期末高分必刷题88道（基础类）-2024-2025学年高一数学下学期《考点•题型•密卷》期末精讲精练讲义《人教A版2019必修第二册）》

期末高分必刷题88道（基础类） 一、单选题 1．（24-25高一上·辽宁丹东·期末）已知向量，，若，则（   ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【分析】根据平面向量平行的结论求参数. 【详解】因为，所以. 故选：A 2．（24-25高一上·湖南邵阳·期末）已知复数（i为虚数单位），则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由复数的四则运算，模的计算公式即可求解. 【详解】因为，所以. 故选：D. 3．（23-24高一下·吉林通化·期末）设是两个平面，是两条直线，则的一个充分条件是（ ） A． B． C．与相交 D． 【答案】D 【分析】通过举反例可判定ABC，利用线面垂直的判定定理及面面平行的判定定理可判定D. 【详解】对于A：当满足时，可能相交， 如图：用四边形代表平面，用四边形代表平面，故A错误； 对于B：当满足时，可能相交， 如图：用四边形代表平面，用四边形代表平面，故B错误； 对于C：当满足与相交时，可能相交， 如图：用四边形代表平面，用四边形代表平面，故C错误； 对于D:  因为，又，所以， 故是的一个充分条件，故D正确； 故选：D 4．（23-24高一下·吉林白山·期末）如图，在梯形中，在线段上，.若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，根据平面向量的线性运算可得，结合平面向量基本定理可得，即可得结果. 【详解】由题意可设， 则， 又因为，且，不共线， 可得，解得，即， 所以，即. 故选：D. 5．（23-24高一下·江苏常州·期末）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则（   ） A．2 B． C．3 D． 【答案】A 【分析】利用同角的三角函数的基本关系可求得，利用正弦定理可求解. 【详解】由，可得，又， 所以，解得， 又因为，，所以，所以， 由正弦定理可得，所以，解得. 故选：A. 6．（23-24高一下·天津西青·期末）已知向量，设与的夹角为，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】直接利用投影向量的计算公式进行计算即可. 【详解】由题意知，在上的投影向量为： . 故选：C. 7．（23-24高一下·江苏常州·期末）已知复数z满足，其中i为虚数单位，则（   ） A．2 B． C． D．5 【答案】B 【分析】借助复数运算法则计算后结合模长定义即可得. 【详解】，故. 故选：B. 8．（23-24高一下·安徽马鞍山·期末）已知复数z满足（i为虚数单位），则z的共轭复数在复平面上对应的点位于（    ）. A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【分析】根据复数的除法求出复数z，可得，根据复数的几何意义可得答案. 【详解】由，得，则， 故复数在复平面上对应的点位于第一象限， 故选：A 9．（23-24高一下·辽宁·阶段练习）复数（其中为虚数单位），则在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】根据复数代数形式的除法运算化简，再根据复数的几何意义判断即可. 【详解】因为， 所以在复平面内对应的点为，位于第四象限. 故选：D. 10．（24-25高一上·辽宁锦州·期末）《数术记遗》记述了积算（即筹算）、珠算、计数等共14种算法.某研究学习小组共10人，他们搜集整理这14种算法的相关资料所花费的时间（单位：min）分别为68，58，38，41，47，63，82，48，32，31，则这组数据的（   ） A．众数仅是31 B．分位数是 C．极差是38 D．中位数是44 【答案】B 【分析】由众数、百分位数、极差、中位数的定义即可得出答案. 【详解】由题知，每个数出现的次数都是一次，A错误； 将这10个数据从小到大排列为31，32，38，41，47，48，58，63，68，82； 易知为整数，所以分位数是第1个数与第2个数的平均值， 即为，B正确； 极差为，C错误； 中位数为第5个数和第6个数的平均数，即，D错误. 故选：B. 11．（23-24高一下·江苏常州·期末）某高中三个年级共有学生2000人，其中高一800人，高二600人，高三600人，该校为了解学生睡眠情况，准备从全校学生中抽取80人进行访谈，若采取按比例分配的分层抽样，且按年级来分层，则高一年级应抽取的人数是（   ） A．24 B．26 C．30 D．32 【答案】D 【分析】按照分层抽样计数规则计算可得. 【详解】依题意高一年级应抽取的人数为人. 故选：D. 12．（24-25高二上·河北邢台·开学考试）已知数据，，，…，，满足：（），若去掉，后组成一组新数据，则新数据与原数据相比，下列说法错误的是（    ） A．中位数不变 B．第35百分位数不变 C．平均数不变 D．方差不变 【答案】D 【分析】由中位数，百分位数，平均数和方差的定义，计算后确定结论. 【详解】原来的中位数与现在的中位数均为，故中位数不变，故A选项正确； 原数据中，，第35百分位数是第4个数据， 去掉，后，，第35百分位数是新数据中的第3个， 第35百分位数不变，B选项正确； 原来的平均数为， 去，掉后的平均数为，平均数不变，故C选项正确； 原来的方差为， 去掉后，的方差为， 方差变小，故D选项错误. 故选：D. 13．（2024·云南贵州·二模）甲、乙两人进行网球比赛，连续比赛三局，各局比赛结果相互独立.设乙在第一局获胜的概率为、第二局获胜的概率为，第三局获胜的概率为，则甲恰好连胜两局的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意可得，，，根据互斥事件和独立事件概率求法运算求解. 【详解】设甲第局胜，，2，3，且，，， 所以甲恰好连胜两局的概率 . 故选：B. 14．（24-25高三上·江苏常州·阶段练习）从装有红球､白球和黑球各2个的口袋内一次取出2个球，有如下的一些事件：①两球都不是白球；②两球恰有一个白球；③两球至少有一个白球，其中与事件“两球都为白球”互斥而非对立的事件是（    ） A．③ B．①③ C．②③ D．①② 【答案】D 【分析】根据互斥事件和对立事件的含义分析即可得解. 【详解】从装口袋内一次取出2个球，按照取到白球数量分类有： 两球都不是白球；两球恰有一个白球；两球都是白球. 所以①②与事件“两球都为白球”互斥而不对立， 当“两球都为白球”时，③一定发生，所以③与事件“两球都为白球”不互斥. 故选：D 15．（23-24高一下·吉林·期末）下列说法正确的是（    ） A．同时发生的概率一定比中恰有一个发生的概率小 B．若，则事件与是对立事件 C．当不互斥时，可由公式计算的概率 D．某事件发生的概率是随着实验次数的变化而变化的 【答案】C 【分析】根据概率的性质判判断A，根据对立事件的概率性质判断B，根据概率加法公式判断C，根据概率的性质判判断D. 【详解】对于A，对于两个不可能事件来说，同时发生的概率与恰有一个发生的概率相等，均为零，故A中说法错误； 对于B，在条件下，事件与事件不一定互斥，故事件A与B不一定是对立事件，故B中说法错误； 对于C，根据概率的性质可知，当，不互斥时，，故C中说法正确； 对于D，某事件发生的概率只与该事件本身有关，与实验次数无关，故D中说法错误. 故选：C. 16．（23-24高一下·安徽六安·期末）已知篮球运动员甲、乙的罚球命中率分别为0.9，0.8，且两人罚球是否命中相互独立．若甲、乙各罚球一次，则至少有一人命中的概率为（    ） A．0.26 B．0.28 C．0.72 D．0.98 【答案】D 【分析】利用独立事件的公式求解即可. 【详解】设“篮球运动员甲、乙的罚球命中”分别为事件事件“至少有一人命中”为事件 故选：D. 17．（23-24高一下·天津·期末）甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一球，约定甲先投，先投中者获胜，一直到有人获胜或每人都已投球3次时投篮结束设甲每次投篮投中的概率为，乙每次投篮投中的概率为，且各次投篮互不影响，则甲获胜的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分三种情况，甲第一次即投中，第二次投中，第三次投中，求出相应的概率相加后得到答案. 【详解】甲获胜分为三种情况， 甲第一次即投中，此时概率为， 甲第一次没有投中，第二次投中，乙没有投中， 此时概率为， 甲前两次没有投中，第三次投中，乙两次均未投中， 此时概率为， 故甲获胜的概率为. 故选：C 18．（23-24高一下·西藏日喀则·期末）高考结束后，为了分析该校高三年级1000名学生的高考成绩，从中随机抽取了100名学生的成绩，就这个问题来说，下列说法中正确的是（    ） A．100名学生是个体 B．样本容量是100 C．每名学生的成绩是所抽取的一个样本 D．1000名学生是样本 【答案】B 【分析】根据有关的概念可得总体、个体、样本这三个概念考查的对象都是学生成绩，而不是学生，再结合题中选项即可得到答案． 【详解】根据有关的概念并且结合题意可得总体、个体、样本这三个概念考查的对象都是学生成绩，而不是学生， 根据选项可得选项A、D表达的对象都是学生，而不是成绩，所以A、D都错误． C每名学生的成绩是所抽取的一个样本也是错的，应是每名学生的成绩是一个个体． B：样本的容量是100正确． 故选:B． 19．（23-24高一下·贵州黔西·期末）兴义市峰林布依景区在春节期间，迎来众多游客，其中某天接受了一个小型的旅行团，他们的年龄（单位：岁）如下：6，6，7，8，10，37，39，45，46，52，53，61，则这组数据的第75百分位数是（    ） A．34.5 B．46 C．49 D．52 【答案】C 【分析】根据题意结合百分位数的定义运算求解. 【详解】因为，所以这组数据的第75百分位数是第9位数和第10位数的中位数. 故选：C. 20．（23-24高一下·湖南益阳·期末）根据气象学上的标准，如果连续5天的日平均气温都低于10℃即为入冬.现将连续5天的日平均气温（单位：℃）的记录数据（记录数据都是自然数）作为一组样本，则下列描述中，该组数据一定符合入冬指标的有（    ） A．平均数小于4 B．平均数小于4且极差小于或等于3 C．平均数小于4且标准差小于或等于4 D．众数等于6且极差小于或等于4 【答案】B 【分析】分析每个选项数据是否有可能大于等于，选出符合题意选项. 【详解】对于A，举反例：0，0，0，0，15平均数为3小于4，但不符合入冬标准，故A错误； 对于B，假设有数据大于或等于，由极差小于或等于知， 此组数据最小值为大于或等于7，与平均值小于矛盾，故假设不成立， 即平均数小于4且极差小于或等于3该组数据一定符合入冬指标，故B正确； 对于C，举反例：1，1，1，1，11平均数为3，且标准差为4，但不符合入冬标准，故C错误； 对于D，举反例：，，，，， 满足众数等于且极差小于或等于时，最大数为，不符合入冬标准，故D错误； 故选：B. 21．（23-24高一下·福建·期末）如图，在棱长为4的正方体中，为棱的中点，为棱的中点，设直线与平面交于点，则（  ） A．2 B． C．1 D． 【答案】C 【分析】先作出直线与平面的交点，进而求得的长度. 【详解】在平面中，延长交于P，连接，交于Q， 在中，则 又在中， 则. 故选：C 22．（23-24高一下·云南迪庆·期末）已知圆锥的高为，底面积为，平行于圆锥底面的截面面积为，则截面与底面的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据圆锥中平行底面截面的性质求解. 【详解】设截面与底面的距离为，则，解得. 故选：C 23．（23-24高一下·江西赣州·期末）如图，是水平放置的的直观图，若，轴，轴，则的周长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平面图与直观图的联系，分别判断三角形在两坐标系中的边、角关系，计算即得. 【详解】 根据题意，轴，轴，故， 又，则，， 在平面图直角坐标系中，有， 于是，，，， 所以的周长为. 故选：C. 24．（23-24高一下·重庆·期末）如图，在正三棱柱中，若，，则与所成角的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】取中点，连结、，矩形中利用三角函数的定义，证出，可得．根据面面垂直的性质和线面垂直的判定，在正三棱柱中证出平面，从而得出，即可求解. 【详解】取中点，连接、， 矩形中， ，可得 因此 正三棱柱中，平面平面 平面平面，,平面， 直线平面，平面，可得 ，平面，平面， 平面，因此可得，即与所成角的大小为， 故选：B． 25．（23-24高一下·安徽马鞍山·期末）一个高为的直三棱柱容器内装有水，将侧面水平放置如图（1），水面恰好经过棱，，，的中点，现将底面水平放置如图（2），则容器中水面的高度是（    ）. A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设直三棱柱的底面面积为，在图中，设水面的高度为，根据图和图中水的体积相等可得出关于的等式，即可解得的值. 【详解】记棱，，，的中点依次为， 设直三棱柱的底面面积为， 在图中，设水面的高度为，则水的体积为， 在图中，几何体为直四棱柱， 因为分别为棱，，，的中点，所以， 则水的体积为，解得. 故选：C. 26．（23-24高一下·云南曲靖·期末）如图，已知正三棱柱为的中点，则与所成角的余弦值为（    ）    A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】取的中点，则（或其补角）为异面直线与所成角，解三角形即可求解. 【详解】如图，取的中点，连接、，易知，    所以异面直线与所成角就是直线与直线所成的角，即（或其补角）， 由题意可知正三棱柱的所有棱长都相等， 可设三棱柱的棱长都为，则，，， 因为，所以为直角三角形， 所以 即异面直线与所成角的余弦值为. 故选：. 27．（23-24高一下·贵州贵阳·期末）某广场内设置了一些石凳供大家休息，这些石凳是由正方体截去八个一样的四面体得到的，如图所示，若被截正方体的棱长是，则石凳的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】正方体体积减去截去的八个四面体体积即可. 【详解】截去的四面体体积，正方体体积， 所以石凳的体积为. 故选：C. 二、多选题 28．（23-24高一下·河南南阳·阶段练习）下列关于向量的说法中，正确的是（   ） A．若向量互为相反向量， 则 B．若，则 C．若两个相等向量的起点相同，则它们的终点一定相同 D．若与是共线向量，则A，B，C三点共线 【答案】ACD 【分析】利用相等向量的概念可得A，由零向量与任何向量都共线可得B，利用向量相等的概念可得C，利用共线向量的概念可判断D选项 【详解】因为互为相反向量，则其模长相等，则A正确； 由于零向量与任何向量都共线，所以当为零向量时，不可传递，则B错误； 由于相等向量的长度和方向都相同，所以当两相等向量的起点相同时，终点一定相同，C正确； 由于与是共线向量，则与方向相同或相反，则A，B，C三点共线，则D正确. 故选：ACD 29．（23-24高一下·河北承德·期末）已知，则下列命题正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若三点共线，则 D．若，则∥ 【答案】BCD 【分析】对于A、B，根据垂直向量的数量积为零，建立方程，可得答案；对于C、D，根据平行向量的定理，建立方程组，可得答案. 【详解】对于A，，， 由，则，即，解得，故A错误； 对于B，由，则，， 由，则，故B正确； 对于C、D，，， 由共线，则，即， 可得，解得，故C、D正确； 故选：BCD. 30．（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·期末）下列关于平面向量的说法中错误的是（    ） A．设，为非零向量，若，则 B．设，为非零向量，若，则，的夹角为锐角 C．设，， 为非零向量，则 D．若点为的外心，则 【答案】BCD 【分析】利用向量的运算结合数量积公式即可判断选项ABC，结合向量的线性运算即可判断D. 【详解】对于A，若， 则，可得， 又，为非零向量，所以，A正确； 对于B，若，且，为非零向量， 所以，夹角为锐角或者同向，B错； 对于C，与共线，与共线，C错； 对于D，若点为的重心， 延长交于，可得为中点， 即有， 即有， 而为的外心，与重心性质不符，D错.    故选：BCD 31．（23-24高一下·山东青岛·期末）已知向量，满足，，则下列说法正确的是（    ） A．若则 B．最大值为3 C．若，则 D．若，则向量在向量上的投影向量坐标为 【答案】BD 【分析】对于A,验证数量积是否为0即可判断；对于B，求模先求平方，再开方即可求解；对于C,移项之后在平方求解即可；对于D,在向量上的投影向量为,据此求解即可. 【详解】对于A,因为，所以与不垂直，故A错误； 对于B,因为，所以， 所以 当共线时，有最大值为1，所以，故B正确； 对于C,因为，所以，即， 所以，所以，解得，故C错误； 对于D,因为，所以，即， 所以在向量上的投影向量为，故D正确. 故选：BD. 32．（23-24高一下·甘肃白银·期末）在中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，则（    ） A．若，则 B．若是单位圆的内接三角形，则 C．若，则 D．若，则是锐角三角形 【答案】AC 【分析】选项A利用余弦定理求解即可，选项B利用正弦定理求解即可，选项C利用正弦定理结合余弦定理求解即可，选项D利用特殊法直角三角形满足题目条件否定锐角三角形的结论. 【详解】对于选项A，将已知等式展开整理得，所以， 又，所以，所以选项A正确； 对于选项B，外接单位圆的半径，由正弦定理得： ，，， 所以，所以选项B错误； 对于选项C，由正弦定理得，整理得， 所以，又，所以，所以选项C正确； 对于选项D，在直角中，斜边为，则，， 得，所以选项D错误. 故选：AC. 33．（23-24高一下·青海·期末）已知复数，则（    ） A． B． C．的虚部是 D．在复平面内对应的点位于第四象限 【答案】ABC 【分析】先化简，再结合复数的概念，共轭复数，复数的模，复数在复平面内对应的点分别判断各个选项即可. 【详解】因为， 则，，的虚部是， 在复平面内对应的点为，位于第三象限 故ABC正确，D错误． 故选：ABC. 34．（23-24高一下·贵州黔西·期末）已知i是虚数单位，下列说法正确的是（    ） A．若复数，则 B．若复数，则 C．若复数为纯虚数，则 D． 【答案】BCD 【分析】利用复数概念可判断A错误，根据模长公式可知B正确，由纯虚数概念解方程可得C正确，由复数乘方计算可得D正确. 【详解】对于A，根据虚数概念可得复数无法比较大小，即A错误； 对于B，由，可得，即B正确； 对于C，若复数为纯虚数，可知， 解得，可知C正确； 对于D，易知，即D正确. 故选：BCD 35．（23-24高一下·广东肇庆·期末）已知复数，则下列命题为真命题的有（　　） A．的虚部为 B． C． D．若是关于的方程的一个根，则 【答案】ABD 【分析】求得复数的虚部与模可判断AB，求得，可判断C；由已知可得，可求得判断D. 【详解】对于A：由，可得复数的虚部为，故A正确； 对于B：，故B正确； 对于C：，故C错误； 对于D：因为是关于的方程的一个根， 所以，所以， 所以，所以，解得， 所以，故D正确； 故选：ABD. 36．（23-24高一下·辽宁·期末）已知，是两个平面，，是两条直线，则下列说法正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，，则 D．若，，，则 【答案】AC 【分析】根据空间中线线、线面、面面的位置关系一一判断即可. 【详解】对于A：若，，由面面平行的性质可得，故A正确； 对于B：若，，则或与相交或与异面，故B错误； 对于C：若，，则，又，所以，故C正确； 对于D：若，，则或， 若，又，则与可能平行、相交（不垂直）、垂直， 若，又，则与可能平行、相交（不垂直）、垂直，故D错误. 故选：AC 37．（23-24高一下·海南海口·期末）如图，正方体中，，点为的中点，点为的中点，则下列结论正确的是（    ） A．与为异面直线 B． C．与夹角的正弦值为 D．三棱锥的体积为 【答案】ABC 【分析】对A，直接观察判断即可；对B，根据平面判断即可；对C，定义法求异面直线的夹角；对D，利用等体积法求解即可. 【详解】对于A，由图可得，三点共面，且点不在平面内，点不在直线上，所以与为异面直线，故A正确； 对于B，由正方体性质可得平面，又平面，故，故B正确； 对于C，连接，正方体中平面，平面，则， 又，得与的夹角等于，，， 中，，所以，故C正确； 对于D，，故D错误. 故选：ABC 38．（24-25高一上·广西钦州·期末）已知一组数据，的极差为m，平均数为a，方差为b，另外一组数据的极差为9，平均数为11，方差为13，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据极差，平均数和方差的计算公式，通过计算，然后判断选项的正误. 【详解】假设最小，最大，则， 若,则另外一组数据最小，最大， 此时极差为，A错误. 易得所以，B，D正确，C错误. 故选：BD. 39．（23-24高一下·内蒙古·期末）已知甲组数据为4，3，2，乙组数据为6，7，8，将甲、乙两组数据混合后得到丙组数据，则（    ） A．丙组数据的中位数为5 B．甲组数据的70%分位数是2 C．甲组数据的方差等于乙组数据的方差 D．甲组数据的极差等于乙组数据的极差 【答案】ACD 【分析】根据中位数，百分位数，方差以及极差的计算和定义即可结合选项逐一求解. 【详解】将丙组数据从小到大排列为2，3，4，6，7，8，可得丙组数据的中位数为，A正确. 将甲组数据从小到大排列为2，3，4，因为，所以甲组数据的70%分位数是4，B错误. 甲组数据的平均数为3，方差等于， 乙组数据的平均数为7，方差等于，故方差相等，C正确. 甲组数据的极差为，乙组数据的极差为，D正确. 故选：ACD 40．（23-24高一下·重庆巫山·期末）某学校对高一学生选科情况进行了统计，发现学生选科仅有物化生、政史地、物化地、物化政、生史地五种组合，其中选考物化地和物化政组合的人数相等，并绘制得到如下的扇形图和条形图，则（    ） A．该校高一学生总数为 B．该校高一学生中选考物化政组合的人数为 C．该校高一学生中选考物理的人数比选考历史的人数多 D．用比例分配的分层随机抽样方法从该校高一学生抽取人，则生史地组合抽取人 【答案】ACD 【分析】根据政史地的人数和占比求出高一学生总数判断A，根据选考物化地和物化政组合 的人数相等和图表中的信息求出各选科的人数判断BC，利用分层抽样的特点判断D. 【详解】由扇形图和条形图可知，选政史地的人数为人，占比， 所以该校高一学生总数为人，A说法正确； 由扇形图可知选择物化生的人数为人， 所以选择物化地和物化政的人数为人， 又因为选考物化地和物化政组合的人数相等， 所以选考物化地和物化政组合的人数均为人，B说法错误； 该校高一学生中选考物理的人数有人，选考历史的人数有人， 选考物理的人数比选考历史的人数多，C说法正确； 因为选考生史地的学生人数占比为， 所以用比例分配的分层随机抽样方法从该校高一学生抽取人，则生史地组合抽取人，D说法正确； 故选：ACD 41．（23-24高一下·安徽马鞍山·期末）已知事件，满足：，，则（    ）. A．若，互斥，则 B．若，互斥，则 C．若，互相独立，则 D．若，互相独立，则 【答案】AD 【分析】根据概率加法公式判断A，根据互斥事件定义判断B，根据独立事件概率乘法公式判断D，根据概率加法公式判断C. 【详解】当，互斥时，， 又，， 所以，A正确； 当，互斥时，事件，不可能同时发生， 所以，B错误； 当，互相独立，则， 又，， 所以，D正确； 当，互相独立时，，C错误. 故选：AD. 42．（23-24高一下·甘肃庆阳·期末）已知事件与事件，是事件的对立事件，是事件的对立事件，若，，则下列说法正确的是（    ） A． B．若事件与事件是互斥事件，则 C．若事件与事件相互独立，则 D．若，则事件与事件相互独立 【答案】ACD 【分析】根据对立事件可判断A；根据互斥事件和独立事件的概率公式即可判断BCD. 【详解】，故A正确； 因为事件与事件是互斥事件，所以，故B错误； 若事件与事件相互独立，则事件与事件相互独立， 所以，故C正确； 因为，所以， 所以事件与事件相互独立，所以事件与事件相互独立，故D正确． 故选：ACD． 43．（23-24高一下·云南曲靖·期末）一只不透明的口袋内装有9张相同的卡片，上面分别标有这9个数字（每张卡片上标1个数），“从中任意抽取1张卡片，卡片上的数字为2或5或8”记为事件，“从中任意抽取1张卡片，卡片上的数字不超过6”记为事件，“从中任意抽取1张卡片，卡片上的数字大于等于7”记为事件．则下列说法正确的是（    ） A．事件与事件是互斥事件 B．事件与事件是对立事件 C．事件与事件相互独立 D． 【答案】BC 【分析】根据古典概型的概率的计算公式，分别算出事件的概率，然后再根据互斥事件、对立事件、相互独立事件及概率的运算性质即可判断出答案. 【详解】样本空间为． 因为，所以事件与事件不是互斥事件，故错误； 因为，所以事件与事件为对立事件，故正确； 因为，所以，即事件与事件相互独立，故正确； 因为，所以，故D错误． 故选：BC. 44．（23-24高一下·陕西宝鸡·期末）某年级有12个班，现要从2班到12班中选1个班的学生参加一项活动，有人提议：掷两个骰子，把得到的点数之和是几就选几班，针对这种选法下面说法不正确的有（    ） A．公平，每个班被选到的概率都为 B．公平，每个班被选到的概率都为 C．不公平，6班被选到的概率最大 D．不公平，7班被选到的概率最大 【答案】ABC 【分析】求出每个班被选到的概率，如果概率不相等，则不公平. 【详解】列表如下： 和 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 7 2 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8 9 4 5 6 7 8 9 10 5 6 7 8 9 10 11 6 7 8 9 10 11 12 点数之和为，点数之和为点数之和为， 点数之和为点数之和为， 点数之和为点数之和为， 点数之和为点数之和为， 点数之和为点数之和为，点数之和为， 所以不公平，7班被选到的概率最大. 故选： 45．（23-24高一下·四川凉山·期末）若是三个不同的平面，是三条不同的直线，下列说法正确的是（） A．若，则 B．若，则 C．若，且，则 D．若，，且，则 【答案】BD 【分析】对于A,垂直于同一平面的两个平面有可能相交或平行，据此可以判断A；对于B,由面面平行的性质定理可以判断B；对于C,由线面平行的判定定理可知，若，则m不在平面，但题目所给条件没说，据此可以判断C；对于D,由线面垂直的判定定理可以判断D. 【详解】对于A，若，则与相交或，所以A不正确; 对于B，若，由面面平行的性质定理可得，所以B正确; 对于C，若，且，则或，所以B不正确; 对于D，若，且，由线面垂直的判定定理可得，所以B正确. 故选:BD. 46．（23-24高一下·甘肃临夏·期末）如图，在棱长均为1的四棱锥中，O为底面正方形的中心，分别为侧棱的中点，则（    ）    A． B．平面平面OMN C． D．四棱锥的体积为 【答案】ABC 【分析】根据中位线可判断A，根据线线平行求证线面平行，即可求解B，根据三角形的边长关系，即可求解C，根据锥体的体积公式即可求解D. 【详解】对于A，由于分别为侧棱的中点,所以,又，故，A正确， 对于B, 连接,由于分别为侧棱的中点,所以，平面,平面,所以平面,同理，平面,平面,故平面,，平面，所以平面平面，故B正确． 对于C，由于,所以，故，又，故，C正确， 对于D，由于，故D错； 故选：ABC    47．（23-24高一下·江西宜春·期末）如图，在棱长为1的正方体中，已知是线段上的两个动点，且，则（    ） A．的面积为定值 B． C．点A到直线的距离为定值 D．三棱锥的体积不为定值 【答案】ABC 【分析】A选项，根据底边为定值，高为，为定值，故三角形面积为定值；B选项，根据，所以，故B正确；C选项，A到的距离为定值，C正确；D选项，由等体积法得到三棱锥体积为定值. 【详解】对于A，因为在中，高为到的距离，即的长度，为定值， 底边为的长度，也为定值，所以的面积为定值，故A正确； 对于B，因为在上，，所以，即，故B正确； 对于C，A到直线的距离等于A到的距离，为定值，故C正确； 对于D，的面积为，而A到平面的距离， 即A到平面的距离，为， 因此，为定值，故D错误. 故选：ABC. 48．（23-24高一下·青海西宁·期末）如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等，则下列结论正确的是（    ）    A．圆柱的侧面积为 B．圆锥的侧面积为 C．圆柱的侧面积与球的表面积相等 D．圆柱､圆锥､球的体积之比为 【答案】ACD 【分析】由条件确定圆柱的底面半径、高以及圆锥的底面半径、高和母线长，利用圆柱、圆锥的侧面积公式、球体的表面积，圆锥、圆柱、球体的体积公式求解并判断选项即可. 【详解】由题意可知，圆柱的底面半径为，高为，圆锥的底面半径为，高为， A项，圆柱的侧面积为，故A正确； B项，圆锥的母线长为， 所以，圆锥的侧面积为，故B错误； C项，球的表面积为，所以圆柱的侧面积与球的表面积相等，故C正确； D项，圆柱的体积为， 圆锥的体积为， 球的体积为， 因此，圆柱、圆锥、球的体积之比为，D正确. 故选：ACD. 49．（23-24高一下·陕西渭南·期末）如图，菱形的对角线与交于点是的中位线，与交于点，已知是绕旋转过程中的一个图形，且平面．则下列结论中正确的是（    ）    A．异面直线与的夹角为 B．平面平面 C．与可能垂直 D．与可能平行 【答案】ABC 【分析】根据余弦定理计算异面直线夹角，面面垂直的判定定理，面面垂直推得线线垂直，线线平行判定判断各个选项. 【详解】对于A，因为是的中位线，所以， 则为异面直线与的夹角， 由题意可知，在中，， 故， 所以异面直线与的夹角为，A正确； 对于B，在菱形中有, 在等腰三角形中，又因为是平面内的两条相交直线， 所以平面，又因为平面， 则平面平面，B正确； 对于C，由B选项可知平面，平面，故， 平面与平面的交线为EF， 当平面与平面垂直时可得平面垂直， 平面，故，C正确； 对于D，根据题意可知，易发现相交，且平面， 所以与不可能平行，D错误； 故选：ABC. 【点睛】平面图形的旋转为载体，证明线线、面面垂直一般用判定定理或性质定理进行证明； 空间线线、线面的位置关系及异面直线及其所成的角可用定义法或空间向量法； 三、填空题 50．（23-24高一下·安徽亳州·期末）已知平面向量，，则在上的投影向量的坐标为 . 【答案】 【分析】利用投影向量的定义结合平面向量数量积的坐标运算可得结果. 【详解】因为平面向量，，所以， 所以在上的投影向量为. 故答案为：. 51．（23-24高一下·江苏无锡·期末）已知向量的夹角为，且，则 . 【答案】1 【分析】先利用向量数量积运算法则计算出，从而得到模长. 【详解】 ， 故 故答案为：1 52．（23-24高一下·重庆·期末）如图，为了测量河对岸的塔高AB，某测量队选取与塔底B在同一水平面内的两个测量基点C与D．现测量得，米，在点C，D处测得塔顶A的仰角分别为，，则塔高 ． 【答案】15米 【分析】由题意可得，，在中，由余弦定理可得的大小． 【详解】由题意可得，则， 因为，所以， 在中，，米， 由余弦定理可得， 即， 整理可得， 可得或（舍． 故答案为：15米． 53．（23-24高一下·湖南株洲·期末）已知平行四边形中，，，.若点满足，点为中点，则 . 【答案】 【分析】利用为基底，表达出，利用数量积运算法则计算出答案. 【详解】由题意可得：， ，， . 故答案为：. 54．（23-24高一下·四川绵阳·期末）在复平面内，i为虚数单位，若复数z满足，则 ． 【答案】 【分析】根据复数的除法运算可得，进而可求模长. 【详解】因为，则， 所以. 故答案为：. 55．（23-24高一下·安徽六安·期末）已知为虚数单位，若复数满足，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】利用复数的几何意义，作出复数对应的点的轨迹，理解所求即轨迹上的点到点的距离，结合图形易求距离的最大、最小值,即得范围. 【详解】    由可知，复数对应的点在以点为圆心，半径为的圆上， 而可理解为圆上的点到点的距离， 作直线,交圆于点,如图所示. 显然,当点与点重合时，, 当点与点重合时，. 即的取值范围是. 故答案为：. 56．（23-24高一下·上海·期末）计算： ． 【答案】1000 【分析】利用复数的运算性质化简即可求解． 【详解】原式 ． 故答案为：1000． 57．（23-24高一下·山东青岛·期末）一组数据：1，2，3，4，5，5，5，6，6，7，8，9，9，10的众数为，第三四分位数为，则 ； 【答案】 【分析】根据众数的概念求得众数，从小到大排列后，利用四舍五入法求得第三四分位数. 【详解】众数=5， 从小到大排列是1，2，3，4，5，5，5，6，6，7，8，9，9，10因为数据个数为14， 而且，所以这组数据的第三四分位数为8. 故答案为：13 58．（23-24高一下·广东广州·期末）从某小区抽取100户层民用户进行月用电量调查，发现他们的月用电量都在之间，进行适当分组后（每组为左用右开的区间），画出频率分布直方图如图所示，在被调查的用户中，月用电量落在区间内的户数为 ． 【答案】 【分析】首先求出参数的值，再求出月用电量落在区间的频率，即可得解. 【详解】由频率分布直方图可得，解得， 所以月用电量落在区间的频率为， 所以在被调查的用户中，月用电量落在区间内的户数为. 故答案为： 59．（23-24高一下·陕西西安·期末）我国古代十进制数的算筹记数法是世界数学史上一个伟大的创造，算筹一般为小圆棍，算筹计数法的表示方法为：个位用纵式，十位用横式，百位再用纵式，千位再用横式，以此类推；遇零则置空．纵式和横式对应数字的算筹表示如下表所示，例如：10记为“—”，62记为“”．现从由4根算筹表示的两位数中任取一个数，则取到的数字为质数的概率为 ． 【答案】/ 【分析】分类讨论，利用古典概型的概率公式求解即可. 【详解】由题意可知，共有4根算筹， 当十位1根，个位3根，共有2个两位数13、17； 当十位2根，个位2根，共有4个两位数22，26，62，66； 当十位3根，个位1根，共有2个两位数31，71； 当十位4根，个位0根，共有2个两位数40，80； 其中质数有13、17、31、71，所以取到的数字为质数的概率为， 故答案为： 60．（23-24高一下·湖南岳阳·期末）每年农历五月初五为端午节，又称端阳节；端午节是为了纪念楚国爱国诗人屈原而设立的传统节日.端午节对于中华民族的文化传承具有重要意义，也成为了中华文化与世界文化交流的窗口.更有吃粽子，赛龙舟，挂菖蒲､蒿草､艾叶，薰苍术､白芷，喝雄黄酒的习俗.2023年6月22日是我国的传统节日“端午节”.这天，楠楠的妈妈煮了9个粽子，其中4个腊肉馅，5个豆沙馅.楠楠想尝下粽子的味道，第一次尝了一个粽子觉得味道好吃，接着第二次又尝了一个粽子，则楠楠第一次和第二次尝的都是腊肉馅的概率为 . 【答案】 【分析】直接由古典概型概率公式即可求解. 【详解】由古典概型概率计算公式可知，所求即为. 故答案为：. 61．（23-24高一下·四川攀枝花·期末）甲、乙、丙三名同学参加某项技能测试，已知甲、乙、丙通过测试的概率分别为，，，且三人是否通过测试彼此独立，则甲、乙、丙三人中恰有两人通过测试的概率为 . 【答案】 【分析】根据给定条件，利用互斥事件、相互独立事件的概率公式计算即得. 【详解】依题意，甲、乙、丙三人中恰有两人通过测试的概率为. 故答案为： 62．（23-24高一下·新疆乌鲁木齐·期末）在一个不透明的纸盒中装有6个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同.每次从袋子中随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，通过多次重复试验发现摸出红球的频率稳定在0.8附近，则袋子中红球约有 个. 【答案】24 【分析】设袋中红球有个，根据概率的概念列式求解即可. 【详解】设袋中红球有个，根据题意，得，解得：， 经检验：是分式方程的解，所以袋中红球有24个. 故答案为：24 63．（23-24高一下·辽宁葫芦岛·期末）足球起源于中国古代的蹴鞠游戏，“蹴”有用脚蹴､踢的含义，“鞠”最早系外包皮革内饰米糠的球，因而“蹴鞠”就是指古人以脚蹴､踢皮球的活动.已知某鞠（球）的表面上有四个点，满足平面，若三棱锥体积为，则该“鞠”的体积最小值为 . 【答案】 【分析】根据三棱锥的外接球的球心到所有顶点距离相等，且都为球半径，即可找到球心的位置，然后在直角三角形中，根据基本不等式即可求解最小值，进而可得球半径的最小值. 【详解】 取中点为,过作交于，则,即为中点. 因为平面,所以平面. 因为,所以, 所以，, 所以，是三棱锥外接球球心,为球的半径. 由, 又,当且仅当,等号成立,此时, 所以球半径,故, 该“鞠”的体积最小值为 故答案为：. 64．（23-24高一下·福建厦门·期末）在四棱锥中，底面，四边形为正方形，，则直线与所成角的大小为 . 【答案】/ 【分析】依题意可得，将四棱锥补成正方体，连接、，根据正方体的性质可知为直线与所成角，即可得解. 【详解】因为底面，四边形为正方形，底面， 所以，又，所以， 如图将四棱锥补成正方体，连接、， 则，所以为直线与所成角， 又，所以为等边三角形，所以， 即直线与所成角的大小为. 故答案为： 65．（23-24高一下·辽宁辽阳·期末）如图，四棱台的侧棱长均相等，四边形和四边形都是正方形，，则该四棱台的体积为 . 【答案】 【分析】求出四棱台的高，再根据棱台的体积公式计算即可. 【详解】在四棱台中，分别是上下底面对角线的交点，即上下底面的中心，为四棱台的高， 过点作与交于点，则， 四边形和四边形都是正方形，且，则 ，，则，， ，即四棱台的高. 又上底面积，下底面积， 则该四棱台的体积为. 故答案为：. 66．（23-24高一下·四川成都·期末）如图，平面四边形中，，，，，沿将折起成直二面角（折起后原来平面图形的D点变为空间图形的P点），则折起后四面体的内切球半径为 ． 【答案】 【分析】分别求出三棱锥的表面积、体积，结合等体积法即可列方程求解. 【详解】因为平面平面，，平面平面，平面， 所以平面， 又因为平面， 所以， 又因为，平面， 所以平面，而平面， 从而， 设所求为，三棱锥的表面积、体积分别为，， 而，， 从而，解得. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：关键在于利用等体积法建立关于的方程，由此即可顺利得解. 67．（23-24高一下·吉林·期末）已知水平放置的四边形的斜二测直观图为矩形，已知，，则四边形的周长为 . 【答案】10 【分析】根据直观图与原图形的关系结合已知可得，从而可求出，进而可求出四边形的周长. 【详解】由题意可得， 所以原图形中， 所以， 所以四边形的周长为. 故答案为：10 68．（23-24高一下·广东湛江·期末）如图，透明塑料制成的长方体内灌进一些水，固定容器底面一边于水平地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度不同，有下面五个命题： ①有水的部分始终为四棱柱形； ②没有水的部分始终呈棱柱形； ③水面所在四边形的面积为定值； ④棱始终与水面所在平面平行； ⑤当容器倾斜如图（3）所示时，是定值．其中所有正确命题的序号是 ． 【答案】②④⑤ 【分析】根据题意，结合棱柱的几何特征，线面平行，棱柱体积进行判断. 【详解】根据棱柱的定义知，有两个面是互相平行且是全等的多边形，其余每相邻两个面的交线也互相平行，而这些面都是平行四边形， 在（3）图中有水的部分始终为三棱柱形，所以①错误 将长方体以边将容器倾斜，平面平面,没有水的部分呈现为四棱柱至五棱柱棱柱最后四棱柱，所以②正确； 因为水面所在四边形，从图2，图3可以看出，有两条对边边长不变而另外两条对边边长随倾斜度变化而变化， 所以水面四边形的面积是变化的，③错误； 因为棱,在水面中，， 所以棱平面平面， 所以棱始终与水面所在平面平行，所以④正确； 因为水的体积是不变的，高始终是BC也不变，所以底面积也不会变，即是定值，所以⑤正确； 故答案为：②④⑤. 四、解答题 69．（23-24高一下·甘肃·期末）已知向量，. (1)若，求； (2)若向量，，求与夹角的余弦值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由条件结合向量垂直的表示及向量坐标运算公式列方程求，再由向量的模的坐标公式求结论； （2）由条件，结合向量平行的坐标表示列方程求，由此可得，再求，，，再由向量夹角坐标公式求结论. 【详解】（1）因为， 所以， 所以，又，， 所以， 所以， 所以， 所以， 即； （2）因为，，， 所以，又， 所以， 所以，所以， 所以，，， 设与夹角为， 所以， 所以与夹角的余弦值为. 70．（23-24高二下·陕西西安·阶段练习）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． (1)求B的大小； (2)若，的面积为，求的周长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）用正弦定理将边化为角，再利用展开化简即可求解； （2）由面积可得，由余弦定理可得，解方程即可求出，进而可求周长. 【详解】（1）由题意得， 因为， 所以， 得，得，因为，所以． （2）由，得． 由余弦定理，得， 得， 得， 所以的周长为． 71．（24-25高一上·辽宁·期末）如图，在等腰梯形ABCD中，，AC与EF交于点G，记． (1)试用基底表示； (2)记的面积为，的面积为，求的值． 【答案】(1) (2)18 【分析】（1）根据平面向量加法和减法的几何意义，结合平面向量基本定理进行求解即可； （2）根据平面向量加法和减法的几何意义，结合平面共线向量的性质、三角形面积性质进行求解即可 【详解】（1）由图可知， 因为，所以． 因为，所以 （2）由AC与EF交于点G，可设． ， ， 则解得 设边AB上的高为，边CE上的高为，则， 则． 72．（23-24高一下·青海·期末）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，，已知． (1)求； (2)若的面积为，求的周长． 【答案】(1) (2)10 【分析】（1）利用正弦定理结合两角和的正弦公式即可求解； （2）利用三角形的面积公式可求得，利用余弦定理可得出的值，即可得解. 【详解】（1）因为， 所以 即． 因为，所以， 所以，因为，所以． （2）由（1）可知，则． 因为的面积为，所以，解得 由余弦定理得， 则． 故的周长为． 73．（24-25高一上·广西钦州·期末）某机构对100名菜农去年种植销售的蔬菜重量（单位：吨）进行了统计调查，将得到的数据按，，，分为4组，画出的频率分布直方图如图所示. (1)求m； (2)估计这100名菜农去年种植销售的蔬菜重量的中位数； (3)估计这100名菜农去年种植销售的蔬菜重量的平均数与方差（同一组中的数据用该组区间的中点值作为代表）. 【答案】(1). (2)37.5吨. (3)平均数为37吨，方差为81. 【分析】(1)由频率直方图以及频率和为1列出方程即可求得 (2)结合频率分布直方图和中位数定义先确定中位数所在区间，再列式求出中位数. (3)应用均值和方差公式可求解. 【详解】（1）由图可得，得. （2）设这100名菜农去年种植销售的蔬菜重量的中位数的估计值为， 因为第一组和第二组数据的频率之和为（0.01+0.03）×10=0.4<0.5， 第一组、第二组和第三组数据的频率之和为（0.01+0.03+0.04）×10=0.8>0.5. 所以，由，得. 故这100名菜农去年种植销售的蔬菜重量的中位数约为37.5吨. （3）估计这100名菜农去年种植销售的蔬菜重量的平均数吨， 方差 74．（23-24高一下·广东广州·期末）已知总体划分为2层，通过分层随机抽样，第层抽取的样本量、样本均值和样本方差分别为．记总样本数据的均值为，总样本数据的方差为． (1)写出与的计算公式（直接写出结果，不需证明）； (2)某学校有高中学生500人，其中男生300人，女生200人．现采用分层随机抽样的方法抽取样本，并观测样本的指标值（单位：），计算得男生样本的均值为172.5，方差为16，女生样本的均值为162.5，方差为30． （i）如果已知男、女样本量按比例分配，试计算出总样本的均值与方差； （ii）如果已知男、女的样本量都是50，试计算出总样本的均值与方差，此时将它们分别作为总体的均值与方差的估计合适吗？请说明理由． 【答案】(1)答案见解析 (2)（i）均值为（），方差为；（ii）均值为（），方差为，不合适，理由见解析 【分析】（1）写出分层抽样的均值与方差公式即可； （2）（i）按男女生比例抽取样本，可按相应公式计算均值和方差；（ii）已知样本量，可按样本量所占比计算均值与方差，但不具代表性，个体不是等概率抽取的． 【详解】（1）依题意可得， . （2）（i）男、女的样本量按比例分配， 则总样本的均值为（）， 总样本的方差为； （ii）男、女的样本量都是， 总样本的均值为（）， 总样本的方差为， 不能作为总体均值和方差的估计，因为分层抽样中未按比例抽样，总体中每个个体被抽到的可能性不完全相同，因而样本的代表性差. 75．（23-24高一下·西藏拉萨·期末）已知甲乙两家公司独立研发疫苗A，甲成功的概率为，乙成功的概率为，丙公司独立研发疫苗B，研发成功的概率为 . 求: (1)甲乙都研发成功的概率； (2)疫苗A研发成功的概率； (3)疫苗A与疫苗B均研发成功的概率； (4)仅有一款疫苗研发成功的概率. 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）根据相互独立事件同时发生的概率公式计算； （2）结合对立事件的概率关系计算； （3）由相互独立事件同时发生的概率公式计算； （4）由相互独立事件和互斥事件的概率公式计算. 【详解】（1）用分别表示事件“甲成功”，“乙成功”，“丙成功”， 由题知都相互独立，，， ， 则：，同理可得：，， 相互独立，根据概率公式有：， 即甲乙都研发成功的概率为； （2）由概率的性质可得：设“疫苗A研发成功”为A事件，则， 即疫苗A研发成功的概率为； （3）设“疫苗B研发成功”为B事件， ， 两疫苗A，B的研发相互独立，则， 即疫苗A与疫苗B均研发成功的概率； （4）， 仅有一款疫苗研发成功为事件， . 即仅有一款疫苗研发成功的概率为. 76．（23-24高一下·贵州毕节·期末）盒子中有6个大小形状完全相同的小球，其中有两个小球标有数字1，记为；有两个小球标有数字2，记为；有一个小球标有数字3，记为；有一个小球标有数字4，记为.现从中一次取出两个小球. (1)写出试验的样本空间； (2)①“取出的两个小球上标有的数字不相同”，求； ②“取出的两个小球上的数字之和为5”，求； ③“取出的两个小球上的最小数字是2”，求. 【答案】(1) (2)①；②；③. 【分析】（1）根据题意直接列举即可； （2）①从（1）列举的样本空间中找出取出的两个小球上标有的数字不相同的情况，然后利用古典概型的概率公式求解；②从（1）列举的样本空间中找出取出的两个小球上的数字之和为5的情况，然后利用古典概型的概率公式求解；③从（1）列举的样本空间中找出取出的两个小球上的最小数字是2的情况，然后利用古典概型的概率公式求解 【详解】（1）样本空间为 共15个样本点 （2）① 共13个样本点 ； ② ； ③ . 77．（23-24高一下·宁夏银川·期末）某校在一次期末数学测试中，为统计学生考试情况，从学校名学生中随机抽取名学生的考试成绩，被测学生成绩全部介于分到分之间满分分，将统计结果按如下方式分成八组：第一组，第二组第八组，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分．    (1)根据图表，计算第七组的频率，并估计该校的名学生这次考试成绩的平均分同一组中的数据用该组区间的中点值代表该组数据平均值； (2)若从样本成绩属于第六组和第八组的所有学生中随机抽取名，求他们的分差的绝对值不超过分的概率． 【答案】(1)，； (2)． 【分析】（1）由频率分布直方图得第七组的频率，再计算该校的名学生这次考试成绩的平均分； （2）求出样本成绩属于第六组的有人，设为，样本成绩属于第八组的有人，设为， 即可得基本事件有共个，他们的分差的绝对值不超过分包含的基本事件个数共个，即可得概率 【详解】（1）由频率分布直方图得第七组的频率为： ． 用样本数据估计该校的名学生这次考试成绩的平均分为： ． （2）样本成绩属于第六组的有人，设为， 样本成绩属于第八组的有人，设为， 从样本成绩属于第六组和第八组的所有学生中随机抽取名， 基本事件有：，，，，，，，，，共个， 他们的分差的绝对值不超过分包含的基本事件个数，，，共个， 他们的分差的绝对值不超过分的概率． 78．（23-24高一下·河北张家口·期末）已知某校高一年级1班、2班、3班分别有36人、48人、60人，现从这3个班用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取24人参加安全知识竞赛． (1)求这3个班分别抽取的人数； (2)已知从1班抽取的人中有2名女生，若要从1班抽取的人中选2名同学作为组长，求至少有1名女生作为组长的概率； (3)知识竞赛结束后，依据答题规则进行统计，甲同学回答5道题的得分分别为69，71，72，73，75，乙同学回答5道题的得分分别为70，71，71，73，75，请问甲、乙两名同学哪位同学的成绩更稳定？ 【答案】(1)1班应抽取6人，2班应抽取8人，3班应抽取10人 (2) (3)乙的成绩更稳定 【分析】（1）按分层抽样方法计算可得； （2）由（1）的结论，1班应抽取6人，其中有2名女生，利用列举法列出所有可能结果，再由古典概型的概率公式计算可得； （3）根据题意，计算甲、乙两人平均数和方差，比较可得答案． 【详解】（1）根据题意，某校高一年级1班、2班、3班分别有36人、48人、60人，故共有人， 现从这3个班用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取24人， 所以1班应抽取人，2班应抽取人，3班应抽取人； （2）根据题意，由（1）的结论，1班应抽取6人，其中有2名女生， 设2名女生为、，4名男生为、、、， 从中选出2名同学作为组长，有、、、、、、 、、、、、、、、，共15种取法， 至少有1名女生作为组长的有、、、、、、、、共9种取法， 故至少有名女生作为组长的概率； （3）甲同学回答5道题的得分分别为69，71，72，73，75， 其平均数， 其方差； 乙同学回答5道题的得分分别为70，71，71，73，75， 其平均数， 其方差， 由于，所以乙的成绩更稳定． 79．（23-24高一下·福建福州·期末）一城市的某爱心机构建议市民应合理使用手机，可以尝试设定使用时间限制，多参加户外活动，与人面对面交流，让生活更加丰富多彩，为了更好地做好该项宣传工作，做到宣传的全面有效，该机构随机选择了100位市民进行宣传，这些市民年龄的样本数据的频率分布直方图如下： (1)请估计这100位市民的平均年龄，结果请保留整数（同组数据用区间的中点值代替） (2)请估计该市市民中的一位市民年龄位于区间的概率； (3)从100位市民里年龄在和的两组中用比例分配的分层抽样方法抽取6人再从这6人中不放回地随机抽取2人进行电话回访，若抽取的2人的年龄差大于10，则代表该机构宣传工作做得全面，获得好评，求该机构宣传工作获得好评的概率． 【答案】(1)48； (2)0.43； (3). 【分析】（1）运用区间的中点值代替组值，运用平均数公式计算即可； （2）求出区间的长方形面积和即可; （3）运用古典概型的公式，结合列举法求解即可. 【详解】（1）这100位市民的平均年龄为： ， 即这100位市民的平均年龄约为48； （2）这100位市民的年龄位于区间的频率为， 故估计该市市民中的一位市民年龄位于区间的概率为0.43； （3）参与调查的100为市民中年龄在区间内的人数为， 年龄在区间内的人数为， 按照分层抽样的方法抽取6人， 则年龄在区间内的应抽取人，设为1，2，3，4； 年龄在区间内的应抽取人，设为； 从6人中按照不放回抽样抽取2人，所有可能出现的情况如下： ， 共15种； 从2人的年龄差大于10的有，共8种； 则获得好评的概率为． 80．（23-24高一下·广东肇庆·期末）一个不透明的盒中有3个红球，2个白球，5个球除颜色外完全相同． (1)从盒中有放回地摸球，求第一次与第二次摸到的都是红球的概率； (2)每次从盒中任取两个球，游戏规则：若都是红球，则放回盒中；若有白球，则将白球换成红球（非盒内，且与原盒中红球相同），再把两个红球放回盒中，白球不放回盒中，直至盒中都是红球，游戏结束．求经过2次抽取后游戏结束的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据相互独立事件的概率公式计算可得； （2）首先利用列举法求出取一次球取到两球都是红球的概率，取到一个红球一个白球的概率，取得两球都是白球的概率，再分两种情况讨论，利用相互独立事件及互斥事件的概率公式计算可得. 【详解】（1）设第一次与第二次摸到的都是红球为事件， 则. （2）记3个红球分别为，，，2个白球分别为、， 则从盒子中任取两个球所有可能结果为，，，，，，，，，共种， 所以取到两球都是红球的概率为，取到一个红球一个白球的概率为， 取得两球都是白球的概率为； 经过次抽取后盒中恰好都是红球分两种情况: ①第一次取出两个红球，概率为，第二次取出两个白球，概率为， 故经过次抽取后盒中恰好都是红球的概率为； ②第一次取出一个红球一个白球，概率为，第二次取出一个红球一个白球，概率为， 故经过次抽取后盒中恰好都是红球的概率为； 综上，经过次抽取后盒中恰好都是红球的概率为. 81．（23-24高一下·贵州贵阳·期末）根据央视网消息显示，贵州省文旅厅网站5月1日公布《2023年“五一”假期前三天全省文化旅游情况》，其中显示，假期前三天，根据抽样调查结果，全省接待游客2038.26万人次（用2038万计算），较2022年假日同期增长（用计算），恢复到2019年假日同期水平的（用计算）.某大学旅游管理专业的学生陈枫为了了解“红色旅游景区”的游客对景区历史文化背景的知晓情况，随机抽选了若干名游客进行问卷调查，根据问卷得分，统计如下： 得分 频率 0.10 0.20 0.40 0.20 0.10 (1)求2022年和2019年“五一”假期前三天全省接待游客人次（单位：万），精确到0.01. (2)根据表格估计“红色旅游景区”的游客对景区历史文化背景知晓情况问卷得分的平均水平（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）. (3)陈枫为了答谢游客的参与，在问卷得分为的游客中按的比例抽选6人作为景区“幸运游客”，景区在“幸运游客”中随机选取两人评为“五星游客”，求得分为､的游客中各有一人评为“五星游客”的概率. 【答案】(1)1435.21万，1940.95万 (2)90 (3). 【分析】（1）根据2022年和2019年和已知数据2023年的数据的比例关系求解； （2）由表得，平均数等于每一组的平均值乘以频率的和； （3）根据比例，找出得分为分别抽取2人和4人为“幸运游客”.找出总的组合结果为15，各一人的结果有8种，从而得到概率. 【详解】（1）由题可知2022年“五一”假期前三天全省接待游客人次为万； 2019年同期接待游客人次为万. （2）由表可得，游客的平均水平估计为 （3）由题意可知，在得分为中分别抽选了2人（记为）和4人（记为）为“幸运游客”. 所以从中选两人的可能结果有：共15种， 其中各占一人的结果有： 共8种，所以所求概率为. 82．（23-24高一下·吉林通化·期末）某校举办环保知识竞赛，初赛中每位参赛者有三次答题机会，每次回答一道题，若答对，则通过初赛，否则直到三次机会用完.已知甲､乙､丙都参加了这次环保知识竞赛，且他们每次答对题目的概率都是，假设甲､乙､丙每次答题是相互独立的，且甲､乙､丙的答题结果也是相互独立的. (1)求甲第二次答题通过初赛的概率； (2)求乙通过初赛的概率； (3)求甲、乙、丙三人中恰有两人通过初赛的概率. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据相互独立事件的概率公式计算可得； （2）根据相互独立事件及对立事件的概率公式计算可得； （3）根据相互独立事件及互斥事件的概率公式计算可得. 【详解】（1）记甲第二次答题通过初赛为事件，则； （2）记乙通过初赛为事件，则； （3）依题意甲、乙、丙每人通过初赛的概率均为， 记甲、乙、丙三人中恰有两人通过初赛为事件， 则. 83．（23-24高一下·北京房山·期末）如图，在正方体中，E为的中点． (1)求证：； (2)求证：平面BDE． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）由线面垂直的判定定理证明平面，结合线面垂直的性质即可得解； （2）由中位线定理得出，结合线面平行的判定定理即可得证. 【详解】（1） 如图所示，连接，交于点， 在正方体中，平面，而平面， 所以， 又因为在正方形中，，且注意到，平面， 所以平面， 而平面， 所以； （2） 如图所示，连接， 因为分别为的中点，所以， 而平面，平面， 从而平面. 84．（23-24高一下·湖南邵阳·期末）如图所示，长方形中，，，点是边的中点，将沿翻折到，连接，得到图的四棱锥．      (1)求四棱锥的体积的最大值； (2)若棱的中点为，求的长； 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）确定当平面⊥平面时四棱锥的体积取得最大值，结合棱锥的体积公式计算即可求解； （2）如图，根据题意和中位线的性质可得四边形为平行四边形，结合勾股定理计算即可求解. 【详解】（1）取的中点，连接，因为，则， 当平面⊥平面时，点到平面的距离最大，四棱锥的体积取得最大值， 根据面面垂直的性质，易得此时平面，且， 底面为梯形，面积为， 则四棱锥的体积最大值为；    （2）取中点，连接， 因为为中点，所以为的中位线， 所以且， 因为为的中点，四边形为矩形， 所以且， 所以且，故四边形为平行四边形， 所以.    85．（23-24高一下·广西来宾·期末）如图，在正三棱柱中，为的中点．    (1)求直线与所成角的大小； (2)若，求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）法1：证明出平面，故，得到直线与所成角为；法2：作出辅助线，找到为直线与的所成角（或其补角），设，，求出各边长，得到，由勾股定理逆定理得到垂直关系，得到答案； （2）法1：由（1）知平面，从而得到即为直线与平面所成的角，设等边的边长为2，求出其他各边长，得到；法2：先证明平面，从而得到即为直线与平面所成的角，设等边的边长为2，求出其他各边长，得到； 【详解】（1）法1：在正三棱柱中， 因为平面，平面，所以． 因为为等边三角形，为的中点，所以． 又因为，平面， 所以平面； 又因为平面，所以， 所以直线与所成角的大小为． 法2：取的中点，连结，，又为的中点， 所以为的中位线，， 故为直线与的所成角（或其补角） 设，，因为为正三角形，所以， 在中，，在中，， 所以，， 所以直线与所成角的大小为．    （2）法1：由（1）知，平面，所以即为直线与平面所成的角， 设等边的边长为2，则， 所以在中，，， 所以． 即直线与平面所成的角的正弦值为．    法2：在正三棱柱中，因为平面，平面， 所以． 因为为等边三角形，为的中点，所以． 又因为，平面， 所以平面，所以即为直线与平面所成的角， 设等边的边长为2，则， 所以在中，，， 所以． 即直线与平面所成的角的正弦值为． 86．（23-24高一下·河南商丘·期末）如图，在四棱锥中，底面为正方形，，，且底面，，，分别为棱，，的中点. (1)求证：平面平面； (2)求二面角的大小. 【答案】(1)证明见解析. (2) 【分析】（1）利用线面垂直推得面面垂直； （2）利用定义找到二面角的平面角，在三角形中计算夹角的值； 【详解】（1）∵底面ABCD，平面ABCD， ∴. 如图，连接AC． ∵底面ABCD为正方形，∴， ∵M，N分别为棱AB，BC的中点， ∴，∴， 又平面PBD， ∴平面PBD， ∵平面MNE， ∴平面平面PBD． （2）如图，设，，连接FE，则F为线段OB的中点. 易知平面平面， 由（1）知，平面PBD，平面PBD ∴， ∴∠EFB为二面角的平面角， 又底面ABCD，，， ∴， ∴， 即二面角的大小为. 87．（23-24高一下·江西赣州·期末）如图，在四棱锥中，四边形是边长为的正方形，平面，与平面所成角为，为线段上的点. (1)若为线段的中点，证明：平面； (2)若为线段上靠近的三等分点，求三棱锥的体积. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据线线平行可证线面垂直； （2）利用转化法可得三棱锥体积. 【详解】（1）连接，连接，则为中点， 又为中点，， 又平面，平面，平面； （2）平面， 与平面所成角得平面角为， ， 所以点到平面的距离， . 88．（23-24高一下·上海·期末）如图，是的直径，垂直于所在的平面，是圆周上不同于的一动点. (1)证明：是直角三角形； (2)若，，求直线与平面所成角的正弦值. (3)若，且异面直线与所成角为，求的长；（结果精确到0.1） 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)0.8或1.8 【分析】（1）由圆的性质可得，再由平面，得，可得平面，从而可得，进而可证得结论. （2）过A作于H，可证得是直线与平面所成的角，在中求解即可； （3）为中点，由题意有或，中由余弦定理解出，中勾股定理求的长. 【详解】（1）是的直径，是圆周上不同于的一动点，所以， 因为平面，平面，所以， 又，平面，所以平面， 又平面，所以，即是直角三角形； （2）过A作于H，连接，如图所示， 因为平面，平面，所以， 又，平面，所以平面， 所以是直线与平面所成的角， 在中，由等面积法得， 而，所以， 在中，， 故直线与平面所成角的正弦值为. （3） 设为中点，连接，又为的中点，则有， 异面直线与所成角为，则有或， 若，则，，， 当时，中，由余弦定理， 得， 中，； 当时，中，由余弦定理， 得， 中，， 所以的长为0.8或1.8 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期末高分必刷题88道（基础类） 一、单选题 1．（24-25高一上·辽宁丹东·期末）已知向量，，若，则（   ） A． B．2 C． D． 2．（24-25高一上·湖南邵阳·期末）已知复数（i为虚数单位），则（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一下·吉林通化·期末）设是两个平面，是两条直线，则的一个充分条件是（ ） A． B． C．与相交 D． 4．（23-24高一下·吉林白山·期末）如图，在梯形中，在线段上，.若，则（   ） A． B． C． D． 5．（23-24高一下·江苏常州·期末）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则（   ） A．2 B． C．3 D． 6．（23-24高一下·天津西青·期末）已知向量，设与的夹角为，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高一下·江苏常州·期末）已知复数z满足，其中i为虚数单位，则（   ） A．2 B． C． D．5 8．（23-24高一下·安徽马鞍山·期末）已知复数z满足（i为虚数单位），则z的共轭复数在复平面上对应的点位于（    ）. A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 9．（23-24高一下·辽宁·阶段练习）复数（其中为虚数单位），则在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 10．（24-25高一上·辽宁锦州·期末）《数术记遗》记述了积算（即筹算）、珠算、计数等共14种算法.某研究学习小组共10人，他们搜集整理这14种算法的相关资料所花费的时间（单位：min）分别为68，58，38，41，47，63，82，48，32，31，则这组数据的（   ） A．众数仅是31 B．分位数是 C．极差是38 D．中位数是44 11．（23-24高一下·江苏常州·期末）某高中三个年级共有学生2000人，其中高一800人，高二600人，高三600人，该校为了解学生睡眠情况，准备从全校学生中抽取80人进行访谈，若采取按比例分配的分层抽样，且按年级来分层，则高一年级应抽取的人数是（   ） A．24 B．26 C．30 D．32 12．（24-25高二上·河北邢台·开学考试）已知数据，，，…，，满足：（），若去掉，后组成一组新数据，则新数据与原数据相比，下列说法错误的是（    ） A．中位数不变 B．第35百分位数不变 C．平均数不变 D．方差不变 13．（2024·云南贵州·二模）甲、乙两人进行网球比赛，连续比赛三局，各局比赛结果相互独立.设乙在第一局获胜的概率为、第二局获胜的概率为，第三局获胜的概率为，则甲恰好连胜两局的概率为（   ） A． B． C． D． 14．（24-25高三上·江苏常州·阶段练习）从装有红球､白球和黑球各2个的口袋内一次取出2个球，有如下的一些事件：①两球都不是白球；②两球恰有一个白球；③两球至少有一个白球，其中与事件“两球都为白球”互斥而非对立的事件是（    ） A．③ B．①③ C．②③ D．①② 15．（23-24高一下·吉林·期末）下列说法正确的是（    ） A．同时发生的概率一定比中恰有一个发生的概率小 B．若，则事件与是对立事件 C．当不互斥时，可由公式计算的概率 D．某事件发生的概率是随着实验次数的变化而变化的 16．（23-24高一下·安徽六安·期末）已知篮球运动员甲、乙的罚球命中率分别为0.9，0.8，且两人罚球是否命中相互独立．若甲、乙各罚球一次，则至少有一人命中的概率为（    ） A．0.26 B．0.28 C．0.72 D．0.98 17．（23-24高一下·天津·期末）甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一球，约定甲先投，先投中者获胜，一直到有人获胜或每人都已投球3次时投篮结束设甲每次投篮投中的概率为，乙每次投篮投中的概率为，且各次投篮互不影响，则甲获胜的概率为（    ） A． B． C． D． 18．（23-24高一下·西藏日喀则·期末）高考结束后，为了分析该校高三年级1000名学生的高考成绩，从中随机抽取了100名学生的成绩，就这个问题来说，下列说法中正确的是（    ） A．100名学生是个体 B．样本容量是100 C．每名学生的成绩是所抽取的一个样本 D．1000名学生是样本 19．（23-24高一下·贵州黔西·期末）兴义市峰林布依景区在春节期间，迎来众多游客，其中某天接受了一个小型的旅行团，他们的年龄（单位：岁）如下：6，6，7，8，10，37，39，45，46，52，53，61，则这组数据的第75百分位数是（    ） A．34.5 B．46 C．49 D．52 20．（23-24高一下·湖南益阳·期末）根据气象学上的标准，如果连续5天的日平均气温都低于10℃即为入冬.现将连续5天的日平均气温（单位：℃）的记录数据（记录数据都是自然数）作为一组样本，则下列描述中，该组数据一定符合入冬指标的有（    ） A．平均数小于4 B．平均数小于4且极差小于或等于3 C．平均数小于4且标准差小于或等于4 D．众数等于6且极差小于或等于4 21．（23-24高一下·福建·期末）如图，在棱长为4的正方体中，为棱的中点，为棱的中点，设直线与平面交于点，则（  ） A．2 B． C．1 D． 22．（23-24高一下·云南迪庆·期末）已知圆锥的高为，底面积为，平行于圆锥底面的截面面积为，则截面与底面的距离为（   ） A． B． C． D． 23．（23-24高一下·江西赣州·期末）如图，是水平放置的的直观图，若，轴，轴，则的周长为（   ） A． B． C． D． 24．（23-24高一下·重庆·期末）如图，在正三棱柱中，若，，则与所成角的大小为（    ） A． B． C． D． 25．（23-24高一下·安徽马鞍山·期末）一个高为的直三棱柱容器内装有水，将侧面水平放置如图（1），水面恰好经过棱，，，的中点，现将底面水平放置如图（2），则容器中水面的高度是（    ）. A． B． C． D． 26．（23-24高一下·云南曲靖·期末）如图，已知正三棱柱为的中点，则与所成角的余弦值为（    ）    A．1 B． C． D． 27．（23-24高一下·贵州贵阳·期末）某广场内设置了一些石凳供大家休息，这些石凳是由正方体截去八个一样的四面体得到的，如图所示，若被截正方体的棱长是，则石凳的体积为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 28．（23-24高一下·河南南阳·阶段练习）下列关于向量的说法中，正确的是（   ） A．若向量互为相反向量， 则 B．若，则 C．若两个相等向量的起点相同，则它们的终点一定相同 D．若与是共线向量，则A，B，C三点共线 29．（23-24高一下·河北承德·期末）已知，则下列命题正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若三点共线，则 D．若，则∥ 30．（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·期末）下列关于平面向量的说法中错误的是（    ） A．设，为非零向量，若，则 B．设，为非零向量，若，则，的夹角为锐角 C．设，， 为非零向量，则 D．若点为的外心，则 31．（23-24高一下·山东青岛·期末）已知向量，满足，，则下列说法正确的是（    ） A．若则 B．最大值为3 C．若，则 D．若，则向量在向量上的投影向量坐标为 32．（23-24高一下·甘肃白银·期末）在中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，则（    ） A．若，则 B．若是单位圆的内接三角形，则 C．若，则 D．若，则是锐角三角形 33．（23-24高一下·青海·期末）已知复数，则（    ） A． B． C．的虚部是 D．在复平面内对应的点位于第四象限 34．（23-24高一下·贵州黔西·期末）已知i是虚数单位，下列说法正确的是（    ） A．若复数，则 B．若复数，则 C．若复数为纯虚数，则 D． 35．（23-24高一下·广东肇庆·期末）已知复数，则下列命题为真命题的有（　　） A．的虚部为 B． C． D．若是关于的方程的一个根，则 36．（23-24高一下·辽宁·期末）已知，是两个平面，，是两条直线，则下列说法正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，，则 D．若，，，则 37．（23-24高一下·海南海口·期末）如图，正方体中，，点为的中点，点为的中点，则下列结论正确的是（    ） A．与为异面直线 B． C．与夹角的正弦值为 D．三棱锥的体积为 38．（24-25高一上·广西钦州·期末）已知一组数据，的极差为m，平均数为a，方差为b，另外一组数据的极差为9，平均数为11，方差为13，则（    ） A． B． C． D． 39．（23-24高一下·内蒙古·期末）已知甲组数据为4，3，2，乙组数据为6，7，8，将甲、乙两组数据混合后得到丙组数据，则（    ） A．丙组数据的中位数为5 B．甲组数据的70%分位数是2 C．甲组数据的方差等于乙组数据的方差 D．甲组数据的极差等于乙组数据的极差 40．（23-24高一下·重庆巫山·期末）某学校对高一学生选科情况进行了统计，发现学生选科仅有物化生、政史地、物化地、物化政、生史地五种组合，其中选考物化地和物化政组合的人数相等，并绘制得到如下的扇形图和条形图，则（    ） A．该校高一学生总数为 B．该校高一学生中选考物化政组合的人数为 C．该校高一学生中选考物理的人数比选考历史的人数多 D．用比例分配的分层随机抽样方法从该校高一学生抽取人，则生史地组合抽取人 41．（23-24高一下·安徽马鞍山·期末）已知事件，满足：，，则（    ）. A．若，互斥，则 B．若，互斥，则 C．若，互相独立，则 D．若，互相独立，则 42．（23-24高一下·甘肃庆阳·期末）已知事件与事件，是事件的对立事件，是事件的对立事件，若，，则下列说法正确的是（    ） A． B．若事件与事件是互斥事件，则 C．若事件与事件相互独立，则 D．若，则事件与事件相互独立 43．（23-24高一下·云南曲靖·期末）一只不透明的口袋内装有9张相同的卡片，上面分别标有这9个数字（每张卡片上标1个数），“从中任意抽取1张卡片，卡片上的数字为2或5或8”记为事件，“从中任意抽取1张卡片，卡片上的数字不超过6”记为事件，“从中任意抽取1张卡片，卡片上的数字大于等于7”记为事件．则下列说法正确的是（    ） A．事件与事件是互斥事件 B．事件与事件是对立事件 C．事件与事件相互独立 D． 44．（23-24高一下·陕西宝鸡·期末）某年级有12个班，现要从2班到12班中选1个班的学生参加一项活动，有人提议：掷两个骰子，把得到的点数之和是几就选几班，针对这种选法下面说法不正确的有（    ） A．公平，每个班被选到的概率都为 B．公平，每个班被选到的概率都为 C．不公平，6班被选到的概率最大 D．不公平，7班被选到的概率最大 45．（23-24高一下·四川凉山·期末）若是三个不同的平面，是三条不同的直线，下列说法正确的是（） A．若，则 B．若，则 C．若，且，则 D．若，，且，则 46．（23-24高一下·甘肃临夏·期末）如图，在棱长均为1的四棱锥中，O为底面正方形的中心，分别为侧棱的中点，则（    ）    A． B．平面平面OMN C． D．四棱锥的体积为 47．（23-24高一下·江西宜春·期末）如图，在棱长为1的正方体中，已知是线段上的两个动点，且，则（    ） A．的面积为定值 B． C．点A到直线的距离为定值 D．三棱锥的体积不为定值 48．（23-24高一下·青海西宁·期末）如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等，则下列结论正确的是（    ）    A．圆柱的侧面积为 B．圆锥的侧面积为 C．圆柱的侧面积与球的表面积相等 D．圆柱､圆锥､球的体积之比为 49．（23-24高一下·陕西渭南·期末）如图，菱形的对角线与交于点是的中位线，与交于点，已知是绕旋转过程中的一个图形，且平面．则下列结论中正确的是（    ）    A．异面直线与的夹角为 B．平面平面 C．与可能垂直 D．与可能平行 三、填空题 50．（23-24高一下·安徽亳州·期末）已知平面向量，，则在上的投影向量的坐标为 . 51．（23-24高一下·江苏无锡·期末）已知向量的夹角为，且，则 . 52．（23-24高一下·重庆·期末）如图，为了测量河对岸的塔高AB，某测量队选取与塔底B在同一水平面内的两个测量基点C与D．现测量得，米，在点C，D处测得塔顶A的仰角分别为，，则塔高 ． 53．（23-24高一下·湖南株洲·期末）已知平行四边形中，，，.若点满足，点为中点，则 . 54．（23-24高一下·四川绵阳·期末）在复平面内，i为虚数单位，若复数z满足，则 ． 55．（23-24高一下·安徽六安·期末）已知为虚数单位，若复数满足，则的取值范围是 . 56．（23-24高一下·上海·期末）计算： ． 57．（23-24高一下·山东青岛·期末）一组数据：1，2，3，4，5，5，5，6，6，7，8，9，9，10的众数为，第三四分位数为，则 ； 58．（23-24高一下·广东广州·期末）从某小区抽取100户层民用户进行月用电量调查，发现他们的月用电量都在之间，进行适当分组后（每组为左用右开的区间），画出频率分布直方图如图所示，在被调查的用户中，月用电量落在区间内的户数为 ． 59．（23-24高一下·陕西西安·期末）我国古代十进制数的算筹记数法是世界数学史上一个伟大的创造，算筹一般为小圆棍，算筹计数法的表示方法为：个位用纵式，十位用横式，百位再用纵式，千位再用横式，以此类推；遇零则置空．纵式和横式对应数字的算筹表示如下表所示，例如：10记为“—”，62记为“”．现从由4根算筹表示的两位数中任取一个数，则取到的数字为质数的概率为 ． 60．（23-24高一下·湖南岳阳·期末）每年农历五月初五为端午节，又称端阳节；端午节是为了纪念楚国爱国诗人屈原而设立的传统节日.端午节对于中华民族的文化传承具有重要意义，也成为了中华文化与世界文化交流的窗口.更有吃粽子，赛龙舟，挂菖蒲､蒿草､艾叶，薰苍术､白芷，喝雄黄酒的习俗.2023年6月22日是我国的传统节日“端午节”.这天，楠楠的妈妈煮了9个粽子，其中4个腊肉馅，5个豆沙馅.楠楠想尝下粽子的味道，第一次尝了一个粽子觉得味道好吃，接着第二次又尝了一个粽子，则楠楠第一次和第二次尝的都是腊肉馅的概率为 . 61．（23-24高一下·四川攀枝花·期末）甲、乙、丙三名同学参加某项技能测试，已知甲、乙、丙通过测试的概率分别为，，，且三人是否通过测试彼此独立，则甲、乙、丙三人中恰有两人通过测试的概率为 . 62．（23-24高一下·新疆乌鲁木齐·期末）在一个不透明的纸盒中装有6个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同.每次从袋子中随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，通过多次重复试验发现摸出红球的频率稳定在0.8附近，则袋子中红球约有 个. 63．（23-24高一下·辽宁葫芦岛·期末）足球起源于中国古代的蹴鞠游戏，“蹴”有用脚蹴､踢的含义，“鞠”最早系外包皮革内饰米糠的球，因而“蹴鞠”就是指古人以脚蹴､踢皮球的活动.已知某鞠（球）的表面上有四个点，满足平面，若三棱锥体积为，则该“鞠”的体积最小值为 . 64．（23-24高一下·福建厦门·期末）在四棱锥中，底面，四边形为正方形，，则直线与所成角的大小为 . 65．（23-24高一下·辽宁辽阳·期末）如图，四棱台的侧棱长均相等，四边形和四边形都是正方形，，则该四棱台的体积为 . 66．（23-24高一下·四川成都·期末）如图，平面四边形中，，，，，沿将折起成直二面角（折起后原来平面图形的D点变为空间图形的P点），则折起后四面体的内切球半径为 ． 67．（23-24高一下·吉林·期末）已知水平放置的四边形的斜二测直观图为矩形，已知，，则四边形的周长为 . 68．（23-24高一下·广东湛江·期末）如图，透明塑料制成的长方体内灌进一些水，固定容器底面一边于水平地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度不同，有下面五个命题： ①有水的部分始终为四棱柱形； ②没有水的部分始终呈棱柱形； ③水面所在四边形的面积为定值； ④棱始终与水面所在平面平行； ⑤当容器倾斜如图（3）所示时，是定值．其中所有正确命题的序号是 ． 四、解答题 69．（23-24高一下·甘肃·期末）已知向量，. (1)若，求； (2)若向量，，求与夹角的余弦值. 70．（23-24高二下·陕西西安）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． (1)求B的大小； (2)若，的面积为，求的周长． 71．（24-25高一上·辽宁·期末）如图，在等腰梯形ABCD中，，AC与EF交于点G，记． (1)试用基底表示； (2)记的面积为，的面积为，求的值． 72．（23-24高一下·青海·期末）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，，已知． (1)求； (2)若的面积为，求的周长． 73．（24-25高一上·广西钦州·期末）某机构对100名菜农去年种植销售的蔬菜重量（单位：吨）进行了统计调查，将得到的数据按，，，分为4组，画出的频率分布直方图如图所示. (1)求m； (2)估计这100名菜农去年种植销售的蔬菜重量的中位数； (3)估计这100名菜农去年种植销售的蔬菜重量的平均数与方差（同一组中的数据用该组区间的中点值作为代表）. 74．（23-24高一下·广东广州·期末）已知总体划分为2层，通过分层随机抽样，第层抽取的样本量、样本均值和样本方差分别为．记总样本数据的均值为，总样本数据的方差为． (1)写出与的计算公式（直接写出结果，不需证明）； (2)某学校有高中学生500人，其中男生300人，女生200人．现采用分层随机抽样的方法抽取样本，并观测样本的指标值（单位：），计算得男生样本的均值为172.5，方差为16，女生样本的均值为162.5，方差为30． （i）如果已知男、女样本量按比例分配，试计算出总样本的均值与方差； （ii）如果已知男、女的样本量都是50，试计算出总样本的均值与方差，此时将它们分别作为总体的均值与方差的估计合适吗？请说明理由． 75．（23-24高一下·西藏拉萨·期末）已知甲乙两家公司独立研发疫苗A，甲成功的概率为，乙成功的概率为，丙公司独立研发疫苗B，研发成功的概率为 . 求: (1)甲乙都研发成功的概率； (2)疫苗A研发成功的概率； (3)疫苗A与疫苗B均研发成功的概率； (4)仅有一款疫苗研发成功的概率. 76．（23-24高一下·贵州毕节·期末）盒子中有6个大小形状完全相同的小球，其中有两个小球标有数字1，记为；有两个小球标有数字2，记为；有一个小球标有数字3，记为；有一个小球标有数字4，记为.现从中一次取出两个小球. (1)写出试验的样本空间； (2)①“取出的两个小球上标有的数字不相同”，求； ②“取出的两个小球上的数字之和为5”，求； ③“取出的两个小球上的最小数字是2”，求. 77．（23-24高一下·宁夏银川·期末）某校在一次期末数学测试中，为统计学生考试情况，从学校名学生中随机抽取名学生的考试成绩，被测学生成绩全部介于分到分之间满分分，将统计结果按如下方式分成八组：第一组，第二组第八组，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分．    (1)根据图表，计算第七组的频率，并估计该校的名学生这次考试成绩的平均分同一组中的数据用该组区间的中点值代表该组数据平均值； (2)若从样本成绩属于第六组和第八组的所有学生中随机抽取名，求他们的分差的绝对值不超过分的概率． 78．（23-24高一下·河北张家口·期末）已知某校高一年级1班、2班、3班分别有36人、48人、60人，现从这3个班用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取24人参加安全知识竞赛． (1)求这3个班分别抽取的人数； (2)已知从1班抽取的人中有2名女生，若要从1班抽取的人中选2名同学作为组长，求至少有1名女生作为组长的概率； (3)知识竞赛结束后，依据答题规则进行统计，甲同学回答5道题的得分分别为69，71，72，73，75，乙同学回答5道题的得分分别为70，71，71，73，75，请问甲、乙两名同学哪位同学的成绩更稳定？ 79．（23-24高一下·福建福州·期末）一城市的某爱心机构建议市民应合理使用手机，可以尝试设定使用时间限制，多参加户外活动，与人面对面交流，让生活更加丰富多彩，为了更好地做好该项宣传工作，做到宣传的全面有效，该机构随机选择了100位市民进行宣传，这些市民年龄的样本数据的频率分布直方图如下： (1)请估计这100位市民的平均年龄，结果请保留整数（同组数据用区间的中点值代替） (2)请估计该市市民中的一位市民年龄位于区间的概率； (3)从100位市民里年龄在和的两组中用比例分配的分层抽样方法抽取6人再从这6人中不放回地随机抽取2人进行电话回访，若抽取的2人的年龄差大于10，则代表该机构宣传工作做得全面，获得好评，求该机构宣传工作获得好评的概率． 80．（23-24高一下·广东肇庆·期末）一个不透明的盒中有3个红球，2个白球，5个球除颜色外完全相同． (1)从盒中有放回地摸球，求第一次与第二次摸到的都是红球的概率； (2)每次从盒中任取两个球，游戏规则：若都是红球，则放回盒中；若有白球，则将白球换成红球（非盒内，且与原盒中红球相同），再把两个红球放回盒中，白球不放回盒中，直至盒中都是红球，游戏结束．求经过2次抽取后游戏结束的概率． 81．（23-24高一下·贵州贵阳·期末）根据央视网消息显示，贵州省文旅厅网站5月1日公布《2023年“五一”假期前三天全省文化旅游情况》，其中显示，假期前三天，根据抽样调查结果，全省接待游客2038.26万人次（用2038万计算），较2022年假日同期增长（用计算），恢复到2019年假日同期水平的（用计算）.某大学旅游管理专业的学生陈枫为了了解“红色旅游景区”的游客对景区历史文化背景的知晓情况，随机抽选了若干名游客进行问卷调查，根据问卷得分，统计如下： 得分 频率 0.10 0.20 0.40 0.20 0.10 (1)求2022年和2019年“五一”假期前三天全省接待游客人次（单位：万），精确到0.01. (2)根据表格估计“红色旅游景区”的游客对景区历史文化背景知晓情况问卷得分的平均水平（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）. (3)陈枫为了答谢游客的参与，在问卷得分为的游客中按的比例抽选6人作为景区“幸运游客”，景区在“幸运游客”中随机选取两人评为“五星游客”，求得分为､的游客中各有一人评为“五星游客”的概率. 82．（23-24高一下·吉林通化·期末）某校举办环保知识竞赛，初赛中每位参赛者有三次答题机会，每次回答一道题，若答对，则通过初赛，否则直到三次机会用完.已知甲､乙､丙都参加了这次环保知识竞赛，且他们每次答对题目的概率都是，假设甲､乙､丙每次答题是相互独立的，且甲､乙､丙的答题结果也是相互独立的. (1)求甲第二次答题通过初赛的概率； (2)求乙通过初赛的概率； (3)求甲、乙、丙三人中恰有两人通过初赛的概率. 83．（23-24高一下·北京房山·期末）如图，在正方体中，E为的中点． (1)求证：； (2)求证：平面BDE． 84．（23-24高一下·湖南邵阳·期末）如图所示，长方形中，，，点是边的中点，将沿翻折到，连接，得到图的四棱锥．      (1)求四棱锥的体积的最大值； (2)若棱的中点为，求的长； 85．（23-24高一下·广西来宾·期末）如图，在正三棱柱中，为的中点．    (1)求直线与所成角的大小； (2)若，求直线与平面所成角的正弦值． 86．（23-24高一下·河南商丘·期末）如图，在四棱锥中，底面为正方形，，，且底面，，，分别为棱，，的中点. (1)求证：平面平面； (2)求二面角的大小. 87．（23-24高一下·江西赣州·期末）如图，在四棱锥中，四边形是边长为的正方形，平面，与平面所成角为，为线段上的点. (1)若为线段的中点，证明：平面； (2)若为线段上靠近的三等分点，求三棱锥的体积. 88．（23-24高一下·上海·期末）如图，是的直径，垂直于所在的平面，是圆周上不同于的一动点. (1)证明：是直角三角形； (2)若，，求直线与平面所成角的正弦值. (3)若，且异面直线与所成角为，求的长；（结果精确到0.1） 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $$