专题04 利用勾股定理求最短路径问题（4知识点+4大题型+思维导图+过关测）-【暑假自学课】2025年新八年级数学暑假提升精品讲义（北师大版2024）

专题04 利用勾股定理求最短路径问题 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型 强知识：4大核心考点精准练 第二步：记 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点01 圆柱中的最短路径模型 【模型解读】圆柱体中最短路径基本模型如下： 计算跟圆柱有关的最短路径问题时，要注意圆柱的侧面展开图为矩形，利用两点之间线段最短结合勾股定理进行求解，注意展开后两个端点的位置，有时候需要用底面圆的周长进行计算，有时候需要用底面圆周长的一半进行计算. 注意：（1）运用勾股定理计算最短路径时，按照展开—定点—连线—勾股定理的步骤进行计算； （2）缠绕类题型可以求出一圈的最短长度后乘以圈数. 【最值原理】两点之间线段最短. 知识点02 长方体中的最短路径模型 【模型解读】长方体中最短路径基本模型如下： 计算跟长方体有关的最短路径问题时，要熟悉长方体的侧面展开图，利用两点之间线段最短结合勾股定理进行求解，注意长方体展开图的多种情况和分类讨论. 注意：1）长方体展开图分类讨论时可按照“前+右”、“前+上”和“左+上”三种情况进行讨论； 2）两个端点中有一个不在定点时讨论方法跟第一类相同. 【最值原理】两点之间线段最短. 知识点03 阶梯中的最短路径模型 【模型解读】阶梯中最短路径基本模型如下： 注意：展开—定点—连线—勾股定理 【最值原理】两点之间线段最短. 知识点04 将军饮马与最短路径模型 【模型解读】将军饮马与最短路径基本模型如下： 解决线段之和最小值问题：对称+连线，根据两点之间线段最短解决. 注意：立体图形中从外侧到内侧最短路径问题需要先作对称，再运用两点之间线段最短的原理结合勾股定理求解. 【最值原理】两点之间线段最短. 【题型1 圆柱中的最短路径模型】 例题：（24-25八年级下·全国·期末）如图，一个圆柱的高是，底面圆的周长是，一只蚂蚁想从下底面的点A处沿圆柱侧面爬到上底面的点B处，则蚂蚁需要爬行的最短路程是 ． 【变式训练】 1．（24-25八年级下·河北廊坊·阶段练习）如图，圆柱的高为10，底面圆的直径为8，若取3，一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到的中点E的最短距离为 ． 2．（24-25八年级上·河南郑州·期中）如图，有一个高为，底面直径为的圆柱．在圆柱下底面的点有一只蚂蚁，它想吃到上底面与点相对的点处的食物，它从点爬到点，然后再沿另一面爬回点，蚂蚁爬行的最短路程是 ． 3．（2025九年级下·全国·专题练习）2024年12月4日，我国的“春节”申遗成功，为了增添节日气氛，小刚家计划购买一条彩带，按如图所示的方式从圆柱的点处缠绕到圆柱的点处（点在下底面，点在上底面，点在点的正上方），若圆柱的底面周长为，高为，则需要购买彩带的长度最短为 ． 【题型2 长方体中的最短路径模型】 例题：（24-25九年级下·湖北十堰·期中）如图，长方体的长为3，宽为2，高为4，一只蚂蚁从点A出发，沿长方体表面到点B处吃食物，那么它爬行的最短路程是 ． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·山东枣庄·阶段练习）如图，长方体中，，一只蚂蚁从点A点出发沿长方体表面爬行到点，爬行的最短距离是 ． 2．（23-24八年级上·陕西咸阳·期末）如图，长方体的长、宽、高分别为6，4，4，点A是长方体的顶点，点B是棱的中点，一只蚂蚁由A处沿长方体表面爬到B处，最短路程为 ． 3．（24-25八年级下·安徽亳州·期中）如图是一个长方体盒子，其长、宽、高分别为4，1，7，用一根细线绕侧面绑在点处，不计线头，细线的最短长度为 ． 【题型3 阶梯中的最短路径模型】 例题：（24-25八年级上·河南焦作·期中）如图，三级台阶每一级的长宽高分别是，和，A和B是这个台阶的两个相对的端点，点A上有一只蚂蚁，想到点B去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到点B的最短路程长为 ． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·辽宁阜新·阶段练习）如图，在一个长4米，宽2米的长方形草地上，放着一根长方体的木块，它的棱和草地宽平行且棱长大于，木块从正面看是边长为40厘米的正方形，一只蚂蚁从点A处到达点C处需要走的最短路程是 米． 2．（24-25八年级上·河南郑州·期中）在一个长米，宽为5米的长方形草地上，如图堆放着一根三棱柱的木块，它的侧棱长平行且大于场地宽，木块从正面看到的高是米的等腰直角三角形，一只昆虫从点A处到C处需要走的最短路程是 米． 3．（24-25八年级上·河南郑州·期末）如图所示，地面上铺了一块长方形地毯，因使用时间长而变形，中间形成一个半圆柱的凸起，半圆柱的底面直径为，已知，，一只蚂蚁从点爬到点，且必须翻过半圆柱凸起，则它至少要走 的路程． 【题型4 将军饮马与最短路径模型】 例题：（24-25八年级上·贵州贵阳·期末）如图，透明圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为，底面周长为，在容器内壁离容器底部的处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在与点处相对的玻璃杯外壁，且距离容器顶部的点处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径长度是 ． 【变式训练】 1．（2025八年级下·全国·专题练习）如图所示的长方体透明玻璃鱼缸，假设其长，高，水深．在水面上紧贴内壁的处有一块面包屑，且．一只蚂蚁想从鱼缸外的点沿鱼缸壁爬进鱼缸内的处吃面包屑，则蚂蚁爬行的最短路线的长为 ． 2．如图，一个牧童在小河的南4km的A处牧马，而他正位于他的小屋B的西8km北7km处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家．他要完成这件事情所走的最短路程是多少？    3．（23-24八年级下·重庆南川·期中）如图，要在河边修一个水泵站，分别向A、B两村送水，已知A、B两村到江边的距离分别为和，且A、B两村相距． (1)水泵站应修建在何处，可使所用水管最短，请在图中设计出水泵站P的位置； (2)若铺设水管的费用为每千米4000元，为了使铺设水管费用最节省，请求出最节省铺设水管的费用为多少元？ 一、单选题 1．（24-25七年级上·山东东营·期中）如图，圆柱形容器高为，在其外壁距离下底面的处有一只蚂蚁，它想吃到正对面外壁距离上底面的B处的一滴蜂蜜，其中圆柱的底面周长为，则蚂蚁爬行的最短距离为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·重庆·期中）如图，在一张边长为的正方形纸板上，放着一根长方体木块，已知木块的较长边与平行且相等，横截面是一个边长为的正方形，一只蚂蚁从点A出发，翻过木块到达点C处，需要走的最短路程为（   ）． A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·陕西咸阳·期中）如图，长方体鱼缸（无盖）的长，宽，高分别为，，，一只壁虎从外表面顶点出发，沿长方体表面爬到内侧点处，点在上且距离上沿（即），壁虎爬行的最短路程是（   ）（鱼缸厚度忽略不计） A． B． C． D． 4．（24-25八年级下·广西南宁·期中）如图，这是一个供滑板爱好者使用的U型池的示意图，该U型池可以看成是长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行部分的截面是直径为米的半圆，其边缘米，点E在上，米，一滑板爱好者从A点滑到E点，则他滑行的最短距离为（   ） A．18米 B．20米 C．22米 D．24米 5．（24-25八年级上·福建漳州·期中）如图，一只蜘蛛在一块长方体的一个顶点A处，一只苍蝇在这个长方体上和蜘蛛相对的顶点B处，已知长方体长，宽，高．蜘蛛因急于捉到苍蝇，沿着长方体的表面从A点爬到B点，则蜘蛛爬行的最短路程是（   ）． A．10 B． C． D．不能确定 二、填空题 6．（24-25八年级上·广东佛山·阶段练习）如图，一个正方体实心木块的棱长为，一只蚂蚁沿表面从点A到点B处吃到食物，那么爬行的最短距离是 ． 7．（24-25八年级下·青海海东·阶段练习）如图，长方体的长为，宽为，高为，点B离点C，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B去吃一滴蜜糖，需要爬行的最短距离是 ． 8．（24-25八年级下·内蒙古鄂尔多斯·阶段练习）如图，桌上有一个圆柱形盒子（盒子厚度忽略不计），高为，底面周长为，在盒子外壁离上沿的点处有一只蚂蚁，此时，盒子内壁离底部的点处有一滴蜂蜜，蚂蚁沿盒子表面爬到点处吃蜂蜜，求蚂蚁爬行的最短距离 9．（24-25八年级上·山东青岛·期末）如图，已知一个长方体的底面边长分别为6cm和6cm，高为7cm．若一只蚂蚁从点P开始经过4个侧面爬行一圈到达点Q，则这只蚂蚁爬行的最短路程为 cm． 10．（24-25八年级上·陕西榆林·期末）如图1是一款竹木材质的二宫格托盘，从内部测得每个格子的底面均是边长为的正方形，且深为，两个格子之间的隔断厚．图2是该托盘的俯视图（即从上面看到的形状图），若一只蚂蚁从该托盘内部底面的顶点A处，经托盘隔断爬行到内部底面的顶点B处，则蚂蚁爬行的最短距离为 ． 三、解答题 11．（24-25八年级上·贵州黔东南·阶段练习）如图所示，一只蚂蚁在长方体木块的顶点A处，食物在这个长方体上和蚂蚁相对的顶点B处，蚂蚁急于吃到食物，所以沿着长方体的表面向上爬，请你计算出它从A处爬到B处的最短路线长为多少． 12．（2024九年级上·全国·专题练习）葛藤是一种“刁钻”的植物，它自己腰杆不硬，为争夺雨露阳光，常常绕着树干盘旋而上，它还有一手绝招，就是它绕树盘升的路径总是沿最短路线螺旋上升.难道植物也懂数学？ (1)想一想怎样找出最短路径； (2)如图，若树干周长为，葛藤绕一圈升高，则它爬行一周的路程是多少米？ 13．（23-24八年级下·安徽芜湖·阶段练习）（1）如图1，长方体的长为，宽为，高为．求该长方体中能放入木棒的最大长度； （2）如图2，长方体的长为，宽为，高为．现有一只蚂蚁从点处沿长方体的表面爬到点G处，求它爬行的最短路程； （3）如图3，若将题中的长方体换成透明圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为，底面周长为，在容器内壁离底部的点处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁且离容器上沿与饭粒相对的点A处．求蚂蚁吃到饭粒需要爬行的最短路程是多少？ 14．（24-25八年级上·广东深圳·阶段练习）如图，已知圆柱底面的周长为12，圆柱的高为8，在圆柱的侧面上，过点A，C嵌有一圈长度最短的金属丝． (1)现将圆柱侧面沿剪开，所得的圆柱侧面展开图是______． (2)如图①，求该长度最短的金属丝的长． (3)如图②，若将金属丝从点B绕四圈到达点A，则所需金属丝最短长度是多少？ (4)如图③，圆柱形玻璃杯的高，底面周长为，在杯内壁离杯底的点A处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在外壁上，离杯上沿，且与蜂蜜相对的点B处，则蚂蚁从外壁B处到内壁A处所爬行的最短路程是多少？（杯壁厚度不计） 15．（23-24八年级下·山东聊城·期中）综合与实践 【问题情境】 数学综合与实践活动课上，老师提出如下问题：一个三级台阶，它每一级的长、宽、高分别为20、3、2，A和B是一个台阶两个相对的端点． 【探究实践】 老师让同学们探究：如图①，若A点处有一只蚂蚁要到B点去吃可口的食物，那么蚂蚁沿着台阶爬到B点的最短路程是多少？ （1）同学们经过思考得到如下解题方法：如图②，将三级台阶展开成平面图形，可得到长为20，宽为15的长方形，连接，经过计算得到长度为______，就是最短路程． 【变式探究】 （2）如图③，是一只圆柱形玻璃杯，该玻璃杯的底面周长是30 cm，高是8 cm，若蚂蚁从点A出发沿着玻璃杯的侧面到点B，则蚂蚁爬行的最短距离为______． 【拓展应用】 （3）如图④，圆柱形玻璃杯的高9 cm，底面周长为16 cm，在杯内壁离杯底4 cm的点A处有一滴蜂蜜，此时，一只蚂蚁正好在外壁上，离杯上沿1 cm，且与蜂蜜相对的点B处，则蚂蚁从外壁B处到内壁A处所爬行的最短路程是多少？（杯壁厚度不计） 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 利用勾股定理求最短路径问题 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型 强知识：4大核心考点精准练 第二步：记 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点01 圆柱中的最短路径模型 【模型解读】圆柱体中最短路径基本模型如下： 计算跟圆柱有关的最短路径问题时，要注意圆柱的侧面展开图为矩形，利用两点之间线段最短结合勾股定理进行求解，注意展开后两个端点的位置，有时候需要用底面圆的周长进行计算，有时候需要用底面圆周长的一半进行计算. 注意：（1）运用勾股定理计算最短路径时，按照展开—定点—连线—勾股定理的步骤进行计算； （2）缠绕类题型可以求出一圈的最短长度后乘以圈数. 【最值原理】两点之间线段最短. 知识点02 长方体中的最短路径模型 【模型解读】长方体中最短路径基本模型如下： 计算跟长方体有关的最短路径问题时，要熟悉长方体的侧面展开图，利用两点之间线段最短结合勾股定理进行求解，注意长方体展开图的多种情况和分类讨论. 注意：1）长方体展开图分类讨论时可按照“前+右”、“前+上”和“左+上”三种情况进行讨论； 2）两个端点中有一个不在定点时讨论方法跟第一类相同. 【最值原理】两点之间线段最短. 知识点03 阶梯中的最短路径模型 【模型解读】阶梯中最短路径基本模型如下： 注意：展开—定点—连线—勾股定理 【最值原理】两点之间线段最短. 知识点04 将军饮马与最短路径模型 【模型解读】将军饮马与最短路径基本模型如下： 解决线段之和最小值问题：对称+连线，根据两点之间线段最短解决. 注意：立体图形中从外侧到内侧最短路径问题需要先作对称，再运用两点之间线段最短的原理结合勾股定理求解. 【最值原理】两点之间线段最短. 【题型1 圆柱中的最短路径模型】 例题：（24-25八年级下·全国·期末）如图，一个圆柱的高是，底面圆的周长是，一只蚂蚁想从下底面的点A处沿圆柱侧面爬到上底面的点B处，则蚂蚁需要爬行的最短路程是 ． 【答案】15 【知识点】求最短路径(勾股定理的应用)、几何体展开图的认识 【分析】本题考查了圆柱的侧面展开，最短路径问题，勾股定理，先将圆柱侧面展开，再根据两点之间线段最短可知的长即蚂蚁爬行的最短路程，再利用勾股定理求解即可． 【详解】、 解：圆柱的展开图如图： 根据题意，，，， ∴， 即蚂蚁需要爬行的最短路程是， 故答案为：15． 【变式训练】 1．（24-25八年级下·河北廊坊·阶段练习）如图，圆柱的高为10，底面圆的直径为8，若取3，一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到的中点E的最短距离为 ． 【答案】13 【知识点】求最短路径(勾股定理的应用) 【分析】本题考查了勾股定理的应用，根据题意画出爬行路线的展开图，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，． 2．（24-25八年级上·河南郑州·期中）如图，有一个高为，底面直径为的圆柱．在圆柱下底面的点有一只蚂蚁，它想吃到上底面与点相对的点处的食物，它从点爬到点，然后再沿另一面爬回点，蚂蚁爬行的最短路程是 ． 【答案】 【知识点】求最短路径(勾股定理的应用) 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，将圆柱侧面展开，利用勾股定理求解出点A到点B的最短距离即可得到答案． 【详解】解：由题意侧面展开得到下图所示： ∵底面直径为，高为， ∴，， ∴， ∴它从点爬到点，然后再沿另一面爬回点，蚂蚁爬行的最短路程是， 故答案为：． 3．（2025九年级下·全国·专题练习）2024年12月4日，我国的“春节”申遗成功，为了增添节日气氛，小刚家计划购买一条彩带，按如图所示的方式从圆柱的点处缠绕到圆柱的点处（点在下底面，点在上底面，点在点的正上方），若圆柱的底面周长为，高为，则需要购买彩带的长度最短为 ． 【答案】 【知识点】求最短路径(勾股定理的应用)、几何体展开图的认识 【分析】本题主要考查了平面展开—最短路径问题，根据题意画出圆柱的侧面展开图，利用勾股定理求解是解题的关键．圆柱的侧面展开图是一个长方形，此长方形的宽等于圆柱底面周长，长方形的长等于圆柱的高，在展开图中，根据题意，利用两点之间线段最短，求出即可． 【详解】解：圆柱体的侧面展开图如图所示， 在中，， 同理求得 最短长度为 故答案为：． 【题型2 长方体中的最短路径模型】 例题：（24-25九年级下·湖北十堰·期中）如图，长方体的长为3，宽为2，高为4，一只蚂蚁从点A出发，沿长方体表面到点B处吃食物，那么它爬行的最短路程是 ． 【答案】 【知识点】求最短路径(勾股定理的应用)、几何体展开图的认识 【分析】本题考查了平面展开—最短路径问题，勾股定理，分三种情况，展开图形，结合勾股定理计算并比较，即可得解． 【详解】解：第一种情况：把我们所看到的前面和上面组成一个平面， 则这个长方形的长和宽分别是6和3， 则所走的最短路线是； 第二种情况：把我们所看的左面与上面组成一个长方形， 则这个长方形的长和宽分别是5和4， 则所走的最短路线是； 第三种情况：把我们所看到的前面和右面组成一个长方形， 则这个长方形的长和宽分别是7和2， 则所走的最短路线是； ∵， ∴它爬行的最短路程是， 故答案为：． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·山东枣庄·阶段练习）如图，长方体中，，一只蚂蚁从点A点出发沿长方体表面爬行到点，爬行的最短距离是 ． 【答案】13 【知识点】求最短路径(勾股定理的应用) 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，将长方体沿着它的长、宽、高分别展开，利用勾股定理求出对应的最短路径，比较即可得到答案． 【详解】解：如图所示，当沿着把长方体展开时， 则， ∴， ∴此时从点A点出发沿长方体表面爬行到点，爬行的最短距离是； 如图所示，当沿着把长方体展开时， 则， ∴， ∴此时从点A点出发沿长方体表面爬行到点，爬行的最短距离是； 如图所示，当沿着把长方体展开时， 则， ∴， ∴此时从点A点出发沿长方体表面爬行到点，爬行的最短距离是； ∵， ∴从点A点出发沿长方体表面爬行到点，爬行的最短距离是； 故答案为：13． 2．（23-24八年级上·陕西咸阳·期末）如图，长方体的长、宽、高分别为6，4，4，点A是长方体的顶点，点B是棱的中点，一只蚂蚁由A处沿长方体表面爬到B处，最短路程为 ． 【答案】 【知识点】求展开图上两点折叠后的距离、求最短路径(勾股定理的应用) 【分析】根据展开图的不同类型，利用勾股定理计算比较即可． 本题考查了平面展开-最短路径问题，勾股定理，此题的关键是明确两点之间线段最短这一知识点，然后把立体的长方体放到一个平面内，求出最短的线段． 【详解】解：如图所示，根据题意，长方体的长，宽，高，， 根据展开图，得到解法如下： 第一种展开图， 根据题意，得 ； 第二种展开图中，根据题意，得 ； 第三种展开图中，根据题意，得 ； 故爬行的最短路程为， 故答案为：． 3．（24-25八年级下·安徽亳州·期中）如图是一个长方体盒子，其长、宽、高分别为4，1，7，用一根细线绕侧面绑在点处，不计线头，细线的最短长度为 ． 【答案】 【知识点】几何体展开图的认识、求最短路径(勾股定理的应用)、最短路径问题 【分析】本题主要考查勾股定理、两点之间线段最短、几何体的展开图等知识点，掌握勾股定理“”是解题的关键．把长方体沿边剪开，利用两点之间线段最短，再根据勾股定理计算即可． 【详解】解：如图，把长方体沿边剪开，连接， 根据题意：，， 在中，由勾股定理得：. 故答案为：． 【题型3 阶梯中的最短路径模型】 例题：（24-25八年级上·河南焦作·期中）如图，三级台阶每一级的长宽高分别是，和，A和B是这个台阶的两个相对的端点，点A上有一只蚂蚁，想到点B去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到点B的最短路程长为 ． 【答案】 【知识点】求最短路径(勾股定理的应用)、用勾股定理构造图形解决问题 【分析】本题主要考查了平面展开图中的最短路径问题，勾股定理，熟练掌握平面展开图及勾股定理是解决本题的关键． 先将图形平面展开，再用勾股定理根据两点之间线段最短进行解答． 【详解】解：如图所示， ∵三级台阶平面展开图为长方形，宽为，长为， ∴蚂蚁沿台阶面爬行到点最短路程是此长方形的对角线长， 由勾股定理得，， 则蚂蚁沿着台阶面爬到点最短路程是； 故答案为： 【变式训练】 1．（24-25八年级上·辽宁阜新·阶段练习）如图，在一个长4米，宽2米的长方形草地上，放着一根长方体的木块，它的棱和草地宽平行且棱长大于，木块从正面看是边长为40厘米的正方形，一只蚂蚁从点A处到达点C处需要走的最短路程是 米． 【答案】 【知识点】求最短路径(勾股定理的应用) 【分析】本题考查了勾股定理的应用、平面展开—最短路径问题，由题意可得，将木块展开，相当于是个正方形的宽，求出展开后的长为米，宽为2米，最后由勾股定理计算即可得解． 【详解】解：由题意可得，将木块展开，相当于是个正方形的宽，如图所示： ， ∴展开后的长为米，宽为2米， ∴最短路径为米， ∴一只蚂蚁从点A处到达点C处需要走的最短路程米， 故答案为：． 2．（24-25八年级上·河南郑州·期中）在一个长米，宽为5米的长方形草地上，如图堆放着一根三棱柱的木块，它的侧棱长平行且大于场地宽，木块从正面看到的高是米的等腰直角三角形，一只昆虫从点A处到C处需要走的最短路程是 米． 【答案】 【知识点】求最短路径(勾股定理的应用) 【分析】根据几何体的展开图，利用两点之间线段最短计算．本题考查了几何体的展开图中计算最短距离，熟练掌握几何展开图是解题的关键． 【详解】解：∵木块的主视图的高是米的等腰直角三角形， ∴等腰直角三角形的腰为2，斜边长为， 将木块展开如下， ∴（米），， ∴（米）， 故答案为：． 3．（24-25八年级上·河南郑州·期末）如图所示，地面上铺了一块长方形地毯，因使用时间长而变形，中间形成一个半圆柱的凸起，半圆柱的底面直径为，已知，，一只蚂蚁从点爬到点，且必须翻过半圆柱凸起，则它至少要走 的路程． 【答案】26 【知识点】求最短路径(勾股定理的应用) 【分析】本题主要考查平面展开，最短路径问题，熟练掌握勾股定理是解题的关键．将中间半圆柱的凸起展平，使原来的长方形长增加而宽不变，再利用勾股定理求出新矩形的对角线长即可． 【详解】解：如图，将中间半圆柱的凸起展平，图形长度增加半圆周长， 原图长度增加， 则， 连接， ， 故答案为：． 【题型4 将军饮马与最短路径模型】 例题：（24-25八年级上·贵州贵阳·期末）如图，透明圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为，底面周长为，在容器内壁离容器底部的处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在与点处相对的玻璃杯外壁，且距离容器顶部的点处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径长度是 ． 【答案】 【知识点】根据成轴对称图形的特征进行求解、求最短路径(勾股定理的应用) 【分析】本题考查了平面展开-最短路径问题、轴对称的性质、勾股定理，解决本题的关键是根据轴对称的性质画出蚂蚁走的最短路径，构造直角三角形，、利用勾股定理求出结果． 【详解】解：如下图所示，将圆柱的侧面展开， 则有，，， 作点关于的对称点，作交的延长线于点， 则，， ， 故答案为： ． 【变式训练】 1．（2025八年级下·全国·专题练习）如图所示的长方体透明玻璃鱼缸，假设其长，高，水深．在水面上紧贴内壁的处有一块面包屑，且．一只蚂蚁想从鱼缸外的点沿鱼缸壁爬进鱼缸内的处吃面包屑，则蚂蚁爬行的最短路线的长为 ． 【答案】100 【知识点】求最短路径(勾股定理的应用) 【分析】本题考查平面展开−最短路径问题，关键知道两点之间线段最短，从而可找到路径求出解．作出A关于的对称点，连接，与交于点Q，此时最短；为直角的斜边，根据勾股定理求解即可． 【详解】解：如图所示作出A关于的对称点，连接，与交于点Q，蚂蚁沿着的路线爬行时路程最短． 则， 根据题意：，， ∴， ∴， ∴最短路线长为， 故答案为：． 2．如图，一个牧童在小河的南4km的A处牧马，而他正位于他的小屋B的西8km北7km处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家．他要完成这件事情所走的最短路程是多少？    【答案】 【分析】如图（见详解），将小河看成直线，由题意先作A关于的对称点，连接，构建直角三角形，则就是最短路线；在中，，，，利用勾股定理即可求出． 【详解】如图，做出点A关于小河的对称点，连接交MN于点P，则就是牧童要完成这件事情所走的最短路程长度．    由题意知：，，， 在中，由勾股定理求得， 则他要完成这件事情所走的最短路程是． 【点睛】本题考查了轴对称—最短路线问题，掌握轴对称的性质和勾股定理是解题的关键． 3．（23-24八年级下·重庆南川·期中）如图，要在河边修一个水泵站，分别向A、B两村送水，已知A、B两村到江边的距离分别为和，且A、B两村相距． (1)水泵站应修建在何处，可使所用水管最短，请在图中设计出水泵站P的位置； (2)若铺设水管的费用为每千米4000元，为了使铺设水管费用最节省，请求出最节省铺设水管的费用为多少元？ 【答案】(1)见解析 (2)60000元 【分析】本题考查最短路线问题，作出辅助线，构造出最短路线为斜边的直角三角形是解题的关键． （1）作点关于河边所在直线的对称点，连接交直线于，则点为水泵站的位置； （2）利用了轴对称的性质，勾股定理，两点之间线段最短的性质即可求解． 【详解】（1）解：作点关于河边所在直线的对称点，连接交直线于，则点为水泵站的位置，此时，的长度之和最短，即所铺设水管最短； （2）过点作直线的垂线，过作直线的平行线，设这两线交于点，则．过作于， 依题意：，， ， （负值已舍去）， 由题意得：， ，， ， （负值已舍去）， ， ， 答：最节约铺设水管的费用为60000元． 一、单选题 1．（24-25七年级上·山东东营·期中）如图，圆柱形容器高为，在其外壁距离下底面的处有一只蚂蚁，它想吃到正对面外壁距离上底面的B处的一滴蜂蜜，其中圆柱的底面周长为，则蚂蚁爬行的最短距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求最短路径(勾股定理的应用) 【分析】本题考查平面展开-最短路径问题，解题的关键是计算出圆柱展开后所得长方形的长和宽的值，然后用勾股定理进行计算．先把圆柱的侧面展开得其侧面展开图，由勾股定理求得的长． 【详解】解：如图，将圆柱的侧面沿过点的一条母线剪开，得到长方形连接, 则线段的长就是蚂蚁爬行的最短距离， 故. 故选：B. 2．（24-25八年级下·重庆·期中）如图，在一张边长为的正方形纸板上，放着一根长方体木块，已知木块的较长边与平行且相等，横截面是一个边长为的正方形，一只蚂蚁从点A出发，翻过木块到达点C处，需要走的最短路程为（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求最短路径(勾股定理的应用) 【分析】本题考查了勾股定理在最短路径中的应用，将长方体侧面展开得蚂蚁的爬行的最短路径为的长，用勾股定理即可求解；能找出最短路径是解题的关键． 【详解】解：如图，将长方体侧面展开得， 蚂蚁的爬行的最短路径为的长， （）， ， 蚂蚁的爬行的最短路径为， 故选：C． 3．（24-25八年级上·陕西咸阳·期中）如图，长方体鱼缸（无盖）的长，宽，高分别为，，，一只壁虎从外表面顶点出发，沿长方体表面爬到内侧点处，点在上且距离上沿（即），壁虎爬行的最短路程是（   ）（鱼缸厚度忽略不计） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求最短路径(勾股定理的应用) 【分析】本题考查了最短路径问题，勾股定理．延长到点，使，连接，交于点P，连接．则．的最小值为的长．利用勾股定理求出的长度即为壁虎爬行最短路程． 【详解】解：如图，延长到点，使，连接，交于点P，连接． 则．的最小值为的长． ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：D． 4．（24-25八年级下·广西南宁·期中）如图，这是一个供滑板爱好者使用的U型池的示意图，该U型池可以看成是长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行部分的截面是直径为米的半圆，其边缘米，点E在上，米，一滑板爱好者从A点滑到E点，则他滑行的最短距离为（   ） A．18米 B．20米 C．22米 D．24米 【答案】B 【知识点】求最短路径(勾股定理的应用)、最短路径问题 【分析】本题考查了平面展开最短路径问题，要求滑行的最短距离，需将该型池的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果，型池的侧面展开图是一个长方形，此长方形的宽等于半径为的半圆的弧长，长方形的长等于，再根据勾股定理进行解答即可． 【详解】解：如图是其侧面展开图： （米），（米），（米）， 在中，， ∴， 解得（负值舍去）， 故他滑行的最短距离约为（米）． 故选：B． 5．（24-25八年级上·福建漳州·期中）如图，一只蜘蛛在一块长方体的一个顶点A处，一只苍蝇在这个长方体上和蜘蛛相对的顶点B处，已知长方体长，宽，高．蜘蛛因急于捉到苍蝇，沿着长方体的表面从A点爬到B点，则蜘蛛爬行的最短路程是（   ）． A．10 B． C． D．不能确定 【答案】A 【知识点】求最短路径(勾股定理的应用) 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，分别把长方体沿长，宽，高展开，画出对应的示意图，利用勾股定理求出三种情况下的长，比较即可得到答案． 【详解】解：如图所示，当沿着高把长方体展开时， 在中，， ∴； 如图所示，当沿着长把长方体展开时， 在中，， ∴； 如图所示，当沿着宽把长方体展开时， 在中，， ∴； ∵， ∴沿着长方体的表面从A点爬到B点，则蜘蛛爬行的最短路程是， 故选：C． 二、填空题 6．（24-25八年级上·广东佛山·阶段练习）如图，一个正方体实心木块的棱长为，一只蚂蚁沿表面从点A到点B处吃到食物，那么爬行的最短距离是 ． 【答案】 【知识点】求最短路径(勾股定理的应用)、几何体展开图的认识 【分析】本题考查了勾股定理的应用中的最短路径问题，熟知将空间图形展开，两点之间的连线即为最短路径是解答的关键，还考查了学生的空间想象能力数学知识的运用能力．展开后，根据两点之间线段最短和勾股定理求解即可． 【详解】解：展开图如图，根据题意，最短距离为的长， 在中，，，， 根据勾股定理得：， 即蚂蚁爬行的最短距离是， 故答案为：． 7．（24-25八年级下·青海海东·阶段练习）如图，长方体的长为，宽为，高为，点B离点C，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B去吃一滴蜜糖，需要爬行的最短距离是 ． 【答案】25 【知识点】求最短路径(勾股定理的应用) 【分析】本题考查了勾股定理的应用-最短路径问题，分三种情况进行讨论，分别计算的长度，进而比较即可求解． 【详解】解：展开前面和右面，如图： ； 展开左面和上面，如图： ； 展开上面和前面，如图： ； ∵， ∴， ∴需要爬行的最短距离是25， 故答案为：25． 8．（24-25八年级下·内蒙古鄂尔多斯·阶段练习）如图，桌上有一个圆柱形盒子（盒子厚度忽略不计），高为，底面周长为，在盒子外壁离上沿的点处有一只蚂蚁，此时，盒子内壁离底部的点处有一滴蜂蜜，蚂蚁沿盒子表面爬到点处吃蜂蜜，求蚂蚁爬行的最短距离 【答案】10 【知识点】求最短路径(勾股定理的应用) 【分析】本题考查了平面展开之最短路径问题．将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键．将盒子侧面展开，得到关于的对称点，根据两点之间线段最短可知的长度即为所求，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图是侧面展开图的一半，作点关于的对称点，连接，作交的延长线于点，由题意可知，为所求， 高为，底面周长为，在盒子外壁离上沿的点处有一只蚂蚁，此时，盒子内壁离底部的点处有一滴蜂蜜， ，，，， ， ， ， ， 故答案为：10． 9．（24-25八年级上·山东青岛·期末）如图，已知一个长方体的底面边长分别为6cm和6cm，高为7cm．若一只蚂蚁从点P开始经过4个侧面爬行一圈到达点Q，则这只蚂蚁爬行的最短路程为 cm． 【答案】25 【知识点】求最短路径(勾股定理的应用) 【分析】本题考查平面展开-最短路径问题，将立体图形展开在平面中求解是解题的关键．先得到长方体侧面展开图，再利用勾股定理计算即可． 【详解】解：如图所示，将长方体的侧面展开在同一平面内， 由题意，得，， 在中，由勾股定理得：， 解得：负值已舍去 故答案为： 10．（24-25八年级上·陕西榆林·期末）如图1是一款竹木材质的二宫格托盘，从内部测得每个格子的底面均是边长为的正方形，且深为，两个格子之间的隔断厚．图2是该托盘的俯视图（即从上面看到的形状图），若一只蚂蚁从该托盘内部底面的顶点A处，经托盘隔断爬行到内部底面的顶点B处，则蚂蚁爬行的最短距离为 ． 【答案】 【知识点】求最短路径(勾股定理的应用) 【分析】本题主要考查了由从不同方向看几何体以及勾股定理等知识点，掌握长方体的展开图特点是解答本题的关键．根据长方体的展开图以及勾股定理解答即可． 【详解】解：如图所示，把包含A．B两点的两个格子及其隔断展开成一个平面图形， 此时，蚂蚁爬行最短距离为线段长度， 由勾股定理得，， 故答案为：． 三、解答题 11．（24-25八年级上·贵州黔东南·阶段练习）如图所示，一只蚂蚁在长方体木块的顶点A处，食物在这个长方体上和蚂蚁相对的顶点B处，蚂蚁急于吃到食物，所以沿着长方体的表面向上爬，请你计算出它从A处爬到B处的最短路线长为多少． 【答案】． 【知识点】求最短路径(勾股定理的应用) 【分析】本题考查最短路径问题，勾股定理等．根据题意分两种情况分析，针对两种情况求出路径长，再比较大小即可得到本题答案． 【详解】解：如图①所示，， 如图②所示，， ∵，， ∴它从A处爬到B处的最短路线长为． 12．（2024九年级上·全国·专题练习）葛藤是一种“刁钻”的植物，它自己腰杆不硬，为争夺雨露阳光，常常绕着树干盘旋而上，它还有一手绝招，就是它绕树盘升的路径总是沿最短路线螺旋上升.难道植物也懂数学？ (1)想一想怎样找出最短路径； (2)如图，若树干周长为，葛藤绕一圈升高，则它爬行一周的路程是多少米？ 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】求最短路径(勾股定理的应用) 【分析】（）以为切口把树干侧面展开为矩形，则对角线的长为最短路径； （）由勾股定理即可求解； 本题考查了平面展开——最短路径问题，勾股定理，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）解：如图， 以为切口把树干侧面展开为矩形，则对角线的长为最短路径； （2）解：根据题意，得，， ∴ 答：它爬行一周的路程是． 13．（23-24八年级下·安徽芜湖·阶段练习）（1）如图1，长方体的长为，宽为，高为．求该长方体中能放入木棒的最大长度； （2）如图2，长方体的长为，宽为，高为．现有一只蚂蚁从点处沿长方体的表面爬到点G处，求它爬行的最短路程； （3）如图3，若将题中的长方体换成透明圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为，底面周长为，在容器内壁离底部的点处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁且离容器上沿与饭粒相对的点A处．求蚂蚁吃到饭粒需要爬行的最短路程是多少？ 【答案】（1）  （2）  （3） 【知识点】求最短路径(勾股定理的应用) 【分析】本题考查了平面展开—最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键． （1）利用勾股定理直接求出木棒的最大长度即可． （2）将长方体展开，利用勾股定理解答即可； （3）将容器侧面展开，建立关于的对称点，根据两点之间线段最短可知的长度即为所求． 【详解】解：（1）由题意得：如图，该长方体中能放入木棒的最大长度是： ； （2）①如图，， ②如图，， ③如图，， ， ∴最短路程为； （3）∵高为，底面周长为，在容器内壁离容器底部的点处有一饭粒，此时蚂蚁正好在容器外壁，离容器上沿与饭粒相对的点处， 将容器沿侧面展开，作关于的对称点， ， 连接，则即为最短距离， ∴ 【点睛】 14．（24-25八年级上·广东深圳·阶段练习）如图，已知圆柱底面的周长为12，圆柱的高为8，在圆柱的侧面上，过点A，C嵌有一圈长度最短的金属丝． (1)现将圆柱侧面沿剪开，所得的圆柱侧面展开图是______． (2)如图①，求该长度最短的金属丝的长． (3)如图②，若将金属丝从点B绕四圈到达点A，则所需金属丝最短长度是多少？ (4)如图③，圆柱形玻璃杯的高，底面周长为，在杯内壁离杯底的点A处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在外壁上，离杯上沿，且与蜂蜜相对的点B处，则蚂蚁从外壁B处到内壁A处所爬行的最短路程是多少？（杯壁厚度不计） 【答案】(1)A (2)20 (3) (4)10 【知识点】最短路径问题、 圆柱的展开图、求最短路径(勾股定理的应用) 【分析】本题考查了平面展开最短路径问题，解题的关键是掌握圆柱的侧面展开图是一个矩形，此矩形的长等于圆柱底面周长，高等于圆柱的高，本题就是把圆柱的侧面展开成矩形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决． （1）由平面图形的折叠及立体图形的表面展开图的特点解题； （2）要求丝线的长，需将圆柱的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果，在求线段长时，根据勾股定理计算即可； （3）若将金属丝从点B绕四圈到达点A，则所需金属丝最短长度是以周长及的高为直角三角形的斜边长的4倍； （4）如图（见解析），将玻璃杯侧面展开，作关于的对称点，根据两点之间线段最短可知的长度即为所求，利用勾股定理求解即可得． 【详解】（1）解：因圆柱的侧面展开面为长方形，展开应该是两线段，且有公共点． 故选：A； （2）解：如图，把圆柱的侧面展开，得到矩形，则这圈金属丝的周长最小为的长度． 圆柱底面的周长，圆柱的高， 该长度最短的金属丝的长为； （3）解：若将金属丝从点B绕四圈到达点A， 则所需金属丝最短长度是以周长及的高为直角三角形的斜边长的4倍： ． （4）解：如图，将玻璃杯侧面展开，作关于的对称点，作，交延长线于点，连接，    由题意得：， ， ∵底面周长为， ， ， 由两点之间线段最短可知，蚂蚁从外壁处到内壁处所走的最短路程为． 15．（23-24八年级下·山东聊城·期中）综合与实践 【问题情境】 数学综合与实践活动课上，老师提出如下问题：一个三级台阶，它每一级的长、宽、高分别为20、3、2，A和B是一个台阶两个相对的端点． 【探究实践】 老师让同学们探究：如图①，若A点处有一只蚂蚁要到B点去吃可口的食物，那么蚂蚁沿着台阶爬到B点的最短路程是多少？ （1）同学们经过思考得到如下解题方法：如图②，将三级台阶展开成平面图形，可得到长为20，宽为15的长方形，连接，经过计算得到长度为______，就是最短路程． 【变式探究】 （2）如图③，是一只圆柱形玻璃杯，该玻璃杯的底面周长是30 cm，高是8 cm，若蚂蚁从点A出发沿着玻璃杯的侧面到点B，则蚂蚁爬行的最短距离为______． 【拓展应用】 （3）如图④，圆柱形玻璃杯的高9 cm，底面周长为16 cm，在杯内壁离杯底4 cm的点A处有一滴蜂蜜，此时，一只蚂蚁正好在外壁上，离杯上沿1 cm，且与蜂蜜相对的点B处，则蚂蚁从外壁B处到内壁A处所爬行的最短路程是多少？（杯壁厚度不计） 【答案】（1）25；（2）17 cm；（3）B处到内壁A处所爬行的最短路程是10 cm 【知识点】根据成轴对称图形的特征进行求解、求最短路径(勾股定理的应用) 【分析】本题考查勾股定理最短路径问题： （1）直接利用勾股定理进行求解即可； （2）将圆柱体展开，利用勾股定理求解即可； （3）将玻璃杯侧面展开，作关于的对称点，根据两点之间线段最短可知的长度即为所求，利用勾股定理求解即可得． 【详解】解：（1）由勾股定理，得：； 故答案为：25； （2）将圆柱体展开，如图，由题意，得： ，， 由勾股定理得：； 故答案为：17 cm． （3）如图，将玻璃杯侧面展开，作关于的对称点，作，交延长线于点，连接，    由题意得：， ， ∵底面周长为， ， ， 由两点之间线段最短可知，蚂蚁从外壁处到内壁处所走的最短路程为， 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$null