期末高分必刷题45道（培优类）-2024-2025学年高一数学下学期《考点•题型•密卷》期末精讲精练讲义《人教A版2019必修第二册）》

期末高分必刷题45道（培优类） 一、单选题 1．（2025·河北秦皇岛·二模）已知复数满足，则（   ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·江苏无锡·期末）已知为虚数单位，则下列结论正确的是（    ） A．是纯虚数 B．若，则是方程的一个复数根 C．若，则 D．若复数满足，则复数在复平面内对应的点所构成的图形面积为 3．（24-25高一上·贵州遵义·期末）新高考选科要求，语数外＋（物理，历史）二选一＋（政治，地理，化学，生物）四选二．针对高一某同学的选科组合有如下事件，事件A“选物理”，事件B选历史”，事件C选化学”，事件D“选政治”，则下列正确的是（   ） A．事件与事件互斥 B． C．事件与事件对立 D． 4．（24-25高一上·辽宁大连·期末）甲、乙两组数据整理成茎叶图如图所示，下列说法错误的有（    ） ①甲组数据平均数比乙组小； ②乙组数据离散程度更小； ③甲组的分位数比乙组的分位数大10； ④甲组的极差比乙组的方差大； ⑤选择甲组中任一数据，其在乙组中的概率为. A．①④⑤ B．①③④ C．①③ D．②④ 5．（24-25高一上·甘肃甘南·期末）为了加深师生对党史的了解，激发广大师生知史爱党、知史爱国的热情，某校举办了“学党史、育文化”暨“喜迎党的二十大”党史知识竞赛，并将1000名师生的竞赛成绩（满分100分，成绩取整数）整理成如图所示的频率分布直方图，则下列说法不正确的是（ ） A．的值为0.005 B．估计这组数据的众数为75 C．估计成绩低于60分的有250人 D．估计这组数据的第85百分位数为85 6．（23-24高一下·海南省直辖县级单位·期末）已知某地最近10天每天的最高气温（单位：）分别为23，17，17，21，22，20，16，14，21，19，则这10天最高气温的第80百分位数是（    ） A．15 B．21 C．21.5 D．22 7．（23-24高一下·山西大同·期末）若数据的平均数为a，数据，则数据的平均数为（　　） A．a B．2+a C．2 D．2a 8．（2025·甘肃甘南·模拟预测）如图，已知是边长为4的等边三角形，点D满足，E为的中点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 9．（2025·江苏泰州·二模）某同学用3个全等的小三角形拼成如图所示的等边，已知，，则的面积为（    ）    A． B． C． D． 10．（24-25高一下·广东深圳·期中）已知，表示两个不同的平面，a，b，c表示三条不同的直线，则下列说法正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，，，则 C．若，，，，则 D．若，，则 11．（23-24高一下·宁夏固原·期末）已知m，n是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 12．（24-25高二上·辽宁·开学考试）已知正方体的棱长为2，E，F分别是棱AD，上的动点，若正方体的外接球的球心是，三棱锥的外接球的球心是，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 13．（24-25高一下·吉林延边·期中）在复平面内，下列说法正确的是（   ） A．若复数中，i为虚数单位，则 B．已知，其中i是虚数单位，a为实数，则或 C．若，则 D．复数是方程在复数范围内的一个解 14．（24-25高一下·福建厦门·期中）已知为虚数单位，下列说法正确的是（    ） A．若复数，则 B． C．若，则为纯虚数 D．若，则在复平面中复数所对应的点的集合构成的图形面积为 15．（24-25高一上·广西钦州·期末）已知一组数据，的极差为m，平均数为a，方差为b，另外一组数据的极差为9，平均数为11，方差为13，则（    ） A． B． C． D． 16．（24-25高三下·江苏扬州·期末）为了解某种新产品的加工情况，并设定工人每天加工该产品的最少数量．相关部门从工厂随机抽查了100名工人在某天内加工该产品的数量．现将这些观测数据进行适当分组后每组为左闭右开的区间，绘制出如图所示的频率分布直方图，则（     ） A．样本观测数据的极差不大于50 B．样本观测数据落在区间上的频率为 C．样本观测数据的75百分位数为70 D．若将工人每天加工产品的最少数量设为55，估计的工人能完成任务 17．（24-25高一上·辽宁大连·期末）下列说法正确的是（    ） A．一组数据2，3，，5，7的平均数是4，则这组数据的众数是3 B．数据13，27，24，12，14，30，15，17，19，23的第分位数是23 C．用简单随机抽样的方法从含有50个个体的总体中抽取一个容量为10的样本，则总体中某个体被抽到的概率是0.2 D．若样本数据的标准差为6，则数据，，，的标准差为11 18．（24-25高二下·辽宁丹东·期中）甲、乙两人进行投篮游戏，用抽签的方式决定谁先投篮，抽到谁是等可能的.每次投篮若命中，则继续投篮；若未命中，则换对方投篮.规定两人累计共投3次球，投中次数多的一方获胜，若两人投中次数相同，再抽签决定谁投篮一次，投中为胜，未投中则对方获胜.若甲、乙每次投篮命中的概率分别为，且每次投篮相互独立，则下列说法正确的是（    ） A．第2个球是甲投的概率为 B．甲只投了1次球获胜的概率为 C．甲投了3次球获胜的概率为 D．在第一次是乙投篮的条件下，甲获胜的概率为 19．（24-25高一上·湖南衡阳·期末）如图，一个正八面体，八个面分别标以数字1到8，任意抛掷一次这个正八面体，观察它与地面接触的面上的数字，得到样本空间为，设事件，事件“得到的点数为偶数”，事件“得到的点数为质数”，则下列说法正确的是（   ）    A．事件B与C互斥 B． C．事件A与C相互独立 D． 20．（2025·四川·三模）已知在中，角的对边分别为，若，则（   ） A．的周长为12 B．角的最大值为 C．的面积最小值为 D．的面积最大值为 21．（24-25高一下·山东济南·阶段练习）在中，角的对边分别为，且，则下列说法正确的是（  ） A． B．若的周长为，内切圆半径为，则 C．若，，则有两解 D．若，则外接圆的面积为 22．（24-25高一下·广东揭阳·期末）已知向量，函数，下列说法正确的是（   ） A．的最小正周期是 B．的图象关于点对称 C．的图象关于直线对称 D．的单调增区间为 23．（24-25高一下·江苏盐城·期中）已知，与夹角为，若且，则下列说法正确的是（    ） A．当时，在上的投影向量为 B．当时， C．当时， D．的最大值为0 三、填空题 24．（24-25高一下·内蒙古兴安盟·期中）已知满足，若在方向上的投影向量为，则 ． 25．（24-25高一下·湖南·期中）菱形中，，点在线段上，且，则 . 26．（23-24高一下·安徽六安·期末）复数的虚部为 . 27．（22-23高一下·云南昭通·期末）已知水平放置的四边形ABCD按照斜二测画法画出的直观图如图所示，其中，，则四边形的面积是 ． 28．（24-25高二上·四川成都·期末）在某次活动中，登记的8个数据的平均数为8，方差为16，其中．后来发现应该为10，并且漏登记了一个数据14，则修正后的9个数据的平均数为 ，方差为 ． 29．（23-24高一下·江苏常州·期末）设x，y，z都是正整数，且，，，当x，y，z的取值依次为 时，x，y，z这三个数的方差最小．（若存在多组取值符合条件，只需写出其中一组取值） 30．（24-25高一上·辽宁鞍山·期末）在荷花池中，有一只蜻蜓在成品字形的三片荷叶上飞来飞去（每次飞时，均从一叶飞到另一叶），而且逆时针方向飞的概率是顺时针方向飞的概率的3倍，如图所示.假设现在蜻蜓在叶上，则跳三次之后停在叶上的概率是 . 31．（24-25高一上·辽宁·期末）算盘是我国古代一项伟大的发明，是一类重要的计算工具.现有一把初始状态的算盘如图所示，自右向左，分别表示个位、十位、百位、千位等，上面一粒珠子（简称上珠）代表，下面一粒珠子（简称下珠）代表，五粒下珠表示的数的大小等于同组一粒上珠表示的数的大小.例如，个位拨动一粒上珠，十位拨动一粒下珠至梁上，表示数字.现将算盘的个位、十位、百位、千位分别随机拨动一粒珠子至梁上，设事件“表示的四位数能被整除”，“表示的四位数能被整除”，则 . 32．（23-24高一下·云南丽江·期末）如图1，在平面四边形ABCD中，是边长为2的等边三角形，，将沿AC翻折，使得点到点的位置，如图2所示，且二面角的余弦值为，则三棱锥体积的最大值为 ，三棱锥的外接球的表面积为 ． 四、解答题 33．（24-25高一上·湖南邵阳·期末）每年的10月1日是国庆节，为庆祝该节日，某学校举办了“知识竞赛”．竞赛共分两轮，即每位参赛选手均须参加两轮比赛，已知在第一轮比赛中，选手甲，乙胜出的概率分别为，；在第二轮比赛中，选手甲，乙胜出的概率分别为p，q．假设甲，乙两人在每轮比赛中是否胜出互不影响． (1)若，求乙恰好有一轮胜出的概率； (2)若甲，乙各有一轮胜出的概率为，甲，乙两轮都胜出的概率为． ①求p，q的值； ②求甲，乙两人至少有一人两轮都胜出的概率． 34．（24-25高一上·辽宁锦州·期末）某绿色水果生态园在某种水果收获的.随机摘下该水果100个作为样本，其质量分别在（单位：克）中，经统计，样本的频率分布直方图如图所示： (1)根据频率分布直方图计算该样本的中位数； (2)现按分层抽样的方法从质量为），的水果中随机抽取6个，再从6个中随机抽取3个，求这3个水果中恰有1个质量在内的概率； (3)某经销商来收购水果时，该生态园有水果约10000个要出售． 经销商提出如下两种收购方案： 方案A：所有水果以10元/千克收购； 方案B：对质量低于250克的水果以2元/个收购，不低于250克的以3元/个收购． 假设同组中的每个数据都用该组区间的中点值代替，请估算该生态园选择哪种方案获利更多？ 35．（24-25高一上·辽宁·期末）某校的体育组为了了解本校高一学生的体能状况，随机抽取了名高一学生进行体能测试，将所得评分（百分制）按体育组制定的体能测试评价标准整理，得到频率分布直方图．已知评分在[70，80）中的学生有100人．体能测试评价标准如下表： 测试评分 [0，40） [90，100] 体能等级 E D C B A (1)求的值及频率分布直方图中的值； (2)在抽取的体能等级为的学生中，按照测试评分的分组，分为两层，通过分层抽样抽取出三人进行体能训练．根据以往数据统计，经体能训练后，测试评分在中的学生的体能等级转为的概率为，测试评分在中的学生的体能等级转为的概率为，假设经体能训练后的等级转化情况相互独立，求在抽取出的三人中，经体能训练后至少有一人的体能等级转为的概率. 36．（24-25高一下·广东·期中）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且.    (1)求B； (2)已知D为边AB上的一点，且. （ⅰ）若，，求AC的长； （ⅱ）求的取值范围. 37．（24-25高一下·浙江·期中）已知a，b，c分别为斜三个内角A，B，C的对边，且满足. (1)求角A的值； (2)记边上的高为h， （i）若，求的值； （ii）求的取值范围. 38．（24-25高一上·陕西西安·期末）用高中所学知识解决下列问题：如图正方形的边长为分别为上动点，且的周长为2. (1)求的最小值； (2)证明：为定值，并求出该定值； (3)设的面积为，求的最小值. 39．（24-25高一上·辽宁大连·期末）如图，在中，.    (1)若E是BD的中点，试用和表示； (2)若G是AD上一点，且，过点G的直线交AB于点F，交AC于点H.若，，其中，均为正实数，求的最小值. 40．（24-25高一下·浙江绍兴·期中）如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，，，分别是，，的中点. (1)若，求证：平面； (2)若二面角的正切值为，且，，求与平面所成角的正弦值. 41．（24-25高一下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，已知等腰梯形中，，，是的中点，，将沿着翻折成，使平面. (1)求与平面所成的角； (2)在线段上是否存在点，使得平面，若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 42．（24-25高一下·天津滨海新·期中）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，，，F为CP上的点，且平面. (1)求证：平面平面； (2)求直线PC与平面所成角的正弦值； (3)在棱PD上是否存在一点G，使平面，若存在，求PG的长；若不存在，说明理由. 43．（23-24高一下·广东深圳·期中）如图1，在矩形中，，，将沿翻折至，且，如图2所示． 在图2中： (1)求证：平面平面； (2)求点到平面的距离； (3)求二面角的余弦值． 44．（24-25高二上·上海）如图所示，点是平面外一点，平面，点是线段的中点. (1)求证:平面 (2)问：是否存在线段上的一点，使得对线段上的任一动点，均有平面成立？若存在，请指出点的位置，并证明你的结论；若不存在，请说明理由； (3)若，二面角为，求的余弦值. 45．（23-24高一下·山东青岛·期末）如图1，直角梯形中，，以为轴将梯形旋转后得到几何体W，如图2，其中分别为上下底面直径，点分别在圆弧上，直线平面.    (1)证明：平面平面； (2)若直线与平面所成角的正切值等于，求到平面的距离； (3)若平面与平面夹角的余弦值为，求． 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期末高分必刷题88道（培优类） 一、单选题 1．（2025·河北秦皇岛·二模）已知复数满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设复数为标准式，利用复数相等，可得复数，结合复数的除法，可得答案. 【详解】设，则， 即，解得， 所以. 故选：D. 2．（23-24高一下·江苏无锡·期末）已知为虚数单位，则下列结论正确的是（    ） A．是纯虚数 B．若，则是方程的一个复数根 C．若，则 D．若复数满足，则复数在复平面内对应的点所构成的图形面积为 【答案】C 【分析】根据虚数运算法则和复数的分类，可判定A错误；根据复数的运算法则，可判定B错误；根据复数模的计算公式，可判定C正确；根据复数的几何意义，结合圆的面积公式，可判定D正确. 【详解】对于A中，由，不是纯虚数，所以A不正确； 对于B中，由，可得， 因为， 所以不是方程的一个复根，所以B不正确； 对于C中，设复数，可得， 所以， 又由，所以，所以C正确； 对于D中，设，由，可得， 所以复数在复平面内对应的点构成的图形为一个圆环， 其中小圆的半径为，大圆的半径为，其面积为，所以D错误. 故选：C. 3．（24-25高一上·贵州遵义·期末）新高考选科要求，语数外＋（物理，历史）二选一＋（政治，地理，化学，生物）四选二．针对高一某同学的选科组合有如下事件，事件A“选物理”，事件B选历史”，事件C选化学”，事件D“选政治”，则下列正确的是（   ） A．事件与事件互斥 B． C．事件与事件对立 D． 【答案】C 【分析】根据互斥事件的概念判断A；根据对立事件的概念判断C；根据古典概型的概率公式判断BD. 【详解】由题意，用表示选择物理，用表示选择历史，用数字分别表示选择政治，地理，化学，生物， 则样本空间， 共有12个样本点，即，且每个样本点是等可能发生的，所以这是一个古典概型. 对于A，， 则事件，所以事件与事件不互斥，故A错误； 对于B，因为，所以， 则，故B错误； 对于C，， 则，且，所以事件与事件对立，故C正确； 对于D，，则，所以，故D错误， 故选：C. 4．（24-25高一上·辽宁大连·期末）甲、乙两组数据整理成茎叶图如图所示，下列说法错误的有（    ） ①甲组数据平均数比乙组小； ②乙组数据离散程度更小； ③甲组的分位数比乙组的分位数大10； ④甲组的极差比乙组的方差大； ⑤选择甲组中任一数据，其在乙组中的概率为. A．①④⑤ B．①③④ C．①③ D．②④ 【答案】B 【分析】根据所给数据计算出平均数、百分位数、方差即可判断①、②、③、④，根据古典概型的概率公式判断⑤. 【详解】甲组数据的平均数为， 乙组数据的平均数为， 所以甲组数据平均数比乙组大，故①错误； 乙组数据比较集中，所以乙组数据离散程度更小，故②正确； 因为，所以甲组数据的分位数为； ，所以乙组数据的分位数为； 则甲组的分位数比乙组的分位数大，故③错误； 甲组的极差为， 乙组的方差为， 所以甲组的极差比乙组的方差小，故④错误. 甲组数据有、在乙组数据中，则选择甲组中任一数据，其在乙组中的概率为，故⑤正确. 故选：B 5．（24-25高一上·甘肃甘南·期末）为了加深师生对党史的了解，激发广大师生知史爱党、知史爱国的热情，某校举办了“学党史、育文化”暨“喜迎党的二十大”党史知识竞赛，并将1000名师生的竞赛成绩（满分100分，成绩取整数）整理成如图所示的频率分布直方图，则下列说法不正确的是（ ） A．的值为0.005 B．估计这组数据的众数为75 C．估计成绩低于60分的有250人 D．估计这组数据的第85百分位数为85 【答案】D 【分析】由频率分布直方图面积之和为1可计算，由众数定义可得B，计算低于60分的人数即可得C，根据百分位数的定义计算即可得D. 【详解】对于A：由频率分布直方图可得，解得，故A正确； 对于B：由图易得在区间的人最多，故可估计这组数据的众数为，故B正确； 对于C：，故成绩低于分的有人，即C正确； 对于D：由图中前四组面积之和为：， 图中前五组面积之和为：， 故这组数据的第85百分位数在第五组数据中， 设这组数据的第85百分位数为， 则有，解得， 即估计这组数据的第85百分位数为86，故D错误. 故选：D. 6．（23-24高一下·海南省直辖县级单位·期末）已知某地最近10天每天的最高气温（单位：）分别为23，17，17，21，22，20，16，14，21，19，则这10天最高气温的第80百分位数是（    ） A．15 B．21 C．21.5 D．22 【答案】C 【分析】将数据从小到大排序，按照定义求出第80百分位数即可. 【详解】将数据从小到大排序，即14，16，17，17，19，20， 21，21，22，23. 由于，则取第8,9个的平均值作为第80百分位数.即. 故选：C. 7．（23-24高一下·山西大同·期末）若数据的平均数为a，数据，则数据的平均数为（　　） A．a B．2+a C．2 D．2a 【答案】B 【分析】根据平均数的计算公式即可求解. 【详解】∵， ∴数据的平均数 . 故选：. 8．（2025·甘肃甘南·模拟预测）如图，已知是边长为4的等边三角形，点D满足，E为的中点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】以直线为x轴，线段的中垂线为y轴建立平面直角坐标系，先利用坐标表示相关向量，再结合数量积的坐标表示和二次函数的性质计算可得. 【详解】以直线为x轴，线段的中垂线为y轴建立平面直角坐标系（如图所示）， 则， 因为， 则点D在线段（不含端点）上， 设，则， 所以， 所以当时，取得最小值， 当时，， 故的取值范围为. 故选：A． 9．（2025·江苏泰州·二模）某同学用3个全等的小三角形拼成如图所示的等边，已知，，则的面积为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，在中，分别利用正弦定理和余弦定理，求得边长，再利用三角形面积公式求解. 【详解】在中，， 又，则，设，则， 在中，由正弦定理得，解得， 在中，由余弦定理得， 即，又，解得，则， 所以， 故选：B. 10．（24-25高一下·广东深圳·期中）已知，表示两个不同的平面，a，b，c表示三条不同的直线，则下列说法正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，，，则 C．若，，，，则 D．若，，则 【答案】D 【分析】ABC选项，可举出反例；D选项，可由平行和垂直的性质和判定证明. 【详解】A选项，若，则或，A错误； B选项，若，不能推出，B错误； C选项，若，则不能推出，C错误； D选项，因为，所以，D正确. 故选：D 11．（23-24高一下·宁夏固原·期末）已知m，n是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】C 【分析】根据线面平行考虑所有可能情况判断A，由两平面平行的判定判断B，根据线面平行的性质判断C，根据线线平行、线面平行的判定定理判断D. 【详解】对A，，，则可能，相交、异面，故A错误； 对B，若，，则可能平行，可能相交，不一定垂直，故B错误； 对C，若，，根据线面垂直的性质可得，故C正确； 对D，若，，则或，故D错误. 故选：C 12．（24-25高二上·辽宁·开学考试）已知正方体的棱长为2，E，F分别是棱AD，上的动点，若正方体的外接球的球心是，三棱锥的外接球的球心是，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意找出球心和的位置，再根据线面垂直性质得出当，，G三点共线时，的最大值为. 【详解】如下图所示： 设BC的中点为G，的中点为H，的外接圆圆心为M，的外接圆圆心为N， 易得，， 过M，N分别作平面，平面ABCD的垂线，交点即为， 又为GH的中点，所以当MG和NG最小时，取得最大值． 设，，由，可得， 整理得，故当， 即F为的中点时，MG取得最小值， 同理可得NG的最小值也是， 此时，，G三点共线，． 故选：C 二、多选题 13．（24-25高一下·吉林延边·期中）在复平面内，下列说法正确的是（   ） A．若复数中，i为虚数单位，则 B．已知，其中i是虚数单位，a为实数，则或 C．若，则 D．复数是方程在复数范围内的一个解 【答案】ACD 【分析】利用复数的除法法则，乘法法则，以及复数的性质计算可判断每个选项的正误. 【详解】对于A，，所以，故A正确； 对于B，由，可得，即， 所以，解得，故B错误； 对于C，设，因为，所以，所以 所以，故C正确； 对于D，因为， 所以复数是方程在复数范围内的一个解，故D正确. 故选：ACD. 14．（24-25高一下·福建厦门·期中）已知为虚数单位，下列说法正确的是（    ） A．若复数，则 B． C．若，则为纯虚数 D．若，则在复平面中复数所对应的点的集合构成的图形面积为 【答案】ABD 【分析】根据复数的除法运算及乘方即可判断A；根据复数的模及复数的乘法运算即可判断B；举出反例即可判断C；根据复数的几何意义，结合圆的面积公式，即可判断D. 【详解】对于A，， 所以，故A正确； 对于B，设， 则，所以，故B正确； 对于C，当时，，故C错误； 对于D，设， 由，得，即， 所以复数在复平面内对应的点构成的图形为一个圆环， 其中小圆的半径为，大圆的半径为， 其面积为，故D正确. 故选：ABD. 15．（24-25高一上·广西钦州·期末）已知一组数据，的极差为m，平均数为a，方差为b，另外一组数据的极差为9，平均数为11，方差为13，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据极差，平均数和方差的计算公式，通过计算，然后判断选项的正误. 【详解】假设最小，最大，则， 若,则另外一组数据最小，最大， 此时极差为，A错误. 易得所以，B，D正确，C错误. 故选：BD. 16．（24-25高三下·江苏扬州·期末）为了解某种新产品的加工情况，并设定工人每天加工该产品的最少数量．相关部门从工厂随机抽查了100名工人在某天内加工该产品的数量．现将这些观测数据进行适当分组后每组为左闭右开的区间，绘制出如图所示的频率分布直方图，则（     ） A．样本观测数据的极差不大于50 B．样本观测数据落在区间上的频率为 C．样本观测数据的75百分位数为70 D．若将工人每天加工产品的最少数量设为55，估计的工人能完成任务 【答案】AD 【分析】由频率分布直方图，结合极差、频率、百分位数的计算公式逐项判断即可； 【详解】解：对于A，据频率分布直方图可得最小数值不小于45，而最大数值小于95， 所以极差不大于50，故A正确； 对于B，样本观测数据落在区间上的频率为，故B错误； 对于C，样本观测数据落在区间上的频率为， 样本观测数据落在区间上的频率为， 则样本观测数据的75百分位数在之间，设为x， 则，解得，故C错误; 对于D，据频率分布直方图加工产品的数量的频率为， 则估计的工人能完成任务，故D正确. 故选：AD 17．（24-25高一上·辽宁大连·期末）下列说法正确的是（    ） A．一组数据2，3，，5，7的平均数是4，则这组数据的众数是3 B．数据13，27，24，12，14，30，15，17，19，23的第分位数是23 C．用简单随机抽样的方法从含有50个个体的总体中抽取一个容量为10的样本，则总体中某个体被抽到的概率是0.2 D．若样本数据的标准差为6，则数据，，，的标准差为11 【答案】AC 【分析】根据数据平均数列方程求即可判断A；根据百分数的定义求数据中第分位数判断B；根据简单随机抽样各个体被抽到的概率等于样本容量与总体容量的比值判断C；根据方差的性质求新数据的方差，进而确定其标准差判断D. 【详解】A：由，可得，显然这组数据的众数是3，对； B：将数据从小到大排序为， 又，所以第分位数是，错； C：由题设，简单随机抽样过程中抽取到任一个体的概率为，对； D：由样本数据的标准差为6，即方差为， 则数据，，，的方差为，故标准差为，错. 故选：AC 18．（24-25高二下·辽宁丹东·期中）甲、乙两人进行投篮游戏，用抽签的方式决定谁先投篮，抽到谁是等可能的.每次投篮若命中，则继续投篮；若未命中，则换对方投篮.规定两人累计共投3次球，投中次数多的一方获胜，若两人投中次数相同，再抽签决定谁投篮一次，投中为胜，未投中则对方获胜.若甲、乙每次投篮命中的概率分别为，且每次投篮相互独立，则下列说法正确的是（    ） A．第2个球是甲投的概率为 B．甲只投了1次球获胜的概率为 C．甲投了3次球获胜的概率为 D．在第一次是乙投篮的条件下，甲获胜的概率为 【答案】ABD 【分析】应用独立事件概率乘积公式结合对立事件概率公式计算求解判断各个选项. 【详解】记“抽签抽到甲”，“甲投篮命中”，“抽签抽到乙”，“乙投篮命中”. 对于A，第2个球是甲投的概率为，所以A正确； 对于B，甲只投了1次球获胜的概率为 ，所以B正确； 对于C，甲投了3次球获胜的概率为 ，故C错误； 对于D，在第一次是乙投篮的条件下， 甲获胜的概率为 ，故D正确. 故选：ABD. 19．（24-25高一上·湖南衡阳·期末）如图，一个正八面体，八个面分别标以数字1到8，任意抛掷一次这个正八面体，观察它与地面接触的面上的数字，得到样本空间为，设事件，事件“得到的点数为偶数”，事件“得到的点数为质数”，则下列说法正确的是（   ）    A．事件B与C互斥 B． C．事件A与C相互独立 D． 【答案】BCD 【分析】确定事件包含的样本点，利用互斥、独立事件的意义，结合古典概率逐项判断. 【详解】事件，事件，事件，， 对于A，事件有相同的样本点2，事件B与C不互斥，A错误； 对于B，，则，B正确； 对于C，，事件A与C相互独立，C正确； 对于D，，D正确. 故选：BCD 20．（2025·四川·三模）已知在中，角的对边分别为，若，则（   ） A．的周长为12 B．角的最大值为 C．的面积最小值为 D．的面积最大值为 【答案】ABD 【分析】根据正弦定理得可判断A；利用基本不等式得，再由余弦定理得可判断B；根据，当角接近0时，的面积也接近0可判断C；由得在时取得最大值，可判断D． 【详解】对于A，由根据正弦定理得 的周长为，选项A正确； 对于B，因为，由余弦定理， 因为，当且仅当等号成立，所以，选项B正确； 对于C，，当角接近0时，的面积也接近0，所以选项C错误； 对于D，，由得在时取得最大值， 故在时取得最大值，选项D正确． 故选：ABD. 21．（24-25高一下·山东济南·阶段练习）在中，角的对边分别为，且，则下列说法正确的是（  ） A． B．若的周长为，内切圆半径为，则 C．若，，则有两解 D．若，则外接圆的面积为 【答案】ABC 【分析】根据给定条件，利用正弦定理边化角，再利用和角的正弦化简求出，结合三角形面积及正弦定理逐项求解判断. 【详解】在中，由及正弦定理得， 则， 整理得， 即，而，则， 则，而，， 解得，因此，A正确； 对于B，若的周长为6，内切圆半径为，由，得，B正确； 对于C，当时，满足，有两解， 此时，即，有两解，C正确； 对于D，由，得外接圆半径，此圆面积为，D错误. 故选：ABC 22．（24-25高一下·广东揭阳·期末）已知向量，函数，下列说法正确的是（   ） A．的最小正周期是 B．的图象关于点对称 C．的图象关于直线对称 D．的单调增区间为 【答案】AB 【分析】应用向量数量积的坐标运算及辅助角公式得，再根据正弦型函数的性质依次判断各项的正误. 【详解】由题意得，． 的最小正周期，故A正确； 由，知的图象关于点对称，故B正确； 由，知的图象不关于直线对称，故C错． 由，得，， 所以的单调增区间为，故D错； 故选：AB 23．（24-25高一下·江苏盐城·期中）已知，与夹角为，若且，则下列说法正确的是（    ） A．当时，在上的投影向量为 B．当时， C．当时， D．的最大值为0 【答案】BCD 【分析】根据已知得是边长为2的等边三角形，且，由投影向量的定义及向量的线性关系判断A；由题设在中边的中线上，进而有判断B；应用向量数量积的运算律及模长列方程求参数值判断C；化，进而得到，结合有，即可得判断D. 【详解】由题设，是边长为2的等边三角形，且， A：当时，，又，即，故在上的投影向量为，错； B：当时，，即在中边的中线上， 又为等边三角形，故，即，对； C：当时，，则， 所以， 所以，即，又，故（负值舍），对； D：, 由，即①， 所以，要使该值最大，只需最小， 由①得，则，所以，对. 故选：BCD 三、填空题 24．（24-25高一下·内蒙古兴安盟·期中）已知满足，若在方向上的投影向量为，则 ． 【答案】 【分析】利用投影向量的定义求出，再利用数量积的运算律求解. 【详解】由在方向上的投影向量为，得，则，而， 于是，所以. 故答案为： 25．（24-25高一下·湖南·期中）菱形中，，点在线段上，且，则 . 【答案】/ 【分析】设，进一步将其表示成以，为基底的向量，结合已知条件，可得关于和的方程组，解之，再根据模长的计算方法，得的值从而得解． 【详解】因为，所以， 所以， 因为点在线段上， 可设 ， 而，所以，解得， 所以， 则， 所以，故. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：设，进一步将其表示成以，为基底的向量，从而可解. 26．（23-24高一下·安徽六安·期末）复数的虚部为 . 【答案】-1 【分析】计算出模长，并利用复数除法法则得到，求出虚部. 【详解】， 故虚部为-1. 故答案为：-1 27．（22-23高一下·云南昭通·期末）已知水平放置的四边形ABCD按照斜二测画法画出的直观图如图所示，其中，，则四边形的面积是 ． 【答案】6 【分析】利用斜二测画法规则画出原图形，再求直角梯形的面积. 【详解】 如图，直角梯形即为原图形，则， 所以四边形的面积. 故答案为：6. 28．（24-25高二上·四川成都·期末）在某次活动中，登记的8个数据的平均数为8，方差为16，其中．后来发现应该为10，并且漏登记了一个数据14，则修正后的9个数据的平均数为 ，方差为 ． 【答案】 9 / 【分析】由题意可求出，，再利用平均数以及方差公式即可求出修正后的平均值以及方差. 【详解】由题意知修正前，则， 修正后，故修正后的9个数据的平均数为； 修正前， 即得， 故修正后的方差为 ， 故答案为：9； 29．（23-24高一下·江苏常州·期末）设x，y，z都是正整数，且，，，当x，y，z的取值依次为 时，x，y，z这三个数的方差最小．（若存在多组取值符合条件，只需写出其中一组取值） 【答案】（或） 【分析】根据方差定义计算方差，再由方差最小，确定后转化为关于的二次函数，利用二次函数求最小值即可得解. 【详解】设， 则 ， 要使方差最小，三个数据应尽量靠近，故， 则， 关于的二次函数的对称轴为，又且为正整数， 所以当或时，方差最小，最小值为. 故满足条件的为或. 故答案为：（或）. 30．（24-25高一上·辽宁鞍山·期末）在荷花池中，有一只蜻蜓在成品字形的三片荷叶上飞来飞去（每次飞时，均从一叶飞到另一叶），而且逆时针方向飞的概率是顺时针方向飞的概率的3倍，如图所示.假设现在蜻蜓在叶上，则跳三次之后停在叶上的概率是 . 【答案】/0.4375 【分析】根据条件先求出逆时针和顺时针跳的概率，然后根据跳3次回到A，则应满足3次逆时针或者3次顺时针，根据概率公式即可得到结论． 【详解】由题意，知青蛙沿逆时针方向跳的概率是，沿顺时针方向跳的概率是. 青蛙跳三次要回到叶上只有两条途径： 第一条，按，此时停在叶上的概率； 第二条，按，此时停在A叶上的概率. 所以跳三次之后停在叶上的概率. 故答案为： 31．（24-25高一上·辽宁·期末）算盘是我国古代一项伟大的发明，是一类重要的计算工具.现有一把初始状态的算盘如图所示，自右向左，分别表示个位、十位、百位、千位等，上面一粒珠子（简称上珠）代表，下面一粒珠子（简称下珠）代表，五粒下珠表示的数的大小等于同组一粒上珠表示的数的大小.例如，个位拨动一粒上珠，十位拨动一粒下珠至梁上，表示数字.现将算盘的个位、十位、百位、千位分别随机拨动一粒珠子至梁上，设事件“表示的四位数能被整除”，“表示的四位数能被整除”，则 . 【答案】/ 【分析】利用古典概型的概率公式计算出、，即可求出的值. 【详解】因为只拨动一粒珠子至梁上，因此数字只表示或， 因为个位、十位、百位、千位分别随机拨动一粒珠子至梁上， 所以所得的四位数的个数为个， 能被整除的四位数，数字和各出现个，这样的四位数有：、、、、、，共个， 所以， 能被整除的四位数，个位数为，则这样的四位数为：、、、、、、、，共个， 所以， 所以，. 故答案为：. 32．（23-24高一下·云南丽江·期末）如图1，在平面四边形ABCD中，是边长为2的等边三角形，，将沿AC翻折，使得点到点的位置，如图2所示，且二面角的余弦值为，则三棱锥体积的最大值为 ，三棱锥的外接球的表面积为 ． 【答案】 【分析】作出辅助线，证明线面垂直，线线垂直，得到为二面角的补角，结合已知求得，应用三棱锥体积公式及基本不等式求体积最大值，设三棱锥外接球的球心为，则平面ABC，利用球的半径相等列出方程，进而求出球的半径，即可得表面积. 【详解】过点作平面ABC，垂足为，作，垂足为，连接PH，如图所示． 因为平面平面ABC，所以， 又，平面PQH，所以平面PQH， 因为平面PQH，所以PH， 则为二面角的补角，故． 又是边长为2的等边三角形，所以， 在中，，所以， ，由勾股定理得， 由， 当且仅当时，等号成立，所以三棱锥体积的最大值为； 设三棱锥外接球的球心为，则平面ABC， 设，由，得，解得， 则三棱锥外接球的半径， 所以三棱锥外接球的表面积为． 故答案为：， 四、解答题 33．（24-25高一上·湖南邵阳·期末）每年的10月1日是国庆节，为庆祝该节日，某学校举办了“知识竞赛”．竞赛共分两轮，即每位参赛选手均须参加两轮比赛，已知在第一轮比赛中，选手甲，乙胜出的概率分别为，；在第二轮比赛中，选手甲，乙胜出的概率分别为p，q．假设甲，乙两人在每轮比赛中是否胜出互不影响． (1)若，求乙恰好有一轮胜出的概率； (2)若甲，乙各有一轮胜出的概率为，甲，乙两轮都胜出的概率为． ①求p，q的值； ②求甲，乙两人至少有一人两轮都胜出的概率． 【答案】(1) (2)① ，；② 【分析】（1）利用互斥事件和独立事件的概率公式求解即可； （2）①根据对立事件和独立事件的概率公式列方程，即可求解；②先根据独立事件的概率公式求“甲两轮都胜出”和“乙两轮都胜出”的概率，再利用互斥事件和独立事件的概率公式求解即可. 【详解】（1）设事件“第一轮比赛中甲胜出”，事件“第二轮比赛中甲胜出”， 设事件“第一轮比赛中乙胜出”，事件“第二轮比赛中乙胜出”， 由题意得，，，相互独立，且，，，． 记事件“乙恰好有一轮胜出”，则，又互斥， 所以，当时， . 因此，当时，乙恰好有一轮胜出的概率为. （2）①事件“甲，乙各有一轮胜出”，事件“甲，乙两轮都胜出”， 则， ， 则，解得，． ②事件“甲两轮都胜出”，事件“乙两轮都胜出”， 事件“甲，乙两人至少有一人两轮都胜出”， ，， 34．（24-25高一上·辽宁锦州·期末）某绿色水果生态园在某种水果收获的.随机摘下该水果100个作为样本，其质量分别在（单位：克）中，经统计，样本的频率分布直方图如图所示： (1)根据频率分布直方图计算该样本的中位数； (2)现按分层抽样的方法从质量为），的水果中随机抽取6个，再从6个中随机抽取3个，求这3个水果中恰有1个质量在内的概率； (3)某经销商来收购水果时，该生态园有水果约10000个要出售． 经销商提出如下两种收购方案： 方案A：所有水果以10元/千克收购； 方案B：对质量低于250克的水果以2元/个收购，不低于250克的以3元/个收购． 假设同组中的每个数据都用该组区间的中点值代替，请估算该生态园选择哪种方案获利更多？ 【答案】(1) (2) (3)该生态园选择方案获利更多． 【分析】（1）根据频率分布直方图中位数的计算方法列式求解即可； （2）先根据分层抽样的性质求出质量在和内的分别有4个和2个，然后列举法结合古典概型概率公式求解即可； （3）算出两种方案的利润，比较大小即可判断. 【详解】（1）设样本的中位数为， 则， 即，解得； （2）根据分层抽样，抽取的6个水果中，质量在和内的分别有4个和2个． 设质量在内的4个水果分别为A，B，C，D， 质量在内2个水果分别为， 其样本空间可记为 ， 共包含20个样本点． 记E：其中恰有一个在内，则 ， 则E包含的样本点个数为12，所以； （3）方案： 收益 元； 方案：低于250克获利元， 不低于250克获利元， 总计元． 因为，所以该生态园选择方案获利更多. 35．（24-25高一上·辽宁·期末）某校的体育组为了了解本校高一学生的体能状况，随机抽取了名高一学生进行体能测试，将所得评分（百分制）按体育组制定的体能测试评价标准整理，得到频率分布直方图．已知评分在[70，80）中的学生有100人．体能测试评价标准如下表： 测试评分 [0，40） [90，100] 体能等级 E D C B A (1)求的值及频率分布直方图中的值； (2)在抽取的体能等级为的学生中，按照测试评分的分组，分为两层，通过分层抽样抽取出三人进行体能训练．根据以往数据统计，经体能训练后，测试评分在中的学生的体能等级转为的概率为，测试评分在中的学生的体能等级转为的概率为，假设经体能训练后的等级转化情况相互独立，求在抽取出的三人中，经体能训练后至少有一人的体能等级转为的概率. 【答案】(1)，； (2) 【分析】（1）利用公式求n的值，利用矩形的面积和为1求的值； （2）设事件“在抽取的3人中，经心理疏导后至少有一人的心理等级转为B”，利用对立事件的概率公式求解； 【详解】（1）由已知条件可得，又因为每组的小矩形的面积之和为1. 所以，解得. （2）由（1）可知：， 所以调查评分在中的人数是调查评分在中人数的， 若按分层抽样抽取3人，则调查评分在中有1人，在中有2人， 设事件“在抽取的3人中，经心理疏导后至少有一人的心理等级转为B”. 因为经心理疏导后的等级转化情况相互独立， 所以， 所以， 故经心理疏导后至少有一人的心理等级转为B的概率为· 36．（24-25高一下·广东·期中）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且.    (1)求B； (2)已知D为边AB上的一点，且. （ⅰ）若，，求AC的长； （ⅱ）求的取值范围. 【答案】(1) (2)（1）；（2） 【分析】（1）根据正弦定理边角化，结合正弦和角公式可得,根据，化简可得，即可求解， （2）（ⅰ）在中，由余弦定理求解，进而根据诱导公式以及正弦定理得，解得，进而根据同角关系以及锐角三角函数求解， （ⅱ）在中由正弦定理，得，在中，由锐角三角函数得，进而可得，利用二倍角公式化简得，即可根据余弦函数的性质求解. 【详解】（1）由题意知， 又由正弦定理得，所以. 又，所以，所以， 所以， 因为，所以，所以，    又因为，所以. （2）（ⅰ）因为， 根据余弦定理得，所以， 因为，所以， 在中，由正弦定理知，，即，所以， 进而,所以故， （ⅱ）因为，所以， 在中，由正弦定理得，所以； 又在中，； 所以， 因为，所以，所以， 所以的取值范围是. 37．（24-25高一下·浙江·期中）已知a，b，c分别为斜三个内角A，B，C的对边，且满足. (1)求角A的值； (2)记边上的高为h， （i）若，求的值； （ii）求的取值范围. 【答案】(1) (2)（i）或；  （ii） 【分析】（1）由正弦定理边化角可得：.在中，根据代入上式化简，再利用辅助角公式和角的范围即可求解； （2）（i）由（1）知.根据三角形面积公式及余弦定理可求得的值，再利用正弦定理边化角即可求解； （ⅱ）由三角形面积公式及可得，代入，利用正弦定理边化角化简可得，结合角的范围和正弦函数性质即可求解. 【详解】（1）由及正弦定理可得：. 在中，∵，∴， 代入上式化简可得：. ∵，∴，即，∴ . 又∵，∴，∴或，即或. 又为斜三角形知，∴. （2）（i）由（1）知. ∵面积，边上的高， ∴. 由余弦定理可知：，即，即，∴或. 所以或. （ⅱ）由，得， ∴ . ∵，∴，∴. 38．（24-25高一上·陕西西安·期末）用高中所学知识解决下列问题：如图正方形的边长为分别为上动点，且的周长为2. (1)求的最小值； (2)证明：为定值，并求出该定值； (3)设的面积为，求的最小值. 【答案】(1) (2)证明见解析， (3) 【分析】（1）设，由锐角三角函数与三角形的周长得到，从而表示出，再由两角和的正弦公式及正弦函数的性质计算可得； （2）设，，则，，从而可得，，，再通过的周长为，建立等式，再由两角和的正切公式求出，即可求出； （3）由三角形的面积公式得到，再将（2）中数据代入求出，求出到的距离为定值1，即可求解； 【详解】（1）设，，则，， 的周长为， ， 所以， 又，， ， 当，即时，取得最小值，且的最小值为； （2）设，，， 则，， ，，， 的周长为， ， ， ， ，又，， ， ， ，为定值； （3） 如图，作， ， ， ，， ， 又，， ， ， ， 由（2）知， ， ，即到的距离的定值为． 又的最小值为， 所以的最小值为 【点睛】关键点点睛：由，推证到的距离的定值为； 39．（24-25高一上·辽宁大连·期末）如图，在中，.    (1)若E是BD的中点，试用和表示； (2)若G是AD上一点，且，过点G的直线交AB于点F，交AC于点H.若，，其中，均为正实数，求的最小值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用向量的加减法运算法则，结合平面向量基本定理求解； （2）由已知条件可得，再由F，G，H三点共线，得，然后利用基本不等式可求得答案. 【详解】（1）因为，所以， 所以， 因为E是BD的中点， 所以 ； （2）由，，得，， 因为，， 所以， 因为F，G，H三点共线，所以， 则 当且仅当时， 即时，等号成立， 所以的最小值为. 40．（24-25高一下·浙江绍兴·期中）如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，，，分别是，，的中点. (1)若，求证：平面； (2)若二面角的正切值为，且，，求与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由题意可得，结合，可得平面； （2）由题意可得与平面所成角即为与平面所成角，过作于，连接，可得，可求得，利用等体积法可求得到平面的距离，可得与平面所成角的正弦值. 【详解】（1）因为，又是的中点，所以， 又平面，平面，所以， 又底面是矩形，所以，又，平面， 所以平面，又平面，所以， 又，平面，所以平面. （2）连接，因为，分别是，的中点，所以，， 又是的中点，底面是矩形，所以，， 所以且，所以四边形是平行四边形， 所以，所以与平面所成角即为与平面所成角， 因为又平面，平面，所以， 过作于，连接， 又，平面， 所以平面，又平面，所以， 所以为二面角的平面角，所以，所以， 由，可得，所以， 设到平面的距离为， 由，所以， 又，所以， 所以，解得， 又，所以与平面所成角的正弦值为， 所以与平面所成角的正弦值为. 41．（24-25高一下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，已知等腰梯形中，，，是的中点，，将沿着翻折成，使平面. (1)求与平面所成的角； (2)在线段上是否存在点，使得平面，若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 【答案】(1) (2)存在， 【分析】（1）先证明，根据线面垂直判定定理证明平面，结合线面角的概念确定所求角，解三角形求结论； （2）提出猜测，再结合线面平行判定定理证明猜测，由此确定结论. 【详解】（1）如图，在梯形中，连接，因为是的中点， 所以，又因为，且， 故四边形是菱形，从而， 所以沿着翻折成后，平面，因为平面， 则有，又平面， 所以平面， 所以与平面所成的角为， 由已知条件，可知， 所以是正三角形，所以平分，所以， 所以与平面所成的角为. （2）猜测当点为的中点时， 平面， 证明如下： 取的中点，连接， 在中，分别为的中点， 所以且，又，， 所以，， 所以四边形为平行四边形，所以， 因为平面，平面， 所以平面. 所以当点为的中点时，平面，此时. 42．（24-25高一下·天津滨海新·期中）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，，，F为CP上的点，且平面. (1)求证：平面平面； (2)求直线PC与平面所成角的正弦值； (3)在棱PD上是否存在一点G，使平面，若存在，求PG的长；若不存在，说明理由. 【答案】(1)证明过程见解析 (2) (3) 【分析】（1）只需证明平面，只需证明（由正方形性质可得），，要证，只需证明平面即可. （2）作，垂足为，连接，从而为直线与平面所成的角，只需解直角三角形即可. （3）作，交于，连接，可以证明，故只需解直角三角形求出即可. 【详解】（1）因为平面，平面，所以， 又因为，平面， 所以平面， 因为平面，所以， 又因为底面是边长为2的正方形，所以， 且平面， 所以平面， 又因为平面， 所以平面平面； （2） 作，垂足为，连接， 因为平面平面，平面，平面平面， 所以平面，所以为直线与平面所成的角， 因为，，，所以， 因为平面，平面，所以， 所以在直角三角形中，由勾股定理可得， 所以； （3） 作，交于，连接， 因为，，所以， 因为平面，平面，所以平面， 因为平面，平面，所以， 因为，， 所以，解得，所以， 因为平面，平面，所以， 又因为，所以， 又因为，所以. 43．（23-24高一下·广东深圳·期中）如图1，在矩形中，，，将沿翻折至，且，如图2所示． 在图2中： (1)求证：平面平面； (2)求点到平面的距离； (3)求二面角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)． 【分析】（1）根据勾股定理得，根据线面垂直的性质定理得平面，然后根据面面垂直的判定定理证明即可； （2）结合等体积法，利用锥体的体积求高即可； （3）根据二面角平面角的定义作出二面角，然后利用直角三角形的性质求解即可. 【详解】（1）由题意知，，， 则，故， 又，且，平面，故平面， 而平面，故平面平面． （2）由可得，由（1）知平面， 所以， 又，所以． （3）在平面内作，垂足为；在平面内作，垂足为， 连接，由平面，平面，故， 因为，，平面，所以平面， 由（2）知，因为平面，故，又， ，平面，所以平面， 又平面，所以，又， 则为二面角的平面角， 又平面，故，所以． 由题意知直角三角形中，， 故， 又，则，所以， 故二面角的余弦值为． 44．（24-25高二上·上海·阶段练习）如图所示，点是平面外一点，平面，点是线段的中点. (1)求证:平面 (2)问：是否存在线段上的一点，使得对线段上的任一动点，均有平面成立？若存在，请指出点的位置，并证明你的结论；若不存在，请说明理由； (3)若，二面角为，求的余弦值. 【答案】(1)证明见解析； (2)存在，点为的中点，证明见解析； (3). 【分析】（1）构造辅助线，通过线线平行证明线面平行. （2）由线面平行得到线线平行，通过构造辅助线得到面面平行，从而证明线面平行. （3）通过构造辅助线找到二面角的平面角，利用角度得到各边之间的关系，结合二倍角公式即可得到结果. 【详解】（1） 如图，取中点，连接， ∵分别是的中点，∴. ∵平面，平面，平面平面， ∴. ∵，∴, ∴四边形为平行四边形，∴， ∵平面，平面，∴平面. （2）存在，点为的中点.证明如下： 如图，取的中点，连接. ∵分别是的中点，∴. ∵平面，平面，∴平面. 由（1）得，平面， ∵，平面，平面，∴平面平面， ∵平面，∴平面. （3） 如图，过点作平面，垂足为，过点作，垂足分别为，连接. ∵平面，平面，平面，∴，. ∵，，平面，平面，∴平面， ∵平面，∴，故为二面角的平面角，即. 设， 在中，由得，，∴. 在中，由得，， 在中，， ∴，同理得，即 ∴，即的余弦值为. 45．（23-24高一下·山东青岛·期末）如图1，直角梯形中，，以为轴将梯形旋转后得到几何体W，如图2，其中分别为上下底面直径，点分别在圆弧上，直线平面.    (1)证明：平面平面； (2)若直线与平面所成角的正切值等于，求到平面的距离； (3)若平面与平面夹角的余弦值为，求． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）设平面与几何体的上底面交于点，利用面面平行的性质，得到，再由平面，证得，进而得到和，证得平面，即可证得平面平面. （2）连接，由平面，得到，由平面，将问题转化为到平面的距离，再利用，即可求解. （3）分别取的中点，连接，利用平面平面，将问题转化为平面与平面夹角的余弦值为，过点作，得到则为平面与平面夹角，结合等面积法和射影定理，即可求解. 【详解】（1）证明：设平面与几何体的上底面交于点，即平面平面， 因为平面平面，平面平面，所以， 又因为平面，平面，平面， 所以，所以， 因为，所以， 又因为平面，且平面，所以， 因为，且平面，所以平面， 又因为平面，所以平面平面. （2）解：连接，由（1）知平面， 所以就是直线与平面所成的角，即， 因为，所以，所以为直角三角形， 又，所以， 又因为平面平面， 所以点到平面的距离为， 因为平面， 所以点到平面的距离等于点到平面的距离，设为， 因为，所以， 因为，所以， 即点到平面的距离为. （3）解：分别取的中点，连接，则， 因为且平面，，且平面， 所以平面平面， 若平面与平面夹角余弦值为，则平面与平面夹角的余弦值也为， 因为为的中点，，所以， 又因为且平面，所以平面， 因为平面，所以平面平面， 连接，过点作于点， 因为平面平面，且平面，所以平面， 过点作于点，连接， 则即为平面与平面夹角，即为，所以， 设，则， 因为，所以， 又因为，所以，， 在直角中，由射影定理知，所以， 在直角中，，所以， 在直角中，， 整理得，解得，即， 所以.    第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $$