专题01 与直线有关的对称、最值问题（7重难点题型）-2025-2026学年高二数学考试满分全攻略同步备考系列（苏教版2019选修一）

专题01 与直线有关的对称、最值问题 题型梳理 题型方法 题型一 点关于点对称 题型二 点关于线对称 题型三 线关于点对称 题型四 线关于线对称 题型五 两点间距离的最值问题 题型六 与距离之和（差）有关的最值问题 题型七 与面积有关的最值问题 题型方法 【题型一】点关于点对称 【例1】（23-24高二上·江苏宿迁）已知点与关于坐标原点对称，则等于（    ） A．5 B．1 C． D． 【举一反三】【变式1】点与点的对称中心是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（高一下·江苏淮安·期中）点关于点的对称点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【变式3】已知点（0，2）是点（－2，b）与点（2，4）的对称中心，则b= . 【题型二】点关于线对称 【例2】（24-25高二上·江苏连云港·阶段练习）已知点关于直线对称的点的坐标是（ ） A． B． C． D． 【举一反三】【变式1】（21-22高二上·江苏连云港·期中）点关于直线对称的点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25高二上·江苏扬州·期末）点关于直线的对称点坐标为 ． 【变式3】（24-25高二上·江苏常州·期中）已知点，直线. (1)求点到直线的距离； (2)求点关于直线l的对称点的坐标. 【题型三】线关于点对称 【例3】（23-24高二上·江苏常州·期中）已知直线与直线关于点对称，则实数的值为（    ） A．2 B．6 C． D． 【举一反三】【变式1】直线关于点对称的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（21-22高二上·江苏苏州·周测）直线恒过定点，则直线关于点对称的直线方程为 ． 【变式3】（23-24高二上·江苏南通·期中）已知三角形的三个顶点是，，，边BC上的高所在直线为l． (1)求直线l的方程； (2)求直线l关于点B对称的直线的方程． 【题型四】线关于线对称 【例4】（24-25高二上·江苏苏州·期末）直线关于直线：对称的直线方程为（   ） A． B． C． D． 【举一反三】【变式1】求直线关于直线对称的直线的方程． 【变式2】（21-22高二·江苏）已知直线l1: x＋y－1＝0，直线l2: 2x－y＋3＝0，求直线l2关于直线l1对称的直线l的方程． 【变式3】（21-22高二·江苏）已知直线，求： (1)直线l关于点对称的直线的方程； (2)直线关于直线l对称的直线的方程． 【题型五】两点间距离的最值问题 【例5】（21-22高二上·江苏盐城·期中）直线与直线交于点Q，m是实数，O为坐标原点，则的最大值是（    ） A．2 B． C． D．4 【举一反三】【变式1】（24-25高二上·江苏常州·期末）点到直线的距离的最大值为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（22-23高二上·江苏淮安·阶段练习）在直角坐标系xOy中，点到定点，距离之和的最小值是 . 【变式3】（24-25高二上·江苏扬州·期中）在平面直角坐标系中，定义为两点之间的“折线距离”． ①若，则 ； ②原点与直线上任意一点之间的折线距离的最小值为 ． 【题型六】与距离之和（差）有关的最值问题 【例6】（24-25高二上·江苏南通·阶段练习）已知，是直线上两动点，且，点，，则的最小值为（    ） A． B． C． D．12 【举一反三】【变式1】（24-25高二上·江苏南京·阶段练习）已知，则的最小值为 . 【变式2】（2021高二·江苏·专题练习）设，求的最小值是 . 【变式3】（23-24高二上·江苏无锡·阶段练习）著名数学家华罗庚曾说“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休．”事实上，很多代数问题可以都转化为几何问题加以解决．已知，则的最小值为 ． 【题型七】与面积有关的最值问题 【例7】（23-24高二上·江苏南通·阶段练习）过定点A的直线与过定点B的直线交于点与A、B不重合，则面积的最大值为（    ） A． B． C．2 D．4 【举一反三】【变式1】（2022高二·江苏·专题练习）在直角坐标系中，已知和直线，试在直线上找一点，在轴上找一点，使三角形的周长最小，最小值为 ． 【变式2】已知直线过点，且与轴、轴的正半轴分别交于，两点，为坐标原点，则的面积取最小值时直线的方程为 ．（答案写成一般式） 【变式3】（23-24高二上·江苏扬州）已知直线的方程为： (1)求证：不论为何值，直线必过定点； (2)过点引直线，使它与两坐标轴的正半轴所围成的三角形面积最小，求的方程． 好题必刷 一、单选题 1．（24-25高二上·江苏常州·期中）直线关于轴的对称直线的方程为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·江苏盐城·期中）已知直线，则点关于直线的对称点的坐标为（  ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·江苏南京·阶段练习）在平面直角坐标系中，点关于直线的对称点为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·江苏泰州·期中）点在直线上运动，，，则的最小值是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 5．（23-24高二上·江苏盐城·期中）已知，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 6．（21-22高二上·江苏无锡·期中）光线自点射入，经轴反射后经过点，则反射光线所在直线还经过下列点（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高二上·江苏淮安·阶段练习）已知点， 直线的方程为，则下列说法正确的是（     ） A．过P点与直线平行的直线为 B．过P点与直线垂直的直线为 C．点P 关于直线对称的点为 D．直线关于点P的对称的直线方程为 8．（24-25高二上·江苏常州·期中）下列四个命题中真命题有（    ） A．直线在轴上的截距为 B．经过定点的直线都可以用方程表示 C．直线过定点 D．点关于直线的对称点是 三、填空题 9．（22-23高二上·江苏连云港·期中）若点和点关于直线对称，则 ． 10．（22-23高二上·江苏泰州·期中）点关于直线对称的点的坐标为 . 11．（24-25高二上·江苏盐城·阶段练习）已知，则P点关于直线的对称点的坐标为 ． 12．（24-25高二上·江苏泰州·阶段练习）已知，，动点P在直线上.则的最小值为 . 四、解答题 13．（24-25高二上·江苏连云港·期中）已知直线，点，求： (1)经过点且与直线垂直的直线方程； (2)点关于直线的对称点. 14．（2022高二·江苏·专题练习）已知点，直线． (1)在上求一点，使的值最小； (2)在上求一点，使的值最大． 15．（23-24高二上·江苏无锡·期中）已知直线，点. (1)已知直线与平行，求的值； (2)求点关于直线的对称点的坐标. 16．（23-24高二上·江苏南京·期末）已知的一条内角平分线所在直线的方程为，两个顶点为． (1)求点关于直线的对称点的坐标； (2)求第三个顶点的坐标． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 与直线有关的对称、最值问题 题型梳理 题型方法 题型一 点关于点对称 题型二 点关于线对称 题型三 线关于点对称 题型四 线关于线对称 题型五 两点间距离的最值问题 题型六 与距离之和（差）有关的最值问题 题型七 与面积有关的最值问题 题型方法 【题型一】点关于点对称 【例1】（23-24高二上·江苏宿迁）已知点与关于坐标原点对称，则等于（    ） A．5 B．1 C． D． 【答案】B 【分析】根据关于原点对称点的性质确定参数，即得答案. 【详解】由与关于坐标原点对称，则， 所以. 故选：B 【举一反三】【变式1】点与点的对称中心是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由中点的坐标公式求解即可. 【详解】点与点的对称中心是的中点， 所以对称中心的坐标为， 故选：C 【变式2】（高一下·江苏淮安·期中）点关于点的对称点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据题意，设的坐标为，分析可得为的中点，由中点坐标公式可得，解可得、的值，即可得答案. 【详解】根据题意，设的坐标为， 点与关于点的对称， 为的中点， 根据中点坐标公式可得：， 解可得， 即的坐标为 故选：A. 【点睛】本题考查中点坐标公式的应用，注意分析点为中点，考查了分析能力和计算能力，属于基础题. 【变式3】已知点（0，2）是点（－2，b）与点（2，4）的对称中心，则b= . 【答案】0 【分析】由中心对称的含义即得. 【详解】∵点（0，2）是点（－2，b）与点（2，4）的对称中心， ∴b+4=2×2，即b=0. 故答案为：0. 【题型二】点关于线对称 【例2】（24-25高二上·江苏连云港·阶段练习）已知点关于直线对称的点的坐标是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，根据中点在对称直线上及与对称直线垂直列方程求解. 【详解】设，则，解得，. 故选：B 【举一反三】【变式1】（21-22高二上·江苏连云港·期中）点关于直线对称的点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设点关于直线对称的点的坐标，解方程，且，即得解. 【详解】解：设点关于直线对称的点的坐标 则中点的坐标为，， 利用对称的性质得：，且， 解得：，， 点的坐标， 故选：D 【变式2】（24-25高二上·江苏扬州·期末）点关于直线的对称点坐标为 ． 【答案】 【分析】设对称点为，由题意可得，求解即可. 【详解】设，则中点坐标为，又和关于直线对称， 所以有，解得，即对称点坐标为. 故答案为：． 【变式3】（24-25高二上·江苏常州·期中）已知点，直线. (1)求点到直线的距离； (2)求点关于直线l的对称点的坐标. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据条件，利用点到直线的距离公式，即可求解； （2）设对称点坐标为，利用两直线垂直的性质与中点坐标公式列方程组即可得解. 【详解】（1）因为点，直线， 所以点到直线的距离为. （2）设，则，即，解得， 所以点关于直线l的对称点的坐标为. 【题型三】线关于点对称 【例3】（23-24高二上·江苏常州·期中）已知直线与直线关于点对称，则实数的值为（    ） A．2 B．6 C． D． 【答案】A 【分析】根据线关于点对称即可得两直线平行，进而根据点的对称代入求解即可. 【详解】由于直线与直线关于点对称， 所以两直线平行，故，则， 由于点在直线上，关于点的对称点为， 故在上，代入可得，故， 故选：A 【举一反三】【变式1】直线关于点对称的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设对称的直线方程上的一点的坐标为,则其关于点对称的点的坐标为,代入已知直线即可求得结果. 【详解】设对称的直线方程上的一点的坐标为,则其关于点对称的点的坐标为，以代换原直线方程中的得，即. 故选：D. 【变式2】（21-22高二上·江苏苏州·周测）直线恒过定点，则直线关于点对称的直线方程为 ． 【答案】 【分析】根据直线过定点的求法可求得点坐标，根据关于对称的两条直线平行，且到点距离相等可构造方程求得结果. 【详解】由得：，当时，，； 设直线关于点对称的直线方程为， ，解得：或（舍）， 直线关于点对称的直线方程为. 故答案为：. 【变式3】（23-24高二上·江苏南通·期中）已知三角形的三个顶点是，，，边BC上的高所在直线为l． (1)求直线l的方程； (2)求直线l关于点B对称的直线的方程． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）应用两点式求斜率，再由直线垂直得，应用点斜式写出直线l的方程； （2）由直线平行设直线的方程为，根据已知及点线距离公式列方程求参数，即可得直线的方程． 【详解】（1）因为点，，所以， 因为，所以，且直线l经过点， 所以直线l的方程为，即． （2）设直线的方程为， 由点到直线l和直线的距离相等， 所以，解得， 所以直线的方程为． 【题型四】线关于线对称 【例4】（24-25高二上·江苏苏州·期末）直线关于直线：对称的直线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求两直线的交点，再在直线取点，求点关于直线的对称点，依据两点，，可得所求直线的方程. 【详解】联立，解得.则交点坐标为. 取直线上一点，设点关于直线：的对称点为， 则由，且线段的中点在直线上， 得，解得. 故所求直线过点，. 所以所求直线方程为：，即. 故选：B 【举一反三】【变式1】求直线关于直线对称的直线的方程． 【答案】 【分析】联立方程组求得两直线的交点，再在直线上取点，设点关于直线的对称点为，得出方程组，求得点点的坐标为，进而求得直线的方程. 【详解】联立方程组，解得所以直线与相交，且交点为， 可得点也在直线上． 再在直线上取点，设点关于直线的对称点为， 可得，解得，即点的坐标为， 则直线的斜率为， 所以直线的方程为，即， 故直线的方程为. 【变式2】（21-22高二·江苏）已知直线l1: x＋y－1＝0，直线l2: 2x－y＋3＝0，求直线l2关于直线l1对称的直线l的方程． 【答案】. 【分析】先求出两直线交点，再由直线l2上取点Q，求出关于l1的对称点，即可求出直线l的方程. 【详解】由解得所以直线l过点P. 又显然Q(－1, 1)是直线l2上一点，设点Q关于直线l1的对称点为Q′(x0, y0)， 则解得   即Q′(0, 2)． 因为直线l经过点P, Q′， 所以由两点式得它的方程为. 【变式3】（21-22高二·江苏）已知直线，求： (1)直线l关于点对称的直线的方程； (2)直线关于直线l对称的直线的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设直线关于的对称直线上任意一点为，求得点关于点的对称点，代入直线，即可求解； （2）由，两直线的交点坐标为，再在直线上取一点，求得关于直线的对称点，结合直线的点斜式方程，即可求解. 【详解】（1）解：设直线关于的对称直线上任意一点为， 则点关于点的对称为， 则，解得，即, 将点代入直线，可得， 整理得，即对称直线的方程为. （2）解：由，解得， 即直线与的交点坐标为， 再在直线上取一点， 设点关于直线的对称点为， 则，解得，即， 又由，所以直线的方程为， 整理得， 即直线关于直线l对称的直线的方程为. 【题型五】两点间距离的最值问题 【例5】（21-22高二上·江苏盐城·期中）直线与直线交于点Q，m是实数，O为坐标原点，则的最大值是（    ） A．2 B． C． D．4 【答案】B 【分析】求出两直线的交点坐标，结合两点间的距离公式得到，进而可以求出结果. 【详解】因为与的交点坐标为 所以， 当时， ， 所以的最大值是， 故选：B. 【举一反三】【变式1】（24-25高二上·江苏常州·期末）点到直线的距离的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分析得直线过定点，当与直线垂直时距离有最大值，利用两点间距离公式计算可得结果. 【详解】 由得， 由得，故直线过定点. 记点为点，当与直线垂直时，点到直线的距离有最大值， 最大值为. 故选：D. 【变式2】（22-23高二上·江苏淮安·阶段练习）在直角坐标系xOy中，点到定点，距离之和的最小值是 . 【答案】 【分析】利用对称性求解最小值. 【详解】关于轴的对称点坐标为， 连接点与点，与轴的交点即为， 由对称性可知：，所以， 由两点之间，线段最短可知： 线段的长即为点到定点，距离之和的最小值 ， 故答案为： 【变式3】（24-25高二上·江苏扬州·期中）在平面直角坐标系中，定义为两点之间的“折线距离”． ①若，则 ； ②原点与直线上任意一点之间的折线距离的最小值为 ． 【答案】 2 3 【分析】根据定义直接计算①，设即可表示再根据分段函数的性质计算可得②. 【详解】对于①若则； 对于②，设，则， 函数图象如下所示：则. 故答案为：2；3 【题型六】与距离之和（差）有关的最值问题 【例6】（24-25高二上·江苏南通·阶段练习）已知，是直线上两动点，且，点，，则的最小值为（    ） A． B． C． D．12 【答案】A 【分析】依题意，设点，推得点，利用两点间距离公式计算，利用距离公式表示的几何意义将其转化成两定点与一条定直线上的点的距离之和最小问题解决. 【详解】不妨设点在点的左边，因直线的倾斜角为， 且，则点的坐标为， 则， 记， 则可将理解为点到的距离之和， 即点到直线的距离之和，依题即需求距离之和的最小值. 如图，作出点关于直线的对称点,则， 连接，交直线于点,则即的最小值， 且, 故的最小值为. 故选：A. 【举一反三】【变式1】（24-25高二上·江苏南京·阶段练习）已知，则的最小值为 . 【答案】 【分析】根据给定条件，利用各算术根的几何意义，结合几何图形求出最小值. 【详解】依题意，取点，顺次连接得矩形， 设，，显然点在矩形内， 因此 而，当且仅当点在线段上（除端点外）时取等号， ，当且仅当点在线段上（除端点外）时取等号， 因此，当且仅当是与的交点时取等号，此时， 所以当时，取得最小值. 故答案为： 【变式2】（2021高二·江苏·专题练习）设，求的最小值是 . 【答案】 【分析】由配方化简可得d可看作点和到直线上的点的距离之和，作关于直线对称的点，连接，计算可得所求最小值. 【详解】解： ， 即d可看作点和到直线上的点的距离之和， 作关于直线对称的点， 由题意得，解得 故， 则. 故答案为：. 【变式3】（23-24高二上·江苏无锡·阶段练习）著名数学家华罗庚曾说“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休．”事实上，很多代数问题可以都转化为几何问题加以解决．已知，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】依题意转化为动点到的距离之和，结合图象得到为矩形对角线交点时距离最小，进而得到答案. 【详解】 相当于动点到的距离之和， 因为四边形为矩形，所以， 所以当为矩形对角线交点时，， 此时最小，最小为， 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：根据几何意义，转化为动点到的距离之和问题，画出图象，，当为矩形对角线交点时，距离最小. 【题型七】与面积有关的最值问题 【例7】（23-24高二上·江苏南通·阶段练习）过定点A的直线与过定点B的直线交于点与A、B不重合，则面积的最大值为（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】C 【分析】由题意可知，先求出动直线经过定点，再结合垂直条件应用基本不等式求出面积的最大值. 【详解】由题意可知，动直线经过定点， 动直线即，经过点定点， 过定点A的直线与过定点B的直线始终垂直，P又是两条直线的交点， 有， 故,当且仅当时取等号， 所以面积的最大值为 故选: 【举一反三】【变式1】（2022高二·江苏·专题练习）在直角坐标系中，已知和直线，试在直线上找一点，在轴上找一点，使三角形的周长最小，最小值为 ． 【答案】 【分析】如图，作出关于直线的对称点，作出关于轴的对称点，则连结，交直线于，交轴于，则的周长的最小值等于. 【详解】解：如图，作出关于直线的对称点， 作出关于轴的对称点， 连结，交直线于，交轴于， ，， 三角形的周长为线段的长， 由两点间线段最短得此时三角形的周长最小， 三角形的周长最小时，最小值为：． 故答案为：． 【变式2】已知直线过点，且与轴、轴的正半轴分别交于，两点，为坐标原点，则的面积取最小值时直线的方程为 ．（答案写成一般式） 【答案】 【分析】把直线方程设出来，然后求出两点的坐标，进而写出的面积，然后通过基本不等式即可求出面积的最小值,进而得到答案. 【详解】因为直线与轴、轴的正半轴分别交于两点，则可设直线的斜率为，且， 所以直线的方程为：即， 令，得到，所以；令，得到，所以. 由，则三角形AOB的面积为 , 当且仅当,即，因为，所以， 所以直线方程为. 故答案为：. 【变式3】（23-24高二上·江苏扬州）已知直线的方程为： (1)求证：不论为何值，直线必过定点； (2)过点引直线，使它与两坐标轴的正半轴所围成的三角形面积最小，求的方程． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）将直线方程改写成形式，解方程组即可. （2）设出直线的方程，分别令、求出相对于的y值、x值，结合三角形面积公式及基本不等式即可求得结果. 【详解】（1）证明：由可得：， 令， 所以直线过定点． （2）由（1）知，直线恒过定点， 所以设直线的方程为， 令，则；令，则， 所以， 当且仅当，即时，三角形面积最小， 此时的方程为． 好题必刷 一、单选题 1．（24-25高二上·江苏常州·期中）直线关于轴的对称直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设所求直线上任意一点的坐标为，则其关于x轴的对称点坐标为.代入原方程即可. 【详解】设所求直线上任意一点的坐标为，则其关于x轴的对称点坐标为. 已知直线，对称点在该直线上，所以将换为可得，即. 故选：A. 2．（24-25高二上·江苏盐城·期中）已知直线，则点关于直线的对称点的坐标为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由对称可知直线，且中点在上，设点坐标，可得方程组，解方程组即可. 【详解】设，则中点，且， 由，两点关于直线对称，且， 则，解得， 即， 故选：B. 3．（23-24高二上·江苏南京·阶段练习）在平面直角坐标系中，点关于直线的对称点为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设出点关于直线的对称点的坐标，根据题意列出方程组，解方程组即可． 【详解】设点关于直线的对称点是,则，解得：. 故选：B． 4．（24-25高二上·江苏泰州·期中）点在直线上运动，，，则的最小值是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】求出点关于直线的对称点，再求出线段长即可. 【详解】点，都在直线的下方， 点关于直线的对称点， 于是， 当且仅当点是线段与直线的交点时取等号， 所以的最小值是5. 故选：C 5．（23-24高二上·江苏盐城·期中）已知，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据目标式的几何意义，将问题转化为动点到定点和的距离之和的最小值问题，然后求出点A关于的对称点为，结合图形可解. 【详解】因为， 所以，目标式表示动点到定点和的距离之和. 点在直线上， 设点A关于的对称点为， 则，解得， 由对称性可知，， 当三点共线时等号成立， 所以，的最小值为. 故选：C 二、多选题 6．（21-22高二上·江苏无锡·期中）光线自点射入，经轴反射后经过点，则反射光线所在直线还经过下列点（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】反射光线经过点关于轴的对称点和，从而求出反射光线所在直线，再确定ABCD四个选项哪个点在其上. 【详解】关于轴的对称点为，则反射光线所在直线经过点和点，则直线为：，即，代入，则，A选项正确；代入，则，B错误；代入，则，C选项错误；代入，则，D正确. 故选：AD 7．（23-24高二上·江苏淮安·阶段练习）已知点， 直线的方程为，则下列说法正确的是（     ） A．过P点与直线平行的直线为 B．过P点与直线垂直的直线为 C．点P 关于直线对称的点为 D．直线关于点P的对称的直线方程为 【答案】ACD 【分析】A选项，设过P点与直线平行的直线方程，待定系数法求出直线方程；B选项，设过P点与直线垂直的直线方程，待定系数法求出直线方程；C选项，设出点P 关于直线对称的点为，利用中点坐标和斜率列出方程组，求出答案；D选项，由几何关系得到直线关于点P的对称的直线与直线平行，再求出上一点关于对称的点的坐标，求出答案. 【详解】A选项，设过P点与直线平行的直线为，将代入， ，解得，故过P点与直线平行的直线为，A正确； B选项，设过P点与直线垂直的直线为，将代入， ，解得，故过P点与直线垂直的直线为，B错误； C选项，设点P 关于直线对称的点为， 故，解得， 故点P 关于直线对称的点为，C正确； D选项，因为，故P点不在直线上， 故直线关于点P的对称的直线与直线平行， 设上一点关于对称的点为， 则，解得，故， 故设直线关于点P的对称的直线方程为， 将代入，，解得， 故直线关于点P的对称的直线方程为，D正确. 故选：ACD 8．（24-25高二上·江苏常州·期中）下列四个命题中真命题有（    ） A．直线在轴上的截距为 B．经过定点的直线都可以用方程表示 C．直线过定点 D．点关于直线的对称点是 【答案】ACD 【分析】令可求直线在轴上的截距判断A；分斜率存在与不存在两种情况可判断B；求得的定点可判断C；由点关于直线的对称点可判断D. 【详解】对于A，令，可得，所以直线在轴上的截距为，故A正确； 对于B，经过定点的直线斜率存在时可以用方程表示， 当直线斜率不存在时，直线方程为， 故经过定点的直线方程为或，故B错误； 对于C，由， 方程为过直线与直线的交点的直线， 由，解得， 所以直线过定点，故C正确； 对于D，点关于直线的对称点是，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题 9．（22-23高二上·江苏连云港·期中）若点和点关于直线对称，则 ． 【答案】 【分析】依题意可得、的中点在直线上且与直线垂直，即可得到关于、的方程组，解得即可. 【详解】解：因为点和点关于直线对称， 所以、的中点在直线上，且与直线垂直， 即，解得，所以. 故答案为： 10．（22-23高二上·江苏泰州·期中）点关于直线对称的点的坐标为 . 【答案】 【分析】设点N的坐标为,根据点的对称,利用直线垂直则斜率之积为，结合中点坐标，列出方程，即可求得答案. 【详解】设点关于直线对称的点N的坐标为, 则中点的坐标为， 利用对称的性质得∶且， 解得∶ ，∴点N的坐标 ， 故答案为：． 11．（24-25高二上·江苏盐城·阶段练习）已知，则P点关于直线的对称点的坐标为 ． 【答案】 【分析】利用先求垂足，把点关于直线对称转化为点关于垂足对称，即可用中点坐标公式求解. 【详解】由直线，可知其斜率为，则与直线垂直的直线斜率为, 则过点与直线垂直的直线方程为：，整理得， 联立方程组： ，解得，即过点作直线垂线的垂足为， 根据对称性可知，两点的中点就是，所以可求得点， 故答案为：. 12．（24-25高二上·江苏泰州·阶段练习）已知，，动点P在直线上.则的最小值为 . 【答案】 【分析】借助线段和的几何意义求解即可. 【详解】设关于直线对称对称点坐标为， 则，解得，即， ， 所以的最小值为. 故答案为：. 四、解答题 13．（24-25高二上·江苏连云港·期中）已知直线，点，求： (1)经过点且与直线垂直的直线方程； (2)点关于直线的对称点. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由垂直直线可得斜率，结合点斜式方程，可得答案； （2）设出对称点，利用中点坐标与垂直直线的斜率关系，建立方程组，可得答案. 【小题1】由直线，可得其斜率为2， 所以可得与之垂直的直线的斜率为， 所以过点与垂直的直线的方程为，即 【小题2】设的坐标为，则直线是线段的中垂线， 所以 解得 所以的坐标为 14．（2022高二·江苏·专题练习）已知点，直线． (1)在上求一点，使的值最小； (2)在上求一点，使的值最大． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意先作出点关于直线的对称点，然后连接，则直线与的交点为所求； （2）连接，则与直线的交点即为所求． 【详解】（1）解：由题意知，点、在直线的同一侧． 由平面几何的知识可知，先作出点关于直线的对称点， 然后连接，则直线与的交点为所求． 设，则且， 解得，，， 直线的方程为． 由，解得， 即为所求； （2）连接，则与直线的交点即为所求， 易得直线的方程为， 联立，解得， 即为所求． 15．（23-24高二上·江苏无锡·期中）已知直线，点. (1)已知直线与平行，求的值； (2)求点关于直线的对称点的坐标. 【答案】(1)3 (2) 【分析】（1）根据两直线平行的斜率关系列式运算得解； （2）设出对称点的坐标，利用中点在直线上，以及直线垂直，列出方程，即可求得结果. 【详解】（1）由直线平行直线，可得，解得或， 当时，直线符合题意， 当时，直线与直线重合，不合题意， 所以的值为3. （2）设对称点的坐标为，则中点的坐标为， 所以可得，解得， 所以的坐标为. 16．（23-24高二上·江苏南京·期末）已知的一条内角平分线所在直线的方程为，两个顶点为． (1)求点关于直线的对称点的坐标； (2)求第三个顶点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据点关于直线对称列方程组求点即可； （2）根据点关于直线对称列方程组求点即可. 【详解】（1）设点关于直线的对称点的坐标为， 则有，解得，故点的坐标为 （2）设，则有，解得，故点的坐标为. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$