专题04 函数（5大题型）（黑龙江专用）-【好题汇编】2025年中考数学二模试题分类汇编

专题04 函数 题型概览 题型01自变量的取值范围 题型02函数图象信息题 题型03一次函数与反比例函数的图象和性质 题型04二次函数的图象和性质 题型05一次函数与反比例函数的实际应用题 自变量的取值范围题型01 1．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）在函数中，自变量x的取值范围是 ． 【答案】x≠2 【分析】对于分式而言，要保证分式有意义，则分式的分母不能为零． 【详解】解：由题意可得x－2≠0，解得：x≠2． 故答案为：x≠2． 【点睛】本题考查函数自变量的取值范围． 2．（2025·黑龙江齐齐哈尔·二模）函数中，自变量x的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】首先根据二次根式有意义的条件可得；接下来由分式有意义的条件可得，进而求解即可． 【详解】解：由题意得：且， 解得：且． 故答案为：且． 【点睛】本题主要考查的是求函数自变量的取值范围，解题的关键是掌握二次根式以及分式有意义的条件． 3．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）在函数y＝中，自变量x的取值范围是 ． 【答案】x≠﹣1 【分析】根据分母不能为零，可得答案． 【详解】解：由题意，得 x+1≠0， 解得x≠﹣1， 故答案为：x≠﹣1． 【点睛】本题考查了函数自变量取值范围的求法．要使得本题式子有意义，必须满足分母不等于0． 4．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）函数y中自变量x的取值范围是 ． 【答案】x≠4 【分析】根据分式的分母不为0，列出不等式，解不等式得到答案． 【详解】解：由题意，得4﹣x≠0， 解得x≠4， 故答案为：x≠4． 【点睛】本题主要考查函数自变量的取值范围，根据分式有意义的条件进行求解，属于概念类，熟练地掌握概念是解题的关键. 5．（2025·黑龙江佳木斯·二模）在函数中，自变量的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是函数自变量的取值范围的确定，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键． 根据二次根式有意义的条件列出不等式，解不等式得到答案． 【详解】解：由题意得：， 解得：， 故答案为：． 6．（2025·黑龙江绥化·二模）函数中，自变量x的取值范围是 ． 【答案】x≥-2且x≠1 【分析】根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件即可求出结论． 【详解】解：由题意可得 解得x≥-2且x≠1 故答案为：x≥-2且x≠1． 【点睛】此题考查的是求自变量的取值范围，掌握二次根式有意义的条件和分式有意义的条件是解决此题的关键． 7．（2025·黑龙江龙东·二模）已知函数，则自变量的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式，分式有意义的条件，求不等式的解集，掌握二次根式中被开方数为负数，分式的分母不能为0的知识是解题的关键． 根据题意得，即可求解． 【详解】解：函数， ∴， 解得，， 故答案为： ． 8．（2025·黑龙江齐齐哈尔·二模）函数中，自变量的取值范围是 ． 【答案】 且 【分析】本题考查了函数自变量的范围，当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；当函数表达式是二次根式时，被开方数是非负数．根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0，分母不等于0，可以求出x的范围． 【详解】根据题意得：且， 解得： 且 ． 故答案为： 且 ． 9．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）函数中，自变量的取值范围是 ． 【答案】 【分析】此题考查了函数自变量的取值范围，分式有意义的条件，根据分式有意义分母不为零，进行计算即可，解题的关键是列出不等式并正确求解． 【详解】由题意得，， 解得， 故答案为：． 10．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）在函数中，自变量的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式有意义的条件，求自变量的取值范围，掌握分式有意义的条件分母不等于零是解题的关键． 根据分式有意义的条件可得，据此即可求解． 【详解】解：根据分式有意义的条件得 解得： 故答案为：． 11．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）在函数中，自变量x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了函数值变量的取值范围，函数自变量的范围一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负． 【详解】解：由题意得：，解得：， 故答案为：． 12．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）在函数中，自变量的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查函数自变量的取值范围和分式有意义的条件，当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0． 根据分式有意义的条件是分母不为0；分析原函数式可得关系式，解可得答案． 【详解】解：由题意得：， ∴， 故答案为：． 13．（2025·黑龙江齐齐哈尔·二模）在函数中，自变量x的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题主要考查了求自变量的取值范围，分式和二次根式有意义的条件，分式有意义的条件是被开方数大于等于0，二次根式有意义的条件是分母不为0，据此求解即可． 【详解】解；∵有意义， ∴， ∴且， 故答案为：且． 14．（2025·黑龙江齐齐哈尔·二模）函数中，自变量的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题考查了分式有意义的条件、二次根式有意义的条件、指数幂有意义的条件，根据分有意义的条件和二次根式有意义的条件可得：，根据指数幂有意义的条件，可得． 【详解】解：函数有意义， 且， ， ， ， ， 综上所述，自变量的取值范围是且． 故答案为：且．． 15．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）在函数中，自变量的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了求自变量的取值范围、分式有意义的条件等知识，根据分式有意义的条件可得关于的不等式，求解即可获得答案． 【详解】解：根据题意，可得， 解得． 故答案为：． 16．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）在函数中，自变量的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，求自变量的取值范围．根据二次根式有意义的条件解答即可． 【详解】解：根据题意得：， ∴． 故答案为： 17．（2025·黑龙江齐齐哈尔·二模）反比例函数的图象，当时，y随x的增大而增大，则k的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】对于反比例函数，（1），反比例函数图象在一、三象限，在每一个象限内，y随x的增大而减小；（2），反比例函数图象在第二、四象限内，在每一个象限内，y随x的增大而增大．根据反比例函数的性质解题． 【详解】解：∵当时，y随x的增大而增大， ∴函数图象必在第四象限， ∴， ∴． 故选：A． 18．（2025·黑龙江齐齐哈尔·二模）若在实数范围内有意义，则x的取值范围为 ． 【答案】且 【分析】本题主要考查了零指数幂有意义的条件，分式和二次根式有意义的条件，零指数幂有意义的条件是底数不为0，二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0，分式有意义的条件是分母不为0，据此求解即可． 【详解】解：∵在实数范围内有意义， ∴， ∴且， 故答案为：且． 函数图象信息题题型02 19．（2025·黑龙江大庆·二模）已知，则函数可以表示为，例如当时所对应的函数值记作；函数的图象如图所示，关于该函数说法正确的是（    ）   A． B． C． D．当时，x的值为1或 【答案】B 【分析】本题考查函数的图象和性质，从函数图象中获取信息，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、由图象可知：，故，该选项错误，不符合题意； B、由图象可知：，故，该选项正确，符合题意； C、由图象可知：，故，该选项错误，不符合题意； D、由图象可知，与轴的交点为，故当时，x的值为1或或0，，该选项错误，不符合题意； 故选B． 20．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）明明骑自行车去上学时，在这段路上所走的路程s（单位：千米）与时间t（单位：分）之间的函数关系如图所示．下列说法错误的是（    ） A．明明家距学校3千米 B．明明提速后的速度为2千米/分钟 C．明明走完全程用了10分 D．明明上学的平均速度为0.3千米/分钟 【答案】B 【分析】此题考查了函数的图象，关键是正确理解图象所表示的意义，求出上下坡的速度．根据图象，结合“速度=路程÷时间”解答即可． 【详解】解：根据函数图象可得： 明明家距学校3千米，故选项A说法正确，不符合题意； 明明走完全程用了10分，故选项C说法正确，不符合题意； 提速后的速度为：（千米/分钟）， 故选项B说法错误，符合题意； 明明上学的平均速度为：（千米/分钟）； 故选项D说法正确，不符合题意． 故选：B． 21．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）把多个用电器连接在同一个插线板上，同时使用一段时间后，插线板的电源线会明显发热，存在安全隐患．数学兴趣小组对这种现象进行研究，得到时长一定时，插线板电源线中的电流I与使用电器的总功率P的函数图象（如图1），插线板电源线产生的热量Q与I的函数图象（如图2）．下列结论中错误的是（    ） A．当时， B．Q随I的增大而增大 C．I每增加1A，Q的增加量相同 D．P越大，插线板电源线产生的热量Q越多 【答案】C 【分析】本题考查了函数的图象，准确从图中获取信息，并逐项判定即可． 【详解】解∶根据图1知：当时，，故选项A正确，但不符合题意； 根据图2知：Q随I的增大而增大，故选项B正确，但不符合题意； 根据图2知：Q随I的增大而增大，但前小半段增加的幅度小，后面增加的幅度大，故选项C错误，符合题意； 根据图1知：I随P的增大而增大，又Q随I的增大而增大，则P越大，插线板电源线产生的热量Q越多，故选项D正确，但不符合题意； 故选：C． 22．（2025·黑龙江齐齐哈尔·二模）如图1，点P从等边三角形的顶点A出发，沿直线运动到三角形内部一点，再从该点沿直线运动到顶点B．设点P运动的路程为x，，图2是点P运动时y随x变化的关系图象，则等边三角形的边长为（    ） A．6 B．3 C． D． 【答案】A 【分析】如图，令点从顶点出发，沿直线运动到三角形内部一点，再从点沿直线运动到顶点．结合图象可知，当点在上运动时，，，易知，当点在上运动时，可知点到达点时的路程为，可知，过点作，解直角三角形可得，进而可求得等边三角形的边长． 【详解】解：如图，令点从顶点出发，沿直线运动到三角形内部一点，再从点沿直线运动到顶点． 结合图象可知，当点在上运动时，， ∴，， 又∵为等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， 当点在上运动时，可知点到达点时的路程为， ∴，即， ∴， 过点作， ∴，则， ∴，   即：等边三角形的边长为6， 故选：A． 【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，解决本题的关键是综合利用图象和图形给出的条件． 23．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）如图1，连接菱形的对角线，动点P由点B出发以每秒1个单位的速度沿匀速运动至点A，速度不变再沿匀速移动至点D，点P的运动时间为x（秒），运动过程中点P到的距离为y（单位），x与y的函数图像如图2所示，观察函数图像信息可知菱形的面积为（   ） A．22 B．23 C．24 D．25 【答案】C 【分析】本题考查了动点问题的函数图象，掌握菱形的性质是解题的关键． 根据图象得，再根据勾股定理求出对角线，最后根据菱形是面积公式求解． 【详解】解：连接，交于点，则， 由图象得：， ， ， ∴菱形的面积为：， 故选：C． 24．（2025·黑龙江齐齐哈尔·二模）如图，在平行四边形中，点P沿方向从点A移动到点C．设点P移动的路程为x，线段的长为y，图2是点P运动时y随x变化的关系图象，则点Q的横坐标b等于（    ） A． B． C． D．5 【答案】C 【分析】本题主要考查动点问题的函数图象，平行四边形的性质，勾股定理及其逆定理，掌握平行四边形的性质，根据点P运动规律，结合函数图象解题是解题关键．根据平行四边形的性质，再结合P运动时y随x的变化的关系图象，通过勾股定理的逆定理及其定理即可求解． 【详解】解：当点P运动到点B处时，，即， 当点P运动到点C处时，如图， ∵，即，此时，即， ∵， ∴为直角三角形， 由等面积得，， ∴，即． ∴ ∴ 故选：C． 25．（2025·黑龙江绥化·二模）如图，已知和均为等腰直角三角形，，，、、、在同一条直线上，开始时点与点重合，让沿直线向右移动，最后点与点重合，设两三角形重合面积为，点移动的距离为，则关于的大致图象是（  ）    A．   B．   C．   D．   【答案】A 【分析】分时，时，时，三种情况，分别求出函数解析式，进而即可求解． 【详解】根据题意，得移动的过程中，重合部分总为等腰直角三角形， 当时，重合部分的直角边长为，则； 当时，重合部分的直角边长为1，则； 当时，重合部分的直角边长为， 则． 由以上分析可知：这个分段函数的图象左边为开口向上的抛物线一部分，中间为平行于轴的直线的一部分，右边为开口向上的抛物线一部分． 故选A． 【点睛】本题主要考查二次函数的图像和性质，根据题意，求出函数解析式，是解题的关键． 26．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）如图，在中，，，，直线经过点，且垂直于，直线从点出发，沿方向以的速度向点运动，当直线经过点时停止运动，分别与、（）相交于点，，若运动过程中的面积是（），直线的运动时间是（s），则与之间函数关系的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的应用．分类讨论是解答本题的关键．过点C作于D．先证明是直角三角形，进而求出的长．然后分和两种情况，求出的长，根据三角形面积公式即可得出y与x的函数关系式，进而得出结论． 【详解】过点作于． ∵， ∴是直角三角形， ∴，， ∴，．分两种情况： （1）当时，如图1． ∵， ∴， ∴，函数图象是开口向上，对称轴为轴，位于轴右侧的抛物线的一部分； （2）当时，如图2． ∵， ∴， ∴，函数图象是开口向下，对称轴为直线，位于对称轴右侧的抛物线的一部分；综上所述：B选项符合题意． 故选：B． 27．（2025·黑龙江齐齐哈尔·二模）如图，在四边形中，，，点从点出发，沿的方向匀速运动到点停止．过点作，垂足为，连接．设点的运动时间为，的面积为，下列图象中能大致反映与之间函数关系的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了动点轨迹的函数图像，分点P在上，点P在上，点P在上三种情况分析解答即可． 【详解】解：假设，,，点的运动速度为每秒单位长度， 过点作于点，点作垂直于点， 则，四边形是矩形， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∴，， 当点P在上时，， ，， ∴； 当点P在上时，， 过点作于点，则四边形为矩形， ∴， ∴， ∴； 当点P在上时，， 又∵， ∴，， ∴， ∴， 符合要求的图象为C， 故选：C． 28．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）如图，四边形ABCD为平行四边形，，点M为AB上一动点，过点M作直线l垂直于AB，且直线l与的另一边交于点N．设，的面积为y，能表示y与x之间函数关系的图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查动点的函数图形，解直角三角形，分点在线段上和上，两种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：过点作，则：， 设，则：， ∴， ∴， 当时， ∵，， ∴， ∴， 此时函数图象为过原点的一段上升的抛物线； 当时，， 图象为一段上升的线段， 故符合题意的只有选项C； 故选C． 29．（2025·黑龙江齐齐哈尔·二模）如图①，在中，，点从点出发沿以的速度匀速运动至点，图②是点运动时，的面积随时间变化的函数图象，则该三角形的斜边的长为（   ） A．5 B．7 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查根据函数图象获取信息，完全平方公式，勾股定理．由图象可知，面积最大值为3，此时当点D运动到点C，得到，由图象可知，根据勾股定理，结合完全平方公式即可求解． 【详解】解：由图象可知，面积最大值为3， 由题意可得，当点D运动到点C时，的面积最大， ∴，即， 由图象可知，当时，，此时点D运动到点B， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：C． 30．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）如图，在等边中，，点从出发，沿路线以每秒1个单位的速度运动，同时点从出发，沿路线以相同速度运动，当、两点相遇同时停止运动．设两点运动时间为秒，的面积为，则下列图象能表示与之间的函数关系的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数图象、二次函数图象的性质，根据题意求得解析式是解题的关键． 根据题意当时，当时，分别求得的面积，即可判断函数图象． 【详解】解：依题意，时，， 连接、，过点作，垂足为， ∵在等边中，， ∴，， ∴ ∵，， ∴， 函数图象为开口向上的抛物线的一部分，当时，， ，图象为直线的一部分， ∵，点运动时间为秒， 当时，点、在上，如图所示， ∴， ∴ 当时，图象为直线的一部分， 故选：D． 31．（2025·黑龙江大庆·二模）如图（1），点P为菱形对角线上一动点，点E为边上一定点，连接，，．图（2）是点P从点A匀速运动到点C时，的面积y随的长度x变化的关系图象（当点P在上时，令），则菱形的周长为（        ） A． B． C．20 D．24 【答案】C 【分析】根据图象可知，当时，即点与点重合，此时，进而求出菱形的面积，当时，此时点与点重合，即，连接，利用菱形的性质，求出边长，即可得出结果． 【详解】解：由图象可知：当时，即点与点重合，此时， ∴， 当时，此时点与点重合，即，连接，交于点， 则：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴菱形的周长为； 故选C． 【点睛】本题考查菱形的性质和动点的函数图象．熟练掌握菱形的性质，从函数图象中有效的获取信息，是解题的关键． 32．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）如图，点A的坐标为（0，1），点B是x轴正半轴上的一动点，把线段AB以A为旋转中心，逆时针方向旋转90°，得到线段AC，设点B的横坐标为x，点C的纵坐标为y，能表示y与x的函数关系的图象大致是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】作出适当的辅助线，证得，即可建立y与x的函数关系，确定出答案． 【详解】解：过点作轴于点， ∵， ∴，， ∵， ∴ ， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 又∵点B是x轴正半轴上的一动点， ∴， 故选：. 【点睛】本题考查了动点问题的函数图象问题，解题的关键是明确题意，建立函数关系，从而判断出正确的函数图象． 33．（2025·黑龙江齐齐哈尔·二模）如图，在菱形中，，，点从点出发，沿运动，过点作直线的垂线，垂足为点，设点运动的路程为，的面积为，则下列图象能正确反映与之间的函数关系的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了函数的图象，菱形的性质，矩形的判定与性质，解直角三角形，掌握知识点的应用和分类讨论的数学思想是解题的关键． 根据点的运动位置分类讨论，分别画出对应的图形，利用锐角三角函数求出和，即可求出与的函数关系式，即可判断出各种情况下的图象． 【详解】解：∵四边形是菱形，，， ∴，， ∴当点到点时，；当到点时，；当到点时，， 当点在上，即时，如下图所示 此时， ∴，， ∴，此时图象为开口上的抛物线的一部分； 当点在上，即时，如下图所示，过点作于， 此时，， ∴四边形为矩形， 在中，，， ∴，， ∴， ∴，此时图象为逐渐上升的一条线段； 当点在上，即时，如下图所示， 此时， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴，此时图象为开口上的抛物线的一部分； 综上：符合题意的图象为， 故选：． 34．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）笔直的海岸线上依次有A，B，C三个港口，甲船从A港口出发，沿海岸线匀速驶向C港口，1小时后乙船从B港口出发，沿海岸线匀速驶向A港口，两船同时到达目的地．甲船的速度是乙船的1.25倍，甲、乙两船与B港口的距离y（km）与甲船行驶时间x（h）之间的函数关系如图所示．给出下列说法：①A，B港口相距400km；②甲船的速度为100km/h；③B，C港口相距200km；④乙船出发4h时，两船相距220km．其中正确的个数是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】①由(0,400)可知A，B港口相距400km； ②甲船4个小时行驶了400km，可以求出甲船的速度； ③先求出乙船的速度，再根据两船同时到达目的地列出等式，可求出B，C港口的距离； ④乙船出发4h时，计算两船与B港口的距离，再相加即可． 【详解】解：由题意和题图，可知A，B港口相距400km，故①正确； 甲船4个小时行驶了400km，故甲船的速度为，故②正确； 乙船的速度为，设B、C港口的距离为skm， 则，解得，故③正确； 乙船出发4h时，两船的距离是，故④错误． 故选B． 【点睛】本题考查一次函数的实际应用---路程问题，解答此类问题的关键是根据图像找到一些关键点（如与x轴、y轴的交点，两图像的交点等），分析关键点的实际意义，转化为路程或速度或时间的关系，然后利用题中的等量关系进行解答．这种题型属于常考题型，属较难题. 一次函数与反比例函数的图象和性质题型03 35．（2025·黑龙江佳木斯·二模）已知一次函数的图象经过点和，则该函数的解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查待定系数法确定一次函数解析式．将两个点代入解析式，利用待定系数法求解即可． 【详解】解：∵一次函数的图象经过点与点， ∴代入解析式得：， 解得：， ∴一次函数的解析式为：． 故选：A． 36．（2025·黑龙江大庆·二模）已知不等式的解集是，则一次函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一次函数与一元一次不等式，解不等式的方法：从函数的角度看，就是寻求使一次函数的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围．找到当函数图象位于x轴的下方的图象即可． 【详解】解∶∵不等式的解集是， ∴当时，， 观察各个选项，只有选项B符合题意， 故选：B． 37．（2025·黑龙江大庆·二模）如图，函数和的图象相交于，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，先求出交点的坐标，再观察图象，写出直线图象在直线图象的下方所对应的自变量的范围即可． 【详解】解：∵函数的图象经过点， ， 解得：， ， 由图象可得：当函数图象在函数图象下方时，， ∴不等式的解集为． 故选：C． 38．（2025·黑龙江绥化·二模）如图，在平面直角坐标系中，菱形的边在轴的正半轴上，反比例函数的图象经过对角线的中点和顶点．若菱形的面积为，则的值为（    ） A．7 B．6 C．5 D．4 【答案】D 【分析】本题主要考查反比例函数和菱形的性质，关键在于菱形的对角线相互平分且垂直．首先设出、点的坐标，再根据菱形的性质可得点坐标，再根据点在反比例函数上，再结合面积等于，解方程即可． 【详解】解：设点的坐标为，点的坐标为， 则，点的坐标为， ∴， 解得，， 故选：D． 39．（2025·黑龙江佳木斯·二模）如图，在平面直角坐标系中，△OAB的顶点A在x轴上，顶点B在第一象限，AB⊥x轴，函数（x＞0）的图象经过边OB上的一点C．若BC＝2OC，则△OAB的面积为（　　） A．9 B．4 C．4.5 D．3 【答案】A 【分析】作CD⊥x轴垂足为D，求出△OCD的面积，根据相似三角形的性质即可求得△AOB的面积． 【详解】解：如图作CD⊥x轴垂足为D， ∵函数（x＞0）的图象经过点C， ∴S△ODC=×2=1， ∵BC=2OC， ∴BO=3OC， ∵CD∥AB， ∴△OCD∽△OBA， ∴， ∴S△OBA=9S△ODE=9， 故选：A． 【点睛】本题考查反比例函数k的几何意义，求出△OCD的面积是解题的关键，记住反比例函数的比例系数|k|=S△OCD． 40．（2025·黑龙江绥化·二模）如图，在平面直角坐标系中，菱形的边在x轴的正半轴上，反比例函数的图象经过对角线的中点D和顶点C．若菱形的面积为16，则k的值为（   ） A． B．8 C． D．4 【答案】A 【分析】首先设出A、C点的坐标，再根据菱形的性质可得D点坐标，再根据D点在反比例函数上，再结合面积等于16，解方程即可．本题主要考查反比例函数和菱形的性质，关键在于菱形的对角线相互平分且垂直． 【详解】解：设点的坐标为，点的坐标为， 则，点的坐标为， ∴， 解得，， 故选A． 41．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）已知，点，在反比例函数（其中）的图象上，则，的大小关系正确的是（   ） A． B． C． D．不能确定 【答案】A 【分析】本题主要考查了反比例函数的增减性，先判断反比例函数的系数，确定反比例函数在每一象限的增减性，然后判断是否在同一象限，横坐标的大小，根据增减性即可判断出答案． 【详解】解：∵（其中）， ∴，即反比例函数图象在二、四象限， ∴在每一象限，y随x的增大而增大， ∵A点和B点的横坐标分别为：和，， ∴， 故选：A． 42．（2025·黑龙江佳木斯·二模）如图，A是反比例函数图象上一点，点B，C在x轴上，且，D为的中点，的延长线交y轴于点E，连接，若的面积为4，则k的值为（    ） A．2 B．4 C．8 D．6 【答案】C 【分析】本题主要考查了反比例函数比例系数的几何意义，三角形中线的性质，连接，由三角形中线平分三角形面积得到，进而可证明，再证明轴，，据此根据反比例函数比例系数的几何意义即可得到答案． 【详解】解：如图所示，连接， ∵D为的中点， ∴， ∴，即， ∵， ∴轴， ∴， ∵A是反比例函数图象上一点，， ∴， ∴， 故选：C． 43．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）如图所示的是反比例函数和一次函数的图象，则下列结论正确的是（    ） A．反比例函数的解析式是 B．一次函数的解析式为 C．当时，最大值为1 D．若，则 【答案】D 【分析】结合图象，求出两个函数的解析式，再逐一进行判断即可。 【详解】解：A、由图象可知，两个函数图象相交于两个点，其中一个点坐标为， 把代入得，， ，选项错误，不符合题意； B、当时，， 另一个交点坐标为：， 直线解析式为：，分别代入，，得： ， 解得， ，选项错误，不符合题意； C、由图象可知，当时，随的增大而减小，当时，，选项错误，不符合题意； D、由图象可知， ，直线在双曲线的下方，，选项正确，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查一次函数与反比例函数的交点、反比例函数的图象与性质，待定系数法求函数解析式．解题的关键是待定系数法求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解． 44．（2025·黑龙江齐齐哈尔·二模）如图，等边三角形的顶点，分别在反比例函数图象的两个分支上，且点，关于原点对称，过点作平行于轴，交反比例函数的图象于点，连接，，则的面积为 ． 【答案】4 【分析】过、作轴，轴于、，令交轴于点，则四边形是矩形，，， ，证明，得，，进而证明，得 ，，从而即可得解． 【详解】解：如图，过、作轴，轴于、，令交轴于点，则四边形是矩形， ∴，， ， ∵点，关于原点对称， ∴，， ∴， ∵是等边三角形， ∴ ∴， ∵，轴 ∴， ∴， ∴， ∵反比例函数 ∴， ∴， ∴的面积为 故答案为：． 【点睛】本题考查了坐标与图形，反比例函数的图象和性质，等边三角形的性质，相似三角形的判定及性质，关于原点对称的点的坐标特征，掌握相似三角形的判定及性质是关键． 45．（2025·黑龙江齐齐哈尔·二模）如图，点是反比例函数()图象上一点，过点作轴于点，点为的中点，点为轴负半轴上一点，连接、，若，且，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数，相似三角形的判定与性质，得到关于的方程是解题的关键． 先证明，设 ，即可得出，，再根据相似三角形的性质可得，根据，代入数值即可解得． 【详解】解：∵点为的中点，轴， ∴， ∴， 根据题意可设 ， ∴， ∴， ∴， 故可设点坐标为， ∵，，， ∴， 即， ∴， ∵，，，， ∴， 即， 解得：， 故答案为：． 46．（2025·黑龙江绥化·二模）如图，点A在反比例函数y=(x＞0)上，过点A作AC⊥x轴于点C、C为x轴正半轴上一点，连接AB交y轴于点D，sin∠ABC=，AO平分∠BAC，此时，，则k的值为 ． 【答案】/ 【分析】通过设点纵坐标与，可表示出与的长度，再通过可求出点坐标，作垂直于可求出与的长度，即求出点坐标从而求解． 【详解】解：设点纵坐标为，则点坐标为，，作垂直于轴于点， ， ， ， ， 解得或（舍， ，，， 作垂直于轴于点， AO平分∠BAC， ， ， 即， 解得：， 点坐标为， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查反比例函数的综合应用、角平分线的性质、已知正弦值求边长，解题关键是熟练掌握反比例函数的性质与三角函数的知识点． 47．（2025·黑龙江齐齐哈尔·二模）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点，在轴的正半轴上，反比例函数的图象经过顶点，分别与对角线，边交于点，，连接，．若点为的中点，的面积为，则的值为 ．    【答案】 【分析】设，根据已知条件表示出点，点坐标，易得，，由的面积为，得的面积为，所以，即可求出的值 【详解】解：设， 是矩形，且点为的中点， 点纵坐标为， 代入反比例函数解析式得， ， 点横坐标为， 点横坐标为，代入反比例函数解析式， 得， ， ， 的面积为， 的面积为， ， ， 解得． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了反比例函数的综合应用，根据中点坐标公式表示各点坐标是解决本题的关键． 48．（2025·黑龙江齐齐哈尔·二模）如图，正方形四个顶点分别位于两个反比例函数和的图象的四个分支上，则的值= ．    【答案】 【分析】根据正方形和双曲线的中心对称性，、的交点为O，如图，过点A作轴于M，过点D作轴于N，证明得到，利用反比例函数系数k的几何意义求解即可． 【详解】：根据正方形和双曲线的中心对称性，、的交点为O，如图，过点A作轴于M，过点D作轴于N，则，      ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴，则， ∵反比例函数的图象位于第二、四象限， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、反比例函数的性质和系数k的几何意义，熟练掌握反比例函数系数k的几何意义是解答的关键．   二次函数的图象和性质题型04 49．（2025·黑龙江佳木斯·二模）已知二次函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，掌握图形开口，对称轴直线，与坐标轴交点的计算是关键． 根据二次函数图象的开口，对称轴直线，与坐标轴交点的知识判定即可． 【详解】解：∵二次函数图象开口向下， ∴，故A选项错误，不符合题意； ∵对称轴直线为， ∴，故B选项正确，符合题意； ∵二次函数图象与轴交于正半轴， ∴，故C选项错误，不符合题意； ∵二次函数与轴有两个交点， ∴，故D选项错误，不符合题意； 故选：B ． 50．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）抛物线与轴的交点坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特点，令，求出的值即可，掌握轴上点的坐标特点是解题的关键． 【详解】解：由得，当时，， ∴与轴的交点坐标是， 故选：． 51．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）二次函数的最大值是 ． 【答案】5 【分析】本题主要考查二次函数的性质，熟练掌握二次函数的顶点式是解题关键． 根据二次函数的性质进行解答即可． 【详解】解：∵二次函数， ∴ ∴图象开口向下，顶点坐标为， ∴当时，函数有最大值5， 故答案为：5． 52．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）当 时，二次函数有最小值． 【答案】1 【分析】本题考查二次函数的最值，根据二次函数的性质，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线的开口方向向上， ∴当时，函数有最小值； 故答案为：1． 53．（2025·黑龙江齐齐哈尔·二模）如图，抛物线与轴分别交于点，，与轴交于点，且．下列结论：①；②；③方程有两个不相等的实数根；④方程的两个根是，．其中结论正确的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．根据抛物线开口方向，对称轴以及与轴的交点，判断，即可判断①，抛物线与轴分别交于点，，得，，，从而可得，，即可判断②，根据图象可得与有2个交点，即可判断③，把方程可化为，得，解得，即可判断④． 【详解】解：①∵抛物线开口向上，则， ∵抛物线与轴交于点，， ∴对称轴为直线，则， ∴， 抛物线与轴交于负半轴，则 ∴，故①不正确； ②∵抛物线与轴分别交于点，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，故②正确； ③∵，抛物线与轴交于点，且， ∴抛物线与有2个交点， 即方程有两个不相等的实数根；故③正确； ④∵，， ∴方程可化为， ∴， 解得，；故④不正确． 故选：B． 54．（2025·黑龙江绥化·二模）函数 的图象如图所示，下列说法正确的有（   ） ①方程有四个不等的实数根；② ；③ ；④． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C 【分析】利用数形结合思想，结合绝对值的意义，函数的性质，解答即可． 【详解】解：根据题意， 当时，方程有三个不等的实数根； 当时，方程有两个不等的实数根； 当时，方程有四个不等的实数根； 当时，方程有两个不等的实数根； 当时，方程没有实数根； 故①错误； 当时，，根据图象，得， 故， 故② 错误； 根据题意，得的对称轴为直线，且，， 故即， 故③ 正确； 当时，，根据图象，得， 故， 当时，抛物线开口向上，故解析式为， 时，根据图象，得， 故， 故即． 故④ 正确； 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数的图象与各项系数的关系，绝对值的意义，数形结合思想，方程根于图象的关系，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 55．（2025·黑龙江佳木斯·二模）若二次函数的图像开口向下，顶点坐标为，且过点，则函数解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，直接设抛物线为，再进一步求解即可. 【详解】解：∵二次函数的图像开口向下，顶点坐标为，且过点， ∴设二次函数为， ∴， 解得：， ∴抛物线为：； 故选：A 56．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）将抛物线y=2x2经过怎样的平移可得到抛物线y=2(x+3)2+4（ ） A．先向左平移3个单位，再向上平移4个单位 B．先向左平移3个单位，再向下平移4个单位 C．先向右平移3个单位，再向上平移4个单位 D．先向右平移3个单位，再向下平移4个单位 【答案】A 【分析】抛物线的平移问题，实质上是顶点的平移，原抛物线的顶点为（0，0），平移后的抛物线顶点为（-3，4），由顶点的平移规律确定抛物线的平移规律． 【详解】抛物线y=2x2的顶点坐标为（0，0），抛物线y=2（x+3）2+4的顶点坐标为（-3，4）， 点（0，0）需要先向左平移3个单位，再向上平移4个单位得到点（-3，4）． ∴抛物线y=2x2先向左平移3个单位，再向上平移4个单位得到抛物线y=2（x+3）2+4． 故选A． 【点睛】在寻找图形的平移规律时，往往需要把图形的平移规律理解为某个特殊点的平移规律． 57．（2025·黑龙江齐齐哈尔·二模）将抛物线向上平移3个单位长度，再向右平移5个单位长度，所得的抛物线为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】用顶点式表达式，按照抛物线平移的公式即可求解． 【详解】解：将抛物线先向上平移3个单位长度，再向右平移5个单位长度后，函数的表达式为：． 故选：D． 【点睛】主要考查了函数图象的平移，抛物线与坐标轴的交点坐标的求法，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减． 58．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）将抛物线图像先向上平移个单位，再向左平移个单位后的解析式是(    ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据左加右减，上加下减的规律，可得答案． 【详解】解：将抛物线图像先向上平移个单位，再向左平移个单位后的解析式是，即． 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数图像与几何变换，主要考查的是函数图像的平移，用平移规律“左加右减，上加下减”直接代入函数解析式求得平移后的函数解析式． 59．（2025·黑龙江大庆·二模）在同一平面直角坐标系中，函数与的图象大致是（　　） A．   B．     C．   D．     【答案】C 【分析】分四种情况讨论，再判断图像即可． 【详解】当，时，抛物线开口向上，对称轴是y轴，顶点在y轴正半轴； 一次函数图像经过第一，二，三象限，且经过点. 当，时，抛物线开口向上，对称轴是y轴，顶点在y轴负半轴； 一次函数图像经过第一，三，四象限，且经过点， 所以A不符合题意，C符合题意； 当，时，抛物线开口向下，对称轴是y轴，顶点在y轴负半轴； 一次函数图像经过第二，三，四象限，且经过点． 当，时，抛物线开口向下，对称轴是y轴，顶点在y轴正半轴； 一次函数图像经过第一，二，四象限，且经过点， 所以B不符合题意，D不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图像，一次函数的图像，掌握函数关系式中系数与图像的位置的关系是解题的关键． 60．（2025·黑龙江佳木斯·二模）某超市销售一种商品，成本每千克40元，规定每千克售价不低于成本，且不高于80元．经市场调查，每天的销售量y（千克）与每千克售价x（元）满足一次函数关系，部分数据如下表： 售价x（元/千克） 50 60 70 销售量y（千克） 100 80 60 设每天的总利润为W（元），则W与x之间的函数关系式为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查二次函数的应用和一次函数的应用，根据题意可以设出y与x之间的函数表达式，然后根据表格中的数据即可求得y与x之间的函数表达式，根据题意可以写出W与x之间的函数表达式． 【详解】解：设y与x之间的函数解析式为， ， 得， 即y与x之间的函数表达式是； 由题意可得，， 即W与x之间的函数表达式是． 故选：B． 61．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）关于抛物线，下列说法正确的是（    ） A．抛物线开口向下 B．对称轴是 C．顶点坐标是 D．抛物线向左平移1个单位，再向上平移1个单位可得抛物线 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的性质，主要利用抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标，以及二次函数的增减性． 根据二次函数的性质对各小题分析判断即可得解． 【详解】A、抛物线中的，则该抛物线的开口方向向上，本选项错误； B、抛物线的对称轴是，本选项错误； C、抛物线的顶点坐标是，本选项正确； D、抛物线向左平移1个单位，再向上平移1个单位可得抛物线，本选项错误． 故选：C． 62．（2025·黑龙江佳木斯·二模）小明用一张长为、宽为的长方形纸片制作一个无盖的长方体盒子（如图），若剪去四个边长为的正方形，则盒子的容积V（单位：）与x的函数关系式为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了列函数关系式．根据题意得到长方体盒子的长宽高，即可得到答案． 【详解】解：若剪去四个边长为的正方形，则盒子的容积V（单位：）与x的函数关系式为， 故选：D 63．（2025·黑龙江绥化·二模）已知二次函数图象的对称轴为直线，部分图象如图所示，下列结论中：①；②；③；④若t为任意实数，则有；⑤当图象经过点时，方程的两根为，则，其中正确的结论有（   ） A．①②③ B．②③⑤ C．②③④ D．②③④⑤ 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．根据抛物线开口方向，与轴的交点位置分别得到，，再利用对称轴得到，即可判断①；根据抛物线与轴有两个交点，即可判断②；当时，，得到，再结合和，即可判断③；当时，有最小值即可判断④；当图象经过点时，利用二次函数的对称性可得图象也经过点，进而得到，，即可判断⑤． 【详解】解：由图象可知，抛物线开口向上，与轴交于负半轴， ，， 抛物线对称轴为直线， ，即， ，故①错误； 由图象可知，抛物线与轴有两个交点， ，故②正确； 由图象可知，当时，， ， 又， ， ， ，故③正确； 由图象可知，当时，有最小值， （t为任意实数）， ，故④正确； 抛物线对称轴为直线，当图象经过点时， 由二次函数对称性得，图象也经过点， 的图象与直线的交点为和， 即方程的两根为和， 又方程的两根为， ，， ，故⑤错误； 综上所述，正确的结论②③④． 故选：C． 64．（2025·黑龙江绥化·二模）二次函数 的对称轴是 ，图像与负半轴交于点，与轴交于点，且．则下列结论： ①；   ②；   ③； ④若方程的两根为， 则．其中正确结论的个数是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数图像与系数的关系，熟练掌握二次函数的图形与性质是解题关键．根据抛物线开口方向、对称轴以及抛物线与轴的交点位置，确定的取值范围，即可判断结论①；由抛物线的顶点的纵坐标大于0，可知，即可判断结论②；首先确定，结合可知，进而可得抛物线与轴的另一交点为，故当时，可有，即可判断结论③；由抛物线与轴的两个交点坐标，可得方程的两个根为，，即可判断结论④． 【详解】解：∵该抛物线开口向下， ∴， ∵抛物线的对称轴为， ∴， ∵抛物线与轴的交点在正半轴上， ∴， ∴，所以①正确； 由该二次函数的图像可知，其顶点的纵坐标大于0，即， ∴，所以②错误； 对于二次函数， 令，可得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵对称轴为， ∴抛物线与轴的另一交点为， ∴当时，可有， 即， ∴，所以③正确； ∵抛物线与轴的两个交点分别为，， ∴方程的两个根为，， ∴， ∴，所以④正确． 综上所述，正确的结论是①③④，共3个． 故选：B． 65．（2025·黑龙江齐齐哈尔·二模）如图，已知抛物线的对称轴为直线，且该抛物线与x轴交于点，与y轴的交点B在点，之间（不含端点），则以下结论：①；②；③；④若二次函数在上的最大值为，则或；⑤若方程的两根为，，其中正确结论的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数图象与性质，二次函数与一元二次方程之间的关系等等，根据开口方向，对称轴计算公式和与y轴交点的位置可判断①；根据对称性可得抛物线与x轴的另一个交点坐标为，则当时，，据此可判断②；把代入解析式得到，根据抛物线与y轴的交点在之间可得，据此可判断③；根据开口方向可知离对称轴越远函数值越大，分别令时的函数值为，进而求出此时的值即可判断④；根据直线与抛物线的交点在第一，三象限，即可判断⑤． 【详解】解：由图可知抛物线开口向上， ， 对称轴为直线， ∴， ∴， 抛物线与y轴的交点在之间（不含端点）， ， ，故①不正确； 由对称性可知，抛物线与x轴的另一个交点坐标为， ∴当时，， ∴，故②错误； 把代入解析式得，即 ， ， ， ，故③正确； ∵函数图象开口向上， ∴离对称轴越远，函数值越大， 当，即或时 则， 解得（舍去）或； 当，即或时， 则， 解得或（舍去），故④正确； 若方程两根为， 则直线与抛物线的交点的横坐标为， 直线过第一、二、三象限且过点， 直线与抛物线的交点在第一，三象限， 如图所示， 由图象可知，故⑤正确； 综上所述，正确的有③④⑤， 故选：C． 66．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）如图，抛物线的对称轴为直线，且经过点．给出下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论有（   ）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程之间的关系，根据抛物线开口向下，且与y轴交于坐标轴，可得，据此可判断①；由函数图象可知，抛物线与x轴有两个交点，据此可判断②；根据对称轴计算公式可得，据此可判断③；由对称性可知抛物线经过点，据此可判断④． 【详解】解：∵抛物线开口向下，且与y轴交于坐标轴， ∴， ∴，故①正确； 由函数图象可知，抛物线与x轴有两个交点，则，故②正确； ∵对称轴为直线， ∴， ∴， ∴，故③错误； ∵抛物线经过经过点， ∴由对称性可知抛物线经过点， ∴，故④正确； ∴正确的结论有3个， 故选：C． 67．（2025·黑龙江齐齐哈尔·二模）如图所示是二次函数的部分图象，该函数图象的对称轴是直线，图象与轴交点的纵坐标是2．则下列结论：①；②方程一定有一个根在和之间；③方程一定有两个不相等的实数根；④点，在抛物线上，且，当时，；⑤函数的最大值大于．其中正确结论的个数为（   ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】B 【分析】本题考查抛物线与x轴的交点，根与系数的关系，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是掌握二次函数的图象和性质，熟练运用数形结合的方法解决问题．根据二次函数的对称性，开口方向等来判断结论①②，根据二次函数与一元二次方程的关系来判断结论③，根据函数的增减性，函数值判断结论④⑤即可． 【详解】解：抛物线的对称轴为直线， ， ，即，故①正确； 抛物线的对称轴为直线，与x轴的一个交点的横坐标在2和3之间， 抛物线与x轴的另一个交点的横坐标在和0之间， ∴方程一定有一个根在和0之间，故②错误； ∵抛物线图象与轴交点的纵坐标是2， ， ， ， 令，得， 或， ， ， ∴方程一定有两个不相等的实数根，故③正确； 抛物线的开口向下， 抛物线上的点距离对称轴越远y值越小，距离对称轴越近y值越大， ， ， ， ， ， 点到对称轴的距离是，点到对称轴的距离是， ，故④正确； 如图，当时，， ， ， ， 当时，， 函数的最大值大于，故⑤正确， 综上所述，正确的结论有：①③④⑤，共4个， 故选：B． 68．（2025·黑龙江绥化·二模）如图，二次函数的图象过点和，下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的结论有（    ）    A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，二次函数和一元二次方程的关系等，解题的关键是熟练掌握二次函数的图形和性质． 利用二次函数的图象和性质及二次函数和一元二次方程的关系逐项进行判断即可． 【详解】解：①由抛物线图象可知， ∵开口向上， ∴， ∵对称轴位于轴左侧， ， 交轴于负半轴， ， ∴， 故①正确，符合题意； ②由图象可知，当时，， ∴， 故②错误，不符合题意； ③∵二次函数的图象过点和， ， 即，代入， 得， 故③正确，符合题意； ④∵二次函数的图象过点和， ， ∴ 由③得，所以，代入上式得， 原式， 由①得， 又， 即， 故④错误，不符合题意； ⑤由③得， 将代入上式得 原式 ∴， 由抛物线与轴有两个交点可得，， ∴， 故⑤正确，符合题意； 故正确的选项为①③⑤， 故选：B． 69．（2025·黑龙江齐齐哈尔·二模）在平面直角坐标系中，抛物线（）与x轴交于A、B两点，，，与y轴交点C的纵坐标在与之间，根据图象判断以下结论：①；②；③；④若且，则．其中正确结论有（   ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数的图象判断式子的符号，二次函数的图象与各系数符号等知识，熟练掌握这些知识是解题的关键．由抛物线过A、B两点，得抛物线的解析式为，根据抛物线的开口方向可确定a的符号，从而确定b的符号，从而可确定前三个；由且得横坐标分别为的两点关于抛物线的对称轴对称，从而可判断④，最后可确定答案． 【详解】解：抛物线过A、B两点，故设， 整理得：， ∴； 由图象知，抛物线的开口向上，则， ∴，且， ∴，，； 故①③正确，②错误； ∵， ∴， 表明，对于，当自变量分别取时的函数值相等， ∵， ∴， ∴二次函数图象上横坐标分别为的两点关于抛物线的对称轴对称； ∵抛物线的对称轴为直线 ∴， 即； 故④错误； 综上，正确的有2个； 故选：B． 70．（2025·黑龙江大庆·二模）已知反比例函数在第一象限内的图象与一次函数的图象如图所示，则函数的图象可能为（   ）        A．       B．   C．       D．       【答案】A 【分析】设，则，，将点，代入，得出，代入二次函数，可得当时，，则，得出对称轴为直线，抛物线对称轴在轴的右侧，且过定点，进而即可求解． 【详解】解：如图所示，        设，则，根据图象可得， 将点代入， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ， 对称轴为直线， 当时，， ∴抛物线经过点， ∴抛物线对称轴在的右侧，且过定点， 当时，， 故选：A． 【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数交点问题，二次函数图象的性质，得出是解题的关键． 71．（2025·黑龙江大庆·二模）如图，已知抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点．若P为y轴上一个动点，连接，则的最小值为（　　） A． B．2 C．2 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，垂线段最短等知识，关键在于把求最小值转化为求的最小值；连接，过点P作于点G，连接，过点A作于点H；由B、C的坐标得，则有，从而；于是求最小值转化为求的最小值；利用勾股定理即可求得最小值． 【详解】解：连接，过点P作于点G，连接，过点A作于点H，如图， ， ， ， ， ∴， 的最小值为的长， ∵， ， 在中， ， ， 的最小值为． 故选：C． 72．（2025·黑龙江大庆·二模）如图，正方形的顶点，在抛物线上，点在轴上．若两点的横坐标分别为（），下列结论一定正确的是（　　） A． B．=2 C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质、正方形的性质、全等三角形的判定与性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键．依据题意，连接、交于点，过点作轴于点，过点作于点，先证明．可得，．点、的横坐标分别为、，可得，．，，设，则，，，，，．再由，进而可以求解判断即可． 【详解】解：如图，连接、交于点，过点作轴于点，过点作于点， 四边形是正方形， 、互相平分，，， ，， ． ，， ． ，． 点、的横坐标分别为、， ，． ，， 设，则，， ，，，． 又，， ，． ． ． ． 点、在轴的同侧，且点在点的右侧， ． ，选项D正确，符合题意； A、B、C选项无法得出，故不符合题意． 故选：D． 73．（2025·黑龙江大庆·二模）如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）与x轴交于点A、B，顶点为C，对称轴为直线x＝1，给出下列结论：①abc＞0；②若点C的坐标为（1，2），则△ABC的面积可以等于2；③M（x1，y1），N（x2，y2）是抛物线上两点（x1＜x2），若x1＋x2＞2，则y1＞y2； ④若抛物线经过点（3，﹣1），则方程ax2＋bx＋c＋1＝0的两根为﹣1，3．其中正确结论的序号为 ． 【答案】③④ 【分析】①根据对称轴和抛物线与y轴的交点可对①作出判断； ②根据△ABC的面积=AB•yC=×AB×2=2可得AB的长，得出点A的坐标，可对②作出判断； ③根据抛物线的对称轴得到点M、N离对称轴得远近，可对③作出判断； ④根据抛物线与一元二次方程的关系可对④作出判断． 【详解】①抛物线的对称轴在y轴右侧，则ab＜0，而c＞0，abc＜0，故①错误，不符合题意； ②△ABC的面积=AB•yC=×AB×2=2，解得：AB=2，则点A（0，0），即c=0与图象不符，故②错误，不符合题意； ③函数的对称轴为x=1，若x1+x2＞2，则（x1+x2）＞1，则点N离函数对称轴远，故y1＞y2，故③正确，符合题意； ④抛物线经过点（3，-1），则y′=ax2+bx+c+1过点（3，0），根据函数的对称轴是x=1可知该抛物线也过点（-1，0），故方程ax2+bx+c+1=0的两根为-1，3，故④正确； 故选：③④． 【点睛】本题考查的是抛物线与x轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，要求学生非常熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征． 一次函数与反比例函数的实际应用题题型05 74．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）根据欧姆定律可知，若一个灯泡的电压U（V）保持不变，通过灯泡的电流I（A）越大，则灯泡就越亮．当电阻时，可测得某灯泡的电流A．若电压保持不变，电阻R减小为15Ω时，该灯泡亮度的变化情况为（    ） A．不变 B．变亮 C．变暗 D．不确定 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数在实际问题中的应用，根据题意求出电压是解题的关键．根据欧姆定律，结合已知条件可求出电压（V），若电压保持不变，电阻R减小为15Ω时，求出此时的电流，比较电流大小即可得解． 【详解】解： ，当时，A， （V）， 若电压保持不变，即（V），电阻R减小为15Ω时， 则，电流变大了， 灯泡亮度的变化情况为变亮． 故选：B． 75．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）已知蓄电池的电压U（单位：V）为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示，若电阻，则电流 A． 【答案】3 【分析】本题主要考查了反比例函数的实际应用，先设出电流I（单位：）与电阻R（单位：）的函数关系式为，利用待定系数法求出解析式，进而求出当时，I的值即可得到答案． 【详解】解：设电流I与电阻R的函数关系式为． 把代入中，得，解得，                     ∴电流I与电阻R的函数关系式为， ∴当时，， ∴电流I为， 故答案为：3． 76．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）科学课上，某同学用自制密度计测量液体的密度．密度计悬浮在不同的液体中时，浸在液体中的高度（单位：）是液体的密度（单位：）的反比例函数，当密度计悬浮在密度为的水中时，．当该密度计悬浮在另一种液体中时，，则该液体的密度为 ． 【答案】0.9 【分析】此题考查了反比例函数的应用．由题意可得，设，把，代入解析式，求得h关于的函数解析式；把代入（1）中的解析式，求解即可． 【详解】解：设h关于的函数解析式为， 把，代入解析式，得． ∴h关于的函数解析式为． 把代入，得． 解得：． 答：该液体的密度为． 故答案为：． 77．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）快递运载机器人是一种应用于配送领域的智能机器人，它的最快移动速度是载重后总质量的反比例函数．已知一款快递运载机器人载重后总质量时，它的最快移动速度；当其载重后总质量时，它的最快移动速度 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的应用．利用待定系数法求出反比例函数解析式，后再将代入计算即可． 【详解】解：∵智能机器人的最快移动速度是载重后总质量的反比例函数，机器狗载重后总质量时，它的最快移动速度， 设反比例函数解析式为，代入得： ， ∴反比例函数解析式为， 当时，， 故答案为：． 78．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）在温度不变的条件下，通过一次又一次地对汽缸顶部的活塞加压，加压后气体对汽缸壁所产生的压强与汽缸内气体的体积成反比例，p关于V的函数图象如图所示．若加压后气体对汽缸壁所产生的压强为，则汽缸内气体的体积为 mL． 【答案】60 【分析】由图象易得p关于的函数解析式为，然后问题可求解． 【详解】解：设p关于的函数解析式为，由图象可把点代入得：， ∴p关于的函数解析式为， ∴当时，则， ∴汽缸内气体的体积为； 故答案为60． 79．（2025·黑龙江绥化·二模）如图，点A在反比例函数第一象限内图象上，点B在反比例函数第三象限内图象上，轴于点C，轴于点D，交于点E，若，则k的值为 ． 【答案】 【分析】分别过点A、B作AP⊥x轴于点P，BQ⊥x轴于点Q，根据，可得点A的横坐标为，点B的横坐标为，从而得到点A的纵坐标为6，点B的纵坐标为-3，进而得到CD=AP+BQ=9，OD=3，再证得△ACE≌△BDE，，再由，可得，再由勾股定理，即可求解． 【详解】解：如图，分别过点A、B作AP⊥x轴于点P，BQ⊥x轴于点Q， ∵， ∴点A的横坐标为，点B的横坐标为， ∵点A在反比例函数第一象限内图象上，点B在反比例函数第三象限内图象上， ∴点A的纵坐标为6，点B的纵坐标为-3， ∵轴，轴， ∴CD=AP+BQ=9，OD=3， ∴AC∥BD， ∴∠CAE=∠DBE，∠ACE=∠BDE=90°， ∴△ACE≌△BDE， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，解得：或（舍去）． 故答案为： 【点睛】本题主要考查了反比例函数的图象和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握反比例函数的图象和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理是解题的关键． 80．（2025·黑龙江绥化·二模）临近端午节，某超市预计销售A、B两种筒粽回馈新老用户，已知A种筒粽2盒B种筒粽3盒共需440元，A种筒粽5盒B种筒粽7盒共需1050元． (1)求A、B两种筒粽的单价分别多少个？ (2)某公司计划购买A、B两种礼盒共100件，总费用不超过7700元，且A种礼盒的数量不少于B种礼盒数量的，共有几种购买方案？符合条件的最少费用是多少？ (3)下图为A、B两种筒粽厂家生产（盒）与生产时间（h）对应关系图．其中A种筒粽厂家生产总量函数为，B种筒粽厂家因机器故障，停产一段时间，维修后生产速度不变，对应的函数为．请根据函数图象信息解决下列问题． ①A种筒粽每小时生产________盒，B种筒粽每小时生产________盒． ②直接写出两种筒粽产量相差120盒时，x的值． 【答案】(1)A种筒粽的单价为70元，B种筒粽的单价为100元 (2)24种方案，最少费用为7000 (3)①40，60；②6或15 【分析】本题考查了一次函数、二元一次方程组和一元一次不等式组的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）设A种筒粽的单价为元，B种筒粽的单价为元，根据“已知A种筒粽2盒B种筒粽3盒共需440元，A种筒粽5盒B种筒粽7盒共需1050元”建立二元一次方程组求解； （2）设购买种礼盒件，则种礼盒件，由题意得：，求出解集，再根据为整数得出方案数，然后设总费用为，求出关于的函数关系式，再根据一次函数的性质求解； （3）①由图象即可求解速度；②分别求出的函数解析式，然后根据两种筒粽产量相差120盒列出方程求解． 【详解】（1）解：设A种筒粽的单价为元，B种筒粽的单价为元， 由题意得：， 解得：， ∴A种筒粽的单价为70元，B种筒粽的单价为100元； （2）解：设购买种礼盒件，则种礼盒件， 由题意得：， 解不等式组得：， ∴， ∵为整数， ∴共有种方案， 设总费用为，则， ∵， ∴随着的增大而减小， ∴当时，总费用最少，为元； （3）解：①A种筒粽每小时生产盒，B种筒粽每小时生产盒； ②设，代入得：, 解得：， ∴， 当时，， 解得：， 当时，同理可得； 当时，设， ∵速度不变， ∴ 代入，得 解得：， ∴当时，， ∴两种筒粽产量相差120盒时，或， 分别解得：或． 81．（2025·黑龙江齐齐哈尔·二模）一条笔直的公路上依次有，，三地，甲、乙两车分别从地、地同时出发前往地．甲车速度始终保持不变，乙车中途休息一段时间后继续行驶，两车同时到达地．甲、乙两车之间的距离（千米）与行驶时间（小时）的函数关系如图所示．请结合图象信息，解答下列问题： (1)，两地间的距离为________千米，乙车中途休息________小时，甲车的速度为________千米/时； (2)求图中线段所在直线的函数解析式； (3)直接写出两车出发多少小时，两车行驶的路程相差千米． 【答案】(1)，， (2) (3)小时或小时或小时 【分析】（）根据函数图象解答即可； （）求出点坐标，再利用待定系数法解答即可； （）分甲车在线段段、甲车在线段段和甲车在线段段三种情况解答即可求解； 本题考查了一次函数的实际应用，一元一次方程的应用，看懂函数图象是解题的关键． 【详解】（1）解：由函数图象可知，，两地间的距离为千米， 由图象得，当时，乙车开始休息，当时，乙车重新出发， ∴乙车中途休息小时， ∵从点过程中，只有甲车在行驶， ∴甲车的速度为千米/时， 故答案为：，，； （2）解：由（）可得，点甲行驶的时间为小时， ∴， 设线段所在直线的函数解析式为， 把，代入得， ， 解得， ∴线段所在直线的函数解析式为； （3）解：①甲车在线段段时两车行驶的路程相差千米， 把代入得，， 解得； ②甲车在线段段时两车行驶的路程相差千米， 由题意得，， 解得； ③甲车在线段段时两车行驶的路程相差千米， 设线段的函数解析式为， 把，代入得， ， 解得， ∴线段的函数解析式为， 把代入得，， 解得； 综上，两车出发小时或小时或小时时，两车行驶的路程相差千米． 82．（2025·黑龙江大庆·二模）某公司根据往年市场行情得知，某种商品从5月1日起的300天内，该商品每件市场售价y（元）与上市时间t（天）的关系用图1的折线表示；每件商品的成本Q（元）与时间t（天）的关系用图2的一部分抛物线表示． (1)每件商品在第50天出售时的利润是______元； (2)求图1表示的商品售价y（元）与时间t（天）之间的函数关系式； (3)若该公司从销售第1天至第200天预计每天可以售出此种商品2000件，请你计算第1天至第200天该公司哪一天利润最高，最高是多少元？ 【答案】(1)100 (2) (3)从开始销售的第50天出售此种商品可获得最大利润20万元 【分析】本题主要考查的是二次函数的应用． （1）当时，设y与的函数关系式为，图中已知点坐标代入求得y与的关系式，然后将求得y的值，然后依据利润售价成本求解即可； （2）当时，设y与的函数关系式为．图中已知点坐标代入求得y与的关系式，然后结合（1）中的关系式可得到y与的关系式； （3）抛物线的顶点坐标为，设商品的成本与时间的关系式为，然后可求得的解析式，然后由得到与的函数关系式，最后，依据二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：当时，设与的函数关系式为． 由题意得：， 解得：，， ， 当时，， ． 故答案为：100； （2）解：由（1）知，当时， 当时，设与的函数关系式为． 由题意得：， 解得，， 与的关系式为． 综上所述，与之间的函数关系式为； （3）解：设商品的成本与时间的关系式为． 将代入得：， ， ， 当时，取最大值为100， 元． 答：从5月1日开始的第50天出售此种商品可获得最大利润20万元． 83．（2025·黑龙江齐齐哈尔·二模）在一条笔直的公路上依次有A，B．C三地．甲、乙两车同时出发．甲车从A地匀速行驶到C地，休息1小时后掉头（掉头时间忽略不计），按原路原速返回到A地．乙车从C地匀速行驶到B地，到达B地停止行驶，在两车行驶的过程中，甲、乙两车距各自出发地的路程y（单位：千米）与甲车行驶时间x（单位：小时）之间的函数图象如图所示，请结合图象解决下列问题： (1)甲车的速度为 千米/时，图中括号内的数值为 ； (2)A、B两地间的距离为 千米； (3)求乙车从C地到B地的过程中y与x的函数解析式； (4)在乙车到达B地之前，甲车出发多少小时，甲、乙两车相距150千米？请直接写出答案． 【答案】(1)60，11 (2)60 (3) (4)甲车出发时间小时或或，甲、乙两车相距150千米． 【分析】本题考查函数图象的实际应用． （1）由图数据可直接求出甲车的速度和图中括号的数值； （2）由图数据可直接求出A、B两地间的距离； （3）先求出乙车行驶的时间，再用待定系数法求其解析式即可； （4）分三种情况：一是甲乙相遇前相距150千米，二是甲乙相遇后相距150千米，三是甲休息一小时后返回，分别求解即可． 【详解】（1）解：由图知，甲车的速度为千米/时， 因为甲车停留1小时后原路原速返回，故图中括号填， 如图 故答案为：60，11； （2）解：由图知，A、B两地间的距离为千米； 故答案为：60； （3）解：设乙车从地到地的过程中与的函数解析式为， 则（小时） 将代入得 ； （4）解：甲车速度为60千米/小时，乙车速度为千米/小时， 设甲车时间为小时，则 相遇前相距150千米，有， 解得， 相遇后相距150千米，有， 解得． 甲休息1小时后返回，甲乙相距150千米，有 解得 故甲车出发时间小时或或，甲、乙两车相距150千米． 84．（2025·黑龙江龙东·二模）一辆巡逻车从地出发沿一条笔直的公路匀速驶向地，小时后，一辆货车从地出发，沿同一路线以千米/时的速度匀速驶向地，货车到达地装货耗时分钟，然后立即以低于来时的速度按原路匀速返回地．巡逻车、货车离地的距离（单位：千米）与货车出发时间（单位：小时）之间的函数关系如图所示，请结合图象解答下列问题： (1)两地之间的距离是_____千米，_____； (2)求巡逻车离地的距离与货车出发时间之间的函数解析式； (3)请直接写出货车出发多长时间与巡逻车相遇． 【答案】(1)60，1 (2) (3)， 【分析】本题主要考查了求一次函数解析式，从函数图象获取信息，一元一次方程的实际应用，正确读懂函数图象是解题的关键． （1）根据货车从A地到B地花了小时结合路程速度时间即可求出A、B两地的距离；根据货车装货花了15分钟即可求出a的值； （2）根据路程计算巡逻车的速度，得到两点坐标，利用待定系数法求解即可； （3）分两车从A前往B途中和货车从B往A途中，两种情况建立方程求解即可． 【详解】（1）解：千米， ∴A，B两地之间的距离是60千米， ∵货车到达B地填装货物耗时15分钟， ∴， 故答案为：60，1； （2）解：由题意得，巡逻车的速度为：， 故 则点，点， 设巡逻车对应的函数表达式为：， ∴， 解得， ∴巡逻车对应的函数表达式为：； （3）解：由题意得，点，点，点， 设所在直线的函数解析式为 故解得 所以， 货车对应的函数表达式为：， 当时，，解得：； 当时，，解得：； 综上所述：巡逻车与货车相遇时间为小时或小时． 85．（2025·黑龙江佳木斯·二模）已知，两市之间的路程为，甲、乙两车分别从，两市同时出发，甲车从市驶向市，到达市后立即按原路原速返回市；乙车从市驶向市，中途在服务区停车后，继续按原路原速驶向市．已知甲、乙两车距市的路程（单位：）与出发时间（单位：）之间的函数图象如图所示．结合图象，解答下列问题： (1)______，______； (2)求乙车距市的路程与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； (3)直接写出乙车停车之后再次出发多长时间两车相距． 【答案】(1)，； (2)路程与之间的函数关系式为； (3)乙车停车之后再次出发或两车相距． 【分析】本题考查一次函数的实际运用，利用待定系数法求的函数解析式，分类讨论思想，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据图象，找出对应的时间与路程求出答案即可； （）分当时，当时，当时求出解析式即可； （）如图，由题意得，，求出解析式为，解析式为，再分当甲到达之前时，和当甲到达之后时，或，然后解方程并检验即可． 【详解】（1）解：根据图象可知，甲车速度为， ∵甲车从市驶向市，到达市后立即按原路原速返回市，共， ∴，两市之间的路程为， ∵乙车从市驶向市，中途在服务区停车后，继续按原路原速驶向市， ∴乙车速度为， ∴乙车从市驶向市需要， ∴， 故答案为：，； （2）解：当时，设路程与之间的函数关系式为，由图象可知：过点，， ∴，解得：， ∴路程与之间的函数关系式为， 当时，设路程与之间的函数关系式为， 当时，设路程与之间的函数关系式为，由图象可知：过点，， ∴，解得：， ∴路程与之间的函数关系式为， 综上可知：路程与之间的函数关系式为； （3）解：如图，由题意得，， 设解析式为， ∴， ∴， ∴解析式为， 设解析式为， ∴，解得：， ∴解析式为， ∴当甲到达之前时，， 解得：， ∴乙车停车之后再次出发（小时）两车相距 当甲到达之后时，或， 解得：或（舍去）， ∴乙车停车之后再次出发（小时）两车相距， 综上可知：乙车停车之后再次出发或两车相距． 86．（2025·黑龙江齐齐哈尔·二模）在智能家居产品的生产浪潮中，甲、乙两个工厂承接了为某品牌厂商生产智能门锁的任务，各需完成套，甲工厂现有套存货，甲、乙两工厂的智能门锁总数（单位：套）与工作时间（单位：小时）之间的函数图象如图所示，根据图象所提供的信息，解答下列问题： (1)甲工厂每小时可以生产________套智能门锁；乙工厂在开始工作的小时内，共生产了________套智能门锁； (2)若乙工厂提速后，其生产速度是甲工厂生产速度的倍，请求出乙工厂生产全程中，智能门锁总数与工作时间之间的函数关系式； (3)在（2）的条件下，同时生产多长时间时，甲、乙两工厂智能门锁总数的差为套？直接写出答案． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题主要考查了从函数图像获取信息，一元一次方程的应用，求函数解析式，熟练掌握从函数图像获取信息是解题的关键， （1）根据工作效率等于工作总量除以工作时间即可求解； （2）根据工作总量与工作时间及工作效率间的关系求函数关系式即可； （3）根据甲、乙两工厂智能门锁总数的差为套列方程求解即可． 【详解】（1）解：甲工厂每小时可以生产套智能门锁，乙工厂在开始工作的小时内，共生产了套智能门锁， 故答案为：； （2）解：当时，； 当时，， 当时，， ∴乙工厂生产全程中，智能门锁总数与工作时间之间的函数关系式 ； （3）解：甲工厂生产全程中，智能门锁总数与工作时间之间的函数关系式为，当时，解得；当时，解得， ∴同时生产或小时时，甲、乙两工厂智能门锁总数的差为套． 87．（2025·黑龙江齐齐哈尔·二模）在一条笔直的道路上依次有A、B、C三地，B地在A，C两地之间．甲、乙两车分别从A地、B地同时出发前往C地，甲车速度始终保持不变．乙车中途休息一段时间，继续行驶．甲、乙两车之间的距离y（单位：）与甲车出发时间x（单位：h）的函数关系如图所示，请结合图象信息，解答下列问题： (1)A，B两地相距________km，乙车中途休息________h； (2)求图中线段的函数解析式，并写出自变量x的取值范围； (3)请直接写出甲、乙两车出发多长时间，两车距B地的距离相等． 【答案】(1)20；1 (2) (3)或或 【分析】本题考查了函数的图象、一次函数的应用、求一次函数的解析式，读懂函数图象的信息是解题的关键． （1）根据图象的信息即可解答； （2）设线段的函数解析式为，代入和，利用待定系数法求出的值，再结合图象即可写出自变量x的取值范围； （3）根据图象的信息求出甲车的行驶速度、乙车休息前的行驶速度，再分①甲、乙两车分别在B地的两侧，且距B地的距离相等；②甲、乙两车第一次相遇；③甲、乙两车第二次相遇三种情况讨论即可求解． 【详解】（1）解：由图象得，当时，， A，B两地相距， 由图象得，当时，乙车开始休息；当时，乙车重新出发； 乙车中途休息； 故答案为：20；1． （2）解：设线段的函数解析式为， 代入和得，， 解得：， 线段的函数解析式为． （3）解：在时，甲、乙两车同向行驶，且乙车的速度大于甲车的速度，此时两车的速度差为 在时，乙车休息，则甲车的行驶速度为， 乙车休息前的行驶速度为， ①设出发后，甲、乙两车分别在B地的两侧，且距B地的距离相等， 则有， 解得：； ②由图象得，当甲、乙两车相遇时，两车距B地的距离相等， 两车第一次相遇发生在乙车休息的时间， 此时乙车行驶的距离为， 相遇时间为； ③由图象得，两车第二次相遇发生在C地， 此时甲、乙两车出发； 综上所述，甲、乙两车出发或或，两车距B地的距离相等． 88．（2025·黑龙江大庆·二模）某主播在直播平台上销售一款成本为每件24元的商品．经调查发现，该商品每天的销售量（件）与销售单价（元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示． (1)求该商品每天的销售量与销售单价之间的函数关系式；并写出自变量的取值范围． (2)若该主播按单价不低于成本价，且不高于50元销售，则销售单价定为多少元时利润最大？最大利润是多少？ (3)若该主播要使销售该商品每天获得的利润不低于1280元，求销售单价x的取值范围？ 【答案】(1) (2)当单价为50元时，取得最大利润为1560元 (3) 【分析】本题主要考查了二次函数的应用、一元二次不等式的应用、待定系数法求一次函数解析式等知识点，正确求得函数解析式和不等式是解题的关键． （1）直接运用待定系数法求解即可； （2） 题意可得，设利润为W元，再求得，然后根据二次函数的性质求解即可； （3）由（2）得利润，，解得，然后再结合二次函数的性质即可解答． 【详解】（1）解：设，由图可知，函数图象过点， 则，解得， 所以， 所以每天的销售量与销售单价之间的函数关系式是． （2）解：若单价不低于成本价24元，且不高于50元销售，设利润为W元 因为， 所以利润， 其开口向下，对称轴为． 所以当时，利润取得最大值为， 所以当单价为元时，取得最大利润为元． （3）解：由（2）得利润， ，整理得， 即，解得，   开口向下， ， ． 89．（2025·黑龙江绥化·二模）在年第九届哈尔滨亚冬会的开幕式上，组委会组织了无人机表演，为了给世界各国人民带来盛大的视觉盛宴，需要甲无人机从地面指定地点起飞，乙无人机从距离地面米高的升降平台起飞，甲、乙两架无人机同时匀速上升，秒时甲无人机到达表演指定的高度停止上升开始表演，完成表演动作后，按原速继续飞行上升，当甲、乙两架无人机按表演要求同时到达距离地面的高度为米时，进行联合表演．甲、乙两架无人机所在的位置距离地面的高度（单位：米）与飞行的时间（单位：秒）之间的函数关系如图所示．请根据图象回答下列问题： (1)甲无人机的速度是______米/秒钟，乙无人机的速度是______米/秒钟； (2)线段对应的函数表达式； (3)请直接写出当甲、乙两架无人机距离地面的高度差为米时的时间． 【答案】(1)， (2) (3)秒或秒或秒 【分析】（）根据速度路程时间计算即可； （）求出甲无人机飞行段所用时间，从而求出点的坐标，再利用待定系数法求出线段对应的函数表达式即可； （）分别写出甲、乙无人机所在的位置距离地面的高度与飞行的时间之间的函数表达式，根据甲、乙两架无人机距离地面的高度差为米列出方程求解即可； 本题考查了一次函数的图象，一次函数的应用，看懂函数图象是解题的关键． 【详解】（1）解：由图象可得，甲无人机的速度是(米/秒)，乙无人机的速度是(米/秒) ， 故答案为：，； （2）解：甲无人机飞行段用时(秒)， ∵， ∴， 设线段对应的函数表达式为， 将和代入得， ， 解得， ∴线段对应的函数表达式为； （3）解：当时，甲无人机所在的位置距离地面的高度与飞行的时间之间的函数表达式为， ∴甲无人机所在的位置距离地面的高度与飞行的时间之间的函数表达式为， 设乙无人机所在的位置距离地面的高度与飞行的时间之间的函数表达式为， 把和代入得， ， 解得， ∴乙无人机所在的位置距离地面的高度与飞行的时间之间的函数表达式为， 当时，当甲、乙两架无人机距离地面的高度差为米时， 则， 解得或（不合，舍去）， ∴； 当，当甲、乙两架无人机距离地面的高度差为米时， 则， 解得（不合，舍去）或， ∴； 当时，当甲、乙两架无人机距离地面的高度差为米时， 则， 解得； 综上，当甲、乙两架无人机距离地面的高度差为米时的时间为秒或秒或秒． 90．（2025·黑龙江大庆·二模）在气象观测实践课中，同学们利用AI控制器精准地将甲和乙两个智能探空气球按照设定的速度匀速竖直升降．气球甲从地面以m米/秒的速度上升，气球乙从距离地面高10米的观测台同时上升，9秒时气球乙到达预定高度并暂停上升，开始采集大气数据（持续一定时间），完成后按原速继续上升．最终两气球同时到达距离地面100米的空中进行了n秒的联合观测，观测完毕后两气球释放部分气体，以相同速度降落至地面．甲，乙两探空气球所在的位置距离地面的高度y（米）与气球飞行的时间x（秒）之间的函数关系如图所示，请结合图象解答下列问题： (1)__________米/秒，__________秒； (2)求线段所在直线的函数解析式（不要求写出x的取值范围）； (3)甲，乙两个智能探空气球飞行到多少秒时，它们之间的竖直高度的差为16米？（直接写出答案即可） 【答案】(1)4；15 (2) (3)6秒或秒 【分析】本题主要考查求一次函数的应用，熟练掌握待定系数法求一次函数的解析式是解题的关键． （1）根据图形计算即可求解； （2）先求得气球乙匀速从55米到100米所用时间为9秒，得到，利用待定系数法即可求解； （3）利用待定系数法分别求得线段、线段、线段所在直线的函数解析式，再分三种情况讨论，列式计算即可求解详解． 【详解】（1）解：由题意得气球甲的速度为（米/秒）， （秒． 故答案为：4，15； （2）解：由图象知，， 气球乙的速度为（米秒）， ∴气球乙匀速从55米到100米所用时间为（秒）， ∵（秒）， ∴， 设线段所在直线的函数解析式为， 将，代入得：， 解得， 线段所在直线的函数解析式为； （3）解：如图所示： 由题意，， 设直线所在直线的解析式为， ∴，解得 ∴线段所在直线的函数解析式为， 设线段所在直线的函数解析式为， 把，代入，得 ，解得， 线段所在直线的函数解析式为； 线段所在直线的函数解析式为， 当时，由题意得， 解得或（舍去）； 当时，由题意得， 解得（舍去）或， 当时，由题意得， 解得（舍去）或（舍去）， 综上，甲，乙两个智能探空气球飞行到6秒或秒时，它们之间的竖直高度的差为16米． 91．（2025·黑龙江绥化·二模）某校无人机社团进行无人机表演训练，甲无人机以的速度从地面起飞匀速上升，同时乙无人机从距离地面高的楼顶起飞下降，时甲、乙无人机分别到达各自训练计划指定的高度开始表演，时乙无人机完成表演动作，以的速度继续飞行上升，时与甲无人机汇合，此时距离地面的高度为，甲、乙两架无人机以相同的速度下降返回地面．甲、乙两架无人机所在的位置距离地面的高度与无人机飞行的时间之间的函数关系如图所示．请结合图象解答下列问题． (1)______，______． (2)求线段所在直线的函数表达式． (3)两架无人机表演训练到多少时，它们距离地面的高度差为？直接写出答案即可 【答案】(1)3，24； (2)； (3)或或 【分析】本题考查一次函数的应用，掌握待定系数法求一次函数的关系式及速度、路程、时间之间的关系是解题的关键． （1）根据路程速度时间求出时乙无人机距离地面的高度，即b的值；再根据速度路程时间求出a的值即可； （2）利用待定系数法解答即可； （3）根据甲、乙两架无人机y与x之间的函数关系式，分别计算当、时，它们距离地面的高度差为时对应x的值即可． 【详解】（1）解：时乙无人机距离地面的高度为， ， 前甲无人机的速度为， ， 故答案为：3，； （2）解：设线段所在直线的函数表达式为（、b为常数，且） 将坐标和分别代入， 得， 解得， 线段所在直线的函数表达式为 （3）解：当时，甲无人机y与x之间的函数关系式为； 当时，乙无人机y与x之间的函数关系式为， 当时，它们距离地面的高度差为时，得， 解得或； 当时，它们距离地面的高度差为时，得， 解得 答：两架无人机表演训练到或或时，它们距离地面的高度差为 92．（2025·黑龙江齐齐哈尔·二模）在一条笔直的公路上依次有A、C、B三地，甲乙两人同时出发，甲从A地匀速骑自行车去B地，途经C地休息1分钟，继续按原速骑行至B地，甲到达B地后，立即按原速的倍原路返回A地，乙匀速步行从B地前往A地，甲、乙两人距各自出发地的路程y（单位：米）与时间x（单位：分钟）之间的函数关系如图所示，请结合图象解答下列问题： (1)请写出甲从A地到B地的速度为________米/分，乙的速度为________米/分； (2)求甲返回时距A地的路程y与时间x之间的函数关系式（不需要写出自变量x的取值范围）； (3)请直接写出两人出发后，在甲返回A地之前，经过多长时间两人距C地的路程相等． 【答案】(1)240，60； (2)（6≤x≤10）； (3)4分钟或6分钟或分钟； 【分析】（1）根据甲到C地的时间和A、C两地的距离可得甲的速度；设A、B两地的距离为x，根据甲的总骑行时间和速度列方程求解可得x的值；再根据乙的步行时间可得乙的速度； （2）求得甲从C地到B地的时间可得G点坐标，再由G、H两点坐标待定系数法求一次函数解析式即可； （3）分情况讨论：①t≤时，②3＜t≤时，③＜t＜时，④≤t≤6时，⑤t＞6时，根据每段时间的速度、位置关系列方程求解即可； 【详解】（1）解：由图可知，甲在分钟时到达了C地，A、C两地的距离为1020米，∴甲从A地到B地的速度为=1020÷=240米/分钟， ∴甲从B地返回A地的速度为240×=300米/分钟， 设A、B两地的距离为x， 根据甲骑行的总时间可得：，解得：x=1200， ∴乙的速度为1200÷20=60米/分钟， 故答案为：240，60； （2）解：甲从C地到B地的时间为（1200-1020）÷240=分钟， ∴G点的坐标为（6，1200），H点（10，0） 设y=kx+b，则，解得：， ∴函数关系为（6≤x≤10）， （3）解：由题意得：乙到C地的时间为180÷60=3（分钟）， ①t≤时，1020-240t=180-60t，解得：t=，不符合题意； ②3＜t≤时，1020-240t=60t -180，解得：t=4，符合题意； ③＜t＜时，0=60t -180，解得：t=3，不符合题意； ④≤t≤6时，240（t-）=60t -180，解得：t=6，符合题意； ⑤t＞6时，∵乙离C地的距离大于180米， ∴甲追上乙时300（t-6）=60t，解得：t=，符合题意； 综上所述t的值为：4分钟或6分钟或分钟； 【点睛】本题考查了一次函数和一元一次方程的实际应用；理清自变量和函数值所表示的意义，根据时间段分情况讨论两人的位置关系是解题关键． 93．（2025·黑龙江大庆·二模）某品牌烤箱新增一种安全烤制模式，在此模式下烤箱内温度匀速升至时烤箱停止加热，随后烤箱内温度下降至初始温度，该品牌烤箱安全烤制模式下烤箱内温度与加热时间之间的函数图象如图所示． (1)求该品牌烤箱的烤箱内温度匀速上升期间y与x之间的函数表达式，并写出自变量x的取值范围． (2)若食物在及以上的温度中烤制6分钟以上才可健康食用，该模式下烤制的食物能否健康食用？并说明理由． 【答案】(1) (2)能，理由见解析 【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用： （1）利用待定系数法解答，即可求解； （2）利用待定系数法解答，求出下降期间y与x之间的函数关系式，分别求出时，上升期间与下降期间x对应的值，即可求解． 【详解】（1）解：设该品牌烤箱的烤箱内温度匀速上升期间y与x之间的函数关系为， 由题意，得， 解得， ∴该品牌烤箱的烤箱内温度匀速上升期间y与x之间的函数关系式为． （2）解：设该品牌烤箱的烤箱内温度匀速下降期间y与x之间的函数关系为． 由题意，得解得 所以该品牌烤箱的烤箱内温度匀速下降期间y与x之间的函数关系式为． 当时， 令，则． 解得． 当时， 令，则． 解得． ∵， ∴该模式下烤制的食物能健康食用． 94．（2025·黑龙江绥化·二模）一条公路上依次有A、B、C三地，甲车从A地出发，沿公路经B地到C地，乙车从C地出发，沿公路驶向B地．甲、乙两车同时出发，匀速行驶，乙车比甲车早小时到达目的地．甲、乙两车之间的路程与两车行驶时间的函数关系如图所示，请结合图象信息，解答下列问题： (1)甲车行驶的速度是_____，并在图中括号内填上正确的数； (2)求图中线段所在直线的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）； (3)请直接写出两车出发多少小时，乙车距B地的路程是甲车距B地路程的3倍． 【答案】(1)70，300 (2) (3)或 【分析】本题考查一次函数的实际应用，一元一次方程的实际应用，求出A、B、C两两之间的距离是解题的关键． （1）利用时间、速度、路程之间的关系求解； （2）利用待定系数法求解； （3）先求出A、B、C两两之间的距离和乙车的速度，设两车出发x小时，乙车距B地的路程是甲车距B地路程的3倍，分甲乙相遇前、相遇后两种情况，列一元一次方程分别求解即可． 【详解】（1）解：由图可知，甲车小时行驶的路程为， 甲车行驶的速度是， ∴A、C两地的距离为：， 故答案为：70；300； （2）解：由图可知E，F的坐标分别为，， 设线段所在直线的函数解析式为， 则， 解得， 线段所在直线的函数解析式为； （3）解：由题意知，A、C两地的距离为：， 乙车行驶的速度为：， C、B两地的距离为：， A、B两地的距离为：， 设两车出发x小时，乙车距B地的路程是甲车距B地路程的3倍， 分两种情况，当甲乙相遇前时： ， 解得； 当甲乙相遇后时： ， 解得； 综上可知，两车出发或时，乙车距B地的路程是甲车距B地路程的3倍． 2 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 函数 题型概览 题型01自变量的取值范围 题型02函数图象信息题 题型03一次函数与反比例函数的图象和性质 题型04二次函数的图象和性质 题型05一次函数与反比例函数的实际应用题 自变量的取值范围题型01 1．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）在函数中，自变量x的取值范围是 ． 2．（2025·黑龙江齐齐哈尔·二模）函数中，自变量x的取值范围是 ． 3．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）在函数y＝中，自变量x的取值范围是 ． 4．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）函数y中自变量x的取值范围是 ． 5．（2025·黑龙江佳木斯·二模）在函数中，自变量的取值范围是 ． 6．（2025·黑龙江绥化·二模）函数中，自变量x的取值范围是 ． 7．（2025·黑龙江龙东·二模）已知函数，则自变量的取值范围是 ． 8．（2025·黑龙江齐齐哈尔·二模）函数中，自变量的取值范围是 ． 9．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）函数中，自变量的取值范围是 ． 10．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）在函数中，自变量的取值范围是 ． 11．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）在函数中，自变量x的取值范围是 ． 12．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）在函数中，自变量的取值范围是 ． 13．（2025·黑龙江齐齐哈尔·二模）在函数中，自变量x的取值范围是 ． 14．（2025·黑龙江齐齐哈尔·二模）函数中，自变量的取值范围是 ． 15．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）在函数中，自变量的取值范围是 ． 16．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）在函数中，自变量的取值范围是 ． 17．（2025·黑龙江齐齐哈尔·二模）反比例函数的图象，当时，y随x的增大而增大，则k的取值范围是（　　） A． B． C． D． 18．（2025·黑龙江齐齐哈尔·二模）若在实数范围内有意义，则x的取值范围为 ． 函数图象信息题题型02 19．（2025·黑龙江大庆·二模）已知，则函数可以表示为，例如当时所对应的函数值记作；函数的图象如图所示，关于该函数说法正确的是（    ）   A． B． C． D．当时，x的值为1或 20．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）明明骑自行车去上学时，在这段路上所走的路程s（单位：千米）与时间t（单位：分）之间的函数关系如图所示．下列说法错误的是（    ） A．明明家距学校3千米 B．明明提速后的速度为2千米/分钟 C．明明走完全程用了10分 D．明明上学的平均速度为0.3千米/分钟 21．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）把多个用电器连接在同一个插线板上，同时使用一段时间后，插线板的电源线会明显发热，存在安全隐患．数学兴趣小组对这种现象进行研究，得到时长一定时，插线板电源线中的电流I与使用电器的总功率P的函数图象（如图1），插线板电源线产生的热量Q与I的函数图象（如图2）．下列结论中错误的是（    ） A．当时， B．Q随I的增大而增大 C．I每增加1A，Q的增加量相同 D．P越大，插线板电源线产生的热量Q越多 22．（2025·黑龙江齐齐哈尔·二模）如图1，点P从等边三角形的顶点A出发，沿直线运动到三角形内部一点，再从该点沿直线运动到顶点B．设点P运动的路程为x，，图2是点P运动时y随x变化的关系图象，则等边三角形的边长为（    ） A．6 B．3 C． D． 23．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）如图1，连接菱形的对角线，动点P由点B出发以每秒1个单位的速度沿匀速运动至点A，速度不变再沿匀速移动至点D，点P的运动时间为x（秒），运动过程中点P到的距离为y（单位），x与y的函数图像如图2所示，观察函数图像信息可知菱形的面积为（   ） A．22 B．23 C．24 D．25 24．（2025·黑龙江齐齐哈尔·二模）如图，在平行四边形中，点P沿方向从点A移动到点C．设点P移动的路程为x，线段的长为y，图2是点P运动时y随x变化的关系图象，则点Q的横坐标b等于（    ） A． B． C． D．5 25．（2025·黑龙江绥化·二模）如图，已知和均为等腰直角三角形，，，、、、在同一条直线上，开始时点与点重合，让沿直线向右移动，最后点与点重合，设两三角形重合面积为，点移动的距离为，则关于的大致图象是（  ）    A．   B．   C．   D．   26．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）如图，在中，，，，直线经过点，且垂直于，直线从点出发，沿方向以的速度向点运动，当直线经过点时停止运动，分别与、（）相交于点，，若运动过程中的面积是（），直线的运动时间是（s），则与之间函数关系的图象大致是（    ） A． B． C． D． 27．（2025·黑龙江齐齐哈尔·二模）如图，在四边形中，，，点从点出发，沿的方向匀速运动到点停止．过点作，垂足为，连接．设点的运动时间为，的面积为，下列图象中能大致反映与之间函数关系的是（   ） A． B． C． D． 28．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）如图，四边形ABCD为平行四边形，，点M为AB上一动点，过点M作直线l垂直于AB，且直线l与的另一边交于点N．设，的面积为y，能表示y与x之间函数关系的图象是（    ） A． B． C． D． 29．（2025·黑龙江齐齐哈尔·二模）如图①，在中，，点从点出发沿以的速度匀速运动至点，图②是点运动时，的面积随时间变化的函数图象，则该三角形的斜边的长为（   ） A．5 B．7 C． D． 30．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）如图，在等边中，，点从出发，沿路线以每秒1个单位的速度运动，同时点从出发，沿路线以相同速度运动，当、两点相遇同时停止运动．设两点运动时间为秒，的面积为，则下列图象能表示与之间的函数关系的是（   ） A． B． C． D． 31．（2025·黑龙江大庆·二模）如图（1），点P为菱形对角线上一动点，点E为边上一定点，连接，，．图（2）是点P从点A匀速运动到点C时，的面积y随的长度x变化的关系图象（当点P在上时，令），则菱形的周长为（        ） A． B． C．20 D．24 32．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）如图，点A的坐标为（0，1），点B是x轴正半轴上的一动点，把线段AB以A为旋转中心，逆时针方向旋转90°，得到线段AC，设点B的横坐标为x，点C的纵坐标为y，能表示y与x的函数关系的图象大致是（　　） A． B． C． D． 33．（2025·黑龙江齐齐哈尔·二模）如图，在菱形中，，，点从点出发，沿运动，过点作直线的垂线，垂足为点，设点运动的路程为，的面积为，则下列图象能正确反映与之间的函数关系的是（   ） A． B． C． D． 34．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）笔直的海岸线上依次有A，B，C三个港口，甲船从A港口出发，沿海岸线匀速驶向C港口，1小时后乙船从B港口出发，沿海岸线匀速驶向A港口，两船同时到达目的地．甲船的速度是乙船的1.25倍，甲、乙两船与B港口的距离y（km）与甲船行驶时间x（h）之间的函数关系如图所示．给出下列说法：①A，B港口相距400km；②甲船的速度为100km/h；③B，C港口相距200km；④乙船出发4h时，两船相距220km．其中正确的个数是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 一次函数与反比例函数的图象和性质题型03 35．（2025·黑龙江佳木斯·二模）已知一次函数的图象经过点和，则该函数的解析式为（   ） A． B． C． D． 36．（2025·黑龙江大庆·二模）已知不等式的解集是，则一次函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 37．（2025·黑龙江大庆·二模）如图，函数和的图象相交于，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 38．（2025·黑龙江绥化·二模）如图，在平面直角坐标系中，菱形的边在轴的正半轴上，反比例函数的图象经过对角线的中点和顶点．若菱形的面积为，则的值为（    ） A．7 B．6 C．5 D．4 39．（2025·黑龙江佳木斯·二模）如图，在平面直角坐标系中，△OAB的顶点A在x轴上，顶点B在第一象限，AB⊥x轴，函数（x＞0）的图象经过边OB上的一点C．若BC＝2OC，则△OAB的面积为（　　） A．9 B．4 C．4.5 D．3 40．（2025·黑龙江绥化·二模）如图，在平面直角坐标系中，菱形的边在x轴的正半轴上，反比例函数的图象经过对角线的中点D和顶点C．若菱形的面积为16，则k的值为（   ） A． B．8 C． D．4 41．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）已知，点，在反比例函数（其中）的图象上，则，的大小关系正确的是（   ） A． B． C． D．不能确定 42．（2025·黑龙江佳木斯·二模）如图，A是反比例函数图象上一点，点B，C在x轴上，且，D为的中点，的延长线交y轴于点E，连接，若的面积为4，则k的值为（    ） A．2 B．4 C．8 D．6 43．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）如图所示的是反比例函数和一次函数的图象，则下列结论正确的是（    ） A．反比例函数的解析式是 B．一次函数的解析式为 C．当时，最大值为1 D．若，则 44．（2025·黑龙江齐齐哈尔·二模）如图，等边三角形的顶点，分别在反比例函数图象的两个分支上，且点，关于原点对称，过点作平行于轴，交反比例函数的图象于点，连接，，则的面积为 ． 45．（2025·黑龙江齐齐哈尔·二模）如图，点是反比例函数()图象上一点，过点作轴于点，点为的中点，点为轴负半轴上一点，连接、，若，且，则的值为 ． 46．（2025·黑龙江绥化·二模）如图，点A在反比例函数y=(x＞0)上，过点A作AC⊥x轴于点C、C为x轴正半轴上一点，连接AB交y轴于点D，sin∠ABC=，AO平分∠BAC，此时，，则k的值为 ． 47．（2025·黑龙江齐齐哈尔·二模）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点，在轴的正半轴上，反比例函数的图象经过顶点，分别与对角线，边交于点，，连接，．若点为的中点，的面积为，则的值为 ．    48．（2025·黑龙江齐齐哈尔·二模）如图，正方形四个顶点分别位于两个反比例函数和的图象的四个分支上，则的值= ．      二次函数的图象和性质题型04 49．（2025·黑龙江佳木斯·二模）已知二次函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 50．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）抛物线与轴的交点坐标是（   ） A． B． C． D． 51．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）二次函数的最大值是 ． 52．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）当 时，二次函数有最小值． 53．（2025·黑龙江齐齐哈尔·二模）如图，抛物线与轴分别交于点，，与轴交于点，且．下列结论：①；②；③方程有两个不相等的实数根；④方程的两个根是，．其中结论正确的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 54．（2025·黑龙江绥化·二模）函数 的图象如图所示，下列说法正确的有（   ） ①方程有四个不等的实数根；② ；③ ；④． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 55．（2025·黑龙江佳木斯·二模）若二次函数的图像开口向下，顶点坐标为，且过点，则函数解析式为（   ） A． B． C． D． 56．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）将抛物线y=2x2经过怎样的平移可得到抛物线y=2(x+3)2+4（ ） A．先向左平移3个单位，再向上平移4个单位 B．先向左平移3个单位，再向下平移4个单位 C．先向右平移3个单位，再向上平移4个单位 D．先向右平移3个单位，再向下平移4个单位 57．（2025·黑龙江齐齐哈尔·二模）将抛物线向上平移3个单位长度，再向右平移5个单位长度，所得的抛物线为（  ） A． B． C． D． 58．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）将抛物线图像先向上平移个单位，再向左平移个单位后的解析式是(    ) A． B． C． D． 59．（2025·黑龙江大庆·二模）在同一平面直角坐标系中，函数与的图象大致是（　　） A．   B．     C．   D．     60．（2025·黑龙江佳木斯·二模）某超市销售一种商品，成本每千克40元，规定每千克售价不低于成本，且不高于80元．经市场调查，每天的销售量y（千克）与每千克售价x（元）满足一次函数关系，部分数据如下表： 售价x（元/千克） 50 60 70 销售量y（千克） 100 80 60 设每天的总利润为W（元），则W与x之间的函数关系式为（   ） A． B． C． D． 61．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）关于抛物线，下列说法正确的是（    ） A．抛物线开口向下 B．对称轴是 C．顶点坐标是 D．抛物线向左平移1个单位，再向上平移1个单位可得抛物线 62．（2025·黑龙江佳木斯·二模）小明用一张长为、宽为的长方形纸片制作一个无盖的长方体盒子（如图），若剪去四个边长为的正方形，则盒子的容积V（单位：）与x的函数关系式为（   ） A． B． C． D． 63．（2025·黑龙江绥化·二模）已知二次函数图象的对称轴为直线，部分图象如图所示，下列结论中：①；②；③；④若t为任意实数，则有；⑤当图象经过点时，方程的两根为，则，其中正确的结论有（   ） A．①②③ B．②③⑤ C．②③④ D．②③④⑤ 64．（2025·黑龙江绥化·二模）二次函数 的对称轴是 ，图像与负半轴交于点，与轴交于点，且．则下列结论： ①；   ②；   ③； ④若方程的两根为， 则．其中正确结论的个数是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 65．（2025·黑龙江齐齐哈尔·二模）如图，已知抛物线的对称轴为直线，且该抛物线与x轴交于点，与y轴的交点B在点，之间（不含端点），则以下结论：①；②；③；④若二次函数在上的最大值为，则或；⑤若方程的两根为，，其中正确结论的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 66．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）如图，抛物线的对称轴为直线，且经过点．给出下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论有（   ）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 67．（2025·黑龙江齐齐哈尔·二模）如图所示是二次函数的部分图象，该函数图象的对称轴是直线，图象与轴交点的纵坐标是2．则下列结论：①；②方程一定有一个根在和之间；③方程一定有两个不相等的实数根；④点，在抛物线上，且，当时，；⑤函数的最大值大于．其中正确结论的个数为（   ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 68．（2025·黑龙江绥化·二模）如图，二次函数的图象过点和，下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的结论有（    ）    A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 69．（2025·黑龙江齐齐哈尔·二模）在平面直角坐标系中，抛物线（）与x轴交于A、B两点，，，与y轴交点C的纵坐标在与之间，根据图象判断以下结论：①；②；③；④若且，则．其中正确结论有（   ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 70．（2025·黑龙江大庆·二模）已知反比例函数在第一象限内的图象与一次函数的图象如图所示，则函数的图象可能为（   ）        A．       B．   C．       D．       71．（2025·黑龙江大庆·二模）如图，已知抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点．若P为y轴上一个动点，连接，则的最小值为（　　） A． B．2 C．2 D．4 72．（2025·黑龙江大庆·二模）如图，正方形的顶点，在抛物线上，点在轴上．若两点的横坐标分别为（），下列结论一定正确的是（　　） A． B．=2 C． D． 73．（2025·黑龙江大庆·二模）如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）与x轴交于点A、B，顶点为C，对称轴为直线x＝1，给出下列结论：①abc＞0；②若点C的坐标为（1，2），则△ABC的面积可以等于2；③M（x1，y1），N（x2，y2）是抛物线上两点（x1＜x2），若x1＋x2＞2，则y1＞y2； ④若抛物线经过点（3，﹣1），则方程ax2＋bx＋c＋1＝0的两根为﹣1，3．其中正确结论的序号为 ． 一次函数与反比例函数的实际应用题题型05 74．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）根据欧姆定律可知，若一个灯泡的电压U（V）保持不变，通过灯泡的电流I（A）越大，则灯泡就越亮．当电阻时，可测得某灯泡的电流A．若电压保持不变，电阻R减小为15Ω时，该灯泡亮度的变化情况为（    ） A．不变 B．变亮 C．变暗 D．不确定 75．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）已知蓄电池的电压U（单位：V）为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示，若电阻，则电流 A． 76．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）科学课上，某同学用自制密度计测量液体的密度．密度计悬浮在不同的液体中时，浸在液体中的高度（单位：）是液体的密度（单位：）的反比例函数，当密度计悬浮在密度为的水中时，．当该密度计悬浮在另一种液体中时，，则该液体的密度为 ． 77．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）快递运载机器人是一种应用于配送领域的智能机器人，它的最快移动速度是载重后总质量的反比例函数．已知一款快递运载机器人载重后总质量时，它的最快移动速度；当其载重后总质量时，它的最快移动速度 ． 78．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）在温度不变的条件下，通过一次又一次地对汽缸顶部的活塞加压，加压后气体对汽缸壁所产生的压强与汽缸内气体的体积成反比例，p关于V的函数图象如图所示．若加压后气体对汽缸壁所产生的压强为，则汽缸内气体的体积为 mL． 79．（2025·黑龙江绥化·二模）如图，点A在反比例函数第一象限内图象上，点B在反比例函数第三象限内图象上，轴于点C，轴于点D，交于点E，若，则k的值为 ． 80．（2025·黑龙江绥化·二模）临近端午节，某超市预计销售A、B两种筒粽回馈新老用户，已知A种筒粽2盒B种筒粽3盒共需440元，A种筒粽5盒B种筒粽7盒共需1050元． (1)求A、B两种筒粽的单价分别多少个？ (2)某公司计划购买A、B两种礼盒共100件，总费用不超过7700元，且A种礼盒的数量不少于B种礼盒数量的，共有几种购买方案？符合条件的最少费用是多少？ (3)下图为A、B两种筒粽厂家生产（盒）与生产时间（h）对应关系图．其中A种筒粽厂家生产总量函数为，B种筒粽厂家因机器故障，停产一段时间，维修后生产速度不变，对应的函数为．请根据函数图象信息解决下列问题． ①A种筒粽每小时生产________盒，B种筒粽每小时生产________盒． ②直接写出两种筒粽产量相差120盒时，x的值． 81．（2025·黑龙江齐齐哈尔·二模）一条笔直的公路上依次有，，三地，甲、乙两车分别从地、地同时出发前往地．甲车速度始终保持不变，乙车中途休息一段时间后继续行驶，两车同时到达地．甲、乙两车之间的距离（千米）与行驶时间（小时）的函数关系如图所示．请结合图象信息，解答下列问题： (1)，两地间的距离为________千米，乙车中途休息________小时，甲车的速度为________千米/时； (2)求图中线段所在直线的函数解析式； (3)直接写出两车出发多少小时，两车行驶的路程相差千米． 82．（2025·黑龙江大庆·二模）某公司根据往年市场行情得知，某种商品从5月1日起的300天内，该商品每件市场售价y（元）与上市时间t（天）的关系用图1的折线表示；每件商品的成本Q（元）与时间t（天）的关系用图2的一部分抛物线表示． (1)每件商品在第50天出售时的利润是______元； (2)求图1表示的商品售价y（元）与时间t（天）之间的函数关系式； (3)若该公司从销售第1天至第200天预计每天可以售出此种商品2000件，请你计算第1天至第200天该公司哪一天利润最高，最高是多少元？ 83．（2025·黑龙江齐齐哈尔·二模）在一条笔直的公路上依次有A，B．C三地．甲、乙两车同时出发．甲车从A地匀速行驶到C地，休息1小时后掉头（掉头时间忽略不计），按原路原速返回到A地．乙车从C地匀速行驶到B地，到达B地停止行驶，在两车行驶的过程中，甲、乙两车距各自出发地的路程y（单位：千米）与甲车行驶时间x（单位：小时）之间的函数图象如图所示，请结合图象解决下列问题： (1)甲车的速度为 千米/时，图中括号内的数值为 ； (2)A、B两地间的距离为 千米； (3)求乙车从C地到B地的过程中y与x的函数解析式； (4)在乙车到达B地之前，甲车出发多少小时，甲、乙两车相距150千米？请直接写出答案． 84．（2025·黑龙江龙东·二模）一辆巡逻车从地出发沿一条笔直的公路匀速驶向地，小时后，一辆货车从地出发，沿同一路线以千米/时的速度匀速驶向地，货车到达地装货耗时分钟，然后立即以低于来时的速度按原路匀速返回地．巡逻车、货车离地的距离（单位：千米）与货车出发时间（单位：小时）之间的函数关系如图所示，请结合图象解答下列问题： (1)两地之间的距离是_____千米，_____； (2)求巡逻车离地的距离与货车出发时间之间的函数解析式； (3)请直接写出货车出发多长时间与巡逻车相遇． 85．（2025·黑龙江佳木斯·二模）已知，两市之间的路程为，甲、乙两车分别从，两市同时出发，甲车从市驶向市，到达市后立即按原路原速返回市；乙车从市驶向市，中途在服务区停车后，继续按原路原速驶向市．已知甲、乙两车距市的路程（单位：）与出发时间（单位：）之间的函数图象如图所示．结合图象，解答下列问题： (1)______，______； (2)求乙车距市的路程与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； (3)直接写出乙车停车之后再次出发多长时间两车相距． 86．（2025·黑龙江齐齐哈尔·二模）在智能家居产品的生产浪潮中，甲、乙两个工厂承接了为某品牌厂商生产智能门锁的任务，各需完成套，甲工厂现有套存货，甲、乙两工厂的智能门锁总数（单位：套）与工作时间（单位：小时）之间的函数图象如图所示，根据图象所提供的信息，解答下列问题： (1)甲工厂每小时可以生产________套智能门锁；乙工厂在开始工作的小时内，共生产了________套智能门锁； (2)若乙工厂提速后，其生产速度是甲工厂生产速度的倍，请求出乙工厂生产全程中，智能门锁总数与工作时间之间的函数关系式； (3)在（2）的条件下，同时生产多长时间时，甲、乙两工厂智能门锁总数的差为套？直接写出答案． 87．（2025·黑龙江齐齐哈尔·二模）在一条笔直的道路上依次有A、B、C三地，B地在A，C两地之间．甲、乙两车分别从A地、B地同时出发前往C地，甲车速度始终保持不变．乙车中途休息一段时间，继续行驶．甲、乙两车之间的距离y（单位：）与甲车出发时间x（单位：h）的函数关系如图所示，请结合图象信息，解答下列问题： (1)A，B两地相距________km，乙车中途休息________h； (2)求图中线段的函数解析式，并写出自变量x的取值范围； (3)请直接写出甲、乙两车出发多长时间，两车距B地的距离相等． 88．（2025·黑龙江大庆·二模）某主播在直播平台上销售一款成本为每件24元的商品．经调查发现，该商品每天的销售量（件）与销售单价（元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示． (1)求该商品每天的销售量与销售单价之间的函数关系式；并写出自变量的取值范围． (2)若该主播按单价不低于成本价，且不高于50元销售，则销售单价定为多少元时利润最大？最大利润是多少？ (3)若该主播要使销售该商品每天获得的利润不低于1280元，求销售单价x的取值范围？ 89．（2025·黑龙江绥化·二模）在年第九届哈尔滨亚冬会的开幕式上，组委会组织了无人机表演，为了给世界各国人民带来盛大的视觉盛宴，需要甲无人机从地面指定地点起飞，乙无人机从距离地面米高的升降平台起飞，甲、乙两架无人机同时匀速上升，秒时甲无人机到达表演指定的高度停止上升开始表演，完成表演动作后，按原速继续飞行上升，当甲、乙两架无人机按表演要求同时到达距离地面的高度为米时，进行联合表演．甲、乙两架无人机所在的位置距离地面的高度（单位：米）与飞行的时间（单位：秒）之间的函数关系如图所示．请根据图象回答下列问题： (1)甲无人机的速度是______米/秒钟，乙无人机的速度是______米/秒钟； (2)线段对应的函数表达式； (3)请直接写出当甲、乙两架无人机距离地面的高度差为米时的时间． 90．（2025·黑龙江大庆·二模）在气象观测实践课中，同学们利用AI控制器精准地将甲和乙两个智能探空气球按照设定的速度匀速竖直升降．气球甲从地面以m米/秒的速度上升，气球乙从距离地面高10米的观测台同时上升，9秒时气球乙到达预定高度并暂停上升，开始采集大气数据（持续一定时间），完成后按原速继续上升．最终两气球同时到达距离地面100米的空中进行了n秒的联合观测，观测完毕后两气球释放部分气体，以相同速度降落至地面．甲，乙两探空气球所在的位置距离地面的高度y（米）与气球飞行的时间x（秒）之间的函数关系如图所示，请结合图象解答下列问题： (1)__________米/秒，__________秒； (2)求线段所在直线的函数解析式（不要求写出x的取值范围）； (3)甲，乙两个智能探空气球飞行到多少秒时，它们之间的竖直高度的差为16米？（直接写出答案即可） 91．（2025·黑龙江绥化·二模）某校无人机社团进行无人机表演训练，甲无人机以的速度从地面起飞匀速上升，同时乙无人机从距离地面高的楼顶起飞下降，时甲、乙无人机分别到达各自训练计划指定的高度开始表演，时乙无人机完成表演动作，以的速度继续飞行上升，时与甲无人机汇合，此时距离地面的高度为，甲、乙两架无人机以相同的速度下降返回地面．甲、乙两架无人机所在的位置距离地面的高度与无人机飞行的时间之间的函数关系如图所示．请结合图象解答下列问题． (1)______，______． (2)求线段所在直线的函数表达式． (3)两架无人机表演训练到多少时，它们距离地面的高度差为？直接写出答案即可 92．（2025·黑龙江齐齐哈尔·二模）在一条笔直的公路上依次有A、C、B三地，甲乙两人同时出发，甲从A地匀速骑自行车去B地，途经C地休息1分钟，继续按原速骑行至B地，甲到达B地后，立即按原速的倍原路返回A地，乙匀速步行从B地前往A地，甲、乙两人距各自出发地的路程y（单位：米）与时间x（单位：分钟）之间的函数关系如图所示，请结合图象解答下列问题： (1)请写出甲从A地到B地的速度为________米/分，乙的速度为________米/分； (2)求甲返回时距A地的路程y与时间x之间的函数关系式（不需要写出自变量x的取值范围）； (3)请直接写出两人出发后，在甲返回A地之前，经过多长时间两人距C地的路程相等． 93．（2025·黑龙江大庆·二模）某品牌烤箱新增一种安全烤制模式，在此模式下烤箱内温度匀速升至时烤箱停止加热，随后烤箱内温度下降至初始温度，该品牌烤箱安全烤制模式下烤箱内温度与加热时间之间的函数图象如图所示． (1)求该品牌烤箱的烤箱内温度匀速上升期间y与x之间的函数表达式，并写出自变量x的取值范围． (2)若食物在及以上的温度中烤制6分钟以上才可健康食用，该模式下烤制的食物能否健康食用？并说明理由． 94．（2025·黑龙江绥化·二模）一条公路上依次有A、B、C三地，甲车从A地出发，沿公路经B地到C地，乙车从C地出发，沿公路驶向B地．甲、乙两车同时出发，匀速行驶，乙车比甲车早小时到达目的地．甲、乙两车之间的路程与两车行驶时间的函数关系如图所示，请结合图象信息，解答下列问题： (1)甲车行驶的速度是_____，并在图中括号内填上正确的数； (2)求图中线段所在直线的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）； (3)请直接写出两车出发多少小时，乙车距B地的路程是甲车距B地路程的3倍． 2 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $$