专题03 方程与不等式（4大题型）（黑龙江专用）-【好题汇编】2025年中考数学二模试题分类汇编

专题03 方程与不等式 题型概览 题型01不等式（组） 题型02分式方程 题型03一元二次方程 题型04方程（组）及不等式（组）的实际应用 不等式（组）题型01 1．（2025·黑龙江佳木斯·二模）不等式组的解集是 ． 【答案】 【分析】本题考查解一元一次不等式组，熟练运用解不等式组的方法是正确解决本题的关键． 分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可． 【详解】解：解不等式得， 解不等式得， 不等式组的解集是， 故答案为：． 2．（2025·黑龙江大庆·二模）解不等式：． 【答案】 【分析】本题主要考查解不等式，解题的关键是掌握解不等式的基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1．该题的不等式先去分母，去括号，移项合并同类项，把x系数化为1，即可求出解． 【详解】解：去分母得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得， 即原不等式的解集为． 3．（2025·黑龙江大庆·二模）不等式组的所有整数解的和为 ． 【答案】 【分析】先求出每一个不等式的解集，后确定不等式组的解集，后确定整数解求和即可．本题考查了一元一次不等式组的解法，熟练进行不等式求解是解题的关键． 【详解】∵ ∴解不等式①，得， 解不等式,②，得， ∴不等式组的解集为， 故其整数解有，且， 故答案为：． 4．（2025·黑龙江龙东·二模）已知关于的不等式组的整数解仅为1、2，则的最大值为 ． 【答案】11 【分析】本题主要考查了根据不等式组的解集情况求参数， 代数式求值，先分别求出两个不等式的解集，再由不等式组的整数解仅为1和2得到，，据此推出即可得到答案． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∵关于的不等式组的整数解仅为1、2， ∴，， ∴， ∴， ∴的最大值为11， 故答案为：11． 5．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）不等式组的解集是 ． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次不等式，一元一次不等式组的解集，熟练掌握该知识点是解题的关键．分别解不等式，然后表示出其解集即可． 【详解】解： 解①得， 解②得， 故答案为：． 6．（2025·黑龙江绥化·二模）如果不等式组有且仅有4个整数解，那么m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查解一元一次不等式组、不等式组的整数解，得到关于m的不等式组是解答的关键．先求得已知不等式组的解集，进而得到关于m的不等式组，然后解不等式组即可求解． 【详解】解：解不等式组，得， ∵已知不等式组有且仅有4个整数解， ∴， 故答案为：． 7．（2025·黑龙江大庆·二模）不等式组的解集为，则 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查解一元一次不等式组和有理数的乘方，先求出不等式组上的解集，得出m，n的值，再进行乘方运算即可． 【详解】解：， 解不等式①得，； 解不等式②得，， ∴不等式组的解集为：， 又， ， ∴， 故答案为：2． 8．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）不等式组的整数解是 ． 【答案】2 【分析】本题考查了求不等式组的整数解，熟练掌握解一元一次不等式组的步骤是解题的关键．先求出各不等式的解集，求出它们的公共部分得到不等式组的解集，即可求出不等式组的整数解． 【详解】解：， 解不等式①得，， 解不等式②得，， 不等式组的解集为， 不等式组的整数解是2． 故答案为：2． 9．（2025·黑龙江大庆·二模）不等式组的解集是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式组的求解，熟练掌握解不等式的方法是解题的关键； 先求出不等式组中每个不等式的解集，再取其解集的公共部分即得答案． 【详解】解：， 解不等式①，得 解不等式②，得， ∴不等式组的解集为 故答案为：． 10．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组， 先分别求出两个不等式的解集，在数轴上表示可得答案． 【详解】解：， 解不等式①，得； 解不等式②，得， 在数轴上表示为： 故选：B． 11．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式组的解集，正确求解不等式是解题的关键；分别求出两个不等式的解集，从而可求得不等式组的解集，再在数轴上表示解集即可． 【详解】解：解第一个不等式得：；解第二个不等式得：， 则不等式组的解集为：； 在数轴上表示如下： 故选：B． 12．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）先化简，再求值：，其中为整数且满足不等式组． 【答案】，， 【分析】本题考查了分式的化简求值，解不等式组．先根据分式的混合运算法则化简原式，再解不等式组求出的取值范围，结合为整数，确定的值，最后代入原式计算即可． 【详解】解： ， ， 解不等式得：， 解不等式得：， 故不等式组的解为：， 又∵为整数， ∴， 将代入，原式． 13．（2025·黑龙江大庆·二模）先化简，再求值：，其中x是整数且满足不等式组． 【答案】不等式组得解集为，； ． 【分析】先解每个不等式，求出其公共解，再进行分式运算，先通分，把除变乘，因式分解，约分化为最简分式，根据分式有意只能取x=-3代入求值即可． 【详解】解：， 解不等式①得， 解不等式②得， ∴不等式组得解集为， = =； ∵x为整数，且分式有意义，x≠-1，-2 ∴x=-3， 当x=-3时， ． 【点睛】本题考查不等式组得解法，分式化简求值，掌握不等式组得解法，分式化简求值，注意分式有意义的条件是解题关键． 14．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）不等式组的正整数解为 ． 【答案】1，2 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，分别求出各不等式的解集，再根据“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则求出其公共解集，然后写出该不等式组的正整数解即可． 【详解】解：， 解不等式①得，， 解不等式②得，， 故不等式的解集为：， 正整数解有1、2． 故答案为：1，2． 15．（2025·黑龙江佳木斯·二模）若关于x的一元一次不等式组，恰有3个整数解，则a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了根据不等式组的解集情况求参数，先求出不等式组中两个不等式的解集，再根据不等式组只有3个整数解建立关于a的不等式组，解不等式组即可得到答案． 【详解】解； 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∵关于x的一元一次不等式组，恰有3个整数解， ∴， 解得， 故答案为：． 16．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查解一元一次不等式组、在数轴上表示不等式的解集，先求解每个不等式的解集，再求得它们的公共部分得到不等式组的解集，再将解集表示在数轴上即可，注意端点是空心还是实心． 【详解】解：解不等式得， 解不等式得， ∴不等式组的解集为， 解集在数轴上表示为： 故选：C． 分式方程题型02 17．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）分式方程的解是（    ） A．3 B．2 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查分式方程的解法，掌握分式方程的解法与步骤是解题关键．先去分母化分式方程为整式方程，求出方程的解后再检验即可． 【详解】解：， 去分母，得， 解得， 当时，， ∴是原方程的解． 故选D 18．（2025·黑龙江齐齐哈尔·二模）若分式方程无解，则a的值是（    ） A．3或2 B．1 C．1或3 D．1或2 【答案】D 【分析】本题考查了分式方程无解．熟练掌握：分式方程无解情况①分式方程化为整式方程后，整式方程无解，即分式方程无解；②分式方程化为整式方程后，整式方程有解，但这个解会使分式方程的最简公分母为0，即解为分式方程的增根；是解题的关键． 先解分式方程得到，再进行讨论，①当时，整式方程无解，则分式方程无解；②把增根代入求解． 【详解】解：， ， ， ①当时，整式方程无解，则分式方程无解； ②把增根代入得，， 解得：， 综上：或时，分式方程无解， 故选：D． 19．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）方程的解是 ． 【答案】 【详解】试题分析：方程的两边同时乘以（x+2）(2-x),整理地5（2-x）=3(x+2),解得；检验：把代入（x+2）(2-x)不等于0，因此原方程的解 考点：解分式方程 点评：本题考查学生解分式方程，学生掌握解分式方程的步骤是解本题的关键 20．（2025·黑龙江大庆·二模题）分式方程=1的解是 ． 【答案】x=1 【分析】先给方程两边同乘最简公分母x+1，把分式方程转化为整式方程2=x+1，求解后并检验即可． 【详解】解：方程的两边同乘x+1，得2=x+1， 解得x=1． 检验：当x=1时，x+1=2≠0． 所以原方程的解为x=1． 故答案为：x=1． 【点睛】此题考查了解分式方程，掌握解分式方程的一般步骤及方法是解题的关键． 21．（2025·黑龙江绥化·二模）若分式方程有增根，则 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了分式方程中增根的运用，熟练掌握相关方法是解题关键．首先将分式方程去掉分母转化为整式方程，根据分式方程有增根进一步得出整式方程的解，由此代入整式方程求出a的值即可． 【详解】解：， 去分母得：， 解得：， ∵分式方程有增根 ∴， ∴， 解得：， 故答案为：2． 22．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）分式方程的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先去分母，去括号，移项，合并同类项得出答案，最后检验即可． 【详解】解：， 去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 所以． 经检验，是原方程的解． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了解分式方程，掌握解分式方程的步骤是解题的关键． 23．（2025·黑龙江龙东·二模）若关于的分式方程无解，则的值为（   ） A． B． C．或 D．或3 【答案】C 【分析】本题考查了分式方程无解的条件，分式方程无解分两种情况：①方程有增根；②原分式方程化简后的整式方程无解． 【详解】解：去分母，得， 移项、合并同类项，得， 分式方程无解， ①当方程有增根时，原方程无解，即， ，解得； ②当时，原方程无解，即， 综合①②，若分式方程无解，的值为或． 故选：C． 24．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）方程的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了解分式方程，根据解分式方程的步骤解分式方程并检验即可得出答案． 【详解】解： 去分母得：， 去括号得：， 移项合并同类项得：， 化系数为1：， 经检验，是分式方程的解， 故选：C 25．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）分式方程的解是 ． 【答案】 【分析】本题考查解分式方程，熟练掌握分式方程的解法是解答本题的关键． 将分式方程去分母化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，再进行检验，即可得出答案． 【详解】解：去分母得：， 去括号得：， 移项、合并同类项得：， 解得：． 检验：当时，， ∴原分式方程的解为． 故答案为：． 26．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）方程的解是 ． 【答案】 【分析】本题考查了解分式方程，根据解分式方程的方法求解即可，掌握解分式方程的方法是解题的关键． 【详解】解：， ∴， 整理得：， 解得：， 经检验，是原方程的解， ∴原方程的解为：． 27．（2025·黑龙江佳木斯·二模）解方程：． 【答案】无实数根． 【分析】本题考查了解分式方程，一元二次方程根的判别式，先将分式方程两边同时乘以化为一元二次方程，再根据根的判别式即可求解，熟练掌握分式方程的解法及一元二次方程根的判别式是解题的关键． 【详解】解： ∵， ∴一元二次方程无实数根， ∴原分式方程无实数根． 28．（2025·黑龙江佳木斯·二模）解方程： 【答案】 【分析】本题考查了分式方程的解法，熟悉掌握解分式方程的解法是解题的关键．正确找到最简公分母，将分式方程去分母后转化为一元一次方程，求出的值后，再检验，即可解答． 【详解】 方程两边同乘，得 解得， 检验：当时，， ∴是原方程的解． 29．（2025·黑龙江齐齐哈尔·二模）已知关于x的分式方程的解为非负数，则a的取值范围是（   ） A．a≤2 B．a＜2 C．a≤2且a≠﹣4 D．a＜2且a≠﹣4 【答案】C 【分析】先根据解分式方程的步骤求分式方程的解,再根据分式方程的解为非负数和分式方程有解可得分式方程的解不能等于2,列出不等式组进行解答即可. 列出不等式, 【详解】, 去分母可得:, 移项可得:, 合并同类项可得: 系数化为1可得:, 根据分式方程的解为非负数和分式有解可得: 且, 解得: a≤2且a≠﹣4, 故选C. 【点睛】本题主要考查解分式方程,分式方程的解,解决本题的关键是要熟练掌握解分式方程的步骤和分式方程解的概念. 30．（2025·黑龙江齐齐哈尔·二模）若关于的分式方程的解为非负数，则的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 【答案】D 【分析】本题考查根据分式方程的解的情况求参数的范围，先求出方程的解，根据解为非负数，结合分式有意义的条件，得到关于的不等式组，进行求解即可． 【详解】解：解，得：， ∵分式方程的解为非负数，且， ∴且， ∴且； 故选D． 31．（2025·黑龙江佳木斯·二模）若关于x的分式方程的解的取值范围为，则m的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 【答案】C 【分析】此题考查的是根据分式方程解的情况，求参数的取值范围，掌握分式方程的解法和分式方程的增根是解决此题的关键． 先将分式方程化为整式方程求出方程的解，再根据方程解的取值范围以及分母不为零的条件确定的取值范围． 【详解】解： ． 解得． ∵方程的解的取值范围为， ∴， ∴． ∵分母不能为，即， 把代入得， 解得． ∴的取值范围是且， 故选：C． 32．（2025·黑龙江齐齐哈尔·二模）已知关于的分式方程的解是正数，则的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 【答案】C 【分析】此题考查了分式方程的解，分式方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值，本题注意这个隐含条件． 先把分式方程转化为整式方程求出用含有a的代数式表示的x，根据x的取值求a的范围． 【详解】解：原分式方程可化为， 方程两边同乘得，， 去括号得，， 移项得，， 系数化为1得， ∵原分式方程的解为正数， ∴， 即， 解得且， 故选：C． 一元二次方程题型03 33．（2025·黑龙江佳木斯·二模）若关于的方程是一元二次方程，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，形如的方程是一元二次方程，据此解答即可求解，掌握一元二次方程的定义是解题的关键． 【详解】解：∵关于的方程是一元二次方程， ∴， ∴， 故选：． 34．（2025·黑龙江绥化·二模）若α，β为方程2x2-5x-1=0的两个实数根，则2α2+3αβ+5β的值为 ． 【答案】12 【详解】试题解析：∵α为 的实数根， ∴ 即 ∵α、β为方程的两个实数根， ∴ 故答案为12. 点睛：一元二次方程的两根分别是 则 35．（2025·黑龙江大庆·二模）方程的两个根分别为，则的值为 ． 【答案】 【分析】根据根与系数的关系可得出m+n=-1，mn=-2，将其代入中即可求出结论． 【详解】解：∵方程x2+x﹣2＝0的两个根分别为m，n， ∴m+n＝﹣1，mn＝﹣2， ． 故答案为： ． 【点睛】本题考查了根与系数的关系，牢记“两根之和等于- ，两根之积等于”是解题的关键． 36．（2025·黑龙江大庆·二模）已知一元二次方程的两根为与，则的值为 ． 【答案】 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得出，将分式通分，代入即可求解． 【详解】解：∵一元二次方程，即，的两根为与， ∴， ∴ ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了分式的化简求值，一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 37．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）定义运算：．方程的根的情况是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．只有一个实数根 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式：一元二次方程的，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根． 根据定义运算得到，得到，得出方程没有实数根，即可得到答案． 【详解】解：根据定义运算得， ， 方程没有实数根， 故选：C ． 38．（2025·黑龙江齐齐哈尔·二模）解方程： 【答案】， 【分析】本题考查解一元二次方程，将原方程转化为，然后将方程的左边进行因式分解，从而将原方程转化为两个一元一次方程，求解即可．解题的关键是掌握解一元二次方程的一般方法：直接开平方法，配方法，公式法和因式分解法，能根据具体情况选择适当的方法求解． 【详解】解：∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴，， 解得：，． 39．（2025·黑龙江齐齐哈尔·二模）解方程： 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，先把原方程互为一般式，再把方程左边利用十字相乘法分解因式，进而解方程即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴或， 解得． 40．（2025·黑龙江绥化·二模）若是关于的方程的两个根，且，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握如果一元二次方程的两根为，，则． 先根据一元二次方程根与系数的关系得到，再代入得到关于的一元一次方程，即可求解． 【详解】解：根据题意得： ， 故答案为：． 41．（2025·黑龙江齐齐哈尔·二模）解方程：． 【答案】， 【分析】本题考查了解一元二次方程．熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 根据因式分解法解方程即可求解． 【详解】解：， ， 或， ∴，． 42．（2025·黑龙江齐齐哈尔·二模）解方程：． 【答案】， 【分析】本题主要考查解一元二次方程，掌握因式分解法是关键． 根据题意，先化为一般式，再运用因式分解法计算即可． 【详解】解：， 化为一般式得，， 因式分解得，， ∴或， 解得，． 43．（2025·黑龙江大庆·二模）已知a是方程的一个根，则代数式的值是 ． 【答案】2023 【分析】本题考查了一元二次方程的根、代数式求值，掌握理解一元二次方程的根的定义是解题关键． 先根据一元二次方程的根的定义可得，再作为整体代入即可得． 【详解】解：由题意得：，即， 则 ， 故答案为：2023． 44．（2025·黑龙江佳木斯·二模）关于x的一元二次方程有实数根，则m的取值范围是（    ） A．且 B． C． D．且 【答案】D 【分析】此题考查了一元二次方程的定义及根的判别式求参数，正确掌握一元二次方程的根与判别式的关系是解题的关键．根据一元二次方程有实数根得到且，即可求出答案． 【详解】解：∵一元二次方程有实数根， ∴，且， 解得且， 故选：D． 45．（2025·黑龙江佳木斯·二模）一元二次方程根的情况是（    ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程根与判别式的关系．，方程有两个不相等的实数根；，方程有两个相等的实数根；，方程没有实数根，判断判别式的符号，即可得到方程根的情况． 【详解】解：， ∴一元二次方程有两个不相等的实数根； 故选：B． 46．（2025·黑龙江绥化·二模）已知关于x的一元二次方程的两个实数根的平方和等于44，则m的值是 【答案】1 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，若，为方程的两个根，则，与系数的关系式：，．先根据根与系数的关系得到，利用完全平方公式得，解出方程，再根据根的判别式判断即可． 【详解】解：设方程的两个实数根为，， 则， ∴， 令，即， 解得：， ∵方程有实数根， ∴， 即：， 综上所述：． 故答案为：1． 47．（2025·黑龙江绥化·二模）为一元二次方程的两根，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程的解，由解得定义得出①，②，由一元二次方程根与系数的关系得出，由①②得：，进而可求出答案． 【详解】解：∵为一元二次方程的两根， ∴①，②，， 由①②得：， 即， 解得：， 故答案为：． 48．（2025·黑龙江齐齐哈尔·二模）解方程：． 【答案】， 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，灵活运用公式法解一元二次方程成为解题的关键． 先将方程化成一般式，然后再运用公式法求解即可． 【详解】解：原方程可化为 ， 49．（2025·黑龙江佳木斯·二模）解方程： 【答案】， 【分析】本题考查了解一元二次方程---因式分解法，熟悉掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．先进行分解因式，转化为一元一次方程后解答． 【详解】解： ， ，， ∴，． 方程（组）及不等式（组）的实际应用题型04 50．（2025·黑龙江大庆·二模）现用甲、乙两种运输车将吨救灾物资运往灾区，甲种运输车的载质量为吨，乙种运输车的载质量为吨，安排总车辆不超过辆，则甲种运输车至少要安排（    ） A．辆 B．辆 C．辆 D．辆 【答案】C 【分析】考查了一元一次不等式的应用，解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，找到所求的量的不等关系．设甲种运输车安排辆，不等关系是：甲种车拉货数量乙种车拉货数量，依此列出不等式求解即可． 【详解】解：设甲种运输车安排辆，依题意可列不等式为： ， 解得． 所以甲种运输车至少安排6辆． 故选：C． 51．（2025·黑龙江大庆·二模）《孙子算经》中有个问题：若三人共车，余两车空：若两人共车，剩九人步，问人与车各几何？设有x辆车，则根据题意可列出方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据每三人乘一车，最终剩余2辆车，每2人乘一车，最终剩余9人无车可乘，进而表示出总人数得出等式即可； 【详解】由题意可列出方程， 故选D． 【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，准确分析列方程是解题的关键． 52．（2025·黑龙江齐齐哈尔·二模）2023年10月13日，是第34个国际减灾日，主题为“共同打造有韧性的未来”，多学一分自救知识，就多一份生命保障，每个人都应增强防灾减灾意识，提高避灾自救技能，学一点科学知识，少一点生命威胁，灾难总是不期而至，及早掌握防灾知识，做到防患于未然，就多一份生命保障．为奖励消防演练活动中表现优异的同学，学校决定用1200元购买篮球和排球，其中篮球每个120元，排球每个90元，在购买资金恰好用尽的情况下，购买方案有（    ） A．4种 B．3种 C．2种 D．1种 【答案】A 【分析】本题考查二元一次方程的应用，解题的关键是设购买篮球x个，排球y个，根据“购买篮球的总钱数购买排球的总钱数”列出关于x、y的方程，由x、y均为非负整数即可得． 【详解】解：设购买篮球x个，排球y个，根据题意可得， ， 则， ∵x、y均为正整数， ∴、或、或、或、， 所以购买资金恰好用尽的情况下，购买方案有种， 故选：A． 53．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）今年我市计划扩大城区绿地面积，现有一块长方形绿地，它的短边长为60m，若将短边增长到长边相等（长边不变），使扩大后的绿地的形状是正方形，则扩大后的绿地面积比原来增加1600，设扩大后的正方形绿地边长为xm，下面所列方程正确的是（ ） A．x（x-60）=1600 B．x（x+60）=1600 C．60（x+60）=1600 D．60（x-60）=1600 【答案】A 【分析】根据题意可得扩建的部分相当于一个长方形，这个长方形的长和宽分别为xm和（x－60）m，根据长方形的面积计算法则列出方程． 【详解】解：由题意得扩建的部分相当于一个长方形，这个长方形的长和宽分别为xm和（x－60）m， ∴， 故选A. 54．（2025·黑龙江龙东·二模）小明购买口罩，现在有A、B两种型号的口罩可供选择，A型口罩每个6元，B型口罩每个4元，他一共花了40元钱，则小明的购买方案有（    ）． A．2种 B．3种 C．4种 D．5种 【答案】B 【分析】根据题意得出二元一次方程，求出方程的正整数解即可． 【详解】解：设购买A型口罩x个，B型口罩y个， 由题意得：6x＋4y＝40， ∴， 因为x，y是正整数， ∴或或， 所以小明的购买方案有3种， 故选：B． 【点睛】此题考查二元一次方程的应用，关键是求出方程的正整数解． 55．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）《九章算术》中有一道“凫雁相逢”问题（凫：野鸭），大意如下：野鸭从南海飞到北海需要7天，大雁从北海飞到南海需要9天．如果野鸭、大雁分别从南海、北海同时起飞，经过多少天相遇？设经过天相遇，则下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用，根据题意可得野鸭的速度为，大雁的速度为，设经过天相遇，则相遇时野鸭的路程+大雁的路程=总路程，据此即可列出方程． 【详解】解：设经过天相遇， 可列方程为：， 故选：A． 56．（2025·黑龙江齐齐哈尔·二模）暑假来临，领队为安排30名游学人员入住，需要同时租用3人间和4人间两种客房，若每个房间都住满，则安排租房的方案共有（    ） A．5种 B．4种 C．3种 D．2种 【答案】D 【分析】本题主要考查了二元一次方程的应用、找准等量关系等知识点，正确列出二元一次方程是解题的关键． 设租用x间3人间，租用y间4人间，根据安排30名游学人员入住，据此列出关于x，y的二元一次方程，再结合x，y均为正整数即可解答． 【详解】解：设租用x间3人间，租用y间4人间， 依题意，得：， ∴， 又∵x，y均为正整数， ∴或． ∴共有2种租房方案． 故选：D． 57．（2025·黑龙江绥化·二模）某校组织八年级108名学生去综合实践基地参加“两天一晚”的社会实践活动．工作人员在安排宿舍时每间比原计划多住1名学生，结果比原计划少用了9间宿舍．设原计划每间宿舍住名学生，则下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了分式方程，根据“工作人员在安排宿舍时每间比原计划多住1名学生，结果比原计划少用了9间宿舍”列方程即可． 【详解】解：由原计划每间宿舍住名学生，原来所用房间数为，实际所用房间数为． ∴所列方程为． 故选：C． 58．（2025·黑龙江绥化·二模）数学活动课上，甲，乙两位同学制作长方体盆子．已知甲做6个盒子比乙做4个盒子多用10分钟，乙每小时做盒子的数量是甲每小时做盒子的数量的2倍．设甲每小时做x个盒子，根据题意可列方程（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式方程的实际应用，设甲每小时做个盒子，根据“乙每小时做盒子的数量是甲每小时做盒子的数量的2倍”，则甲每小时做个盒子，根据“甲做6个盒子比乙做4个盒子多用10分钟”，列出方程即可． 【详解】解：设甲每小时做个盒子，则乙每小时做个盒子， 由题意得：， 故选：D． 59．（2025·黑龙江齐齐哈尔·二模）年月日是“世界读书日”周年纪念日．某班开展了主题为“书香满校园”的读书活动，班级决定为在活动中表现突出的同学购买圆珠笔和碳素笔进行奖励（两种奖品都买），其中碳素笔每支元，圆珠笔每支元，共花费元，则购买方案有（   ） A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】B 【分析】本题考查二元一次方程的应用，设购买支碳素笔，支圆珠笔，利用“总价单价数量”，根据“碳素笔每支元，每支元，共花费元”即可得出关于，的二元一次方程，再结合，均为正整数，即可得出购买方案的个数．找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键． 【详解】解：设购买支碳素笔，支圆珠笔， 依题意得：， ∴， 又∵，均为正整数， ∴或或或或或， ∴共有种不同的购买方案． 故选：B． 60．（2025·黑龙江佳木斯·二模）2024年法国巴黎奥运会，男子篮球比赛有若干支队伍参加了单循环比赛，一共进行66场比赛，则参加比赛的队伍共有（    ） A．10支 B．11支 C．12支 D．8支 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，设参加比赛的队伍共有x支，则每支队伍都要与其他支队伍比赛一场，且相同两支队伍之间的比赛只算一场，据此建立方程求解即可． 【详解】解；设参加比赛的队伍共有x支， 由题意得，， 整理得， 解得或（舍去）， ∴参加比赛的队伍共有12支， 故选：C． 61．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）一瓶牛奶的营养成分中，碳水化合物含量是蛋白质的倍，碳水化合物、蛋白质与脂肪的含量共．设蛋白质、脂肪的含量分别为、，可得到方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程的应用，等量关系式：碳水化合物的含量蛋白质的含量脂肪的含量，据此列方程，即可求解；找出等量关系式是解题的关键． 【详解】解：由题意得 故选：B． 62．（2025·黑龙江齐齐哈尔·二模）为了补充学习备品，周日下午，小琳同学到文化用品商店进行购买．她计划拿出50元全部用于购买单价为5元的笔记本和单价为2元的圆珠笔（两种商品都购买），则购买方案有（   ） A．3种 B．4种 C．5种 D．6种 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程正整数解的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键．设可以购买x本笔记本，y支圆珠笔，利用总价单价数量，可列出关于的二元一次方程，再结合均为正整数，即可得出共有4种购买方案． 【详解】解：设可以购买x本笔记本，y支圆珠笔， 根据题意得：， ∴， 又∵均为正整数， ∴或或或， ∴共有4种购买方案． 故选：B． 63．（2025·黑龙江佳木斯·二模）为庆祝国庆，某校初三（1）班开展了以“迎国庆，梦想起航”为主题的演讲比赛，计划拿出240元钱全部用于购买一等奖和二等奖两种奖品，一等奖每件15元，二等奖每件10元，则购买方案有（    ） A．6种 B．7种 C．8种 D．9种 【答案】B 【分析】本题主要考查了二元一次方程的实际应用，设购买一等奖x件，购买二等奖y件，则，求出次方程的正整数解个数即可得到答案． 【详解】解；设购买一等奖x件，购买二等奖y件， 由题意得，， ∴， ∴， ∴， ∵x、y都为正整数， ∴当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； ∴一共有7种方案， 故选：B． 64．（2025·黑龙江绥化·二模）六月，南方的水果已然成熟，某果农计划采摘300亩果园以供销售，由于天气炎热，为防水果变质，所以加快了采摘速度，实际每天采摘比原计划多，结果提前4天完采摘完毕，设原计划每天采摘x亩果园，由题意得到的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了列分式方程，找准等量关系是解题关键．先求出实际每天采摘亩果园，再根据结果提前4天完成任务建立方程即可． 【详解】解：由题意得：实际每天采摘亩果园， 则可列方程为， 故选：B． 65．（2025·黑龙江绥化·二模）有两块面积相同的试验田，分别收获蔬菜900kg和1500kg，已知第一块试验田每亩收获蔬菜比第二块少300kg，求第一块试验田每亩收获蔬菜多少千克．设第一块试验田每亩收获蔬菜xkg，根据题意，可得方程（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】根据关键描述语：“有两块面积相同的试验田”得到等量关系为：第一块的亩数=第二块的亩数，而亩数=总产量÷单产量．设第一块试验田每亩收获蔬菜xkg，则第一块试验田的亩数为： ，第二块试验田的亩数为： ．那么所列方程为：=. 故选C 点睛：本题考查了由实际问题抽象出分式方程，抓住关键描述语，找到等量关系是解决问题的关键．本题用到的等量关系为：亩数=总产量÷单产量． 66．（2025·黑龙江齐齐哈尔·二模）某社区为了打造“书香社区”，丰富小区居民的业余文化生活，计划出资600元全部用于采购甲，乙，丙三种图书．甲种每本40元，乙种每本30元，丙种每本25元，其中甲种图书至少买5本，最多买6本（三种图书都要买），此次采购的方案有（    ） A．6种 B．5种 C．4种 D．3种 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程的应用，当购买5本甲种图书时，设购买x本乙种图书，y本丙种图书，利用总价=单价×数量，可列出关于x，y的二元一次方程，结合x，y均为正整数，可得出此时有2种购买方案；当购买6本甲种图书时，设购买m本乙种图书，n本丙种图书，利用总价=单价×数量，可列出关于m，n的二元一次方程，结合m，n均为正整数，可得出此时有2种购买方案．综上，即可得出结论． 【详解】解：当购买5本甲种图书时，设购买x本乙种图书，y本丙种图书， 根据题意得：， ， 又均为正整数， 或， 此时有2种方案； 当购买6本甲种图书时，设购买m本乙种图书，n本丙种图书， 根据题意得：， ， 又均为正整数， 或， 此时有2种方案； 综上所述，此次采购的方案有（种）． 故选：C． 67．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）某商品经过连续两次降价后，销售单价由原来的120元降到现在的97.2元，若平均每次降价的百分率相同，则每次降价的百分率为 ． 【答案】 【分析】此题考查一元二次方程的应用．设平均每次降价的百分率为x，每个售价由原来的120元降到97.2元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【详解】解：设平均每次降价的百分率为x， 根据题意得：， 解得：，（不合题意，舍去）， 即每次降价的百分率为， 故答案为：． 68．（2025·黑龙江绥化·二模）现有标着，0，2的三张卡牌可供抽取（抽取后放回），若第一次抽出的卡牌数字记为，第二次抽出的卡牌数字记为，以此类推，后经统计发现，，且，则中0的个数为 个． 【答案】625 【分析】本题主要考查了三元一次方程组的应用，设抽到，0，2的三张卡牌的次数分别为a，b，c，根据题意得出，然后列出关于a，b，c的三元一次方程组求解即可得出答案． 【详解】解：设抽到，0，2的三张卡牌的次数分别为a，b，c， 当时，， 当时，， 当时，， ∴， 即， 根据题意列方程： 解得：， 故中0的个数为625， 故答案为：625 69．（2025·黑龙江大庆·二模）六一儿童节来临之际，某商店用元购进一批玩具，很快售完；第二次购进时，每件的进价提高了，同样用元购进的数量比第一次少了件．求第二次每件的进价为多少元？ 【答案】第二次每件的进价为60元 【分析】本题考查了分式方程的应用，正确理解题意、找准相等关系是解题的关键； 设第一次每件的进价为x元，则第二次每件进价为，根据：同样用元购进的数量比第一次少了件，可列出关于x的分式方程，解方程并检验后可得答案． 【详解】解：设第一次每件的进价为x元，则第二次每件进价为， 根据题意得：，       解得：，   经检验：是方程的解，， 答：第二次每件的进价为60元． 70．（2025·黑龙江大庆·二模）国产动画电影《哪吒2》以细腻的笔触生动描绘了哪吒的成长历程，情感真挚而动人，故事情节跌宕起伏，扣人心弦．在电影的热潮中，哪吒与敖丙相关商品也火热登场．新玛特商场专柜销售哪吒和敖丙的两款摆件，哪吒摆件单价比敖丙摆件单价高，用600元购买哪吒摆件的数量比用800元购买敖丙摆件数量少20个．求哪吒摆件和敖丙摆件的单价分别是多少元？ 【答案】30元，20元 【分析】设敖丙摆件单价为x元，则哪吒摆件的单价为x元，根据题意得：20，解方程即可 ． 本题考查了分式方程的应用，熟练掌握解方程是解题的关键． 【详解】解：设敖丙摆件单价为x元，则哪吒摆件的单价为x元， 根据题意得：20， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意． （元） 答：哪吒摆件单价是30元，敖丙摆件的单价是20元． 71．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）寒梅中学为了丰富学生的课余生活，计划购买围棋和中国象棋供棋类兴趣小组活动使用，若购买3副围棋和5副中国象棋需用98元；若购买8副围棋和3副中国象棋需用158元；（1）求每副围棋和每副中国象棋各多少元；（2）寒梅中学决定购买围棋和中国象棋共40副，总费用不超过550元，那么寒梅中学最多可以购买多少副围棋? 【答案】（1）每副围棋16元，每副中国象棋10元；（2）最多可以购买25副围棋； 【分析】（1）可设每副围棋元，每副中国象棋元，根据“若购买3副围棋和5副中国象棋需用98元；若购买8副围棋和3副中国象棋需用158元”可列出关于x,y的二元一次方程组，用消元法解之即可.（2）由（1）可知一副围棋和象棋的价格，可设购买围棋副，“购买围棋和中国象棋共40副”,知购买象棋副，根据“总费用不超过550元”可列出关于z的一元一次不等式组，求出z的解集，取最大值即可. 【详解】解：（1）设每副围棋元，每副中国象棋元， 根据题意得：， ∴， ∴每副围棋16元，每副中国象棋10元； （2）设购买围棋副，则购买象棋副， 根据题意得：， ∴， ∴最多可以购买25副围棋； 【点睛】本题考查了二元一次方程组及一元一次不等式的实际应用，理解题意，找准题中等量关系是解题的关键. 72．（2025·黑龙江大庆·二模）为贯彻落实《省教育厅关于开展“阳光下成长”中小学班集体艺术展示活动的通知》要求，扬州市各校纷纷举办“班班有歌声”的合唱比赛活动．某校分别花费元购进，两款笔袋作为对获奖班级的奖励，购进款笔袋的数量比款笔袋多个，且每个款笔袋的价格比每个款笔袋的价格少，求每个款笔袋多少元？ 【答案】每个款笔袋为元． 【分析】本题考查了分式方程的应用，设每个款笔袋为元，则每个款笔袋为元，根据购进款笔袋的数量比款笔袋多个列分式方程，解方程并检验可得答案，解题的关键是读懂题意，列出分式方程． 【详解】解：设每个款笔袋为元，则每个款笔袋为元， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解， 答：每个款笔袋为元． 73．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）高远中学欲购买相同的足球与相同的篮球若干，若购买2个足球和7个篮球共需1000元；若购买3个足球和5个篮球共需840元． (1)求购买每个足球和每个篮球各需多少元？ (2)如果高远中学计划购买这两种球共50个，总费用少于5200元，问最多购买多少个篮球？ 【答案】(1)购买每个足球需80元．购买每个篮球需120元 (2)最多购买29个篮球 【分析】此题考查了二元一次方程和一元一次不等式的应用，正确列出方程组和一元一次不等式是关键． （1）设购买每个足球需x元，购买每个篮球需y元．购买2个足球和7个篮球共需1000元；若购买3个足球和5个篮球共需840元．据此列出方程组即可； （2）设购买a个篮球，根据总费用少于5200元列不等式并解不等式即可． 【详解】（1）解：设购买每个足球需x元，购买每个篮球需y元． 根据题意得：     解方程组得： 答：购买每个足球需80元．购买每个篮球需120元． （2）解：设购买a个篮球， 根据题意得： 解不等式得： ∵a为整数， ∴a的最大值为29 答：最多购买29个篮球 74．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）我市城市绿化工程招标，有甲、乙两个工程队投标，经测算：甲队单独完成这项工程需要60天，若由甲队先做20天，再由甲、乙合作12天，共完成总工作量的三分之二． (1)乙队单独完成这项工程需要多少天? (2)甲队施工l天需付工程款3．5万元，乙队施工一天需付工程款2万元，该工程由甲乙两队合作若干天后，再由乙队完成剩余工作，若要求完成此项工程的工程款不超过186万元，求甲、乙两队最多合作多少天? 【答案】（1）90天；（2）最多合做12天 【详解】试题分析： （1）设乙队单独完成需x天，根据题意可列方程：，解此方程即可得乙队单独完成工程所需时间； （2）设两队最多合作a天，由题意可得乙队共做了天，由此可得甲队可得工程费3.5a万元，乙队可得工程费2万元，根据总费用不超过186万元，即可列出不等式，解不等式求得a的最大整数解即可. 试题解析： （1）设乙单独完成需x天，由题意得： ， 解得 x=90 ， 经检验x=90是分式方程的解. 答：乙单独约需90天 （2）设合做a天， ， 则 3.5a+2[a+(1-)÷]≤186 ， 解得：a≤12， ∴a的最大值为12， 答：最多合做12天. 75．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）四年23班为学习成绩进步的学生购买奖品，计划购买同一品牌的钢笔和自动铅笔．若购买该品牌的1支钢笔和5支自动铅笔，则需50元；若购买该品牌的3支钢笔和2支自动铅笔，则需85元． (1)求该品牌的钢笔和自动铅笔每支的定价分别是多少元； (2)本班级决定购买该品牌的钢笔和自动铅笔共20支，总费用要低于340元，那么最多可购买该品牌的钢笔多少支？ 【答案】(1)该品牌的钢笔每支25元，自动铅笔每支5元 (2)11支 【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，理解题意，确定相等关系与不等关系是解本题的关键． （1）该品牌的钢笔、自动铅笔每支的定价分别x元，y元，根据购买1支钢笔和5支自动铅笔共需50元，购买3支钢笔和2支自动铅笔共需85元建立方程组，求解即可； （2）设购买该品牌钢笔a支，则购买自动铅笔支，根据总费用要低于340元建立不等式，求解即可． 【详解】（1）解：设该品牌的钢笔每支x元，自动铅笔每支y元， 由题意得：， 解得：， 答该品牌的钢笔每支25元，自动铅笔每支5元． （2）解：设购买该品牌钢笔a支， ， 解得：． ∵取正整数， ∴的最大值为11． 答：最多购买该品牌钢笔至少11支． 76．（2025·黑龙江大庆·二模）“百日花开酬壮志，青春筑梦正当时”，某校在初三励志活动中准备向商家订购一批文创产品，其中包括“百日书历”和“二五手环”．若购买3本“百日书历”和4个“二五手环”需花费38元，购买4本“百日书历”和3个“二五手环”需花费46元． (1)请问每本“百日书历”和每个“二五手环”的售价分别为多少元？ (2)由于订购数量颇多，商家决定降价酬宾，其中“百日书历”的售价降低5a元，“二五手环”的售价降低a元．经测算，学校花5400元购进“百日书历”的数量比花1440元购进“二五手环”的数量还少200，求出a的值． 【答案】(1)每本“百日书历”的售价为元，每个“二五手环”的售价为元； (2) 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用及分式方程的应用，读懂题意找到等量关系式是解题的关键． （1）设每本“百日书历”的售价为元，每个“二五手环”的售价为元，根据“购买3本“百日书历”和4个“二五手环”需花费38元，购买4本“百日书历”和3个“二五手环”需花费46元”建立二元一次方程组，求解即可得出答案； （2）根据题意得出降价后，书历单价为元，手环单价为元，再根据“学校花5400元购进“百日书历”的数量比花1440元购进“二五手环”的数量还少200”建立分式方程求解即可得出答案． 【详解】（1）解：设每本“百日书历”的售价为元，每个“二五手环”的售价为元， 根据题意，得， 解得：， 答：每本“百日书历”的售价为元，每个“二五手环”的售价为元； （2）降价后，书历单价为元，手环单价为元， 根据题意，得， 解得：，经检验，是分式方程的解， 答：的值为． 77．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）某校为实现垃圾分类投放，准备在校园内摆放大、小两种垃圾桶．购买2个大垃圾桶和4个小垃圾桶共需600元；购买6个大垃圾桶和8个小垃圾桶共需1560元． (1)分别购买每个大、小两种垃圾桶各多少元钱? (2)该校计划购买大、小垃圾桶共32个，总费用不超过2880元，求最多购买大垃圾桶多少个． 【答案】(1)购买每个大垃圾桶180元钱，每个小垃圾桶60元钱 (2)最多购买大垃圾桶8个 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，读懂题意，找准等量关系是解题的关键． （1）设购买每个大垃圾桶元钱，每个小垃圾桶元钱，然后根据“购买2个大垃圾桶和4个小垃圾桶共需600元；购买6个大垃圾桶和8个小垃圾桶共需1560元”列出方程组，解之即可； （2）设购买大垃圾桶个，则需要购买小垃圾桶个，然后根据“该校计划购买大、小垃圾桶共32个，总费用不超过2880元”列出一元一次不等式，解之得到的取值范围，即可得到答案． 【详解】（1）解：设购买每个大垃圾桶元钱，每个小垃圾桶元钱， 依题意得，， 解得， 答：购买每个大垃圾桶180元钱，每个小垃圾桶60元钱． （2）解：设购买大垃圾桶个，则需要购买小垃圾桶个， 依题意得，， 解得， 所以的最大值是8． 答：最多购买大垃圾桶8个． 78．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）某体育用品商场预测某品牌运动服能够畅销，就用32000元购进了一批这种运动服，上市后很快脱销，商场又用68000元购进第二批这种运动服，所购数量是第一批购进数量的2倍，但每套进价多了10元． (1)该商场两次共购进这种运动服多少套？ (2)如果这两批运动服每套的售价相同，且全部售完后总利润不低于，那么每套售价至少是多少元？ 【答案】(1)600套 (2)200元 【分析】此题主要考查分式方程的应用，一元一次不等式的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量及不等关系，正确列方程和不等式求解． （1）设商场第一次购进x套运动服，根据“第二批所购数量是第一批购进数量的2倍，但每套进价多了10元”即可列方程求解； （2）设每套运动服的售价为y元，根据“这两批运动服每套的售价相同，且全部售完后总利润率不低于200”即可列不等式求解． 【详解】（1）解：设商场第一次购进x套运动服， 由题意得 解得， 经检验，是所列方程的根， ∴． 答：商场两次共购进这种运动服600套； （2）解：设每套运动服的售价为y元， 由题意得， 解得， 答：每套运动服的售价至少是200元． 79．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）永宝电机厂计划生产一批电机设备，其中这批设备包括A型、B型两种型号，如果生产2件A型产品和3件B型产品需成本21万元，如果生产5件A型产品和4件B型产品需成本35万元． (1)求生产一件A型产品和一件B型产品各需成本多少万元； (2)经市场调查，一件A型产品售价为5万元，一件B型产品售价为8万元，若工厂生产这批设备中B型产品的件数是A型产品的件数2倍还多6件，销售这批设备共获利大于57万元，那么工厂生产A型产品至少多少件？ 【答案】(1)生产一件A型产品需成本3万元，生产一件B型产品需成本5万元 (2)5件 【分析】（1）设生产一件A型产品需成本万元，设生产一件B型产品需成本万元，构造方程组，解答即可． （2）设工厂生产A型产品件，则生产B型产品件，解不等式并求整数解即可． 本题考查了方程组的应用，不等式的应用，熟练掌握解方程组，不等式是解题的关键． 【详解】（1）解：设生产一件A型产品需成本万元，设生产一件B型产品需成本万元 ， 解得． 答：生产一件A型产品需成本3万元，生产一件B型产品需成本5万元． （2）解：设工厂生产A型产品件，则生产B型产品件 根据题意，得， 解得． 为正整数 ． 答：工厂生产A型产品至少5件． 80．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）某校开设智能机器人编程的校本课程，计划购买了两种型号的机器人模型，得到的价格信息为：型机器人模型单价比型机器人模型单价多200元，用2000元购买型机器人模型和用1200元购买型机器人模型的数量相同． (1)求型，型机器人模型的单价分别是多少元？ (2)学校准备购买型和型机器人模型共40台，总价不超过17000元，那么型机器人模型至多购买多少台？ 【答案】(1)型编程机器人模型单价是500元，型编程机器人模型单价是300元 (2)型机器人模型至多购买25台 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用： （1）设型编程机器人模型单价是元，根据题意，列出方程，即可求解； （2）设购买型编程机器人模型台，根据题意，列出不等式，即可求解． 【详解】（1）解：设型编程机器人模型单价是元． 根据题意，得：， 解得：， 经检验，是原方程的根，且符合题意． ， 答：型编程机器人模型单价是500元，型编程机器人模型单价是300元． （2）解：设购买型编程机器人模型台，根据题意得： ， 解得：， 答：型机器人模型至多购买25台． 81．（2025·黑龙江绥化·二模）吉祥物“滨滨”和“妮妮”两个东北虎卡通形象是由哈尔滨工业大学美术学院团队为2025年第九届亚冬会创作的．某商场看好“滨滨”和“妮妮”两种吉祥物造型的钥匙扣挂件的市场价值，经调查：“滨滨”造型钥匙扣挂件进价每个m元，“妮妮”造型钥匙扣挂件进价每个n元． (1)该商场在进货时发现：若购进“滨滨”造型钥匙扣挂件10个和“妮妮”造型钥匙扣挂件5个共需要170元；若购进“滨滨”造型钥匙扣挂件6个和“妮妮”造型钥匙扣挂件10个共需要200元，求m，n的值； (2)该商场决定每天购进“滨滨”和“妮妮”两种吉祥物钥匙扣挂件共100个，且投入资金不少于1160元又不多于1168元，设购买“滨滨”造型钥匙扣挂件a个，有哪几种购买方案？ 【答案】(1)， (2)共有3种购买方案：方案1：购买“滨滨”造型钥匙扣挂件个，“妮妮”造型钥匙扣挂件个；方案2：购买“滨滨”造型钥匙扣挂件个，“妮妮”造型钥匙扣挂件个；方案3：购买“滨滨”造型钥匙扣挂件个，“妮妮”造型钥匙扣挂件个 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，找准数量关系，正确列出二元一次方程组和一元一次不等式组是解题的关键． （1）根据题意列出二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购买“滨滨“造型钥匙扣挂件a个，则购买“妮妮“造型钥匙扣挂件个，根据题意列出一元一次不等式组，解之可得出a的取值范围，再结合a为正整数，即可得出各购买方案． 【详解】（1）解：根据题意得：， 解得： ， ∴，； （2）解：设购买“滨滨“造型钥匙扣挂件a个，则设购买“妮妮“造型钥匙扣挂件个， 根据题意得：， 解得：， 又∵a为正整数， ∴a可以为，，， ∴共有3种购买方案： 方案1：购买“滨滨”造型钥匙扣挂件个，“妮妮”造型钥匙扣挂件个； 方案2：购买“滨滨”造型钥匙扣挂件个，“妮妮”造型钥匙扣挂件个； 方案3：购买“滨滨”造型钥匙扣挂件个，“妮妮”造型钥匙扣挂件个． 82．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）某商场计划购进甲、乙两种不同型号背包，已知购进甲型号背包2个和乙型号背包3个共需270元；购进甲型号背包3个和乙型号背包2个共需230元． (1)甲、乙两种型号背包每个的进价分别是多少元？ (2)商场决定甲型号背包以每个40元价格出售，乙型号背包以每个90元价格出售，为满足市场需求，需购进甲、乙两种背包共100个，当购进的背包全部售出后，该商场要想获得利润超过1200元，则最多购进甲种背包多少个？ 【答案】(1)甲种型号背包每个进价为30元，乙种型号背包每个进价为70元 (2)最多购进甲种型号背包79个 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的应用以及二元一次方程组的应用，正确得出不等关系是解题关键． （1）设甲、乙两种型号背包每个的进价分别是x、y元，根据题意列方程组求解可得； （2）设购进甲型号背包m个，乙型号背包个，根据“获利超过元”列不等式求解可得． 【详解】（1）解：设甲种型号背包每个进价为元，乙种型号背包每个进价为元． 根据题意得：，解得 答：甲种型号背包每个进价为30元，乙种型号背包每个进价为70元． （2）设购进甲种背包个，乙型号背包个，根据题意可得 ，取最大整数解为79． 答：最多购进甲种型号背包79个． 83．（2025·黑龙江佳木斯·二模）开放性问题 某校九年级共有300名学生，其中男生人数比女生人数的2倍少30人． (1)设女生人数为x人，用含x的代数式表示全校学生人数； (2)若该校计划组织一次户外活动，要求男生和女生分别分组，且每组人数相同．已知男生每组不超过15人，女生每组不超过12人，求分组方案中每组人数最多是多少？此时男生、女生各分多少组？ 【答案】(1) (2)每组人数最多为人，男生分19组，女生分11组 【分析】本题考查一元一次方程，最大公约数，根据题意列方程求出男、女生人数是解题的关键． （1）用代数式表示男生人数，即可得到全校人数； （2）先求出男、女生人数，求出最大公约数即为每组最多人数，然后确定组数即可． 【详解】（1）解：设女生人数为x人，则男生人数为人， 全校人数为人； （2）解：∵， 解得， ∴男生人数为人， 设每组人数为m人， ∵和的最大公约数为， ∴每组人数最多为人， 此时男生分19组，女生分11组． 84．（2025·黑龙江龙东·二模）近年来新能源汽车产业及市场迅猛增长，为了缓解新能源汽车充电难的问题，某小区计划新建地上和地下两类充电桩，每个充电桩的占地面积分别为和．已知新建1个地上充电桩和2个地下充电桩需要万元；新建2个地上充电桩和1个地下充电桩需要万元． (1)该小区新建1个地上充电桩和1个地下充电桩各需多少万元？ (2)若该小区计划用不超过万元的资金新建60个充电桩，且地下充电桩的数量不少于地上充电桩数量的2倍，则共有几种建造方案？并列出所有方案； (3)现考虑到充电设备对小区居住环境的影响，要求充电桩的总占地面积不得超过，在（2）的条件下，若仅有两种方案可供选择，直接写出a的取值范围． 【答案】(1)新建一个地上充电桩和一个地下充电桩分别需要0.2万元和0.3万元 (2)有4种方案，分别为：方案①新建个地上充电桩，43个地下充电桩；方案②新建个地上充电桩，42个地下充电桩；方案③新建个地上充电桩，41个地下充电桩；方案④新建个地上充电桩，40个地下充电桩 (3) 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式；（3）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组． （1）设新建一个地上充电桩需要x万元，新建一个地下充电桩需要y万元，根据“1个地上充电桩和2个地下充电桩需要0.8万元，2个地上充电桩和1个地下充电桩需要0.7万元”列方程组求解即可； （2）设新建m个地上充电桩，则新建地下充电桩的数量为个，根据“不超过16.3万元的资金，地下充电桩的数量不少于地上充电桩数量的2倍，”列不等式组求解即可； （3）由总占地面积不得超过，得，解得，结合知，再依据“仅有两种方案可供选择”，得，解之即可． 【详解】（1）解：设新建一个地上充电桩需要x万元，新建一个地下充电桩需要y万元， 依题意得，， 解得， 答：该小区新建一个地上充电桩和一个地下充电桩分别需要0.2万元和0.3万元． （2）解：设新建个地上充电桩，则新建地下充电桩的数量为个， 由题意得， 解得， ∴整数m的值为17，18，19，20． 一共有4种方案，分别为： 方案①新建个地上充电桩，43个地下充电桩； 方案②新建个地上充电桩，42个地下充电桩； 方案③新建个地上充电桩，41个地下充电桩； 方案④新建个地上充电桩，40个地下充电桩． （3）解：由题意可得，解得， ∵仅有两种方案可供选择， ∴ ， 解得： 因此，a 的取值范围为：． 85．（2025·黑龙江佳木斯·二模）第九届亚洲冬季运动会以“冰雪同梦，亚洲同心”为主题，于2025年2月7日在哈尔滨隆重开幕．吉祥物滨滨和妮妮在市场热销，某特许商店准备购进吉祥物滨滨和妮妮，吉祥物妮妮的进价比滨滨的进价少30元，已知用3000元购进吉祥物滨滨的数量与用2400元购进吉祥物妮妮的数量相同． (1)求吉祥物滨滨和妮妮的进价各是多少元； (2)滨滨的售价是每件300元，妮妮的售价是每件200元，要使购进的两种吉祥物共200件的总利润不少于22100元，且不超过22300元，该商店有哪几种进货方案？ (3)若特许商店准备对吉祥物滨滨每件优惠80元进行出售，吉祥物妮妮的售价不变，求出在（2）中的所有进货方案中，哪种方案获得的利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1)妮妮的进价为120元，则滨滨的进价为150元 (2)一共有3种方案：方案一，购进滨滨88件，购进妮妮112件；方案二，购进滨滨89件，购进妮妮111件；方案三、购进滨滨90件，购进妮妮110件； (3)购进滨滨88件，购进妮妮112件这种方案获得的利润最大，最大利润为15120元 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，一元一次不等式组的实际应用，有理数四则混合计算的实际应用，正确立即题意列出方程，不等式组是解题的关键． （1）设妮妮的进价为x元，则滨滨的进价为元，根据用3000元购进吉祥物滨滨的数量与用2400元购进吉祥物妮妮的数量相同建立方程求解即可； （2）设购进妮妮m件，则购买滨滨件，根据总利润不少于22100元，且不超过22300元建立不等式组求解即可； （3）根据（2）所求分别求出3种方案的利润，比较即可得到答案． 【详解】（1）解：设妮妮的进价为x元，则滨滨的进价为元， 由题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴， 答：妮妮的进价为120元，则滨滨的进价为150元； （2）解：设购进妮妮m件，则购买滨滨件， 由题意得，， 解得， ∵m为正整数， ∴当时，， 当时，， 当时，， ∴一共有3种方案：方案一，购进滨滨88件，购进妮妮112件；方案二，购进滨滨89件，购进妮妮111件；方案三、购进滨滨90件，购进妮妮110件； （3）解：购进滨滨88件，购进妮妮112件这种方案的利润为元， 购进滨滨89件，购进妮妮111件这种方案的利润为元， 购进滨滨90件，购进妮妮110件这种方案的利润为元， ∵， ∴购进滨滨88件，购进妮妮112件这种方案获得的利润最大，最大利润为15120元． 2 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 方程与不等式 题型概览 题型01不等式（组） 题型02分式方程 题型03一元二次方程 题型04方程（组）及不等式（组）的实际应用 不等式（组）题型01 1．（2025·黑龙江佳木斯·二模）不等式组的解集是 ． 2．（2025·黑龙江大庆·二模）解不等式：． 3．（2025·黑龙江大庆·二模）不等式组的所有整数解的和为 ． 4．（2025·黑龙江龙东·二模）已知关于的不等式组的整数解仅为1、2，则的最大值为 ． 5．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）不等式组的解集是 ． 6．（2025·黑龙江绥化·二模）如果不等式组有且仅有4个整数解，那么m的取值范围是 ． 7．（2025·黑龙江大庆·二模）不等式组的解集为，则 ． 8．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）不等式组的整数解是 ． 9．（2025·黑龙江大庆·二模）不等式组的解集是 ． 10．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（    ） A． B． C． D． 11．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 12．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）先化简，再求值：，其中为整数且满足不等式组． 13．（2025·黑龙江大庆·二模）先化简，再求值：，其中x是整数且满足不等式组． 14．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）不等式组的正整数解为 ． 15．（2025·黑龙江佳木斯·二模）若关于x的一元一次不等式组，恰有3个整数解，则a的取值范围是 ． 16．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 分式方程题型02 17．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）分式方程的解是（    ） A．3 B．2 C． D． 18．（2025·黑龙江齐齐哈尔·二模）若分式方程无解，则a的值是（    ） A．3或2 B．1 C．1或3 D．1或2 19．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）方程的解是 ． 20．（2025·黑龙江大庆·二模题）分式方程=1的解是 ． 21．（2025·黑龙江绥化·二模）若分式方程有增根，则 ． 22．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）分式方程的解是（    ） A． B． C． D． 23．（2025·黑龙江龙东·二模）若关于的分式方程无解，则的值为（   ） A． B． C．或 D．或3 24．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）方程的解为（   ） A． B． C． D． 25．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）分式方程的解是 ． 26．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）方程的解是 ． 27．（2025·黑龙江佳木斯·二模）解方程：． 28．（2025·黑龙江佳木斯·二模）解方程： 29．（2025·黑龙江齐齐哈尔·二模）已知关于x的分式方程的解为非负数，则a的取值范围是（   ） A．a≤2 B．a＜2 C．a≤2且a≠﹣4 D．a＜2且a≠﹣4 30．（2025·黑龙江齐齐哈尔·二模）若关于的分式方程的解为非负数，则的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 31．（2025·黑龙江佳木斯·二模）若关于x的分式方程的解的取值范围为，则m的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 32．（2025·黑龙江齐齐哈尔·二模）已知关于的分式方程的解是正数，则的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 一元二次方程题型03 33．（2025·黑龙江佳木斯·二模）若关于的方程是一元二次方程，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 34．（2025·黑龙江绥化·二模）若α，β为方程2x2-5x-1=0的两个实数根，则2α2+3αβ+5β的值为 ． 35．（2025·黑龙江大庆·二模）方程的两个根分别为，则的值为 ． 36．（2025·黑龙江大庆·二模）已知一元二次方程的两根为与，则的值为 ． 37．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）定义运算：．方程的根的情况是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．只有一个实数根 38．（2025·黑龙江齐齐哈尔·二模）解方程： 39．（2025·黑龙江齐齐哈尔·二模）解方程： 40．（2025·黑龙江绥化·二模）若是关于的方程的两个根，且，则 ． 41．（2025·黑龙江齐齐哈尔·二模）解方程：． 42．（2025·黑龙江齐齐哈尔·二模）解方程：． 43．（2025·黑龙江大庆·二模）已知a是方程的一个根，则代数式的值是 ． 44．（2025·黑龙江佳木斯·二模）关于x的一元二次方程有实数根，则m的取值范围是（    ） A．且 B． C． D．且 45．（2025·黑龙江佳木斯·二模）一元二次方程根的情况是（    ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 46．（2025·黑龙江绥化·二模）已知关于x的一元二次方程的两个实数根的平方和等于44，则m的值是 47．（2025·黑龙江绥化·二模）为一元二次方程的两根，则 ． 48．（2025·黑龙江齐齐哈尔·二模）解方程：． 49．（2025·黑龙江佳木斯·二模）解方程： 方程（组）及不等式（组）的实际应用题型04 50．（2025·黑龙江大庆·二模）现用甲、乙两种运输车将吨救灾物资运往灾区，甲种运输车的载质量为吨，乙种运输车的载质量为吨，安排总车辆不超过辆，则甲种运输车至少要安排（    ） A．辆 B．辆 C．辆 D．辆 51．（2025·黑龙江大庆·二模）《孙子算经》中有个问题：若三人共车，余两车空：若两人共车，剩九人步，问人与车各几何？设有x辆车，则根据题意可列出方程为（   ） A． B． C． D． 52．（2025·黑龙江齐齐哈尔·二模）2023年10月13日，是第34个国际减灾日，主题为“共同打造有韧性的未来”，多学一分自救知识，就多一份生命保障，每个人都应增强防灾减灾意识，提高避灾自救技能，学一点科学知识，少一点生命威胁，灾难总是不期而至，及早掌握防灾知识，做到防患于未然，就多一份生命保障．为奖励消防演练活动中表现优异的同学，学校决定用1200元购买篮球和排球，其中篮球每个120元，排球每个90元，在购买资金恰好用尽的情况下，购买方案有（    ） A．4种 B．3种 C．2种 D．1种 53．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）今年我市计划扩大城区绿地面积，现有一块长方形绿地，它的短边长为60m，若将短边增长到长边相等（长边不变），使扩大后的绿地的形状是正方形，则扩大后的绿地面积比原来增加1600，设扩大后的正方形绿地边长为xm，下面所列方程正确的是（ ） A．x（x-60）=1600 B．x（x+60）=1600 C．60（x+60）=1600 D．60（x-60）=1600 54．（2025·黑龙江龙东·二模）小明购买口罩，现在有A、B两种型号的口罩可供选择，A型口罩每个6元，B型口罩每个4元，他一共花了40元钱，则小明的购买方案有（    ）． A．2种 B．3种 C．4种 D．5种 55．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）《九章算术》中有一道“凫雁相逢”问题（凫：野鸭），大意如下：野鸭从南海飞到北海需要7天，大雁从北海飞到南海需要9天．如果野鸭、大雁分别从南海、北海同时起飞，经过多少天相遇？设经过天相遇，则下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 56．（2025·黑龙江齐齐哈尔·二模）暑假来临，领队为安排30名游学人员入住，需要同时租用3人间和4人间两种客房，若每个房间都住满，则安排租房的方案共有（    ） A．5种 B．4种 C．3种 D．2种 57．（2025·黑龙江绥化·二模）某校组织八年级108名学生去综合实践基地参加“两天一晚”的社会实践活动．工作人员在安排宿舍时每间比原计划多住1名学生，结果比原计划少用了9间宿舍．设原计划每间宿舍住名学生，则下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 58．（2025·黑龙江绥化·二模）数学活动课上，甲，乙两位同学制作长方体盆子．已知甲做6个盒子比乙做4个盒子多用10分钟，乙每小时做盒子的数量是甲每小时做盒子的数量的2倍．设甲每小时做x个盒子，根据题意可列方程（   ） A． B． C． D． 59．（2025·黑龙江齐齐哈尔·二模）年月日是“世界读书日”周年纪念日．某班开展了主题为“书香满校园”的读书活动，班级决定为在活动中表现突出的同学购买圆珠笔和碳素笔进行奖励（两种奖品都买），其中碳素笔每支元，圆珠笔每支元，共花费元，则购买方案有（   ） A．种 B．种 C．种 D．种 60．（2025·黑龙江佳木斯·二模）2024年法国巴黎奥运会，男子篮球比赛有若干支队伍参加了单循环比赛，一共进行66场比赛，则参加比赛的队伍共有（    ） A．10支 B．11支 C．12支 D．8支 61．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）一瓶牛奶的营养成分中，碳水化合物含量是蛋白质的倍，碳水化合物、蛋白质与脂肪的含量共．设蛋白质、脂肪的含量分别为、，可得到方程为（   ） A． B． C． D． 62．（2025·黑龙江齐齐哈尔·二模）为了补充学习备品，周日下午，小琳同学到文化用品商店进行购买．她计划拿出50元全部用于购买单价为5元的笔记本和单价为2元的圆珠笔（两种商品都购买），则购买方案有（   ） A．3种 B．4种 C．5种 D．6种 63．（2025·黑龙江佳木斯·二模）为庆祝国庆，某校初三（1）班开展了以“迎国庆，梦想起航”为主题的演讲比赛，计划拿出240元钱全部用于购买一等奖和二等奖两种奖品，一等奖每件15元，二等奖每件10元，则购买方案有（    ） A．6种 B．7种 C．8种 D．9种 64．（2025·黑龙江绥化·二模）六月，南方的水果已然成熟，某果农计划采摘300亩果园以供销售，由于天气炎热，为防水果变质，所以加快了采摘速度，实际每天采摘比原计划多，结果提前4天完采摘完毕，设原计划每天采摘x亩果园，由题意得到的方程是（   ） A． B． C． D． 65．（2025·黑龙江绥化·二模）有两块面积相同的试验田，分别收获蔬菜900kg和1500kg，已知第一块试验田每亩收获蔬菜比第二块少300kg，求第一块试验田每亩收获蔬菜多少千克．设第一块试验田每亩收获蔬菜xkg，根据题意，可得方程（　　） A． B． C． D． 66．（2025·黑龙江齐齐哈尔·二模）某社区为了打造“书香社区”，丰富小区居民的业余文化生活，计划出资600元全部用于采购甲，乙，丙三种图书．甲种每本40元，乙种每本30元，丙种每本25元，其中甲种图书至少买5本，最多买6本（三种图书都要买），此次采购的方案有（    ） A．6种 B．5种 C．4种 D．3种 67．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）某商品经过连续两次降价后，销售单价由原来的120元降到现在的97.2元，若平均每次降价的百分率相同，则每次降价的百分率为 ． 68．（2025·黑龙江绥化·二模）现有标着，0，2的三张卡牌可供抽取（抽取后放回），若第一次抽出的卡牌数字记为，第二次抽出的卡牌数字记为，以此类推，后经统计发现，，且，则中0的个数为 个． 69．（2025·黑龙江大庆·二模）六一儿童节来临之际，某商店用元购进一批玩具，很快售完；第二次购进时，每件的进价提高了，同样用元购进的数量比第一次少了件．求第二次每件的进价为多少元？ 70．（2025·黑龙江大庆·二模）国产动画电影《哪吒2》以细腻的笔触生动描绘了哪吒的成长历程，情感真挚而动人，故事情节跌宕起伏，扣人心弦．在电影的热潮中，哪吒与敖丙相关商品也火热登场．新玛特商场专柜销售哪吒和敖丙的两款摆件，哪吒摆件单价比敖丙摆件单价高，用600元购买哪吒摆件的数量比用800元购买敖丙摆件数量少20个．求哪吒摆件和敖丙摆件的单价分别是多少元？ 71．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）寒梅中学为了丰富学生的课余生活，计划购买围棋和中国象棋供棋类兴趣小组活动使用，若购买3副围棋和5副中国象棋需用98元；若购买8副围棋和3副中国象棋需用158元；（1）求每副围棋和每副中国象棋各多少元；（2）寒梅中学决定购买围棋和中国象棋共40副，总费用不超过550元，那么寒梅中学最多可以购买多少副围棋? 72．（2025·黑龙江大庆·二模）为贯彻落实《省教育厅关于开展“阳光下成长”中小学班集体艺术展示活动的通知》要求，扬州市各校纷纷举办“班班有歌声”的合唱比赛活动．某校分别花费元购进，两款笔袋作为对获奖班级的奖励，购进款笔袋的数量比款笔袋多个，且每个款笔袋的价格比每个款笔袋的价格少，求每个款笔袋多少元？ 73．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）高远中学欲购买相同的足球与相同的篮球若干，若购买2个足球和7个篮球共需1000元；若购买3个足球和5个篮球共需840元． (1)求购买每个足球和每个篮球各需多少元？ (2)如果高远中学计划购买这两种球共50个，总费用少于5200元，问最多购买多少个篮球？ 74．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）我市城市绿化工程招标，有甲、乙两个工程队投标，经测算：甲队单独完成这项工程需要60天，若由甲队先做20天，再由甲、乙合作12天，共完成总工作量的三分之二． (1)乙队单独完成这项工程需要多少天? (2)甲队施工l天需付工程款3．5万元，乙队施工一天需付工程款2万元，该工程由甲乙两队合作若干天后，再由乙队完成剩余工作，若要求完成此项工程的工程款不超过186万元，求甲、乙两队最多合作多少天? 75．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）四年23班为学习成绩进步的学生购买奖品，计划购买同一品牌的钢笔和自动铅笔．若购买该品牌的1支钢笔和5支自动铅笔，则需50元；若购买该品牌的3支钢笔和2支自动铅笔，则需85元． (1)求该品牌的钢笔和自动铅笔每支的定价分别是多少元； (2)本班级决定购买该品牌的钢笔和自动铅笔共20支，总费用要低于340元，那么最多可购买该品牌的钢笔多少支？ 76．（2025·黑龙江大庆·二模）“百日花开酬壮志，青春筑梦正当时”，某校在初三励志活动中准备向商家订购一批文创产品，其中包括“百日书历”和“二五手环”．若购买3本“百日书历”和4个“二五手环”需花费38元，购买4本“百日书历”和3个“二五手环”需花费46元． (1)请问每本“百日书历”和每个“二五手环”的售价分别为多少元？ (2)由于订购数量颇多，商家决定降价酬宾，其中“百日书历”的售价降低5a元，“二五手环”的售价降低a元．经测算，学校花5400元购进“百日书历”的数量比花1440元购进“二五手环”的数量还少200，求出a的值． 77．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）某校为实现垃圾分类投放，准备在校园内摆放大、小两种垃圾桶．购买2个大垃圾桶和4个小垃圾桶共需600元；购买6个大垃圾桶和8个小垃圾桶共需1560元． (1)分别购买每个大、小两种垃圾桶各多少元钱? (2)该校计划购买大、小垃圾桶共32个，总费用不超过2880元，求最多购买大垃圾桶多少个． 78．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）某体育用品商场预测某品牌运动服能够畅销，就用32000元购进了一批这种运动服，上市后很快脱销，商场又用68000元购进第二批这种运动服，所购数量是第一批购进数量的2倍，但每套进价多了10元． (1)该商场两次共购进这种运动服多少套？ (2)如果这两批运动服每套的售价相同，且全部售完后总利润不低于，那么每套售价至少是多少元？ 79．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）永宝电机厂计划生产一批电机设备，其中这批设备包括A型、B型两种型号，如果生产2件A型产品和3件B型产品需成本21万元，如果生产5件A型产品和4件B型产品需成本35万元． (1)求生产一件A型产品和一件B型产品各需成本多少万元； (2)经市场调查，一件A型产品售价为5万元，一件B型产品售价为8万元，若工厂生产这批设备中B型产品的件数是A型产品的件数2倍还多6件，销售这批设备共获利大于57万元，那么工厂生产A型产品至少多少件？ 80．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）某校开设智能机器人编程的校本课程，计划购买了两种型号的机器人模型，得到的价格信息为：型机器人模型单价比型机器人模型单价多200元，用2000元购买型机器人模型和用1200元购买型机器人模型的数量相同． (1)求型，型机器人模型的单价分别是多少元？ (2)学校准备购买型和型机器人模型共40台，总价不超过17000元，那么型机器人模型至多购买多少台？ 81．（2025·黑龙江绥化·二模）吉祥物“滨滨”和“妮妮”两个东北虎卡通形象是由哈尔滨工业大学美术学院团队为2025年第九届亚冬会创作的．某商场看好“滨滨”和“妮妮”两种吉祥物造型的钥匙扣挂件的市场价值，经调查：“滨滨”造型钥匙扣挂件进价每个m元，“妮妮”造型钥匙扣挂件进价每个n元． (1)该商场在进货时发现：若购进“滨滨”造型钥匙扣挂件10个和“妮妮”造型钥匙扣挂件5个共需要170元；若购进“滨滨”造型钥匙扣挂件6个和“妮妮”造型钥匙扣挂件10个共需要200元，求m，n的值； (2)该商场决定每天购进“滨滨”和“妮妮”两种吉祥物钥匙扣挂件共100个，且投入资金不少于1160元又不多于1168元，设购买“滨滨”造型钥匙扣挂件a个，有哪几种购买方案？ 82．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）某商场计划购进甲、乙两种不同型号背包，已知购进甲型号背包2个和乙型号背包3个共需270元；购进甲型号背包3个和乙型号背包2个共需230元． (1)甲、乙两种型号背包每个的进价分别是多少元？ (2)商场决定甲型号背包以每个40元价格出售，乙型号背包以每个90元价格出售，为满足市场需求，需购进甲、乙两种背包共100个，当购进的背包全部售出后，该商场要想获得利润超过1200元，则最多购进甲种背包多少个？ 83．（2025·黑龙江佳木斯·二模）开放性问题 某校九年级共有300名学生，其中男生人数比女生人数的2倍少30人． (1)设女生人数为x人，用含x的代数式表示全校学生人数； (2)若该校计划组织一次户外活动，要求男生和女生分别分组，且每组人数相同．已知男生每组不超过15人，女生每组不超过12人，求分组方案中每组人数最多是多少？此时男生、女生各分多少组？ 84．（2025·黑龙江龙东·二模）近年来新能源汽车产业及市场迅猛增长，为了缓解新能源汽车充电难的问题，某小区计划新建地上和地下两类充电桩，每个充电桩的占地面积分别为和．已知新建1个地上充电桩和2个地下充电桩需要万元；新建2个地上充电桩和1个地下充电桩需要万元． (1)该小区新建1个地上充电桩和1个地下充电桩各需多少万元？ (2)若该小区计划用不超过万元的资金新建60个充电桩，且地下充电桩的数量不少于地上充电桩数量的2倍，则共有几种建造方案？并列出所有方案； (3)现考虑到充电设备对小区居住环境的影响，要求充电桩的总占地面积不得超过，在（2）的条件下，若仅有两种方案可供选择，直接写出a的取值范围． 85．（2025·黑龙江佳木斯·二模）第九届亚洲冬季运动会以“冰雪同梦，亚洲同心”为主题，于2025年2月7日在哈尔滨隆重开幕．吉祥物滨滨和妮妮在市场热销，某特许商店准备购进吉祥物滨滨和妮妮，吉祥物妮妮的进价比滨滨的进价少30元，已知用3000元购进吉祥物滨滨的数量与用2400元购进吉祥物妮妮的数量相同． (1)求吉祥物滨滨和妮妮的进价各是多少元； (2)滨滨的售价是每件300元，妮妮的售价是每件200元，要使购进的两种吉祥物共200件的总利润不少于22100元，且不超过22300元，该商店有哪几种进货方案？ (3)若特许商店准备对吉祥物滨滨每件优惠80元进行出售，吉祥物妮妮的售价不变，求出在（2）中的所有进货方案中，哪种方案获得的利润最大？最大利润是多少？ 2 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $$