第10讲 有理数的乘方（思维导图+新课指引+2知识点+10考点+过关检测）-2025年小升初数学无忧衔接（通用版）

第10讲 有理数的乘方 1.理解并掌握有理数的乘方，幂，底数，指数的概念及意义； 2.会求有理数的正整数指数幂； 3.熟练掌握有理数混合运算(含乘方)顺序和法则； 感受发现问题的过程中体会到从特殊到一般的思考方法，从而增进学好数学的自信心. 【新课指引】 【课外阅读】相传，古印度有位国王很喜欢下国际象棋.有一天，他想要重赏国际象棋的发明者.发明者说:“陛下，我不要您的重赏，只要您在我的棋盘上赏一些麦子就可以.在棋盘的第1个格子里放1粒，在第2个格子里放2粒，在第3个格子里放4粒，在第4个格子里放8粒，依此类推，以后每一个格子里放的麦粒数都是前一个格子里放的麦粒数的 2倍，直到放满第64个格子就行了.”国王觉得这个要求很容易满足，就欣然答应了.然而，当人们开始在棋盘上放麦粒时，国王才发现问题的严重性. 提问:你知道是为什么吗? 【思考1】 1）边长为a的正方形的面积为___________ 2）棱长为a的正方体的体积为___________ 3）这两个过程有什么简单的写法吗?(类比单位的写法) 4）这种写法读作什么呢? 知识点一 有理数的乘方 乘方的概念 概念 示例 乘方 求n个相同因式的积的运算，叫做乘方. 如n个a相乘： 幂 乘方的结果叫做幂. 底数 在中，a叫做底数. 指数 在中，n叫做指数. 【补充】 1）一个数可以看作是这个数本身的一次方，例如：5就是，指数1通常省略不写. 2）指数是2时读作平方(或二次方)，指数是3时读作立方(或三次方).例如，读作“n的平方”(或“n的二次方”)，读作“n的立方”(或“n的三次方”). 3）指数n是正整数，底数a可以是任意有理数. 4）书写幂时，当负数或分数作为底数时，要先用括号将底数扩上，再在其右上角写指数，指数要写得小一些.如：. 有理数乘方运算法则： 【补充】1)[考点]任何一个数的偶数次幂都是非负数. 2) 平方等于它本身的数有0和1，立方等于它本身的数有0，1，－1. 1．（23-24七年级上·四川乐山·期末）下列运算中，正确的是（    ）． A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·河北石家庄·期中）若，则的值是（   ） A．－1 B．1 C．－2024 D．2024 3．（24-25七年级上·广东·期中）在中，底数是（    ） A．10 B．8 C． D． 4．（24-25七年级上·北京·期中）式子可表示为（   ） A． B． C． D． 5．（24-25七年级上·北京·期中）我国古代（易经）一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”如图，一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，满七进一，用来记录孩子自出生后的天数，由图可知，孩子自出生后的天数是 天 知识点二 含乘方的有理数混合运算 有理数混合运算定义：含有有理数的加，减，乘，除，乘方五种基本运算中的多种运算叫做有理数的混合运算. 运算顺序：1）先算乘方，再算乘除，最后算加减； 2）同级运算，从左到右依次进行； 3) 如果有括号，就先算括号里面的，按照小括号、中括号、大括号依次进行. 1．（24-25七年级上·贵州贵阳·期中）下列计算中正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·陕西渭南·期中）若，则代数式的值为（   ） A．2 B． C．5 D． 3．（24-25七年级上·河北邯郸·期末）计算，得（   ） A．11 B．13 C． D． 4．（24-25七年级上·云南昆明·期中）用“”定义一种新运算，对于任何有理数和，规定，如，则的值为（  ） A． B． C． D． 5．（24-25七年级上·山东聊城·阶段练习）计算，结果应是 ． 6．（24-25七年级上·广东佛山·阶段练习）计算： 考点一： 有理数乘方的概念 1．（24-25七年级上·内蒙古巴彦淖尔·期中）表示的意义是（    ） A．与5相乘 B．2个相乘 C．5个2相乘的相反数 D．2个5相乘的相反数 2．（24-25七年级上·河北保定·期中）甲、乙、丙、丁4位同学，学了有理数的乘方之后，发表了以下见解，观点正确的有（   ） 甲：是2个5相加； 乙：与是不同的结果； 丙：中底数是，指数是4； 丁：是n个4相乘 A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 3．（24-25七年级上·湖北孝感·期中）下列可以表示的是（   ） A． B． C． D． 注意：书写幂时，当负数或分数作为底数时，要先用括号将底数扩上，再在其右上角写指数，指数要写得小一些.如：. 1．（24-25七年级上·广西南宁·期中）下列关于的说法中，错误的是（   ） A．结果为 B．底数是 C．表示2个相乘 D．指数是2 2．（24-25七年级上·河北保定·期中）计算的过程为（   ） A． B． C． D． 3．（2024七年级上·全国·专题练习）对于与，下列说法中，正确的是（    ） A．读法相同，底数不同，结果不同 B．读法不同，底数不同，结果相同 C．读法相同，底数相同，结果不同 D．读法不同，底数不同，结果不同 考点二： 有理数乘方的运算 1．（24-25七年级上·山东聊城·阶段练习）下列各组数中，相等的一组是（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 2．（24-25七年级上·陕西西安·期中）已知a是绝对值最小的有理数，b是平方等于本身的正数，c的平方等于4，则 ． 3．（2024七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)． 计算有理数乘方的步骤 1.先根据底数与指数确定幂的________________; 2.计算幂的________________. 1．（24-25七年级上·福建厦门·期中）下列各数：其中负数有（          ）个 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（24-25七年级上·北京·期中）在数轴上，所表示的点在所表示的点的左边，且，则的值为 ． 3．（24-25七年级上·山西吕梁·期中）张琪准备完成题目：计算．发现题中有一个数字“♥”被墨水污染了．张琪的妈妈看到该题参考答案的结果等于，请通过计算求出被污染的数字“♥”． 考点三： 乘方运算的符号规律 1．（24-25七年级上·湖南湘潭·阶段练习）若 ，则一定有（   ） A． B． C． D． 2．（2024七年级上·江苏·专题练习）如果一个有理数的奇次幂是正数，那么这个有理数（　　） A．一定是正数 B．是正数或负数 C．一定是负数 D．可以是任意有理数 1．（24-25七年级上·河南郑州·期末）当时，下列各式成立的有（　　） ①；②；③；④． A．①② B．①③ C．①②④ D．②③④ 2．（23-24七年级上·黑龙江齐齐哈尔·期中）如果n是正整数，那么的值（    ） A．一定是零 B．一定是正偶数 C．一定是正奇数 D．是零或正偶数 3．（23-24七年级上·广东揭阳·期末）计算： 考点四： 乘方的逆运算(简算) 1．（21-22六年级下·山东泰安·期中）计算的结果是（　　） A．9 B． C．2 D． 2．（24-25七年级上·全国·单元测试）如果，那么 ． 3．（22-23七年级上·福建三明·期中）（1）计算下面两组算式： ①与；     ②与； （2）根据以上计算结果想开去：等于什么?（直接写出结果） （3）猜想与验证：当为正整数时，等于什么?请你利用乘方的意义说明理由． （4）利用上述结论，求的值． 乘方是特殊的乘法，利用乘法的运算律可简化计算.即： 1．（22-23七年级上·福建厦门·期中）若，则的值可以表示为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·全国·课后作业）若，则x等于 ． 3．（24-25七年级上·辽宁鞍山·阶段练习）善于反思的小聪在学习了有理数及其运算后，进行了如下总结与反思．请你仔细阅读并补全小聪的探究过程． [典例再现]，；，； [总结归纳]（1）观察上述例题，发现结论： ①互为相反数的两个数的绝对值______； ②互为相反数的两个数的______； [知识应用]（2）已知，，则______，______，若，则______，______． 考点五： 含乘方的有理数混合运算 1．（24-25七年级上·北京·期中）计算的结果是（    ） A．12 B．10 C．-10 D．-6 2．（2024七年级上·全国·专题练习）使用科学计算器进行计算，其按键顺序为则输出结果为（　　） A． B． C． D． 3．（24-25七年级上·河北邢台·阶段练习）计算：． 加和减属于运算中的第一级运算，级别是最低的，通常放在最后面计算；乘和除属于运算中的第二级运算，级别中等，运算顺序高于加和减；而乘方和开方则属于第三级运算，级别较高，通常是最优先计算的（如果有括号，先算括号内的；如果没有括号，在同一级运算中，要从左至右进行运算，无论何种运算，都要注意先定符号后运算）. 1．（24-25七年级上·甘肃定西·阶段练习）计算的结果是（   ） A．2 B． C．0 D． 2．（2024七年级上·全国·专题练习）下面是小刚同学做的一道有理数的混合运算题：． 解：原式．四位同学看了小刚的解答，给出4个看法：①运算顺序错了；②计算时符号错了，应为；③计算结果是；④第一步应该等于．其中正确的是（　　） A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．②③④ 3．（24-25七年级上·河南洛阳·期末）计算： ． 4．（24-25七年级上·湖南永州·期中）计算． (1)；(2)； (3)；(4)． 考点六： 偶次方的非负性的运用 1．（24-25七年级上·陕西榆林·阶段练习）已知与互为相反数，则 ． 2．（24-25七年级上·福建宁德·期中）如果，，则的值为 ． 任何一个数的偶数次幂都是非负数. 1．（24-25七年级上·广东汕头·阶段练习）若，则 ． 2．（24-25七年级上·四川眉山·期末）若与互为相反数． (1)求，的值； (2)规定一种新运算：，如 ，求的值． 考点七： 乘方的实际应用 1．（24-25七年级上·广东佛山·阶段练习）一根1米长的木棒，第一次截去它的，第二次截去剩下的，第三次再截去剩下的，如此截下去，第七次截去后剩下的木棒的长度是（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 2．（24-25七年级上·广东广州·期中）因为工作忙，人小杰给他儿子留下今天的早餐钱元，请用十进制表示为 ． 3．（24-25七年级上·辽宁盘锦·期中）细菌是靠分裂进行生殖的，也就是1个细菌分裂成2个细菌，分裂完的细菌长大以后又能进行分裂．例如，图中所示为某种细菌分裂的电镜照片，显示这种细菌每20分钟就能分裂一次．1个这种细菌经过5个小时可以分裂成 个细菌． 此类题型的难点在于分析问题，建立乘方的数学模型.基本步骤为:首先从特殊情形入手，逐步分析、归纳，找出变化规律;然后根据规律写出乘方数学模型;最后根据题干要求计算结果. 1．（24-25七年级上·甘肃兰州·期中）兰州牛肉面制作技艺是国家级非物质文化遗产，为了更好的弘扬优秀的传统文化，2024年秋季学期开始以来，兰州市部分中小学将兰州牛肉面纳入课程教学范畴，在每周的劳动教育课程中开展．制作时，拉面师傅，将一根很粗的面条，把两头捏合在一起拉伸，再捏合，再拉伸，反复几次，就把这根很粗的面条截成了许多细细的面条，如下图所示．请问这样第（   ）次捏合后可拉出128根面条． A．5 B．6 C．7 D．8 2．（24-25七年级上·山东德州·期末）我国古代《易经》一书中记载：远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”．一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，采取满七进一的方式，用来记录孩子出生后的天数．如图1，孩子出生后的天数是（天），那么图2表示孩子出生后的天数是 3．（2024七年级上·全国·专题练习）为响应国家创业号召，小张准备新开一家拉面馆，选址后对这一地区的人流量进行统计，以人为标准，超过记为正，低于记为负，一周内同一时间的人流量如表： 星期 一 二 三 四 五 六 日 人数 (1)这一周人数最多的一天比人数最少的一天多多少人？ (2)若这些人中有的人来吃面，按照每人一碗，每碗面元，则平均每天的销售额是多少？ (3)拉面条时，将一根很粗的面捏合在一起拉伸，再捏合，再拉伸，反复几次，就把这根很粗的面条，拉成了许多根细的面条，拉面师傅一般拉8次可做一碗拉面，则拉面师傅拉完次后有______根面． 4．（24-25七年级上·甘肃陇南·期中）生活中常用的十进制是用这十个数字来表示数，满十进一，例：；计算机常用二进制来表示字符代码，它是用0和1两个数来表示数，满二进一，例：二进制数10000转化为十进制数：； 其他进制也有类似的算法…… (1)根据以上信息，将二进制数“101110”转化为十进制数是________； (2)在我国远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”，如图所示是远古时期一位母亲记录孩子出生后的天数，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满五进一，根据图示表示的五进制数为132，求孩子已经出生的天数． 考点八： 乘方中的规律探究 1．（24-25七年级上·河南驻马店·期中）计算：，…归纳计算结果中的个位数字的规律，猜测的个位数字是（   ） A．1 B．3 C．5 D．9 2．（23-24七年级上·湖北荆州·期末）如图，下列各正方形中四个数之间均具有相同的规律，根据此规律，第n个正方形中的，则n的值为（　　） A．7 B．8 C．9 D．10 3．（24-25七年级上·全国·期末）观察下列各式：，，，，，根据其中的排列规律，则第n个式子为 ． 1．（24-25七年级上·湖北荆州·期中）请你先计算，然后观察这些结果，你发现底数的小数点向左（右）移动一位时，立方数小数点的移动规律是（） A．不移动 B．向左（右）移动一位 C．向左（右）移动两位 D．向左（右）移动三位 2．（2024七年级上·全国·专题练习）观察下列式子： ①，②，③，… （1）根据你发现的观律，请写出第4个等式 ； （2）根据你发现的规律，请写出第（为正整数）个等式 ； （3）请写出第198个等式： ． 3．（24-25七年级上·四川雅安·阶段练习）“杨辉三角”是中国古代数学重要的成就之一，最早出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》中．其规律是：从第三行起，每行两端的数都是“”，其余各数都等于该数“两肩”上的数之和，如图． (1)求图中第行第个数是__________； (2)第二行的数字之和是 ，第三行的数字之和 ，第行的数字之和 ； (3)求图中前行所有的数字之和． 考点九： 程序流程图与有理数计算 1．（24-25七年级上·吉林长春·期中）按如图所示的运算程序，输入x的值为1，则输出的y的值为（   ） A． B． C．11 D．116 2．（24-25七年级上·河北沧州·期中）按照如图所示的计算机程序计算，若开始输入的x值为2，第一次得到的结果为1，第二次得到的结果为4，…，第10次得到的结果为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（24-25七年级上·河南郑州·期末）按如图所示的程序流程计算，若开始输入的值为，则最后输出的结果是（   ） A．6 B．42 C．1806 D．无法输出结果 1．（24-25七年级上·北京·期中）如图是一个简单的数值运算程序，当输入的值为时，则输出的值为 ． 2．（24-25七年级上·广东深圳·期末）下图是一个“数值转换机”的示意图，如果输入，，则输出的结果为 ． 3．（24-25七年级上·浙江杭州·期末）如图，这是一个数值运算程序： (1)若输入的是，经历程序运算2次，求第2次输出的结果． (2)若输入的是，经历程序运算2025次，求第2025次输出的结果． 考点十： 乘方中的新定义问题 1．（23-24七年级上·陕西咸阳·阶段练习）对于有理数定义一种新运算“※”，规定：，例如：． (1)求的值； (2)若，求的值． 2．（24-25七年级上·安徽亳州·期中）对于有理数定义运算，求的值． 3．（24-25七年级上·陕西西安·期中）对于有理数a、b，定义新运算“#”，规定，如：． (1)求的值； (2)求的值． 1．（24-25七年级上·新疆阿克苏·阶段练习）对于有理数m，n，定义新运算“”，规定：．例如：． (1)求的值； (2)求的值． 2（24-25七年级上·贵州黔南·期中）在学习完有理数的运算后，小丽对运算产生了浓厚的兴趣，她借助有理数的运算对有理数，定义了一种新运算“※”，规定：，例如：． (1)求的值； (2)求的值． 3．（24-25七年级上·北京西城·期中）解答题 探究规律，完成相关题目． 定义“*”运算： ；            ； ；        ； ；        ； ；                ； ；                        ． 归纳*运算的法则（用文字语言叙述） (1)绝对值不同的两数进行*运算时，结果的绝对值如何确定？______．特别地，0和任何数进行*运算，或任何数和0进行*运算，______． (2)计算： (3)是否存在两个非零有理数，使得，若存在，求出满足的关系，若不存在，说明理由． 1．（24-25七年级上·广西河池·期末）下列各式中，不相等的是（ ） A．和 B．和 C．和 D．和 2．（24-25七年级上·云南临沧·期末）《孙子算经》中记载：“今有出门望见九堤，堤有九木，木有九枝，枝有九巢，……”其大意是：出门看见有9座堤坝，每座堤坝上有9棵树，每棵树有9根树枝，每根树枝上有9个鸟巢，……，文中的鸟巢共有（   ） A．36个 B．27个 C．个 D．个 3．（23-24七年级上·湖南永州·期末）若，则记，例如，于是，若，，，则的值为（    ） A．16 B．－2 C．2或 D．16或 4．（24-25七年级下·甘肃武威·开学考试）若，则值是（　　） A． B． C． D． 5．（24-25七年级上·贵州贵阳·期末）数轴上任意一点A，表示的数是a，下列各式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 6．（24-25七年级上·云南保山·期末）在数学课上，老师让甲、乙、丙、丁四名同学分别做了一道有理数计算题，你认为做对的同学是（    ） 甲：    乙： 丙：    丁： A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 7．（24-25七年级上·江西赣州·期末）已知，，，，，，那么的个位上的数字是（   ） A．6 B．4 C．2 D．0 8．（24-25七年级上·广东中山·期末）已知x， y为有理数，规定一种新运算 则（    ） A．5 B．7 C．33 D．45 9．（24-25七年级上·湖南张家界·期末）明明在数学学习中遇到了神奇的“数值转换机”，如图是一个数值转换机的运算程序，若第一次输入的值为8，则2024次输出的结果为（    ） A．8 B．4 C．2 D．1 10．（24-25七年级上·河北邯郸·期末）以下是嘉淇同学的练习题，他最后得分是（    ） 姓名：嘉淇    得分： 填空题（评分标准：每道题5分） （1）（2）（3）（4） A．20分 B．15分 C．10分 D．5分 11．（24-25七年级上·重庆·期中）我们常用的数是十进制数．计算机程序使用的是二进制数（只有数码0和1），它们两者之间可以互相换算，如将，换算成十进制数分别是：，．按此方式，将二进制换算成十进制数的结果是 ． 12．（24-25七年级上·安徽宿州·期末）计算： ． 13．（24-25七年级上·江苏苏州·期末）按如图所示的程序计算，当输入有理数m，n，满足时，y的值为 ． 14．（24-25七年级上·四川达州·期末）若、互为相反数，、互为倒数，的绝对值等于，则 ． 15．（24-25七年级上·山东青岛·期末）定义：对于确定位置的三个数：，取，，，这三个数的最小值，叫做求a，b，c的最优值，记作，例如，计算：，因为，，，所以，计算 ． 16．（24-25七年级上·四川绵阳·期中）计算： (1)； (2)． 17．（24-25七年级上·河北沧州·期末）计算： (1)； (2) 18．（24-25七年级上·浙江宁波·期中）方方计算的过程如下： (1)以上计算过程中，方方开始出错的是第______步，圆圆开始出错的是第______步； (2)写出你的计算过程． 19．（24-25七年级上·福建泉州·期末）生活在数字时代的我们，很多场合使用二维码来表示不同的信息，类似地，可通过正方形网格中，对每个小正方格涂黑色或不涂色所得的图形来表示不同的信息．在代码编制上巧妙利用构成计算机内部逻辑基础的“0”，“1”，使用若干个与二进制相对应的几何图形来表示数值（黑色代表1，白色代表0）．如图1是某校一次考试中三位同学的准考证号对应的二维码的简易编码．如图2是王芳同学准考证号的二维码简易编码，其中第一行代表二进制的数字11000，转化成10进制为：．同理，第二行至第五行代表二进制的数字分别为1100，111，11100，1101，转化成10进制为：12，07，28，13，将五行编码有序组合在一起就是王芳的准考证号2412072813，其中第一行编码“24”表示区县，第二行编码“12”表示学校，第三行编码“07”表示班级，第四行编码“28”表示考场号，第五行编码“13”表示座位号． (1)如图3是本次考试张亮同学准考证号的二维码简易编码，其中第四行代表二进制的数字是10101，转化成10进制后可得他的考场号是 ． (2)本次考试中，赵军的准考证号是2917021311，如图4是赵军为自己绘制的二维码简易编码，但少涂黑了几个小正方形，请你在图4中帮他补充完整． (3)随着学校办学规模不断扩大，班级及学生数量不断增加，该校准考证的编码识别系统能否一直适用？请通过计算说明理由． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第10讲 有理数的乘方 1.理解并掌握有理数的乘方，幂，底数，指数的概念及意义； 2.会求有理数的正整数指数幂； 3.熟练掌握有理数混合运算(含乘方)顺序和法则； 感受发现问题的过程中体会到从特殊到一般的思考方法，从而增进学好数学的自信心. 【新课指引】 【课外阅读】相传，古印度有位国王很喜欢下国际象棋.有一天，他想要重赏国际象棋的发明者.发明者说:“陛下，我不要您的重赏，只要您在我的棋盘上赏一些麦子就可以.在棋盘的第1个格子里放1粒，在第2个格子里放2粒，在第3个格子里放4粒，在第4个格子里放8粒，依此类推，以后每一个格子里放的麦粒数都是前一个格子里放的麦粒数的 2倍，直到放满第64个格子就行了.”国王觉得这个要求很容易满足，就欣然答应了.然而，当人们开始在棋盘上放麦粒时，国王才发现问题的严重性. 提问:你知道是为什么吗? 【思考1】 1）边长为a的正方形的面积为___________ 2）棱长为a的正方体的体积为___________ 3）这两个过程有什么简单的写法吗?(类比单位的写法) 4）这种写法读作什么呢? 知识点一 有理数的乘方 乘方的概念 概念 示例 乘方 求n个相同因式的积的运算，叫做乘方. 如n个a相乘： 幂 乘方的结果叫做幂. 底数 在中，a叫做底数. 指数 在中，n叫做指数. 【补充】 1）一个数可以看作是这个数本身的一次方，例如：5就是，指数1通常省略不写. 2）指数是2时读作平方(或二次方)，指数是3时读作立方(或三次方).例如，读作“n的平方”(或“n的二次方”)，读作“n的立方”(或“n的三次方”). 3）指数n是正整数，底数a可以是任意有理数. 4）书写幂时，当负数或分数作为底数时，要先用括号将底数扩上，再在其右上角写指数，指数要写得小一些.如：. 有理数乘方运算法则： 【补充】1)[考点]任何一个数的偶数次幂都是非负数. 2) 平方等于它本身的数有0和1，立方等于它本身的数有0，1，－1. 1．（23-24七年级上·四川乐山·期末）下列运算中，正确的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查有理数的乘方，熟练掌握有理数的乘方的定义是解题的关键． 根据有理数的乘方的定义和运算法则计算，逐项判断即可得到答案． 【详解】解：A．，此选项错误； B．，此选项错误； C．，此选项错误； D．，此选项正确； 故选：D． 2．（24-25七年级上·河北石家庄·期中）若，则的值是（   ） A．－1 B．1 C．－2024 D．2024 【答案】B 【分析】本题考查的是非负数的性质：几个非负数的和为0时，每一项都等于0，先根据非负数的性质求出a，b的值，再代入代数式进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴， 解得， ∴． 故选：B． 3．（24-25七年级上·广东·期中）在中，底数是（    ） A．10 B．8 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了有理数幂的概念，根据有理数幂的概念解答即可，熟练掌握有理数幂的概念是解此题的关键． 【详解】解：在中，底数是10， 故选：A． 4．（24-25七年级上·北京·期中）式子可表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了乘法以及乘方的意义，理解乘方的意义是解题的关键．根据m个5相乘可表示为，n个9相加可以表示为，即可得解． 【详解】解：式子可表示为， 故选：C． 5．（24-25七年级上·北京·期中）我国古代（易经）一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”如图，一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，满七进一，用来记录孩子自出生后的天数，由图可知，孩子自出生后的天数是 天 【答案】520 【分析】本题主要考查了乘方的运算， 仿照“十进制”的算法，可知总天数为右面第一个数字加上第二个数字乘以7，依次第三个数字乘以，第四个数字乘以，再相加得出答案. 【详解】解：孩子自出生后的天数是：（天）. 故答案为：520. 知识点二 含乘方的有理数混合运算 有理数混合运算定义：含有有理数的加，减，乘，除，乘方五种基本运算中的多种运算叫做有理数的混合运算. 运算顺序：1）先算乘方，再算乘除，最后算加减； 2）同级运算，从左到右依次进行； 3) 如果有括号，就先算括号里面的，按照小括号、中括号、大括号依次进行. 1．（24-25七年级上·贵州贵阳·期中）下列计算中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查有理数的混合运算，根据有理数的混合运算顺序和运算法则逐一计算即可判断． 【详解】解：A、，此选项错误，不符合题意； B、，此选项错误，不符合题意； C、，此选项正确，符合题意； D、，此选项错误，不符合题意； 故选：C． 2．（24-25七年级上·陕西渭南·期中）若，则代数式的值为（   ） A．2 B． C．5 D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了求代数式的值，在解答过程中要注意符号的变化． 将直接代入，进行有理数的运算即可． 【详解】解：，则代数式的值为， 故选：D． 3．（24-25七年级上·河北邯郸·期末）计算，得（   ） A．11 B．13 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是含乘方的有理数的混合运算，先计算乘方，再计算乘除，最后计算加减运算即可． 【详解】解： ； 故选：A 4．（24-25七年级上·云南昆明·期中）用“”定义一种新运算，对于任何有理数和，规定，如，则的值为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的混合运算，理解新定义运算是解题的关键．根据题目中的新定义计算，即可求出的值． 【详解】解：依题意， 故选：D． 5．（24-25七年级上·山东聊城·阶段练习）计算，结果应是 ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是掌握有理数的混合运算法则．先算乘方，再算乘除，最后算减法即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 6．（24-25七年级上·广东佛山·阶段练习）计算： 【答案】 【分析】此题考查了有理数的混合运算． 先算乘方，化简绝对值，括号内的运算，再算乘除法，最后算加减． 【详解】 ， ， ． 考点一： 有理数乘方的概念 1．（24-25七年级上·内蒙古巴彦淖尔·期中）表示的意义是（    ） A．与5相乘 B．2个相乘 C．5个2相乘的相反数 D．2个5相乘的相反数 【答案】C 【分析】本题考查了有理数幂的概念、相反数，熟练掌握有理数幂的概念和相反数的定义是解题的关键．根据有理数幂的概念和相反数的定义即可解答． 【详解】解：表示的意义是5个2相乘的相反数． 故选：C． 2．（24-25七年级上·河北保定·期中）甲、乙、丙、丁4位同学，学了有理数的乘方之后，发表了以下见解，观点正确的有（   ） 甲：是2个5相加； 乙：与是不同的结果； 丙：中底数是，指数是4； 丁：是n个4相乘 A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的乘方，熟练掌握有理数的乘方的意义以及有理数乘方法则是解题的关键．根据有理数的乘方的意义以及有理数乘方法则逐个判断即可． 【详解】解：是5个2相乘，故甲的观点不正确； ，结果相同，故乙的观点不正确； 中底数是，指数是4，故丙的观点正确； 是4个n相乘，故丁的观点不正确； 所以观点正确的有1个． 故选：B． 3．（24-25七年级上·湖北孝感·期中）下列可以表示的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查乘方的定义：即表示有n个a相乘．根据有理数的乘方的概念进行选择即可． 【详解】解：表示有a个5相乘； 故选：D． 注意：书写幂时，当负数或分数作为底数时，要先用括号将底数扩上，再在其右上角写指数，指数要写得小一些.如：. 1．（24-25七年级上·广西南宁·期中）下列关于的说法中，错误的是（   ） A．结果为 B．底数是 C．表示2个相乘 D．指数是2 【答案】A 【分析】本题考查有理数的乘方，熟练掌握乘方的意义是解本题的关键．乘方的定义为：求n个相同因数a的积的运算叫做乘方，乘方运算的结果叫做幂．在中，它表示n个a相乘，其中a叫做底数，n叫做指数．根据乘方的定义解答即可． 【详解】解：A．，原计算错误，符合题意； B．的底数是，正确，不符合题意； C．表示2个相乘，正确；不符合题意； D．的指数是2，正确；不符合题意； 故选A． 2．（24-25七年级上·河北保定·期中）计算的过程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了乘法和乘方的意义，理解乘方和乘法的意义是解题关键．由乘法的意义知10个2相加可表示为，由乘方意义可得12个2相乘表示为，即可获得答案． 【详解】解：． 故选：A． 3．（2024七年级上·全国·专题练习）对于与，下列说法中，正确的是（    ） A．读法相同，底数不同，结果不同 B．读法不同，底数不同，结果相同 C．读法相同，底数相同，结果不同 D．读法不同，底数不同，结果不同 【答案】D 【分析】本题考查了有理数乘方定义，熟练掌握有理数乘方的定义是解题的关键； n个相同的因数a相乘，记作，这种求n个相同因数的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫做幂．在乘方运算中，a叫做底数，n叫做a的幂的指数，简称指数，据此判断即可． 【详解】解：读作：负的5的平方，表示的是2个5的乘积的相反数，底数是5，指数是2，运算结果为． 读作：负5的平方，表示的是2个的乘积，底数是，指数是2，运算结果为25． 所以，与读法不同，底数不同，结果不同， 故选：D． 考点二： 有理数乘方的运算 1．（24-25七年级上·山东聊城·阶段练习）下列各组数中，相等的一组是（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的乘方，根据有理数的乘方法则逐项计算判断即可．熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：A、，，，故此选项不符合题意； B、，，，故此选项不符合题意； C、，，所以，故此选项符合题意； D、，，，故此选项不符合题意； 故选：C． 2．（24-25七年级上·陕西西安·期中）已知a是绝对值最小的有理数，b是平方等于本身的正数，c的平方等于4，则 ． 【答案】或3 【分析】本题主要考查了代数式求值，绝对值和有理数的平方，根据绝对值的非负性可得a的值，根据平方的定义可得b、c的值，据此代值计算即可得到答案． 【详解】解：∵a是绝对值最小的有理数，b是平方等于本身的正数，c的平方等于4， ∴， ∴，或， 故答案为：或3． 3．（2024七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了有理数的乘方运算． （1）根据乘方的定义将展开算乘法即可； （2）根据乘方的定义将展开算乘法即可； （3）根据乘方的定义将展开算乘法即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：． 计算有理数乘方的步骤 1.先根据底数与指数确定幂的________________; 2.计算幂的________________. 答案：1.符号2.绝对值 1．（24-25七年级上·福建厦门·期中）下列各数：其中负数有（          ）个 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题主要考查了负数的识别，有理数的乘方计算，乘法计算，化简多重符号和计算绝对值，根据乘方，乘法计算法则，化简多重符号和绝对值的求解方法求出对应数的结果，再根据负数是小于0的数即可得到答案． 【详解】解：， ∴负数有，共1个， 故选：A． 2．（24-25七年级上·北京·期中）在数轴上，所表示的点在所表示的点的左边，且，则的值为 ． 【答案】或 【分析】本题考查有理数与数轴，有理数的运算，根据题意，得到，再根据绝对值的意义和有理数的乘法运算，求出，再利用减法法则进行计算即可． 【详解】解：∵在数轴上，所表示的点在所表示的点的左边， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴或； 故答案为：或． 3．（24-25七年级上·山西吕梁·期中）张琪准备完成题目：计算．发现题中有一个数字“♥”被墨水污染了．张琪的妈妈看到该题参考答案的结果等于，请通过计算求出被污染的数字“♥”． 【答案】 【分析】本题考查解一元一次方程，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．把看作未知数，先算乘方再移项，然后除以，得，最后移项系数化1，即可作答． 【详解】解：依题意， ∴， ∴， ∴， ∴， 则， 则， ∴， ∴． 考点三： 乘方运算的符号规律 1．（24-25七年级上·湖南湘潭·阶段练习）若 ，则一定有（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是乘方运算的符号规律，分别根据，，进行探究即可得到答案． 【详解】解：当，则， 当，则， 当，则，则， ∴当，则， 故选：C 2．（2024七年级上·江苏·专题练习）如果一个有理数的奇次幂是正数，那么这个有理数（　　） A．一定是正数 B．是正数或负数 C．一定是负数 D．可以是任意有理数 【答案】A 【分析】根据有理数的乘方法则进行判断即可．此题考查了有理数的乘方，熟练掌握乘方运算法则是解本题的关键． 【详解】解：∵正数的任何次幂是正数，负数的奇次幂数负数，0正整数次幂是0 ∴一个有理数的奇次幂是正数，这个数一定是正数． 故选：A． 1．（24-25七年级上·河南郑州·期末）当时，下列各式成立的有（　　） ①；②；③；④． A．①② B．①③ C．①②④ D．②③④ 【答案】A 【分析】本题考查乘方的运算，掌握乘方的运算法则是解题的关键． 根据乘方的意义进行判断即可． 【详解】解：当时， ①，正确． ②，正确． ③，故错误． ④，则，故错误． 故选：A． 2．（23-24七年级上·黑龙江齐齐哈尔·期中）如果n是正整数，那么的值（    ） A．一定是零 B．一定是正偶数 C．一定是正奇数 D．是零或正偶数 【答案】D 【分析】分为两种情况当n是偶数时，当n是奇数时，求出即可． 【详解】解：当n是偶数时，原式， 当n是奇数时，原式，是正偶数． 故选：D． 【点睛】本题考查了有理数的乘方的应用，注意要进行分类讨论是解决本题的关键． 3．（23-24七年级上·广东揭阳·期末）计算： 【答案】0 【分析】本题考查了有理数的加法运算，有理数的乘方，根据有理数的乘方找到规律，计算即可． 【详解】解：原式 ， 故答案为：0． 考点四： 乘方的逆运算(简算) 1．（21-22六年级下·山东泰安·期中）计算的结果是（　　） A．9 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】根据乘方的逆运算进行计算． 【详解】解：原式= 故选B 【点睛】本题主要考查有理数乘方的运算性质的应用，掌握乘方运算是解题的关键． 2．（24-25七年级上·全国·单元测试）如果，那么 ． 【答案】4 【分析】本题考查了有理数的乘方的定义及法则．熟练掌握有理数的乘方的定义是解题的关键．根据有理数乘方的定义，已知等式中的相当于的5次方，由此可以求出x的值为．已知等式中的8相当于2的3次方，由此可以求出y的值为2．进而可求出的值． 【详解】解：∵， ∴， ∴． ∵， ∴， 因此． 故答案为：4． 3．（22-23七年级上·福建三明·期中）（1）计算下面两组算式： ①与；     ②与； （2）根据以上计算结果想开去：等于什么?（直接写出结果） （3）猜想与验证：当为正整数时，等于什么?请你利用乘方的意义说明理由． （4）利用上述结论，求的值． 【答案】（1）①见解析；②见解析；（2）；（3）；理由见解析；（4） 【分析】（1）前式先乘法再平方，后式先平方再乘法，据此即可计算求值； （2）根据（1）的结果即可得到答案； （3）根据乘方的意义写成n个数相乘，利用交换律转化为和的乘积即可证明猜想； （4）利用乘方的逆运算进行计算即可得到答案． 【详解】解：（1）①， ； ②， ； （2）； （3），理由如下： ； （4） ． 【点睛】本题考查了有理数乘法法则，乘方的意义，以及对师资普遍规律的猜想和验证，熟练运用乘方运算以及逆运算来简便运算是解题关键． 乘方是特殊的乘法，利用乘法的运算律可简化计算.即： 1．（22-23七年级上·福建厦门·期中）若，则的值可以表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的乘方，乘方的逆运算，等式的性质等知识点，根据有理数乘方的运算法则即可得解，熟练掌握有理数的乘方的意义是解题关键． 【详解】∵ ∴ ∴ ∴， 故选：D． 2．（23-24七年级下·全国·课后作业）若，则x等于 ． 【答案】2 【分析】本题考查了有理数的乘方和积的乘方，熟练掌握运算法则是解题的关键； 先进行积的乘方运算，然后根据有理数的乘方计算即可； 【详解】解： 3．（24-25七年级上·辽宁鞍山·阶段练习）善于反思的小聪在学习了有理数及其运算后，进行了如下总结与反思．请你仔细阅读并补全小聪的探究过程． [典例再现]，；，； [总结归纳] （1）观察上述例题，发现结论： ①互为相反数的两个数的绝对值______； ②互为相反数的两个数的______； [知识应用] （2）已知，，则______，______，若，则______，______． 【答案】（1）①相等；②平方相等；（2）；；；； 【分析】本题考查了绝对值、平方、相反数，解题的关键是读懂材料信息，利用分类讨论的思想进行求解． （1）①根据绝对值的运算性质即可判断；②根据平方运算的规律，观察得出相应结论； （2）根据（1）中的总结归纳及分类讨论的思想即可求解． 【详解】解：（1）∵，；，； ①互为相反数的两个数的绝对值相等； ②互为相反数的两个数的平方相等； （2），， ∴，， ∵， ∴，． 考点五： 含乘方的有理数混合运算 1．（24-25七年级上·北京·期中）计算的结果是（    ） A．12 B．10 C．-10 D．-6 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的混合运算，按照有理数运算顺序和运算法则计算即可． 【详解】解：， ， ， 故选：B． 2．（2024七年级上·全国·专题练习）使用科学计算器进行计算，其按键顺序为则输出结果为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查计算器的基础知识，含乘方的有理数混合运算，解题的关键是掌握分数的按键和乘方的按键，并依据其功能列出算式；根据计算器的顺序列出算式计算即可． 【详解】解：根据如图所示的按键顺序，输出结果应为： ； 故选：D． 3．（24-25七年级上·河北邢台·阶段练习）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是掌握运算法则和运算顺序． 先计算乘方，然后计算乘除，最后计算加减． 【详解】解：原式 ． 加和减属于运算中的第一级运算，级别是最低的，通常放在最后面计算；乘和除属于运算中的第二级运算，级别中等，运算顺序高于加和减；而乘方和开方则属于第三级运算，级别较高，通常是最优先计算的（如果有括号，先算括号内的；如果没有括号，在同一级运算中，要从左至右进行运算，无论何种运算，都要注意先定符号后运算）. 1．（24-25七年级上·甘肃定西·阶段练习）计算的结果是（   ） A．2 B． C．0 D． 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的乘方，熟记乘方的定义是解题的关键．根据有理数的乘方的定义进行计算即可得解． 【详解】解：， 故选：A． 2．（2024七年级上·全国·专题练习）下面是小刚同学做的一道有理数的混合运算题：． 解：原式．四位同学看了小刚的解答，给出4个看法：①运算顺序错了；②计算时符号错了，应为；③计算结果是；④第一步应该等于．其中正确的是（　　） A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．②③④ 【答案】C 【分析】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握运算法则和运算顺序是解答的关键．根据有理数混合运算法则和运算顺序解答即可． 【详解】解： ， ∴运算顺序错了，计算时符号错了，应为；计算结果为，第一步应该等于，看法正确的是①②④， 故选：C． 3．（24-25七年级上·河南洛阳·期末）计算： ． 【答案】/6.5/ 【分析】本题主要考查了含乘方的有理数混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题关键．首先进行乘方运算和化简绝对值，然后相加减，即可获得答案． 【详解】解：原式． 故答案为：． 4．（24-25七年级上·湖南永州·期中）计算． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3)2 (4)15 【分析】本题考查了有理数的四则混合运算和含乘方的有理数的混合运算，熟练掌握运算法则和顺序是解题的关键． （1）先计算绝对值和有理数的乘除，再计算有理数的加减，即得答案； （2）先计算有理数的乘方，然后计算两个括号中的加减，再计算有理数的乘法，最后计算有理数的加减，即得答案． （3）先算括号，再算除法即可； （4）先算乘方，再算乘除，最后算加减即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 考点六： 偶次方的非负性的运用 1．（24-25七年级上·陕西榆林·阶段练习）已知与互为相反数，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了代数式求值，解答本题的关键是明确非负数的性质，求出相应的x、y的值． 根据相反数的意义和非负数的性质建立方程，可以得到x、y的值，从而可以求得． 【详解】解：与互为相反数， ， ，， ，， ， 故答案为：． 2．（24-25七年级上·福建宁德·期中）如果，，则的值为 ． 【答案】或6/6或 【分析】本题考查了绝对值、乘方的逆运算、代数式求值，熟练掌握绝对值的性质和乘方的逆运算法则是解题关键．先根据绝对值的性质可得，再根据乘方的逆运算可得，然后代入计算即可得． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 当，时，； 当，时，； 综上，的值为或6， 故答案为：或6． 任何一个数的偶数次幂都是非负数. 1．（24-25七年级上·广东汕头·阶段练习）若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了非负数的性质，解题的关键是掌握非负数的性质进行解题． 由非负数的性质，求出a、b的值，即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， ∴； 故答案为：． 2．（24-25七年级上·四川眉山·期末）若与互为相反数． (1)求，的值； (2)规定一种新运算：，如 ，求的值． 【答案】(1)，； (2)． 【分析】本题主要考查了相反数的概念，绝对值和偶次幂的非负性，有理数的运算，掌握运算法则是解题的关键． （）根据相反数的概念和平方，绝对值的非负性即可得出，的值； （）根据新定义运算列式即可求解； 【详解】（1）解：∵与互为相反数， ∴， ∴，， ∴，； （2）解：由（）得：，， ∴ ． 考点七： 乘方的实际应用 1．（24-25七年级上·广东佛山·阶段练习）一根1米长的木棒，第一次截去它的，第二次截去剩下的，第三次再截去剩下的，如此截下去，第七次截去后剩下的木棒的长度是（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】C 【分析】本题考查乘方的应用，熟练掌握该知识点是解题的关键．根据题意和乘方的意义可知，第二次截去后剩下的木棒的长度为，第三次截去后剩下的木棒的长度为，依此类推，第n次截去后剩下的木棒的长度为米，由此可解． 【详解】解：第一次截去后剩下的长度为米， 第二次截去后剩下的长度为米， 第三次截去后剩下的长度为米， …… 以此类推， 第七次截去后剩下的木棒的长度是米， 故选：C． 2．（24-25七年级上·广东广州·期中）因为工作忙，人小杰给他儿子留下今天的早餐钱元，请用十进制表示为 ． 【答案】 【分析】本题考查进位制，本题解题的关键是找出题目给出的运算顺序，按照有理数混合运算的顺序进行计算即可，括号里的数字从左开始，按照有理数的运算法则进行计算即可． 【详解】解： 故答案为：． 3．（24-25七年级上·辽宁盘锦·期中）细菌是靠分裂进行生殖的，也就是1个细菌分裂成2个细菌，分裂完的细菌长大以后又能进行分裂．例如，图中所示为某种细菌分裂的电镜照片，显示这种细菌每20分钟就能分裂一次．1个这种细菌经过5个小时可以分裂成 个细菌． 【答案】 【分析】本题考查乘方的应用．先根据题意求出分裂的次数，再根据有理数的乘方进行计算即可． 【详解】解：分裂次数为：（次）， 1个这种细菌经过5个小时可以分裂成的细胞为：个， 故答案为：． 此类题型的难点在于分析问题，建立乘方的数学模型.基本步骤为:首先从特殊情形入手，逐步分析、归纳，找出变化规律;然后根据规律写出乘方数学模型;最后根据题干要求计算结果. 1．（24-25七年级上·甘肃兰州·期中）兰州牛肉面制作技艺是国家级非物质文化遗产，为了更好的弘扬优秀的传统文化，2024年秋季学期开始以来，兰州市部分中小学将兰州牛肉面纳入课程教学范畴，在每周的劳动教育课程中开展．制作时，拉面师傅，将一根很粗的面条，把两头捏合在一起拉伸，再捏合，再拉伸，反复几次，就把这根很粗的面条截成了许多细细的面条，如下图所示．请问这样第（   ）次捏合后可拉出128根面条． A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】本题考查了图形类规律探究，有理数的乘方，先探究规律：第次捏合可拉出根细面条，然后根据规律列式计算，理解乘方的意义是解题的关键． 【详解】解：根据题意有， 第一次捏合可拉出根细面条， 第二次捏合可拉出根细面条， 第三次捏合可拉出根细面条， …， 第次捏合可拉出根细面条， 令：，解得：， 故选：C． 2．（24-25七年级上·山东德州·期末）我国古代《易经》一书中记载：远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”．一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，采取满七进一的方式，用来记录孩子出生后的天数．如图1，孩子出生后的天数是（天），那么图2表示孩子出生后的天数是 【答案】509 【分析】本题是以古代“结绳计数”为背景，按满七进一计算自孩子出生后的天数，运用了类比的方法，解题关键是根据图中的点列式计算．类比于现在我们的十进制“满十进一”，可以表示满七进一的数为：千位上的数百位上的数十位上的数个位上的数，即可求解． 【详解】解：， 故答案为：． 3．（2024七年级上·全国·专题练习）为响应国家创业号召，小张准备新开一家拉面馆，选址后对这一地区的人流量进行统计，以人为标准，超过记为正，低于记为负，一周内同一时间的人流量如表： 星期 一 二 三 四 五 六 日 人数 (1)这一周人数最多的一天比人数最少的一天多多少人？ (2)若这些人中有的人来吃面，按照每人一碗，每碗面元，则平均每天的销售额是多少？ (3)拉面条时，将一根很粗的面捏合在一起拉伸，再捏合，再拉伸，反复几次，就把这根很粗的面条，拉成了许多根细的面条，拉面师傅一般拉8次可做一碗拉面，则拉面师傅拉完次后有______根面． 【答案】(1)人 (2)元 (3) 【分析】本题考查正数与负数、有理数运算、有理数的乘方的应用， （1）根据正数、负数的定义进行计算即可； （2）根据总价=单价×数量进行计算即可； （3）根据乘方的定义进行计算即可； 掌握正数与负数的定义以及有理数乘方的计算方法是正确解答的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴这一周人数最多的一天是星期一，人数为（人）， 这一周人数最少的一天是星期四，人数为（人）， ∴（人）， ∴这一周人数最多的一天比人数最少的一天多人； （2）这一周的人流量为：（人）， ∴（元）， ∴平均每天的销售额为元； （3）∵拉伸次，得到的面条数为（根）， 拉伸次，得到的面条数为（根）， 拉伸次，得到的面条数为（根）， … 依此类推，拉伸次，得到的面条数为（根）， ∴拉面师傅拉完次后有根． 故答案为：． 4．（24-25七年级上·甘肃陇南·期中）生活中常用的十进制是用这十个数字来表示数，满十进一，例：；计算机常用二进制来表示字符代码，它是用0和1两个数来表示数，满二进一，例：二进制数10000转化为十进制数：； 其他进制也有类似的算法…… (1)根据以上信息，将二进制数“101110”转化为十进制数是________； (2)在我国远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”，如图所示是远古时期一位母亲记录孩子出生后的天数，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满五进一，根据图示表示的五进制数为132，求孩子已经出生的天数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的乘方运算，正确理解题中二进制转换十进制的计算方法是解题的关键． （1）根据二进制转换十进制的方法列式计算即可； （2）满五进一，类似于五进制数，仿照二进制转换十进制的计算方法进行计算即可． 【详解】（1）解：101110转化为十进制数是， 故答案为：； （2）解：由于满五进一，类似于五进制数，图示表示的五进制数为132，转化为十进制数为， 孩子已经出生了42天． 考点八： 乘方中的规律探究 1．（24-25七年级上·河南驻马店·期中）计算：，…归纳计算结果中的个位数字的规律，猜测的个位数字是（   ） A．1 B．3 C．5 D．9 【答案】C 【分析】本题考查数字类规律探究，根据计算得到的个位数字以四个为一组进行循环，求出的个位数字再加上2，即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴的个位数字以四个为一组进行循环， ∵， ∴的个位数字为3， ∴的个位数字是； 故选：C． 2．（23-24七年级上·湖北荆州·期末）如图，下列各正方形中四个数之间均具有相同的规律，根据此规律，第n个正方形中的，则n的值为（　　） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】B 【分析】本题考查数字规律问题，根据已知图形找出a、b、c、d的数量关系是解题的关键． 首先由已知图形可得，然后找出a、b、c、d的数量关系，最后建立方程求解． 【详解】由已知图形中数字的规律可得： ，，， ∵第n个正方形中的 ∴ 解得 即 解得． 故选：B． 3．（24-25七年级上·全国·期末）观察下列各式：，，，，，根据其中的排列规律，则第n个式子为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查数字规律，有理数的乘方运算，理解数字规律的计算，掌握有理数的乘方运算法则是解题的关键．根据已知数据，确定符号与数值的关系，再运用进行验证即可求解． 【详解】解：，，，，，， ∴第n个数字是， 故答案为：． 1．（24-25七年级上·湖北荆州·期中）请你先计算，然后观察这些结果，你发现底数的小数点向左（右）移动一位时，立方数小数点的移动规律是（） A．不移动 B．向左（右）移动一位 C．向左（右）移动两位 D．向左（右）移动三位 【答案】D 【分析】本题考查的是有理数的乘方运算，关键在于找到规律，本题的规律为：底数的小数点向左（右）移动一位时，立方数小数点的移动规律是：向左（右）移动三位．先计算，然后观察结果，找到规律． 【详解】解：， 底数的小数点向左（右）移动一位时，立方数小数点的移动规律是：向左（右）移动三位， 故选：D． 2．（2024七年级上·全国·专题练习）观察下列式子： ①，②，③，… （1）根据你发现的观律，请写出第4个等式 ； （2）根据你发现的规律，请写出第（为正整数）个等式 ； （3）请写出第198个等式： ． 【答案】 【分析】本题考查数字的变化规律，通过观察所给的式子，探索出式子的一般规律是解题的关键． （1）通过观察所给的式子，直接写出即可； （2）通过观察所给的式子特点，可得第n（n为正整数）个等式为：，再证明即可； （3）由（2）可知，当时，代入即可求解． 【详解】解：（1），…， ∴第4个等式为， 故答案为：； （2）第n（n为正整数）个等式为：， 故答案为：； （3）由（2）可知，当时，， 故答案为：． 3．（24-25七年级上·四川雅安·阶段练习）“杨辉三角”是中国古代数学重要的成就之一，最早出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》中．其规律是：从第三行起，每行两端的数都是“”，其余各数都等于该数“两肩”上的数之和，如图． (1)求图中第行第个数是__________； (2)第二行的数字之和是 ，第三行的数字之和 ，第行的数字之和 ； (3)求图中前行所有的数字之和． 【答案】(1) (2)，， (3) 【分析】（）根据题意和图形解答即可； （）由图形可求出第二行、第三行的数字之和，进而求出第四行、第五行的数字之和，从而找到规律，即可得到第行的数字之和； （）设前行所有的数字之和为，可得，，用即可求解； 本题考查了数字类变化规律，有理数的加法和乘方运算，整式的加减，解题的关键是观察图形的变化，找到数字的变化规律． 【详解】（1）解：由题意得，图中第行第个数是， 故答案为：； （2）解：由图可得，第二行的数字之和是，第三行的数字之和， ∵第二行的数字之和是， 第三行的数字之和是， 第四行的数字之和是， 第五行的数字之和是， ， ∴第行的数字之和， 故答案为：，，； （3）解：设前行所有的数字之和为， 则， ∴ 得， ， 即， ∴图中前行所有的数字之和为． 考点九： 程序流程图与有理数计算 1．（24-25七年级上·吉林长春·期中）按如图所示的运算程序，输入x的值为1，则输出的y的值为（   ） A． B． C．11 D．116 【答案】C 【分析】本题主要考查了求代数式的值，有理数的混合运算，正确理解程序图中的程序并列式计算是解题的关键．利用程序图中的程序列式计算即可． 【详解】解：输入x的值为1，则， 重新输入x的值为，则， ∴输出的y的值为11． 故选：C． 2．（24-25七年级上·河北沧州·期中）按照如图所示的计算机程序计算，若开始输入的x值为2，第一次得到的结果为1，第二次得到的结果为4，…，第10次得到的结果为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题考查找数字规律，涉及程序计算，理解题中的计算机程序，按要求计算，找到结果呈现的规律即可得到答案，理解程序图是解决问题的关键． 【详解】解：当时，为偶数，则； 当时，为奇数，则； 当时，为偶数，则； 当时，为偶数，则； 当时，为奇数，则； 当时，为偶数，则； 当时，为偶数，则； ∴每3次一循环， ∴第10次得到的结果为1， 故选：A． 3．（24-25七年级上·河南郑州·期末）按如图所示的程序流程计算，若开始输入的值为，则最后输出的结果是（   ） A．6 B．42 C．1806 D．无法输出结果 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的混合运算，有理数的大小比较，根据程序流程图计算并比较大小即可得解，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解：∵开始输入的值为， ∴， ， ， 故最后输出的结果是， 故选：C． 1．（24-25七年级上·北京·期中）如图是一个简单的数值运算程序，当输入的值为时，则输出的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了程序流程图与有理数计算，先理解运算程序为，把代入进行计算，得，因为得数不符合，故再把代入进行计算，即可作答． 【详解】解：依题意，把代入， 得， ∴把代入， 得， 故答案为： 2．（24-25七年级上·广东深圳·期末）下图是一个“数值转换机”的示意图，如果输入，，则输出的结果为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了程序流程图与有理数计算，结合已知条件列得正确的算式是解题的关键．根据题意列式为，然后进行计算即可． 【详解】解：当，时，则， 故答案为：4． 3．（24-25七年级上·浙江杭州·期末）如图，这是一个数值运算程序： (1)若输入的是，经历程序运算2次，求第2次输出的结果． (2)若输入的是，经历程序运算2025次，求第2025次输出的结果． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，求代数式的值，数字类规律探索，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据题意列式计算即可得解； （2）根据题意列式计算得出规律运算每次一个循环，即可得解． 【详解】（1）解：若输入的是，运算次后结果为， 运算次后结果为，即第2次输出的结果为； （2）解：若输入的是， 运算次后结果为， 运算次后结果为， 运算次后结果为， 运算次后结果为， 运算次后结果为， 运算次后结果为， …， 故运算每次一个循环， ∵， ∴第2025次输出的结果为． 考点十： 乘方中的新定义问题 1．（23-24七年级上·陕西咸阳·阶段练习）对于有理数定义一种新运算“※”，规定：，例如：． (1)求的值； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，新定义运算，解题的关键是熟练掌握新定义． （1）根据新定义，以及有理数的混合运算的运算方法，求出的值是多少即可； （2）首先根据新定义，以及有理数的混合运算的运算方法，根据题意列出方程即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：根据题意，得， 即， 解得． 2．（24-25七年级上·安徽亳州·期中）对于有理数定义运算，求的值． 【答案】 【分析】本题考查的是新定义运算的含义，含乘方的有理数的混合运算，理解新定义的含义是解本题的关键，根据新定义运算的含义列式：，再计算即可． 【详解】解：∵， ∴ ． 3．（24-25七年级上·陕西西安·期中）对于有理数a、b，定义新运算“#”，规定，如：． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了含有理数的乘方的混合运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据，计算，即可作答． （2）先算，得出，然后再计算，即可作答． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：∵， ∴， 则 ． 1．（24-25七年级上·新疆阿克苏·阶段练习）对于有理数m，n，定义新运算“”，规定：．例如：． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1)8 (2)76 【分析】本题考查了新定义运算，有理数混合运算，理解新定义，正确进行有理数混合运算是解题的关键． （1）按新定义表示出算式，再根据有理数混合运算法则进行计算，即可求解； （2）按新定义分步表示出算式，再根据有理数混合运算法则进行计算，即可求解． 【详解】（1）解：由题意，知， 所以的值为8． （2）解：由题意，知， 所以， 所以的值为76． 2（24-25七年级上·贵州黔南·期中）在学习完有理数的运算后，小丽对运算产生了浓厚的兴趣，她借助有理数的运算对有理数，定义了一种新运算“※”，规定：，例如：． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1)8 (2) 【分析】本题主要考查新定义运算，含乘方有理数的混合运算，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）根据题意列出新定义运算的式子，再根据含乘方有理数的混合运算，计算即可． （2）根据题意列出新定义运算的式子，再根据含乘方有理数的混合运算，计算即可． 【详解】（1）解：根据题意可得 ． （2）解：根据题意可得 ． 3．（24-25七年级上·北京西城·期中）解答题 探究规律，完成相关题目． 定义“*”运算： ；            ； ；        ； ；        ； ；                ； ；                        ． 归纳*运算的法则（用文字语言叙述） (1)绝对值不同的两数进行*运算时，结果的绝对值如何确定？______．特别地，0和任何数进行*运算，或任何数和0进行*运算，______． (2)计算： (3)是否存在两个非零有理数，使得，若存在，求出满足的关系，若不存在，说明理由． 【答案】(1)绝对值较大数的平方减去绝对值较小数的平方，绝对值为正；结果都等于这个数的平方； (2) (3)存在两个非零有理数，使得，理由见详解 【分析】本题主要考查含有乘方的有理数的混合运算，绝对值的性质，理解材料中关于“*”运算方法，掌握绝对值的性质，含有乘方的有理数的混合运算法则是解题的关键． （1）阅读材料，根据材料提示，总结归纳即可求解； （2）运用材料提示的运算法则进行计算即可； （3）根据材料提示得到，由此计算即可求解． 【详解】（1）解：∵； ； ； ； ∴绝对值不同的两数进行*运算时，结果的绝对值的确定方法是：绝对值较大数的平方减去绝对值较小数的平方，绝对值为正； ∵； ； ； ∴0和任何数进行*运算，或任何数和0进行*运算，结果都等于这个数的平方； 故答案为：绝对值较大数的平方减去绝对值较小数的平方，绝对值为正；结果都等于这个数的平方； （2）解： ； （3）解：存在，理由如下， ∵， ∴， ∴， ∴或，即， ∴存在两个非零有理数，使得． 1．（24-25七年级上·广西河池·期末）下列各式中，不相等的是（ ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】C 【分析】本题考查有理数乘方的运算，绝对值，熟练掌握乘法的定义及运算是解题的关键．利用乘方的定义依次进行计算，即可判断． 【详解】解：A中，∵，， ∴， 故选项A正确，不符合题意； B中，∵，， ∴， 故选项B正确，不符合题意； C中，∵，， ∴， 故选项C错误，符合题意； D中，∵，， ∴， 故选项D正确，不符合题意； 故选：C． 2．（24-25七年级上·云南临沧·期末）《孙子算经》中记载：“今有出门望见九堤，堤有九木，木有九枝，枝有九巢，……”其大意是：出门看见有9座堤坝，每座堤坝上有9棵树，每棵树有9根树枝，每根树枝上有9个鸟巢，……，文中的鸟巢共有（   ） A．36个 B．27个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的乘方．根据乘方的意义得出算式，求解即可． 【详解】解：（个）； 答：文中的鸟巢共有个． 故选：C． 3．（23-24七年级上·湖南永州·期末）若，则记，例如，于是，若，，，则的值为（    ） A．16 B．－2 C．2或 D．16或 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的乘方，根据题意和有理数的乘方可求出a，b的值，随之问题得解． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 故选：C． 4．（24-25七年级下·甘肃武威·开学考试）若，则值是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查绝对值和平方的非负性，有理数的乘方，熟练掌握若两个非负数相加等于零，则这两个非负数都为零．先利用非负性的性质求出，，再计算即可． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴，， ∴， 故选：A． 5．（24-25七年级上·贵州贵阳·期末）数轴上任意一点A，表示的数是a，下列各式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查数轴，由数轴可得，利用乘方的运算法则，绝对值的意义，逐一判断即可． 【详解】解：由数轴可得：，则， A、，则，正确，故符合题意； B、，则，错误，故不符合题意； C、，则，错误，故不符合题意； D、，则故选项不符合题意； 故选：A． 6．（24-25七年级上·云南保山·期末）在数学课上，老师让甲、乙、丙、丁四名同学分别做了一道有理数计算题，你认为做对的同学是（    ） 甲：    乙： 丙：    丁： A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】B 【分析】本题考查有理数含乘方的混合运算，按照有理数的运算顺序与法则依次进行判断即可． 【详解】解：，故甲计算错误； ，故乙计算正确； ，故丙计算错误； ，故丁计算错误； 故选：B． 7．（24-25七年级上·江西赣州·期末）已知，，，，，，那么的个位上的数字是（   ） A．6 B．4 C．2 D．0 【答案】A 【分析】本题考查有理数乘方，解题的关键是根据已知条件，找出规律； 根据已知得出2的n次幂的个位数字以2，4，8，6四个数字循环，据此求解即可． 【详解】解：∵，，，，，， ∴2的整数次幂的个位数字是2，4，6，8，每4个数字为一个循环组依次循环， ∵， ∴的个位数字是， 故选：A． 8．（24-25七年级上·广东中山·期末）已知x， y为有理数，规定一种新运算 则（    ） A．5 B．7 C．33 D．45 【答案】B 【分析】此题考查了有理数的混合运算，原式利用题中的新定义先算出，再算出即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 故选：B． 9．（24-25七年级上·湖南张家界·期末）明明在数学学习中遇到了神奇的“数值转换机”，如图是一个数值转换机的运算程序，若第一次输入的值为8，则2024次输出的结果为（    ） A．8 B．4 C．2 D．1 【答案】C 【分析】本题是程序框图及规律探索问题，考查了求代数式的值．列表找出规律即可完成． 【详解】解：表如下： 次数 输入 输出 1 8 4 2 4 2 3 2 1 4 1 4 5 4 2 6 2 1 7 1 4 8 4 2 9 2 1 … … … 由表知，输出的值按4、2、1循环， 而， 所以2024次输出的结果为2； 故选：C． 10．（24-25七年级上·河北邯郸·期末）以下是嘉淇同学的练习题，他最后得分是（    ） 姓名：嘉淇    得分： 填空题（评分标准：每道题5分） （1）（2）（3）（4） A．20分 B．15分 C．10分 D．5分 【答案】C 【分析】此题主要考查了有理数的乘方运算，熟练掌握有理数的乘方运算法则是解本题的关键．根据有理数的乘方运算法则计算，判断即可． 【详解】解：（1），正确，得5分； （2），正确，得5分； （3），不正确，得0分； （4），不正确，得0分． 他最后得分为：（分）． 故选：C． 11．（24-25七年级上·重庆·期中）我们常用的数是十进制数．计算机程序使用的是二进制数（只有数码0和1），它们两者之间可以互相换算，如将，换算成十进制数分别是：，．按此方式，将二进制换算成十进制数的结果是 ． 【答案】 【分析】此题考查了有理数的混合运算，仿照阅读材料中将二进制换算为十进制的方法计算即可． 【详解】解：根据题意得：， 故答案为：． 12．（24-25七年级上·安徽宿州·期末）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是掌握运算法则和运算顺序． 先计算乘方，然后计算乘除，最后计算加减． 【详解】 ． 故答案为：． 13．（24-25七年级上·江苏苏州·期末）按如图所示的程序计算，当输入有理数m，n，满足时，y的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查有理数的混合运算，代数式求值，绝对值的非负性，根据绝对值的非负性求得，的值，然后列得算式并计算即可．理解题意并列得正确的算式是解题的关键． 【详解】解：， ，， 解得：，， ， ， 故答案为：． 14．（24-25七年级上·四川达州·期末）若、互为相反数，、互为倒数，的绝对值等于，则 ． 【答案】5 【分析】本题主要考查有理数的混合运算，先根据相反数的性质和倒数的定义及绝对值的性质得出，，或，再分别代入计算可得． 【详解】解：、互为相反数，， 、互为倒数，， 的绝对值等于，或， 当时，原式； 当时，原式； 综上，原式的值为， 故答案为：． 15．（24-25七年级上·山东青岛·期末）定义：对于确定位置的三个数：，取，，，这三个数的最小值，叫做求a，b，c的最优值，记作，例如，计算：，因为，，，所以，计算 ． 【答案】 【分析】本题考查了新定义，有理数的运算等知识，根据题中意思分别求出三个数，然后比较大小即可得出答案． 【详解】解：∵，，，， ∴， 故答案为：． 16．（24-25七年级上·四川绵阳·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）先乘方、化简绝对值、括号内计算，再计算乘法，再计算减法即可； （2）先进行括号内计算，再计算乘除即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 17．（24-25七年级上·河北沧州·期末）计算： (1)； (2) 【答案】(1)5 (2) 【分析】本题主要考查了有理数混合运算，解题的关键是熟练掌握有理数混合运算法则，“先算乘方，再算乘除，最后算加减，有小括号的先算小括号里面的”． （1）根据含乘方的有理数混合运算法则进行计算即可； （2）根据含乘方的有理数混合运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 18．（24-25七年级上·浙江宁波·期中）方方计算的过程如下： (1)以上计算过程中，方方开始出错的是第______步，圆圆开始出错的是第______步； (2)写出你的计算过程． 【答案】(1)②；① (2)见解析 【分析】本题主要考查含乘方的有理数混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键； （1）根据题意可直接进行求解； （2）根据含乘方的有理数混合运算可进行求解． 【详解】（1）解：以上计算过程中，方方开始出错的是第②步，圆圆开始出错的是第①步， 故答案为：②，①； （2）解：原式 ． 19．（24-25七年级上·福建泉州·期末）生活在数字时代的我们，很多场合使用二维码来表示不同的信息，类似地，可通过正方形网格中，对每个小正方格涂黑色或不涂色所得的图形来表示不同的信息．在代码编制上巧妙利用构成计算机内部逻辑基础的“0”，“1”，使用若干个与二进制相对应的几何图形来表示数值（黑色代表1，白色代表0）．如图1是某校一次考试中三位同学的准考证号对应的二维码的简易编码．如图2是王芳同学准考证号的二维码简易编码，其中第一行代表二进制的数字11000，转化成10进制为：．同理，第二行至第五行代表二进制的数字分别为1100，111，11100，1101，转化成10进制为：12，07，28，13，将五行编码有序组合在一起就是王芳的准考证号2412072813，其中第一行编码“24”表示区县，第二行编码“12”表示学校，第三行编码“07”表示班级，第四行编码“28”表示考场号，第五行编码“13”表示座位号． (1)如图3是本次考试张亮同学准考证号的二维码简易编码，其中第四行代表二进制的数字是10101，转化成10进制后可得他的考场号是 ． (2)本次考试中，赵军的准考证号是2917021311，如图4是赵军为自己绘制的二维码简易编码，但少涂黑了几个小正方形，请你在图4中帮他补充完整． (3)随着学校办学规模不断扩大，班级及学生数量不断增加，该校准考证的编码识别系统能否一直适用？请通过计算说明理由． 【答案】(1)21 (2)见解析 (3)不能，理由见解析 【分析】（1）根据二维码编码规则即可确定第四行代表二进制的数字，再将其转化为10进制数字即可； （2）根据题意可知赵军的准考证号是2917021311，由二进制和十进制数字转化规则确定各行编码二进制数字，即可获得答案； （3）计算该编号识别系统中班级、考场号、座位号的最大值即可解答． 【详解】（1）解：根据题意得，第四行代表二进制的数字是10101， 二进制的数字10101，转化成10进制为：， ∴转化成10进制后可得他的考场号是21， 故答案为：21； （2）解：准考证号2917021311，分别将29，17，02，13，11转化为二进制， ，29转化为二进制为：11101， ，17转化为二进制为：10001， ，02转化为二进制为：10， ，13转化为二进制为：1101， ，11转化为二进制为：1011， 如图所示： （3）解：∵， ∴班级、考场号、座位号的最大值都是31， ∴随着学校规模的不断扩大，班级数在不断增加，该编号识别系统不能一直适用． 【点睛】本题主要考查了二进制与十进制数字转化、有理数运算等知识，熟练掌握二进制与十进制转化规则是解题关键． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$