精品解析：四川省成都市石室成飞中学2024-2025学年高一下学期5月月考数学试题

成都市石室成飞中学2024-2025学年下期五月月考 高2024级 数学 试卷 （考试时间：120分钟 总分：150分） 注意事项： 01．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上，或将条形码贴在答题卡规定的位置上． 02．答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号． 03．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的住置上． 04．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效． 05．考试结束后，只将答题卡交回． 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知复数，则的实部与虚部的差为（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数的除法运算得出复数的实部及虚部即可求解. 【详解】化简复数，得到．所以复数z的实部为，虚部为． 则的实部与虚部的差为． 故选：A. 2. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】. 所以选A. 【点睛】本题考查了二倍角及同角正余弦的差与积的关系，属于基础题. 3. 已知非零向量，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】考虑两者之间的推出关系后可得两者之间的条件关系. 【详解】如图所示，，当时，与垂直， ，所以成立，此时， 不是的充分条件， 当时，成立， 是的必要条件， 综上，“”是“”的必要不充分条件 故选：B. 4. 为了得到函数 的图象，只需将 上所有点（ ） A. 横坐标变为原来的 2 倍，纵坐标不变，再向左平移 个单位 B. 横坐标变为原来的 2 倍，纵坐标不变，再向左平移 个单位 C. 横坐标变为原来的 倍，纵坐标不变，再向左平移 个单位 D. 横坐标变为原来的 倍，纵坐标不变，再向左平移 个单位 【答案】D 【解析】 【分析】由诱导公式可得，再结合三角函数的图像变换，即可得到结果. 【详解】因为， 所以要得到函数 的图象， 只需将上所有点横坐标变为原来的倍，纵坐标不变， 再向左平移个单位即可. 故选：D 5. 函数f(x)=在[—π，π]的图像大致为 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先判断函数的奇偶性，得是奇函数，排除A，再注意到选项的区别，利用特殊值得正确答案． 【详解】由，得是奇函数，其图象关于原点对称．又．故选D． 【点睛】本题考查函数的性质与图象，渗透了逻辑推理、直观想象和数学运算素养．采取性质法或赋值法，利用数形结合思想解题． 6. 在中，由下列已知条件解三角形，其中有两解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据正余弦定理，即可结合选项逐一求解. 【详解】对于A:，进而可根据正弦定理求解，故此时三角形有唯一解； 对于B:,，进而根据余弦定理求解的值，此时三角形有唯一解； 对于C:，根据正弦定理可求解唯一，进而可知三角形唯一解； 对于D:，由正弦定理，且，故此时满足条件的有两解. 故选：D. 7. 如图，在等腰梯形中，，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，结合图形，利用向量线性运算计算得解. 【详解】在等腰梯形中，，，， . 故选：B 8. 某人要制作一个三角形，要求它的三条高的长度分别为，则此人能 A. 不能作出这样的三角形 B. 作出一个锐角三角形 C. 作出一个直角三角形 D. 作出一个钝角三角形 【答案】D 【解析】 【详解】设三角形的面积为S，其三边长分别是a,b,c,其相应边上的高分别为，，，则S=a×，即a=26S；同理可得另两边长b=22S,c=10S． 由余弦定理得cosA＝==<0，即A为钝角． 所以能作出一个钝角三角形． 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知复数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】根据复数乘法可得，再结合共轭复数以及复数的模长公式逐项分析判断. 【详解】因为， 所以，故AC错误，BD正确. 故选：BD. 10. 已知是夹角为的单位向量，且，则下列选项正确的是（） A. B. C. 的夹角为 D. 在上的投影向量为 【答案】BCD 【解析】 【分析】对A：借助向量模长与数量积的关系计算即可得；对B：借助数量积公式计算即可得；对C：借助向量夹角公式计算即可得；对D：借助投影向量的定义计算即可得. 【详解】是夹角为的单位向量，， 对于，，同理可得，故错误； 对于，，故正确； 对于，因 又，，故C正确； 对于， 所以在上的投影向量为，故正确. 故选：． 11. 将函数，（，，）的图象按照以下顺序进行变换：①向左平移个单位长度；②横坐标变为原来的2倍，纵坐标变为原来的倍；③向下平移个单位长度，可得到函数的图象．则下列结论正确的是（ ） A. 函数的解析式为 B. 函数的对称中心为 C. 若，则x的取值范围为 D. 若方程在内恰有两个根，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】先通过图象变换得到，然后利用三角函数的性质，通过整体代入求函数的对称中心和不等式的解集，最后利用整体代换的思想将令，将转化为，得出答案. 【详解】左平移个单位长度 横坐标变为原来的2倍，纵坐标变为原来的倍 向下平移个单位长度 所以，即，A项正确. 由得， 即函数的对称中心为，B项错误. 由，得，由三角函数的图象可得 ，所以x的取值范围为，C项正确. 令，则，， 若方程在内恰有两个根，， 则即在内恰有两个根， 所以，而，故， 故，D项正确. 故选：ACD. 【点睛】方法点睛：在三角函数的解题中，我们经常使用整体代换的思想，令解决问题. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知向量，向量，则的值是________． 【答案】 【解析】 【分析】利用向量线性运算的坐标表示，结合向量模的坐标运算求解. 【详解】向量，向量， 则，， 所以. 故答案为： 13. 已知，则复数z在复平面内对应的点位于第_________象限． 【答案】一 【解析】 【分析】根据复数的代数形式的运算法则求复数，再结合复数的几何意义确定复数所对应的点的位置. 【详解】因为，所以， 对应的点为位于第一象限． 故答案为：一 14. 如图，为了测量两点间的距离，选取同一平面上的，两点，测出四边形各边的长度（单位：km）：，，，，且四点共圆，则的长为_________ . 【答案】7 【解析】 【分析】根据四点共圆可得，再利用余弦定理可得，即可求得答案. 【详解】∵四点共圆，圆内接四边形的对角和为 ﹒ ∴ ， ∴由余弦定理可得 ， ， ∵，即 ， ∴ ,解得, 故答案为：7 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 设是两个相互垂直的单位向量，且 （Ⅰ）若，求的值； （Ⅱ）若，求的值. 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）2. 【解析】 【分析】（Ⅰ）若，则存在唯一的，使，则有，从而可求出答案. （Ⅱ）是两个相互垂直的单位向量，则，且,由，则，可求出参数的值. 【详解】解：（Ⅰ）若，则存在唯一的，使， 所以 ， 当时，； （Ⅱ）若，则， 因为是两个相互垂直的单位向量，则，且 ，即 当时，. 【点睛】本题考查根据向量平行和垂直求参数的值，考查向量的数量积的运算性质，属于基础题. 16. 已知 （1）求的值； （2）求角的值. 【答案】（1）2； （2）. 【解析】 【分析】（1）应用诱导公式及平方关系和商数关系求正切值； （2）由（1）及已知有、，应用二倍角正余弦公式求，，平方关系求，最后应用差角余弦公式求目标角的余弦值，即可得. 【小问1详解】 由，，则，故； 【小问2详解】 由（1）及题设，易知，又， 所以， 由（1）有，， 由，则， 所以，故. 17. 已知函数． （1）求的最小正周期和单调递增区间； （2）设函数，再从条件①、条件②，条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数存在且唯一，求在区间上的最大值和最小值． 条件①：在区间上单调递增； 条件②：的最大值为； 条件③：为偶函数． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】（1）最小正周期，单调递增区间为 （2） 选择条件①：取得最大值，最小值； 不能选择条件②； 选择条件③：取得最小值，最大值 【解析】 【分析】（1）由两角和的正弦公式化简，再由正弦型函数的周期性、单调性求解； （2）分别选择条件后根据条件分析的取值是否唯一，若唯一，再由正弦型函数的性质求最值即可，若不唯一，则放弃该条件的选择. 【小问1详解】 由题意得， 所以的最小正周期， 由， 得． 所以的单调递增区间为． 【小问2详解】 选择条件①： 由题意得． 由（1）可知的单调递增区间为． 由在区间上单调递增，得 解得． 又因为，所以． 从而存在且唯一， 当时，， 所以当，即时，取得最大值； 当，即时，取得最小值． 选择条件②： 由题意得， 函数最大值为，则只需， 由于，故的取值不唯一，故不符合题意，即不能选择条件②； 选择条件③： 由题意得． 由为偶函数可知， 解得． 又因为，所以． 从而存在且唯一． 当时，， 所以当，即时，取得最小值； 当，即时，取得最大值． 18. 在中，角A，B，C所对的边是a，b，c，且满足，． （1）求角B的大小； （2）求面积的最大值． （3）求周长的取值范围. 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）方法一用正弦定理边角互化，方法二用余弦定理边角互化，都可将条件转化成，结合三角形内角的范围即可求得； （2）方法1：利用余弦定理结合基本不等式求出的最大值，即可求得面积最大值；方法2：利用正弦定理化边为角，列出三角形面积公式，利用三角恒等变换将其化成正弦型函数，根据三角函数的值域求得其最大值； （3）方法1：利用余弦定理结合基本不等式求出的最大值，利用三角形三边关系定理求出其范围，即得周长范围；方法2：利用正弦定理化边为角，列出的表达式，利用三角恒等变换将其化成正弦型函数，根据三角函数的值域求其范围即得. 【小问1详解】 方法1： 因为 ，所以． 由正弦定理可得：，即 ． 因为角为的内角，所以， 因此，又因为 ，所以． 方法2： 因为 ，所以． 利用余弦定理：， 化简得：． 又由余弦定理： ， 可得：，又因为，故． 【小问2详解】 方法1： 由余弦定理 ： 及 ，得：， 即 ．当且仅当时等号成立， 所以三角形面积， 即面积的最大值为. 方法2： 由正弦定理， ，可得：， 则． 利用 ，代入化简得： ． 因为 ，所以 ，即， 因此 ， 故 的面积的最大值为 ． 【小问3详解】 方法1： 由余弦定理 ，代入 得：． 利用不等式 ，可得：， 即，故 ． 又因为 ，故得， 即周长的取值范围是． 方法2： 由 ，得 ．根据正弦定理：， 故． 因为 ，所以 ，即． 因此， 即周长的取值范围是． 19. 设，是平面上的两条射线，其中，、分别是与、同向的单位向量，以射线、分别为轴、轴的正半轴，建立的平面坐标系称为仿射坐标系.在仿射坐标系中，若，则记. （1）在仿射坐标系中，若，求（用含，，的代数式表示）； （2）在仿射坐标系中，若，，且与的夹角为，求的值； （3）在仿射坐标系中，如图所示，点、分别在轴、轴正半轴上运动，，，、分别为、中点，求的最大值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由题意可得，将其两边平方后利用向量数量积的运算律计算即得； （2）利用（1）得到的模长公式，求得和，再计算，再将条件代入公式，列出方程，即可求出的值. （3）设出点用表示出，利用正弦定理，经过三角恒等变换，化简成正弦型函数，求得其最大值. 【小问1详解】 由可得， 则， 所以； 【小问2详解】 依题意，将代入（1）得到的模长公式即得，，， ， 因为与的夹角为，则由， 可得，解得. 【小问3详解】 依题意，设， 因为是的中点，则， 因为是的中点，则， 故 因为，， 则， 在中，由余弦定理得，即，代入上式可得， ， 在中，由正弦定理可得， 设，则， 于是 ， 其中为锐角，且， 因为，则， 故当时，取最大值， 则，即的最大值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 成都市石室成飞中学2024-2025学年下期五月月考 高2024级 数学 试卷 （考试时间：120分钟 总分：150分） 注意事项： 01．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上，或将条形码贴在答题卡规定的位置上． 02．答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号． 03．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的住置上． 04．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效． 05．考试结束后，只将答题卡交回． 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知复数，则的实部与虚部的差为（ ） A. B. 1 C. D. 2. 已知，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知非零向量，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分又不必要条件 4. 为了得到函数 的图象，只需将 上所有点（ ） A. 横坐标变为原来的 2 倍，纵坐标不变，再向左平移 个单位 B. 横坐标变为原来的 2 倍，纵坐标不变，再向左平移 个单位 C. 横坐标变为原来的 倍，纵坐标不变，再向左平移 个单位 D. 横坐标变为原来的 倍，纵坐标不变，再向左平移 个单位 5. 函数f(x)=在[—π，π]的图像大致为 A. B. C. D. 6. 在中，由下列已知条件解三角形，其中有两解的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在等腰梯形中，，，，则（ ） A. B. C. D. 8. 某人要制作一个三角形，要求它的三条高的长度分别为，则此人能 A. 不能作出这样的三角形 B. 作出一个锐角三角形 C. 作出一个直角三角形 D. 作出一个钝角三角形 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知复数，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知是夹角为的单位向量，且，则下列选项正确的是（） A. B. C. 的夹角为 D. 在上的投影向量为 11. 将函数，（，，）的图象按照以下顺序进行变换：①向左平移个单位长度；②横坐标变为原来的2倍，纵坐标变为原来的倍；③向下平移个单位长度，可得到函数的图象．则下列结论正确的是（ ） A. 函数的解析式为 B. 函数的对称中心为 C. 若，则x的取值范围为 D. 若方程在内恰有两个根，则 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知向量，向量，则的值是________． 13. 已知，则复数z在复平面内对应的点位于第_________象限． 14. 如图，为了测量两点间的距离，选取同一平面上的，两点，测出四边形各边的长度（单位：km）：，，，，且四点共圆，则的长为_________ . 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 设是两个相互垂直的单位向量，且 （Ⅰ）若，求的值； （Ⅱ）若，求的值. 16. 已知 （1）求的值； （2）求角的值. 17. 已知函数． （1）求的最小正周期和单调递增区间； （2）设函数，再从条件①、条件②，条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数存在且唯一，求在区间上的最大值和最小值． 条件①：在区间上单调递增； 条件②：的最大值为； 条件③：为偶函数． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 18. 在中，角A，B，C所对的边是a，b，c，且满足，． （1）求角B的大小； （2）求面积的最大值． （3）求周长的取值范围. 19. 设，是平面上的两条射线，其中，、分别是与、同向的单位向量，以射线、分别为轴、轴的正半轴，建立的平面坐标系称为仿射坐标系.在仿射坐标系中，若，则记. （1）在仿射坐标系中，若，求（用含，，的代数式表示）； （2）在仿射坐标系中，若，，且与的夹角为，求的值； （3）在仿射坐标系中，如图所示，点、分别在轴、轴正半轴上运动，，，、分别为、中点，求的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $