分别列出方程，求出解即可； （3）分别表示出，再根据等于，结合题意求出答案即可． 【详解】（1）解：设点B表示的数为x，则点A表示的数为， ∵点A和点B间距20个单位长度， ∴， 解得：， ∴点A表示的有理数是，点B表示的有理数是10． ∵， ∴点C表示的有理数是． （2）解：∵动点P从点A出发，以2个单位长度/秒的速度向右沿数轴运动，运动时间为t秒，点Q从点C 出发，以3个单位/秒的速度向左运动， ∴点P表示的数是，点Q表示的数为， 当点P在点Q左边时，， 整理得：， 解得：； 当点P在点Q右边时，， 整理得：， 解得， ∴当经过秒或10秒时，P、Q两点之间相距10个单位长度. （3）解：存在常数m，使得为一个定值．理由如下： 由题意可知，点A表示的数为，点B表示的数为，点C表示的数为， ∴， ， ， ∴ ， ∵要使得为一个定值， ∴， 解得， ∴， ∴，这个定值为． 【点睛】本题主要考查了数轴上的点表示有理数，数轴上两点之间的距离，相反数，数轴上的动点问题，弄清并表示线段的长，是解题的关键． 考点八： 数轴动点中的折返问题 31．（24-25七年级上·福建福州·期中）数轴上点A，B对应的数分别是和10，点P以每秒2个单位的速度从点A出发向右运动，同时，点Q以每秒3个单位的速度从点B出发向左运动，当点Q到达点A后立即折返向右运动，设运动时间为t秒． (1)当点P和点Q第一次相遇时，求t的值； (2)当时，求点P到点Q的距离； (3)在整个运动过程中，当t为多少时，P，Q两点间的距离为2？请直接写出t的值． 【答案】(1)点P与点Q第一次相遇时t的值为3 (2)9 (3)或或13或17 【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及数轴上两点之间的距离． （1）利用路程速度时间，结合点P和点Q第一次相遇时的路程之和为15，可列出关于t的一元一次方程，解之即可得出结论； （2）利用时间路程速度，可求出点Q到达点A所需时间，找出当时点P，Q表示的数，再利用数轴上两点间的距离公式，即可求出此时点P到点Q的距离； （3）当时，点P表示的数为，点Q表示的数为，根据P，Q两点间的距离为2，可列出关于t的含绝对值符号的一元一次方程，解之即可得出结论；当时，点P表示的数为，点Q表示的数为，根据P，Q两点间的距离为2，可列出关于t的含绝对值符号的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：根据题意得：， 解得：， ∴当点P和点Q第一次相遇时，t的值为3； （2）解：（秒）， 当时，点P表示的数为，点Q表示的数为， ∴， ∴当时，点P到点Q的距离为9； （3）解：当时，点P表示的数为，点Q表示的数为， ∴， 即或， 解得：或； 当时，点P表示的数为，点Q表示的数为， ∴， 即或， 解得或． 综上所述，在整个运动过程中，当t为或或13或17时，P，Q两点间的距离为2． 32．（24-25七年级上·四川成都·期中）“阳光向上，跑动青春”，为营造阳光运动的校园氛围，培养学生热爱体育、崇尚运动的健康观念和良好习惯，学校利用课间进行趣味跑操活动，其中有两名学生课间在操场上沿着直线进行折返跑，往返一次；将这条直线看成数轴，起点记为M，折返点记为N，主席台记为点O，两位同学分别记为点P，Q；若动点P、Q从M点同时出发向N点运动，到达N点后折返到M点； 已知：数轴上点M、N对应的数分别为m、n，且满足． (1)直接写出m、n的值； (2)设点P在数轴上对应的数为x，那么当x为多少时能使得？ (3)已知点P的速度为3个单位长度/秒，点Q的速度为2个单位长度/秒，当动点P到达点N后，点Q开始改变速度，以a个单位长度/秒继续折返跑，4秒后，P、Q两点相距2个单位长度，求a的值． 【答案】(1)； (2)当或时， (3)或或或 【分析】（1）根据非负数的性质求出m、n的值即可； （2）根据，结合两点间距离公式得出，分情况讨论，求出结果即可； （3）分四种情况讨论：当点Q向点N运动时，点P在点Q右侧：当点Q向点N运动时，点P在点Q左侧：当点Q到达点N后，向点M运动时，点P在点Q左侧：当点Q到达点N后，向点M运动时，点P在点Q右侧，分别列出方程，进行求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，， 解得：，； （2）解：∵点P在数轴上对应的数为x，， ∴根据两点间距离公式可得：， 当时，，解得：； 当时，，此方程无解； 当时，，解得：； ∴当或时，． （3）解：当点P到达点N时，需要的时间为： （秒）， 此时点Q到达， 当点Q向点N运动时，点P在点Q右侧： ， 解得：； 当点Q向点N运动时，点P在点Q左侧： ， 解得：； 当点Q到达点N后，向点M运动时，点P在点Q左侧： ， 解得：； 当点Q到达点N后，向点M运动时，点P在点Q右侧： ， 解得： 综上分析可知：当或或或时，4秒后，P、Q两点相距2个单位长度． 【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，数轴上两点间距离，绝对值意义，解题的关键是熟练掌握数轴上两点间距离，注意进行分类讨论． 33．（24-25七年级上·湖北武汉·阶段练习）数轴上，，所对应的点分别为点，点，点．若点到点的距离表示为，点到点的距离表示为，我们有，． (1)点、点，点在数轴上分别对应的数为，6，．且，直接写出的值____． (2)在（1）的条件下，两只电子蚂蚁甲乙分别从，两点出发向右运动，甲的速度为4个单位每秒，乙的速度为1个单位每秒，求经过几秒，两只电子蚂蚁到原点的距离相等． (3)在（1）（2）的条件下，电子蚂蚁乙运动到点后立即以原速返回，到达自己的出发点后停止运动，电子蚂蚁甲运动到点后也以原速返回，到达自己的出发点后又折返向点运动，当电子蚂蚁乙停止运动时，电子蚂蚁甲随之停止运动，求运动多长时间时，两只蚂蚁相遇． 【答案】(1) (2)秒或秒 (3)秒或3秒或7秒或秒 【分析】本题主要考查了数轴上两点距离计算，一元一次方程的应用： （1）根据数轴上两点距离计算公式求出，则可求出，进而可得； （2）设运动时间为t秒，则甲表示的数为，乙表示的数为，根据题意可得方程，解方程即可得到答案； （3）设乙蚂蚁的运动时间为m秒，先求出乙蚂蚁的运动总时间为10秒，再分当时，当时，当时，当时，四种情况分别求出甲和乙表示的数，进而建立方程求解即可． 【详解】（1）解：∵点、点在数轴上分别对应的数为，6， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：设运动时间为t秒， ∵点A表示的数为，点C表示的数为1，两只电子蚂蚁甲乙分别从，两点出发向右运动，甲的速度为4个单位每秒，乙的速度为1个单位每秒， ∴运动t秒后，甲表示的数为，乙表示的数为， ∵两只电子蚂蚁到原点的距离相等， ∴， ∴或， 解得或， ∴经过秒或秒，两只电子蚂蚁到原点的距离相等； （3）解：设乙蚂蚁的运动时间为m秒， ∵秒 ∴乙蚂蚁的运动总时间为10秒， 当时，甲表示的数为，乙表示的数为，则，解得； 当时，甲表示的数为，乙表示的数为，则，解得； 当时，甲表示的数为，乙表示的数为，则，解得； 当时，甲表示的数为，乙表示的数为，则，解得； 综上所述，运动秒或3秒或7秒或秒时，两只蚂蚁相遇． 34．（23-24七年级上·湖北·期末）如图，A点在数轴上对应的有理数是24；动点M从原点O点出发以1单位/秒的速度向右运动，动点N从A点出发以2单位/秒的速度向左运动，两个动点同时出发，设运动时间为t秒． (1)请用含t的式子表示：动点M对应的数为__________，动点N对应的数为__________； (2)如果在运动过程中，M、N两点相距6个单位长，求t的值； (3)M、N在运动过程中，又有一动点p从原点O点开始以3单位/秒的速度向右运动（与M、N同时出发），当相遇点N时立即返回，返回途中遇到M点时又立即折返，如此往返，当M、N相遇时点p停止，此时点p一共运动了__________个单位长度． 【答案】(1)， (2)或10 (3)24 【分析】（1）利用速度乘以时间求出点表示的数，用点的路程，求出点对应的数即可； （2）根据两点间的距离公式，列出方程，进行求解即可； （3）求出M、N相遇时所用时间，利用点p的速度乘以时间，求出路程即可． 【详解】（1）解：由题意，得：点表示的数为：，点表示的数为：； 故答案为：， （2）、相遇前， 解得， 、相遇后， 解得， 综上或10． （3）相遇时：， 解得：， ∴点p一共运动了个单位长度． 故答案为：24． 【点睛】本题考查数轴上的动点问题，两点间的距离，列代数式，一元一次方程的实际应用．掌握两点间的距离公式，正确的列出代数式和方程，是解题的关键． 35．（24-25七年级上·浙江杭州·阶段练习）已知：数轴上点、、对应的数分别为、、，且满足， (1)求数________，________； (2)若动点、分别从、同时出发向右运动，点的速度为3个单位长度/秒；点的速度为个单位长度/秒，求经过多长时间，两点的距离为； (3)在（2）的条件下，若点运动至点处立刻以原速返回，折返至点后停止运动，点运动到点也以原速返回，当点停止运动点随之停止运动．求在整个运动过程中，两点，相遇时的点在数轴上表示的数． 【答案】(1) (2)当或时，，两点的距离为 (3)在整个运动过程中，两点，相遇时的点在数轴上表示的数为或 【分析】本题主要考查数轴与动点的关系，两点之间距离的计算，一元一次方程的综合， （1）根据绝对值、偶次幂的非负性即可求解； （2）根据题意，设运动时间为，分别用含的式子表示出点P，Q表示的数，根据点，两点的距离为列方程求解即可； （3）分类讨论：点与点在向右运动时的第一次相遇，点的路程等于点的路程加上，由此列式求解；点到达后返回时与点相遇；点都在返回的过程中相遇；根据行程问题中的数量关系列式求解即可． 【详解】（1）解：已知，， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：点表示的有理数是，点表示的有理数的是，点 从向右运动的速度为个单位每秒，点从向右的运动速度为个单位每秒，设运动时间为， ∴点表示的数为，点表示的数为， 当点在点的左边时，， 解得，； 当点在点的右边时，， 解得，； 综上所述，当或时，，两点的距离为； （3）解：点表示的有理数是， ∴，， ∴点从的时间为，从的时间也是，点从的时间为，从的时间为，且， ①点与点在向右运动时的第一次相遇，点的路程等于点的路程加上， ∴， 解得，， 此时表示的数为：； ②点到达后返回时与点相遇， ∴， 解得，， ∵，符合题意， ∴此时表示的数为； ③点都在返回的过程中相遇， 当到的时间为，此时点从表示的数为， ∴当时，假设点相遇， ∴， 解得，，不符合题意，舍去； 综上所述，在整个运动过程中，两点，相遇时的点在数轴上表示的数为或． 考点九： 数轴动点中的规律问题 36．（24-25七年级上·河北邢台·阶段练习）如图5，数轴上A，B两点所对应的数分别是a和b，且． (1)___________，___________，A，B两点之间的距离为___________； (2)有一动点M从点A出发，第一次向左运动1个单位长度，然后在新的位置第二次运动，向右运动2个单位长度，在此位置第三次运动，向左运动3个单位长度，在此位置第四次运动，向右运动4个单位长度…，按照如此规律不断地左右运动，当运动到2025次时，求点M所对应的有理数； (3)点P为数轴上一点，若点P到点B的距离是点P到点A的距离的2倍，请求出此时点P对应的有理数． 【答案】(1)，7，12 (2) (3)点P对应的有理数分别是和 【分析】本题考查数轴上的两点间的距离，数轴上的动点问题，有理数的加法运算，一元一次方程的应用． （1）根据非负性，求出a，b的值，两点间的距离公式求出A，B两点之间的距离即可； （2）设向左运动记为负数，向右运动记为正数，根据题意，列出算式进行计算即可； （3）设点P对应的数为x，分点P在点A的左侧，点P在点A和点B之间，点P在点B的右侧，三种情况，进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意得：，， 解得：，， ∴A，B两点之间的距离为， 故答案为：，7，12； （2）解：设向左运动记为负数，向右运动记为正数， ∴ ， 所以当运动到2025次时，求点M所对应的数为； （3）解：设点P对应的数为x， ①当点P在点A的左侧时：， 解得：， ②当点P在点A和点B之间时：， 解得：， ③当点P在点B的右侧时：， 解得：，这与点P在点B的右侧矛盾，故舍去， 综上所述，点P所对应的有理数分别是和． 37．（24-25七年级上·福建漳州·阶段练习）数学实验室：点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为，在数轴上A、B两点之间的距离． 利用数形结合思想回答下列问题： (1)数轴上表示x和的两点之间的距离表示为 ． (2)若x表示一个有理数，则的最小值 ． (3)在有些情况下，不需要计算出结果也能把绝对值符号去掉例如：，，，． 根据上面的规律，把下列各式写成去掉绝对值符号的形式（不要计算出结果）： ； ． ③计算：． 【答案】(1) (2) (3)①；②；③ 【分析】本题主要考查了数轴上两点距离计算，绝对值的几何意义，化简绝对值，有理数的加减计算，正确理解题意是解题的关键． （1）根据数轴上两点距离计算公式求解即可； （2）根据绝对值的几何意义可得，表示的是数轴上表示数x的点到表示数1的点和数的点的距离之和，据此结合数轴求解即可； （3）①②仿照题意去绝对值即可；③先仿照题意去绝对值，再计算加减法即可． 【详解】（1）解：由题意得，数轴上表示x和的两点之间的距离表示为； （2）解：由题意得，表示的是数轴上表示数x的点到表示数1的点和数的点的距离之和， ∴当时，有最小值，最小值为； （3）解：； ； ③ ． 38．（24-25七年级上·福建莆田·期中）【背景知识】 数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合，这种解决问题的思想叫做数形结合思想．研究数轴我们发现了许多重要的规律： ①若数轴上点A，点B表示的数分别为a，b， 若A，B位置不确定时，则A，B两点之间的距离为：； 若点A在B的右侧，即，则A，B两点之间的距离为：； ②线段的中点表示的数为， ③点A向右运动m个单位长度后，点A表示的数为：..， 点A向左运动m个单位长度后，点A表示的数为：． 同学们可以在数轴上取点验证上述规律，并完成下列问题． 【问题情境】 如图：在数轴上点A表示数，点B表示数1，点C表示数9，点A、点B和点C分别以每秒2个单位长度、1个单位长度和4个单位长度的速度在数轴上同时向左运动，设运动时间为t秒， 请利用上述结论，结合数轴，完成下列问题： (1)表示点A到点B之间的距离，运动之前，的距离为_______； (2)A点与C点的中点为D，则点D表示的数为_______；运动t秒后，点A表示的数为_______（用含t的式子表示）； (3)若t秒钟过后，A，B，C三点中恰有一点为另外两点的中点，求t值． 【答案】(1)4 (2)3； (3)16或1或4 【分析】本题考查了一元一次方程的应用和数轴，解题的关键是掌握点的移动与点所表示的数之间的关系，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解． （1）根据数轴两点间的距离，即可求解； （2）根据数轴两点间的距离，即可求解； （3）根据题意得：t秒钟过后，点A表示的数为，点B表示的数为，点C表示的数为，分三种情况讨论，结合线段的中点表示的数为，即可求解； 【详解】（1）解：点A表示数，点B表示数1，点表示数9， ∴的距离为； 故答案为：4； （2）解：A点与C点的中点D表示的数为； 运动t秒后，点A表示的数为； 故答案为：3，； （3）解：根据题意得：t秒钟过后，点A表示的数为，点B表示的数为，点C表示的数为， 当点A是点B，C的中点时，， 解得：； 当点B是点A，C的中点时，， 解得：； 当点C是点A，B的中点时，， 解得：； 综上所述，t的值为16或1或4； 39．（24-25七年级上·安徽滁州·期中）小茹利用计算机软件绘制了一条数轴，数轴上有A，B，C，D四点，其中点A在点B的左侧，点B在原点处，点C，D分别与5和8对应，A，B之间的距离与C，D之间的距离相等．    (1)点A表示的数为________． (2)小茹利用软件制作了一只电子蟋蟀，蟋蟀从点A处开始第一次沿数轴向右跳动1个单位长度，第二次沿数轴向左跳动3个单位长度，第三次沿数轴向右跳动5个单位长度，第四次沿数轴向左跳动7个单位长度，……，且按此规律进行跳动． ①求电子蟋蟀跳动5次后落点所对应的数轴上的数，并直接写出第几次跳动后落在原点处． ②求出电子蟋蟀跳动100次后的落点与点C之间的距离． 【答案】(1) (2)①5次后落点所对应的数轴上的数为2，第3次跳动后落在原点处；②108 【分析】本题考查数轴上两点间距离、数轴上的动点问题，清楚电子蟋蟀的运动规律是解题的关键． （1）先计算出C，D之间的距离，再根据点B表示的数及点A与点B的相对位置，即可求解； （2）①电子蟋蟀从点A处开始，奇数次时向右跳，偶数次时向左跳，第n次时跳个单位长度，由此列式进行加减运算即可；②根据电子蟋蟀的运动规律求出跳动100次后的落点对应的数，再利用数轴上两点间距离公式计算即可． 【详解】（1）解：点C，D分别与5和8对应， ， 由题意得， 点A在点B的左侧，点B在原点处， 点A表示的数为: ， 故答案为：． （2）解：①由题意知，电子蟋蟀从点A处开始，奇数次时向右跳，偶数次时向左跳，第n次时跳个单位长度，点A表示的数为， 第5次后落点所对应的数轴上的数为：， ， 第3次跳动后落在原点处． ②第100次后落点所对应的数轴上的数为： ， 又点C与5对应， ． 电子蟋蟀跳动100次后的落点与点C之间的距离为108． 40．（24-25七年级上·湖南永州·期中）【背景知识】利用数轴可以将数与形完美地结合，这种解决问题的思想叫做数形结合思想，研究数轴我们发现了很多重要的规律： ①若数轴上点A，点B表示的数分别为a，b，若A，B的位置不确定，则A，B两点间的距离为；若A在B的右侧，即，则A，B两点间的距离为： ②若C是线段的中点，则，中点C表示的数为； ③点A向右移动m个单位后，点A表示的数为：：点A向左移动m个单位后，点A表示的数为：； 如图所示，点A、B、C、D在数轴上对应的数分别为a、b、c、d，其中a是最大的负整数，b、c满足，且． (1) ； ； ； ； (2)若点A以每秒2个单位长度的速度向左运动，同时点C以每秒4个单位长度的速度向左运动，设运动的时间为t秒，当A、C两点之间的距离为9个单位长度时，求运动时间t值； (3)若线段和同时开始向右运动，且线段的速度小于线段的速度．在点A和点C之间有一点M，始终满足，在点B和点D之间有一点N，始终满足，此时线段为定值吗？若是，请求出这个定值，若不是，请说明理由． 【答案】(1)；7；10；13 (2)1或10 (3)线段为定值，这个定值为 【分析】（1）根据a是最大的负整数，得，根据非负数性质求出，，根据，则，求出d； （2）根据求解即可； （3）设线段每秒a个单位长度的速度向右运动，线段每秒个单位长度的速度向右运动，且，运动时间为t秒，则运动t秒后，点A表示的数为，点B表示的数为，点C表示的数为，点D表示的数为，根据，求得点M表示的数为，根据，求得点N表示的数为，再由，则点M在点左边，即可求得．即可解决问题． 【详解】（1）解：∵a是最大的负整数， ∴； ∵， ∴，， ∴，； ∵， ∴， 即， ∴． （2）解：由于点、同时向左，点的速度较快，因此点可能在点左侧，也可能点右侧， 点表示的数为：，点表示的数为：， ， 解得，； ∴当A、C两点之间的距离为9个单位长度时，运动时间t值为1或10． （3）解：设线段每秒a个单位长度的速度向右运动，线段每秒个单位长度的速度向右运动，且，运动时间为t秒，则运动t秒后，点A表示的数为，点B表示的数为，点C表示的数为，点D表示的数为， ∵ ∴点M表示的数为， ∵ ∴点N表示的数为， ∵ ∴点M在点左边， ∴． ∴线段为定值，这个定值为． 【点睛】本题考查用数轴上的点表示有理数，数轴上两点距离，数轴上动点问题，非负数的性质，一元一次方程的应用，解题的关键是理解题意，学会设未知数，构建方程解决问题． 考点十： 数轴动点中的新定义问题 41．（24-25七年级上·辽宁沈阳·期末）新定义：数轴上有A，B两点，若点A到原点的距离为点B到原点的距离的两倍，则称点A为点B的2倍原距点．已知互不重合的三点A，M，N在数轴上表示的数分别为2，m，n． (1)若点A是点M的2倍原距点． ①当点M在数轴正半轴上时，则　 　； ②当点M在数轴负半轴上，且点M与点A的距离等于点M与点N的距离，判断点N是否是点A的2倍原距点，并说明理由； (2)若点M，N分别从数轴上表示数10，6的点同时出发向数轴负半轴运动，点M每秒运动速度为2个单位长度，点N每秒运动速度为a个单位长度．若点M为点A的2倍原距点时，点A恰好也是点N的2倍原距点，请求出a所有可能的值． 【答案】(1)①1；②是，见解析 (2)1或或或 【分析】本题考查了数轴上的动点问题，一元一次方程的应用，找到相等关系是解题的关键． （1）①根据新定义求解；②根据新定义进行判断； （2）根据新定义列方程求解． 【详解】（1）解：①由题意得：， 解得：， 故答案为：1； ②点N是点A的2倍原距点； 理由：由题意得：， 则：， 解得：或（舍去）， ∴， ∴点N是点A的2倍原距点； （2）解：设运动的时间为t秒， 由题意得：， 解得：或或或， ∴a是值为1或或或． 42．（24-25七年级上·云南昆明·期中）定义：在数轴上，若点到点的距离恰好是3，则称点为点的“幸福点”；若点到点的距离之和为6，则称点为点的“幸福中心”． 【初步应用】 （1）若点表示的数是，则点的“幸福点”点表示的数是______； （2）已知点表示的数是，点表示的数是，且．若点为点的“幸福中心”，则点表示的数可以是______（填一个满足要求的数即可）； 【深入理解】 （3）若点表示的数是，点表示的数是4，点表示的数是8，一个电子蚂蚁从点出发，以2单位/秒的速度沿数轴向左运动，求经过多少时间电子蚂蚁是点的“幸福中心”？ 【答案】（1）或；（2）（答案不唯一）；（3）当经过秒或秒时，电子蚂蚁是A和B的幸福中心 【分析】本题考查了数轴及数轴上两点的距离、动点问题，一元一次方程的应用，熟练掌握动点中三个量的数量关系式：路程时间速度，认真理解新定义是解题的关键． （1）根据幸福点的定义即可求解； （2）利用非负数的性质求得和的值，再根据幸福中心的定义即可求解； （3）分两种情况列式：①P在B的右边；②P在A的左边讨论；可以得出结论． 【详解】解：（1）A的幸福点C所表示的数应该是：或； 故答案为：或； （2）∵， ∴，， 解得：，， ∵， 故C所表示的数可以是或或或0或1或2或3； 故答案为：（答案不唯一）； （3）设经过x秒时，电子蚂蚁是A和B的幸福中心，依题意有： ①， 解得：； ②， 解得：； 故当经过秒或秒时，电子蚂蚁是A和B的幸福中心． 43．（24-25七年级上·福建龙岩·期中）定义： 若数轴上的点、分别表示数、，简记为、，则、两点之间的距离可表示为． 理解： （1）数轴上表示数和5的两点之间的距离是_____（用含的代数式表示）； （2）若，则的值为_____； （3）若，则的值为_____； （4）当代数式取到最小值时，相应的的取值范围是_____． 应用： 某环形道路上顺次排列有四家快递公司：A、B、C、D，它们分别有快递车16辆，8辆，4辆，12辆．为了使各快递公司的车辆数相同，允许一些快递公司向相邻公司调动若干辆车．请你设计3种不同的调动车辆方案，使得调动车辆的总数最少，并直接写出调动的最少车辆数． 【答案】（1）；（2）或1；（3）或3；（4）；应用：方案见解析，12辆 【分析】理解：（1）根据题意即可求解； （2）根据绝对值的意义即可求解； （3）分在的左侧、数在的右侧两种情况作图，根据作图解答即可求解； （4）由可得代数式表示x到1和的距离之和，据此即可求解； 应用：根据题意画出图形，再根据图形即可求解； 本题考查了数轴与绝对值，掌握绝对值的意义和性质是解题的关键． 【详解】解：（1）由题意得，数轴上表示数x和5的两点之间的距离是， 故答案为：； （2）解： 或 或． （3）在数轴上表示数到1和的距离之和等于8， 如图所示：①当数在的左侧时， ． ②当数在的右侧时， ． 故答案为：或3； （4）代数式表示数到1和的距离之和， 当在和1之间，即时，最小，最小值为， 故答案为：． 应用：根据题意，提供5种不同的调动车辆的方案，图表语言表述如下： 由图可知，调动的最少车辆数为：辆． 44．（24-25七年级上·四川成都·期中）如图（1），把一条数轴水平放置（向右为正），我们把它称为“横轴”；把一条数轴竖直放置（向上为正），我们把它称为“纵轴”：当它们的原点重合，单位长度相同时，我们定义：在横轴上的点与在纵轴上的点，它们到原点的距离之和称为两点的折线距离，记为：．已知点、在横轴上对应的数分别是和，点、在纵轴上对应的数分别是和． (1) ， ； (2)若点从点出发沿横轴以每秒个单位长度的速度向右移动，同时从点出发沿纵轴以每秒个单位长度的速度向上移动，则当点出发多少秒后； (3)已知点从点出发沿横轴以每秒个单位长度的速度向右移动，到达点后停止移动；点从点出发沿横轴以每秒个单位长度的速度向左移动，到达点后立即调头然后以每秒个单位长度的速度向右移动；点从点出发以每秒个单位长度的速度沿纵轴向下移动到点后，速度变为每秒个单位长度继续向下移动；若、、三个点同时出发，当点停止移动后，、两点也随之停止移动，请问它们出发多少秒后？ 【答案】(1)， (2)秒 (3)秒或秒或秒或秒 【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及数轴上两点距离； （1）由点，，，在两轴上表示的数，结合两点的折线距离的定义，即可求出结论； （2）当运动时间为秒时，，，根据，可列出关于的含绝对值符号的一元一次方程，解之即可得出结论； （3）先分析各点的运动情况，将运动时间分为种情况，每种情况表示出，根据题意列出一元一次方程即可求解． 【详解】（1）解：∵点，在横轴上对应的数分别是和，点，在纵轴上对应的数分别是和， ∴，，，， ∴，． 故答案为：，； （2）， 当运动时间为秒时，则点对应的数为，点对应的数为 ∴，， 根据题意得：， 即或， 解得：（不符合题意，舍去）或． （3）解：∵点、在横轴上对应的数分别是和，点、在纵轴上对应的数分别是和． ∴， ∵点从点出发沿横轴以每秒个单位长度的速度向右移动，到达点后停止移动； ∴运动时间为秒，， 点从点出发沿横轴以每秒个单位长度的速度向左移动， ∴秒，即点到达点用时秒，， 点达点后立即调头然后以每秒个单位长度的速度向右移动，停止时的位置为，仍然在上， ∵点从点出发以每秒个单位长度的速度沿纵轴向下移动到点后，速度变为每秒个单位长度继续向下移动； ∴运动到用时：秒， 当时，， 时，， 当时，在上，点在上，点在上， ∵ ∴ 解得： 当时，在上，点在上，点在上， ∵ ∴ 解得： 当时，在上，点在上，点在上， ∵ ∴ 解得： 当时，在延长线上，速度变为个单位长度继续向下移动，则表示的数为，则，点在上，点在上， ∵ ∴ 解得：（舍去） 当时，，点在上，此时点在返回路上，则点表示的数为，则，点在上， ∵ ∴ 解得：（舍去） 当时，，点在上，点在上，则 ∵ ∴ 解得： 综上所述，秒或秒或秒或秒 45．（24-25七年级上·广东广州·期末）先阅读两则材料，然后解决问题： 材料一：【数学家故事】高斯7岁时进入学校学习数学，有一天，他的老师布特纳布置了一道题目，要求学生计算从1加到100的总和．这个问题对于当时的孩子们来说相当困难，但高斯很快就给出了正确答案：．他使用了一种巧妙的方法，展示了非凡的数学天赋．这个方法可以这样理解： 令  ①， 则  ②， 得：， 即． 材料二：对有理数a，b，定义的计算方式为：当时，；当时，．例如：；． 【解决问题】 (1)填空：______；______； (2)已知，且，求的值； (3)设代数式，已知A，B是数轴上的两个点，分别表示有理数a和b，且线段的长为4．若数a满足关系式，求M的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了新定义下的有理数的运算，数轴上两点之间的距离，代数式的求值，理解新定义，分类讨论思想的应用是解题的关键； （1）根据新定义直接计算即可； （2）先判断y的范围，再根据新定义化简并整体代入求值即可； （3）根据非负性可得，根据新定义可得，即可求出a，再根据数轴上两点之间的距离求出b，再分类讨论，根据新定义和材料一的求和求解即可． 【详解】（1）解：，， 故答案为：； （2）解：，且， ， ； （3）解：， ， ， ， 线段的长为4， ， ， 当时， ， 当时， ， 综上所述，M的值为． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$