第一章 三角形的证明专题复习 --与角平分线有关的常见模型 课件 -2023-2024学年北师大版数学八年级下册

角平分线的故事 ----与角平分线有关的常见模型 角平分线 三角形的角平分线 三角形的高线 平行线 请按暂停 垂线 角平分线：大家好！我来自几何图形大家庭，是一普通的射线，当我和角大哥相遇，恰好将他一分为二时，大家叫我“角平分线”， 自从有了新身份后，我的故事可多了...... 今天，主要和大家聊聊我和平行线大哥，高线兄弟，以及我的孪生兄弟三角形内外角平分线之间的故事...... 一、角平分线和平行线模型 如图： ∥ ，BD平分∠ABC交 于点D， 判断△ABD的形状，并说明理由。 40° 20° 20° 二、同一顶点处的角平分线、高线夹角模型 请按暂停 二、同一顶点处的角平分线、高线夹角模型 已知：AE，AD分别是△ABC同一顶点处的角平分线和高线， 则∠DAE与∠ABC和∠ACB之间有怎样的关系呢？ 你能画出几种情况的图形呢？ 高线AD可能在三角形的什么位置呢？ 已知AD, AE分别为△ABC的高线和角平分线(∠B＞∠C)． 如图1，△ABC为锐角三角形，高线AD在△ABC的内部时； 如图2，△ABC为直角三角形(∠B＝90°)，高线AD与直角边AB重合时； 如图3，△ABC为钝角三角形，高线AD在△ABC的外部时。 二、同一顶点处的角平分线、高线夹角模型 图1 图2 图3 三、与三角形角平分线的夹角相关的模型 1、如图，在△ABC中，∠ABC与∠ ACB的角平分线BP、CP交于点P， 若∠A=60°， ∠P =____？ 若∠A=100°，∠P =____？ 探索∠A与∠P的关系 ∵∠A=60°， ∴∠ABC+∠ ACB =180°－∠A =180°－ 60° =120° 三、与三角形角平分线的夹角相关的模型 ∵BP，CP分别是∠ABC，∠ACB的角平分线， ∴∠1＋∠2 ＝ ∠ABC＋ ∠ACB ＝ (∠ABC＋∠ACB) ＝ ×120° ＝60°. 所以∠P＝180°－ (∠1＋∠2) ＝180°－ 60° =120° 2、如图，在△ABC中，∠DBC与∠ BCE的角平分线BP、CP交于点P， 探索∠A与∠P的关系（结合第1题的结论，四边形内角和为360°） 3、如图，在△ABC中，∠ABC与∠ACD的角平分线BP、CP交于点P， 探索∠A与∠P的关系（结合第2题的结论） 三个角平分线夹角之间有什么关系？ 三、与三角形角平分线的夹角相关的模型 练习提高 THANK YOU 谢谢收看 17 如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC，∠B＝70°，∠C＝30°. (1)∠BAE的度数为 ； (2)∠BAD的度数为 ； (3)∠DAE的度数为 ； (4)探究：如果条件∠B＝70°，∠C＝30°改成∠B－∠C＝40°，能得出∠DAE的度数吗？若能，请你写出求解过程；若不能，请说明理由． (5)探究：∠DAE的度数与∠B－∠C之间的关系 解：能．理由： 因为∠B＋∠C＋∠BAC＝180°， 所以∠BAC＝180°－∠B－∠C． 因为AE平分∠BAC， 所以∠BAE＝eq \f(1,2)∠BAC＝eq \f(1,2)(180°－∠B－∠C)＝90°－eq \f(1,2)(∠B＋∠C)． 因为AD⊥BC， 所以∠ADB＝90°. 所以∠BAD＝90°－∠B． 所以∠DAE＝∠BAE－∠BAD＝90°－eq \f(1,2)(∠B＋∠C)－(90°－∠B)＝eq \f(1,2)(∠B－∠C)． 因为∠B－∠C＝40°， 所以∠DAE＝eq \f(1,2)×40°＝20°. 如图，在△ABC中，AD是高，AE，BF是角平分线，它们相交于点O，∠CAB＝50°，∠C＝60°，求∠DAE和∠BOA的度数． 解：因为∠CAB＝50°，∠C＝60°， 所以∠ABC＝180°－50°－60°＝70°. 因为AD是高， 所以∠ADC＝90°. 所以∠DAC＝90°－∠C＝30°. 因为AE，BF是角平分线， 所以∠CBF＝∠ABF＝35°，∠EAF＝∠EAB＝25°. 所以∠DAE＝∠DAC－∠EAF＝5°， ∠BOA＝180°－∠EAB－∠ABF＝120°. $$