江苏省南京市2024-2025学年八年级下学期期末考试数学模拟试卷（苏科版）

· 南京市2024-2025学年八年级第二学期期末检测 · 数学模拟试卷 （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．做选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．做填空题和解答题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 一、选择题（本题共6小题，每小题2分，共12分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．为积极响应卫健委“体重管理年”3年行动，某社区设计了下列4种健身宣传图标，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（   ） A． B．C． D． 2．对于1950年至2024年世界人口总量的变化趋势，选用下列哪种统计图描述较为适宜（    ） A．折线统计图 B．条形统计图 C．扇形统计图 D．雷达统计图 3．下列计算错误的是（   ） A． B． C． D． 4．下列分式变形正确的是（   ） A．B． C． D． 5．在校园艺术节中，同学们准备制作4个菱形画框．完成后，他们决定通过测量来验证画框的形状，根据下列测量结果，其中不能判定画框为菱形的测量方式是（   ） A．B． C． D． 6．如图，平行四边形的顶点 在 轴的正半轴上，点在对角线 上，反比例函数的图象经过、两点．已知平行四边形的面积是，则点 的坐标为（   ） A． B． C． D． 二、填空题：本题共10小题，每小题2分，共20分。 7．函数的自变量的取值范围是 8．在1至100这100个数中，随意抽出1个数，它是2的倍数的可能性 它是5的倍数的可能性（填“大于”“小于”或“等于”）． 9．，则 ． 10．快递运载机器人是一种应用于配送领域的智能机器人，它的最快移动速度是载重后总质量的反比例函数．已知一款快递运载机器人载重后总质量时，它的最快移动速度；当其载重后总质量时，它的最快移动速度 ． 11．梁启超先生曾说：“少年强则国强，少年智则国智，少年富则国富”，在划线部分这句话中，“国”字出现的频率是 ． 12．若，则代数式的值为 ． 13．如图，平行四边形的对角线，相交于点O，的平分线与边相交于点P，E是中点，若，，则的长为 ． 第13题 第14题 14．如图，正方形的边长为4，将等腰直角三角板的角的顶点放在点处，与交于点，与交于点，若，则的长为 ． 15．如图，在平面直角坐标系中，正方形的边长为3，函数（）的图像经过该正方形的顶点P，（）的图像上有一点D，直线经过点D，且与边所在直线交于点F，与x轴交于点E．当时，b的取值范围为 ． 第 16．在数学拓展课《折叠矩形纸片》上，小林发现折叠矩形纸片可以进行如下操作： ①第一次折叠：在边上取点E，把翻折，使点A落在边上的点F处，折痕为； ②展开纸片：把纸片展开并铺平； ③第二次折叠：在边上取点G，把翻折，使点C落在直线上的点H处，折痕为． 若已知，则 ． 三、解答题：本题共10小题，共68分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（6分）计算： (1)； (2) 18．（6分）解方程：． 19．（6分）先化简：，再从中选合适的数代入求值． 20．（6分）如图，已知． (1)证明：． (2)连接，线段交于点．从“①；②”这两组条件中，任选一组作为已知条件，填在横线上 （填序号），则四边形的形状是 ，并说明理由． 21．（6分）某学校举办读书节，购买了一批课外读物，为使购买的课外读物满足同学们的需求，学校就 “我最喜爱的课外读物”从文学、艺术、科普和其他四个类别进行了抽样调查（每位同学只选一类），如图 是根据调查结果绘制的两幅不完整的统计图． 扇形统计条形统计图 (1)本次调查中，一共调查了 名同学． （直接填答案） (2)   ，   ，扇形图中艺术类读物所对的圆心角是 度． （直接填数字答案） (3)根据调查的结果，请你给学校购买课外读物提供一条合理化建议． 22．（8分）如图所示，是《天工开物》中记载的三千多年前中国古人利用桔槔在井上汲水的情境，受桔槔的启发，某数学兴趣小组组装了以下装置，通过实验收集了大量数据，对数据的整理和分析，发现的长度和重物的质量之间近似存在一个函数关系，部分数据如下表： … 10 16 20 25 40 50 … … 8 5 4 3.2 2 1.6 … (1)在图1中描出表中数据对应的点； (2)根据表中数据，从和中选择一个函数模型，使它能近似的反映重物的质量为和的长度为的函数关系，并求出这个函数的解析式（不要求写出的取值范围）； (3)在（2）的条件下，若点的坐标为，点的坐标为，在（2）中所求函数的图象上存在点，使得，请求出所有满足条件的点的坐标． 23．（8分）图1、图2、图3是分别是6×6的正方形网格，网格中每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，仅用无刻度的直尺在下列网格中按要求作图，所画图形的顶点均在格点上． (1)以AC为对角线在图1中作一个正方形，使正方形的面积为10． (2)以AC为对角线在图2中作一个矩形，使矩形面积为6． (3)以AC为对角线在图3中作出一个面积为8的平行四边形（不含矩形）． 24．（6分）小明家距离科技馆米，一天他步行去科技馆看表演，走到路程的一半时，小明发现忘带门票，此时离表演开始还有分钟，于是立刻步行回家取票，随后骑车赶往科技馆．已知小明骑车到科技馆比他步行到科技馆少用分钟，且骑车的速度是步行速度的倍，小明进家取票时间共用分钟． （1）小明步行的速度是每分钟多少米？ （2）请你判断小明能否在表演开始前赶到科技馆，并通过计算说明理由． 25．（8分）定义：若分式M与分式N的差等于它们的积，即，则称分式N是分式M的“关联分式”．如与，因为，， 所以是的“关联分式”． (1)请判断分式与分式是否为“关联分式”，并说明理由； (2)小明在求分式的“关联分式”时，用了以下方法： 设的“关联分式”为N，则， ∴，∴． 请你仿照小明的方法求分式的“关联分式”； (3)①观察（1）、（2）的结果，寻找规律，直接写出分式的“关联分式”：__________； ②用发现的规律解决问题：若是的“关联分式”，求实数m，n的值． 26．（8分）定义：对于一个四边形，我们把依次连结它的各边中点得到的新四边形叫做原四边形的“中点四边形”，如果原四边形的中点四边形是个正方形，我们把这个原四边形叫做“中方四边形”． 概念理解：下列四边形中一定是“中方四边形”的是______． A．平行四边形；    B．矩形；    C．菱形；    D．正方形． 性质探究：如图1，四边形是“中方四边形”，观察图形，写出关于四边形的结论： ①______；②______． 问题解决：如图2，以锐角的两边，为边长，分别向外侧作正方形和正方形，连结，，． （1）连结，，问，的数量关系和位置关系是什么？请说明理由． （2）四边形______“中方四边形”（此空填“是”或“不是”） 拓展应用：如图3，已知四边形是“中方四边形”，，分别是，的中点． （3）试探索与的数量关系，并说明理由． （4）若的最小值是，则的长度为______．（不需要解答过程） 1 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $$ · 南京市2024-2025学年八年级第二学期期末检测 · 数学模拟试卷 （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．做选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．做填空题和解答题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 一、选择题（本题共6小题，每小题2分，共12分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．为积极响应卫健委“体重管理年”3年行动，某社区设计了下列4种健身宣传图标，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（   ） A． B．C． D． 【答案】A 【知识点】轴对称图形的识别、中心对称图形的识别 【分析】本题考查轴对称及中心对称的定义，掌握中心对称图形与轴对称图形的概念，要注意：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．根据轴对称图形与中心对称图形的概念逐选项判断即可． 【详解】解：A、该图形既是轴对称图形又是中心对称图形，符合题意； B、该图形既不是轴对称图形又不是中心对称图形，不符合题意； C、该图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意； D、该图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意； 故选：A． 2．对于1950年至2024年世界人口总量的变化趋势，选用下列哪种统计图描述较为适宜（    ） A．折线统计图 B．条形统计图 C．扇形统计图 D．雷达统计图 【答案】A 【知识点】选择合适的统计图 【分析】本题主要考查了统计图的选择，扇形统计图表示的是部分在总体中所占的百分比；折线统计图表示的是事物的变化情况；而条形统计图和直方图能清楚地表示出每个项目的具体数目；直方图能够清楚地表示出每组的具体数目，分组的时候，数据是连续的，据此可得答案． 【详解】解：对于1950年至2024年世界人口总量的变化趋势，应选择折线统计图， 故选：A． 3．下列计算错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】二次根式的乘法、二次根式的除法、二次根式的加减运算 【分析】本题考查了二次根式的运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键．根据二次根式的运算法则，逐项分析即可判断． 【详解】解：A、，故此选项计算正确，不符合题意； B、，故此选项计算正确，不符合题意； C、，故此选项计算正确，不符合题意； D、，故此选项计算错误，符合题意； 故选：D． 4．下列分式变形正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】判断分式变形是否正确 【分析】本题考查了分式的性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键．根据分式的基本性质，进行计算逐一判断即可解答． 【详解】解：A. ，故该选项不正确，不符合题意； B. ，故该选项不正确，不符合题意；    C. ，故该选项正确，符合题意； D. ，故该选项不正确，不符合题意； 故选：C． 5．在校园艺术节中，同学们准备制作4个菱形画框．完成后，他们决定通过测量来验证画框的形状，根据下列测量结果，其中不能判定画框为菱形的测量方式是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】证明四边形是菱形 【分析】本题考查菱形的判定，根据菱形的判定方法，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、根据对角线互相垂直且平分的四边形为菱形，可以判定画框为菱形，不符合题意； B、根据测量方式结合同旁内角互补，两直线平行，可以得到四边形的两组对边平行，得到四边形为平行四边形，不能判定画框为菱形，符合题意； C、根据四边相等的四边形为菱形，能判定画框为菱形，不符合题意； D、根据测量方式结合同旁内角互补，两直线平行，可以得到四边形的两组对边平行，得到四边形为平行四边形，再根据有一组邻边相等的平行四边形为菱形，可以判定画框为菱形，不符合题意； 故选B． 6．如图，平行四边形的顶点 在 轴的正半轴上，点在对角线 上，反比例函数的图象经过、两点．已知平行四边形的面积是，则点 的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】利用平方根解方程、正比例函数的性质、反比例函数与几何综合、利用平行四边形的性质求解 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式、平行四边形的性质、三角形面积，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键． 求出反比例函数，设的解析式为，由经过，得出的解式为，设，且，由平行四边形的性质得，，则，，代入面积公式即可得出结果． 【详解】解：反比例函数的图象经过点 ， ， 反比例函数， 经过原点O， 设的解析式为， 经过点， 则， ， 的解析式为， 反比例函数经过点C， 设，且， 四边形是平行四边形， ，， 点B的纵坐标为， 的解析式为， ∴， ∴ ， ， ， ， 解得：或（舍去）， 点B的坐标是， 故选：D． 二、填空题：本题共10小题，每小题2分，共20分。 7．函数的自变量的取值范围是 【答案】 【知识点】二次根式有意义的条件 【分析】本题考查了二次根式有意义条件，二次根式有意义，则被开方数大于等于零 根据题意得到，解得，即可得到答案． 【详解】解：根据题意得， 解得：， 函数的自变量的取值范围是， 故答案为：． 8．在1至100这100个数中，随意抽出1个数，它是2的倍数的可能性 它是5的倍数的可能性（填“大于”“小于”或“等于”）． 【答案】大于 【知识点】判断事件发生的可能性的大小、根据概率公式计算概率 【分析】本题考查了事件发生可能性的大小，理解随件事件发生的概率是关键． 根据随机事件概率的大小判定即可求解． 【详解】解：1到10之间是2的倍数的有：，共5个，是5的倍数的有，共2个， 同理，11到20之间是2的倍数的有：，共5个，是5的倍数的有，共2个， ， ∴在1至100这100个数中，随意抽出1个数，它是2的倍数的共有个，是5的倍数的共有个， ∴是2的倍数的概率为，是5的倍数的概率为， ∵， ∴它是2的倍数的可能性大于它是5的倍数的可能性， 故答案为：大于 ． 9．，则 ． 【答案】 【知识点】分式的求值、异分母分式加减法 【分析】本题考查分式的求值，异分母分式的加减法，条件式变形得到，整体代入法，求值即可． 【详解】解：， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 10．快递运载机器人是一种应用于配送领域的智能机器人，它的最快移动速度是载重后总质量的反比例函数．已知一款快递运载机器人载重后总质量时，它的最快移动速度；当其载重后总质量时，它的最快移动速度 ． 【答案】 【知识点】实际问题与反比例函数 【分析】本题考查了反比例函数的应用．利用待定系数法求出反比例函数解析式，后再将代入计算即可． 【详解】解：∵智能机器人的最快移动速度是载重后总质量的反比例函数，机器狗载重后总质量时，它的最快移动速度， 设反比例函数解析式为，代入得： ， ∴反比例函数解析式为， 当时，， 故答案为：． 11．梁启超先生曾说：“少年强则国强，少年智则国智，少年富则国富”，在划线部分这句话中，“国”字出现的频率是 ． 【答案】 【知识点】求某事件的频率 【分析】先计算划线部分字的总数，再数“国”字个数，根据频率=频数除以总数的定义即可得． 【详解】解：∵在“少年强则国强，少年智则国智，少年富则国富”这18个字中，“国”字有3个， ∴“国”字出现的频率是； 故答案为：． 【点睛】本题主要考查频数与频率，频率是指每个对象出现的次数与总次数的比值（或者百分比），即频率=频数÷数据总数． 12．若，则代数式的值为 ． 【答案】2025 【知识点】运用完全平方公式进行运算、利用二次根式的性质化简、已知字母的值，化简求值 【分析】此题考查了代数式的值、二次根式的性质等知识，整体代入是解题的关键． 先求出，把变形为，整体代入即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴ 故答案为：． 13．如图，平行四边形的对角线，相交于点O，的平分线与边相交于点P，E是中点，若，，则的长为 ． 【答案】1 【知识点】利用平行四边形的性质求解、与三角形中位线有关的求解问题 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、角平分线的定义、三角形中位线的判定与性质等知识点，由平行四边形可得,则，根据平分可得，从而可得，可得，进一步可得的长，再根据三角形中位线定理可得即可解答． 【详解】解：在平行四边形中， ∴，，O是的中点， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵E是的中点，O是的中点， ∴是的中位线， ∴． 故答案为1． 14．如图，正方形的边长为4，将等腰直角三角板的角的顶点放在点处，与交于点，与交于点，若，则的长为 ． 【答案】 【知识点】用SAS间接证明三角形全等（SAS）、用勾股定理解三角形、根据正方形的性质求线段长 【分析】延长到P，使，连接，，依题意得，，设，则，证明和全等得，再根据得，由此可依据“”判定和全等，则，然后在中，由勾股定理可求出，由此可得出的长． 【详解】解：延长到P，使，连接，，如图所示： ∵四边形是正方形，且边长为4， ∴，， ∴， ∵， ∴，， 设，则， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴， 解得：， ∴， 即的长为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，等腰直角三角形，全等三角形的判定与性质，勾股定理，理解正方形的性质，等腰直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质，灵活运用勾股定理进行计算是解决问题的关键． 15．如图，在平面直角坐标系中，正方形的边长为3，函数（）的图像经过该正方形的顶点P，（）的图像上有一点D，直线经过点D，且与边所在直线交于点F，与x轴交于点E．当时，b的取值范围为 ． 【答案】 【知识点】根据正方形的性质求线段长、一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数综合，正方形的性质. 先求出反比例函数解析式，根据题意求出，，当时，由中点坐标可知，再由值恒定，随b的增大而增大，作答即可. 【详解】解：∵正方形的边长为3， ∴， ∵函数（）的图像经过该正方形的顶点P， ∴， 即函数解析式为， ∵直线经过点D，且与边所在直线交于点F，与x轴交于点E． ∴F纵坐标为3，E纵坐标为0 当时，，即 当时，，即 当时，由中点坐标可知 ∵直线经过点D， ∴， ∴， ∵值恒定， ∴随b的增大而增大， ∴当时，， 故答案为：. 16．在数学拓展课《折叠矩形纸片》上，小林发现折叠矩形纸片可以进行如下操作： ①第一次折叠：在边上取点E，把翻折，使点A落在边上的点F处，折痕为； ②展开纸片：把纸片展开并铺平； ③第二次折叠：在边上取点G，把翻折，使点C落在直线上的点H处，折痕为． 若已知，则 ． 【答案】或 【知识点】用勾股定理解三角形、矩形与折叠问题、等腰三角形的定义 【分析】本题主要考查了正方形的判定与性质、矩形的性质、折叠的性质、勾股定理等知识点，根据相关运用勾股定理列出方程是解题的关键． 先根据折叠的性质、正方形的判定与性质以及矩形的性质可得 设，则，；然后分H在线段上和H在线段的延长线上两种情况分别建立方程求解即可． 【详解】解：由折叠可得∶， ∴四边形为正方形， ∵在边上取点G，把翻折，使点C落在直线上的点H处，折痕为． ∴， ∴， ∵矩形， ∴ 设，则，， ①当H在线段上时，则，    ∴， 解得∶， ∴； ②当H在线段的延长线上时，则，    ∴， 解得∶， ∴； 综上的长为或． 三、解答题：本题共10小题，共68分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（6分）计算： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】运用平方差公式进行运算、运用完全平方公式进行运算、二次根式的加减运算、二次根式的混合运算 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，乘法公式，掌握运算法则，并正确进行计算是解题的关键． （1）先化简二次根式，再合并同类二次根式即可； （2）分别用平方差公式及完全平方公式展开，再合并同类二次根式即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 18．（6分）解方程：． 【答案】 【知识点】解分式方程（化为一元一次） 【分析】本题考查解分式方程，熟练掌握解方程的方法是解题的关键． 利用去分母将原方程化为整式方程，解得x的值后进行检验即可． 【详解】解：原方程去分母得∶， 整理得 移项，合并同类项得 解得 经检验，是原分式方程的根． 19．（6分）先化简：，再从中选合适的数代入求值． 【答案】，2 【知识点】分式有意义的条件、分式化简求值 【分析】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握分式混合运算顺序和运算法则．先根据分式混合运算顺序和运算法则化简原式，再选取使分式有意义的x的值代入计算可得． 【详解】解： ， ∵且， 且， ∴， 当时，原式 20．（6分）如图，已知． (1)证明：． (2)连接，线段交于点．从“①；②”这两组条件中，任选一组作为已知条件，填在横线上 （填序号），则四边形的形状是 ，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)①；菱形；或②，矩形，证明见解析 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、添一条件使四边形是矩形、添一个条件使四边形是菱形 【分析】（1）先证明，再结合已知条件可得，即可得到结论； （2）选择条件①，则四边形是菱形．先证明四边形是平行四边形，再证明，即可得到四边形是菱形． 选择条件②，则四边形是矩形．先证明四边形是平行四边形，再证明，即可得到四边形是矩形． 【详解】（1）解：， ， ， ， ． （2）解：选择条件①，则四边形是菱形． 理由如下：由（1）知， ， ， ∴． 又， 四边形是平行四边形， 点是对角线，的中点． ， ，即， 四边形是菱形． 选择条件②，则四边形是矩形． 理由如下：由（1）知， ， ， ∴． 又， 四边形是平行四边形， 点是对角线，的中点． ， ， 四边形是矩形． 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，菱形的判定，矩形的判定，熟记特殊四边形的判定方法是关键． 21．（6分）某学校举办读书节，购买了一批课外读物，为使购买的课外读物满足同学们的需求，学校就 “我最喜爱的课外读物”从文学、艺术、科普和其他四个类别进行了抽样调查（每位同学只选一类），如图 是根据调查结果绘制的两幅不完整的统计图． 扇形统计条形统计图 (1)本次调查中，一共调查了 名同学． （直接填答案） (2)   ，   ，扇形图中艺术类读物所对的圆心角是 度． （直接填数字答案） (3)根据调查的结果，请你给学校购买课外读物提供一条合理化建议． 【答案】(1) (2)；； (3)①学校购买课外读物时，文学类的书多采购一些，科普类的书多采购一些；②艺术类和其他少类采购一些（答案不唯一） 【知识点】求扇形统计图的某项数目、求扇形统计图的圆心角、由扇形统计图推断结论、条形统计图和扇形统计图信息关联 【分析】本题考查条形统计图、扇形统计图，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答． （1）根据统计图中的数据可以求得本次调查的学生数； （2）根据（1）的结论，可以求得、的值，根据艺术类的占比乘以，求得扇形图中艺术类读物所对的圆心角； （3）根据统计图中的数据判断即可． 【详解】（1）解：由题意可得，本次调查的学生有：（名）， 故答案为：； （2）解：， ， 扇形图中艺术类读物所对的圆心角是： 故答案为：；，； （3）解：建议如下：①学校购买课外读物时，文学类的书多采购一些，科普类的书多采购一些；②艺术类和其他少类采购一些（答案不唯一）． 22．（8分）如图所示，是《天工开物》中记载的三千多年前中国古人利用桔槔在井上汲水的情境，受桔槔的启发，某数学兴趣小组组装了以下装置，通过实验收集了大量数据，对数据的整理和分析，发现的长度和重物的质量之间近似存在一个函数关系，部分数据如下表： … 10 16 20 25 40 50 … … 8 5 4 3.2 2 1.6 … (1)在图1中描出表中数据对应的点； (2)根据表中数据，从和中选择一个函数模型，使它能近似的反映重物的质量为和的长度为的函数关系，并求出这个函数的解析式（不要求写出的取值范围）； (3)在（2）的条件下，若点的坐标为，点的坐标为，在（2）中所求函数的图象上存在点，使得，请求出所有满足条件的点的坐标． 【答案】(1)见解析 (2) (3)满足条件的点的坐标为或 【知识点】其他问题(一次函数的实际应用)、实际问题与反比例函数 【分析】本题主要考查了反比例函数的实际运用，正确理解题意是解题的关键． （1）在坐标系中描出表中数据对应的点即可； （2）将代入得，求出，得到函数的解析式为； （3）设，连接，得到，求出，即可得到答案． 【详解】（1）解：如图， （2）解：将代入得， ， 函数的解析式为； （3）解：点的坐标为，点的坐标为，为反比例函数上一点， 设， 如图，连接， ， ， ， 解得， 经检验是原方程的根， 当时，， ， 当时，， ， 综上所述，满足条件的点的坐标为或． 23．（8分）图1、图2、图3是分别是6×6的正方形网格，网格中每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，仅用无刻度的直尺在下列网格中按要求作图，所画图形的顶点均在格点上． (1)以AC为对角线在图1中作一个正方形，使正方形的面积为10． (2)以AC为对角线在图2中作一个矩形，使矩形面积为6． (3)以AC为对角线在图3中作出一个面积为8的平行四边形（不含矩形）． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 (3)见详解 【知识点】勾股定理与网格问题、根据矩形的性质求线段长、根据正方形的性质求面积、无刻度直尺作图 【分析】（1）作一个以为对角线，边长为的正方形即可； （2）作一个以为对角线，两邻边长为和的矩形即可； （3）由于A到C的竖直距离为4，因此过中点作，使O为中点，且的水平距离为4即可；或者作一个以为对角线，底为2高为4的平行四边形即可． 【详解】（1） 如图，四边形即为所求； （2） 如图，四边形即为所求； （3） 如图，四边形即为所求． 【点睛】本题考查作图-应用与设计作图，掌握平行四边形的性质，学会利用数形结合的思想是解题的关键． 24．（6分）小明家距离科技馆米，一天他步行去科技馆看表演，走到路程的一半时，小明发现忘带门票，此时离表演开始还有分钟，于是立刻步行回家取票，随后骑车赶往科技馆．已知小明骑车到科技馆比他步行到科技馆少用分钟，且骑车的速度是步行速度的倍，小明进家取票时间共用分钟． （1）小明步行的速度是每分钟多少米？ （2）请你判断小明能否在表演开始前赶到科技馆，并通过计算说明理由． 【答案】（1）小明步行的速度为米分钟；（2）小明能在表演开始前赶到科技馆，理由见详解． 【知识点】分式方程的行程问题 【分析】（1）设小明步行的速度是每分钟x米，则小明骑车的速度是每分钟5x米，根据时间＝路程÷速度结合小明骑车到科技馆比他步行到科技馆少用20分钟，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论； （2）利用时间＝路程÷速度结合小明进家取票时间共用4分钟，即可得出小明回家取票后到达科技馆所需时间，将其与23分钟比较后即可得出结论． 【详解】解：设小明步行的速度为米分钟，则小明骑车的速度为米分钟．根据题意，得， 解得：． 经检验，是原分式方程的解． 答：小明步行的速度为米分钟． （2）， 所以小明能在表演开始前赶到科技馆． 【点睛】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 25．（8分）定义：若分式M与分式N的差等于它们的积，即，则称分式N是分式M的“关联分式”．如与，因为，， 所以是的“关联分式”． (1)请判断分式与分式是否为“关联分式”，并说明理由； (2)小明在求分式的“关联分式”时，用了以下方法： 设的“关联分式”为N，则， ∴，∴． 请你仿照小明的方法求分式的“关联分式”； (3)①观察（1）、（2）的结果，寻找规律，直接写出分式的“关联分式”：__________； ②用发现的规律解决问题：若是的“关联分式”，求实数m，n的值． 【答案】(1)与分式是“关联分式”，理由见解析 (2) (3)①；② 【知识点】分式加减乘除混合运算、求不等式组的解集 【分析】本题属于创新探究类试题，主要考查了分式的混合运算、解不等式组等知识点，理解“关联分式”的定义是解决本题的关键． （1）根据关联分式的定义进行判断即可； （2）仿照题目中给到的方法进行求解即可； （3）①根据（1）（2）找规律求解；②由①推出的结论列不等式组求解即可． 【详解】（1）解：是的“关联分式”，理由如下： ∵，， ∴是的“关联分式”． （2）解：设的“关联分式”为N，则， ∴，即， ∴，即． （3）解：①设的“关联分式”为N，则， ∴，即， ∴，即． 故答案为：； ②由题意，可得， 整理得，解得． 26．（8分）定义：对于一个四边形，我们把依次连结它的各边中点得到的新四边形叫做原四边形的“中点四边形”，如果原四边形的中点四边形是个正方形，我们把这个原四边形叫做“中方四边形”． 概念理解：下列四边形中一定是“中方四边形”的是______． A．平行四边形；    B．矩形；    C．菱形；    D．正方形． 性质探究：如图1，四边形是“中方四边形”，观察图形，写出关于四边形的结论： ①______；②______． 问题解决：如图2，以锐角的两边，为边长，分别向外侧作正方形和正方形，连结，，． （1）连结，，问，的数量关系和位置关系是什么？请说明理由． （2）四边形______“中方四边形”（此空填“是”或“不是”） 拓展应用：如图3，已知四边形是“中方四边形”，，分别是，的中点． （3）试探索与的数量关系，并说明理由． （4）若的最小值是，则的长度为______．（不需要解答过程） 【答案】概念理解：D  性质探究： 问题解决：（1） （2）原四边形是“中方四边形”  拓展应用：（3）   （4） 【知识点】全等三角形综合问题、用勾股定理解三角形、根据正方形的性质与判定证明、四边形其他综合问题 【分析】概念理解：根据三角形中位线定理，以及正方形判定和性质可得答案； 性质探究：由中位线的性质可得：，结合正方形的性质可得结论； 问题解决：（1）如图，取四边形各边中点分别为并顺次连接成四边形， 连接交于， 连接交于，利用三角形中位线定理可证得四边形是平行四边形，再证得 ，推出是菱形， 再由可得菱形是正方形，即可证得结论； 拓展应用：（3）如图， 记的中点分别为，可得四边形是正方形，再根据等腰直角三角形性质与三角形的中位线的性质即可证得结论； （4）如图， 记的中点分别为，连接交于， 连接， 当点在上 (即共线) 时，最小，最小值为的长，再结合性质探究与拓展应用（3）的结论即可求得答案. 【详解】概念理解：∵在平行四边形、矩形、菱形、正方形中，正方形的对角线相等且互相垂直， ∴一定是“中方四边形”的是正方形； 故答案为：； 性质探究：∵四边形是“中方四边形”， ∴四边形是正方形， ， ， ∵分别是的中点， ， ， 故答案为：； 问题解决：（1）证明： 如图， 设四边形的边的中点分别为， 连接交于， 连接交于， ∵四边形各边中点分别为， ∴分别是 的中位线， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形和四边形都是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴， 又∵ ∴， ∴平行四边形是菱形， ∵， ∴. 又∵， ∴， ∴，即， 又∵， ∴. ∴菱形是正方形，即原四边形是“中方四边形”. 拓展应用：（3）； 理由如下： 如图3， 记的中点分别为， 连接， ∵四边形是“中方四边形”， 分别是的中点， ∴四边形是正方形， ， ， ∵分别是的中点， ， ； （4）如图， 令与的交点为， 连接， 当点在上 (即共线) 时， 最小，最小值为的长， 的最小值， 由性质探究知： 又∵分别是的中点， ， ， 的最小值， 由拓展应用（3）知：， ； ． 故答案为： 【点睛】本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，三角形的中位线的性质，正方形的判定和性质，勾股定理，两点之间线段最短等知识，理解“中方四边形”的定义并运用是本题的关键. 1 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $$