精品解析：吉林省松原市前郭尔罗斯蒙古族自治县 萨日朗学校2024-2025学年八年级下学期6月月考数学试题

数学创新性训练 考试范围：第16－20章 考试时间：120分钟 满分：100分 注意事项： 1.请认真填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2.请将答案正确填写在答题卡上 一、选择题（每题3分，共18分） 1. 要使二次根式有意义，取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各组3个整数是勾股数的是（ ） A. 4，5，6 B. 6，8，9 C. 13，14，15 D. 8，15，17 3. 下表是某社团20名成员的年龄分布统计表，数据不小心被撕掉一块，仍能够分析得出关于这20名成员年龄的统计量是（　　） A. 平均数 B. 方差 C. 中位数 D. 众数 4. 如图，在中，D是的中点，F是的中点，E在上，且，若的面积是18，则的面积是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 5. 我们把顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫做中点四边形，任意四边形的中点四边形是（ ） A. 平行四边形 B. 矩形 C. 菱形 D. 正方形 6. 两个一次函数和在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每题3分，共15分） 7. 已知正比例函数的图象经过点，则m的值为________ 8. 在平面直角坐标系中，的对角线交于点O．若点A的坐标为，则点C的坐标为______． 9. 一组数据、、、、的方差为，另一组数据、、、、的方差为，那么____．（填“”、“”或“”） 10. 如图，在如图1矩形中，动点P从B点出发，沿，，运动至点A停止，设P点运动的路程为x，的面积y，且x与y的关系如图2所示，则矩形的面积是_______． 11. 如图，在直角三角形中，，，，点M是边上一点(不与点A，B重合)，作于点E，于点F，若点P是的中点，则 长度的最小值是__________________． 三、解答题（每题6分，共18分） 12. 计算： 13. 如图，在的正方形网格中，每个小方格的顶点叫做格点，以格点为顶点按下列要求画图． （1）在图中，画一个面积为的平行四边形； （2）在图中，画一个面积为的正方形． 14. 如图，中，D是边上任意一点，F是中点，过点C作交的延长线于点E，连接，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，，，求的长． 四、解答题（每题7分，共21分） 15. 为响应国家推行“低碳生活，绿色出行”的号召．一年来，巴马在争创全国文明卫生县城活动中，加强环境卫生整治，取缔三轮车载客，规范车辆乱停乱放现象，提升县容县貌，倡导共享电车出行．为了解某小区使用共享电车次数的情况，某公司研究小组随机采访了该小区10名居民，得到这10名居民一周内使用共享电车的次数统计如下： 使用次数 0 5 10 16 20 人数 1 1 3 4 1 （1）这10位居民一周内使用共享电车次数的中位数是 次，众数是 次； （2）若小明同学把数据“20”看成了“30”，那么中位数、方差和平均数中不受影响的是 ；（填“平均数”、“中位数”或“方差”） （3）该小区有2500名居民，试估计该小区居民一周内使用共享电车的总次数． 16. “数形结合”是一种重要的数学思想，通过数和形之间的对应关系和相互转化可以解决很多抽象的数学问题．为了比较与的大小，我们可以构造如图所示的图形进行推算：在中，，，点D在BC上，且，这样就可以得出与的大小关系，请说出你的答案并结合图形通过计算说明理由． 17. 如图1，光滑桌面的长为，两端垂直放置挡板和，小球（看作一点）从挡板出发，匀速向挡板运动，撞击挡板后反弹，以原速返回挡板，过程中小球和挡板的距离与时间的关系图象如图2所示．（注：小球和挡板的厚度忽略不计，撞击和反弹时间忽略不计） （1）图中______，______，小球的速度为_____． （2）求图2中直线的函数解析式． 五、解答题（每题8分，共16分） 18. 已知，，满足等式. (1)求，，值； (2)判断以，，为边能否构成三角形？若能构成三角形，此三角形是什么形状的三角形？并求出此三角形的面积；若不能，请说明理由. 19. 阅读下列分母有理化的过程： （I）； （II）； 请完成下列问题： （1）仿照上述解题过程计算：______；_____；（注意结果化简） （2）观察上面解题过程，请直接写出的结果为______； （3）试利用上面所提供的思路，解方程：． 六、解答题（每题10分，共20分） 20. 甲、乙两人相约周末登花果山，甲、乙两人距地面的高度（米）与登山时间（分）之间的函数图象如图所示，根据图象所提供的信息解答下列问题： （1）甲登山上升的速度是每分钟米，乙在地时距地面的高度为_______米； （2）若乙提速后，乙登山上升速度是甲登山上升速度的倍，请求出乙登山全程中，距地面的高度（米）与登山时间（分）之间的函数关系式（写出自变量范围）； （3）在乙达到山顶前，登山时间为________分钟时，甲、乙两人距地面的高度差为70米． 21. 材料阅读，中位线是一个数学术语，是平面几何内的三角形任意两边中点的连线或梯形两腰中点的连线．而在三角形中，它的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．例：如图1，在中，若、分别是、的中点，则为的中位线，并且，．请根据材料，完成以下问题： （1）如图，在中，，且、、分别是边、、中点，分别连接、、．证明四边形是菱形． （2）如图，已知正方形，点是射线上一动点（不与、重合）．连接并延长交直线于点，交于，连接，过点作交于点． ①若点在边上，如图，猜想的形状并说明理由． ②取中点，连接，若，正方形边长为，求的长． 七、解答题（每题12分） 22. 如图，矩形的顶点A、C分别在y、x轴的正半轴上，点B的坐标为，一次函数的图象与边、分别交于点D、E，并且满足，点P是线段上的一个动点． （1）求一次函数的解析式； （2）若点P在平分线上，求点P坐标； （3）连接，若把四边形面积分成两部分，求点P的坐标； （4）设点Q是x轴上方平面内的一点，以O，D，P，Q为顶点的四边形为菱形时，直接写出点Q的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学创新性训练 考试范围：第16－20章 考试时间：120分钟 满分：100分 注意事项： 1.请认真填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2.请将答案正确填写在答题卡上 一、选择题（每题3分，共18分） 1. 要使二次根式有意义，的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】直接利用二次根式的性质，进而得出答案． 【详解】解：∵二次根式有意义， ∴x-2022≥0， 解得：x≥2022． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了二次根式有意义的条件，正确掌握二次根式的性质是解题关键． 2. 下列各组3个整数是勾股数的是（ ） A. 4，5，6 B. 6，8，9 C. 13，14，15 D. 8，15，17 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股数问题，首先勾股数都是正整数，且两个较小的正整数的平方和等于最大数的平方，据此逐一判断即可得到答案． 【详解】解：A、∵， ∴4，5，6不是勾股数，不符合题意； B、∵， ∴6，8，9不是勾股数，不符合题意； C、∵， ∴13，14，15不是勾股数，不符合题意； D、∵， ∴8，15，17是勾股数，符合题意； 故选；D． 3. 下表是某社团20名成员的年龄分布统计表，数据不小心被撕掉一块，仍能够分析得出关于这20名成员年龄的统计量是（　　） A. 平均数 B. 方差 C. 中位数 D. 众数 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平均数、方差、中位数、众数．熟练掌握平均数、方差、中位数、众数的概念是解题的关键．平均数、方差受频数的影响，众数是出现次数最多的数，由于缺少13和14岁数据，这些统计量都不能分析得出．而中位数是将一组数据由小到大排列，当数据个数为偶数时，中位数是位于中间的两个数的平均数，共20名成员，中位数是第10、11位数的平均数，由此得解． 【详解】解：A：平均数等于一组数据所有数据之和再除以数据个数，用于反映现象总体的一般水平，或分布的集中趋势．由于缺少13岁和14岁的数据，所以平均数不能求出，故A不符合题意； B：方差是各个数据与平均数之差的平方的和的平均数，用于衡量数据的波动．由于缺少13岁和14岁的数据，所以方差不能求出，故B不符合题意； C：由于该组数据有20个，中位数为第10个和11个数据的平均数：，故C符合题意； D：由于众数是出现次数最多的数，13岁和14岁的人数不确定，所以众数不能确定，故D不符合题意； 故选：C． 4. 如图，在中，D是的中点，F是的中点，E在上，且，若的面积是18，则的面积是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三角形的面积．解题的关键是熟练掌握“三角形中线能把三角形的面积平分，利用这个结论就可以求出三角形的面积” ． 【详解】解：∵D是的中点，的面积是18， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵F是的中点， ∴， 故选：B． 5. 我们把顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫做中点四边形，任意四边形的中点四边形是（ ） A. 平行四边形 B. 矩形 C. 菱形 D. 正方形 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查了三角形的中位线定理，根据三角形的中位线的性质，证明对边平行且相等，由此可得到平行四边形． 【详解】解：如图，四边形中，E，N，M，F分别是，，，中点，连接，， ∵E，N，M，F分别是，，，的中点， ∴，，，， ∴，， ∴四边形为平行四边形． 故选：A． 6. 两个一次函数和在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一次函数图象与系数的关系，由于a、b的符号均不确定，因此分①，，②，，③，，④，四种情况，判断出和所经过的象限，即可求解． 【详解】解：分四种情况： ①当，时，和的图象均经过第一、二、三象限，不存在此选项； ②当，时，的图象经过第一、三、四象限，的图象经过第一、二、四象限，选项B符合此条件； ③当，时，的图象经过第一、二、四象限，的图象经过第一、三、四象限，不存在此选项； ④当，时，和的图象均经过第二、三、四象限，不存在此选项． 故选B． 二、填空题（每题3分，共15分） 7. 已知正比例函数的图象经过点，则m的值为________ 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了正比例函数的性质．把点的坐标代入函数的解析式，即可得出关于m的方程，求出方程的解即可． 【详解】解：∵正比例函数的图象经过点， ∴代入得：， 解得：， 故答案为：2． 8. 在平面直角坐标系中，的对角线交于点O．若点A的坐标为，则点C的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查平行四边形的性质，关键是根据平行四边形的对角线互相平分． 根据平行四边形的性质解答即可． 详解】解：， ， 的对角线相交于点O，， ∴点的坐标为， 故选：C． 9. 一组数据、、、、的方差为，另一组数据、、、、的方差为，那么____．（填“”、“”或“”） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了方差的定义，解题的关键是分别计算出方差，再进行比较即可．根据方差的定义分别计算出两组数据的方差即可得，也可以直接观察波动程度进行比较． 【详解】解：第1组数据的平均数为， 则其方差； 第2组数据的平均数为， 则其方差； ∴， 故答案为：． 10. 如图，在如图1矩形中，动点P从B点出发，沿，，运动至点A停止，设P点运动的路程为x，的面积y，且x与y的关系如图2所示，则矩形的面积是_______． 【答案】20 【解析】 【分析】点P从点B运动到点C的过程中，y与x的关系是一个一次函数，运动路程为4时，面积发生了变化，说明的长为4； 当点P在上运动时，的面积保持不变，就是矩形面积的一半，并且动路程由4到9，说明的长为5； 根据上述求出的矩形的边长，求出矩形的面积. 本题主要考查了动点问题的函数图象，在解题时要能根据函数的图象求出、的长度是解决问题的关键． 【详解】解：结合图形可以知道，P点在上，的面积为y增大， 当x在4-9之间时的面积不变，得出，， ∴矩形的面积为：． 故答案为：20． 11. 如图，在直角三角形中，，，，点M是边上一点(不与点A，B重合)，作于点E，于点F，若点P是的中点，则 长度的最小值是__________________． 【答案】 【解析】 【分析】连接，根据矩形的性质可得，则，当时，取得最小值，根据等面积法求解即可，进而可得最小值． 【详解】解：如图，连接，则M，P，C共线， ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴， ∵，，， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴时，取得最小值，此时取得最小值， ∵， ∴， ∴， ∴长度的最小值是． 故答案为：． 【点睛】本题考查矩形的性质与判定，勾股定理，垂线段最短，三角形的面积，堆出是解题的关键． 三、解答题（每题6分，共18分） 12. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次根式的混合运算，先进行乘除运算，化简二次根式，再合并同类二次根式即可． 【详解】解：原式． 13. 如图，在的正方形网格中，每个小方格的顶点叫做格点，以格点为顶点按下列要求画图． （1）在图中，画一个面积为的平行四边形； （2）在图中，画一个面积为的正方形． 【答案】（1）作图见解析； （2）作图见解析． 【解析】 【分析】（）根据平行四边形的性质作图即可； （）作一个边长为的正方形即可； 本题考查了平行四边形的判定和性质，正方形的判定和性质，勾股定理，掌握平行四边形及正方形的判定和性质是解题的关键． 【小问1详解】 解：如图，平行四边形即为所求； 【小问2详解】 解：如图，正方形即为所求． 14. 如图，中，D是边上任意一点，F是中点，过点C作交的延长线于点E，连接，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，，，求的长． 【答案】（1）见详解 （2） 【解析】 【分析】（1）根据平行线的性质得到．根据全等三角形的判定和性质得到，于是得到四边形是平行四边形； （2）过点作于点．根据等腰三角形的性质求得，在中，，，求得，，据此计算即可得到结论． 【小问1详解】 证明：∵， ∴． ∵是中点， ， 在与中， ， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； 【小问2详解】 解：过点作于点， ∵，， ∴， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定，平行线的性质，等腰三角形的判定，全等三角形的判定和性质，勾股定理，掌握以上知识点是解题的关键． 四、解答题（每题7分，共21分） 15. 为响应国家推行“低碳生活，绿色出行”的号召．一年来，巴马在争创全国文明卫生县城活动中，加强环境卫生整治，取缔三轮车载客，规范车辆乱停乱放现象，提升县容县貌，倡导共享电车出行．为了解某小区使用共享电车次数的情况，某公司研究小组随机采访了该小区10名居民，得到这10名居民一周内使用共享电车的次数统计如下： 使用次数 0 5 10 16 20 人数 1 1 3 4 1 （1）这10位居民一周内使用共享电车次数的中位数是 次，众数是 次； （2）若小明同学把数据“20”看成了“30”，那么中位数、方差和平均数中不受影响的是 ；（填“平均数”、“中位数”或“方差”） （3）该小区有2500名居民，试估计该小区居民一周内使用共享电车的总次数． 【答案】（1）13，16 （2）中位数 （3）估计该小区居民一周内使用共享电车的总次数为29750次． 【解析】 【分析】本题考查的是平均数、众数、中位数的求法和性质，方差的性质，样本估计总体，牢记各个数的定义是关键． （1）根据众数、中位数分别求解可得； （2）由中位数不受极端值影响可得答案； （3）先求出平均数，用总人数乘以样本中居民的平均使用次数即可得． 【小问1详解】 解：这10位居民一周内使用共享单车次数的中位数是（次）， 众数为16次， 故答案为：13，16； 【小问2详解】 解：把数据“20”看成了“30”， 那么中位数，方差和平均数中不受影响的是中位数和众数， 故答案为：中位数； 【小问3详解】 解：∵样本的平均数为：， ∴估计该小区居民一周内使用共享单车的总次数为次． 16. “数形结合”是一种重要的数学思想，通过数和形之间的对应关系和相互转化可以解决很多抽象的数学问题．为了比较与的大小，我们可以构造如图所示的图形进行推算：在中，，，点D在BC上，且，这样就可以得出与的大小关系，请说出你的答案并结合图形通过计算说明理由． 【答案】 【解析】 【分析】根据勾股定理求得AB= ，AD=，然后利用三角形三边关系得出结果． 【详解】解：在直角△ABC中，∠C=90°， ∴AB= ， ∵CD=BC-BD=2 由勾股定理得：AD= ， 在△ABD中，∵AD+BD＞AB， ∴． 【点睛】本题考查勾股定理的应用，利用勾股定理主要有两个作用：已知两边求出第三边，把勾股定理作为等量关系列方程． 17. 如图1，光滑桌面长为，两端垂直放置挡板和，小球（看作一点）从挡板出发，匀速向挡板运动，撞击挡板后反弹，以原速返回挡板，过程中小球和挡板的距离与时间的关系图象如图2所示．（注：小球和挡板的厚度忽略不计，撞击和反弹时间忽略不计） （1）图中______，______，小球的速度为_____． （2）求图2中直线的函数解析式． 【答案】（1），， （2） 【解析】 【分析】本题考查了从函数图象获取信息，待定系数法求一次函数解析式，解答本题的关键是正确从图中获取相关信息． （1）根据函数图象可知，小球到达时，进而可求出和小球的速度； （2）用待定系数法求解即可． 【小问1详解】 解：由函数图象可知，小球到达时， ∴小球的速度为． ∵撞击挡板后反弹，以原速返回挡板， ∴． 故答案为：，，； 【小问2详解】 解：设直线的函数解析式为， 把，代入， 得：， 解得：， ∴． 五、解答题（每题8分，共16分） 18. 已知，，满足等式. (1)求，，的值； (2)判断以，，为边能否构成三角形？若能构成三角形，此三角形是什么形状的三角形？并求出此三角形的面积；若不能，请说明理由. 【答案】(1)，，；(2)以，，，为边能构成直角三角形，面积为. 【解析】 【分析】（1）由二次根式有意义的条件可求出b的值，再根据非负数的性质可求出a和c的值； （2）根据三角形三条边的关系可判断能否构成三角形，根据勾股定理逆定理可判断三角形的形状，根据三角形的面积公式可求出三角形的面积. 【详解】解：(1)由题设得，，， ∴，， (2)∵，，，∴， ∴以，，，为边能构成三角形. ∵， ∴此三角形是直角三角形， ∴此三角形的面积为：. 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，非负数的性质，三角形三条边的关系，勾股定理逆定理及三角形的面积公式，熟练掌握二次根式有意义的条件及勾股定理逆定理是解答本题的关键. 19. 阅读下列分母有理化的过程： （I）； （II）； 请完成下列问题： （1）仿照上述解题过程计算：______；_____；（注意结果化简） （2）观察上面解题过程，请直接写出的结果为______； （3）试利用上面所提供的思路，解方程：． 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了分母有理化，利用平方差公式进行分母有理化是解题关键． （1）根据平方差公式，进行分母有理化即可； （2）根据平方差公式，进行分母有理化即可； （3）根据平方差公式，分母有理化，根据实数的运算化简方程，解方程可得答案． 【小问1详解】 解：； ； 故答案为：， ． 【小问2详解】 解：， 故答案为：； 【小问3详解】 解：， 分母有理化，得， 即， 得：， 整理得：， 解得：． 六、解答题（每题10分，共20分） 20. 甲、乙两人相约周末登花果山，甲、乙两人距地面的高度（米）与登山时间（分）之间的函数图象如图所示，根据图象所提供的信息解答下列问题： （1）甲登山上升的速度是每分钟米，乙在地时距地面的高度为_______米； （2）若乙提速后，乙的登山上升速度是甲登山上升速度的倍，请求出乙登山全程中，距地面的高度（米）与登山时间（分）之间的函数关系式（写出自变量范围）； （3）在乙达到山顶前，登山时间为________分钟时，甲、乙两人距地面的高度差为70米． 【答案】（1）， （2） （3），， 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用以及解一元一次方程，解题的关键是列出函数关系式与方程； （1）根据速度高度时间即可算出甲登山上升的速度；根据高度速度时间即可算出乙在地时距地面的高度的值； （2）分和两种情况，根据高度初始高度速度时间即可得出关于的函数关系； （3）当乙未到终点时，找出甲登山全程中关于的函数关系式，令二者做差等于即可得出关于的一元一次方程，解之即可求出值；当乙到达终点时，用终点的高度甲登山全程中关于的函数关系式，即可得出关于的一元一次方程，解之可求出值．综上即可得出结论． 【小问1详解】 解：(米分钟)， ． 故答案为：；． 【小问2详解】 当时，； 当时，． 当时，． 乙登山全程中，距地面的高度(米)与登山时间(分)之间的函数关系式为． 【小问3详解】 甲登山全程中，距地面的高度(米)与登山时间(分)之间的函数关系式为)． 当时，解得：； 当时，解得：； 当时，解得：． 答：登山分钟、分钟或分钟时，甲、乙两人距地面的高度差为米． 21. 材料阅读，中位线是一个数学术语，是平面几何内的三角形任意两边中点的连线或梯形两腰中点的连线．而在三角形中，它的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．例：如图1，在中，若、分别是、的中点，则为的中位线，并且，．请根据材料，完成以下问题： （1）如图，在中，，且、、分别是边、、的中点，分别连接、、．证明四边形是菱形． （2）如图，已知正方形，点是射线上一动点（不与、重合）．连接并延长交直线于点，交于，连接，过点作交于点． ①若点在边上，如图，猜想的形状并说明理由． ②取中点，连接，若，正方形边长为，求的长． 【答案】（1）答案见解析 （2）①是等腰三角形，理由见解析；②的长为或 【解析】 【分析】（1）用三角形的中位线定理解决问题即可； （2）①根据定理证明，即可得到，根据得到，所以，即可得到是等腰三角形；②分两种情况解决问题：①点在线段上时，连接，可得出，从而得到，由勾股定理求出，所以；②当点在线段的延长线上时，连接，此时． 【小问1详解】 证明：分别是的中点， ，， ， ， 四边形是菱形； 【小问2详解】 ①结论：是等腰三角形， 理由：四边形是正方形， ， 在和中， ，，， ， ， ， ， ， ，， ， ， 是等腰三角形； ②如图当点在线段上时，连接， ，，， ， ， ，， ， 在中， ， ． ②如图，当点在线段的延长线上时，连接， 用法可证是的中位线， ， 在中， ， ， 综上所述，的长为或． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、三角形的中位线定理、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 七、解答题（每题12分） 22. 如图，矩形的顶点A、C分别在y、x轴的正半轴上，点B的坐标为，一次函数的图象与边、分别交于点D、E，并且满足，点P是线段上的一个动点． （1）求一次函数的解析式； （2）若点P在平分线上，求点P的坐标； （3）连接，若把四边形面积分成两部分，求点P的坐标； （4）设点Q是x轴上方平面内的一点，以O，D，P，Q为顶点的四边形为菱形时，直接写出点Q的坐标． 【答案】（1）； （2） （3）或； （4）点Q的坐标为或． 【解析】 【分析】（1）先令，即可求得，然后利用求出E的坐标，代入一次函数解析式求得m的值即可求解； （2）过点P作轴于点M，轴于点N，连接，直线交x轴于点H，先证明矩形是正方形，即有，再根据，即可作答； （3）先求得四边形的面积，然后分两种情况求解即可； （4）分四边形是菱形和四边形是菱形两种情况求解即可． 【小问1详解】 对于，令，解得， 则D的坐标是，， ∵点B的坐标为， ∴，， ∴， ∵， ∴，则E的坐标是， 把E的坐标代入得， 解得， ∴； 【小问2详解】 过点P作轴于点M，轴于点N，连接，直线交x轴于点H，如图， ∵点P在平分线上， ∴， ∵轴，轴，， ∴四边形是矩形， ∴平分，轴，轴， ∴， ∴矩形是正方形， ∴， 当时，， 解得：， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 设， ， 当时， 则， ∴， ∴， ∴， ∴， 当时， 则， ∴， ∴， ∴， ∴， 综上可知，点P的坐标为： 或； 【小问4详解】 当四边形是菱形时，如图1， ∵四边形是菱形， ∴，，， ∵， ∴， ∵P的纵坐标是3，把代入， 得， 解得：， 则P的坐标是， ∴Q的坐标是； 当四边形菱形时，如图2 ∵四边形是菱形， ∴，， 设P的横坐标是n，则纵坐标是， 则， 解得：或0（舍去）， 则P的坐标是 ∴Q的横坐标是，Q的纵坐标是， ∴Q的坐标是， 综上，点Q的坐标为或． 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，矩形的性质，正方形的判定与性质，坐标与图形的性质，菱形的性质，以及勾股定理等知识，正确根据菱形的性质求得Q的坐标是解决本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $