第14讲 利用相似三角形的性质解决实际问题（9题型+过关检测）-【暑假自学课】2025年新九年级数学暑假提升精品讲义（沪科版）

第14讲 利用相似三角形的性质解决实际问题 题型一： 建筑物高问题 1．（24-25九年级下·陕西咸阳·期中）某校九年级一班的兴趣小组准备测量西安古城墙的高度，制定了如下的测量方案：如图，首先，王磊站在点B，当在正前方1．5米（即米）的点C放置一平面镜时，通过平面镜王磊刚好可以看到城墙的最高点M，此时测得王磊的眼睛到地面的距离为1．5米；然后，在阳光下某一时刻，李华再在点D处竖立一根高2米的标杆，城墙的影子顶端与标杆的影子顶端恰好重合于点F，此时测得米，米，已知图中所有点均在同一平面内，，，，点N、C、B、D、F在一条水平线上，请根据以上数据，计算西安古城墙的高度．（平面镜大小忽略不计） 【答案】12米 【分析】本题主要考查了相似三角形的实际应用，设米，证明，根据相似三角形的性质可得，证明，可得，据此解方程即可得到答案． 【详解】解：设米． ，， ， ，即， ，① ，， ， ，即，② ①②联立，解得， 答：西安古城墙的高度为12米． 2．（2025·河南省直辖县级单位·三模）图（1）是小明同学自制的测量工具，其中，上都有相同单位的刻度，G可以在上滑动，．小明想用自制的测量工具测量建筑物的高度． 如图（2），小明站在自动扶梯的底部A处，让测量工具的平行于地面，的延长线交于点F，滑动使O ，G，P在同一条直线上，此时． 他乘坐扶梯到达顶部B处，让测量工具的平行于地面，的延长线交于点E， 滑动， 使在同一条直线上，此时．小明的身高，自动扶梯的高为， 水平宽为． 试根据以上数据计算出建筑物的高度．(结果精确到) 【答案】建筑物的高度约为 【分析】本题考查了相似三角形的应用，根据题意可得，，列出比例式，代入题中数据，即可求解． 【详解】解：设，则， 根据题意可得， ∴ 即， ∴ 同理可得 ∴ 即 ∴ 解得： ∴ 答：建筑物的高度约为． 3．（2025·陕西延安·二模）皇帝手植柏位于黄帝陵内，相传为轩辕皇帝亲手种植，历经数千年岁月，依然苍劲挺拔是中华文明源远流长的象征之一、数学小组的同学开展了测量皇帝手植柏高度的实践活动． 课题 测量皇帝手植柏的高度 示意图 测量过程 步骤一：如图，甲同学在点处竖立了一根高为的标杆，发现地面上的点、标杆顶端和皇帝手植柏顶端A在一条直线上； 步骤二：乙同学站在点处，调整自己眼睛的位置，当眼睛在处时，恰好看到标杆顶端和皇帝手植柏底端在一条直线上． 测量数据 乙同学的眼睛到地面的距离．已知，，点在一条水平线上，图中所有点在同一平面内． 请你根据以上实践报告，帮助该小组求出皇帝手植柏的高度． 【答案】19米 【分析】本题主要考查了相似三角形的应用，将实际问题转化成几何问题成为解题的关键． 根据垂直的定义可得，再结合可证明可求得，再证明，最后根据相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：， ． 又， ， ， ， ． ， ． 又， ， ， ， ． 答：皇帝手植柏的高度为19米． 题型二： 影长问题 4．（2025·贵州·一模）如图，小星利用自己的身高想要测量水平操场上旗杆的高度，请帮助小星按下列任务设计一种测量方案： 任务一：你选取的工具是___________（可选工具：小镜子、标杆、皮尺）； 任务二：请在图中画出方案示意图； 任务三：结合你画的示意图，从以下测量数据中选取合适的数据，求出旗杆的高度（结果保留整数）． 测量数据：①小星与旗杆的距离为，②小星到镜子的距离为，③镜子到旗杆的距离为，④同一时刻，小星的影长为，旗杆的影长为，⑤小星的身高为（眼睛到头顶的距离忽略不计），⑥标杆长，⑦小星与标杆的距离为． 【答案】任务一：①皮尺；②小镜子、皮尺；③标杆、皮尺．（答案不唯一）；任务二：示意图1或图2或图3均可．（答案不唯一）；任务三：（答案不唯一），如选取数据①，⑤，⑥，⑦．学校旗杆的高度约为 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解答本题的关键． 任务一：根据测量需要选择即可； 任务二：根据题意画图即可； 任务三：选取数据①，⑤，⑥，⑦．证明，利用相似三角形的性质求出，进而可求出旗杆的高度． 【详解】解：任务一：①皮尺；②小镜子、皮尺；③标杆、皮尺．（答案不唯一） 任务二：示意图1或图2或图3均可．（答案不唯一） 任务三：（答案不唯一） 如图3，选取数据①，⑤，⑥，⑦． 得， ， ． ， ， ， ． ， ． 答：学校旗杆的高度约为． 5．（2025·江苏南京·二模）如图，夜晚，小亮从点A朝着路灯P的正下方沿直线走到点B． (1)若他在点A处的影长为，他的身高为，路灯高P距离地面的高度为，求此时他到路灯的水平距离； (2)已知他在点A，B处的影长之差为，他的身高为，求路灯P离地面的高度（用含b，h的式子表示）． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． （1）根据，可得，即可求解； （2）过点C作，交于点G．可得，从而得到，进而得到．然后根据，可得，再由，即可求解． 【详解】（1）证明：， ， ，即． ， ． （2）解：过点C作，交于点G． ， ． ， ． ． ． ， · ， ． ． ． 因此，路灯P离地面的高度为 6．（24-25九年级上·江苏扬州·期末）如图1，平直的公路旁有一竖直灯杆，在灯光下，小华从灯杆的底部处沿直线前进到达点，在处测得自己的影长．小华身高． (1)求灯杆的长； (2)若小华从处继续沿直线前进到处（如图2），求此时小华的影长的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了相似三角形的应用，平行投影，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． （1）根据题意可得：，，从而可得，然后证明字模型，从而利用相似三角形的性质进行计算，即可解答； （2）根据题意可得：，，从而可得，然后证明字模型，从而利用相似三角形的性质进行计算，即可解答． 【详解】（1）解：由题意得：，， ， ， ， 解得：， 灯杆的长为； （2）由题意得：，， ， ， ， 解得：； ∴此时小华的影长的长为． 7．（24-25九年级上·浙江金华·阶段练习）测量路灯高度，人在路灯下的影长等 活动目标 测量路灯高度，人在路灯下的影长等 工具 皮尺、标杆 活动一：测量路灯的高度． 如图1，标杆垂直于地面，在路灯光源B照射下在地面产生影子，测量． 活动二：测量某同学的影长． 如图2，身高的同学站在离路灯远的地方，即，在路灯光源B照射下在地面产生影子． 活动三：有趣的发现． 如图，标杆垂直于地面，在相邻路灯光源B与照射下在地面产生影子与，若路灯，通过测量猜想发现了一个有趣的结论： 根据上面数学活动记录，回答下面问题： (1)根据活动一测得的数据计算路灯的高度； (2)根据活动二测得的数据计算同学的影长； (3)请证明活动三猜想的结论：． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】本题主要考查相似三角形的应用，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． （1）首先证明，再根据即可求出的长； （2）同（1）证明，再设，根据列方程求解即可； （3）分别证明和，再根据相似比证明即可． 【详解】（1）标杆垂直于地面， ， ，且， ， ， ， ， ，解得． （2）由（1）可得，， ，，且， ， 设，则， ，， 则由得， 即，解得， ． （3）同（1）可得，和， ， ，且， ， ， ， ， ， ， ． 题型三： 河宽问题 8．（24-25九年级上·广东佛山·期末）如图，为了估计河的宽度，我们可以在河的对岸选定一个目标点，在近岸取点，使与河岸垂直，在近岸取点，使，与交于点．已测得米，米，米，求河宽的长． 【答案】河宽长为36米 【分析】本题考查了相似三角形的实际应用，得到是解题的关键． 证明，根据对应边成比例即可求解． 【详解】解： 河宽长为36米． 9．（24-25九年级上·广西百色·期中）某数学兴趣小组想用所学的知识测量小河的宽．测量时，他们选择了河对岸的一棵大树，将其底部作为点A，在他们所在的岸边选择了点B，使得与河岸垂直，并在B点竖起标杆，再在的延长线上选择点D，竖起标杆，使得点E，C，A共线．已知：，，测得，，（测量示意图如图所示）．请根据相关测量信息，求河宽的长． 【答案】14米 【分析】本题考查了相似三角形的应用，平行线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 由，，得，进而得出，所以，构建方程即可解决问题． 【详解】解： ，， ， ， ， 即， （米）． 答：河宽的长是14米． 10．（2023·陕西西安·模拟预测）如图，为了估算河面的宽度，即的长，在离河岸点2米远的点，立一根长为1米的标杆，在河对岸的岸边有一块高为米的安全警示牌，警示牌的顶端M在河里的倒影为点N，即，两岸均高出水平面米，即米，经测量此时A、D、N三点在同一直线上，并且点M、F、P、N共线，若均垂直于河面，求河宽是多少米？ 【答案】河宽是米 【分析】本题考查了矩形的判定与性质，相似三角形的应用．熟练掌握矩形的判定与性质，相似三角形的应用是解题的关键． 如图，延长交的延长线于点H，则四边形是矩形，，，证明，则，可求，则，（米），证明，则，可求，根据，计算求解即可． 【详解】解：如图，延长交的延长线于点H，则四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得，， ∵， ∴（米）， ∵，， ∴， ∴，即， 解得，， ∴（米）， ∴河宽是米． 11．（24-25九年级上·湖北襄阳·期末）如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标点，在近岸取点和，使点，，共线且直线与河垂直，接着在过点且与垂直的直线上选择适当的点，确定与过点且垂直的直线的交点．已测得，，，请根据这些数据，计算河宽． 【答案】河宽大约为 【分析】此题考查了相似三角形的判定与性质，根据已知得出是解题关键．根据相似三角形的性质得出，即 ，进而代入数值求解即可． 【详解】解：∵，， ∴． ∴ 即，． ． 解得． 答：河宽大约为． 题型四： 树高问题 12．（2025·河南平顶山·一模）樱花红陌上，杨柳绿池边．每年初春时节，郑州大学校区的樱花竞相开放，为美丽的郑大校园增添了别样的景致，钟灵毓秀的郑大人把樱花赋予美丽、热情、纯洁、高尚的精神品质．高新区某中学的数学兴趣小组利用周末时间对大路旁的一棵樱花树进行测量，他们采用以下方法：如图，把支架（）放在离树（）适当距离的水平地面上的点F处，再把镜子水平放在支架（）上的点E处，然后沿着直线后退至点D 处，这时恰好在镜子里看到树的顶端A，再用皮尺分别测量，观测者目高（）的长，利用测得的数据可以求出这棵树的高度．已知于点D，于点F，于点B，米，米，米，米，那么这棵樱花树的高度（的长）是多少米？ 【答案】米 【分析】此题考查了相似三角形的应用，熟练掌握三角函数定义是关键．过点E作水平线交于点G，交于点H，求出米，证明，，即，解得米，即可得到答案． 【详解】解：过点E作水平线交于点G，交于点H，如图， ∵是水平线，， ∴米，米， 米， ∴（米）， 根据题意，得，， ∴， ∴，即，解得米， ∴（米）． 所以这棵樱花树的高度为米． 13．（24-25九年级下·安徽亳州·开学考试）《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的）．“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可测量物体的高度．如图，点，，在同一水平线上，和均为直角，与相交于点．测得，，，求树高． 【答案】树高为8米 【分析】本题考查了相似三角形的应用，根据题意可得，然后由相似三角形的性质，即可求解，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 【详解】解：和均为直角， ． , ． ，，， ． ． 答：树高为8米． 14．（2025·上海徐汇·一模）小华（考虑为线段垂直于地面）家门口的一条笔直街道上有两棵竖直生长的树．他站在街道上的A处抬头看点E，发现刚好能看到点C，此时仰角为，他向前走之后，站在点D处仰望点E，仰角为．已知小华身高，求的高度．（近似值：，精确到两位小数） 【答案】树的高分别为和 【分析】本题考查解直角三角形的应用及相似三角形的应用，勾股定理，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．作于M交于N，连结．先求得，再由，可得，求得，再用勾股定理得，得出．再由，可得，再列比例式求解即可， 【详解】解：作于M交于N，连结． 由题可知，． ． , ∴, ∵， ， ，即， ∴， ∴， ∴． ∵， ， ∴， 即， ． ∴． ∴． 答：树的高分别为和． 题型五： 杠杆问题 15．（24-25九年级上·河南安阳·阶段练习）如图，在杠杆的端点A处焊接一圆球，已知，则要使该圆球向上抬升（竖直高度），杠杆的另一端点B需要向下压的竖直距离是 ． 【答案】24 【分析】本题主要考查了相似三角形的应用，正确作出辅助线，构造相似三角形是解决问题的关键，首先根据题意构造出相似三角形，然后根据相似三角形的对应边成比例求得端点向下压的长度即可． 【详解】如图，过点作水平线,过点作于点,过点作于点, ,， , , , , ，， ， ， 故答案为：. 16．（23-24九年级上·山西大同·期末）阿基米德曾说过：“给我一个支点和一根足够长的杆子，我就能撬起整个地球．”这句话的意思是利用物理学中的杠杆原理，只要有合适的支点和合适的工具，就可以把地球轻松搬动．如图1，这是用杠杆撬石头的示意图，当用力压杠杆时，杠杆绕着支点转动，另一端会向上翘起，石头就被翘动了．在图2中，杠杆的D端被向上翘起的距离，动力臂与阻力臂满足（与相交于点O），则的长为 cm．    【答案】21 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质的实际应用，正确地构造相似三角形是解题的关键．首先根据题意构造出相似三角形，然后根据相似三角形的对应边成比例求得的长度． 【详解】解：由题意得，， ， ， ， ， cm． 故答案为：21． 17．（22-23九年级上·浙江温州·期中）如图所示的是古代一种可以远程攻击的投石车，图是投石车投石过程中某时刻的示意图，是杠杆，弹袋挂在点，重锤挂在点，点A为支点，点是水平底板上的一点，米，米． （1）投石车准备时，点恰好与点重合，此时和垂直，则 米 （2）投石车投石过程中，的延长线交线段于点，若：：，则点距地面为 米． 【答案】 【分析】（1）直接利用等腰三角形的“三线合一”的性质和相似三角形的判定和性质进行求解即可； （2）先求出CE的长，再利用勾股定理和锐角三角函数进行求解即可． 【详解】（1）如图，连接，过A点作于F， ∵米，米， ∴米， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴（米）， 故答案为：． （2）由（1）可知： 过点G作交于点N， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴在中，， ， ∴， ∴， 故点G距离底面的高度为米， 故答案为：． 【点睛】本题解直角三角形的应用综合题，考查了等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理和锐角三角函数，解题的关键是正确作出辅助线构造直角三角形和相似三角形． 18．（24-25九年级上·辽宁·期末）我们知道工人利用撬棍轻松撬动大石头运用的是“杠杆原理”．如图，杠杆以为支点，当端上放置重物时，端着地，端到地面的距离是；当工人用力按压端，直至点着地落到时，端的重物被送到处，此时重物到地面的距离为90，求支点到地面的距离． ． 【答案】支点P到地面的距离为 【分析】本题考查了相似三角形的实际应用，正确运用相似三角形的性质是解题的关键． 证明，即可解决问题． 【详解】解：根据题意得：， ， ， ， ， 又， ， ， ， 根据题意得，， ， ， ， ， 解得． 答：支点P到地面的距离为． 19．（24-25九年级上·陕西榆林·阶段练习）据《墨经》记载，在两千多年前，我国学者墨子和他的学生做了“小孔成像”实验，阐释了光的直线传播原理．小孔成像的示意图如图所示，光线经过小孔，物体在幕布上形成倒立的实像（点，的对应点分别是，）．物体的高为，实像的高为，物体与实像的距离为，点，，在一条直线上，，，均与垂直，求小孔到的距离． 【答案】小孔到的距离为 【分析】本题主要考查了相似三角形的应用，先证明得到，则，再证明得到，据此可得答案． 【详解】解：由题意知，，，， ∵，均与垂直， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，     ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴小孔到的距离为． 题型六： 实验问题 20．（2025·河南南阳·一模）【学科融合】如图3，在反射现象中，反射光线、入射光线和法线都在同一个平面内，反射光线和入射光线分别位于法线两侧，反射角r等于入射角i． 【问题解决】如图4，小红同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜．激光笔在点G处，激光笔的光从平面镜上点B处反射后，恰好经过木板的上边缘点F，落在墙上的点E处．已知点G到地面的高度，木板的高度，点G到木板的水平距离，木板到墙的水平距离，求点E到地面的高度（图中点A，B，C，D在同一水平线上）． 【答案】点E到地面的高度为 【分析】本题主要考查相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．根据题意证明和，得到，即，即可得到答案． 【详解】解：反射角等于入射角， ． ． 又， ． ． ． ． ． ，解得． 由题意，可得， ． ，即， 解得． 点E到地面的高度为． 21．（24-25九年级上·四川达州·期末）如图1是某兴趣小组通过蜡烛成像实验探究凸透镜成像规律的光路图，现将图1的光路图抽象为图2所示的数学几何图形，实物蜡烛发出的光线平行于直线，光线经过凸透镜后，经过焦点F与经过凸透镜中心O的光线交于点D，其中四边形是矩形，，． (1)将长为8厘米的蜡烛进行移动，使物距为30厘米，光线传播方向不变，移动光屏，直到光屏上呈现一个清晰的像，测得此时的像距为12厘米，求像的长度． (2)在（1）的条件下，已知光线平行于主光轴，经过凸透镜折射后通过焦点F，求凸透镜焦距的长 【答案】(1)cm (2)cm 【分析】本题主要考查了相似三角形的应用，掌握相似三角形的判定与性质成为解题的关键． （1）由题意可得：，再证明，然后运用相似三角形的性质即可解答； （2）通过证明，然后运用相似三角形的性质即可解答． 【详解】（1）解：由题意可得：， ∵ ，， ∴， ∴， ∴，即，解得：（cm）． （2）解：∵ ，， ∴， ∴， ∴，即， ∴，解得：（cm）． 22．（23-24九年级上·广东河源·期末）综合与实践：利用相似三角形测量距离    (1)【学科融合】如图1，根据小孔成像的原理，当像距（小孔到像的距离）和物高（蜡烛火焰高度）不变时，火焰的像高（单位：）是物距（蜡烛火焰到小孔的距离）（单位：）的反比例函数，当时，．则关于的函数关系式是__________（不用写自变量的取值范围）． (2)【数学思考】如图2，嘉嘉正在使用手电筒进行物理光学实验，手电筒的灯泡在点处，手电筒的光从平面镜上点处反射后，恰好经过木板的边缘点，落在墙上的点处，点到地面的高度，点到地面的高度，灯泡到木板的水平距离，墙到木板的水平距离．已知光在镜面反射中的反射角等于入射角，点A，B，C，D在同一水平面上．则灯泡到地面的高度__________． (3)【实际应用】如图3，小明家窗外有一步路灯，每天晚上灯光都会透过窗户照进客厅里．路灯顶部处发光，光线透过窗子照亮地面的长度为，小明测得窗户距离地面高度，窗高，某一时刻，，，其中O，F，D，E四点在同一条直线上，C，B，F三点在同一条直线上，且，，请求出路灯的高度． 【答案】(1) (2) (3)路灯的高度为 【分析】本题考查了反比例函数解析式，相似三角形的应用，相似三角形的判定与性质，熟练掌握反比例函数解析式，相似三角形的应用，相似三角形的判定与性质是解题的关键 （1）设关于的函数关系式为，将时，代入，解得，，进而可得关于的函数关系式； （2）由题意知，，证明，则，即，解得，，证明，则，即，计算求解即可； （3）由题意知，，，设，．证明，则，即，解得，，，则，即，计算求解即可． 【详解】（1）解：设关于的函数关系式为， 将时，代入得，， 解得，， ∴关于的函数关系式为， 故答案为：； （2）解：由题意知，， ∴， ∴，即， 解得，， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得，， 故答案为：； （3）解：由题意知，，， 设，． ∵，， ∴． ∴， ∴，即，解得，， ∴， ∴，即，解得， ∴路灯的高度为． 题型七： 古文问题 23．（24-25九年级下·陕西西安·期中）三国时期，魏人刘徽撰写的《海岛算经》乃中国最早的一部测量数学专著，专注于测高望远之术．受此启发，小刚设计了一种测量塔高的方案：如图，在地面上C 处垂直于地面竖立了高度为2米的标杆，这时地面上的点E、标杆的顶端点 D与塔尖点B恰好在同一直线上，测得的距离为5米．随后，将标杆向后平移到点G处，此时地面上的点F、标杆的顶端点H 与塔尖点B仍在同一直线上（点F、点G、点E、点C 与塔底处的点A 在同一直线上），并测得 米， 米，请依据这些数据计算该塔的高度 【答案】古塔的高度为82米 【分析】本题考查相似三角形的应用，根据题意易知，，可得，；因为，推出，列出方程求出（米），由，可得，由此即可解决问题． 【详解】解：由题意得：，， ∴， ∴，， ∴，， ， ∴， ， （米）， ∵， ∴， （米）， 答：古塔的高度为82米． 24．（23-24九年级下·福建莆田·开学考试）三国魏人刘徽，自撰《海岛算经》，专论测高望远，其中有一题是数学史上有名的测量问题，今译如下： 如图1，为底部H不可到达的一座山峰，A为山峰的最高点，现要测量山峰的最大高度．立两根高三丈的标杆和，两竿相距步，D，B，H成一线，从退行123步到F点，人目着地观察A点，A，C，F三点共线；从退行127步到G点，从G点看A点，A，E，G三点也共线，试算出山峰的高度及的距离．（古制1步尺，1里=180丈尺步，结果用步来表示） 解：∵，∴，∴____①____， 又∵，∴___②____，∴， 又∵，∴，即，∴（步） 又∵，∴， （步） (1)请补全上述求解过程中①②所缺的内容； (2)爱思考的小明想利用解直角三角形的知识，使用皮尺和自制测量仪（如图2，图3），通过测量长度、角度等几何量，测量一个海岛中的山峰高度．如图4，测量得，求出此座山峰的高度. 【答案】(1)； (2) 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，相似三角形的应用举例： （1）根据求解过程可知，刘徽利用的几何知识是相似三角形的对应边成比例； 先证明得到，再证明得到，进而推出，代值计算求出（步），再由进行求解即可； （2）需要测量，解得到，解得到，由，得到，则，则． 【详解】（1）解：由题意得，刘徽利用的几何知识是相似三角形的对应边成比例 ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， 即， ∴（步） 又∵，∴， （步） 故答案为：；； （2）解：需要测量， 在中，∵， ∴， 在中，∵， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴． 25．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）数学思考 (1)我国古代经典数学著作《孙子算经》有首歌谣：“今有竿不知其长，量得影长一丈五尺，立一标杆，长一尺五寸，影长五寸，问竿长几何？”其大意如下：有一根竹竿不知道有多长，直立后量出它在太阳底下的影长一丈五尺，同时直立一根一尺五寸的小标杆（如图），它的影长五寸（备注：丈尺，尺寸），问竹竿长多少？若设竹竿长尺．则可列方程： _________． 解决问题 (2)数学兴趣小组的同学对某古塔进行了测量，测量方法如下：如图，甲同学在古塔的影子顶端处竖直立一根木棒，并测得此时木棒的影长米，然后，乙同学在的延长线上找出一点，使得，，三点在同一直线上，并测得米．已知图中所有点均在同一平面内，木棒米，，，根据以上测量数据，求古塔的高度． 【答案】(1) (2)米 【分析】本题考查了相似三角形的应用，通常利用相似三角形的性质即相似三角形的对应边的比相等和在“同一时刻物高与影长的比相等”的原理解决，掌握相似三角形的判定和性质定理是解答本题的关键． （1）利用“在同一时刻物高与影长的比相等”列方程即可解答； （2）设古塔的高度为米，影长为米，先利用“同一时刻物高与影长的比相等”列方程得，即，所以，再证明得到，即，然后解方程组求出即可． 【详解】（1）解：根据题意知在“同一时刻物高与影长的比相等”， ， 故答案为：； （2）解：设古塔的高度为米，影长为米， 根据题意得：，即， ， ，， ， ， ，即， ， 解得：， 经检验，为原方程的解， 古塔的高度为米． 题型八： 裁剪问题 26．（24-25九年级上·福建漳州·期中）小明准备送礼物给妈妈，他利用边长为分米的正方形纸板按如图所示裁剪，制作一个正方体礼品盒，则这个礼品盒的体积为 立方分米． 【答案】8 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质、正方体的体积公式，理解题意，读懂裁剪的方法，找到相似三角形是解题的关键．先对图形的部分顶点命名，如图，由裁剪的方式可得和是等腰直角三角形，得出，利用相似三角形的性质得到，结合正方形的边长求出的长，进而得到正方体礼品盒的棱长，再利用正方体的体积公式即可解答． 【详解】解：如图，在正方形中，（分米）， 由此裁剪可得，和是等腰直角三角形， ， ， ， ， ，即（分米）， （分米）， 正方体礼品盒的棱长为2分米， 礼品盒的体积为（立方分米）． 故答案为：8． 27．（2022·山东青岛·模拟预测）如图，是一块直角边长为2cm的等腰直角三角形的硬纸板，在三角形内部裁剪下一个如图1所示的正方形，设得到的剩余部分的面积为；再分别从剩下的两个三角形内用同样的方式裁剪下两个正方形，如图2所示，设所得到的剩余部分的面积为；再分别从剩余的四个三角形内用同样的方式裁剪下四个正方形，如图3所示，设所得到的剩余部分的面积为；……，如此下去，第n个裁剪后得到的剩余部分面积= ． 【答案】 【分析】先判断出剪下正方形后剩余的小三角形是等腰直角三角形，然后求出剪下的正方形的边长，求出剩余部分的面积等于原等腰直角三角形的面积的一半，同理可得每次剪下一个小正方形剩余部分的面积等于等腰直角三角形的面积的一半，然后依次求解，根据指数的变化规律写出即可． 【详解】由题意得，剪下剩下的三角形是等腰直角三角形， 剪下的是正方形， 剪下的正方形的边长为， 剩余部分的面积为， 即剩余部分的面积等于原等腰直角三角形的面积的一半， 同理，每次剪下正方形后剩余部分的面积等于正方形所在的等腰直角三角形的面积的一半， 原等腰直角三角形的面积， ， ， ， …， 第n个裁剪后得到的剩余部分面积 ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，正方形的性质，判断出减去一个正方形后剩余部分的面积等于原等腰直角三角形的面积的一半是解题的关键． 28．（2025·广东·模拟预测）小周要在一块三角形钢板中裁出一个矩形，裁剪方案如图所示，顶点、在边上，顶点，分别在边、上，已知，，，则当矩形的面积最大时， ． 【答案】 【分析】本题主要考查相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．过点作于点，交于点，求出，证明，得到，当时，矩形面积最大，即可求出答案． 【详解】解：过点作于点，交于点， ， ， 即， 解得， 四边形为矩形， ， ， ， 四边形为矩形， ， ， ， ， ，即， ， ， 故当时，矩形面积最大， ， 此时， 故答案为：． 29．（24-25九年级下·广东深圳·开学考试）劳动课上，叶老师给每位同学发了一张等腰三角形彩纸，底边长，底边上的高为，圆圆沿底边依次从下往上裁剪出宽度均为的矩形纸条． (1)直接写出剪下的第一张矩形纸片长为______； (2)从下往上剪第几张纸片是正方形纸片？请说明理由． (3)圆圆沿底边依次从下往上裁剪出宽度均为（，且为整数）的矩形纸条，要剪出正方形纸片，直接写出的一个可能的取值______． 【答案】(1)； (2)从下往上剪第张纸片是正方形纸片； (3)或或． 【分析】本题考查等腰三角形的性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题． （1）设第一张矩形纸片长为，得出等腰三角形彩纸的腰长为，由三角形相似即可列出方程，求解即可； （2）设从下往上剪第张纸片是正方形纸片，由三角形相似可得：，求解即可； （3）设从下往上剪第张纸片是正方形纸片，由三角形相似可得：，求解即可． 【详解】（1）解：设第一张矩形纸片长为， 等腰三角形彩纸，底边长，底边上的高为， 等腰三角形彩纸的腰长为， 由三角形相似可得：， 解得：， 故答案为：； （2）解：设从下往上剪第张纸片是正方形纸片， 由三角形相似可得：， 解得：， 从下往上剪第张纸片是正方形纸片； （3）解：设从下往上剪第张纸片是正方形纸片， 由三角形相似可得：， 解得：， ， 或或， 故答案为：或或． 30．（2025·陕西渭南·一模）劳动课上，聂老师给每位同学发了一张等腰三角形彩纸，底边长，底边上的高为．圆圆沿底边依次从下往上裁剪出宽度均为的矩形纸条． (1)直接写出剪下的第一张矩形纸片长为___________； (2)从下往上剪第几张纸片是正方形纸片？请说明理由． 【答案】(1) (2)从下往上剪第张纸片是正方形纸片，理由见解析 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题． （1）设第一张矩形纸片长为，由三角形相似即可列出方程，求解即可； （2）设从下往上剪第张纸片是正方形纸片，由三角形相似可得，求解即可． 【详解】（1）解：如图，设第一张矩形纸片长为，过点作交于， ∵沿底边依次从下往上裁剪出宽度均为的矩形纸条， ∴，， ∴， ∴，即， 解得：， 故答案为： （2）如图，设从下往上剪第张纸片是正方形纸片，则， ∵ ∴，即， 解得：， ∴从下往上剪第张纸片是正方形纸片． 题型九： 现实生活相关问题 31．（23-24九年级上·陕西汉中·阶段练习）少年强,则国强,为增强青少年科技创新能力,某市举行了“青少年无人机设计大赛”,张帆和李明两位同学用自己设计的无人机进行模拟飞行游戏,如图,张帆的无人机一号从地面上的点A处出发,沿射线匀速飞行,李明的无人机二号从地面上的点B处出发,沿射线匀速飞行,已知两架无人机的飞行速度和起飞时间均相同,米,飞行6分钟后,两架无人机在空中点处相遇,飞行分钟后,张帆的无人机一号到达点C处,李明的无人机二号到达点D处,求点C与点D之间的距离． 【答案】米 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质．依据题意得出,再代入条件中对应线段数值即可求出本题答案． 【详解】解:根据题意,得,,, , ． 张帆的无人机一号匀速飞行,且段用时6分钟,段用时4分钟, ,即, ∴解得:米,即点C与点D之间的距离为米． 故答案为:米． 32．（24-25九年级上·山西晋中·期中）综合与实践 神舟十八号载人飞船成功发射，为弘扬航天精神，某校在教学楼上悬挂了一幅励志条幅（即）．小亮同学想知道条幅的长度，他的测量过程如下：如图，刚开始他站在距离教学楼的点处，在点正上方点处测得，然后向教学楼条幅方向前行到达点处，在点正上方点处测得，若，，均为，的长为． (1)如图1，请你帮助小亮计算条幅的长度； (2)若小亮从点开始以每秒的速度向点行走至（正上方点），经过多少秒后，以、、为顶点的三角形与相似． 【答案】(1)条幅的长度为； (2)经过秒或秒后，以、、为顶点的三角形与相似． 【分析】本题考查了相似三角形的应用，平行线的判定，平行线分线段成比例，熟练掌握并灵活运用这些性质是解答本题的关键． （1）根据已知求出、和，再根据同位角相等求出，根据成比例线段求出长度； （2）设经过秒后，以、、为顶点的三角形与相似，则，，利用三角形相似对应边成比例，分成和两种情况求解即可． 【详解】（1）解：由题意得：，，， ， ， ，即， 解得， 条幅的长度为； （2）解：设经过秒后，以、、为顶点的三角形与相似，则，， 当时，，即， 解得； 当时，，即， 解得， ∴经过秒或秒后，以、、为顶点的三角形与相似． 33．（23-24九年级上·江西景德镇·期中）杭州第届亚洲运动会开幕式在杭州奥体中心主体育场举行，奥运会游泳冠军汪顺和代表火炬线上传递参与者的“虚拟数字火炬手”一同点燃了杭州亚运会的主火炬台．某校社会实践小组为了测量这座主火炬台顶端距离地面的高度，如图，小明先在地面上处垂直于地面竖立了高度为米的标杆，这时地面上的点，标杆的顶端点，火炬台的顶端正好在同一直线上，测得米；小明再从点出发沿着方向前进米，到达点．在点处放置一平面镜，小刚站在处时，恰好在平面镜中看到火炬顶端的像，此时测得小刚的眼睛到地面的距离为米，米．已知点与火炬台的底端在同一直线上，，，．（平面镜大小忽略不计） (1)求与的等量关系； (2)请你根据以上数据，计算该火炬台的高度． 【答案】(1)，理由见解析； (2)该火炬台的高度米． 【分析】（）由，，得，证明，然后根据相似三角形的性质即可求解； （）由，，得，证明，然后根据相似三角形的性质和，即可求解； 本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形得判定与性质是解题的关键． 【详解】（1）解：，理由： ∵点与火炬台的底端在同一直线上，，， ∴， ∴， ∴， ∵米，米， ∴， ∴； （2）解：由题意得：米， ∴（米）， ∵点与火炬台的底端在同一直线上，，， ∴， ∴， ∴， ∵米，米， ∴，即， 由（）得：， ∴， ∴（米）， 答：该火炬台的高度为米． 34．（24-25九年级上·上海浦东新·期中）近期黑神话：悟空正式在全球上线，不仅迅速吸引了全球游戏爱好者的目光，同时也因其对中国地理风貌和中国古建筑、塑像、壁画等文化宝藏的精细还原，成为文旅界关注的对象黑神话：悟空游戏中选取的处山西极具代表性的古建筑，由南至北横跨个地市，不仅展示了山西深厚的文化底蕴，也为当地文旅产业带来新的发展机遇，更为山西的文化元素提供了一个面向全球游戏玩家群体的数字化传播窗口飞虹塔是山西省非常有名的一座塔楼，这座塔的位置位于山西省洪洞县广胜寺景区某实践小组欲测量飞虹塔的高度，过程见下表． 主题 跟着悟空游山西，测 量“飞虹塔”的大致高度 测量方案及示意图 测量步骤 步骤：把长为米的标杆垂直立于地面点处，塔尖点和标杆顶端确定的直线交水平于点，测得米； 步骤：将标杆沿着的方向平移到点处，塔尖点和标杆顶端确定的直线交直线于点，测得米，米；以上数据均为近似值 根据表格信息，求飞虹塔的大致高度． 【答案】米 【分析】本题考查相似三角形的应用，关键是根据相似三角形的判定和性质得出边的大小解答． 证明，得到对应边成比例，列方程解决即可． 【详解】解：设米，米． ， ， ． ，，， ． ， ， ． ，，， ， ， ， ， 经检验，是原方程的解， ， ， 经检验，是原方程的解， 答：飞虹塔的高度为米． 35．（2025·陕西咸阳·一模）西安“生命之树”是位于西安文化国际商业中心的新地标建筑设计灵感来源于西安古观音禅寺内的千年银杏树，是自然之美与历史文化的融合（如图1）．如图2，小华和小康想用标杆来测量“生命之树”的高，小康在处竖立了一根标杆，小华走到处时，站立在处恰好看到标杆顶端和“生命之树”的顶端在一条直线上，此时测得小华的眼睛到地面的距离米．若米，米，米，点，，在一条直线上，，，，根据以上测量数据，求“生命之树”的高度．（结果保留整数） 【答案】“生命之树”的高度为米 【分析】本题考查了矩形的判定与性质、相似三角形的判定与性质，作于，交于，四边形、均为矩形，由矩形的性质可得米，米，米，求出米，证明，由相似三角形的性质计算即可得解． 【详解】解：如图：作于，交于， ∵，，， ∴， ∴， ∴四边形、均为矩形， ∴米，米，米， ∴米， ∵， ∴， ∴，即， ∴米， ∴米， ∴“生命之树”的高度为米． 过关检测 1．（2025·河南信阳·模拟预测）如图是利用凹透镜做实验时的光路示意图，已知平行于主光轴l的光线经凹透镜折射后，其折射光线的反向延长线过焦点，经过凹透镜光心O的光线传播方向不改变，与的交点C即为点A的像点．若，点A到主光轴l的距离，则点C到主光轴l的距离为（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了相似形综合应用，分别证明和，运用相似三角形的性质可求解． 【详解】解：由题意知，， ∴， ∴，即， ∴； 又，， ∴， ∴， ∴, ∴， ∴． 故选：C． 2．（2025·河南商丘·模拟预测）郑州中牟贾鲁河大桥斜拉索都互相平行且距离相等．如图，，小丽测得50米，米，米，则的长度为（   ） A．60米 B．75米 C．78米 D．米 【答案】C 【分析】本题考查了三角形相似，解题的关键是掌握三角形相似的判定定理及性质定理，证明出三角形相似，利用三角形相似建立等式进行求解即可． 【详解】解：， ， ， ， ， 解得：， 故选：C． 3．（2025·山西吕梁·二模）两千四百多年前，我国学者墨子就在《墨经》中记载了小孔成像实验的做法与成因．图1是小孔成像实验图，抽象为数学问题：如图2，是蜡烛火焰，是其通过小孔所成的像，与交于点，．若点到的距离为，点到的距离为，蜡烛火焰的高度是，则蜡烛火焰倒立的像的高度是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质解应用题，根据题意，作出图形，由相似三角形的判定得到，进而确定；再判定，由相似比代值求解即可得到答案．熟记相似三角形的判定与性质是解决问题的关键． 【详解】解：如图所示： 由题意可知，，， ， ， ， ，则； ， ， ， ，则， ， ，解得， 即蜡烛火焰倒立的像的高度是， 故选：D． 4．（2025·广东东莞·二模）如图①：是生活中常见的人字梯，也称折梯，用于在平面上方空间进行工作的一类登高工具，因其使用时，左右的梯杆及地面构成一个等腰三角形，看起来像一个“人”字，因而把它形象的称为“人字梯”．如图②，是其工作示意图：．拉杆，米，则两梯杆跨度之间距离为（   ） A．2米 B．米 C．米 D．米 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．根据相似三角形的判定和性质可得，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵，米， ∴， ∴， 即两梯杆跨度、之间距离为米， 故选：B． 5．（2025·山东临沂·二模）如图，点B，C，D，E处的读数分别为15，12，0，1，若直尺宽，则的长为（   ） A．1.5 B．1 C．0.5 D． 【答案】A 【分析】本题考查的是相似三角形的应用，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 证明，根据相似三角形的性质列出比例式，把已知数据代入计算即可． 【详解】解：由题意得：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即，解得， ∴ 故选：A． 6．（2025·广西南宁·二模）“准、绳、规、矩”是古代使用的测量工具，一个简单结构的“矩”（如图1），根据使用时安放的位置测定物体的高低远近及大小，把“矩”放置在如图2所示的位置，令，若，，，则关于的函数解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质与判定，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键． 根据题意，四边形是矩形，可得，，，再根据，可得，由此即可求解． 【详解】解：根据题意，，四边形是矩形， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故选：C． 7．（2025·广西梧州·二模）如图，当驾驶员的眼睛点与地面的距离为米时，是驾驶员的视觉盲区，车头近似的看成是矩形，且，若的长度为米，则车宽的长度大约是（） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的应用，矩形的性质，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键； 通过作高，利用相似三角形的对应高的比等于相似比，列方程求解即可． 【详解】如图，过点作，垂足为，交于点， 则米， 设米，由得， ， 四边形是矩形， ，， ， ， 即， ， ， ， 解得，， ∴米 故选：D． 8．（2025·重庆渝北·一模）如图，是凸透镜的主光轴，点是光心，点是焦点．蜡烛的像为，测量得到物距与像距之比为，若像的长为，则蜡烛的高为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是掌握相似三角形对应边成比例． 通过证明，得出，即可解答． 【详解】解：由题意得， ∵， ∴ ∴ 即()． 故选B 9．（2025·广东广州·一模）如图，某时刻树梢顶点A的影子刚好落在台阶点G处，若测得台阶，，此时台阶在地面的影子，树的底部到台阶的距离，则树的高度为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行投影．作，，则四边形是矩形，推出，据此求解即可． 【详解】解：作，，则四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， 由题意得， ∴，即， ∴， ∴， 故选：C． 10．（2025·广东河源·一模）阿基米德曾说过“给我一个支点，我能橇动整个地球．”这句话生动体现了杠杆原理—通过调整支点位置和力臂长度，用较小的力就能撬动重物．这一原理在生活中随处可见，比如用撬棍搬石头、用剪刀剪纸，甚至开瓶器开啤酒，都是杠杆的巧妙运用．如题图①，这是杠杆撬动石头的示意图，当用力压杠杆时，另一端会翘起，石头就撬动了．如题图②所示，的距离为，动力臂，阻力臂，则的长度为（   ）． A．15 B．12 C．9 D．11 【答案】A 【分析】本题考查相似三角形的应用，根据题意构造出相似三角形，然后根据相似三角形的对应边成比例求得的长度．解题的关键是正确判定相似三角形并运用相似三角形的性质列出比例式． 【详解】解：，， ， ， ， 的距离为，动力臂，阻力臂， ， ， 的长为． 故选：A． 11．（2025·广东珠海·三模）立一杆高八尺，影长六尺；今有一楼，影长九丈．问楼高几何？（选自《海岛算经》）题目大意：直立一根8尺高的标杆，其影子长度为6尺；此时有一栋楼，影长9丈，这栋楼有多高？根据题意，可求得这栋楼高 丈． 【答案】12 【分析】本题考查了相似三角形的应用，根据同时同地物高与影长的比值相同建立方程求解即可． 【详解】解：设这栋楼高x丈， 由题意得，， 解得， ∴这栋楼高12丈， 故答案为：12． 12．（2025·湖南邵阳·一模）魏晋时刘徽撰写的《海岛算经》是有关测量的数学著作，其中一题是测海岛的高．如图，点E，H，G在水平线上，和是两个垂直于水平面且等高的测量标杆，称为“表高”，称为“表距”，和都称为“表目距”，若，则海岛的高为 ． 【答案】28 【分析】通过相似三角形的性质，构建比例关系，设出海岛高和相关水平距离，列方程求解．本题主要考查相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形对应边成比例的性质是解题的关键． 【详解】解：设海岛高， ． ∵，， ∴, ∴， ∴，即 ①． 又∵，， ∴, ∴， ∴，即 ②． ∴①，得； ∴②，得 ． ∴，解得 ． 即海岛的高为 ， 故答案为：28． 13．（2025·福建厦门·二模）如图1是装了液体的长方体容器的主视图（数据如图），将该容器绕地面一棱进行旋转倾斜后，水面恰好接触到容器口边缘，如图2所示，此时液面宽度 ． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的应用，过作交于，由相似三角形的判定方法得，由相似三角形的性质得，即可求解；能熟练利用相似三角形的判定及性质进行求解是解题的关键． 【详解】解：过作交于， ，， ， ，， ， ， ， ， ， ， 解得：， 故答案为：． 14．（24-25九年级下·江西吉安·阶段练习）如图①是装了液体的高脚杯示意图，用去一部分液体后如图②所示，此时液面 【答案】3 【分析】本题考查相似三角形的应用，解本题的关键熟练掌握相似三角形的判定与性质．高脚杯前后的两个三角形相似．根据相似三角形的判定和性质即可得出结果． 【详解】解：如图：过作，垂足为，过作，垂足为， ， ， ， ，， ， ， 故答案为： 15．（2025·广东深圳·模拟预测）在纬度确定的条件下，物体高度与影子长度的比例由太阳高度角决定． 如图是某风车示意图，其相同的四个叶片互相垂直，水平地面上的点M在旋转中心O的正下方．某一时刻，太阳光线恰好垂直照射叶片、，此时两叶片的影子在水平地面成线段，测得，，垂直于地面的木棒与影子的比为，则点O、M之间的距离等于 m． 【答案】70 【分析】连接交于点H，过点C作，通过证明，通过相似三角形对应边成比例即可解答．本题主要考查了相似三角形的性质和判定，解题的关键是画出辅助线，构建相似三角形． 【详解】解：连接交于点H，过点C作， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴，解得：． 设，，则， ∵， ∴， ∴，即， 解得：， ∵， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即：， 解得：， ∴， 故答案为：70． 16．（2025·陕西西安·模拟预测）如图，小红同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜．激光笔的光从点G出发经平面镜上点B反射后，恰好经过木板的上边缘点F，落在墙上的点E处．已知点G到地面的高度，木板的高度，点G到木板的水平距离，木板到墙的水平距离，求点E到地面的高度（图中点A，B，C，D在同一水平线上）． 【答案】点E到地面的高度为 【分析】本题主要考查相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．根据题意证明和，得到，即，即可得到答案． 【详解】解：反射角等于入射角， ． ． 又， ∴， ， ． ． ． ，解得． 由题意，可得， ． ，即， 解得． 点E到地面的高度为． 17．（24-25八年级下·江苏苏州·阶段练习）小李和小王去公园玩标准的跷跷板（两边长度一样）游戏，两同学越玩越开心，小李对小王说：“真可惜！我只能将你最高翘到1米高，如果我俩各边的跷跷板都再伸长相同的一段长度，那么我就能将你翘得更高！” (1)请你根据他们的对话，借助图1，计算出跷跷板的支点与地面的距离的长度； (2)你认为小李的话对吗？请你作图分析，并说明理由． 【答案】(1)米； (2)小李的话不对，见解析 【分析】本题考查了相似三角形的性质的应用； （1）根据题意，可知B在地面上时，A距离地面1米，证明，可知米； （2）若将两端同时都再伸长相同的长度，跷跷板能翘到的最高高度依然是的两倍，即为1米，所以不可能翘得更高． 【详解】（1）解：小李对小王说“真可惜！我只能将你最高翘到1米高”，情形如图1所示， 是标准跷跷板支架的高度，是跷跷板一端能翘到的最高高度1米，是地面． ， ， ， ， 又此跷跷板是标准跷跷板，， ，而米， 得米； （2）解：小李的话不对． 若将两端同时都再伸长相同的长度，假设为a米．如图2所示， 米，米 ∵， ∴，即． ∴，同理可得， ∴，由米，得米． 综上所述，跷跷板两边同时都再伸长相同的一段长度，跷跷板能翘到的最高高度始终为支架高度的两倍，所以不可能翘得更高． 18．（2025·贵州贵阳·二模）如图，为了估算河的宽度，小星在河对岸选定一个目标点，在近岸处选取点和，使点三点共线，过点作直线，过点作直线，在直线上取点，测得．交直线于点，经测量得，求河的宽度． 【答案】 【分析】根据直线，直线，证明，列比例式解答即可． 本题考查了三角形相似的判定和性质，熟练掌握三角形相似的判定是解题的关键． 【详解】解：直线，直线， ， ， ， ， ， ， 解得， 河的宽度． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第14讲 利用相似三角形的性质解决实际问题 题型一： 建筑物高问题 1．（24-25九年级下·陕西咸阳·期中）某校九年级一班的兴趣小组准备测量西安古城墙的高度，制定了如下的测量方案：如图，首先，王磊站在点B，当在正前方1．5米（即米）的点C放置一平面镜时，通过平面镜王磊刚好可以看到城墙的最高点M，此时测得王磊的眼睛到地面的距离为1．5米；然后，在阳光下某一时刻，李华再在点D处竖立一根高2米的标杆，城墙的影子顶端与标杆的影子顶端恰好重合于点F，此时测得米，米，已知图中所有点均在同一平面内，，，，点N、C、B、D、F在一条水平线上，请根据以上数据，计算西安古城墙的高度．（平面镜大小忽略不计） 2．（2025·河南省直辖县级单位·三模）图（1）是小明同学自制的测量工具，其中，上都有相同单位的刻度，G可以在上滑动，．小明想用自制的测量工具测量建筑物的高度． 如图（2），小明站在自动扶梯的底部A处，让测量工具的平行于地面，的延长线交于点F，滑动使O ，G，P在同一条直线上，此时． 他乘坐扶梯到达顶部B处，让测量工具的平行于地面，的延长线交于点E， 滑动， 使在同一条直线上，此时．小明的身高，自动扶梯的高为， 水平宽为． 试根据以上数据计算出建筑物的高度．(结果精确到) 3．（2025·陕西延安·二模）皇帝手植柏位于黄帝陵内，相传为轩辕皇帝亲手种植，历经数千年岁月，依然苍劲挺拔是中华文明源远流长的象征之一、数学小组的同学开展了测量皇帝手植柏高度的实践活动． 课题 测量皇帝手植柏的高度 示意图 测量过程 步骤一：如图，甲同学在点处竖立了一根高为的标杆，发现地面上的点、标杆顶端和皇帝手植柏顶端A在一条直线上； 步骤二：乙同学站在点处，调整自己眼睛的位置，当眼睛在处时，恰好看到标杆顶端和皇帝手植柏底端在一条直线上． 测量数据 乙同学的眼睛到地面的距离．已知，，点在一条水平线上，图中所有点在同一平面内． 请你根据以上实践报告，帮助该小组求出皇帝手植柏的高度． 题型二： 影长问题 4．（2025·贵州·一模）如图，小星利用自己的身高想要测量水平操场上旗杆的高度，请帮助小星按下列任务设计一种测量方案： 任务一：你选取的工具是___________（可选工具：小镜子、标杆、皮尺）； 任务二：请在图中画出方案示意图； 任务三：结合你画的示意图，从以下测量数据中选取合适的数据，求出旗杆的高度（结果保留整数）． 测量数据：①小星与旗杆的距离为，②小星到镜子的距离为，③镜子到旗杆的距离为，④同一时刻，小星的影长为，旗杆的影长为，⑤小星的身高为（眼睛到头顶的距离忽略不计），⑥标杆长，⑦小星与标杆的距离为． 5．（2025·江苏南京·二模）如图，夜晚，小亮从点A朝着路灯P的正下方沿直线走到点B． (1)若他在点A处的影长为，他的身高为，路灯高P距离地面的高度为，求此时他到路灯的水平距离； (2)已知他在点A，B处的影长之差为，他的身高为，求路灯P离地面的高度（用含b，h的式子表示）． 6．（24-25九年级上·江苏扬州·期末）如图1，平直的公路旁有一竖直灯杆，在灯光下，小华从灯杆的底部处沿直线前进到达点，在处测得自己的影长．小华身高． (1)求灯杆的长； (2)若小华从处继续沿直线前进到处（如图2），求此时小华的影长的长． 7．（24-25九年级上·浙江金华·阶段练习）测量路灯高度，人在路灯下的影长等 活动目标 测量路灯高度，人在路灯下的影长等 工具 皮尺、标杆 活动一：测量路灯的高度． 如图1，标杆垂直于地面，在路灯光源B照射下在地面产生影子，测量． 活动二：测量某同学的影长． 如图2，身高的同学站在离路灯远的地方，即，在路灯光源B照射下在地面产生影子． 活动三：有趣的发现． 如图，标杆垂直于地面，在相邻路灯光源B与照射下在地面产生影子与，若路灯，通过测量猜想发现了一个有趣的结论： 根据上面数学活动记录，回答下面问题： (1)根据活动一测得的数据计算路灯的高度； (2)根据活动二测得的数据计算同学的影长； (3)请证明活动三猜想的结论：． 题型三： 河宽问题 8．（24-25九年级上·广东佛山·期末）如图，为了估计河的宽度，我们可以在河的对岸选定一个目标点，在近岸取点，使与河岸垂直，在近岸取点，使，与交于点．已测得米，米，米，求河宽的长． 9．（24-25九年级上·广西百色·期中）某数学兴趣小组想用所学的知识测量小河的宽．测量时，他们选择了河对岸的一棵大树，将其底部作为点A，在他们所在的岸边选择了点B，使得与河岸垂直，并在B点竖起标杆，再在的延长线上选择点D，竖起标杆，使得点E，C，A共线．已知：，，测得，，（测量示意图如图所示）．请根据相关测量信息，求河宽的长． 10．（2023·陕西西安·模拟预测）如图，为了估算河面的宽度，即的长，在离河岸点2米远的点，立一根长为1米的标杆，在河对岸的岸边有一块高为米的安全警示牌，警示牌的顶端M在河里的倒影为点N，即，两岸均高出水平面米，即米，经测量此时A、D、N三点在同一直线上，并且点M、F、P、N共线，若均垂直于河面，求河宽是多少米？ 11．（24-25九年级上·湖北襄阳·期末）如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标点，在近岸取点和，使点，，共线且直线与河垂直，接着在过点且与垂直的直线上选择适当的点，确定与过点且垂直的直线的交点．已测得，，，请根据这些数据，计算河宽． 题型四： 树高问题 12．（2025·河南平顶山·一模）樱花红陌上，杨柳绿池边．每年初春时节，郑州大学校区的樱花竞相开放，为美丽的郑大校园增添了别样的景致，钟灵毓秀的郑大人把樱花赋予美丽、热情、纯洁、高尚的精神品质．高新区某中学的数学兴趣小组利用周末时间对大路旁的一棵樱花树进行测量，他们采用以下方法：如图，把支架（）放在离树（）适当距离的水平地面上的点F处，再把镜子水平放在支架（）上的点E处，然后沿着直线后退至点D 处，这时恰好在镜子里看到树的顶端A，再用皮尺分别测量，观测者目高（）的长，利用测得的数据可以求出这棵树的高度．已知于点D，于点F，于点B，米，米，米，米，那么这棵樱花树的高度（的长）是多少米？ 13．（24-25九年级下·安徽亳州·开学考试）《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的）．“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可测量物体的高度．如图，点，，在同一水平线上，和均为直角，与相交于点．测得，，，求树高． 14．（2025·上海徐汇·一模）小华（考虑为线段垂直于地面）家门口的一条笔直街道上有两棵竖直生长的树．他站在街道上的A处抬头看点E，发现刚好能看到点C，此时仰角为，他向前走之后，站在点D处仰望点E，仰角为．已知小华身高，求的高度．（近似值：，精确到两位小数） 题型五： 杠杆问题 15．（24-25九年级上·河南安阳·阶段练习）如图，在杠杆的端点A处焊接一圆球，已知，则要使该圆球向上抬升（竖直高度），杠杆的另一端点B需要向下压的竖直距离是 ． 16．（23-24九年级上·山西大同·期末）阿基米德曾说过：“给我一个支点和一根足够长的杆子，我就能撬起整个地球．”这句话的意思是利用物理学中的杠杆原理，只要有合适的支点和合适的工具，就可以把地球轻松搬动．如图1，这是用杠杆撬石头的示意图，当用力压杠杆时，杠杆绕着支点转动，另一端会向上翘起，石头就被翘动了．在图2中，杠杆的D端被向上翘起的距离，动力臂与阻力臂满足（与相交于点O），则的长为 cm．    17．（22-23九年级上·浙江温州·期中）如图所示的是古代一种可以远程攻击的投石车，图是投石车投石过程中某时刻的示意图，是杠杆，弹袋挂在点，重锤挂在点，点A为支点，点是水平底板上的一点，米，米． （1）投石车准备时，点恰好与点重合，此时和垂直，则 米 （2）投石车投石过程中，的延长线交线段于点，若：：，则点距地面为 米． 18．（24-25九年级上·辽宁·期末）我们知道工人利用撬棍轻松撬动大石头运用的是“杠杆原理”．如图，杠杆以为支点，当端上放置重物时，端着地，端到地面的距离是；当工人用力按压端，直至点着地落到时，端的重物被送到处，此时重物到地面的距离为90，求支点到地面的距离． ． 19．（24-25九年级上·陕西榆林·阶段练习）据《墨经》记载，在两千多年前，我国学者墨子和他的学生做了“小孔成像”实验，阐释了光的直线传播原理．小孔成像的示意图如图所示，光线经过小孔，物体在幕布上形成倒立的实像（点，的对应点分别是，）．物体的高为，实像的高为，物体与实像的距离为，点，，在一条直线上，，，均与垂直，求小孔到的距离． 题型六： 实验问题 20．（2025·河南南阳·一模）【学科融合】如图3，在反射现象中，反射光线、入射光线和法线都在同一个平面内，反射光线和入射光线分别位于法线两侧，反射角r等于入射角i． 【问题解决】如图4，小红同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜．激光笔在点G处，激光笔的光从平面镜上点B处反射后，恰好经过木板的上边缘点F，落在墙上的点E处．已知点G到地面的高度，木板的高度，点G到木板的水平距离，木板到墙的水平距离，求点E到地面的高度（图中点A，B，C，D在同一水平线上）． 21．（24-25九年级上·四川达州·期末）如图1是某兴趣小组通过蜡烛成像实验探究凸透镜成像规律的光路图，现将图1的光路图抽象为图2所示的数学几何图形，实物蜡烛发出的光线平行于直线，光线经过凸透镜后，经过焦点F与经过凸透镜中心O的光线交于点D，其中四边形是矩形，，． (1)将长为8厘米的蜡烛进行移动，使物距为30厘米，光线传播方向不变，移动光屏，直到光屏上呈现一个清晰的像，测得此时的像距为12厘米，求像的长度． (2)在（1）的条件下，已知光线平行于主光轴，经过凸透镜折射后通过焦点F，求凸透镜焦距的长 22．（23-24九年级上·广东河源·期末）综合与实践：利用相似三角形测量距离    (1)【学科融合】如图1，根据小孔成像的原理，当像距（小孔到像的距离）和物高（蜡烛火焰高度）不变时，火焰的像高（单位：）是物距（蜡烛火焰到小孔的距离）（单位：）的反比例函数，当时，．则关于的函数关系式是__________（不用写自变量的取值范围）． (2)【数学思考】如图2，嘉嘉正在使用手电筒进行物理光学实验，手电筒的灯泡在点处，手电筒的光从平面镜上点处反射后，恰好经过木板的边缘点，落在墙上的点处，点到地面的高度，点到地面的高度，灯泡到木板的水平距离，墙到木板的水平距离．已知光在镜面反射中的反射角等于入射角，点A，B，C，D在同一水平面上．则灯泡到地面的高度__________． (3)【实际应用】如图3，小明家窗外有一步路灯，每天晚上灯光都会透过窗户照进客厅里．路灯顶部处发光，光线透过窗子照亮地面的长度为，小明测得窗户距离地面高度，窗高，某一时刻，，，其中O，F，D，E四点在同一条直线上，C，B，F三点在同一条直线上，且，，请求出路灯的高度． 题型七： 古文问题 23．（24-25九年级下·陕西西安·期中）三国时期，魏人刘徽撰写的《海岛算经》乃中国最早的一部测量数学专著，专注于测高望远之术．受此启发，小刚设计了一种测量塔高的方案：如图，在地面上C 处垂直于地面竖立了高度为2米的标杆，这时地面上的点E、标杆的顶端点 D与塔尖点B恰好在同一直线上，测得的距离为5米．随后，将标杆向后平移到点G处，此时地面上的点F、标杆的顶端点H 与塔尖点B仍在同一直线上（点F、点G、点E、点C 与塔底处的点A 在同一直线上），并测得 米， 米，请依据这些数据计算该塔的高度 24．（23-24九年级下·福建莆田·开学考试）三国魏人刘徽，自撰《海岛算经》，专论测高望远，其中有一题是数学史上有名的测量问题，今译如下： 如图1，为底部H不可到达的一座山峰，A为山峰的最高点，现要测量山峰的最大高度．立两根高三丈的标杆和，两竿相距步，D，B，H成一线，从退行123步到F点，人目着地观察A点，A，C，F三点共线；从退行127步到G点，从G点看A点，A，E，G三点也共线，试算出山峰的高度及的距离．（古制1步尺，1里=180丈尺步，结果用步来表示） 解：∵，∴，∴____①____， 又∵，∴___②____，∴， 又∵，∴，即，∴（步） 又∵，∴， （步） (1)请补全上述求解过程中①②所缺的内容； (2)爱思考的小明想利用解直角三角形的知识，使用皮尺和自制测量仪（如图2，图3），通过测量长度、角度等几何量，测量一个海岛中的山峰高度．如图4，测量得，求出此座山峰的高度. 25．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）数学思考 (1)我国古代经典数学著作《孙子算经》有首歌谣：“今有竿不知其长，量得影长一丈五尺，立一标杆，长一尺五寸，影长五寸，问竿长几何？”其大意如下：有一根竹竿不知道有多长，直立后量出它在太阳底下的影长一丈五尺，同时直立一根一尺五寸的小标杆（如图），它的影长五寸（备注：丈尺，尺寸），问竹竿长多少？若设竹竿长尺．则可列方程： _________． 解决问题 (2)数学兴趣小组的同学对某古塔进行了测量，测量方法如下：如图，甲同学在古塔的影子顶端处竖直立一根木棒，并测得此时木棒的影长米，然后，乙同学在的延长线上找出一点，使得，，三点在同一直线上，并测得米．已知图中所有点均在同一平面内，木棒米，，，根据以上测量数据，求古塔的高度． 题型八： 裁剪问题 26．（24-25九年级上·福建漳州·期中）小明准备送礼物给妈妈，他利用边长为分米的正方形纸板按如图所示裁剪，制作一个正方体礼品盒，则这个礼品盒的体积为 立方分米． 27．（2022·山东青岛·模拟预测）如图，是一块直角边长为2cm的等腰直角三角形的硬纸板，在三角形内部裁剪下一个如图1所示的正方形，设得到的剩余部分的面积为；再分别从剩下的两个三角形内用同样的方式裁剪下两个正方形，如图2所示，设所得到的剩余部分的面积为；再分别从剩余的四个三角形内用同样的方式裁剪下四个正方形，如图3所示，设所得到的剩余部分的面积为；……，如此下去，第n个裁剪后得到的剩余部分面积= ． 28．（2025·广东·模拟预测）小周要在一块三角形钢板中裁出一个矩形，裁剪方案如图所示，顶点、在边上，顶点，分别在边、上，已知，，，则当矩形的面积最大时， ． 29．（24-25九年级下·广东深圳·开学考试）劳动课上，叶老师给每位同学发了一张等腰三角形彩纸，底边长，底边上的高为，圆圆沿底边依次从下往上裁剪出宽度均为的矩形纸条． (1)直接写出剪下的第一张矩形纸片长为______； (2)从下往上剪第几张纸片是正方形纸片？请说明理由． (3)圆圆沿底边依次从下往上裁剪出宽度均为（，且为整数）的矩形纸条，要剪出正方形纸片，直接写出的一个可能的取值______． 30．（2025·陕西渭南·一模）劳动课上，聂老师给每位同学发了一张等腰三角形彩纸，底边长，底边上的高为．圆圆沿底边依次从下往上裁剪出宽度均为的矩形纸条． (1)直接写出剪下的第一张矩形纸片长为___________； (2)从下往上剪第几张纸片是正方形纸片？请说明理由． 题型九： 现实生活相关问题 31．（23-24九年级上·陕西汉中·阶段练习）少年强,则国强,为增强青少年科技创新能力,某市举行了“青少年无人机设计大赛”,张帆和李明两位同学用自己设计的无人机进行模拟飞行游戏,如图,张帆的无人机一号从地面上的点A处出发,沿射线匀速飞行,李明的无人机二号从地面上的点B处出发,沿射线匀速飞行,已知两架无人机的飞行速度和起飞时间均相同,米,飞行6分钟后,两架无人机在空中点处相遇,飞行分钟后,张帆的无人机一号到达点C处,李明的无人机二号到达点D处,求点C与点D之间的距离． 32．（24-25九年级上·山西晋中·期中）综合与实践 神舟十八号载人飞船成功发射，为弘扬航天精神，某校在教学楼上悬挂了一幅励志条幅（即）．小亮同学想知道条幅的长度，他的测量过程如下：如图，刚开始他站在距离教学楼的点处，在点正上方点处测得，然后向教学楼条幅方向前行到达点处，在点正上方点处测得，若，，均为，的长为． (1)如图1，请你帮助小亮计算条幅的长度； (2)若小亮从点开始以每秒的速度向点行走至（正上方点），经过多少秒后，以、、为顶点的三角形与相似． 33．（23-24九年级上·江西景德镇·期中）杭州第届亚洲运动会开幕式在杭州奥体中心主体育场举行，奥运会游泳冠军汪顺和代表火炬线上传递参与者的“虚拟数字火炬手”一同点燃了杭州亚运会的主火炬台．某校社会实践小组为了测量这座主火炬台顶端距离地面的高度，如图，小明先在地面上处垂直于地面竖立了高度为米的标杆，这时地面上的点，标杆的顶端点，火炬台的顶端正好在同一直线上，测得米；小明再从点出发沿着方向前进米，到达点．在点处放置一平面镜，小刚站在处时，恰好在平面镜中看到火炬顶端的像，此时测得小刚的眼睛到地面的距离为米，米．已知点与火炬台的底端在同一直线上，，，．（平面镜大小忽略不计） (1)求与的等量关系； (2)请你根据以上数据，计算该火炬台的高度． 34．（24-25九年级上·上海浦东新·期中）近期黑神话：悟空正式在全球上线，不仅迅速吸引了全球游戏爱好者的目光，同时也因其对中国地理风貌和中国古建筑、塑像、壁画等文化宝藏的精细还原，成为文旅界关注的对象黑神话：悟空游戏中选取的处山西极具代表性的古建筑，由南至北横跨个地市，不仅展示了山西深厚的文化底蕴，也为当地文旅产业带来新的发展机遇，更为山西的文化元素提供了一个面向全球游戏玩家群体的数字化传播窗口飞虹塔是山西省非常有名的一座塔楼，这座塔的位置位于山西省洪洞县广胜寺景区某实践小组欲测量飞虹塔的高度，过程见下表． 主题 跟着悟空游山西，测 量“飞虹塔”的大致高度 测量方案及示意图 测量步骤 步骤：把长为米的标杆垂直立于地面点处，塔尖点和标杆顶端确定的直线交水平于点，测得米； 步骤：将标杆沿着的方向平移到点处，塔尖点和标杆顶端确定的直线交直线于点，测得米，米；以上数据均为近似值 根据表格信息，求飞虹塔的大致高度． 35．（2025·陕西咸阳·一模）西安“生命之树”是位于西安文化国际商业中心的新地标建筑设计灵感来源于西安古观音禅寺内的千年银杏树，是自然之美与历史文化的融合（如图1）．如图2，小华和小康想用标杆来测量“生命之树”的高，小康在处竖立了一根标杆，小华走到处时，站立在处恰好看到标杆顶端和“生命之树”的顶端在一条直线上，此时测得小华的眼睛到地面的距离米．若米，米，米，点，，在一条直线上，，，，根据以上测量数据，求“生命之树”的高度．（结果保留整数） 过关检测 1．（2025·河南信阳·模拟预测）如图是利用凹透镜做实验时的光路示意图，已知平行于主光轴l的光线经凹透镜折射后，其折射光线的反向延长线过焦点，经过凹透镜光心O的光线传播方向不改变，与的交点C即为点A的像点．若，点A到主光轴l的距离，则点C到主光轴l的距离为（       ） A． B． C． D． 2．（2025·河南商丘·模拟预测）郑州中牟贾鲁河大桥斜拉索都互相平行且距离相等．如图，，小丽测得50米，米，米，则的长度为（   ） A．60米 B．75米 C．78米 D．米 3．（2025·山西吕梁·二模）两千四百多年前，我国学者墨子就在《墨经》中记载了小孔成像实验的做法与成因．图1是小孔成像实验图，抽象为数学问题：如图2，是蜡烛火焰，是其通过小孔所成的像，与交于点，．若点到的距离为，点到的距离为，蜡烛火焰的高度是，则蜡烛火焰倒立的像的高度是（   ） A． B． C． D． 4．（2025·广东东莞·二模）如图①：是生活中常见的人字梯，也称折梯，用于在平面上方空间进行工作的一类登高工具，因其使用时，左右的梯杆及地面构成一个等腰三角形，看起来像一个“人”字，因而把它形象的称为“人字梯”．如图②，是其工作示意图：．拉杆，米，则两梯杆跨度之间距离为（   ） A．2米 B．米 C．米 D．米 5．（2025·山东临沂·二模）如图，点B，C，D，E处的读数分别为15，12，0，1，若直尺宽，则的长为（   ） A．1.5 B．1 C．0.5 D． 6．（2025·广西南宁·二模）“准、绳、规、矩”是古代使用的测量工具，一个简单结构的“矩”（如图1），根据使用时安放的位置测定物体的高低远近及大小，把“矩”放置在如图2所示的位置，令，若，，，则关于的函数解析式为（   ） A． B． C． D． 7．（2025·广西梧州·二模）如图，当驾驶员的眼睛点与地面的距离为米时，是驾驶员的视觉盲区，车头近似的看成是矩形，且，若的长度为米，则车宽的长度大约是（） A．米 B．米 C．米 D．米 8．（2025·重庆渝北·一模）如图，是凸透镜的主光轴，点是光心，点是焦点．蜡烛的像为，测量得到物距与像距之比为，若像的长为，则蜡烛的高为（   ） A． B． C． D． 9．（2025·广东广州·一模）如图，某时刻树梢顶点A的影子刚好落在台阶点G处，若测得台阶，，此时台阶在地面的影子，树的底部到台阶的距离，则树的高度为（   ） A． B． C． D． 10．（2025·广东河源·一模）阿基米德曾说过“给我一个支点，我能橇动整个地球．”这句话生动体现了杠杆原理—通过调整支点位置和力臂长度，用较小的力就能撬动重物．这一原理在生活中随处可见，比如用撬棍搬石头、用剪刀剪纸，甚至开瓶器开啤酒，都是杠杆的巧妙运用．如题图①，这是杠杆撬动石头的示意图，当用力压杠杆时，另一端会翘起，石头就撬动了．如题图②所示，的距离为，动力臂，阻力臂，则的长度为（   ）． A．15 B．12 C．9 D．11 11．（2025·广东珠海·三模）立一杆高八尺，影长六尺；今有一楼，影长九丈．问楼高几何？（选自《海岛算经》）题目大意：直立一根8尺高的标杆，其影子长度为6尺；此时有一栋楼，影长9丈，这栋楼有多高？根据题意，可求得这栋楼高 丈． 12．（2025·湖南邵阳·一模）魏晋时刘徽撰写的《海岛算经》是有关测量的数学著作，其中一题是测海岛的高．如图，点E，H，G在水平线上，和是两个垂直于水平面且等高的测量标杆，称为“表高”，称为“表距”，和都称为“表目距”，若，则海岛的高为 ． 13．（2025·福建厦门·二模）如图1是装了液体的长方体容器的主视图（数据如图），将该容器绕地面一棱进行旋转倾斜后，水面恰好接触到容器口边缘，如图2所示，此时液面宽度 ． 14．（24-25九年级下·江西吉安·阶段练习）如图①是装了液体的高脚杯示意图，用去一部分液体后如图②所示，此时液面 15．（2025·广东深圳·模拟预测）在纬度确定的条件下，物体高度与影子长度的比例由太阳高度角决定． 如图是某风车示意图，其相同的四个叶片互相垂直，水平地面上的点M在旋转中心O的正下方．某一时刻，太阳光线恰好垂直照射叶片、，此时两叶片的影子在水平地面成线段，测得，，垂直于地面的木棒与影子的比为，则点O、M之间的距离等于 m． 16．（2025·陕西西安·模拟预测）如图，小红同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜．激光笔的光从点G出发经平面镜上点B反射后，恰好经过木板的上边缘点F，落在墙上的点E处．已知点G到地面的高度，木板的高度，点G到木板的水平距离，木板到墙的水平距离，求点E到地面的高度（图中点A，B，C，D在同一水平线上）． 17．（24-25八年级下·江苏苏州·阶段练习）小李和小王去公园玩标准的跷跷板（两边长度一样）游戏，两同学越玩越开心，小李对小王说：“真可惜！我只能将你最高翘到1米高，如果我俩各边的跷跷板都再伸长相同的一段长度，那么我就能将你翘得更高！” (1)请你根据他们的对话，借助图1，计算出跷跷板的支点与地面的距离的长度； (2)你认为小李的话对吗？请你作图分析，并说明理由． 18．（2025·贵州贵阳·二模）如图，为了估算河的宽度，小星在河对岸选定一个目标点，在近岸处选取点和，使点三点共线，过点作直线，过点作直线，在直线上取点，测得．交直线于点，经测量得，求河的宽度． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$