专题05 三角形与四边形 （4大题型）（黑龙江专用）-【好题汇编】2025年中考数学二模试题分类汇编

专题05 三角形与四边形 题型概览 题型01几何初步与三角形 题型02四边形 题型03与三角形、四边形有关的证明求解题 题型04锐角三角函数及其应用 几何初步与三角形题型01 1．（2025·黑龙江绥化·二模）已知凸边形有条对角线，正边形每个内角是，则边数为的多边形的内角和是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）将含30°角的一个直角三角板和一把直尺如图放置，若，则等于（  ） A．80° B．100° C．110° D．120° 3．（2025·黑龙江佳木斯·二模）如图，在中，，若，，，则的长为 ． 4．（2025·黑龙江绥化·二模）如图，若两个三角形全等，图中字母表示三角形边长，则的度数为 ． 5．（2025·黑龙江齐齐哈尔·二模）如图是一款手机支架，若张角，支撑杆与桌面夹角，那么此时面板与水平方向夹角的度数为（ ）． A． B． C． D． 6．（2025·黑龙江齐齐哈尔·二模）如图，将一束光线投射在镜面上，其反射线交于点．我们知道入射角等于反射角，，则．若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 7．（2025·黑龙江大庆·二模）如图，在△ABC中，，AD是∠BAC的平分线，若，则∠BAC的大小为（    ） A．35° B．50° C．65° D．70° 8．（2025·黑龙江齐齐哈尔·二模）将一副直角三角尺（，）按如图所示位置摆放，使点落在边上，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 9．（2025·黑龙江齐齐哈尔·二模）如图，直线，把一块含角的直角三角板按如图所示的方式放置，点B在直线n上，，若，则等于（    ） A． B． C． D． 10．（2025·黑龙江佳木斯·二模）如图是等边三角形，点D是边上一点，以为边作等边，连接．若，，则 ． 11．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在BC边上，BD＝AC，CD＝2，连接AD，若，则AC的长为 ． 12．（2025·黑龙江佳木斯·二模）如图，在中，，，，则的长为（   ） A． B． C． D． 13．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）如图，相交于点O，，M是的中点，，交于点N．若，，则的长为 ． 14．（2025·黑龙江绥化·二模）已知直线被所截，若，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 15．（2025·黑龙江齐齐哈尔·二模）立定跳远动作中，从起跳到落地瞬间的几个身体相关关节的角度，对跳远成绩起着举足轻重的作用．如图是小李落地瞬间的动作及其示意图，若，．，则的度数为（   ） A． B． C． D． 16．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）如图在中，，，点O是底边的中点，，再将一块等腰直角三角形三角板的一个角的顶点与点O重合，这个角的两边交于点E，交于点F，若，则 ． 四边形题型02 17．（2025·黑龙江龙东·二模）如图，四边形是平行四边形，使它成为菱形的条件可以是 ． 18．（2025·黑龙江佳木斯·二模）在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O．如果AB∥CD，请你添加一个条件，使得四边形ABCD成为平行四边形，这个条件可以是 ．（写出一种情况即可） 19．（2025·黑龙江佳木斯·二模）如图，在菱形中，对角线，交于点O，若，，则菱形的面积为（   ） A．12 B．24 C．48 D．96 20．（2025·黑龙江绥化·二模）如图，四边形中，，，，连接，的平分线交对角线，底边BC分别于点O，E，若，，则的长为（    ） A． B． C． D． 21．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）如图，将矩形折叠，使点和点重合，折痕为，与交于点．若，，则的长为 ． 22．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）如图，在菱形中，，，是一条对角线，是上一点，过点作，垂足为，连接．若，则的长为 ． 23．（2025·黑龙江绥化·二模）如图，在正方形中，，为上的动点，点在的延长线上，且，相交于点．当点从点运动到点时，点运动的路线长度为 ． 24．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）□ABCD中，E、F是对角线BD上不同的两点，下列条件中，不能得出四边形AECF一定为平行四边形的是（    ） A．BE=DF B．AE=CF C．AF//CE D．∠BAE=∠DCF 25．（2025·黑龙江大庆·二模）如图，的对角线，相交于点，的平分线与边相交于点，是中点，若，，则的长为（　　）    A．1 B．2 C．3 D．4 26．（2025·黑龙江佳木斯·二模）如图，在平行四边形中，平分，交于点E，若，则的长为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 27．（2025·黑龙江大庆·二模）如图，在矩形中，，，点在上，把沿折叠，点恰好落在边上的点处，则的值为（   ） A． B． C． D． 28．（2025·黑龙江佳木斯·二模）如图，在平行四边形中，，，，E是的中点，连接，平分，且，则的长为（    ） A． B．5 C． D．7 29．（2025·黑龙江佳木斯·二模）如图，在矩形中，，对角线和相交于点O，，E为上任意一动点，F为的中点，则的最小值为 ． 与三角形、四边形有关的证明求解题题型03 30．（2025·黑龙江佳木斯·二模）已知：如图，△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，AE∥BC，CE⊥AE；垂足为E， （1）求证：△ABD≌△CAE； （2）连接DE，线段DE与AB之间有怎样的位置和数量关系？请证明你的结论． 31．（2025·黑龙江大庆·二模）如图，点E为正方形外一点，，将绕A点逆时针方向旋转得到的延长线交于H点． （1）试判定四边形的形状，并说明理由； （2）已知，求的长． 32．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）如图，中，对角线交于点O，点E在边上，延长交于点F，连接，与互余． (1)求证：四边形是菱形； (2)再选择添加以下条件中的一个且只添加一个，能使菱形为正方形的是______（填序号），并请加以证明． ①；②；③，，． 33．（2025·黑龙江大庆·二模）如图，在平行四边形中，对角线，交于点O，过点A作于点E，延长到点F，使，连接． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接，若，，，求的长度． 34．（2025·黑龙江大庆·二模）如图，在中，于点E；F是上一点，且，连接． (1)求证：四边形是矩形 ． (2)沿直线折叠，点C恰好落在矩形的对角线的中点H 处，若，，求四边形的面积． 35．（2025·黑龙江大庆·二模）如图，在中，，O是对角线的中点，在的延长线上取点，连接并延长，交的延长线于点F，连接，，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)过点F作于点M，若，，求的长． 锐角三角函数及其应用题型04 49．（2025·黑龙江佳木斯·二模）如图：某飞机在空中A处探测到它的正下方地平面上目标C，此时飞机飞行高度AC＝1200m，从飞机上看地平面指挥台B的俯角＝，则飞机A与指挥台B的距离为（ ） A．1200m B．1200m C．1200m D．2400m 37．（2025·黑龙江绥化·二模）如图，在中，，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 38．（2025·黑龙江绥化·二模）如图所示，一艘轮船在近海处由西向东航行，点C处有一灯塔，灯塔附近30海里的圆形区域内有暗礁，轮船在A处测得灯塔在北偏东60°方向上，轮船又由A向东航行40海里到B处，测得灯塔在北偏东30°方向上． （1）求轮船在B处时到灯塔C处的距离是多少？ （2）若轮船继续向东航行，有无触礁危险？ 39．（2025·黑龙江佳木斯·二模）如图，一艘渔船以海里的速度由西向东追赶鱼群，在处测得小岛在船的北偏东方向；后，渔船行至处，此时测得小岛在船的北偏东方向．已知以小岛为中心，周围海里以内有暗礁，问这艘渔船继续向东追赶鱼群是否有触礁的危险？ 40．（2025·黑龙江绥化·二模）如图，某山坡的坡面米，坡角，则该山坡的高的长为 米． 41．（2025·黑龙江佳木斯·二模）如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，⊙D的半径为1．现将一个直角三角板的直角顶点与矩形的对称中心O重合，绕着O点转动三角板，使它的一条直角边与⊙D切于点H，此时两直角边与AD交于E，F两点，则tan∠EFO的值为 ． 42．（2025·黑龙江齐齐哈尔·二模）在矩形中，，，点E是边上一动点，将沿折叠，使得点A落在点F处，点F分别到的距离分别记为，，若，则的值为 ． 43．（2025·黑龙江大庆·二模）如图所示是一种户外景观灯，它是由灯杆和灯管支架两部分构成，现测得灯管支架与灯杆的夹角，同学们想知道灯管支架的长度，借助相关仪器进行测量后结果如下表： 测量项目 测量数据 从D处测得灯杆顶部B处仰角α 从E处测得灯杆支架C处仰角β 两次测量之间的水平距离 灯杆的高度 求灯管支架的长度．（参考数据：，，，）       44．（2025·黑龙江大庆·二模）综合与实践活动中，要利用测角仪测量塔的高度，如图，塔前有一座高为的观景台，已知，的坡度为，点，，在同一条水平直线上．某学习小组在观景台处测得塔顶部B的仰角为，在观景台处测得塔顶部的仰角为． (1)求的长； (2)求塔的高度．（结果精确到）（参考数据： ，） 45．（2025·黑龙江大庆·二模）某镇为创建特色小镇，助力乡村振兴，决定在辖区的一条河上修建一座步行观光桥．如图，该河旁有一座小山，山高，坡面的坡度（注：坡度是指坡面的铅直高度与水平宽度的比），点、A与河岸、在同一水平线上，从山顶处测得河岸和对岸的俯角分别为，．（参考数据：，， (1)求点A与点C的距离； (2)若在此处建桥，试求河宽的长度．（结果精确到） 46．（2025·黑龙江佳木斯·二模）如图，某游乐园有一个滑梯，高度为3米，倾斜角度为．为了改善滑梯的安全性能，把倾斜角由减至，调整后的滑梯比原滑梯增加多少米?(精确到米)(参考数据：) 47．（2025·黑龙江绥化·二模）如图，在龟山附近的小山的顶部有一座通讯塔，点位于同一直线上．在地面处，测得塔顶的仰角为，塔底的仰角为．已知通讯塔的高度为29米，则小山的高度为 米．（结果取整数，参考数据：．） 48．（2025·黑龙江绥化·二模）自然状态下人体的脊柱呈“”形，此时各椎间盘所承受的压力较为合理，腰背部肌肉活动度较小，不易感到疲劳．当人体脊柱处于非自然状态时，椎间盘内压力分布不均匀，肌肉活动度就会增加，导致人体腰背部产生酸疼、疲劳等感受，人体工学研究表明，当靠背角度设置在左右时，人体脊柱形态接近于自然弯曲的形态，较为舒适．某人体工学椅（图一）靠背角度为，其抽象示意图（图二），垂直于地面，垂足为，且，当点为中点时，若，．求椅子靠背最高点到地面的距离为 ．（结果精确到，参考数据：，，） 49．（2025·黑龙江大庆·二模）如图，某校科技节，该校无人机兴趣小组在操场上展开活动，此时无人机在离地面的处，操控者从A处观测无人机D的仰角为30°，无人机D测得教学楼顶端点C处的俯角为，又经过人工测量测得操控者A和教学楼之间的距离为，点都在同一平面上．    (1)求此时无人机D与教学楼之间的水平距离的长度是多少（结果保留根号）？ (2)求教学楼的高度（结果取整数）． （参考数据：） 2 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 三角形与四边形 题型概览 题型01几何初步与三角形 题型02四边形 题型03与三角形、四边形有关的证明求解题 题型04锐角三角函数及其应用 几何初步与三角形题型01 1．（2025·黑龙江绥化·二模）已知凸边形有条对角线，正边形每个内角是，则边数为的多边形的内角和是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查多边形的对角线问题、正多边形的内角和和外角和问题，熟练掌握多边形的对角线条数与边数的关系是解答的关键．先根据凸边形有条对角线列方程求得n值，再求得正边形的外角的度数，然后由正边形的外角为列方程得到m值，然后利用多边形的内角和公式求解即可． 【详解】解：∵凸边形有条对角线， ∴，解得， ∵正边形每个内角是， ∴正边形每个外角是， 由得， ∴， ∴边数为15的多边形的内角和是， 故选：B． 2．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）将含30°角的一个直角三角板和一把直尺如图放置，若，则等于（  ） A．80° B．100° C．110° D．120° 【答案】C 【分析】如图，先根据平行线性质求出∠3，再求出∠4，根据四边形内角和为360°即可求解． 【详解】解：如图，由题意得DE∥GF， ∴∠1=∠3=50°， ∴∠4=180°-∠3=130°， ∴在四边形ACMN中，∠2=360°-∠A-∠C-∠4=110°． 故选：C 【点睛】本题考查了平行线的性质，四边形的内角和定理，熟知相关定理是解题关键． 3．（2025·黑龙江佳木斯·二模）如图，在中，，若，，，则的长为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，列出对应线段比例式是关键．根据相似三角形的判定得出，根据平行线的性质得出，代入求出结果即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 4．（2025·黑龙江绥化·二模）如图，若两个三角形全等，图中字母表示三角形边长，则的度数为 ． 【答案】 【分析】根据定理，判定三角形全等，得到的对边是a，再在第一个三角形中计算的度数，解答即可． 本题考查了三角形全等的判定和性质，三角形内角和定理，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：设第一个三角形中a的对角为， 由两个三角形全等，根据定理，判定三角形全等，得到的对边是a， 故， 根据题意，得， 故答案为：． 5．（2025·黑龙江齐齐哈尔·二模）如图是一款手机支架，若张角，支撑杆与桌面夹角，那么此时面板与水平方向夹角的度数为（ ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了平行线的性质、三角形内角和定理等知识点，将实际问题转化成数学问题成为解题的关键．由题意可得：，则；然后根据三角形内角和定理即可解答． 【详解】解：如图，过点D作， ∴， ∵， ∴． 故选：A． 6．（2025·黑龙江齐齐哈尔·二模）如图，将一束光线投射在镜面上，其反射线交于点．我们知道入射角等于反射角，，则．若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理，先证明，由平行线的性质得，然后利用三角形内角和即可求解． 【详解】解：∵， ∴． ∵， ∴， ∵，， ∴ ∴． 故选：D． 7．（2025·黑龙江大庆·二模）如图，在△ABC中，，AD是∠BAC的平分线，若，则∠BAC的大小为（    ） A．35° B．50° C．65° D．70° 【答案】B 【分析】根据余角的性质，计算得；再根据角平分线的性质计算，即可得到答案． 【详解】∵， ∴ ∵AD是∠BAC的平分线 ∴ 故选：B． 【点睛】本题考查了余角、角平分线的知识；解题的关键是熟练掌握余角、角平分线的性质，从而完成求解． 8．（2025·黑龙江齐齐哈尔·二模）将一副直角三角尺（，）按如图所示位置摆放，使点落在边上，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行线的性质，三角板中角度的计算，先根据平行线的性质得出，求出，根据平角定义求出结果即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵ ∴， ∴， 故选：B． 9．（2025·黑龙江齐齐哈尔·二模）如图，直线，把一块含角的直角三角板按如图所示的方式放置，点B在直线n上，，若，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的性质求角的度数．如图，过点C作直线平行于直线m，易得，根据平行线的性质可得，由可求出的度数，再由平行线的性质可得的度数． 【详解】解：如图，过点C作直线平行于直线m， ∵直线， ∴， ∴，， 由题意可得， ∴， ∴， 故选：D． 10．（2025·黑龙江佳木斯·二模）如图是等边三角形，点D是边上一点，以为边作等边，连接．若，，则 ． 【答案】4 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，由可证，可得，即可求解． 【详解】解：∵、是等边三角形， ∴，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 故答案为：4． 11．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在BC边上，BD＝AC，CD＝2，连接AD，若，则AC的长为 ． 【答案】4 【分析】根据等腰三角形的“三线合一”性质，想到过点A作AE⊥BC，垂足为E，设AB=AC=BD=x，然后在Rt△AED和Rt△AEC中，分别利用勾股定理表示出AE2，建立等量关系即可解答． 【详解】解：过点A作AE⊥BC，垂足为E， ∵AB=AC，BD=AC， ∴设AB=AC=BD=x， ∵CD=2， ∴BC=BD+CD=x+2， ∵AB=AC，AE⊥BC， ∴BE=EC=1+x， ∴DE=BD-BE=x-1， 在Rt△AED中，AE2=AD2-DE2=（2）2-（x-1）2=−x2+x+7， 在Rt△AEC中，AE2=AC2-EC2=x2-（1+x）2=x2-x-1， ∴−x2+x+7=x2-x-1， 解得：x1=4，x2=-2（不符合题意，舍去）， ∴AC=4， 故答案为：4． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，两次利用勾股定理建立等量关系，列出方程是解题的关键． 12．（2025·黑龙江佳木斯·二模）如图，在中，，，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是锐角三角函数的定义、勾股定理，掌握锐角的对边与斜边的比叫做的正弦是解题的关键． 根据正弦的定义可得，根据勾股定理计算，得到答案． 【详解】解：如图： ∵， ， 又∵，， ∴， 解得：，（负值已经舍去）． 故选：A． 13．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）如图，相交于点O，，M是的中点，，交于点N．若，，则的长为 ． 【答案】4 【分析】本题考查全等三角形的性质及判定，掌握全等三角形的性质及判定方法是解决本题的关键．根据可得，从而得到，再根据得到，从而得到，即可求解． 【详解】解：， ， ，是的中点， ∴是的中位线， ，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ， ∵ ， 故答案为：4． 14．（2025·黑龙江绥化·二模）已知直线被所截，若，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了邻补角的性质，平行线的判定和性质，由邻补角的性质可得，由可得，进而由平行线的性质可得，掌握平行线的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：． 15．（2025·黑龙江齐齐哈尔·二模）立定跳远动作中，从起跳到落地瞬间的几个身体相关关节的角度，对跳远成绩起着举足轻重的作用．如图是小李落地瞬间的动作及其示意图，若，．，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是平行线的性质及三角形内角和定理，熟练掌握相关性质是解题关键，先求出，再根据三角形内角和定理求出结论即可． 【详解】解：如下图： ，， ， ， ， ， 故选：B． 16．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）如图在中，，，点O是底边的中点，，再将一块等腰直角三角形三角板的一个角的顶点与点O重合，这个角的两边交于点E，交于点F，若，则 ． 【答案】2或 【分析】分两种情况讨论，当，连接，此时证明即可求解；当时，证明即可求解． 【详解】解：如图，当，连接， ∵，，点O是底边的中点 ∴，， ∴均为等腰直角三角形， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴ ∵，， ， ∴， ∴， 则（舍负）， ∴； 当时， ∵点O是底边的中点，， ∴， ∵ 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：， 综上所述，或， 故答案为：2或． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的性质等知识点，掌握基本图形“一线三等角”是解题的关键． 四边形题型02 17．（2025·黑龙江龙东·二模）如图，四边形是平行四边形，使它成为菱形的条件可以是 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查菱形的判定，根据一组邻边相等的平行四边形是菱形，进行作答即可． 【详解】解：根据一组邻边相等的平行四边形是菱形， ∴当时，平行四边形是菱形； 故答案为：（答案不唯一）． 18．（2025·黑龙江佳木斯·二模）在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O．如果AB∥CD，请你添加一个条件，使得四边形ABCD成为平行四边形，这个条件可以是 ．（写出一种情况即可） 【答案】AB=CD或AD∥BC等，答案不唯一 【详解】根据平行四边形的判定方法添加即可，答案不唯一，例如AB=CD或AD∥BC等. 19．（2025·黑龙江佳木斯·二模）如图，在菱形中，对角线，交于点O，若，，则菱形的面积为（   ） A．12 B．24 C．48 D．96 【答案】B 【分析】本题考查了菱形的性质和勾股定理，掌握菱形面积的公式是解答本题的关键． 根据菱形的性质先求菱形的对角线的长，再根据菱形面积公式即可解决问题． 【详解】解：在菱形中，，， ∴． 故选：B． 20．（2025·黑龙江绥化·二模）如图，四边形中，，，，连接，的平分线交对角线，底边BC分别于点O，E，若，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查等腰三角形判定和性质，线段垂直平分线判定和性质，勾股定理．熟练掌握是解题的关键． 连接，由勾股定理得，由等腰三角形性质得，由线段垂直平分线性质得，得，由勾股定理得，即得． 【详解】解：连接． ∵，，， ∴． ∵，平分, ∴， ∴． ∴， ∴， ∴． 故选：D． 21．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）如图，将矩形折叠，使点和点重合，折痕为，与交于点．若，，则的长为 ． 【答案】 【分析】由矩形的性质，折叠的性质，可求出，由勾股定理求出，，进而求出即可． 【详解】∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∵将矩形折叠，使点和点重合，折痕为， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∴． 在中， ， 在中， ， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，折叠的性质和勾股定理等知识，根据图形，求出线段，的长是解本题的关键． 22．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）如图，在菱形中，，，是一条对角线，是上一点，过点作，垂足为，连接．若，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理等知识，过D作于H，先判断，都是等边三角形，得出，，，利用含的直角三角形的性质可得出，进而求出，，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】解∶过D作于H， ∵菱形中，，， ∴，， ∴，都是等边三角形， ∴，，， ∵， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， 故答案为：． 23．（2025·黑龙江绥化·二模）如图，在正方形中，，为上的动点，点在的延长线上，且，相交于点．当点从点运动到点时，点运动的路线长度为 ． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的综合题，勾股定理，相似三角形的判定与性质．先画出点E运动的路线，过E作，交于点F，根据，可得，设，则，，再根据，可求得，利用勾股定理可得． 【详解】解：当点P在点A处时，如图， ， ， 当点P运动到点B时，如图， ∴点E运动的路线，如图， 过E作，交于点F，即， ∵四边形为正方形， ， ， ， ， ， ， 设，则， ， ， ，即， 解得：， ，， 在中， ． 故答案为：． 24．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）□ABCD中，E、F是对角线BD上不同的两点，下列条件中，不能得出四边形AECF一定为平行四边形的是（    ） A．BE=DF B．AE=CF C．AF//CE D．∠BAE=∠DCF 【答案】B 【分析】根据平行线的判定方法结合已知条件逐项进行分析即可得． 【详解】A、如图，∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA=OC，OB=OD， ∵BE=DF， ∴OE=OF， ∴四边形AECF是平行四边形，故不符合题意； B、如图所示，AE=CF，不能得到四边形AECF是平行四边形，故符合题意； C、如图，∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA=OC， ∵AF//CE， ∴∠FAO=∠ECO， 又∵∠AOF=∠COE， ∴△AOF≌△COE， ∴AF=CE， ∴四边形AECF是平行四边形，故不符合题意； D、如图，∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB=CD，AB//CD， ∴∠ABE=∠CDF， 又∵∠BAE=∠DCF， ∴△ABE≌△CDF， ∴AE=CF，∠AEB=∠CFD， ∴∠AEO=∠CFO， ∴AE//CF， ∴四边形AECF是平行四边形，故不符合题意， 故选B． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质与判定，熟练掌握平行四边形的判定定理与性质定理是解题的关键． 25．（2025·黑龙江大庆·二模）如图，的对角线，相交于点，的平分线与边相交于点，是中点，若，，则的长为（　　）    A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】根据平行四边形的性质、平行线的性质、角平分线的定义以及等腰三角形的判定可得，进而可得，再根据三角形的中位线解答即可. 【详解】解：∵四边形是平行四边形，， ∴，，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是中点， ∴； 故选：A. 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、平行线的性质、等腰三角形的判定以及三角形的中位线定理等知识，熟练掌握相关图形的判定与性质是解题的关键. 26．（2025·黑龙江佳木斯·二模）如图，在平行四边形中，平分，交于点E，若，则的长为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题主要考查了角平分线、平行四边形的性质及等腰三角形的判定，先根据角平分线及平行四边形的性质得出，再由等角对等边得出，从而求出的．根据已知得出是解决问题的关键． 【详解】解：平分交边于点E， ， ∵四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， 故选：B． 27．（2025·黑龙江大庆·二模）如图，在矩形中，，，点在上，把沿折叠，点恰好落在边上的点处，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，矩形的性质，轴对称的性质，熟练的掌握轴对称的性质结合方程思想解题是关键．先根据矩形的性质得，再根据折叠的性质得，在中，利用勾股定理计算出，则，设，则，然后在中根据勾股定理得到，解方程即可得到x，进一步得到的长，再根据根据定理即可求出，即可得到结果． 【详解】解：∵四边形为矩形， ∴， ∵沿直线折叠，顶点D恰好落在边上的F处， ∴， 在中，， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 28．（2025·黑龙江佳木斯·二模）如图，在平行四边形中，，，，E是的中点，连接，平分，且，则的长为（    ） A． B．5 C． D．7 【答案】C 【分析】延长交于点，由“”可证，可得，由三角形中位线定理可求解． 【详解】解：如图，延长交于点， ∵在平行四边形中，，，， ， ∵平分， ， 在和中， ， ， ， ， ∵是的中点，， ， 故选：C． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，三角形中位线的定理，添加辅助线构造全等三角形是解题的关键． 29．（2025·黑龙江佳木斯·二模）如图，在矩形中，，对角线和相交于点O，，E为上任意一动点，F为的中点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】取的中点和的中点，先证明在上，再作关于的对称点，与交于点，连接，与交于点，并证明此时点使为最小值，最后求出便可． 【详解】解：过的中点和的中点作直线， 为的中点， ，， 、、三点共线，即点在线段上， 作关于的对称点，与交于点，连接，与交于点， 则， 此时，，其值为最小值， 四边形为矩形， ， ∵ 为等边三角形， ，， ， ， ，， ，， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，等边三角形的判定与性质，解直角三角形，轴对称的性质，勾股定理，解题的关键是确定使值最小时点的位置． 与三角形、四边形有关的证明求解题题型03 30．（2025·黑龙江佳木斯·二模）已知：如图，△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，AE∥BC，CE⊥AE；垂足为E， （1）求证：△ABD≌△CAE； （2）连接DE，线段DE与AB之间有怎样的位置和数量关系？请证明你的结论． 【答案】见解析；AB∥DE且AB=DE． 【分析】（1）运用AAS证明△ABD≌△CAE； （2）易证四边形ADCE是矩形，所以AC=DE=AB，也可证四边形ABDE是平行四边形得到AB=DE． 【详解】证明：（1）∵AB=AC， ∴∠B=∠ACD， ∵AE∥BC， ∴∠EAC=∠ACD， ∴∠B=∠EAC， ∵AD是BC边上的中线， ∴AD⊥BC， ∵CE⊥AE， ∴∠ADC=∠CEA=90° 在△ABD和△CAE中 ∴△ABD≌△CAE（AAS）； （2）AB∥DE，AB=DE，理由如下： 如图所示， ∵AD⊥BC，AE∥BC， ∴AD⊥AE， 又∵CE⊥AE， ∴四边形ADCE是矩形， ∴AC=DE， ∵AB=AC， ∴AB=DE， ∵AE∥BC， ∴四边形ABDE是平行四边形， ∴AB∥DE，AB=DE． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，平行四边形的判定与性质，综合运用这些知识是解题的关键． 31．（2025·黑龙江大庆·二模）如图，点E为正方形外一点，，将绕A点逆时针方向旋转得到的延长线交于H点． （1）试判定四边形的形状，并说明理由； （2）已知，求的长． 【答案】（1）正方形，理由见解析；（2）17 【分析】（1）由旋转的性质可得∠AEB＝∠AFD＝90°，AE＝AF，∠DAF＝∠EAB，由正方形的判定可证四边形BE'FE是正方形； （2）连接，利用勾股定理可求，再利用勾股定理可求DH的长． 【详解】解：（1）四边形是正方形，理由如下： 根据旋转： ∵四边形是正方形 ∴∠DAB=90° ∴∠FAE＝∠DAB=90° ∴ ∴四边形是矩形， 又∵ ∴矩形是正方形． （2）连接 ∵， 在中， ∵四边形是正方形 ∴ 在中，，又， ∴． 故答案是17． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的判定和性质，旋转的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质等知识，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键． 32．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）如图，中，对角线交于点O，点E在边上，延长交于点F，连接，与互余． (1)求证：四边形是菱形； (2)再选择添加以下条件中的一个且只添加一个，能使菱形为正方形的是______（填序号），并请加以证明． ①；②；③，，． 【答案】(1)见解析 (2)②或③ 【分析】（1）证明，得到，则四边形是平行四边形，证明，即可得到结论； （2）分别添加②或③，根据正方形的判定写出证明过程即可． 【详解】（1）证明：∵中，对角线交于点O， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵与互余． ∴与互余． ∴ 即， ∴四边形是菱形； （2）添加②； 证明：∵， ∴， ∵ ∴， 解答, ∴， ∴， ∴菱形是正方形， 添加③，， ∵ ∴是直角三角形，， ∴， ∴菱形是正方形 故答案为：②或③ 【点睛】此题考查了菱形的判定、正方形的判定、勾股定理及其逆定理、全等三角形的判定和性质等知识，熟练掌握相关判定定理是关键． 33．（2025·黑龙江大庆·二模）如图，在平行四边形中，对角线，交于点O，过点A作于点E，延长到点F，使，连接． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接，若，，，求的长度． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由平行四边形性质得到且，由平行线的性质得到，根据三角形的判定可证得，由全等三角形的性质得到，，可得，根据矩形的判定即可得到结论； （2）由矩形的性质得到，进而求得，，由勾股定理可求得，，由平行四边形性质得，由直角三角形斜边的中线等于斜边的一半即可得到结论． 【详解】（1）证明：∵在平行四边形中， ∴且， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴四边形是矩形； （2）解：由（1）知：四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴在中， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，直角三角形斜边上的中线性质等知识；正确的识别图形是解题的关键． 34．（2025·黑龙江大庆·二模）如图，在中，于点E；F是上一点，且，连接． (1)求证：四边形是矩形 ． (2)沿直线折叠，点C恰好落在矩形的对角线的中点H 处，若，，求四边形的面积． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【分析】本题考查了翻折变换（折叠问题），平行四边形的性质，矩形的判定和性质，解直角三角形的应用，等边三角形和中线性质，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． （1）根据平行四边形的性质得到，，并证得四边形是平行四边形，再根据矩形的判定定理即可得到结论； （2）由（1）知四边形是矩形，结合锐角三角函数得出，即可求出，进一步得出为等边三角形以及，即可结合得出答案． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴即，， ∵， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形是矩形； （2）解：由（1）知四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴，即， ∴， ∵是中点，， ∴， ∵由折叠可知， ∴，即为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是中点，即是的中线， ∴， ∴． 35．（2025·黑龙江大庆·二模）如图，在中，，O是对角线的中点，在的延长线上取点，连接并延长，交的延长线于点F，连接，，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)过点F作于点M，若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要涉及平行四边形的性质、全等三角形的判定、相似三角形的性质以及直角三角形的勾股定理． （1）根据平行四边形的性质，，且 ．由于是的中点，所以，在和中，可以证明，从而得到，又因为，所以四边形是平行四边形； （2）过点作，垂足为，利用直角三角形的性质和已知条件，证明，根据的性质，利用的勾股定理计算的长度，计算的长度． 【详解】（1）（1）证明：∵四边形是平行四边形， ， ∵是的中点， ， 在和中， ∴， ， 又∵， ∴四边形是平行四边形． （2）如图，过点作，垂足为， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ， ， ， ， ， ， ， ． 锐角三角函数及其应用题型04 49．（2025·黑龙江佳木斯·二模）如图：某飞机在空中A处探测到它的正下方地平面上目标C，此时飞机飞行高度AC＝1200m，从飞机上看地平面指挥台B的俯角＝，则飞机A与指挥台B的距离为（ ） A．1200m B．1200m C．1200m D．2400m 【答案】D 【详解】解：根据平行线的性质可得：∠B=∠α=30°， 根据Rt△ABC的三角函数可得：sin∠B==， 则AB=2AC=2×1200=2400（m）． 故选：D． 考点：三角函数的应用． 37．（2025·黑龙江绥化·二模）如图，在中，，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了锐角三角函数的定义，勾股定理，互余两角三角函数的关系等知识点，能熟记锐角三角函数的定义是解此题的关键；根据锐角三角函数的定义得出，设，，根据勾股定理求出，再根据锐角三角函数的定义求出答案即可． 【详解】解：， 设，， 由勾股定理得：， ． 故选：B． 38．（2025·黑龙江绥化·二模）如图所示，一艘轮船在近海处由西向东航行，点C处有一灯塔，灯塔附近30海里的圆形区域内有暗礁，轮船在A处测得灯塔在北偏东60°方向上，轮船又由A向东航行40海里到B处，测得灯塔在北偏东30°方向上． （1）求轮船在B处时到灯塔C处的距离是多少？ （2）若轮船继续向东航行，有无触礁危险？ 【答案】(1)40海里；（2）轮船继续向东航行，无触礁危险． 【分析】（1）根据三角形内角和定理求出∠ACB，根据等腰三角形的判定定理解答； （2）作CE⊥AB交AB的延长线于E，根据正弦的定义求出CE，比较得到答案． 【详解】（1）由题意得，∠CAB=30°，∠ABC=120°， ∴∠ACB=180°-30°-120°=30°， ∴∠ACB=∠CAB， ∴BC=AB=40（海里）； （2）作CE⊥AB交AB的延长线于E， 在Rt△CBE中，sin∠CBE=， ∴CE=BC•sin∠CBE=40×=20， ∵20＞30， ∴轮船继续向东航行，无触礁危险． 【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用-方向角问题，掌握锐角三角函数的定义，正确标注方向角是解题的关键． 39．（2025·黑龙江佳木斯·二模）如图，一艘渔船以海里的速度由西向东追赶鱼群，在处测得小岛在船的北偏东方向；后，渔船行至处，此时测得小岛在船的北偏东方向．已知以小岛为中心，周围海里以内有暗礁，问这艘渔船继续向东追赶鱼群是否有触礁的危险？ 【答案】没有危险，见解析 【分析】根据题意可知，实质是比较C点到AB的距离与10的大小．因此作CD⊥AB于D点，求CD的长． 【详解】解：作CD⊥AB于D， 根据题意，（海里），，， 在中，， 在中，， ∵， ∴， 解得， 所以没有危险． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，“化斜为直”是解三角形的常规思路，常需作垂线（高），构造直角三角形．原则上不破坏特殊角（）． 40．（2025·黑龙江绥化·二模）如图，某山坡的坡面米，坡角，则该山坡的高的长为 米． 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，理解坡角的定义是解题的关键． 在中，由正切的定义即可求解． 【详解】解：由题意得：， ∴（米）， 故答案为：． 41．（2025·黑龙江佳木斯·二模）如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，⊙D的半径为1．现将一个直角三角板的直角顶点与矩形的对称中心O重合，绕着O点转动三角板，使它的一条直角边与⊙D切于点H，此时两直角边与AD交于E，F两点，则tan∠EFO的值为 ． 【答案】 【分析】本题可以通过证明∠EFO=∠HDE，再求出∠HDE的正切值就是∠EFO的正切值． 【详解】解： 连接DH． ∵在矩形ABCD中，AB=2，BC=4， ∴BD=,OD=， ∵OH是⊙D的切线， ∴DH⊥OH． ∵DH=1， ∴OH=2． ∴tan∠ADB=tan∠HOD=， ∵∠ADB=∠HOD， ∴OE=ED． 设EH为x，则ED=OE=OH-EH=2-x． x2+12=(2-x)2 解得，x=， 又∵∠FOE=∠DHO=90°， ∴FO∥DH， ∴∠EFO=∠HDE， ∴tan∠EFO=tan∠HDE=. 42．（2025·黑龙江齐齐哈尔·二模）在矩形中，，，点E是边上一动点，将沿折叠，使得点A落在点F处，点F分别到的距离分别记为，，若，则的值为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查矩形与折叠，勾股定理以及求角的正切，点在矩形内部和外部两种情况讨论求解即可． 【详解】解：①如图，当点F在矩形内部时，过点作，交于点，交于点，则四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴，， 由折叠得，，， ∴， ∴, 设， 由折叠得，， 在中，根据勾股定理得，， ∴ 解得，， ∴， ∴， ∴； ②如图，当点F在矩形外，过点作，交于点，交于点，则四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴，， 由折叠得，，， ∴， ∴, 设， 由折叠得，， 在中，根据勾股定理得，， ∴, 解得，， ∴, ∴． 综上，的值为或， 故答案为：或． 43．（2025·黑龙江大庆·二模）如图所示是一种户外景观灯，它是由灯杆和灯管支架两部分构成，现测得灯管支架与灯杆的夹角，同学们想知道灯管支架的长度，借助相关仪器进行测量后结果如下表： 测量项目 测量数据 从D处测得灯杆顶部B处仰角α 从E处测得灯杆支架C处仰角β 两次测量之间的水平距离 灯杆的高度 求灯管支架的长度．（参考数据：，，，）       【答案】 【分析】本题考查的知识点是解直角三角形的应用，解题的关键是熟练的掌握解直角三角形的相关知识；作 ，垂足为，延长，作 ，垂足为，设，利用解三角形可得：，，再利用列方程求解． 【详解】解：作 ，垂足为，延长，作 ，垂足为．    ∵， ∴． 设， 则在中，，． 在中，， 由题意得， ∵， ∴ ， 在中，， ， 解得； 答：灯管支架的长度是 ． 44．（2025·黑龙江大庆·二模）综合与实践活动中，要利用测角仪测量塔的高度，如图，塔前有一座高为的观景台，已知，的坡度为，点，，在同一条水平直线上．某学习小组在观景台处测得塔顶部B的仰角为，在观景台处测得塔顶部的仰角为． (1)求的长； (2)求塔的高度．（结果精确到）（参考数据： ，） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意得：，然后在中，利用锐角三角函数的定义可得，从而可得，再利用含角的直角三角形的性质进行计算，即可解答； （2）过点作，垂足为，根据题意可得：，，然后设，则，分别在和中，利用锐角三角函数的定义求出和的长，从而列出关于的方程进行计算，即可解答． 【详解】（1）解：由题意得：， 在中，的坡度为，， ∴， ∴， ∴， 即的长为； （2）过点作，垂足为， 根据题意得：，， ∴四边形是矩形， ∴，， 设， 在中，， ∴， 在中，， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴塔的高度约为． 【点睛】本题考查解直角三角形的应用—仰角俯角问题，坡度的意义，角的直角三角形，矩形的判定和性质，锐角三角函数等知识点．根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线构造直角三角形是解题的关键． 45．（2025·黑龙江大庆·二模）某镇为创建特色小镇，助力乡村振兴，决定在辖区的一条河上修建一座步行观光桥．如图，该河旁有一座小山，山高，坡面的坡度（注：坡度是指坡面的铅直高度与水平宽度的比），点、A与河岸、在同一水平线上，从山顶处测得河岸和对岸的俯角分别为，．（参考数据：，， (1)求点A与点C的距离； (2)若在此处建桥，试求河宽的长度．（结果精确到） 【答案】(1)点A与点C的距离为 (2)河宽EF的长度约 【分析】本题主要考查解直角三角形的应用，熟练掌握三角函数是解题的关键； （1）根据题意易得，然后问题可求解； （2）由题意易得，根据三角函数可得，则有，然后问题可求解． 【详解】（1）解：在中，， 的坡度， ， ， 答：点A与点C的距离为； （2）解：在中，，， ， ， ， 在中，，，， ∴， ∴， ， 答：河宽的长度约． 46．（2025·黑龙江佳木斯·二模）如图，某游乐园有一个滑梯，高度为3米，倾斜角度为．为了改善滑梯的安全性能，把倾斜角由减至，调整后的滑梯比原滑梯增加多少米?(精确到米)(参考数据：) 【答案】2.5米 【分析】本题考查了三角函数应用，理解三角函数的应用是关键．中，根据的角所对的直角边是斜边的一半得到的长，然后在中，求得的长后用即可求得增加的长度． 【详解】解：中， ， ∵米， ∴米， ∵在中， ∴（米）， ∴（米）， ∴调整后的滑梯比原滑梯增加米． 47．（2025·黑龙江绥化·二模）如图，在龟山附近的小山的顶部有一座通讯塔，点位于同一直线上．在地面处，测得塔顶的仰角为，塔底的仰角为．已知通讯塔的高度为29米，则小山的高度为 米．（结果取整数，参考数据：．） 【答案】102 【分析】本题考查三角函数测高，解题的关键在运用三角函数的定义表示出未知边，列出方程求解．在中，由求得，在中，由求得，代入求解即可． 【详解】解：由题意可知， 在中， ，， ， ， 在中， ，， ， ， ， ， ， 故答案为：． 48．（2025·黑龙江绥化·二模）自然状态下人体的脊柱呈“”形，此时各椎间盘所承受的压力较为合理，腰背部肌肉活动度较小，不易感到疲劳．当人体脊柱处于非自然状态时，椎间盘内压力分布不均匀，肌肉活动度就会增加，导致人体腰背部产生酸疼、疲劳等感受，人体工学研究表明，当靠背角度设置在左右时，人体脊柱形态接近于自然弯曲的形态，较为舒适．某人体工学椅（图一）靠背角度为，其抽象示意图（图二），垂直于地面，垂足为，且，当点为中点时，若，．求椅子靠背最高点到地面的距离为 ．（结果精确到，参考数据：，，） 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，平行线分线段成比例，矩形的判定与性质，过作，交延长线于点，延长交于点，则有，，故四边形是矩形，，然后求出，通过，即，得出，最后通过线段和差即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，过作，交延长线于点，延长交于点， ∴，， ∴四边形是矩形，， ∵，， ∴，， ∵为中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴椅子靠背最高点到地面的距离为， 故答案为：． 49．（2025·黑龙江大庆·二模）如图，某校科技节，该校无人机兴趣小组在操场上展开活动，此时无人机在离地面的处，操控者从A处观测无人机D的仰角为30°，无人机D测得教学楼顶端点C处的俯角为，又经过人工测量测得操控者A和教学楼之间的距离为，点都在同一平面上．    (1)求此时无人机D与教学楼之间的水平距离的长度是多少（结果保留根号）？ (2)求教学楼的高度（结果取整数）． （参考数据：） 【答案】(1)米； (2)米 【分析】（1）过点作，在中即可求解； （2）在中求出，可进一步求解． 【详解】（1）解：过点作，如图所示：    由题意得： 在中， ∴（米） ∴（米） 故：无人机D与教学楼之间的水平距离的长度是米． （2）解：在中， ∴（米） ∴（米） 故：教学楼的高度为米． 【点睛】本题考查三角函数的实际应用．根据题意建立直角三角形是解题关键． 2 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $$