第15讲 锐角三角函数（3知识点+10考点+过关检测）-【暑假自学课】2025年新九年级数学暑假提升精品讲义（沪科版）

第15讲 锐角三角函数 内容导航——预习三步曲 第一步：导 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标明确内容掌握 第二步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练考点 强知识：10大核心考点精准练 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识导图梳理 学习目标明确 1. 掌握正弦函数、余弦函数以及正切函数的概念以及求法，并能够熟练的求出已知锐角的三角函数值或者根据锐角三角函数值求相应的边长. 2. 掌握特殊角的锐角三角函数值,能够自行推导并记住特殊角的锐角三角函数值，并在解决问题时灵活运用. 知识点 1 正弦、余弦、正切 正弦：在Rt△ABC中，∠C＝90°，把锐角A的对边a与斜边c的比叫做 ∠A的正弦，记作sin A，即； 余弦：在Rt△ABC中，∠C＝90°，把锐角A的邻边b与斜边c的比叫做 ∠A的余弦，记作cos A，即； 正切：在Rt△ABC中，∠C＝90°，把锐角A的对边a与邻边b的比叫做 ∠A的正切，记作tan A，则 1．（24-25九年级上·重庆·期中）如图，在中， ，， ，下列三角函数表示正确的是(  ) A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·甘肃张掖·阶段练习）在中，，，，则（   ）． A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·广西南宁·期中）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，的顶点都在正方形顶点上，那么的值为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·山东济南·期中）已知在中，，，，则等于（   ） A．6 B．16 C．3 D．12 5．（24-25九年级上·陕西榆林·阶段练习）如图，在中，，，，于点D，则的值为（   ） A． B． C． D． 知识点 2 特殊角的三角函数值 利用三角函数的定义，可求出30°、45°、60°角的各三角函数值，如下表所示： 三角函数值 特殊角 30° 45° 60° sin α cos α tan α 1 . 1．（24-25九年级上·重庆·阶段练习）下列实数中是无理数的是（    ） A． B．3.14 C． D． 2．（2024·安徽宿州·模拟预测）的相反数是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·吉林四平·期末）的值是（   ） A． B． C． D． 4．（22-23九年级上·山东潍坊·阶段练习）在中，若，则 ． 5．（24-25九年级上·甘肃张掖·阶段练习）计算： (1)； (2)． 知识点 3 锐角三角函数的关系 在Rt△ABC中，若∠C为直角，则∠A与∠B互余时，有以下两种关系： 1）同角三角函数的关系： ① 平方关系：； ② 商数关系：. 2) 互余两角的三角函数关系： ① 互余关系： sin A = cos(90°-∠A) = cos B，即一个锐角的正弦值等于它的余角的余弦值. sin B = sin(90°-∠A) = cos A，即一个锐角的余弦值等于它的余角的正弦值. ② 倒数关系： . 1．（24-25九年级上·安徽亳州·期末）若是锐角，且，则（   ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·四川广元·阶段练习）在中，，若，则的值为（） A． B． C． D． 3．（23-24九年级下·山东济宁·开学考试）比较，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·山东济南·期中）如图，点，点C是一点，若，则 ． 5．（17-18九年级下·全国·课后作业）如果是锐角，且，那么 度 【题型1理解正弦、余弦、正切的概念】 1．（24-25九年级上·山东淄博·期中）在中，分别是的对边，若，则不正确的结论是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·期中）在中，，下列选项中的关系式正确的是（  ） A． B． C． D． 3．（23-24九年级上·广东清远·阶段练习）把三边的长度都扩大为原来的2倍，则锐角的正弦值（   ） A．不变 B．缩小为原来的 C．扩大为原来的2倍 D．不能确定 4．（24-25九年级上·山东聊城·阶段练习）如图，小兵同学从处出发向正东方向走米到达处，再向正北方向走到处，已知，则，两处相距（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【题型2 求角的正弦、余弦、正切值】 1．（2024·浙江宁波·一模）如图，在中，，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·天津红桥·一模）如图，在中，，为边上一点，过点作，垂足为，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）如图，在中，，点为的中点，连接．若，则的值为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·辽宁沈阳·期中）如图所示，的顶点是正方形网格的格点，则的值为（　　） A． B． C． D． 5．（24-25九年级上·河北沧州·期中）如图，将放置在的正方形网格中，则的值是（    ） A． B． C． D． 6．（24-25九年级上·山东青岛·期末）如图，在边长相同的小正方形组成的网格中，点、、、都在这些小正方形的顶点上，、相交于点．则的值是（）    A．0.5 B． C．2 D．   7．（24-25九年级上·山东济宁·期中）如图，在的正方形方格图形中，小正方形的顶点称为格点，的顶点都在格点上，则图中的正切值是（   ） A．2 B． C． D． 【题型3 由正弦、余弦、正切值求边长】 1．（24-25九年级上·重庆·期中）如图，在中，，，则的长为（   ） A． B．3 C．8 D．10 2．（24-25九年级上·浙江金华·阶段练习）如图，滑雪道的长为，则滑雪道的竖直高度的长为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在中，，，，则的长为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·吉林长春·期末）如图，某小区的一块草坪离边有一条直角小路，社区为了方便群众通过，沿修了一条小路，已知米，新修小路与的夹角，则小路的长为（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 5．（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）如图，把一个长方形卡片放在每格宽度为1的横格纸中，恰好四个顶点都在横格线上，若，则边的长为（   ） A． B．5 C．4 D． 6．（2021·浙江宁波·二模）如图为一节楼梯的示意图，，，米，现要在楼梯上铺一块地毯，楼梯宽度为1米．则地毯的面积至少需要（   ）平方米 A． B． C． D． 【题型4 含特殊角的三角函数值的混合运算】 1．（24-25九年级上·湖南常德·期末）式子的值是（    ） A． B．0 C． D．2 2．（24-25九年级上·辽宁大连·阶段练习）的值为（   ） A． B． C． D． 3．（23-24九年级上·河北唐山·期中）的结果是（   ） A．1 B．2 C．3 D．0 4．（24-25九年级上·山东烟台·期末）化简 ． 5．（2025·山东·二模）计算：． 6．（2024·湖北恩施·二模）计算：． 【题型5 由特殊角的三角函数值判断三角形的形状】 1．（23-24九年级下·福建龙岩·阶段练习）在中，若，则么一定是（    ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 2．（23-24九年级下·湖南衡阳·期中）在中， ，那么是（    ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 3．（2024·江苏淮安·一模）在中，若，，都是锐角，则是 三角形． 4．（22-23九年级上·江苏盐城·期末）在中，、都是锐角，且，则的形状是 三角形（填“等腰”、“等边”或“直角”）． 【题型6 比较三角函数值的大小】 1．（2025九年级下·全国·专题练习）如图，梯子（长度不变）与地面所成的锐角为，关于的三角函数值与梯子的倾斜程度之间的关系，下列说法中，正确的是（） A．的值越大，梯子越陡 B．的值越大，梯子越陡 C．的值越小，梯子越陡 D．陡缓程度与的函数值无关 2．（24-25九年级上·江苏苏州·阶段练习）已知在中，，，设，那么的取值范围是（　　） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）的大小关系是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24九年级上·北京·单元测试）下列结论（其中是锐角）：①；②；③当时，；④．其中正确的有 ． 5．（22-23九年级下·全国·单元测试）（1）试比较，，，，这些角的正弦值的大小和余弦值的大小． （2）利用互余的两个角的正弦和余弦的关系，比较下列正弦值和余弦值的大小：，，，． 【题型7 由三角函数值判断锐角的取值范围】 1．（23-24九年级上·山东淄博·阶段练习）已知，那么锐角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·广东梅州·期末）若，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 3（21-22九年级下·全国·单元测试）若是锐角，，则应满足 ． 4．（22-23九年级上·河北邯郸·期中）若，则 ． 【题型8 求特殊角的三角函数值】 1．（22-23九年级上·山东济南·期末）定义一种运算：，．例如：当，时，，则的值为 ． 2．（24-25九年级上·山东聊城·期中）定义一种运算：．例如：当时，，则的值为 ． 3（2023·湖南娄底·一模）定义一种运算：，例如：当，时，，则的值为(　　) A． B． C． D． 【题型9 锐角的三角函数中的新定义问题】 1．（23-24九年级下·浙江杭州·阶段练习）如图，在中，，定义：斜边与的对边的比叫做的余割，用“”表示．若该直角三角形的三边分别为a，b，c，则，那么下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级下·全国·期末）我们给出定义：如果两个锐角的和为，那么称这两个角互为半余角．如图，在中，，互为半余角，且，则 ． 3．（24-25九年级上·湖南岳阳·阶段练习）若定义等腰三角形底边与底边上高的比值为等腰三角形顶角的值，即，若等腰，，且，则 ． 4．（2023·四川巴中·模拟预测）规定：，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 【题型 10 同角(互余)两角的三角函数关系】 1．（24-25九年级上·江苏扬州·期末）已知中，，，则的值为 ． 2．（23-24九年级上·湖南邵阳·阶段练习）如果是锐角，且，那么的值（　　） A． B． C． D． 3．（2025·四川泸州·三模）以下各数中，与的值相等的是（   ） A．1 B． C． D． 4．（24-25九年级上·广西梧州·期末）已知，都是锐角，且，那么与之间满足的关系是（   ） A． B． C． D． 5．（2025九年级下·云南楚雄·学业考试）在中，，，则 ． 1．（2024·广东梅州·三模）在中，，，则的值是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·黑龙江大庆·期中）在中，各边的长度都扩大2倍，那么锐角的余弦值（   ） A．扩大3倍 B．保持不变 C．扩大9倍 D．缩小3倍 3．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）在中，，，，则的正切值为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·甘肃张掖·阶段练习）已知，且为锐角，则（   ）． A． B． C． D． 5．（24-25九年级上·宁夏银川·阶段练习）已知实数，，，则下列判断正确的是（   ） A． B． C． D． 6．（24-25九年级上·宁夏银川·期中）在中，，是斜边上的中线．已知，则的值为（   ） A．2 B． C． D． 7．（24-25九年级上·陕西西安·期中）在中，，若，则的值为（    ） A． B． C．1 D． 8．（24-25九年级上·重庆·阶段练习）在锐角中，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 9．（2024·吉林长春·模拟预测）如图，点在反比例函数的图象上，点在反比例函数的图象上，且，则的值等于（   ） A． B． C． D． 10．（19-20九年级上·北京昌平·期末）若是锐角，且，则（   ） A． B． C． D． 11．（2024·广东茂名·一模）物理中，我们学习过“杠杆原理”，即阻力×阻力臂＝动力×动力臂．如图，小伟用撬棍撬动某个物体，动力臂，阻力臂，如果动力F的用力方向始终保持竖直向下，当阻力不变时，则杠杆向下运动时的动力越来越 （填“大”或“小”）． 12．（24-25九年级上·宁夏银川·阶段练习）计算： ． 13．（24-25九年级上·山东济宁·期中）如图，在平面直角坐标系中，四边形为菱形，，且点A落在反比例函数上，点B落在反比例函数上，则 ．    14．（24-25九年级上·甘肃张掖·阶段练习）在中，若，，都是锐角，则的度数 ． 15．（24-25九年级上·云南保山·期中）如图，在矩形中，，点 E在边上，将矩形沿折叠，点 A 恰好落在边上的点处，则的正切值是 ． 16．（2024·广东湛江·一模）计算：． 17．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·期中）先化简．再求代数式的值，其中． 18．（24-25九年级上·河北石家庄·期末）对于实数、，定义一种运算“”为：， (1)________． (2)判断点在不在函数的图象上，说明理由． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第15讲 锐角三角函数 内容导航——预习三步曲 第一步：导 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标明确内容掌握 第二步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练考点 强知识：10大核心考点精准练 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识导图梳理 学习目标明确 1. 掌握正弦函数、余弦函数以及正切函数的概念以及求法，并能够熟练的求出已知锐角的三角函数值或者根据锐角三角函数值求相应的边长. 2. 掌握特殊角的锐角三角函数值,能够自行推导并记住特殊角的锐角三角函数值，并在解决问题时灵活运用. 知识点 1 正弦、余弦、正切 正弦：在Rt△ABC中，∠C＝90°，把锐角A的对边a与斜边c的比叫做 ∠A的正弦，记作sin A，即； 余弦：在Rt△ABC中，∠C＝90°，把锐角A的邻边b与斜边c的比叫做 ∠A的余弦，记作cos A，即； 正切：在Rt△ABC中，∠C＝90°，把锐角A的对边a与邻边b的比叫做 ∠A的正切，记作tan A，则 1．（24-25九年级上·重庆·期中）如图，在中， ，， ，下列三角函数表示正确的是(  ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了锐角三角函数的定义，勾股定理的应用，熟记在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边是解题的关键．先利用勾股定理求出的长，然后根据锐角三角函数的定义对各选项分别进行计算，再利用排除法求解即可． 【详解】解：在中， ，， ， ∴ ∴ 故选：D． 2．（24-25九年级上·甘肃张掖·阶段练习）在中，，，，则（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理，锐角三角函数，由勾股定理求出斜边的长，再根据正弦的定义计算即可求解，掌握正弦的定义是解题的关键． 【详解】解：如图， ∵，，， ∴， ∴， 故选：． 3．（24-25九年级上·广西南宁·期中）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，的顶点都在正方形顶点上，那么的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查勾股定理，以及三角函数的余弦求值，取格点，连接，得到，利用勾股定理求出，再根据余弦定义求解，即可解题． 【详解】解：取格点，连接， 由图知，，，， ， ， 故选：A． 4．（24-25九年级上·山东济南·期中）已知在中，，，，则等于（   ） A．6 B．16 C．3 D．12 【答案】D 【分析】本题主要考查了正切的定义，根据正切的定义解答即可，掌握正切是直角三角形中对边比邻边成为解题的关键． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， ∴， 故选D． 5．（24-25九年级上·陕西榆林·阶段练习）如图，在中，，，，于点D，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了锐角三角函数关系的定义，勾股定理，首先在中利用勾股定理求出，再根据同角的余角相等得出，进而利用锐角三角函数关系即可求出的值．得出是解题关键． 【详解】解：在中， ， ， ， ， ， ， 故选：B． 知识点 2 特殊角的三角函数值 利用三角函数的定义，可求出30°、45°、60°角的各三角函数值，如下表所示： 三角函数值 特殊角 30° 45° 60° sin α cos α tan α 1 . 1．（24-25九年级上·重庆·阶段练习）下列实数中是无理数的是（    ） A． B．3.14 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了实数的分类，零指数幂的意义，特殊角的三角函数值．实数分为有理数和无理数，有理数分为整数和分数，无理数分为正无理数和负无理数．A，C，D先化简，再判断． 【详解】解：A、，是有理数，故不符合题意； B、3.14是有理数，故不符合题意； C、，是有理数，故不符合题意； D、，是无理数，故符合题意； 故选：D． 2．（2024·安徽宿州·模拟预测）的相反数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了特殊角的三角函数值、相反数等知识点，掌握特殊角的三角函数值成为解题的关键． 先根据特殊角的三角函数值求得，然后再求其相反数即可． 【详解】解：由，则的相反数是． 故选C． 3．（24-25九年级上·吉林四平·期末）的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，根据特殊角的三角函数值计算即可得解． 【详解】解：， 故选：D． 4．（22-23九年级上·山东潍坊·阶段练习）在中，若，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了绝对值非负性，特殊角的三角函数，三角形的内角和定理等知识点，熟练掌握特殊角的三角函数是解题的关键． 由绝对值的非负性及完全平方式的非负性可得，，进而可得，，由特殊角的三角函数可得，，由三角形的内角和定理可得，由此即可求出的度数． 【详解】解：， ，， ，， ，， ， 故答案为：． 5．（24-25九年级上·甘肃张掖·阶段练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)2 (2) 【分析】本题主要考查了特殊角的三角函数的混合运算，熟练掌握特殊角的三角函数值，是解题的关键． （1）根据特殊角的三角函数值进行计算即可； （2）根据特殊角的三角函数值进行计算即可． 【详解】（1）解：（1） ； （2）解： ． 知识点 3 锐角三角函数的关系 在Rt△ABC中，若∠C为直角，则∠A与∠B互余时，有以下两种关系： 1）同角三角函数的关系： ① 平方关系：； ② 商数关系：. 2) 互余两角的三角函数关系： ① 互余关系： sin A = cos(90°-∠A) = cos B，即一个锐角的正弦值等于它的余角的余弦值. sin B = sin(90°-∠A) = cos A，即一个锐角的余弦值等于它的余角的正弦值. ② 倒数关系： . 1．（24-25九年级上·安徽亳州·期末）若是锐角，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查根据三角函数值判断锐角的取值范围，根据一个锐角的正弦值随着角的增大而增大，进行判断即可． 【详解】解：∵，，且， ∴； 故选A． 2．（23-24九年级上·四川广元·阶段练习）在中，，若，则的值为（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据，设，根据正切的定义，即可得答案． 【详解】解：由题意，得， 故设 则， 故选：B． 【点睛】本题考查三角函数的定义以及勾股定理，设是解题关键． 3．（23-24九年级下·山东济宁·开学考试）比较，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了锐角三角函数的增减性，熟记锐角三角函数的增减性是解题的关键， 根据三角函数的增减性，以及互余的两个角之间的关系即可作出判断． 【详解】， ， ，， ，， ， 故选：D． 4．（24-25九年级上·山东济南·期中）如图，点，点C是一点，若，则 ． 【答案】3 【分析】本题考查坐标与图形性质和三角函数的定义，掌握锐角正切三家函数的定义是关键．根据点和点的坐标，得到和的长度，根据角相等得到正切值相等，再得到长度即可． 【详解】解：由题意可知，，，， ， ， ， 故答案为：3． 5．（17-18九年级下·全国·课后作业）如果是锐角，且，那么 度 【答案】48 【分析】根据锐角三角函数关系：，即可求解． 【详解】∵是锐角，， 又∵， ∴48°． 故答案是48． 【点睛】本题主要考查锐角三角函数的关系，掌握，是解题的关键． 【题型1理解正弦、余弦、正切的概念】 1．（24-25九年级上·山东淄博·期中）在中，分别是的对边，若，则不正确的结论是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了锐角三角函数的定义和勾股定理的逆定理，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 根据勾股定理的逆定理可得是直角三角形，且，根据锐角三角函数的定义表示出、、、，问题即可解答． 【详解】解：∵， ∴是直角三角形，且， 由锐角三角函数的定义可知，，， ∴，，，， ∴选项B的结论不正确，符合题意． 故选：B． 2．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·期中）在中，，下列选项中的关系式正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 根据三角函数的定义即可作出判断． 【详解】解：在中，， ∴，，，，故A、B、C错误， ，故D正确， 故选：D． 3．（23-24九年级上·广东清远·阶段练习）把三边的长度都扩大为原来的2倍，则锐角的正弦值（   ） A．不变 B．缩小为原来的 C．扩大为原来的2倍 D．不能确定 【答案】A 【分析】本题考查锐角三角函数的定义，由于三边的长度都扩大为原来的倍所得的三角形与原三角形相似，得到锐角的大小没改变，根据正弦的定义得到锐角的正弦值也不变． 【详解】因为三边的长度都扩大为原来的倍，所得的三角形与原三角形相似， 所以锐角的大小没改变，所以锐角的正弦值也不变． 故选A． 4．（24-25九年级上·山东聊城·阶段练习）如图，小兵同学从处出发向正东方向走米到达处，再向正北方向走到处，已知，则，两处相距（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】B 【分析】本题考查了锐角三角函数中的余弦值，解题的关键在于熟练掌握余弦值的定义，余弦值就是在直角三角形中，锐角的邻边与斜边之比． 根据锐角三角函数中余弦值的定义即可求出答案． 【详解】解：∵小兵同学从处出发向正东方向走米到达处，再向正北方向走到处， ∴且米 ∵ ∴ ∴米 故选： B． 【题型2 求角的正弦、余弦、正切值】 1．（2024·浙江宁波·一模）如图，在中，，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了锐角三角函数的定义，勾股定理，互余两角三角函数的关系等知识点，能熟记锐角三角函数的定义是解此题的关键；根据锐角三角函数的定义得出，设，，根据勾股定理求出，再根据锐角三角函数的定义求出答案即可． 【详解】解：， 设，， 由勾股定理得：， ． 故选：B． 2．（2024·天津红桥·一模）如图，在中，，为边上一点，过点作，垂足为，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查解直角三角形，关键是掌握锐角三角函数定义．由锐角的三角函数定义，即可判断． 【详解】解：， ， 、，故不符合题意； 、结论正确，故符合题意； 、，故不符合题意； 、，故不符合题意． 故选：B． 3．（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）如图，在中，，点为的中点，连接．若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查解直角三角形，锐角三角函数，熟练掌握解直角三角形的性质是解题的关键； 根据题意，求得的长度，进而求解即可； 【详解】解：，点为的中点， ， ，， ； 故选：A 4．（24-25九年级上·辽宁沈阳·期中）如图所示，的顶点是正方形网格的格点，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理与网格问题、正弦，通过作辅助线，构造直角三角形是解题关键．如图（见解析），先求出，再利用勾股定理求出的长，然后根据正弦的定义求解即可得． 【详解】解：如图，设每个小方格的边长为1，取格点，连接， 由格点可知，，，， ∴， ∴在中，， 故选：D． 5．（24-25九年级上·河北沧州·期中）如图，将放置在的正方形网格中，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理以及锐角三角函数，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 由勾股定理求得，然后在以的为顶点的直角三角形里求的值． 【详解】解：由勾股定理得：， 由图可得， 故选：C． 6．（24-25九年级上·山东青岛·期末）如图，在边长相同的小正方形组成的网格中，点、、、都在这些小正方形的顶点上，、相交于点．则的值是（）    A．0.5 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】本题考查了解直角三角形，勾股定理逆定理，正方形的性质等知识，连接，先利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，从而可得，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的值，再根据题意可得，从而可得，即可解答，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：如图，连接，    设小正方形的边长为， 由题意得： ∴是直角三角形， ∴， 在中，， ， 由题意得：， ∴， 故选：B． 7．（24-25九年级上·山东济宁·期中）如图，在的正方形方格图形中，小正方形的顶点称为格点，的顶点都在格点上，则图中的正切值是（   ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查格点三角形，勾股定理，正切函数的定义．根据各点的位置求出的长，判断是否是直角三角形，再根据正切函数的定义即可求解． 【详解】解：如图所示， ∴，，， ∴，即， ∴是直角三角形，且，，， ∴的正切值是， 故选：A． 【题型3 由正弦、余弦、正切值求边长】 1．（24-25九年级上·重庆·期中）如图，在中，，，则的长为（   ） A． B．3 C．8 D．10 【答案】C 【分析】本题主要考查了解直角三角形，勾股定理，先根据正弦的定义求出的长，再利用勾股定理即可求出的长． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 2．（24-25九年级上·浙江金华·阶段练习）如图，滑雪道的长为，则滑雪道的竖直高度的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正弦函数的定义解答即可． 本题考查了正弦函数的应用，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得，的长为， 故， 故选：B． 3．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在中，，，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了锐角三角函数值的利用，解答本题的关键是掌握锐角三角函数的知识； 本题已知了直角三角形的锐角的度数、斜边的长，求的邻边的长，利用的余弦即可得到答案； 【详解】解：在中，，即，所以， 故选：． 4．（24-25九年级上·吉林长春·期末）如图，某小区的一块草坪离边有一条直角小路，社区为了方便群众通过，沿修了一条小路，已知米，新修小路与的夹角，则小路的长为（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】D 【分析】本题考查解直角三角形的应用，根据题意利用余弦的定义即可得解．掌握三角函数的定义是解题的关键． 【详解】解：根据题意知：，，， ∴（米）， ∴小路的长为米． 故选：D． 5．（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）如图，把一个长方形卡片放在每格宽度为1的横格纸中，恰好四个顶点都在横格线上，若，则边的长为（   ） A． B．5 C．4 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了矩形对边相等的性质、锐角三角函数值的计算等知识点．通过作辅助线构造直角三角形、构造直角三角形成为解题的关键． 如图：分别过作垂线垂直于l，通过构造直角三角形，根据和的四个顶点恰好在横格线且每个横格宽1等条件求出的长，再根据矩形的性质即可解答． 【详解】解：如图：分别过作，垂足为 ∵长方形卡片， ∴， ∴，， ∴． 根据题意，得， ∴， 解得：， ∴， ∴． 故选：B． 6．（2021·浙江宁波·二模）如图为一节楼梯的示意图，，，米，现要在楼梯上铺一块地毯，楼梯宽度为1米．则地毯的面积至少需要（   ）平方米 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先解直角三角形求出的长，从而可得地毯的长度，再根据矩形的面积公式即可得． 本题考查了解直角三角形，熟练掌握正切三角函数的定义是解题关键． 【详解】解：由题意，在中，， 故地毯的长度为， 故地毯的面积至少需要（平方米）， 故选：A． 【题型4 含特殊角的三角函数值的混合运算】 1．（24-25九年级上·湖南常德·期末）式子的值是（    ） A． B．0 C． D．2 【答案】B 【分析】本题主要考查特殊角三角函数的混合运算，把特殊角三角函数值代入计算即可． 【详解】解： 故选：B． 2．（24-25九年级上·辽宁大连·阶段练习）的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查特殊角的三角函数的混合运算．熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．把特殊角的三角函数值代入计算即可． 【详解】解： ， 故选：B． 3．（23-24九年级上·河北唐山·期中）的结果是（   ） A．1 B．2 C．3 D．0 【答案】B 【分析】本题考查特殊角的三角函数值，根据特殊角的三角函数值进行计算即可求解． 【详解】解： ， 故选：B． 4．（24-25九年级上·山东烟台·期末）化简 ． 【答案】 【分析】本题考查实数的综合运算能力，特殊角的三角函数值，利用，计算即可． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 5．（2025·山东·二模）计算：． 【答案】 【分析】本题考查的是含特殊角的三角函数值的混合运算，先代入特殊角的三角函数值，计算负整数指数幂，化简绝对值，计算零次幂，再计算乘法，最后合并即可． 【详解】解： ； 6．（2024·湖北恩施·二模）计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了实数的混合运算，二次根式的乘法，特殊角的三角函数值，零指数次幂，负整数指数次幂，求一个数的绝对值等知识点，解题的关键是熟练掌握以上运算法则． 利用二次根式的乘法，零指数次幂，负整数指数次幂，求一个数的绝对值等法则进行计算即可． 【详解】解： ． 【题型5 由特殊角的三角函数值判断三角形的形状】 1．（23-24九年级下·福建龙岩·阶段练习）在中，若，则么一定是（    ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 【答案】D 【分析】根据非负数的和为零，可得每个非负数同时为零，根据特殊角三角函数值，可得A、B的值，根据直角三角形的判定，可得答案． 本题考查了特殊角三角函数值，直角三角形的判定，熟记特殊角三角函数值是解题关键． 【详解】解：∵ ∴， ∴， ∴， ∴． ∴一定是等腰直角三角形， 故选：D． 2．（23-24九年级下·湖南衡阳·期中）在中， ，那么是（    ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】A 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解答本题的关键，根据特殊角的三角函数值即可求出的大小，即可得出结论． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 是等腰三角形 故选：A． 3．（2024·江苏淮安·一模）在中，若，，都是锐角，则是 三角形． 【答案】等腰直角 【分析】此题考查了已知三角函数值求角，涉及了绝对值和平方的非负性，解题的关键是熟记特殊角的三角函数值． 根据绝对值和平方的非负性可得，，求得，即可求解． 【详解】解：由可得 ， 即， 解得：，则， ∴为等腰直角三角形， 故答案为：等腰直角． 4．（22-23九年级上·江苏盐城·期末）在中，、都是锐角，且，则的形状是 三角形（填“等腰”、“等边”或“直角”）． 【答案】直角 【分析】根据绝对值和偶次幂的非负性，结合特殊角的三角函数值求得、的度数，从而作出判断． 【详解】解：∵，且， ∴， ∴， ∴、， ∴在中，， ∴是直角三角形， 故答案为：直角． 【点睛】本题考查特殊角的三角函数值，理解绝对值和偶次幂的非负性，掌握特殊角的三角函数值是解题关键． 【题型6 比较三角函数值的大小】 1．（2025九年级下·全国·专题练习）如图，梯子（长度不变）与地面所成的锐角为，关于的三角函数值与梯子的倾斜程度之间的关系，下列说法中，正确的是（） A．的值越大，梯子越陡 B．的值越大，梯子越陡 C．的值越小，梯子越陡 D．陡缓程度与的函数值无关 【答案】A 【分析】掌握锐角三角函数值的变化规律．锐角三角函数值的变化规律：正弦值和正切值都是随着角的增大而增大，余弦值是随着角的增大而减小． 【详解】解：A、的值越大，则越大，则梯子越陡，原说法正确，符合题意； B、的值越大越小，梯子越平缓，原说法错误，不符合题意； C、的值越小越小，梯子越平缓，原说法错误，不符合题意； D、陡缓程度与的函数值有关，原说法错误，不符合题意； 故选：A． 2．（24-25九年级上·江苏苏州·阶段练习）已知在中，，，设，那么的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了余弦的增减性与特殊角的余弦值，熟练掌握余弦的增减性是解题关键．先求出特殊角的余弦值，再根据余弦的增减性求解即可得． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， ∴， 故选：B． 3．（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查比较三角函数值的大小，根据三个三角函数的取值范围和增减性，进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴； 故选D． 4．（23-24九年级上·北京·单元测试）下列结论（其中是锐角）：①；②；③当时，；④．其中正确的有 ． 【答案】③④ 【分析】本题考查了同角三角函数的关系及锐角三角函数的增减性，掌握锐角三角函数的概念是解题的关键． 根据同角三角函数关系及锐角三角函数的增减性进行判断即可． 【详解】解：①∵，， ∴不一定小于等于1，故①错误； ②若，则， ， ∴ ∴，故②错误； ③当时，， ∴越大，对边越大，且越接近斜边， ∴越大， ∴当时，，故③正确； ④∵，，， ∴，故④正确． 故答案为：③④． 5．（22-23九年级下·全国·单元测试）（1）试比较，，，，这些角的正弦值的大小和余弦值的大小． （2）利用互余的两个角的正弦和余弦的关系，比较下列正弦值和余弦值的大小：，，，． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【分析】（1）利用三角函数的增减性的规律即可得答案； （2）注意正余弦的转换方法，转换为同一种锐角三角函数后，再根据锐角三角函数值的变化规律进行比较． 【详解】解：（1）∵锐角的正弦值随角度的增大而增大，锐角的余弦值随角度的增大而减小． ∴； ． （2），． ∵， ∴． 【点睛】本题考查互余两角三角函数的关系，掌握锐角三角函数的增减性的规律是解题关键． 【题型7 由三角函数值判断锐角的取值范围】 1．（23-24九年级上·山东淄博·阶段练习）已知，那么锐角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】考查了特殊角的三角函数值和锐角三角函数的增减性的应用，注意∶当角是锐角时，其正弦和正切随角度的增大而增大，余弦随角度的增大而减小；根据三角函数的增减性求解即可； 【详解】解：是锐角， ， ，，， ， 故选：A； 2．（23-24九年级上·广东梅州·期末）若，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查锐角三角函数，首先明确，，再根据正弦值随着角的增大而增大，进行分析． 【详解】解：，正弦值随着角的增大而增大， ， ， 故选C． 3（21-22九年级下·全国·单元测试）若是锐角，，则应满足 ． 【答案】 【分析】首先明确，再根据余弦函数随角增大而减小即可得出答案． 【详解】解：∵，余弦函数随角增大而减小， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值，了解锐角三角函数的增减性是解题的关键． 4．（22-23九年级上·河北邯郸·期中）若，则 ． 【答案】 【分析】根据锐角三角函数的增减性判断出与的大小、与 的大小，然后化简计算即可． 【详解】解：∵， ∴． ∴ ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了锐角三角函数的增减性，锐角三角函数的混合运算，根据锐角三角函数的增减性判断出与的大小、与 的大小是解题的关键． 【题型8 求特殊角的三角函数值】 1．（22-23九年级上·山东济南·期末）定义一种运算：，．例如：当，时，，则的值为 ． 【答案】 【分析】根据和新定义，代入计算即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 【点睛】本题考查特殊角的三角函数值的计算，涉及新定义，解题的关键是掌握特殊角的三角函数值，能准确进行二次根式的计算． 2．（24-25九年级上·山东聊城·期中）定义一种运算：．例如：当时，，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查三角函数的混合运算，根据，结合计算即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 3（2023·湖南娄底·一模）定义一种运算：，例如：当，时，，则的值为(　　) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据，可以计算出的值． 【详解】解：由题意可得， ， 故选：B． 【点睛】本题考查解直角三角形、二次根式的混合运算、新定义，解答本题的关键是明确题意，利用新定义解答． 【题型9 锐角的三角函数中的新定义问题】 1．（23-24九年级下·浙江杭州·阶段练习）如图，在中，，定义：斜边与的对边的比叫做的余割，用“”表示．若该直角三角形的三边分别为a，b，c，则，那么下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了锐角三角三角函数，根据余割，正弦，余弦的定义逐一判断即可． 【详解】解：A、，原说法错误，不符合题意； B、，原说法错误，不符合题意； C、，原说法正确，符合题意； D、，原说法错误，不符合题意； 故选：C． 2．（24-25九年级下·全国·期末）我们给出定义：如果两个锐角的和为，那么称这两个角互为半余角．如图，在中，，互为半余角，且，则 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了解直角三角形、勾股定理、三角形外角的定义及性质，过点B作，交的延长线于点D．设，．由三角形外角的定义及性质得出，再解直角三角形求出，，再求出，由勾股定理得出，即可得解． 【详解】解：如图，过点B作，交的延长线于点D． ∵， ∴设，． ∵，互为半余角， ∴． 在中，，． ∵， ∴， ∴． 在中，， 故答案为：． 3．（24-25九年级上·湖南岳阳·阶段练习）若定义等腰三角形底边与底边上高的比值为等腰三角形顶角的值，即，若等腰，，且，则 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，勾股定理以及锐角三角函数的定义，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．过点A作于，设，，根据等腰三角形的性质及勾股定理得，即可求得答案． 【详解】解：如图，过点A作于， ， 设，则， ，， ， 根据勾股定理得，， ． 故答案为：． 4．（2023·四川巴中·模拟预测）规定：，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题目所规定的公式，化简三角函数，即可判断结论．本题属于新定义问题，主要考查了三角函数的知识，解题的关键是熟练掌握三角函数的基础知识，理解题中公式． 【详解】解：A．，故此结论不正确； B．，故此结论不正确； C．，故此结论正确； D．，故此结论不正确； 故选：C． 【题型 10 同角(互余)两角的三角函数关系】 1．（24-25九年级上·江苏扬州·期末）已知中，，，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查同角三角函数的关系的应用，解题的关键是掌握：，据此即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵为锐角， ∴， ∴． 故答案为：． 2．（23-24九年级上·湖南邵阳·阶段练习）如果是锐角，且，那么的值（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了同角的三角函数的关系，熟练掌握同角的三角函数的关系是解答本题的关键． 根据题意得，利用求出答案． 【详解】解：， ． 故选：． 3．（2025·四川泸州·三模）以下各数中，与的值相等的是（   ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查互余两角三角函数的关系，熟练掌握是解题关键．根据互余两角三角函数的关系解答即可． 【详解】解：∵ ∴． 故选：B． 4．（24-25九年级上·广西梧州·期末）已知，都是锐角，且，那么与之间满足的关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了锐角三角函数的定义，掌握互为余角的正余弦关系：一个角的正弦值等于这个锐角的余角的余弦值． 利用互余两角的三角函数关系，得出，进而求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 故选：B． 5．（2025九年级下·云南楚雄·学业考试）在中，，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查互余两角三角函数的关系，掌握互余两角三角函数的关系以及锐角三角函数的定义是正确判断的前提．利用锐角三角函数的定义得出互余两角三角函数之间的关系，进而得出答案． 【详解】解：在直角中，， ， 所以， 故答案为：． 1．（2024·广东梅州·三模）在中，，，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了求角的正切值等知识点，牢记锐角三角函数的定义是解题的关键．由已知条件可知为的一个锐角，、为直角边，为斜边，根据锐角三角函数的定义得出，代入计算即可得出答案． 【详解】解：， 为的一个锐角，、为直角边，为斜边， 如图所示， ， ， 故选：D． 2．（24-25九年级上·黑龙江大庆·期中）在中，各边的长度都扩大2倍，那么锐角的余弦值（   ） A．扩大3倍 B．保持不变 C．扩大9倍 D．缩小3倍 【答案】B 【分析】本题考查锐角三角函数．理解一个角的锐角三角函数值只与角的大小有关是解题关键． 根据题意可知大小不变，即得出锐角A的余弦值保持不变． 【详解】解：∵在中，各边的长度都扩大2倍， ∴各角的大小不变，即大小不变． ∵一个角的锐角三角函数值只与角的大小有关， ∴锐角A的余弦值保持不变． 故选B． 3．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）在中，，，，则的正切值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了勾股定理和解直角三角形，根据勾股定理求出，再根据正切的定义求解即可． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， ∴， 故选：A． 4．（24-25九年级上·甘肃张掖·阶段练习）已知，且为锐角，则（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查特殊角的三角函数，根据特殊角的三角函数值即可求解，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键． 【详解】解：∵，且为锐角， ∴， 故选：． 5．（24-25九年级上·宁夏银川·阶段练习）已知实数，，，则下列判断正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了特殊三角函数值、实数的大小比较，熟练掌握特殊三角函数值是解题的关键；因此此题可根据特殊三角函数值进行求解 【详解】解：∵， ∴， ∴； 故选：B ． 6．（24-25九年级上·宁夏银川·期中）在中，，是斜边上的中线．已知，则的值为（   ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了直角三角形的性质，等腰三角形的性质，锐角三角函数，掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键． 由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到，继而，那么等角的三角函数值相等． 【详解】解：∵，是斜边上的中线， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 7．（24-25九年级上·陕西西安·期中）在中，，若，则的值为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了余弦和正弦的定义，根据正弦的定义得到，再由余弦的定义即可得到答案． 【详解】解：∵在中，，， ∴， 故选：A． 8．（24-25九年级上·重庆·阶段练习）在锐角中，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了非负数的性质，特殊角的三角函数值，先根据非负数的性质得，，然后根据特殊角的三角函数值即可求解． 【详解】解：， ，， ，， ，， ． 故选：C． 9．（2024·吉林长春·模拟预测）如图，点在反比例函数的图象上，点在反比例函数的图象上，且，则的值等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了相似三角形的判定与性质，反比例函数比例系数的几何意义，三角函数，过点作轴于，过点作轴于，易得，即得，又根据反比例函数比例系数的几何意义可得，，进而根据相似三角形面积的比等于相似比的平方，可得，最后由正切函数的定义即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，过点作轴于，过点作轴于，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点在反比例函数的图象上，点在反比例函数的图象上， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：． 10．（19-20九年级上·北京昌平·期末）若是锐角，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了锐角三角函数的增减性，锐角的正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小），正确理解锐角正弦值的增减性是解题的关键．根据正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小），及、、的正弦值可求解． 【详解】解：是锐角，且， ， 故选：A． 11．（2024·广东茂名·一模）物理中，我们学习过“杠杆原理”，即阻力×阻力臂＝动力×动力臂．如图，小伟用撬棍撬动某个物体，动力臂，阻力臂，如果动力F的用力方向始终保持竖直向下，当阻力不变时，则杠杆向下运动时的动力越来越 （填“大”或“小”）． 【答案】小 【分析】本题主要考查了杠杆原理以及锐角三角函数和反比例函数的增减性，熟练掌握相关知识是解决本题的关键．根据杠杆原理及的值随着α的减小而增大结合反比例函数的增减性即可求得答案． 【详解】解：∵阻力×阻力臂＝动力×动力臂， ∴当阻力及阻力臂不变时，动力×动力臂为定值，且定值＞0， ∴动力随动力臂的增大而减小， ∵杠杆向下运动时α的度数越来越小，此时的值越来越大，β的度数越来越大，此时的值越来越小， ∴阻力臂越来越小，阻力不变， ∴动力×动力臂越来越小，而动力臂越来越大， ∴此时动力越来越小， 故答案为：小． 12．（24-25九年级上·宁夏银川·阶段练习）计算： ． 【答案】 【分析】此题考查了特殊角的三角函数值，属于基础题，解答本题的关键是掌握一些特殊角的三角函数值，这是需要我们熟记的内容． 【详解】解：， 故答案为：． 13．（24-25九年级上·山东济宁·期中）如图，在平面直角坐标系中，四边形为菱形，，且点A落在反比例函数上，点B落在反比例函数上，则 ．    【答案】8 【分析】本题主要考查反比例函数与几何的综合及三角函数；过点作轴的垂线，垂足分别为，然后根据特殊三角函数值结合勾股定理求得，，再求得点，利用待定系数法求解即可． 【详解】解：过点作轴的垂线，垂足分别为，如图， ∵， ∴， ∴设，则， ∴点， ∵点A在反比例函数上， ∴， ∴（负值已舍），则点， ∴，， ∴， ∵四边形为菱形， ∴，， ∴点， ∵点B落在反比例函数上， ∴， 故答案为：8． 14．（24-25九年级上·甘肃张掖·阶段练习）在中，若，，都是锐角，则的度数 ． 【答案】/度 【分析】本题考查非负性，特殊角的三角函数值，根据非负性，以及特殊角的三角函数值求出，的度数，三角形的内角和定理，求出的度数，即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵，都是锐角， ∴， ∴； 故答案为：． 15．（24-25九年级上·云南保山·期中）如图，在矩形中，，点 E在边上，将矩形沿折叠，点 A 恰好落在边上的点处，则的正切值是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查矩形与折叠，勾股定理、相似三角形的判定和性质、求正切，先根据矩形和折叠的性质求出长，即可求出长，然后推理得到，求出的值得到正切值即可． 【详解】解：设，则， ∵是矩形， ∴，，， 由折叠可得，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 16．（2024·广东湛江·一模）计算：． 【答案】6 【分析】本题考查了实数的混合运算，零指数幂和负整数指数幂的意义，特殊角的三角函数值，先逐项化简，再算加减即可． 【详解】解： ． 17．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·期中）先化简．再求代数式的值，其中． 【答案】， 【分析】本题考查分式的混合运算及特殊角三角函数，掌握运算顺序和计算法则正确计算是解题关键． 首先把分式的分子分母分解因式，然后再约分，计算减法，化简后，再确定的值计算即可． 【详解】解： ， ， 原式． 18．（24-25九年级上·河北石家庄·期末）对于实数、，定义一种运算“”为：， (1)________． (2)判断点在不在函数的图象上，说明理由． 【答案】(1) (2)不在；理由见解析 【分析】本题考查了新定义，涉及特殊角的三角函数值的运算，二次函数的相关性质，理解新定义是解题的关键． （1）由新定义得，再计算即可； （2）由新定义函数转化为函数，将代入检查即可． 【详解】（1）解：由题意得： ， 故答案为：； （2）解：， 则由题意得：， ∴函数解析式为： 把代入得， ∴点不在函数的图象上． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$