高一下学期数学期末押题卷（一）-2024-2025学年高一数学下学期《考点•题型•密卷》期末精讲精练讲义《人教A版2019必修第二册）》

2025年高一下学期数学期末押题卷（一） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 1、 单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已如复数，则的实部是（    ） A． B．2 C．3 D．5 2．下列说法正确的是（    ） A．棱柱中两个互相平行的平面一定是棱柱的底面 B．棱柱的侧面都是全等的平行四边形 C．有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱 D．用一个平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间的部分是棱台 3．已知向量，，则在方向上的投影向量为（     ） A． B． C． D． 4．已知某种设备在一年内需要维修的概率为0.2.用计算器产生1~5之间的随机数，当出现随机数1时，表示一年内需要维修，其概率为0.2，由于有3台设备，所以每3个随机数为一组，代表3台设备年内需要维修的情况，现产生20组随机数如下： 412  451  312  533  224  344  151  254  424  142 435  414  335  132  123  233  314  232  353  442 据此估计一年内这3台设备都不需要维修的概率为（    ） A．0.4 B．0.45 C．0.55 D．0.6 5．如图，在中，，P是线段BD上一点，若，则实数m的值为（    ） A． B． C．2 D． 6．已知为两条不同直线，，为两个不同平面，则下列说法正确的是（    ） A．若直线与平面所成角相等，则 B．若平面上有三个不同点到平面的距离相等，则 C．若上有两个不同点到平面的距离相等，则 D．若，且直线异面，则 7．抛掷两枚质地均匀的硬币，记事件“第一枚硬币正面朝上”，事件“第二枚硬币反面朝上”，事件“两枚硬币都正面朝上”，事件“至少一枚硬币反面朝上”则（    ） A．与独立 B．与互斥 C． D． 8．如图，已知四棱锥，底面ABCD是边长为2的正方形，侧棱长相等且为4，E为CD的中点，则异面直线CM与AE所成的角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．下列结论正确的是（    ） A．当时，复数是纯虚数 B．复数对应的点在第一象限 C．复数z及其共轭复数满足，则 D．复数与分分别对应向量 与 则向量 表示的复数为 10．记的内角的对边分别为，若，则（    ） A． B． C． D．外接圆的面积为 11．如图，已知圆锥MO，AB是底面圆的直径，点C为圆周上的一个动点，圆锥的高与底面半径都等于8，则下列说法正确的是（    ）    A．圆锥的母线长为 B．圆锥的母线与底面所成的角的余弦值为 C．当三棱锥的体积最大时， D．若，则异面直线MB与AC所成的角的正弦值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．从某小区抽取100户层民用户进行月用电量调查，发现他们的月用电量都在之间，进行适当分组后（每组为左用右开的区间），画出频率分布直方图如图所示，在被调查的用户中，月用电量落在区间内的户数为 ． 13．设A、B、C为三个随机事件，其中A与B是互斥事件，B与C互为对立事件，，，则 . 14．已知一个圆台的上、下底面直径分别为2、8，母线长为6，则在圆台内部放置半径最大的球的表面积为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．的内角，，的对边分别为，，，已知，，. (1)求角的大小； (2)求的面积. 16．流行性感冒多由病毒引起，据调查，空气相对湿度过大或过小时，都有利于一些病毒的繁殖和传播.科学测定，当空气相对湿度大于65%或小于40%时，病毒繁殖滋生较快，当空气相对湿度在45%~55%时，病毒死亡较快.现随机抽取了全国部分城市，获得了它们的空气月平均相对湿度共300个数据，整理得到数据分组及频数分布表，其中为了记录方便，将空气相对湿度在a%~b%时记为区间. 组号 1 2 3 4 5 6 7 8 分组 频数 2 3 15 30 30 75 120 5 (1)求上述数据中空气相对湿度使病毒死亡较快的频率； (2)从区间的数据中任取两个数据，求两个数据都位于内的概率. 17．如图，在三棱锥中，平面分别为棱PC，PB的中点. (1)求证：平面平面； (2)若，求二面角的大小. 18．2024年5月底，各省教育厅陆续召开了2024年高中数学联赛的相关工作，某市经过初次选拔后有小明，小王，小红三名同学成功进入决赛，在决赛环节中三名同学同时解答一道有关组合数论的试题．已知小明成功解出这道题的概率是，小明，小红两名同学都解答错误的概率是，小王、小红两名同学都成功解出的概率是，这三名同学解答是否正确相互独立. (1)分别求出小王，小红两名同学成功解出这道题的概率； (2)求三人中至少有两人成功解出这道题的概率． 19．如图，在平面五边形中，，，，，的面积为.现将五边形沿向内进行翻折，得到四棱锥. (1)求线段的长度； (2)求四棱锥的体积的最大值； (3)当二面角的大小为时，求直线与平面所成的角的正切值. 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年高一下学期数学期末押题卷（一） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 1、 单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已如复数，则的实部是（    ） A． B．2 C．3 D．5 【答案】A 【分析】根据复数代数形式的除法运算化简复数，即可判断. 【详解】因为， 所以的实部是. 故选：A 2．下列说法正确的是（    ） A．棱柱中两个互相平行的平面一定是棱柱的底面 B．棱柱的侧面都是全等的平行四边形 C．有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱 D．用一个平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间的部分是棱台 【答案】C 【分析】利用棱柱的定义判断ABC；利用棱台的定义判断D. 【详解】对于A，正六棱柱正对的两个侧面平行，但它们不是正六棱柱的底面，A错误； 对于B，底面邻边不等的长方体的相邻两个侧面不全等，B错误； 对于C，由棱柱的定义知，C正确； 对于D，当截面与棱锥的底面不平行时，棱锥底面与截面之间的部分不是棱台，D错误. 故选：C 3．已知向量，，则在方向上的投影向量为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用向量在向量上的投影向量的定义求解. 【详解】因为平面向量，，则， 所以向量在方向上的投影向量的坐标为： ， 故选：D. 4．已知某种设备在一年内需要维修的概率为0.2.用计算器产生1~5之间的随机数，当出现随机数1时，表示一年内需要维修，其概率为0.2，由于有3台设备，所以每3个随机数为一组，代表3台设备年内需要维修的情况，现产生20组随机数如下： 412  451  312  533  224  344  151  254  424  142 435  414  335  132  123  233  314  232  353  442 据此估计一年内这3台设备都不需要维修的概率为（    ） A．0.4 B．0.45 C．0.55 D．0.6 【答案】C 【分析】找出代表事件“一年内没有1台设备需要维修”的数组，利用古典概型的概率公式可求得结果. 【详解】由题意可知，代表事件“一年没有1台设备需要维修”的数组有： 533  224  344  254  424  435   335   233  232  353  442共11组， 因此，所求概率为. 故选：C. 5．如图，在中，，P是线段BD上一点，若，则实数m的值为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【分析】根据向量线性运算得，再利用三点共线的结论即可得到值. 【详解】根据题意，得， 又， 因为B，P，D三点共线，所以，即. 故选：A. 6．已知为两条不同直线，，为两个不同平面，则下列说法正确的是（    ） A．若直线与平面所成角相等，则 B．若平面上有三个不同点到平面的距离相等，则 C．若上有两个不同点到平面的距离相等，则 D．若，且直线异面，则 【答案】D 【分析】根据空间中直线与平面以及平面与平面的位置关系逐一判断即可． 【详解】 对于A,比如在正方体中，直线与平面所成角均为， 但相交，A错误； 对于B，直线上的点到平面的距离相等， 故平面上有三个不同点到平面的距离相等， 但平面与平面相交，B错误； 对于C，点到平面的距离相等，但直线与平面相交，故C错误； 对于D，若，，故过可作一平面，使得，则， 由于，异面，，所以，相交，否则，进而可得， 这与，异面矛盾，所以，相交，结合，，，， 所以则，D正确． 故选：D． 7．抛掷两枚质地均匀的硬币，记事件“第一枚硬币正面朝上”，事件“第二枚硬币反面朝上”，事件“两枚硬币都正面朝上”，事件“至少一枚硬币反面朝上”则（    ） A．与独立 B．与互斥 C． D． 【答案】D 【分析】写出样本空间及事件，再结合相互独立事件、互斥事件判断AB；利用古典概率公式计算判断CD. 【详解】样本空间{(正,正),(正,反),(反,正),(反,反)}，事件{(正,正),(正,反)}， 事件{(正,反),(反,反)}，事件{(正,正)}，事件{(正,反),(反,正),(反,反)}， 对于A，，而，，与不独立，A错误； 对于B，事件可以同时发生，与不互斥，B错误； 对于C，，C错误； 对于D，{(正,正),(正,反),(反,反)}，，D正确. 故选：D 8．如图，已知四棱锥，底面ABCD是边长为2的正方形，侧棱长相等且为4，E为CD的中点，则异面直线CM与AE所成的角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】取有中点，利用几何法，结合余弦定理求出异面直线夹角的余弦. 【详解】取的中点，连接，由E为CD的中点，得，， 则是异面直线CM与AE所成的角或其补角， 正方形中，，在中，， ，， 于是， 所以异面直线CM与AE所成的角的余弦值为. 故选：D 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．下列结论正确的是（    ） A．当时，复数是纯虚数 B．复数对应的点在第一象限 C．复数z及其共轭复数满足，则 D．复数与分分别对应向量 与 则向量 表示的复数为 【答案】ACD 【分析】根据纯虚数的定义即可判定A，根据复数乘法化简即可得对应的点求解B，根据待定系数法求解复数，即可判定C，根据复数的几何意义，结合向量的减法运算即可求解D. 【详解】对于A，当时，为纯虚数，故A正确； 对于B，，对应的点位于实轴上，故B错误； 对于C，设，，，则，由得 ，即，解得， 故，故C正确； 对于D，复数与分别对应向量与， 则向量表示的复数为，故D正确． 故选：ACD． 10．记的内角的对边分别为，若，则（    ） A． B． C． D．外接圆的面积为 【答案】AC 【分析】对于A，运用余弦定理求解即可；对于B,C,D借助正弦定理求解即可. 【详解】对于A，由，得，解得或（舍去），故A正确. 对于B、C，因为，所以，解得，故B错误，C正确. 对于D，设外接圆的半径为，因为，所以外接圆的面积为，故D错误. 故选：AC. 11．如图，已知圆锥MO，AB是底面圆的直径，点C为圆周上的一个动点，圆锥的高与底面半径都等于8，则下列说法正确的是（    ）    A．圆锥的母线长为 B．圆锥的母线与底面所成的角的余弦值为 C．当三棱锥的体积最大时， D．若，则异面直线MB与AC所成的角的正弦值为 【答案】ACD 【分析】根据给定条件，利用圆锥的结构特征，结合线面角、异面直线的夹角求解. 【详解】对于A，圆锥的母线长为，A正确； 对于B，平面，则母线与底面所成的角等于，，B错误； 对于C，平面平面，且交线为，则点在平面上的射影在线段上， 当是弧中点，即时，点到平面的距离最大，而面积为定值， 此时三棱锥的体积最大，反之亦然，C正确； 对于D，当时，，连接并延长交圆于，连接，， 有，则，是异面直线与所成角或其补角， ，，，，D正确. 故选：ACD    三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．从某小区抽取100户层民用户进行月用电量调查，发现他们的月用电量都在之间，进行适当分组后（每组为左用右开的区间），画出频率分布直方图如图所示，在被调查的用户中，月用电量落在区间内的户数为 ． 【答案】 【分析】首先求出参数的值，再求出月用电量落在区间的频率，即可得解. 【详解】由频率分布直方图可得，解得， 所以月用电量落在区间的频率为， 所以在被调查的用户中，月用电量落在区间内的户数为. 故答案为： 13．设A、B、C为三个随机事件，其中A与B是互斥事件，B与C互为对立事件，，，则 . 【答案】 【分析】先利用对立事件的概率公式求得的值，再利用互斥事件的概率公式即可求得的值. 【详解】由与是对立事件，可得 由与是互斥事件，可得 . 故答案为： 14．已知一个圆台的上、下底面直径分别为2、8，母线长为6，则在圆台内部放置半径最大的球的表面积为 . 【答案】 【分析】把圆台还原成圆锥，求出圆锥轴截面等腰三角形的边长及内切圆半径，圆台轴截面等腰梯形的高，并确定圆台内放置的最大球半径即可求解. 【详解】圆台轴截面等腰梯形的两腰延长线交于点， 等腰即为圆台母线延长线交点为顶点，圆台下底面为底的圆锥的轴截面， 由，而，解得，则，即为正三角形， 正的高为，正的高为，因此等腰梯形的高为， 正的内切圆半径，显然， 因此等腰梯形内的最大圆为正的内切圆， 此圆即为圆台内部放置的半径最大的球被平面所截的大圆， 则在圆台内部放置半径最大的球的半径为，表面积为. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：涉及与旋转体有关的组合体，作出轴截面，借助平面几何知识解题是解决问题的关键. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．的内角，，的对边分别为，，，已知，，. (1)求角的大小； (2)求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）运用正弦定理，加上三角恒等变换解题即可； （2）运用正余弦定理和面积公式可解. 【详解】（1），由正弦定理，， ，整理得 ，，. （2），则 ,即（∗） 由正弦定理，知道，，，两式比， 得到，即，与（∗）联立，得到， 即，解得， 则的面积为. 16．流行性感冒多由病毒引起，据调查，空气相对湿度过大或过小时，都有利于一些病毒的繁殖和传播.科学测定，当空气相对湿度大于65%或小于40%时，病毒繁殖滋生较快，当空气相对湿度在45%~55%时，病毒死亡较快.现随机抽取了全国部分城市，获得了它们的空气月平均相对湿度共300个数据，整理得到数据分组及频数分布表，其中为了记录方便，将空气相对湿度在a%~b%时记为区间. 组号 1 2 3 4 5 6 7 8 分组 频数 2 3 15 30 30 75 120 5 (1)求上述数据中空气相对湿度使病毒死亡较快的频率； (2)从区间的数据中任取两个数据，求两个数据都位于内的概率. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用样本在上的频数除以可得所求频率； （2）设区间中的两个数据为、，区间中的三个数据为、、，列举出所有的基本事件，并确定所求事件所包含的基本事件，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率； 【详解】（1）由已知，当空气相对湿度在时，病毒死亡较快， 而样本在上的频数为，所以所求频率为； （2）设事件为“从区间的数据中任取两个数据，两个数据都位于内”， 设区间中的两个数据为、，区间中的三个数据为、、， 因此，从区间的数据中任取两个数据， 包含、、、、、、、 、、，共个样本点， 而事件包含，，，共个样本点，所以. 17．如图，在三棱锥中，平面分别为棱PC，PB的中点. (1)求证：平面平面； (2)若，求二面角的大小. 【答案】(1)证明见详解 (2) 【分析】（1）由平面，可得，在中，，由正弦定理可得，则得平面，再由，即可证得平面平面； （2）取中点，连接，可得平面，得即为二面角的平面角，再由棱长关系即可求得，进而得到二面角的大小. 【详解】（1）平面，平面， ， 在中，， 由正弦定理，则， ，又，平面， 平面，又分别为棱PC，PB的中点， ，则平面，又平面， 所以平面平面. （2） 如图，取中点，连接， 又为PB的中点， ，， 由平面， 平面， 又平面，， 由（1）知， ， 平面，， 平面，又平面， ， 则即为二面角的平面角， 设，则，， ， 所以在直角三角形中， ，， 即二面角的大小为. 18．2024年5月底，各省教育厅陆续召开了2024年高中数学联赛的相关工作，某市经过初次选拔后有小明，小王，小红三名同学成功进入决赛，在决赛环节中三名同学同时解答一道有关组合数论的试题．已知小明成功解出这道题的概率是，小明，小红两名同学都解答错误的概率是，小王、小红两名同学都成功解出的概率是，这三名同学解答是否正确相互独立. (1)分别求出小王，小红两名同学成功解出这道题的概率； (2)求三人中至少有两人成功解出这道题的概率． 【答案】(1)小王、小红解出概率分别为， (2) 【分析】（1）借助对立事件的性质及相互独立事件乘法公式计算即可得； （2）借助相互独立事件乘法公式计算即可得. 【详解】（1）设小明、小王、小红成功解出该道题分别为事件A，B，C， 根据题意，则有，则， 又，所以，即， 又，则． 即小王、小红成功解出这道题的概率分别为，； （2）设三人中至少有两人成功解出这道题为事件D， 则有 ， 所以三人中至少有两人成功解出这道题的概率为． 19．如图，在平面五边形中，，，，，的面积为.现将五边形沿向内进行翻折，得到四棱锥. (1)求线段的长度； (2)求四棱锥的体积的最大值； (3)当二面角的大小为时，求直线与平面所成的角的正切值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）延长相交于点，由余弦定理可得答案； （2）求出四边形的面积为定值，要向折叠后得到的四棱锥体积最大，则要四棱锥的高最大，即平面平面时，此时四棱锥的高即为边上的高，求出高可得答案； （3）做交于点，得点为的中点，，设翻折前点为，做，利用线面垂直的判定定理得平面，为直线与平面所成的角，求出边长可得答案. 【详解】（1）如图， 延长相交于点， 因为，所以， 所以是边长为1的等边三角形，， 所以，， 由余弦定理得， 即，即， 所以； （2） 延长相交于点，是边长为1的等边三角形， 由（1），得，， 所以， ， 故四边形的面积为 要向折叠后得到的四棱锥体积最大，则要四棱锥的高最大， 故使平面平面，此时四棱锥的高即为边上的高， 因为的面积为，设边上的高为， 则，解得， 故四棱锥的体积的最大值为； （3）作交于点，由，所以， 可得，所以点为的中点， 取的中点，连接， 则，可得，所以， 设翻折前点为，连接，则，，， 作交于点，连接， 因为，，，平面， 所以平面，平面，所以， 因为，平面，所以平面， 所以为直线与平面所成的角， 由于，，所以， 因为分别为的中点，所以，， ， 由余弦定理得 ，， 所以. 【点睛】关键点点睛：第三问解题的关键点是利用线面垂直的判定定理得到平面，得出为直线与平面所成的角. 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $$