3.1 函数的概念及其表示课件-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

2.1函数的概念及其表示 第二章 函数 课时1 函数的概念及其表示 新知生成 知识点一 函数的概念 1.函数的概念 (1)函数的概念：一般地，设𝐴，𝐵是非空实数集，如果对于集合𝐴 中的任意一个数𝑥，按照某种确定的对应关系𝑓，在集合𝐵中都有唯一确定的数𝑦 和它对应，那么就称 𝑓：𝐴→𝐵为从集合𝐴到集合𝐵的一个函数，记作𝑦=𝑓(𝑥)，𝑥∈𝐴.其中，𝑥 叫做自变量，𝑥的取值范围𝐴叫做函数的定义域；与𝑥的值相对应的𝑦 值叫做函数值，函数值的集合{𝑓(𝑥)|𝑥∈𝐴}叫做函数的值域.值域是集合𝐵 的子集. 2 新知生成 知识点一 函数的概念 1.函数的概念 (2) 函数的三要素：________，__________，______. (3)两个函数相等：如果两个函数的________相同，并且__________完全一致， 则称这两个函数相等(或称它们是同一个函数). 定义域 对应关系 值域 定义域 对应关系 3 函数 定义 图象 绝对值函数 “双勾”函数 符号函数 新知生成 知识点二 几个重要函数 4 函数 定义 图象 最值函数 𝑀(𝑥)=max{𝑓(𝑥),𝑔(𝑥)},𝑚(𝑥)=min{𝑓(𝑥) , 𝑔(𝑥)},其中𝑀(𝑥),𝑚(𝑥)分别表示𝑓(𝑥),𝑔(𝑥) 中的最大者、最小者 以,为例 取整函数 𝑦=[𝑥],其中[𝑥]表示不超过𝑥 的最大整数 新知生成 知识点二 几个重要函数 5 自主评价 1.判断下列命题是否正确，正确的在括号内画“√”,错误的画“×”. (1) 若，，，其对应是从𝐴到𝐵 的函数.( ) (2)若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数相等.( ) (3) 已知，则 .( ) (4)函数𝑓(𝑥)的图象与直线𝑥=0 最多有一个交点.( ) (5)分段函数是两个或两个以上函数.( ) × × × √ × 6 自主评价 2.已知函数𝑓(𝑥+1)=2𝑥−1,𝑥>1 ，则 ( ) A.𝑓(𝑥)=2𝑥+1,𝑥>1 B.𝑓(𝑥)=2𝑥+1,𝑥>2 C.𝑓(𝑥)=2𝑥−3,𝑥>1 D.𝑓(𝑥)=2𝑥−3,𝑥>2 3. 已知，函数若 ，则 ( ) A.−3 B.0 C.1 D.2 4. 函数的定义域是_______________． D D 7 一、函数的概念 例题1 (多选题)设集合𝑃={𝑥|0≤𝑥≤4},𝑄={𝑦|0≤𝑦≤4}，则下列图象能表示从𝑃 到𝑄 的函数关系的是( ) A. B. C. D. 【解析】对于A，定义域不为𝑃 ，故A错误. 对于C，直线𝑥=2 与图象有两个交点，不符合函数的定义，故C错误. 易知B，D正确.故选BD . BD 8 反思感悟 方法总结 ①根据函数的定义，直线𝑥=𝑎(𝑎是常数）与函数𝑦=𝑓(𝑥) 的图象至多有1个交点. ②同一函数要求定义域和对应关系都相同. 9 新知运用 变式1 下列函数为同一函数的是( ) A.与 B.与 C.与 D.与 【解析】对于A，两个函数的定义域不同，不是同一函数. 对于B，𝑓(𝑥)的定义域为[0,+∞),𝑔(𝑥)的定义域为(−∞,−1]∪[0,+∞) .两个函数的定义 域不同，不是同一函数. 对于C，两个函数的定义域相同，对应关系也相同，是同一函数. 对于D，两个函数的定义域不同，不是同一函数.故选C. C 10 二、 函数的定义域 例2 函数的定义域为( ) A. B. C. D. 变式1 函数的定义域是( ) A.(0,1)∪(1,4] B.(0,4] C.(0,1) D.(0,1)∪[4,+∞) 变式2 已知函数的定义域为，则实数的取值范围为( ) A.(0,1] B.[0,1] C.(1,+∞) D.[1,+∞) 【解析】 由题意，得解得.所以的定义域为 .故选A. A A B 11 三、抽象函数的定义域 例3 已知函数𝑦=𝑓(𝑥)的定义域为[−1,4]，则 的定义域为_____. 变式3. 已知函数的定义域是，则函数的定义域是( ) A.(−2,5] B.(−2,3] C.[−1,3] D.[−2,5] 【解析】 例3：由题意，得解得故填, . 变3：当,，所以的定义域为.又 ,所 以 .故选A. , A 12 四、函数的解析式 例4 (1)已知𝑓(𝑥)是一次函数,且3𝑓(𝑥+1)−2𝑓(𝑥−1)=2𝑥+17，则𝑓(𝑥)= _______. (2) 已知，则𝑓(𝑥) 的解析式为_________________________. (3) 设函数，则. 【解析】 (1) 因为是一次函数，所以可设 .所以 ,即 . 所以解得 所以.故填 . (2) 令,，则 .所以 .所以, .故填 , .(3) 由已知，得，联立消去 ，得.所以 .故选B. , 13 反思感悟 方法总结 函数解析式的求法如下. ①待定系数法.已知函数的类型（如一次函数、二次函数等），可用待定系数法. ②换元法.已知复合函数𝑓(𝑔(𝑥)) 的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围. ③配凑法.由已知条件𝑓(𝑔(𝑥))=𝐹(𝑥)，可将𝐹(𝑥) 改写成关于𝑔(𝑥)的表达式，然后以𝑥替代𝑔(𝑥)，便得𝑓(𝑥) 的解析式. ④消去法（即函数方程法）.已知𝑓(𝑥) 与或𝑓(−𝑥) 之间的关系式，可根据已知条件再构造另一个等式，两个等式组成方程组，通过解方程组求出𝑓(𝑥) . 14 四、函数的解析式 变式4 (1)已知一次函数𝑓(𝑥)满足𝑓(𝑓(𝑥))=4𝑥−1，则𝑓(𝑥)= _ ________________. (2) 已知，则 _______. (3) 若函数满足，则的解析式为__________． 【解析】 (1) 设，则.所以 所以或故或.故填或 . (2) ，所以故填 . (3) 由题意，令，得 . 令，得，则.故填 ． 或 15 五、分段函数 例5 (1)已知函数则 ( ) A. B.0 C. D. (2) 设函数则当时，使得成立的的取值范 围是________；当𝑔(𝑥)=1时，使得𝑓(𝑥+1)>𝑓(2𝑥)成立的𝑥 的取值范围是______. (3) 已知函数的值域为，则的最小值为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 D 16 反思感悟 方法总结 ①解决分段函数相关问题，关键是抓住“分段问题、分段解决”的核心思想，结合函数的单调性及参数的特点分区间讨论，最后将结果合并起来. ②已知分段函数 的值域或最值求参数范围的问题，可先求函数在各区间的值域或最值，再结合已知条件建立不等式（组）求解.必要时，可先分析函数的性质，再画图求解. ③求分段函数的值域或最值，常分类讨论，或者利用图象求解. 17 五、分段函数 变式5 (1) 已知函数若，则实数的取值范 围是_______. (2) 已知的值域为，那么实数𝑎 的取值范围是( ) A. B.， C.， D.， (3)函数𝑦=|𝑥+1|+|𝑥−2| 的值域为________. 【解析】 (1) 由题意，得 作出函数的图象如图所示. 由图象，知原函数的值域为[3,+∞) .故填[3,+∞) . C 18 新知生成 知识点二 函数的值域 求函数值域的常用方法如下. 1.直接法.对于简单函数的值域问题，可通过基本初等函数的图象与性质直接求解. 2.分离常数法.该法主要针对形如 的函数. 3.配方法.该法主要针对形如 或 的函数. 4.基本不等式法.该法主要针对形如 的函数. 5.单调性法.确定函数在定义域上的单调性，根据函数的单调性求出函数的值域. 19 新知生成 知识点二 函数的值域 求函数值域的常用方法如下. 6.换元法.该法主要针对形如或,,,均为常数， ,（可用“”换元）或的函数可用“ ”或“”换元 . 7.数形结合法.将数量关系问题转化为图形的性质问题，结合图形的性质求最值. 8.判别式法.该法主要针对形如 或 的函数. 9.导数法.此法在后面的章节学习. 20 六、求已知函数的值域 例6 求下列函数的值域： (1) ； (2) ; (3) ； (4) . 【解析】 (3) 因为恒成立，所以函数的定义域为 . 由，得 . 当，即时，上式化为，所以 . 当，即时，因为关于的方程恒有实 根，所以.解得，且 . 所以函数的值域为[1,5] . (4) 表示单位圆上的点与点 连线的斜率的范围. 如图，设过点的直线方程为 ，即，则圆心到直线的距离 .解得. 所以函数的值域为[0，4/3] . 21 反思感悟 方法总结 求函数的值域常需观察函数的结构特征，利用 (1)分离常数法 (2)配方法 (3)基本不等式法 (4)单调性法 (5)换元法等方法求解，有时也会根据几何意义，利用数形结合法求解. 22 六、求已知函数的值域 变式6 求下列函数的值域： (1) ； (2) ； (3) ； (4) . 【解析】 (2) 设,则其中 , . 因为 ,所以 . 所以 . 又,所以.故函数的值域为 . 23 七、已知函数的值域求参数的取值范围 例7 已知函数若的值域为 ,则实数𝑎 的取值范围是( ) A.(−∞,0] B.[0,1] C.[0,+∞) D.(−∞,1] 【解析】 当时， . 当时， . 若的值域为，则.函数和的图象 如图所示.由图，知0≤𝑎≤1 .故选B. B 24 七、已知函数的值域求参数的取值范围 变式7 已知函数的值域为，则实数𝑎 的取值范围为_____. 【解析】当时， . 当且时， . 因为 ，所以不满足题意. 当且时， .由“双勾”函数的单调性，可知在上单调递增，在上单调递减， 所以 .此时 . 若要满足𝑓(𝑥)的值域为𝐑，则需.解得 . 当且时，在 上单调递增. 又当时， ，且当 时， ，所以 .此时显然能满足𝑓(𝑥)的值域为𝐑 . 综上，𝑎的取值范围是(−∞,0)∪[1,+∞) . 故填(−∞,0)∪[1,+∞) . 25 课堂小结 1.知识清单： (1)函数的概念； (2)函数的值域. 26 $$